11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:"

Átírás

1 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket alkalmazva: a 3 = 15 és a 8 = 30. ELTE 013. szeptember (matematika tanárszak) Használjuk fel a számtani sorozat tagjai közötti összefüggést: a n = a 1 + (n 1) d és az első n tag összegére vonatkozó összefüggést: A második egyenletből vonjuk ki az elsőt: a 3 = a 1 + d = 15 a 8 = a 1 + 7d = 30 5d = 15 d = 3 S n = a 1+a n Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a 1 -t. a = 15 a 1 = 9. Az összegképletbe behelyettesítünk: (n 1) 3 S n = n 3n = n 58 = 3n + 15n 0 = 3n + 15n 58 0 = n + 5n 176 A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével megkapjuk az n lehetséges értékeit: n 1, = 5 ± = 5 ± 7 n 1 = 11 és n = 16. Ez nem lehet megoldás, mert n N +. n. Tehát a sorozat első 11 tagjának összege 6. Ellenőrzés: S 11 = (11 1) 3 11 = 11 = 6. 1

2 . Mennyi az alábbi összeg értéke? ( ) + ( ) + ( ) ( ) (A) (B) (C) 3 ( ) (D) 3 ( ) (E) BME 015. december 1. (1A) Vegyük észre, hogy ez egy mértani sorozat egymást követő 10 tagjának összege, ahol a 1 = ( 1 3 ) 11 q = 1 3 és n = 10. Mértani sorozat első n tagjának összege: S n = a 1 q n 1 q 1. Behelyettesítve: Tehát a jó válasz a (B). 10 S 10 = ( ) (1 3 ) 1 ( 1 1 = 3 ) ( ) = = = 3 1 = (1 3 1 ) = 3(1 310 ) 3 1 = Három pozitív egész szám csökkenő számtani sorozatot alkot. Ha a középső számot 3-mal csökkentjük, akkor 0,5 hányadosú csökkenő mértani sorozatot kapunk. Mennyi az eredeti három szám közül a középső? (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 0 (E) Első megoldás: Érdemes a számtani sorozat három egymást követő tagját felírni úgy, hogy: BME 013. május 10. (16B) a 1 = a d a = a a 3 = a + d, ahol d < 0 Ekkor b 1 = a d b = a 3 b 3 = a + d, mértani sorozat, ahol q=0,5. A mértani sorozat definíciója alapján: Rendezzük át az egyenleteket: I. a 3 a d = 0,5; II. a+d a 3 = 0,5.

3 I. a 3 a d = 0,5 II. a 6 = d d = 6 a a + d = 0,5 a + d = 3 a 3 d = 6 a-t behelyettesítjük a II. egyenletbe: a + (6 a) = 3 Tehát a = 15 és d = 9. A számtani sorozat tagjai: ; 15; 6. a + 1 a = 3 a = 15 a = 15 A mértani sorozat tagjai: ; 1; 6; ahol q=0,5. Második megoldás: A mértani sorozat tagjait írjuk fel: b 1 = a b = 0,5a b 3 = 0,5a. Ekkor a számtani sorozat tagjai: a 1 = a a = 0,5a + 3 a 3 = 0,5a. A számtani sorozat tulajdonságát alkalmazzuk: a n 1+a n+1 = a n. a + 0,5a 0,5a + 3 = a + 6 = a + 0,5a 6 = 0,5a a = Tehát a számtani sorozat második tagja: a = 0,5a + 3 = 15 Tehát a jó válasz a (C).. Kovács úr a fia 6. születésnapján Ft-ot helyezett el a bankba évi 5,5%-os kamatra. Ezt követően a fiú minden születésnapján újabb Ft-ot tett az összeghez. Mennyi pénz lesz a számlájukon a fiú 18. születésnapján? (A számlavezetési költségektől eltekintünk.) 3 ELTE 015.szeptember, (matematika BSc) Jelölje a Ft induló összeget A, a Ft-ot évenkénti befizetett összeget pedig B. A fiú 1 év múlva lesz 18 éves. Felírjuk évenként a bankban lévő pénzösszeget: 1 év után: A 1,055 + B év után: (A 1,055 + B) 1,055 + B = A 1,055 + B 1,055 + B 3 év után: (A 1,055 + B 1,055 + B) 1,055 + B = A 1, B 1,055 + B 1,055 + B év után:a 1,055 + B 1, B 1,055 + B 1,055 + B. Ezek alapján 1 év után a felvehető pénz a bankban: A 1, B 1, B 1, B 1, B 1,055 + B 1,055 + B

4 Ez egy 13 tagú összeg, ahol a B-t tartalmazó tagok egy mértani sorozat összegét alkotják, a 1 = B q = 1,055 és n = 1. Tehát az összeg: A 1, B(1, , , ) = A 1, B 1, ,055 1 Visszahelyettesítve a konkrét értékeket a következő összeget kapjuk: , , , , Tehát Kovács úr fia a 18. születésnapján Ft-ot vehet fel.

