MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása a valós számok halmazán! c) d) sin cos, 5 cos A nevező nem lehet 0, ezért ebből A továbbiakban a tört akkor 0, ha számlálója 0, tehát és Így az egyenletnek csak egy valós megoldása van: 0,5 5 9,5 0 0, azaz A rendezés után kapott egyenletet mindkét oldalról négyzetre emelve, rendezés után kapjuk, hogy Innen Behelyettesítéssel ellenőrizve ez jó megoldás. c) A logaritmus értelmezése szerint: és Az első egyenlet megoldásai azon valós számok, amelyekre 3 vagy a másodiké: A két egyenlőtlenség megoldáshalmazának nincs közös eleme, így az egyenletnek nincs megoldása. d) A jobb oldali kifejezés az értelezési tartományán csak nem negatív lehet, így. Ez csak k k esetén teljesül De mivel cos k 0 minden k esetén és nullára a logaritmus nincs értelmezve, így nincs olyan valós szám, amelyre az egyenlet értelmezve lenne, így nincs megoldása. Összesen: pont sin 0

2 ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: 8 0 A logaritmus értelmezése alapján: 8 0 ( vagy ) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. azaz ha vagy. eset:. eset: vagy 3 Az nem eleme az értelmezési tartománynak. Az értelmezési tartomány 3 és voltak. M 3 elemei a megoldások, mert az átalakítások ekvivalensek 3; 3 Ha akkor a megoldandó egyenlet:. eset: (, Csak az. eset: ( Csak az 0, akkor az egyenlet 0-ra redukált alakja ). Az egyenlet gyökei: megoldása az egyenletnek az 0, 0). Az egyenlet gyökei: 3 megoldása az egyenletnek az 3 ; 0 0, ; ha 0 feltétel miatt ; 3 0 feltétel miatt 3) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! = 3 Összesen: 0 pont ( pont) A logaritmus azonosságait és a 0-es alapú logaritmus szigorú monotonitását másodfokú egyenlet felhasználva, megoldandó a Ezt megoldva: 3, 3 3 Mivel a bal oldal értelmezése alapján 3 ( pont) 3, ezért nem gyöke az 3 egyenletnek Az 3 kielégíti az eredeti egyenletet.

3 A jobb oldalon alkalmazva a hatványozás azonosságait, megoldandó a egyenlet ( pont) Ebből rendezéssel kapjuk, hogy 3 ( pont) Innen log A kapott gyök kielégíti az eredeti egyenletet Összesen: pont 4) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 0 4 log 9 sin 5) sin 0 log 9 9 Így az Ellenőrzés: jó megoldás nem jó megoldás egyenletet kell megoldani, ebből 4 ( pont) Összesen: pont Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! y (9 pont) y. eset: ennek valós gyökei és 3 Ezek megoldásai az eredeti egyenletnek. eset: 0, ennek nincs valós megoldása Tehát az egyenlet megoldásai a 3 és a. 0,

4 0 és y a logaritmus értelmezése miatt A logaritmus azonosságait használva y y Az függvény szigorú monoton nő y y ( pont) A második egyenletből kifejezzük -et, behelyettesítve az elsőbe kapjuk, hogy Ennek valós gyökei és 0,75 Az y miatt 0,75 nem eleme az értelmezési tartománynak 4y y 0 Ezért csak y és így egyenletnek lehetséges. A ) Oldja meg az alábbi egyenleteket!, ahol és Az log 0,5 0,5 3 7 log log log 0,5 0,5 3 alkalmazva, az 0,5 0,5 0, ahol és ; számpár megoldása az Összesen: 4 pont (7 pont) egyenletben a hatványozás megfelelő azonosságát log0,5 3 Innen a logaritmus definíciója szerint Ebből egyenlethez jutunk. 0,5 3 egyenlet adódik ( pont) log Mivel log log Így a megoldandó egyenlet: 7 log log Mindkét oldalt log log 7log 0 -szel szorozva, és az egyenletet nullára redukálva: log log A log -re másodfokú egyenlet megoldásai: vagy 4 vagy Mivel, a 4 nem megoldás A megadott halmazon az egyenleteknek egy megoldása van, a. Összesen: pont

5 7) Oldja meg a következő egyenletrendszert, ha és y valós számok, továbbá és 0, y 0, y. log y log y sin 3y sin 4 y Áttérve azonos alapú logaritmusra: log y log y (3 pont) ( pont) Mivel egy pozitív számnak és a szám reciprokának összege pontosan akkor, ha a szám ezért log azaz y y Behelyettesítve a második egyenletbe: sin5, azaz k Innen 5 vagy 5 5 l ahol k és l A megoldások így: y k k és y l l 5 A kapott értékek kielégítik az egyenletet sin Összesen: 3 pont 8) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 3 3 log y log y y 9 cos y cos y 0 ( pont) A logaritmus miatt és y -től különböző pozitív számok lehetnek Az első egyenlet bal oldalát alakítsuk át a logaritmus azonosságát használva: 3 3 log y log y log y 3log 3 3 log y log (3 pont) y y Így az első egyenlet: log ylog A log y és a log y y egymás reciprokai, és összegük k ( pont) Ez pontosan akkor teljesül, ha mindkettő -gyel egyenlő, amiből azt kapjuk, hogy y ( pont) Beírva a második egyenletbe: cos cos0 0, ahonnan cos ( pont) Ez akkor és csak akkor teljesül, ha, azaz k, ahol k (3 pont) Összevetve az y, 0 feltétellel, y k, k ( pont)

6 Összesen: pont 9) Az alábbi három kifejezés mindegyike esetén adja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a kifejezés értelmezhető! c) cos log log cos log cos (3 pont) A négyzetgyök miatt A logaritmus miatt 0 A keresett halmaz: A logaritmus miatt cos 0 log cos 0 0 0;+ A négyzetgyök miatt azaz cos A koszinusz függvény értékkészlete miatt cos Az értelmezési tartomány tehát k, k c) A logaritmus alapjai miatt 0 és A logaritmus miatt Tehát cos 0 k ahol k cos 0 Az értelmezési tartomány tehát \ ahol k k Összesen: 3 pont 0) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! ( )( 4) (7 pont) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete miatt: ;0 Négyzetre emelés után: Az egyenlet gyökei: és. Közülük csak a eleme a fenti intervallumnak (és az átalakítások ezen az intervallumon ekvivalensek), ezért ez az egyetlen megoldás. (A grafikus módszerrel való megoldásért szintén maimális pontszám jár) Közös alapra hozva a két oldalt: 0 ( )( 4)

7 Az eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt az alapok elhagyhatóak: 4 Ebből 4 Ebből Ellenőrzés. 3 4 vagy ( pont). vagy 3 5. Összesen: pont ) Jelölje H a 5, 3 egyenlőtlenség pozitív egész megoldásainak halmazát. Jelölje továbbá B azon pozitív egész b számok halmazát, log b amelyekre a kifejezés értéke is pozitív egész szám. Elemeinek felsorolásával adja meg a H, a B, a H B és a halmazt! ( pont) ) B \ H A gyökös kifejezés értelmezési tartomány vizsgálata alapján: Az egyenlőtlenség elvégzése során: 5, 9 3,8 5, Tehát azok a pozitív számok elemei H halmaznak, melyek nagyobbak és 5,-nél kisebbek: H ;;3; 4;5 log b k b k. 3,8 -nál Ha, akkor, ami 4. ( pont) A k kitevő pozitív egész, ezért a b olyan pozitív egész szám lehet, melynek valamely pozitív egész kitevős hatványa 4-gyel egyenlő: ( pont) B ; 4; 8; Ezért H B ; 4 B\ H 8;4 Igazolja, hogy a, a 0 és a 3 is gyöke a Összesen: pont egyenletnek, és az egyenletnek ezeken kívül más valós gyöke nincs! Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 3 ( pont) c) Mutassa meg, hogy a egyenletnek nincs valós gyöke! cos 5cos 3cos

8 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla! Az 0 valóban gyök. A többi gyököt a megmaradt másodfokú egyenletből kapjuk meg: A két gyök: és 3, azaz a megadott három szám valóban gyöke az eredeti egyenletnek. Másodfokú egyenletnek legfeljebb két különböző valós gyöke lehet, ezért több gyök nincsen. Vezessünk be új ismeretlent:! A 3 y 5y 3y 0 feladatrészből tudhatunk is: Mivel a cos megoldás. A cos 0 A cos y cos egyenletnek keressük a valós gyökeit, melyeket az y 0, y, y3 3. kifejezés értéke - és között mozoghat csak, ezért a 3 nem jó egyenlet megoldása: egyenlet megoldásai: c) Az egyenlet bal oldalán kiemelhető: k,3, ahol k m 3, ahol m ( pont) ( pont). Az eponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, így nem lehetséges. Másodfokúra visszavezethető a megmaradt egyenlet: vagy.. Az eponenciális függvény már említett értékkészlete miatt ezek nem valós gyökei, így valóban nincs megoldása az egyenletnek. 3) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! sin sin cos Az egyenlet jobb oldalát azonosság alkalmazásával alakítva: sin sin sin Összesen: pont (7 pont). sin sin 0, Innen sin, k, ahol k. Ellenőrzés

9 A logaritmus függvény értelmezése miatt Mivel , ezért az egyenlet alakban is írható. 5 -re nézve másodfokú egyenlet megoldásai: Az és. Mivel, ezért nem lehetséges. Ha 5 5, akkor 0. Ellenőrzés Összesen: pont 4) Egy kereskedőcég bevételei két forrásból származnak: bolti árusításból és internetes eladásból. Ebben az évben az internetes árbevétel 70%-a volt a bolti árbevételnek. A cég vezetői arra számítanak, hogy a következő években az internetes eladásokból származó árbevétel évente az előző évi internetes árbevétel 4%-ával nő, a bolti eladásokból származó árbevétel viszont évente az előző évi bolti árbevétel %-ával csökken. Számítsa ki, hány év múlva lesz a két forrásból származó árbevétel egyenlő! (8 pont) A cég ügyfélszoálatának hosszú időszakra vonatkozó adataiból az derült ki, hogy átlagosan minden nyolcvanadik vásárló tér vissza később valamilyen minőségi kifogással. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy 00 vásárló közül legfeljebb kettőnek lesz később minőségi kifogása! ( pont) Ha a bolti eladásokból származó idei árbevétel b (Ft), akkor az internetes eladásokból származó árbevétel jelenleg 0,7b Ha a bevételek egyenlősége (Ft). b 0 év múlva következik de, akkor,04 0,7 0,98 b, amiből (a pozitív b -vel való osztás után),04 0,7 0,98. Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát véve és a logaritmus azonosságait felhasználva:,04 0,7 0,98 ( pont) 0,7 Ebből 0,98,04 A két forrásból származó árbevétel év múlva lesz (körülbelül) egyenlő. Ellenőrzés

10 Annak a valószínűsége, hogy egy vevő reklamál: annak a valószínűsége, hogy nem reklamál: P 79 legfeljebb reklamál Psenki nem reklamál P reklamál P reklamál 80, , 843 0, , 55 0, 87 (3 pont) Összesen: 4 pont