f x 1 1, x 2 1. Mivel > 0 lehetséges minimum. > 0, így f-nek az x 2 helyen minimuma van.

Átírás

1 SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁS = + 1, R + 1 f = 1 R +,, f = R +, 1 Az 1 = 0 egyenlet gyökei : 1 1, 1. Mivel ezért az 1 helyen van az f-nek minimuma f f 1 0, 5.. Legyen az egyik szám, a másik pedig A. f A A A, 0; A, A > 0, 0; f A A f A 1 0 nem jöhet számításba, 1 1 6A > 0 lehetséges minimum. f 6, 0; A. f 1 6A > 0, így f-nek az helyen minimuma van. 5.. A téglalap oldalai: és k. k A területfüggvény: f k 0;,. k A függvény értéknél veszi fel maimumát, tehát a k 4 4 oldalhosszúságú négyzet a legnagyobb területű k kerületű téglalap A doboz űrtartalma a 6 értékre lesz maimális.

2 Jelöljük az alapélt -szel. 1 1 Az f térfogatfüggvény, 0; maimumát keressük. 4 Megoldás: a doboz alapéle: 0, 816m, 1 a doboz magassága: m = 0,408 m Megoldás: a medence alapéle : 00 magassága: m = 5,85 m, =,9 m , ahol a rövidebb oldal hosszát jelöli. Megoldás: a téglalap oldalai: 70,71 m, 141,4 m, 70,71 m A kerítés hosszát megadó függvény: f 5.8. f 5.9. f 1 00, R +. f 400,, f R f, R+. A függvénynek az 800 8, 8 helyen minimuma van. Tehát leggazdaságosabb 8 zuhanykar felszerelése. 15, 4, ha 0; 1,, 5, ha 1; ha 0; 1 5 ha 1; 4,,, f,,. Az 1 pontban f nem differenciálható, de f 1 < 0 és f 1 > 0, tehát minimum van. Tehát a B gazdaságban célszerű a központi gyűjtőhelyet létesíteni, mert ekkor lesz a szállítási összköltség a legkevesebb: f(1) =,5.

3 5.10. P-vel jelöljük az ABC áruház helyét. Legyen a K-tól való távolság = KP, nyilván nem lehet 0-nál kisebb és 15-nél nagyobb. Az f , 0 15 abszolút minimumát keressük. f , ha 0; 5, , ha 5; , ha f 0; 5, 5000, ha 5; ; függvény Stacionárius pontja nincs. A függvény szigorúan monoton csökkenő, így minimumát az intervallum végpontjában veszi fel: = 15. Ez ezt jelenti, hogy az M nyaralótelepen kell létrehozni az ABC üzletet Legyen sebessége a földúton 1, a műúton 1,5. Jelöljük a B pont műútra eső merőleges vetülete és az elágazási pont közötti távolságot -szel. 8 Keressük az f 6, 0; 8 függvény minimumát. 15, A függvénynek az 5, 4 helyen van minimuma. Tehát A-tól,6 km távolságra kell letérni a műútról. Kó v 0, 0v 480, v 0, 480 ahonnan a kilóméterenkénti költség: Kv 0, 0v, v 0. v 480 Kv 0, 06v, v 0. v v 0 km/h sebességgel kell haladnia minimális kilóméterenkénti költség eléréséhez a.) Óránként a költség: b.) K0 6, mértéke 0,99 %-os. K 6, 8,ahonnan kiszámíthatjuk, hogy a növekedés

4 f a50 b keressük. A függvénynek az 0a b a, ; függvény minimumát helyen minimuma van f keressük. A függvénynek az helyen van minimuma., ; függvény minimumát Az egyidejű elindulás utáni -edik percben a két vonat közötti távolságot,, függvény. adja meg az f A két vonat közti távolság az indulás után 6 perccel lesz a legkisebb Az A ponttól az elágazásig terjedő szakaszt jelöljük -szel. A költségfüggvény: K Ennek az, 65 helyen van minimuma Jelöljük -szel az A város folyóra eső merőleges vetületének és az útnak a folyót elérő pontjának távolságát. A teljes szállítási költséget a következő függvény fejezi ki: K c c ahol "c" a szállítási egységköltséget jelenti, kilométerenként. A függvénynek az 11 helyen van minimuma. Ez azt jelenti, hogy a szóban forgó utat a folyóra merőleges iránytól = 0-os szögben kell vezetni a folyóig a B város irányába., A minimális önköltség a 0, mázsás termésátlaghoz tartozik.

5 a.) f, 0. Ebből következik, hogy a függvény az értelmezési tartomány mindenpontjában szigorú monoton csökkenő. b.) E f 1, 0. 5 E f 0, 8, vagyis a toikus anyag-koncentráció 0,8% - kal 6 csökken f 4 1, 0. 1 Absz MIN (1; 0), mert 0; 1 csökken és 1; nő a függvény. a.) Kezdetben: 0 C, újraindításkor 0 0 C volt a szobákban. b.) Mivel lim f, ezért R f 0;. 0, ,. f 0, f Ami azt mutatja, hogy a 17, Ft - os téttel egyben globális maimumot tud elérni. 5.. h B 6, 1 R. 6, 1 R.

