Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Átírás

1 ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg ( + y ) = lg (9 pont) lg = lg + lg ( y ) a). eset: + 6 = 0, 6 ennek valós gyökei és 3 Ezek megoldásai az eredeti egyenletnek. eset: + 6 = 0, 6 ennek nincs valós megoldása Tehát az egyenlet megoldásai a 3 és a. b) 0 és y a logaritmus értelmezése miatt A logaritmus azonosságait használva lg ( + y) = lg lg = lg ( y ) ( pont) Az lg függvény szigorú monoton nő + y = = y A második egyenletből kifejezzük -et, behelyettesítve az elsőbe kapjuk, hogy 4y y+ 6 = 0 Ennek valós gyökei és 0,75 Az y miatt 0,75 nem eleme az értelmezési tartománynak ) Ezért csak y = és így = egyenletnek lehetséges. A ( ) ; számpár megoldása az a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? Összesen: 4 pont 3 3 ( ) ( + ) 8 (4 pont) b) Az alábbi f és g függvényt is a 3;6 intervallumon értelmezzük. f ( ) = + 3 és g ( ) = 0,5 +,5. Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az f és g függvényt a 3;6 intervallumon! Igazolja számítással, hogy a két grafikon metszéspontjának mindkét koordinátája egész szám! (4 pont) c) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! 0, ,5 (6 pont)

2 005-0XX Emelt szint a) Elvégezve a köbre emelést: ( 3 ) ( 3 ) ( pont) összevonva és rendezve: a megoldáshalmaz tehát a ; intervallum b) f függvény helyes ábrázolása ( pont) g függvény helyes ábrázolása ; a metszéspont koordinátái ( ) c) A megoldandó egyenlőtlenség ekvivalens a + 3 0,5 +,5 egyenlőtlenséggel A bal oldal nem negatív a jobb oldal 5-nél nagyobb -ekre negatív Az egyenlőtlenség megoldásait a 3;6 intervallumon a b) részben ábrázolt f és g függvényekről leolvashatjuk A megoldáshalmaz a 3; intervallum ( pont) Összesen: 4 pont 3) Oldja meg a következő egyenletrendszert, ha és y valós számok, továbbá 0, és y 0, y. log y + log y = sin ( + 3y ) + sin ( 4 + y ) = (3 pont) Áttérve azonos alapú logaritmusra: log y + = log y ( pont) Mivel egy pozitív számnak és a szám reciprokának összege pontosan akkor, ha a szám ( pont) ezért log y = azaz = y Behelyettesítve a második egyenletbe: sin5 =, azaz sin5 =

3 4) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Innen 5 = + k 6 5 vagy 5 = + l 6 ahol k és l A megoldások így: = y = + k ( k 30 5 ) és = y = + l 6 5 ( l ) A kapott értékek kielégítik az egyenletet Összesen: 3 pont a) Ábrázolja a derékszögű koordinátarendszerben az f : 0; 5, f = függvényt! (5 pont) ( ) b) Tekintsük az ( ) = k paraméteres egyenletet, ahol k valós paraméter. Vizsgálja a megoldások számát a k paraméter függvényében! k 6;6 c) Ábrázolja a megoldások számát megadó függvényt a intervallumon! ( pont) d) Adja meg a c)-beli függvény értékkészletét! ( pont) a) f ( ) ( ) = = Az y = ( ) parabola tengelypontja ( ; ) az tengelyt az ( ;0 ) és ( ) Jó ábrázolás, leszűkítés a Az abszolút érték figyelembe vétele Helyes ábra: b) A megoldások számát az f ( ) teljes grafikonja és az y = k egyenes közös pontjainak száma adja ( pont) Ha k, akkor két közös pontja van Ha k =, akkor három közös pontja van Ha 0 k, akkor négy közös pontja van Ha k = 0, akkor két közös pontja van Ha k 0, akkor nincs közös pont 3;0 pontokban metszi 0;5 intervallumra

4 005-0XX Emelt szint c) Helyes ábra d) Értékkészlete: ( pont) R = 0; ; 3; 4 ( pont) f Összesen: 6 pont 5) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 3 3 log ( y ) + log y ( y ) = 9 (6 pont) cos ( + y ) + cos ( y ) = 0 6) A logaritmus miatt és y -től különböző pozitív számok lehetnek Az első egyenlet bal oldalát alakítsuk át a logaritmus azonosságát használva: 3 3 log y + log y = + log y + 3 log + = log y + log (3 pont) ( ) ( ) ( ) y y Így az első egyenlet: log y + log = A log y és a log y egymás reciprokai, és összegük y ( pont) Ez pontosan akkor teljesül, ha mindkettő -gyel egyenlő, amiből azt kapjuk, hogy = y ( pont) Beírva a második egyenletbe: cos + cos 0 = 0, ahonnan cos = ( pont) Ez akkor és csak akkor teljesül, ha = + k, azaz = + k, ahol k (3 pont) Összevetve az y, 0 feltétellel, = y = + k, k ( pont) Összesen: 6 pont a) Igazolja, hogy a, a 0 és a 3 is gyöke a = 0 egyenletnek, és az egyenletnek ezeken kívül más valós gyöke nincs! (5 pont) b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 3 cos 5cos 3cos = 0 (6 pont) c) Mutassa meg, hogy a = 0 egyenletnek nincs valós gyöke! (5 pont) a) 3 ( ) 5 3 = 5 3 = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla! Az = 0 valóban gyök.

5 Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások A többi gyököt a megmaradt másodfokú egyenletből kapjuk meg: 5 3 = 0 A két gyök: és 3, azaz a megadott három szám valóban gyöke az eredeti egyenletnek. Másodfokú egyenletnek legfeljebb két különböző valós gyöke lehet, ezért több gyök nincsen. b) Vezessünk be új ismeretlent: y = cos! 3 A y 5y 3y = 0 egyenletnek keressük a valós gyökeit, melyeket az a) feladatrészből tudhatunk is: y = 0, y =, y3 = 3. Mivel a cos kifejezés értéke - és között mozoghat csak, ezért a 3 nem jó megoldás. A cos = 0 egyenlet megoldása: = + k, ahol k ( pont) A cos = egyenlet megoldásai:,3 = + m, ahol m 3 ( pont) c) Az egyenlet bal oldalán kiemelhető: ( ) = 0. Az eponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, így = 0 nem lehetséges. Másodfokúra visszavezethető a megmaradt egyenlet: ( ) = 0. = 3 vagy =. Az eponenciális függvény már említett értékkészlete miatt ezek nem valós gyökei, így valóban nincs megoldása az egyenletnek. Összesen: 6 pont 7) Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket a rendezett valós számpárok halmazán! = y a) = y b) + y 3 = = 0 + y 3 a) 0 ( és y 0) esetén A két egyenlet összeadásával: + = = 6, amiből (négyzetre emelés és rendezés után) adódik. Az egyenlet gyökei: 4 és = 0 A 9 nem megoldása a = 6 egyenletnek.

6 005-0XX Emelt szint Tehát = 4, és így y =4. Ellenőrzés b) Értelmezési tartomány: és y 3. Az első egyenletből 4 3y = 9. A második egyenletből: = 3y. Behelyettesítve: ( y ) y = 7 = 0 Ellenőrzés 4 3 3y = 9. Összesen: 4 pont 8) Oldja meg a 4;6 alaphalmazon az alábbi egyenleteket, illetve egyenlőtlenséget! a) 5 = 3 (3 pont) b) 3 = + 0 (6 pont) c) cos + cos 0 a) 5 = 3 esetén = 8 5 = 3 esetén = Ilyen elemei nincsenek az alaphalmaznak, ezért az eredeti egyenlet megoldáshalmaza az üres halmaz. b) Négyzetre emelve: 3 = = 4 Négyzetre emelve és rendezve: = 0 = 6, = 6 Ellenőrzés 6 hamis gyök, a helyes megoldás csak a 6 c) A cos + cos = 0 (cos-ben másodfokú) egyenlet teljesül, ha cos = vagy cos = 0,5. ( pont) (A megadott egyenlőtlenség cos-ben másodfokú tagjának együtthatója pozitív, ezért) cos 0,5. cos minden esetén (így az alaphalmaz minden elemére is) igaz. 4;6 ; miatt a koszinuszfüggvény a [4;6] alaphalmazon szigorúan ( ) monoton növekedő, 5 és itt cos = 0,5, ha = ( 5,4) 3 5 ezért az egyenlőtlenség megoldáshalmaza 4; 3 Összesen 6 pont