11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:"

Átírás

1 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket alkalmazva: a 3 = 15 és a 8 = 30. ELTE 013. szeptember (matematika tanárszak) Használjuk fel a számtani sorozat tagjai közötti összefüggést: a n = a 1 + (n 1) d és az első n tag összegére vonatkozó összefüggést: A második egyenletből vonjuk ki az elsőt: a 3 = a 1 + d = 15 a 8 = a 1 + 7d = 30 5d = 15 d = 3 S n = a 1+a n Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a 1 -t. a = 15 a 1 = 9. Az összegképletbe behelyettesítünk: (n 1) 3 S n = n 3n = n 58 = 3n + 15n 0 = 3n + 15n 58 0 = n + 5n 176 A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével megkapjuk az n lehetséges értékeit: n 1, = 5 ± = 5 ± 7 n 1 = 11 és n = 16. Ez nem lehet megoldás, mert n N +. n. Tehát a sorozat első 11 tagjának összege 6. Ellenőrzés: S 11 = (11 1) 3 11 = 11 = 6. 1

2 . Mennyi az alábbi összeg értéke? ( ) + ( ) + ( ) ( ) (A) (B) (C) 3 ( ) (D) 3 ( ) (E) BME 015. december 1. (1A) Vegyük észre, hogy ez egy mértani sorozat egymást követő 10 tagjának összege, ahol a 1 = ( 1 3 ) 11 q = 1 3 és n = 10. Mértani sorozat első n tagjának összege: S n = a 1 q n 1 q 1. Behelyettesítve: Tehát a jó válasz a (B). 10 S 10 = ( ) (1 3 ) 1 ( 1 1 = 3 ) ( ) = = = 3 1 = (1 3 1 ) = 3(1 310 ) 3 1 = Három pozitív egész szám csökkenő számtani sorozatot alkot. Ha a középső számot 3-mal csökkentjük, akkor 0,5 hányadosú csökkenő mértani sorozatot kapunk. Mennyi az eredeti három szám közül a középső? (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 0 (E) Első megoldás: Érdemes a számtani sorozat három egymást követő tagját felírni úgy, hogy: BME 013. május 10. (16B) a 1 = a d a = a a 3 = a + d, ahol d < 0 Ekkor b 1 = a d b = a 3 b 3 = a + d, mértani sorozat, ahol q=0,5. A mértani sorozat definíciója alapján: Rendezzük át az egyenleteket: I. a 3 a d = 0,5; II. a+d a 3 = 0,5.

3 I. a 3 a d = 0,5 II. a 6 = d d = 6 a a + d = 0,5 a + d = 3 a 3 d = 6 a-t behelyettesítjük a II. egyenletbe: a + (6 a) = 3 Tehát a = 15 és d = 9. A számtani sorozat tagjai: ; 15; 6. a + 1 a = 3 a = 15 a = 15 A mértani sorozat tagjai: ; 1; 6; ahol q=0,5. Második megoldás: A mértani sorozat tagjait írjuk fel: b 1 = a b = 0,5a b 3 = 0,5a. Ekkor a számtani sorozat tagjai: a 1 = a a = 0,5a + 3 a 3 = 0,5a. A számtani sorozat tulajdonságát alkalmazzuk: a n 1+a n+1 = a n. a + 0,5a 0,5a + 3 = a + 6 = a + 0,5a 6 = 0,5a a = Tehát a számtani sorozat második tagja: a = 0,5a + 3 = 15 Tehát a jó válasz a (C).. Kovács úr a fia 6. születésnapján Ft-ot helyezett el a bankba évi 5,5%-os kamatra. Ezt követően a fiú minden születésnapján újabb Ft-ot tett az összeghez. Mennyi pénz lesz a számlájukon a fiú 18. születésnapján? (A számlavezetési költségektől eltekintünk.) 3 ELTE 015.szeptember, (matematika BSc) Jelölje a Ft induló összeget A, a Ft-ot évenkénti befizetett összeget pedig B. A fiú 1 év múlva lesz 18 éves. Felírjuk évenként a bankban lévő pénzösszeget: 1 év után: A 1,055 + B év után: (A 1,055 + B) 1,055 + B = A 1,055 + B 1,055 + B 3 év után: (A 1,055 + B 1,055 + B) 1,055 + B = A 1, B 1,055 + B 1,055 + B év után:a 1,055 + B 1, B 1,055 + B 1,055 + B. Ezek alapján 1 év után a felvehető pénz a bankban: A 1, B 1, B 1, B 1, B 1,055 + B 1,055 + B