6 B, R+. 1 B h 1 1 0, MAX ;, h ( ), R+. 1 h Elaszticitás: E y ( ), h( ) E y 15,, tehát 1,5%-kal csökken a.) f ( ) 1, 0; 10 5 f, 15 0, 5 10 f ( ), 0,10 9 f,15 < 0 MAX,15; 4,. b.) 0;,15 monoton nő a kereslet 5 f c.) E y 1 1 ' ( ) f ( ) K 016,., 0; 00 függvény adja 5.4. Az egységre eső átlagköltséget a meg. Ez a függvény a 0; 106, 8 intervallumon monoton csökken, utána pedig monoton nő. Tehát, körülbelül 107-es darabszám esetén lesz minimális az egységre eső átlagköltség.

7 B p 60 0, 015 maimumát kell meghatározni. A maimumhely: = a.) B( p) = p f ( p) = 4p 80p. A derivált zérushelye p 5, B grafikus képe konkáv parabola, így B ma = b.) f B N K ,, Stacionárius pont, és egyben maimumhely: = 40. B a.) Maimumhely: p = 100. b.) A p = 100 egységárhoz tartozó kereslet: f e A h függvény maimumát kell meghatározni. Ennek érdekében képezzük az első és második deriváltfüggvényt: h: R, a , A h4, 8 0. Mivel forgalom mellett várható. h: R, a h 4, 8 0, a maimális eredmény 4,8 mó forint 5.0. Jelöljük -szel az egyenlő időközönként rendelendő azonos darabszámot. Az egy évre szóló összköltség-függvény (leszámítva a félkész termék beszerzési árát, hiszen ez nem befolyásolja a minimumot): K , R Megoldás: minimális az összköltség, ha 10.

8 Az együttes költségfüggvény ( darab termelése esetén): A K: a a c d A, B, \ b + c b. ac c K : a d A, B, \. b c b K 0 egyenlet ( és a feladat) megoldása : 5.. Az összköltség darab termelése esetén: K a d A b c. 0 1 b ac d A c. E függvény deriváltja mindenütt negatív, a költség növekedésével állandóan fogy, minimuma nincs. Az optimális darabszám tehát az a maimális mennyiség, amit az üzem termelni képes. 5.. Megoldott feladat PQ: Q R, Q a 114Q 0, 5Q + C: Q R, Q a 10Q Q + 0, 0Q + ( PQ) : Q R, Q a 114 0, 5 Q + C: Q R, Q a 10 Q + 0, 06Q 114 0, 5Q 10 Q 0, 06Q Q = 0.,, Q 0; 400, C50 170, C100 50, C A határbevétel: PQ : Q a 114Q 0, 4Q, Q 0; 400, PQ , PQ , PQ A határprofit: R: Q a 0, Q 116Q 10,. R50 490, R , R a.) A határköltség: C: Q a 10 Q 0 06Q Q 0; 400,

9 167 b.) 10 Q 0, 06Q 114Q 0, 4Q, Q 1 85, 69, Q 1077,. A feltételnek mindkét megoldás eleget tesz a.) g t b.) 50 01, t, ahonnan MAX (500; 1500). g t 50t 0, 05t, a 6. hónap eleje az az 5. hónap vége + 1nap: g , (m), a 7. hónap vége: g , 75(m). c.) K 4 C ( K-ből integrálással kaptuk!). g g g d.),, K , K5506, , tehát K 718, , a 6. hónapban végzett munka költsége: ; a 7. hónapban végzett munka költsége: ,9. K 10 18, 77. e.) f.) E K A tiszta bevételt nyilván a z a , :,, Dz R R. kétváltozós függvény írja le. A feladat megoldása pedig a z függvény szélsőértékének megkeresését jelenti. A függvénynek maimuma van az 1 = 6,5, = 6,5 pontban. A kapott eredmény tíz forintokban értendő, vagyis az eladási ár 6,5 Ft illetve 65 Ft Az 1 és árú termékek eladásából származó tiszta összbevételt az, 0 10 f függvény adja meg. Ennek akkor van maimuma, ha 1 = 40 Ft és = 0 Ft.

10 Tegyük fel, hogy a feladatban említett meghatározott idő T napból áll, továbbá, hogy egy-egy sorozat legyártásához t 1, illetve t idő (nap) szükséges az A, ill. B jelű termékből. A kérdéses sorozatnagyságot jelöljük 1 -gyel, ill. -vel. Ez esetben - egyenletes termelést feltételezve - a t 1, ill. t napra eső átlagos raktárkészlet 1 és, így az ezen időre eső átlagos raktárköltség 1 r 1t 1, ill. r t Ft. Mivel T idő alatt T i 1, sorozatot gyártanak le, így a T napra eső összes raktárköltség: t1 r T r T Kr 1 1. A fi költségek, amelyek egy-egy sorozat gyártásának beindításához szükségesek, T idő alatt K k T T k k N 1 N f 1 1 k Ft-ot tesznek ki. t 1 t 1 T ti költségfüggvény ezek alapján: i Ui. Nyilvánvaló, hogy i 1 r1t1 K K K k N 1 r T N 1, r f 1 k. 1 Megoldásul az 1 N i k1n1 k N é s r1t r T,. A minimalizálandó adódik, és könnyen belátható, hogy ezek az értékek valóban a K, függvény minimumhelyét szolgáltatják Behelyettesítve az előző általános feladat eredményeibe kapjuk, hogy a leggazdaságosabb termelés megvalósítására körülbelül 7, illetve 179 darabot kell legyártani a kétféle termékből sorozatonként.