5 II. Ismételjünk! 1. Sorozat fogalma 1.oldal. Nevezetes sorozatok (számtani, mértani) 1-.oldal 3. Kamatszámítás, törlesztőrészletek kiszámítása 6.oldal III. Gyakorló feladatok 1. Számítsuk ki a következő sorozatok hatodik és huszonegyedik tagját! a) a n = n 3 15n + 3 b) b n = 3n +. Hányadik tagja a sorozatnak a 30? a) a n = n 11n + 18 b) b n = 10n+0 3n 6 3. Ha a n = n n!, akkor a n+1 a n =? (A) 1 (B) (C) n + 1 (D) n n + 1 (E) ezek egyike sem BME 011. május 6. (16A). Egy sorozatot a következő képlettel adunk meg: a n = log ( ) n, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. a) Előfordul-e a sorozat tagjai között az 1, a 16 és a 100? Ha igen, a sorozat hányadik tagja? b) Határozza meg a sorozat első n tagjának összegét! 5. Egy számtani sorozat első tagja 10, a differenciája 5. Mennyi a sorozat 33. tagja, és mennyi az első 11 tag összege? 6. Egy egész számokból álló számtani sorozat első öt tagjának összege 65, szorzata Melyik ez a sorozat? 7. Mekkora a 016-nál kisebb, hárommal osztva kettő maradékot adó pozitív egész számok összege? 8. Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 0 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon 30 métert, az azutánin 0 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon 10 méterrel többet, mint az azt megelőző napon. 5

6 c) Hány méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon? d) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában 7,1 km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? e) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon? f) A 1-edik napon kétszer annyian dolgoztak, mint az első napon. Igaz-e az a feltételezés, hogy a naponta elkészült út hossza egyenesen arányos a munkások létszámával? Középszintű érettségi vizsga 006. október Egy számtani sorozat első húsz tagjának az összege 5, az első negyven tag összege pedig 90. Határozza meg a sorozat első tagját és differenciáját! Hány 100-nál kisebb tagja van a sorozatnak? ELTE 007. szeptember (földtudományi szak BSc) 10. Egy mértani sorozat első tagja 3, a hányadosa. Mennyi a sorozat ötödik és tizedik tagja? Határozza meg az első tizenhárom tag összegét! 11. Melyik az a szám, amelyet 30-hoz, 50-hez és a 80-hoz hozzáadva három olyan számot kapunk, amelyek mértani sorozatot alkotnak? ELTE 010. szeptember (földtudományi szak BSc) 1. Egy mértani sorozat tagjaira teljesülnek a következő összefüggések. Számítsuk ki a sorozat első tagját és a hányadosát! a 1 + a + a 3 = 57 és a 1 a 3 = Egy mértani sorozat első három tagjának összege 91. A hatodik, hetedik és a nyolcadik tag összege 91. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? Emelt szintű érettségi vizsga 010. május. 1. Egy mértani sorozat első eleme 3, n -edik eleme 13. Az első n elem reciprok értékeinek összege 8. Számítsa ki a mértani sorozat első n tagjának összegét! ELTE 007. Matematika szintfelmérő 15. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 6. Ha az első taghoz 5-öt, a másodikhoz -t, a harmadikhoz 1-et adunk, akkor egy mértani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Melyik ez a mértani sorozat? 16. Egy populációban a baktériumok száma mértani sorozat szerint növekszik. 1 órakor 1000, 3 órakor 000 baktérium van a populációban. Mennyi lesz a baktériumok száma 7 órakor? 7 (A) (B) (C) 6000 (D) 1000 k 6 1 (E) 1000 k k=1 k=1 BME 011. december. (16A) 17. Egy új autó ára Ft. Az elhasználódás miatt évenként 15% os értékcsökkenést figyelembe véve, mennyit ér az autó 5 év múlva? Hány év múlva csökken az autó értéke a negyedére? 6