4 Ez egy 13 tagú összeg, ahol a B-t tartalmazó tagok egy mértani sorozat összegét alkotják, a 1 = B q = 1,055 és n = 1. Tehát az összeg: A 1, B(1, , , ) = A 1, B 1, ,055 1 Visszahelyettesítve a konkrét értékeket a következő összeget kapjuk: , , , , Tehát Kovács úr fia a 18. születésnapján Ft-ot vehet fel.

5 II. Ismételjünk! 1. Sorozat fogalma https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/16.pdf 1.oldal. Nevezetes sorozatok (számtani, mértani) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/16.pdf 1-.oldal 3. Kamatszámítás, törlesztőrészletek kiszámítása https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/16.pdf 6.oldal III. Gyakorló feladatok 1. Számítsuk ki a következő sorozatok hatodik és huszonegyedik tagját! a) a n = n 3 15n + 3 b) b n = 3n +. Hányadik tagja a sorozatnak a 30? a) a n = n 11n + 18 b) b n = 10n+0 3n 6 3. Ha a n = n n!, akkor a n+1 a n =? (A) 1 (B) (C) n + 1 (D) n n + 1 (E) ezek egyike sem BME 011. május 6. (16A). Egy sorozatot a következő képlettel adunk meg: a n = log ( ) n, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. a) Előfordul-e a sorozat tagjai között az 1, a 16 és a 100? Ha igen, a sorozat hányadik tagja? b) Határozza meg a sorozat első n tagjának összegét! 5. Egy számtani sorozat első tagja 10, a differenciája 5. Mennyi a sorozat 33. tagja, és mennyi az első 11 tag összege? 6. Egy egész számokból álló számtani sorozat első öt tagjának összege 65, szorzata Melyik ez a sorozat? 7. Mekkora a 016-nál kisebb, hárommal osztva kettő maradékot adó pozitív egész számok összege? 8. Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 0 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon 30 métert, az azutánin 0 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon 10 méterrel többet, mint az azt megelőző napon. 5

6 c) Hány méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon? d) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában 7,1 km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? e) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon? f) A 1-edik napon kétszer annyian dolgoztak, mint az első napon. Igaz-e az a feltételezés, hogy a naponta elkészült út hossza egyenesen arányos a munkások létszámával? Középszintű érettségi vizsga 006. október Egy számtani sorozat első húsz tagjának az összege 5, az első negyven tag összege pedig 90. Határozza meg a sorozat első tagját és differenciáját! Hány 100-nál kisebb tagja van a sorozatnak? ELTE 007. szeptember (földtudományi szak BSc) 10. Egy mértani sorozat első tagja 3, a hányadosa. Mennyi a sorozat ötödik és tizedik tagja? Határozza meg az első tizenhárom tag összegét! 11. Melyik az a szám, amelyet 30-hoz, 50-hez és a 80-hoz hozzáadva három olyan számot kapunk, amelyek mértani sorozatot alkotnak? ELTE 010. szeptember (földtudományi szak BSc) 1. Egy mértani sorozat tagjaira teljesülnek a következő összefüggések. Számítsuk ki a sorozat első tagját és a hányadosát! a 1 + a + a 3 = 57 és a 1 a 3 = Egy mértani sorozat első három tagjának összege 91. A hatodik, hetedik és a nyolcadik tag összege 91. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? Emelt szintű érettségi vizsga 010. május. 1. Egy mértani sorozat első eleme 3, n -edik eleme 13. Az első n elem reciprok értékeinek összege 8. Számítsa ki a mértani sorozat első n tagjának összegét! ELTE 007. Matematika szintfelmérő 15. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 6. Ha az első taghoz 5-öt, a másodikhoz -t, a harmadikhoz 1-et adunk, akkor egy mértani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Melyik ez a mértani sorozat? 16. Egy populációban a baktériumok száma mértani sorozat szerint növekszik. 1 órakor 1000, 3 órakor 000 baktérium van a populációban. Mennyi lesz a baktériumok száma 7 órakor? 7 (A) (B) (C) 6000 (D) 1000 k 6 1 (E) 1000 k k=1 k=1 BME 011. december. (16A) 17. Egy új autó ára Ft. Az elhasználódás miatt évenként 15% os értékcsökkenést figyelembe véve, mennyit ér az autó 5 év múlva? Hány év múlva csökken az autó értéke a negyedére? 6

7 18. Kiss Béla örökölt Ft-ot, amit január elején helyez el a bankban, ahol évi 5% os kamatot fizetnek. Úgy tervezi, hogy 0 év alatt fogja felhasználni az örökségét, mégpedig úgy, hogy minden év végén azonos összeget fog kivenni a bankból. Mekkora összeget vehet fel évente, ha 0 év múlva nem marad pénze a bankban? 7

8 IV. Megoldások A megoldások során alkalmazzuk a sorozatokra vonatkozó összefüggéseket: a sorozat tagjai közötti kapcsolat az első n tag összege számtani sorozat a n = a 1 + (n 1) d a n = a n 1 + a n+1 S n = a 1 + a n n = = a 1 + (n 1) d n mértani sorozat a n = a 1 q n 1 (a n ) = a n 1 a n+1 n a 1, ha q = 1 S n = { a 1 qn 1, q 1 ha q 1 1. Számítsuk ki a következő sorozatok hatodik és huszonegyedik tagját! a) a n = n 3 15n + 3 b) b n = 3n + c) a 6 = = 19; a 1 = = 899 d) b 6 = = ; b 1 = = 67. Hányadik tagja a sorozatnak a 30? a) a n = n 11n + 18 b) b n = 10n+0 3n 6 a) a n = n 11n + 18 = 30 n 11n 1 = 0 n 1, = 11 ± n 1 = 1 = 11 ± 13 ; Tehát az a n sorozat 1. tagja a 30. Ellenőrzés: a 1 = = 30 b) b n = 10n+0 3n 6 = 30 10n + 0 = 30 (3n 6) 10n + 0 = 90n = 80n n = 10 n = 1, ez nem megoldás, mert n csak pozitív természetes szám lehet. 8

9 Tehát az b n sorozat 10. tagja a 30. Ellenőrzés: b 10 = = 10 = Ha a n = n n!, akkor a n+1 a n =? (A) 1 (B) (C) n + 1 (D) n n + 1 (E) ezek egyike sem BME 011. május 6. (16A) a n = n n! n+1 a n+1 = (n + 1)! a n+1 a n = n+1 (n + 1)! n n! Egyszerűsítsünk n és n!-al: Tehát a jó válasz a (C). n+1 (n + 1)! n = n+1 (n + 1)! n! n = n (n + 1) n! n! n n! n (n + 1) n! n! n = (n + 1). Egy sorozatot a következő képlettel adunk meg: a n = log ( ) n, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. a) Előfordul-e a sorozat tagjai között az 1, a 16 és a 100? Ha igen, a sorozat hányadik tagja? b) Határozza meg a sorozat első n tagjának az összegét! a) Alakítsuk át az a n sorozatot: a n = log ( ) n = log () n = n a logaritmus definíciója miatt. a n = n a n = n = 1 n = a n = n = 16 n = 6 a n = n = 100 n = 00 Tehát a sorozat. tagja 1, a 6. tagja 16 és a 00. tagja a 100. b) Írjuk fel az a n = n sorozat első pár tagját: ; ; 3 ; sorozat, melynek az első tagja és a differenciája is 1. 1 látszik, hogy ez egy számtani 9

10 a n = n a 1 = 1 d = 1 Az első n tag összegét a számtani sorozat összegképletébe behelyettesítve kapjuk: S n = 1 + n n = n + 1 n (n + 1) n = Egy számtani sorozat első tagja 10, a differenciája 5. Mennyi a sorozat 33. tagja, és mennyi az első 11 tag összege? a 33 = a d = ( 5 ) = 10 0 = 30 S 11 = a 1 + a = ( 5 ) 11 = = Egy egész számokból álló számtani sorozat első öt tagjának összege 65, szorzata Melyik ez a sorozat? Ha egy számtani sorozat páratlan számú szomszédos (vagy a középsőre szimmetrikus sorszámú) tagjainak összege adott, akkor érdemes a középső tagot egy betűvel jelölni: a 3 = a. A feladat feltétele szerint a egész szám, ezért d is egész szám. a 1 = a d; a = a d; a 3 = a; a = a + d; a 5 = a + d Írjuk fel az első 5 tag összegét és szorzatát: I. (a d) + (a d) + a + (a + d) + (a + d) = 65 II. (a d) (a d) a (a + d) (a + d) = Az I.-ből: a = 13. Ezt helyettesítsük be a másodikba: (13 d) (13 d) 13 (13 + d) (13 + d) = Vegyük észre a nevezetes azonosságokat: (13 d) (13 + d) 13 (13 d) (13 + d) = (169 d ) 13 (169 d ) = d 676d + d = 9936 d 85d = 0 Egy másodfokúra visszavezethető, negyedfokú egyenletet kaptunk. Vezessünk be egy új ismeretlent: x d. Ekkor az egyenletünk: x 85x = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével kapjuk, hogy x 1 = 5; x = 186,5. Ez utóbbi nem megoldás, mivel nem egész szám négyzete. x 1 = 5 d = 5, ahonnan d 1 = 5; d = 5 10

11 Tehát a keresett sorozatok: ha d 1 = 5, akkor a 1 = 3, ekkor a sorozat: 3; 8; 13; 18; 3; ha d = 5, akkor a 1 = 3, ekkor a sorozat: 3; 18; 13; 8; 3. Mindkét sorozat eleget tesz a feltételeknek. 7. Mekkora a 016-nál kisebb, hárommal osztva kettő maradékot adó pozitív egész számok összege? A legkisebb, a feltételeknek megfelelő szám a, a legnagyobb a 015. Ez egy olyan számtani sorozat (; 5; 8; ), melynek az első tagja a, a differenciája 3 és az n. tagja 015. Tehát: a 1 = d = 3 a n = 015 Az első n tag összege: S n = a 1+a n n. Az n értékét kiszámíthatjuk az n. tagból: Tehát: S n = = a n = a 1 + (n 1)d = 015 = + 3(n 1) n = 67 A 016-nál kisebb, hárommal osztva kettő maradékot adó pozitív egész számok összege: Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 0 méternyi utat aszfaltoz le. A rákövetkező napon 30 métert, az azutánin 0 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon 10 méterrel többet, mint az azt megelőző napon. a) Hány méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon? b) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában 7,1 km. Hányadik munkanapon készülnek el vele? c) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon? d) A 1-edik napon kétszer annyian dolgoztak, mint az első napon. Igaz-e az a feltételezés, hogy a naponta elkészült út hossza egyenesen arányos a munkások létszámával? a) Egy számtani sorozatról van szó, ahol a 1 = 0; d = 10 a 11 = a d = = méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon. b) Keressük azt az n értéket, ahol S n 7100; (7,1 km = 7100 m) Középszintű érettségi vizsga 006. október 5. Ez egy szigorúan monoton növekvő sorozat, ezért elég megvizsgálni, hogy hol éri el a sorozat összege a 7100-et. S n = a 1 + (n 1)d n = 7100; n N + 11

12 0 + 10(n 1) n = 7100 ( + n 1) n = 10 n + 3n 10 = 0 A másodfokú kifejezésnek két zérushelye van, amik közül csak az egyik pozitív n 1,88. Tehát a. napon fejezik be a munkát. c) Az első 1 nap alatt 670 métert aszfaltoznak le, mert S 1 = a 1+0d 1 = = 670; = 380, tehát az utolsó napra 380 méter maradt. d) Egyenes arányosság esetén 0 métert kellene aszfaltozni a 1. napon, de a 1 = = 0 Tehát nem teljesül az egyenes arányosság feltétele. 9. Egy számtani sorozat első húsz tagjának az összege 5, az első negyven tag összege pedig 90. Határozza meg a sorozat első tagját és differenciáját! Hány 100-nál kisebb tagja van a sorozatnak? ELTE 007.szeptember, (földtudományi szak BSc) S 0 = a d 0 = 5 a d =,5 S 0 = a d 0 = 90 a d = 1,5 Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt: innen a sorozat differenciája: d = 0,5. 0d = 10, A differencia értéket visszahelyettesítve megkapjuk az első tagot: a 1 =,5. Vizsgáljuk meg hány tag kisebb 100-nál. a n < 100 a 1 + (n 1)d =,5 + 0,5(n 1) < 100 0,5n 3 < 100 n < 06, a 06. tag lenne pontosan 100, tehát 05 tagja van a sorozatnak, amely kisebb mint Egy mértani sorozat első tagja 3, a hányadosa. Mennyi a sorozat ötödik és tizedik tagja? Határozza meg az első tizenhárom tag összegét! a 1 = 3 q = a n = a 1 q n 1 S n = a 1 q n 1 q 1 a 5 = a 1 q = 3 ( ) = 8 a 10 = a 1 q 9 = 3 ( ) 9 = 1536 (q 1) 1

13 Tehát az első tizenhárom tag összege: q 13 1 S 13 = a 1 q 1 = 3 ( )13 1 = Melyik az a szám, amelyet 30-hoz, 50-hez és a 80-hoz hozzáadva három olyan számot kapunk, amelyek mértani sorozatot alkotnak? Legyen: a 1 = 30 + x; a = 50 + x; a 3 = 80 + x A mértani sorozat tulajdonságát alkalmazzuk: Tehát a mértani sorozat: 0; 60; 90. Ellenőrzés: 60 0 = 3 ; (50 + x) = (30 + x)(80 + x) x + x = x + x 100 = 10x x = = 3 ; q = 3. ELTE 010.szeptember, (földtudományi szak BSc) 1. Egy mértani sorozat tagjaira teljesülnek a következő összefüggések. Számítsuk ki a sorozat első tagját és a hányadosát! a 1 + a + a 3 = 57 és a 1 a 3 = 15 I. a 1 + a 1 q + a 1 q = 57 II. a 1 a 1 q = 15 a 1 (1 + q + q ) = 57 a 1 (1 q ) = 15 Fejezzük ki az elsőből az a 1 -t és helyettesítsük be a másodikba: a 1 = q + q 1 + q + q q + q (1 q ) = (1 q ) = 15 (1 + q + q ) 57 57q = q + 15q 0 = 7q + 15q 0 = q + 5q 1 A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével határozzuk meg a gyököket: q 1, = 5 ± = 5 ± 37 8 = q 1 = 3 ; q = 7 8 Ha q 1 = ; akkor a 3 1 = 57 = = ( 3 ) 9 13

14 Ha q 1 = 7 8 ; akkor a 1 = 57 = = ( 7 8 ) Egy mértani sorozat első három tagjának összege 91. A hatodik, hetedik és a nyolcadik tag összege 91. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? Emelt szintű érettségi vizsga 010. május. I. a 1 + a + a 3 = 91 II. a 6 + a 7 + a 8 = 91 a 1 + a 1 q + a 1 q = 91 a 1 q 5 + a 1 q 6 + a 1 q 7 = 91 a 1 (1 + q + q ) = 91 a 1 q 5 (1 + q + q ) = 91 Látszik, hogy a második egyenlet bal oldala az első egyenlet bal oldalának a q 5 szerese. Tehát: q 5 = 3 q = Az első egyenletbe behelyettesítve: a 1 (1 + + ) = 7a 1 = 91 a 1 = 13. A mértani sorozat első tagja és hányadosa: a 1 = 13 és q =. Ellenőrzés: a sorozat tagjai: 13; 6; 5; 10; 08; 16; 83; = 91; = 91. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? Osszuk el az egyenlőtlenséget 13-mal: a n = 13 n n 1 < n 1 < es alapú logaritmust véve: ( A tízes alapú logaritmus függvény szigorúan monoton nő) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait: lg lg n 1 < lg lg10 1 lg13 (n 1)lg < lg10 13 lg13 1 lg13 (n 1) lg < 13 lg13 1 lg13 13 lg13 n 1 < lg lg 1 lg13 13 lg n < + 1 lg lg 37,16 n < 0,8 Tehát a sorozat 37. tagja még 1-jegyű, a 1. tagja meg már 1-jegyű. Ezek szerint 3db 13-jegyű tagja van a sorozatnak:a és 0. tag. 1

15 a 38 1, ; a 39 3, ; a 0 7, ; Ellenőrzés: a 37 8, ; a 1 1, Egy mértani sorozat első tagja 3, n -edik tagja 13. Az első n tag reciprok értékeinek összege 8. Számítsa ki a mértani sorozat első n tagjának összegét! A feltételek szerint: ELTE 007. Matematika szintfelmérő a 1 = 3; a n = 3q n 1 = 13 és 1 a a + 1 a a n = 8 Hozzunk közös nevezőre és szorozzunk be 3-mal: q + 1 3q q n 1 = 8 q n 1 + q n + + q + 1 q n 1 =. A számláló háromszorosa pontosan az első n tag összege: (S n = 3 + 3q + + 3q n 1 ) S n = 3(q n 1 + q n + q + 1) = 3 q n 1, mivel q n 1 = 13 3 Tehát az első n tag összege 31. S n = = Egy számtani sorozat első három tagjának összege 6. Ha az első taghoz 5-öt, a másodikhoz -t, a harmadikhoz 1-et adunk, akkor egy mértani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Melyik ez a mértani sorozat? A számtani sorozat feltételéből : a =, így a tagok: d; ; + d A mértani sorozat: 7 d; ; 3 + d A mértani sorozat tulajdonságát felhasználva: = (7 d)(3 + d) 16 = d + d + 1 d d 5 = 0. Az egyenlet megoldásai: d 1 = 5 d = 1 Ha d 1 = 5 ; akkor a számtani sorozat: 3; ; 7; a mértani sorozat tagjai: ; ; 8 q 1 =. Ha d = 1; akkor a számtani sorozat: 3; ; 1; 15

16 a mértani sorozat tagjai: 8; ; q = 1. Mindkét sorozat kielégíti a feltételeket. 16. Egy populációban a baktériumok száma mértani sorozat szerint növekszik. 1 órakor 1000, 3 órakor 000 baktérium van a populációban. Mennyi lesz a baktériumok száma 7 órakor? 7 (A) (B) (C) 6000 (D) 1000 k (E) 1000 k 1 k=1 1 k=1 BME 011. december. (16A) A mértani sorozat tagjai legyenek az óránkénti baktériumok száma: a 1 = 1000; a 3 = 000 a 7 =? a 3 = a 1 q ; 000 = 1000q q =, amiből: q 1 = ; (q = ) ( q = -nek nincs értelme ebben a feladatban) Ha q 1 =, akkor a 7 = = Tehát a jó válasz a (C). 17. Egy új autó ára Ft. Az elhasználódás miatt évenként 15% os értékcsökkenést figyelembe véve, mennyit ér az autó 5 év múlva? Hány év múlva csökken az autó értéke a negyedére? 1 év után az autó értéke: (1 15 ) = ,85 (Ft) 100 év után: ,85 5 év után: ,85 5 = ,9. Az autó értéke öt év múlva: Ft. Hány év múlva csökken az autó értéke a negyedére? Legyen n az évek száma. Az n év múlva az autó értéke: ,85 n Ekkor: ,85 n = rel lehet egyszerűsíteni. (Az évek száma nem függ az autó értékétől) Vegyük mindkét oldal logaritmusát: 0,85 n = 1 16

17 lg0,85 n = lg 1 nlg0,85 = lg 1 n = lg 1 lg0,85 8,53 Tehát 9 év múlva lesz az autó értéke a negyede az eredeti árnak. 18. Kiss Béla örökölt Ft-ot, amit január elején helyez el a bankban, ahol évi 5% os kamatot fizetnek. Úgy tervezi, hogy 0 év alatt fogja felhasználni az örökségét, mégpedig úgy, hogy minden év végén azonos összeget fog kivenni a bankból. Mekkora összeget vehet fel évente, ha 0 év múlva nem marad pénze a bankban? Jelölje A az örökölt összeget, és B az évenkénti kivett összeget. Felírjuk évenként a bankban lévő pénzösszeget: 1 év után: A 1,05 B év után: (A 1,05 B) 1,05 B = A 1,05 B 1,05 B 3 év után: (A 1,05 B 1,05 B) 1,05 B = A 1,05 3 B 1,05 B 1,05 B év után: A 1,05 B 1,05 3 B 1,05 B 1,05 B 0 év után: A 1,05 0 B 1,05 19 B 1,05 18 B 1,05 B Ekkor a pénze elfogy: A 1,05 0 B 1,05 19 B 1,05 18 B 1,05 B = 0 Átrendezve az egyenletet: A 1,05 0 = B(1, , ,05 + 1) A zárójelen belül egy 0 tagú mértani sorozat összege van, ahol a 1 = 1 q = 1,05. A mértani sorozat összegképletét alkalmazva kapjuk: A 1,05 0 = B 1, ,05 1 B = A 1,05 0 1,05 1 1, = ,05 1 1,050 1, = 8058,7. Tehát évente Ft-ot vehet fel a bankból. 17

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint)

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) (KSZÉV Minta (2) 2004.05/II/16) a) Egy számtani sorozat első tagja 9, különbsége pedig 4. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK

SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK Számtani sorozatok 1. Egy vetélkedın 15 000 Ft jutalmat osztottak szét. Az elsı helyezett 3000 Ft-ot kapott, a továbbiak sorra 200 Ft-tal kevesebbet, mint az elıttük lévı.

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második tag a 2, a harmadik tag a 3,...

SOROZATOK. A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második tag a 2, a harmadik tag a 3,... SOROZATOK Definíció: A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete számhalmaz. Jelölése: (a n ) A sorozat tagjai: az első tag a 1, a második

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

. feladatsor 8. Hányféleképpen lehet sorba rendezni a METALLICA szó betűit?...( pont) 9. Tamás elhatározta, hogy fából kifaragja a Kheopsz piramis kic

. feladatsor 8. Hányféleképpen lehet sorba rendezni a METALLICA szó betűit?...( pont) 9. Tamás elhatározta, hogy fából kifaragja a Kheopsz piramis kic . feladatsor. Feladatsor I. rész. Adja meg a következő halmazok elemeit, ha A= { e dit}. Egyszerűsítse a következő törtet: (! ) ; ; ;, B e; mil ; ;! = { } A B; B/ A...( pont) 4 4 + 4... (3 pont) 3. Hány

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY

KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY Név:.Iskola: KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY 2012. november 12. 12. évfolyam I. forduló Pótlapok száma db Matematika 12. évfolyam 1. forduló 1. Az alábbiakban számtani sorozatokat adtunk

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 14.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 14. Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 0. február 4. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MEGOLDÓKULCS 0. február 4. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ - -

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája.

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 = 4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.

Részletesebben

V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS. A feladatsor jellemzői

V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS. A feladatsor jellemzői V.7. NÉPSZÁMLÁLÁS Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Eponenciális egyenletek felírása és megoldása szöveges feladatok alapján. Szöveges feladatok alapján modellt alkotunk, amely alkalmas eponenciálisan

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) Elvira a könyveit három polcon tárolja, az első polcon szépirodalmi könyveket, másodikon albumokat,

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Sorozatok begyakorló feladatok

Sorozatok begyakorló feladatok Sorozatok begyakorló feladatok I. Sorozatok elemeinek meghatározása 1. Írjuk fel a következő sorozatok első öt elemét és ábrázoljuk az elemeket n függvényében! a n = 4n 5 b n = 5 n 2 c n = 0,5 n 2 d n

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI szeptember 13. 6A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 00. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 20. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 20. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. KÖZÉPSZINT I. 1) Számítsa ki 5 és 11 számtani és mértani közepét! A számtani közép értéke: 7. A mértani közép értéke: 55. Összesen: pont ) Legyen az A halmaz a 10-nél

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc

1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc 1. Írd le számjegyekkel illetve betűkkel az alábbi számokat! Tízezer-hétszáztizenkettő Huszonhétmillió-hétezer-nyolc 10 325 337 30 103 000 002 2. Végezd el az alábbi műveleteket, ahol jelölve van ellenőrizz!

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben