Négyzetgyökös egyenletek. x A négyzetgyök értéke nem lehet negatív! R

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Négyzetgyökös egyenletek. x A négyzetgyök értéke nem lehet negatív! R"

Átírás

1 Négyzetgyökös egyenletek. Oldja meg a következő egyenleteteket a valós számok halmazán! a.) 6 b.) 6 c.) 5 6 /( ) ÉT : Bo. : A négyzetgyök értéke nem lehet negatív! R 5 0 Vonjuk össze, amit lehet! 5 / / 5 9 / 8 Bo. : Jo. : 8 9. Oldja meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! 5 5 ÉT. : 0 Nincs ilyen racionális szám. ( Q). Oldja meg a következő egyenleteteket a racionális számok halmazán! Úgy kell rendezni az egyenletet, hogy a négyzetgyök egyedül legyen az egyik oldalon. 5 / 5 A kapott megoldás beleesik az értelmezési tartományba. A négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás! A négyzetre emelt egyenlet magasabb fokú, mint az eredeti egyenlet, ezért több megoldása lehet, mint az eredetinek. A négyzetre emelt egyenlet megoldásai között ott vannak az eredeti egyenlet megoldásai is, de nem mindig csak azok. Ellenőrzéssel ki tudjuk válogatni az eredeti egyenlet megoldásait!

2 Bo. : 5 Jo.. Oldja meg a következő egyenleteteket a valós számok halmazán! a.) 5 b.) Úgy kell rendezni az egyenletet, hogy a négyzetgyök egyedül legyen az egyik oldalon. 5 / / 5 A négyzetgyök értéke sohasem lesz negatív. Nincs ilyen valós szám ( Q). Ha négyzetre emeled mindkét oldalt, akkor hamis gyököt kapsz. Ha nem végzel ellenőrzést, és nem veszed észre, akkor elrontottad. Ha észreveszed, és négyzetre emelsz, akkor csak sokat dolgozol potyára. / Ez beleesik az értelmezési tartományba, ellenőrizzük le! Bo :. 5 5 = Hamis gyök! b.) / ; Mindkét gyök beleesik az értelmezési tartományba, ezért ellenőrizzük le

3 őket! = = Bo. : 5 9 Jo. : 7 Bo. : 5 6 Jo. Jo. : 7 = Hamis gyök = Hamis gyök Persze, ha ügyesek lettünk volna, akkor észrevehettük volna, hogy nincs megoldása az egyenletnek: Amikor átrendeztük ( 7 5 ) látható volt, hogy ha az ma. öt lehet, akkor a baloldal negatív. Márpedig a négyzetgyök értéke nem lehet negatív. Az értékkészlet vizsgálata hasznos lehet! 5. Mennyi a következő egyenlet valós gyökeinek szorzata? 8 ; 8 / ; K. : ,8,8 Mindkét megoldás beleesik az egyenlet értelmezési tartományába, ezért ellenőrizzük le őket! Ell: BO. 8 6 JO. BO. 8 6 JO. Az egyenlet valós gyökeinek szorzata Oldja meg a következő egyenletet a természetes számok halmazán!

4 6 6 / K: Oldja meg a következő egyenletet a pozitív számok halmazán! 5 5 / A pozitív megoldás a. 8. Határozza meg a következő egyenlet megoldáshalmazát! 5

5 5 / / és ; 8 8 Hamis gyök Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 0 / A négyzetgyökfüggvény ÉK-e a nem negatív számok halmaza, ezért ; A főegyüttható pozitív, ezért az egyenlőtlenség mindenhol teljesül. 0 ; 8 R (Nincs ilyen valós szám.) 0. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

6 Ha így emelnénk mindkét oldalt négyzetre, akkor a bal oldalt kéttagú összegként kellene négyzetre emelni. Sokkal csúnyább egyenletet kapnánk, de legalább a négyzetgyök is bent maradna / és ; vagy Négyzetre emelés előtt rendezzük át! / / ; 8 5 8,5 Hamis gyök

7 ,5 8,5 8, , , Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! / 0 7 / Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

8 / / ÉT: A négyzetgyök értéke nem lehet negatív, ha négyzetre emeljük hamis gyököt kapunk.. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! / / a b a ab b 9 0 és / : 8 / Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! és 0 7 Nincs közös rész! R

9 5. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! Könnyebb számolni, ha a négyzetre emelés előtt átrendezzük. / 0 és 0 5 Bo. 5 5 Jo. 6. Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán!

10 / / / 0 és 0 6 / : / 9 0 ; Mindkét gyök éppen beleesik az értelmezési tartományba. 0 0 = Hamis gyök. Egész megoldás nincs. 7. Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 6

11 6 6 0 és R 8. Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 5 0 Van-e megoldás a [5;9] intervallumban? és 0 0 és

12 Ell.: A 9 hamis gyök. Az 5 beleesik a megadott intervallumba. 9. Oldja meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! Ha az nem kisebb, mint, akkor a baloldal értéke pozitív. Tehát nincs megoldás. Néha az értékkészlet vizsgálata is hasznos! 0. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 0 és Mindig figyelni kell az ÉKt is!. Oldja meg a következő egyenletet a pozitív számok halmazán! Az ÉT megállapítása túl nehéz. Maradunk az ellenőrzésnél. 6 0

13 6 / ,5 8 Ell.: Bo. :,5 6,5,5 6,5,5 Jo. :,5,5 Meg kell vizsgálni, hogy mi van ha = 0. Bo. : Jo. : 0. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán, és ábrázolja a számegyenesen a megoldáshalmazt! ; 6 6 Hamis gyök és és 5 5. Oldja meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán!

14 0 és 0 vagy ; ; ; Hamis gyök Hamis gyök A négyzetgyök értéke nem lehet negatív. Hamis gyök.

15