7 18. Kiss Béla örökölt Ft-ot, amit január elején helyez el a bankban, ahol évi 5% os kamatot fizetnek. Úgy tervezi, hogy 0 év alatt fogja felhasználni az örökségét, mégpedig úgy, hogy minden év végén azonos összeget fog kivenni a bankból. Mekkora összeget vehet fel évente, ha 0 év múlva nem marad pénze a bankban? 7

8 IV. Megoldások A megoldások során alkalmazzuk a sorozatokra vonatkozó összefüggéseket: a sorozat tagjai közötti kapcsolat az első n tag összege számtani sorozat a n = a 1 + (n 1) d a n = a n 1 + a n+1 S n = a 1 + a n n = = a 1 + (n 1) d n mértani sorozat a n = a 1 q n 1 (a n ) = a n 1 a n+1 n a 1, ha q = 1 S n = { a 1 qn 1, q 1 ha q 1 1. Számítsuk ki a következő sorozatok hatodik és huszonegyedik tagját! a) a n = n 3 15n + 3 b) b n = 3n + c) a 6 = = 19; a 1 = = 899 d) b 6 = = ; b 1 = = 67. Hányadik tagja a sorozatnak a 30? a) a n = n 11n + 18 b) b n = 10n+0 3n 6 a) a n = n 11n + 18 = 30 n 11n 1 = 0 n 1, = 11 ± n 1 = 1 = 11 ± 13 ; Tehát az a n sorozat 1. tagja a 30. Ellenőrzés: a 1 = = 30 b) b n = 10n+0 3n 6 = 30 10n + 0 = 30 (3n 6) 10n + 0 = 90n = 80n n = 10 n = 1, ez nem megoldás, mert n csak pozitív természetes szám lehet. 8

9 Tehát az b n sorozat 10. tagja a 30. Ellenőrzés: b 10 = = 10 = Ha a n = n n!, akkor a n+1 a n =? (A) 1 (B) (C) n + 1 (D) n n + 1 (E) ezek egyike sem BME 011. május 6. (16A) a n = n n! n+1 a n+1 = (n + 1)! a n+1 a n = n+1 (n + 1)! n n! Egyszerűsítsünk n és n!-al: Tehát a jó válasz a (C). n+1 (n + 1)! n = n+1 (n + 1)! n! n = n (n + 1) n! n! n n! n (n + 1) n! n! n = (n + 1). Egy sorozatot a következő képlettel adunk meg: a n = log ( ) n, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. a) Előfordul-e a sorozat tagjai között az 1, a 16 és a 100? Ha igen, a sorozat hányadik tagja? b) Határozza meg a sorozat első n tagjának az összegét! a) Alakítsuk át az a n sorozatot: a n = log ( ) n = log () n = n a logaritmus definíciója miatt. a n = n a n = n = 1 n = a n = n = 16 n = 6 a n = n = 100 n = 00 Tehát a sorozat. tagja 1, a 6. tagja 16 és a 00. tagja a 100. b) Írjuk fel az a n = n sorozat első pár tagját: ; ; 3 ; sorozat, melynek az első tagja és a differenciája is 1. 1 látszik, hogy ez egy számtani 9

10 a n = n a 1 = 1 d = 1 Az első n tag összegét a számtani sorozat összegképletébe behelyettesítve kapjuk: S n = 1 + n n = n + 1 n (n + 1) n = Egy számtani sorozat első tagja 10, a differenciája 5. Mennyi a sorozat 33. tagja, és mennyi az első 11 tag összege? a 33 = a d = ( 5 ) = 10 0 = 30 S 11 = a 1 + a = ( 5 ) 11 = = Egy egész számokból álló számtani sorozat első öt tagjának összege 65, szorzata Melyik ez a sorozat? Ha egy számtani sorozat páratlan számú szomszédos (vagy a középsőre szimmetrikus sorszámú) tagjainak összege adott, akkor érdemes a középső tagot egy betűvel jelölni: a 3 = a. A feladat feltétele szerint a egész szám, ezért d is egész szám. a 1 = a d; a = a d; a 3 = a; a = a + d; a 5 = a + d Írjuk fel az első 5 tag összegét és szorzatát: I. (a d) + (a d) + a + (a + d) + (a + d) = 65 II. (a d) (a d) a (a + d) (a + d) = Az I.-ből: a = 13. Ezt helyettesítsük be a másodikba: (13 d) (13 d) 13 (13 + d) (13 + d) = Vegyük észre a nevezetes azonosságokat: (13 d) (13 + d) 13 (13 d) (13 + d) = (169 d ) 13 (169 d ) = d 676d + d = 9936 d 85d = 0 Egy másodfokúra visszavezethető, negyedfokú egyenletet kaptunk. Vezessünk be egy új ismeretlent: x d. Ekkor az egyenletünk: x 85x = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével kapjuk, hogy x 1 = 5; x = 186,5. Ez utóbbi nem megoldás, mivel nem egész szám négyzete. x 1 = 5 d = 5, ahonnan d 1 = 5; d = 5 10

11 Tehát a keresett sorozatok: ha d 1 = 5, akkor a 1 = 3, ekkor a sorozat: 3; 8; 13; 18; 3; ha d = 5, akkor a 1 = 3, ekkor a sorozat: 3; 18; 13; 8; 3. Mindkét sorozat eleget tesz a feltételeknek. 7. Mekkora a 016-nál kisebb, hárommal osztva kettő maradékot adó pozitív egész számok összege? A legkisebb, a feltételeknek megfelelő szám a, a legnagyobb a 015. Ez egy olyan számtani sorozat (; 5; 8; ), melynek az első tagja a, a differenciája 3 és az n. tagja 015. Tehát: a 1 = d = 3 a n = 015 Az első n tag összege: S n = a 1+a n n. Az n értékét kiszámíthatjuk az n. tagból: Tehát: S n = = a n = a 1 + (n 1)d = 015 = + 3(n 1) n = 67 A 016-nál kisebb, hárommal osztva kettő maradékot adó pozitív egész számok összege: Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 0 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon 30 métert, az azutánin 0 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon 10 méterrel többet, mint az azt megelőző napon. a) Hány méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon? b) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában 7,1 km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? c) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon? d) A 1-edik napon kétszer annyian dolgoztak, mint az első napon. Igaz-e az a feltételezés, hogy a naponta elkészült út hossza egyenesen arányos a munkások létszámával? a) Egy számtani sorozatról van szó, ahol a 1 = 0; d = 10 a 11 = a d = = méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon. b) Keressük azt az n értéket, ahol S n 7100; (7,1 km = 7100 m) Középszintű érettségi vizsga 006. október 5. Ez egy szigorúan monoton növekvő sorozat, ezért elég megvizsgálni, hogy hol éri el a sorozat összege a 7100-et. S n = a 1 + (n 1)d n = 7100; n N + 11

12 0 + 10(n 1) n = 7100 ( + n 1) n = 10 n + 3n 10 = 0 A másodfokú kifejezésnek két zérushelye van, amik közül csak az egyik pozitív n 1,88. Tehát a. napon fejezik be a munkát. c) Az első 1 nap alatt 670 métert aszfaltoznak le, mert S 1 = a 1+0d 1 = = 670; = 380, tehát az utolsó napra 380 méter maradt. d) Egyenes arányosság esetén 0 métert kellene aszfaltozni a 1. napon, de a 1 = = 0 Tehát nem teljesül az egyenes arányosság feltétele. 9. Egy számtani sorozat első húsz tagjának az összege 5, az első negyven tag összege pedig 90. Határozza meg a sorozat első tagját és differenciáját! Hány 100-nál kisebb tagja van a sorozatnak? ELTE 007.szeptember, (földtudományi szak BSc) S 0 = a d 0 = 5 a d =,5 S 0 = a d 0 = 90 a d = 1,5 Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt: innen a sorozat differenciája: d = 0,5. 0d = 10, A differencia értéket visszahelyettesítve megkapjuk az első tagot: a 1 =,5. Vizsgáljuk meg hány tag kisebb 100-nál. a n < 100 a 1 + (n 1)d =,5 + 0,5(n 1) < 100 0,5n 3 < 100 n < 06, a 06. tag lenne pontosan 100, tehát 05 tagja van a sorozatnak, amely kisebb mint Egy mértani sorozat első tagja 3, a hányadosa. Mennyi a sorozat ötödik és tizedik tagja? Határozza meg az első tizenhárom tag összegét! a 1 = 3 q = a n = a 1 q n 1 S n = a 1 q n 1 q 1 a 5 = a 1 q = 3 ( ) = 8 a 10 = a 1 q 9 = 3 ( ) 9 = 1536 (q 1) 1

13 Tehát az első tizenhárom tag összege: q 13 1 S 13 = a 1 q 1 = 3 ( )13 1 = Melyik az a szám, amelyet 30-hoz, 50-hez és a 80-hoz hozzáadva három olyan számot kapunk, amelyek mértani sorozatot alkotnak? Legyen: a 1 = 30 + x; a = 50 + x; a 3 = 80 + x A mértani sorozat tulajdonságát alkalmazzuk: Tehát a mértani sorozat: 0; 60; 90. Ellenőrzés: 60 0 = 3 ; (50 + x) = (30 + x)(80 + x) x + x = x + x 100 = 10x x = = 3 ; q = 3. ELTE 010.szeptember, (földtudományi szak BSc) 1. Egy mértani sorozat tagjaira teljesülnek a következő összefüggések. Számítsuk ki a sorozat első tagját és a hányadosát! a 1 + a + a 3 = 57 és a 1 a 3 = 15 I. a 1 + a 1 q + a 1 q = 57 II. a 1 a 1 q = 15 a 1 (1 + q + q ) = 57 a 1 (1 q ) = 15 Fejezzük ki az elsőből az a 1 -t és helyettesítsük be a másodikba: a 1 = q + q 1 + q + q q + q (1 q ) = (1 q ) = 15 (1 + q + q ) 57 57q = q + 15q 0 = 7q + 15q 0 = q + 5q 1 A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével határozzuk meg a gyököket: q 1, = 5 ± = 5 ± 37 8 = q 1 = 3 ; q = 7 8 Ha q 1 = ; akkor a 3 1 = 57 = = ( 3 ) 9 13

14 Ha q 1 = 7 8 ; akkor a 1 = 57 = = ( 7 8 ) Egy mértani sorozat első három tagjának összege 91. A hatodik, hetedik és a nyolcadik tag összege 91. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? Emelt szintű érettségi vizsga 010. május. I. a 1 + a + a 3 = 91 II. a 6 + a 7 + a 8 = 91 a 1 + a 1 q + a 1 q = 91 a 1 q 5 + a 1 q 6 + a 1 q 7 = 91 a 1 (1 + q + q ) = 91 a 1 q 5 (1 + q + q ) = 91 Látszik, hogy a második egyenlet bal oldala az első egyenlet bal oldalának a q 5 szerese. Tehát: q 5 = 3 q = Az első egyenletbe behelyettesítve: a 1 (1 + + ) = 7a 1 = 91 a 1 = 13. A mértani sorozat első tagja és hányadosa: a 1 = 13 és q =. Ellenőrzés: a sorozat tagjai: 13; 6; 5; 10; 08; 16; 83; = 91; = 91. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? Osszuk el az egyenlőtlenséget 13-mal: a n = 13 n n 1 < n 1 < es alapú logaritmust véve: ( A tízes alapú logaritmus függvény szigorúan monoton nő) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait: lg lg n 1 < lg lg10 1 lg13 (n 1)lg < lg10 13 lg13 1 lg13 (n 1) lg < 13 lg13 1 lg13 13 lg13 n 1 < lg lg 1 lg13 13 lg n < + 1 lg lg 37,16 n < 0,8 Tehát a sorozat 37. tagja még 1-jegyű, a 1. tagja meg már 1-jegyű. Ezek szerint 3db 13-jegyű tagja van a sorozatnak:a és 0. tag. 1

15 a 38 1, ; a 39 3, ; a 0 7, ; Ellenőrzés: a 37 8, ; a 1 1, Egy mértani sorozat első tagja 3, n -edik tagja 13. Az első n tag reciprok értékeinek összege 8. Számítsa ki a mértani sorozat első n tagjának összegét! A feltételek szerint: ELTE 007. Matematika szintfelmérő a 1 = 3; a n = 3q n 1 = 13 és 1 a a + 1 a a n = 8 Hozzunk közös nevezőre és szorozzunk be 3-mal: q + 1 3q q n 1 = 8 q n 1 + q n + + q + 1 q n 1 =. A számláló háromszorosa pontosan az első n tag összege: (S n = 3 + 3q + + 3q n 1 ) S n = 3(q n 1 + q n + q + 1) = 3 q n 1, mivel q n 1 = 13 3 Tehát az első n tag összege 31. S n = = Egy számtani sorozat első három tagjának összege 6. Ha az első taghoz 5-öt, a másodikhoz -t, a harmadikhoz 1-et adunk, akkor egy mértani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Melyik ez a mértani sorozat? A számtani sorozat feltételéből : a =, így a tagok: d; ; + d A mértani sorozat: 7 d; ; 3 + d A mértani sorozat tulajdonságát felhasználva: = (7 d)(3 + d) 16 = d + d + 1 d d 5 = 0. Az egyenlet megoldásai: d 1 = 5 d = 1 Ha d 1 = 5 ; akkor a számtani sorozat: 3; ; 7; a mértani sorozat tagjai: ; ; 8 q 1 =. Ha d = 1; akkor a számtani sorozat: 3; ; 1; 15

16 a mértani sorozat tagjai: 8; ; q = 1. Mindkét sorozat kielégíti a feltételeket. 16. Egy populációban a baktériumok száma mértani sorozat szerint növekszik. 1 órakor 1000, 3 órakor 000 baktérium van a populációban. Mennyi lesz a baktériumok száma 7 órakor? 7 (A) (B) (C) 6000 (D) 1000 k (E) 1000 k 1 k=1 1 k=1 BME 011. december. (16A) A mértani sorozat tagjai legyenek az óránkénti baktériumok száma: a 1 = 1000; a 3 = 000 a 7 =? a 3 = a 1 q ; 000 = 1000q q =, amiből: q 1 = ; (q = ) ( q = -nek nincs értelme ebben a feladatban) Ha q 1 =, akkor a 7 = = Tehát a jó válasz a (C). 17. Egy új autó ára Ft. Az elhasználódás miatt évenként 15% os értékcsökkenést figyelembe véve, mennyit ér az autó 5 év múlva? Hány év múlva csökken az autó értéke a negyedére? 1 év után az autó értéke: (1 15 ) = ,85 (Ft) 100 év után: ,85 5 év után: ,85 5 = ,9. Az autó értéke öt év múlva: Ft. Hány év múlva csökken az autó értéke a negyedére? Legyen n az évek száma. Az n év múlva az autó értéke: ,85 n Ekkor: ,85 n = rel lehet egyszerűsíteni. (Az évek száma nem függ az autó értékétől) Vegyük mindkét oldal logaritmusát: 0,85 n = 1 16

17 lg0,85 n = lg 1 nlg0,85 = lg 1 n = lg 1 lg0,85 8,53 Tehát 9 év múlva lesz az autó értéke a negyede az eredeti árnak. 18. Kiss Béla örökölt Ft-ot, amit január elején helyez el a bankban, ahol évi 5% os kamatot fizetnek. Úgy tervezi, hogy 0 év alatt fogja felhasználni az örökségét, mégpedig úgy, hogy minden év végén azonos összeget fog kivenni a bankból. Mekkora összeget vehet fel évente, ha 0 év múlva nem marad pénze a bankban? Jelölje A az örökölt összeget, és B az évenkénti kivett összeget. Felírjuk évenként a bankban lévő pénzösszeget: 1 év után: A 1,05 B év után: (A 1,05 B) 1,05 B = A 1,05 B 1,05 B 3 év után: (A 1,05 B 1,05 B) 1,05 B = A 1,05 3 B 1,05 B 1,05 B év után: A 1,05 B 1,05 3 B 1,05 B 1,05 B 0 év után: A 1,05 0 B 1,05 19 B 1,05 18 B 1,05 B Ekkor a pénze elfogy: A 1,05 0 B 1,05 19 B 1,05 18 B 1,05 B = 0 Átrendezve az egyenletet: A 1,05 0 = B(1, , ,05 + 1) A zárójelen belül egy 0 tagú mértani sorozat összege van, ahol a 1 = 1 q = 1,05. A mértani sorozat összegképletét alkalmazva kapjuk: A 1,05 0 = B 1, ,05 1 B = A 1,05 0 1,05 1 1, = ,05 1 1,050 1, = 8058,7. Tehát évente Ft-ot vehet fel a bankból. 17

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok

Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok SOROZATOK Alapok Hogyan folytatnád? Gellért-hegy, Kékes. /Kilimandzsáró,, Mount Everest,Mount Blanc/ Háromszögszámok. 1, 1, 2, 3, 5,. 1,4,7,10,.. 1, 2,4,8,16,32,.(Sakktábla és búza története) 1, ½,1/3,

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Add meg az alábbi sorozatok következő három tagját! a) ; 7; ; b) 2; 5; 2; c) 25; 2; ; 2. Egészítsd ki a következő sorozatokat! a) 7; ; 9; ; b) 8; ; ; 9; c) ; ; ;

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217. Megoldások 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát: a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 Ezek alapján

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Matematika szintfelmérő szeptember

Matematika szintfelmérő szeptember Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE

JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE JAVÍTÓ VIZSGA 12. FE TEMATIKA: Koordináta-geometria (vektorok a koordináta-rendszerben, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, kör egyenlete, kör és egyenes metszéspontjai) Sorozatok (számtani-

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint)

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) (KSZÉV Minta (2) 2004.05/II/16) a) Egy számtani sorozat első tagja 9, különbsége pedig 4. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!

Részletesebben

azaz együtthatója. Összességében tehát a feladat megoldása:. azaz együtthatója.

azaz együtthatója. Összességében tehát a feladat megoldása:. azaz együtthatója. A BINOMIÁLIS TÉTEL 1 Feladat Mennyi -nél az -es tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Így megállapíthatjuk hogy és esetén kapjuk meg az együtthatóját a fenti képlet segítségével továbbá

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

5. feladatsor megoldása

5. feladatsor megoldása megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második tag a 2, a harmadik tag a 3,...

SOROZATOK. A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második tag a 2, a harmadik tag a 3,... SOROZATOK Definíció: A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete számhalmaz. Jelölése: (a n ) A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Egy sorozat első tagja ( 5), a második tagja. Minden további tag a közvetlenül előtte álló két tag összegével egyenlő. Mennyi a sorozat első 7 tagjának összege? A szöveg alapján írjuk fel

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =

Részletesebben

Számtani sorozatok. . Mekkora a sorozat negyedik eleme? (2 pont)

Számtani sorozatok. . Mekkora a sorozat negyedik eleme? (2 pont) Számtani sorozatok 2005/05.10/14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 25 863.

Részletesebben

. feladatsor 8. Hányféleképpen lehet sorba rendezni a METALLICA szó betűit?...( pont) 9. Tamás elhatározta, hogy fából kifaragja a Kheopsz piramis kic

. feladatsor 8. Hányféleképpen lehet sorba rendezni a METALLICA szó betűit?...( pont) 9. Tamás elhatározta, hogy fából kifaragja a Kheopsz piramis kic . feladatsor. Feladatsor I. rész. Adja meg a következő halmazok elemeit, ha A= { e dit}. Egyszerűsítse a következő törtet: (! ) ; ; ;, B e; mil ; ;! = { } A B; B/ A...( pont) 4 4 + 4... (3 pont) 3. Hány

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK

SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK Számtani sorozatok 1. Egy vetélkedın 15 000 Ft jutalmat osztottak szét. Az elsı helyezett 3000 Ft-ot kapott, a továbbiak sorra 200 Ft-tal kevesebbet, mint az elıttük lévı.

Részletesebben

Számokkal kapcsolatos feladatok.

Számokkal kapcsolatos feladatok. Számokkal kapcsolatos feladatok. 1. Egy tört számlálója -tel kisebb, mint a nevezője. Ha a tört számlálójához 17-et, a nevezőjéhez -t adunk, akkor a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? A szám: 17

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. október 5. EMELT SZINT 1) Egy háromszög két csúcsa A B I. 8; ; 1;5 a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: x y 6x 4y 1 0. a) Adja meg a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY

KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY Név:.Iskola: KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY 2012. november 12. 12. évfolyam I. forduló Pótlapok száma db Matematika 12. évfolyam 1. forduló 1. Az alábbiakban számtani sorozatokat adtunk

Részletesebben

SOROZATOK- MÉRTANI SOROZAT

SOROZATOK- MÉRTANI SOROZAT SOROZATOK- MÉRTANI SOROZAT Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 1 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 2005. május 10. 8. feladat (2 pont) Egy mértani sorozat első tagja 3, a hányadosa 2. Adja

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. KÖZÉPSZINT 1) Adott az A és B halmaz: Aa; b; c; d, B a; b; d; e; f felsorolásával az A I.. Adja meg elemeik B és A B halmazokat! A B a; b; d A B a; b; c; d; e; f Összesen:

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások

Exponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások 00-0XX Középszint Eponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( ) log + + =, ahol valós szám és b) cos = 4 sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont)

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 14.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 14. Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 0. február 4. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MEGOLDÓKULCS 0. február 4. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ - -

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben