I. rész. 1. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

Átírás

1 Paróczay József, 00. november Emelt szintű érettségi feladatsor és megoldása Összeállította: Paróczay József 00. november I. rész. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! y a) 7, log ( y ) b) cos sin. feladat A H ; H ; H... H n halmazokból álló sorozat tagjait úgy képezzük, hogy a soron következő halmazba a soron következő n db pozitív páros szám kerül. H H ; H 8;0; a) Melyik a H 0halmaz legkisebb és legnagyobb eleme? b) Mennyi a H 0halmaz elemeinek összege?. feladat Oldja meg grafikusan az f ( ) g( ) egyenletet a valós számok halmazán, ha f ( ) g ( ), ha és, ha vagy. feladat A évnél idősebb rendszeresen dohányzók százalékos aránya egyes országokban 000- ben: n fér ország ők fiak Horvátorsz, ág, 9, Csehország 7, 7 Nagy Britannia Magyarors zág Románia Dánia Portugália Franciaorsz ág 9, 0,, 0, 9 7 9,,9

2 Paróczay József, 00. november ág Németorsz, 7, a) Ábrázoljuk az adatokat oszlopdiagramon! b) Határozzuk meg mindkét nem esetén az átlagot és a szórást! c) Magyarországon évi %-os csökkenést feltételezve, hány év alatt lehetne leszorítani a dohányzók arányát a jelenlegi portugál szintre? II. rész Az alábbi öt feladat közül tetszés szerint választott négyet kell csak megoldani.. feladat Adja meg a p p p 0 egyenlet megoldásainak számát a p paraméter függvényében!. feladat Egy csúcsával lefelé fordított egyenlő oldalú kúpba egy r sugarú gömböt teszünk. Addig töltjük meg a kúpot vízzel, hogy a gömböt éppen ellepje. Mekkora lesz a víz magassága, ha a gömböt kivesszük? 7. feladat a) A 70-ből 7-et elnevezésű lottójátékban hány db szelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen egy telitalálatos (7 találatos) szelvényünk. b) Ha minden lehetséges módon kitöltjük a szelvényeket, akkor hány db találatosunk lesz? c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy db szelvénnyel találatosunk lesz? 8. feladat Két urnában összesen 7 golyó van, pirosak, sárgák, zöldek és feketék. Tudjuk, hogy nincs közöttük azonos színű és különböző méretű golyó. Mutassa meg, hogy valamelyik urnában van legalább 9 azonos színű és méretű golyó! 9. feladat Az egymástól 00 m távolságra levő A és B pontok között csővezetéket kell fektetni, amely közben valahol elágazik C pont felé. A C pont az AB szakasz egyenesétől 00 m-re, A ponttól 00 m-re van. A csővezeték az elágazásig olyan csőből készül, amelynek ára folyóméterenként 90 Ft. Az elágazástól B-ig 0 Ft/m-es, C-ig 0 Ft/m-es csövet fektetnek. Hol létesítsük az elágazást, hogy a fektetendő vezeték ára a legkisebb legyen?

3 Paróczay József, 00. november Paróczay József 00. novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója. feladat a) Kikötés: y A második egyenletből: y y Az első egyenletbe behelyettesítve: 7 7, visszahelyettesítve y Ellenőrzéssel meggyőződhetünk a megoldás helyességéről. pont pont b) cos sin sin 0 sin sin 0 Egyenlőtlenség megoldása: sin Ebből: k k k Z pont pont pont. feladat a) H9-ig db szám szerepel a halmazokban. H 0legkisebb eleme a 78. páros szám, ez az. Így H 0 ; ; A H 0legnagyobb eleme 0. A H 0halmazban lévő elemek összege: 0 S 0 00 Összesen: pont pont pont Összesen:

4 Paróczay József, 00. november - -. feladat Megoldás: Az f () függvény helyes ábrázolásáért Az g () függvény helyes ábrázolásáért pont Ha, akkor illetve pont Ha vagy akkor 0 pont Összesen:. feladat a) Lásd alább! b) mutatók nők férfiak átlag,0, szórás 7,98 7,0 n c) Nők esetén: 0, 0,97 7, 9 pont lg 7,9 lg 0, n, lg 0,97 A nők esetében év alatt, hasonló módon meghatározva a férfiakét azt kapjuk, hogy 0 év alatt csökkenthető a dohányzás mértéke a portugál szintre. pont Összesen: A év fölötti rendszeres dohányosok % Horvátország Csehország Nagybritannia Magyarország Románia Dánia Portugália Franciaország Németország nők férfiak

5 m r Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Paróczay József, 00. november II. rész. feladat Ha p, akkor azonosságot kapunk: 0 0, tehát minden valós megoldás. Ha p, akkor egy megoldás van,. Ha p, akkor D p. megoldás van ha D 0, azaz Ha Ha K r D p p p akkor egy (kétszeres) gyök van. p ( p ) akkor nincs megoldás. r R A. feladat,. ábra. feladat Az. ábra jelölése alapján az egyenlő oldalú kúpra: pont pont pont pont pont pont Összesen: a R, ekkor m R. pont AKC háromszög hasonló ABD háromszög miatt KC DB AC DA m r r m r, azaz R r R r. A beleöntött víz térfogata V V k Vg R m r, azaz V r. pont A második ábra alapján a hasonlóság miatt: R : m R : m R m. m K m R R B A. feladat,. ábra C C V R m r m r 7. feladat a), ! kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen 7 találatosunk. pont Összesen: db szelvényt kell pont

6 Paróczay József, 00. november b) A 7 számból -ot 7 vehetünk. Így összesen: 7 -féleképpen választhatunk ki, és hozzá még féle számot 7 c) találatos szelvényt 9 0 keresett valószínűség:. 0 pont féleképpen tölthetünk ki, így a 8 pont Összesen: 8. feladat A 7 golyó között a feltétel miatt a skatulyaelv alapján van legalább azonos színű. Nézzük ezt a legalább azonos színű golyóhalmazt. Mivel nincs közöttük azonos színű és különböző méretű, ezért méreteik alapján legfeljebb négy csoportra oszthatók. Ekkor van olyan csoport, amelyben legalább 7 azonos színű és méretű golyó van. Ezt a 7 golyót a két urnába csak úgy helyezhetjük el, hogy az egyikbe legalább 9 golyó kerül. Összesen: A Q D B C 9. feladat Jelöljük az elágazási pontot Q-val. Ennek A-tól való távolságát -szel. (lásd ábra) Pitagorasz tétellel meghatározható az AD= 00 m. pont Ekkor QC 00 Írjuk fel a vezeték árát mint függvényét: f ( ) 90 0(00 ) 0 (00 ) A függvény minimumát keressük: f '( ) 90 Először a derivált zérushelyeit akarjuk meglelni. Rendezve: (00 (00 ) ) (00 ). Ennek gyökei: 7 és Ellenőrizhetjük, hogy a 7 helyen minimuma van. Tehát az elágazást az A ponttól 7 m-re kell létesíteni. pont pont pont Összesen: