XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február I. forduló osztály

Átírás

1 Zilah, 016. február feladat: Oldd meg a következő egyenletet: Turdean Katalin, Zilah Felírjuk a létezési feltételeket: , , , Bevezetjük a következő jelöléseket: a 5 4 1, b 4 3 3, c 1 3 5, akkor a b c Így az eredeti egyenlet a következőképpen alakul: , amely ekvivalens az a b c a b c a bb cc a 0egyenlőséggel....3p Ha ab 0 akkor az (1) egyenletet kapjuk. Észrevesszük, hogy 0 és 1 konve függvény és a megoldás, és mivel az f f : 0,, 5 4 g :, g 7 elsőfokú függvény grafikus képének legfenebb két közös pontja lehet az (1) egyenletnek csak ez a két megoldása van....p Ha bc 0, akkor az () egyenletet kapjuk. Észrevesszük, hogy megoldás. Mivel a () egyenlet átírható a : 0,, alakba és a h h függvény szigorúan csökkenő h 1 egyenletnek legfenebb egy megoldása van () egyenletnek az egyedüli megoldása az....p Ha ca 0, akkor a 13 0 egyenletet kapjuk, melynek megoldása 13. Mivel 0, 1, és 13 teljesíti a létezési feltételeket az egyenlet megoldáshalmaza 0,1,,13....p

2 . feladat: Zilah, 016. február Oldd meg a komple számok halmazán a következő egyenletet: z 1 z z ², z. A z z z z dr.szenkovits Ferenc Kolozsvár z z 015 z z ,... z 1007 z 1010 z 1007 z z 1008 z 1009 z 1008 z egyenlőtlenségeket összegezve: S z z 1 z z ²....5p Egyenlőség pedig akkor és csak akkor áll fenn, ha az összes egyenlőtlenség egyenlőségként teljesül, aminek a feltétele: z 1, 016, , , p Tehát a megoldások halmaza az 1008,1009 valós intervallum Megjegyzés: z a z b b a, a b, a, b z a, b....p

3 jelöli. 3. feladat: Zilah, 016. február Adott az ABC háromszög, amelyben A1, B1, C 1 a BC, CA, AB oldalak felezőpontjait Igazold, hogy a sík bármelyik M pontja esetén fennáll a következő egyenlőtlenség: 4MA MB MC MAMB MC MA MA MB MB MC MC dr.bencze Mihály, Bukarest b c a c a b Jelölje Aa, Bb, C c, A1, B1, C1 illetve pontokat és affiumait. Felírjuk az egyenlőtlenséget az affiumok segítségével: M t a megfelelő b c a c a b b c a c 4 t t t t a t b t c t a t t b t 4p a b t c t vagyis t b c t a c t a b t a t b t c t a t b c t b t a c t c t a b. Jelölje t a, y t b, z t c, akkor a fenti egyenlőtlenség a következőképpen alakul: z y z y y z y z y z z y....p Igazoljuk, hogy y z z y yz y y z z y. Felhasználva a a b a b, a, bc egyenlőtlenséget kapjuk, hogy : yz y z y z z y yz y z y z z y amely egyenértékű a kért egyenlőtlenséggel....3p

4 4. feladat: Zilah, 016. február Mutasd ki, hogy bármely ABC háromszögben fennáll az alábbi egyenlőtlenség: a b c b a c c a b cos A cos B cos C. b c a c a b Mikor áll fenn az egyenlőség? Zákány Mónika és Mastan Eliza, Nagybánya a b c b a c c a b cos A cos B cos C b c a c a b a b c cos A 1 cos B 1 cos C 1 b c a c a b a b c cos A cos B cos C....3p b c a c a b Igazolnunk kell, hogy cos c Acos B a b, cos a Bcos C b c illetve cos b Acos C a c, amelyek egyenértékűek a következő egyenlőtlenséggel: a b cos A cos B c, cos cos cos cos b c B C a illetve a c A C b....p Alkalmazzuk a Cauchy -Schwarz egyenlőtlenséget: cos cos cos cos a b A B a A b B c cos cos cos cos b c B C b C c B a cos cos cos cos a c A C a C c A b, amely összegéből következik a kért egyenlőtlenség....p vagyis Egyenlőség akkor áll fenn, amikor a Cauchy - Schwarz egyenlőtlenségben is fenn áll,

5 Zilah, 016. február a b acos B bcos A a b. cos A cos B Hasonlóan igazoljuk, hogy b c Tehát egyenlő oldalú háromszög esetén áll fenn az egyenlőség....p

6 Zilah, 016. február