Függvények vizsgálata
|
|
- Zsigmond Fekete
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) = 5 + Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldásai:, = 5 ± { 5 = =, tehát f ) = f ) = 0. Első derivált vizsgálata: f ) = + Ennek gyökei:, = ± = ± { = = +. és között f ) < 0, egyébként f ) > 0. Második derivált vizsgálata: f ) = f ) = 0, ha = ; f ) < 0, ha <, f ) > 0, ha >. Táblázatos formában összefoglalva: < = < < = < < + = + > + f ) f ) f ) növekvő ma. csökkenő min. növekvő konkáv infle. konve
2 y 0 +. ábra. az y = + függvény képe ) Vizsgáljuk meg az f ) = sin függvényt! Periodicitás: Mivel sin + π) = sincos π+cos sin π = sin, ezért sin = sin + π), a függvény π szerint periodikus. Zérushelyek: A [0,π] intervallumon zérushelyek: 0, és π. Első derivált zérushelyei: f = sin cos = sin Ennek zérushelyeire = 0,π,π. Innen a zérushelyek: = 0, = π, és = π. Ezért f ) > 0 a 0, π ) intervallumon, valamint f ) < 0 π ) a,π intervallumon. A második derivált: f ) = cos Ennek zérushelyeire: = π, π. Eszerint = π és = π. Innen f ) > 0, ha ) 0, π, és f ) < 0, ha π, ) π. = 0 0 < < π = π π < < π = π π < < π = π π < < π = π f ) f ) f ) min. növekvő ma. csökkenő min. konve infle. konkáv infle. konve
3 y 0 0 π. ábra. az y = sin függvény képe π π π ) Végezzük el az f ) = sin sin függvény vizsgálatát! A függvény π szerint periodikus, ezért a [0,π] intervallumban vizsgáljuk. Az első derivált zérushelyei: f ) = sin cos cos = cos sin ) f ) = 0, ha cos = 0, vagy sin =. Ezek szerint = π, = π. A harmadik zérushely = π lenne, ami egybeesik -gyel.) A második derivált zérushelyei: f ) = sin sin )+cos = sin +sin + sin ) = sin +sin + Ez sin-ben másodkofú egyenlet, megoldásai: sin = ± { + 8 = ± sin ) = = = π sin ) = = = 7π, π Táblázatosan összefoglalva: 0 < < π = π π < < 7π = 7π 7π < < π = π π < < π = π π < < π f ) f ) f ) csökk. min. növekvő ma. csökkenő konve infle. konkáv infle. konve
4 y 0 0 π. ábra. az y = sin sin függvény képe π 7π π π π ) Vizsgáljuk az f ) = racionális törtfüggvényt! A függvény határértékei: lim f ) = 0, és lim f ) = 0. Értelmezési tartomány: D f = R \ {0}. A szakadási helyen a határérték mindkét oldalról. Az első derivált zérushelyei: f ) = ) = ) = f ) = 0, ha + = 0, vagyis ha =. Másik gyök nincs, hiszen az = 0 esetet az értelmezési tartományból kizártuk. f ) < 0, ha < 0, és ha >. f ) > 0, ha 0 < <. Az második derivált zérushelyei: f ) = + 8) + 8 ) ) 8 = Ennek egyetlen zérushelye van, az =. f ) > 0, ha >, és f ) < 0, ha <. Táblázatos formában összefoglalva:
5 < 0 0 < < = < < = < f ) + 0 f ) 0 + f ) csökkenő növekvő ma. csökkenő konkáv konkáv infle. konve y ábra. az y = függvény képe Egyváltozós függvény szélsőértékeinek meghatározása ) y = y = Az y = = 0 egyenlet megoldásai: =, és =. A második derivált: y = y ) = > 0, ezért az = helyen lokális minimum van, értéke y ) =. y ) = < 0, ezért az = helyen lokális maimum van, értéke y ) =. 5
6 ) y = e y = e + e ) = e 5) Ez akkor és csak akkor 0, ha a szorzat valamelyik tényezője 0. e > 0 R, ebből nem kapunk zérushelyet. 5) = ) = 0 egyenlet megoldásai: = 0,, = ±. y = ) e 5) +e 0 ) = e ) ) y = e < 0, ezért az = helyen lokális maimum van, ) értéke y = e. y ) = e < 0, ezért az = helyen lokális maimum van, értéke y ) = e. y 0) = 0, ezért ezt az esetet tovább kell vizsgálni. A harmadik derivált: y = e ) Innen y 0) = 0, vagyis a negyedik deriváltat is meg kell vizsgálni. y IV) = e ) Behelyettesítés után: y IV) 0) = > 0, vagyis = 0 helyen a függvénynek minimuma van, értéke y 0) = 0. ) y = y = Ennek zérushelyei:, = ± 0 Az második derivált: y = 8 = ± { = 5 = y 5) = > 0, azaz itt a függvénynek minimuma van, értéke y 5) = = 8.
7 y ) = < 0, azaz itt a függvénynek maimuma van, értéke y ) = =. ) y = + y = = Ennek zérushelyei: =, és =. Az második derivált: y = = y ) = > 0, azaz itt a függvénynek minimuma van, értéke y ) =. y ) = < 0, azaz itt a függvénynek maimuma van, értéke y ) =. 5) y y = a A teljes egyenlet egyszeri deriválása után kifejezhető az y. Innen átrendezéssel adódik az y : y + yy y y = 0 y = y y y Ennek zérushelye akkor van, ha a számláló 0, azaz ha y y = y y) = = 0. Innen y = következik, hiszen kikötöttük, hogy y 0. Ezt az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve: Ebből y = a következik. A második derivált: = a = a = a y + yy + y ) + yy y y y y = 0 Az egyszerűsítések és átrendezés után: y = y y = a =a,y=a a 7
8 Látható, hogy ha a > 0, akkor y a) < 0, vagyis maimum van, és értéke y a) = a. Ha a < 0, akkor y a) > 0, ekkor minimum van, aminek értéke szintén y a) = a. Síkgörbék vizsgálata Vizsgáljuk meg a következő görbéket növekedés, szélsőérték és konveitás szempontjából! ) y = ln >0 A második derivált: y = ln + = ln + ) y = ln + + = ln + A harmadik derivált: y = A vizsgált tulajdonságok: Szélsőértékek: y = 0, ha: = 0, azonban ezen a helyen a függvény nem értelmezett. ln =, amiből átrendezéssel = e. ) Az első derivált zérushelyén a második derivált értéke: y e = + = > 0, vagyis itt az eredeti függvénynek minimuma van. Növekedés: y > 0, ha > e, tehát y ) növekszik, ha > e. y < 0, ha < e, tehát y ) fogy, ha < e. Infleiós pont: y = 0, ha ln =, vagyis ha = e. A harmadik derivált értéke ) ezen a helyen y e = > 0, vagyis az = e e helyen infleiós pont van. Konveitás: ] ) y > 0, ha > e, tehát e, esetében konve. ] [ y < 0, ha < e, tehát 0,e esetében konve. 8
9 ) y = e y = e A második derivált: y = e + e = e ) A vizsgált tulajdonságok: Szélsőértékek: Az első derivált egyetlen helyen, az = 0-ban zérus. Itt a második derivált értéke negatív, tehát az = 0 helyen a függvénynek maimuma van, értéke y 0) =. Növekedés: y > 0, ha,0[, ezen az intervallumon a függvény növekszik. y < 0, ha ]0, [, ezen az intervallumon a függvény csökken. Infleiós pont: y = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha = 0, vagyis a zérushelyek =, és =, ezeken a helyeken a függvénynek infleiós pontja van. Konveitás: y > 0, ha, [, a görbe itt alulról konve. ] y < 0, ha, [, a görbe itt alulról konkáv. ] ) y > 0, ha,, a görbe itt alulról konve. ) y = + + > 0 A második derivált: y = + + ) = + ) y = + ) + ) ) + ) = + + ) = + ) A vizsgált tulajdonságok: 9
10 Szélsőértékek: y = 0, ha =, és =. = esetén y ) = = maimuma van. < 0, azaz itt a függvénynek = esetén y ) = ) ) = > 0, azaz itt a függvénynek minimuma van. Növekedés: Az első derivált viselkedése miatt a függvény:, [ intervallumon csökkenő, ],[ intervallumon növekvő, ], ) intervallumon csökkenő, Infleiós pont: y = 0, ha ) = 0, aminek megoldásai = 0, =, és =. Ezeken a helyeken a függvénynek infleiós pontja van. Konveitás: A második derivált viselkedése miatt a függvény:, [ intervallumon alulról konkáv, ],0 [ intervallumon alulról konve, ] 0, [ intervallumon alulról konkáv, ], ) intervallumon alulról konve. Görbület, görbületi kör A következő görbék adott pontjában számítsuk ki a simulókör sugarát, és középpontját! Emlékeztető: A simulókör egyenlete a) + y b) = r, ahol: a = 0 + [y 0 )] y 0 ) b = y [y 0 )] y 0 ) + [y 0 )] ) y 0 ) r = [y 0 )] 0
11 Ha a görbe paraméteresen adott, akkor ugyanezek a paraméterek: ẋ + ẏ ) ẏ a = ẋÿ ẍẏ ẋ + ẏ ) ẋ b = y + ẋÿ ẍẏ ẋ + ẏ ) r = ẋÿ ẍẏ ) y = az,0) pontban A deriváltak értéke a megadott pontban: y = = = y = = = Innen a simulókör paraméterei behelyettesítéssel: r = + 9) = 000 a = + 9 = b = = = r = = 5 0 = G = 5 0 ) y = 0 az,) pontban Az egyenlet egyszeri, és kétszeri deriválása, valamint az y 0 = behelyettesítése után kifejezhető az y és y : yy = 0 = y = 0 = y = 5 y + yy = 0 = y = y Innen behelyettesítéssel a paraméterek értékei: y 5 = = 5 8 a = = = = 5 =,8 b = = ) + 5 r = 5 8 = = 8 5 = 0, ) = = r = 9 9 5
12 ) y = + az,) pontban { ) = sin t y = cos t a paraméter t = 0 értékénél Az egyes paraméter szerinti deriváltak: ẋ = cos t ẏ = sin t ẍ = sin t ÿ = cos t 5) t = 0 értékét behelyettesítve ẋ =, ẏ = 0, ẍ = 0, és ÿ =. Ezeket beírva megkapjuk a simulókör paramétereit: { = acos t y = asin t b = + a = 0 r = + 0) 8 + 0) ) 8 a paraméter t = π értékénél = 0 = 8 = = 8 = 8 = G = 8 A paraméter szerinti első deriváltak: ẋ = acos t sin t ẏ = asin t cos t A paraméter szerinti második deriváltak: ẍ = acos t sin t acos t ÿ = asin t cos t asin t Ezek értékei t = π esetében ẋ = a, ẏ = a, ẍ = a, és ÿ = a. Ezeket a képletbe behelyettesítve Hogy ne foduljon elő az a két különböző jelentésben, a simulókör paramétereit a -gyel, és b -gyel jelöljük.): a = a 9a a 9a = a r = b = a ) 9a 9a = a
13 További feladatok Vizsgáljuk meg az alábbi függvényeket! ) f ) = e Értelmezési tartomány: D f = R \ {0} Paritás, periodicitás: paritása nincs, nem periodikus. Folytonosság: = 0-ban szakadási helye van, máshol folytonos. A szakadási helyen vett határértékek: lim 0+0 e = 0 Aszimptota egyenlete: lim 0 0 e = m = lim = f ) = lim e = e 0 =. e c = lim f ) m) = lim Az aszimptota egyenlete tehát: y =. = lim e = Zérushely: e = 0 egyenletnek nincs megoldása, hiszen e > 0 R-re, és 0. Szélsőértékek: f ) = e + e = e + ) Ennek zérushelye akkor és csak akkor van, ha + = 0, vagyis ha =. A második derivált: f ) = e + ) +e ) = e + ) = e Ennek értéke az első derivált zérushelyénél: f ) = e < 0, vagyis ezen a helyen a függvénynek maimuma van, értéke f ) = e = = e.
14 Monotonitás: Szig. mon. nő, ha f ) < 0, ami akkor teljesül, ha e + ) > 0 Mivel e > 0 R-re, ezért ezzel ekvivalens: + > 0 = + Ez akkor teljesül, ha > 0, vagy <. > 0 Szig. mon. csökken, ha f ) < 0. Ez azt jelenti, hogy + < 0, Infleió: ami akkor teljesül hasonlóan az előző esethez), ha < < 0. A függvény második deriváltja: f ) = e Ennek az értelmezési tartományon nincs zérushelye, ezért a függvénynek nincs infleiós pontja. Konveitás: A függvény konve, ha f ) > 0, vagyis ha > 0. A függvény konkáv, ha f ) < 0, vagyis ha < 0. y 0 e ábra. az y = e függvény képe
15 < = < < 0 = 0 0 < f ) + 0 n. é. + f ) n. é. + f ) nő ma. csökken n. é. nő konve n. é. konkáv ) f ) = ) Értelmezési tartomány: D f = R \ {}. Paritás, periodicitás: paritása nincs, nem periodikus. Folytonosság: Az = helyen szakadása van a függvénynek, az értelmezési tartomány többi pontjában folytonos. A szakadási hely két oldalán vett határértékek: lim +0 lim 0 ) = lim + +0 ) = lim 0 ) = ) = + Emiatt az = egyenletű egyenes aszimptota. Határértékek a végtelenben: lim ± ) = lim ± Az aszimptota egyenlete: + = lim ± + = f ) m = lim = lim ± ± ) = lim + = lim ± + = 0 c = lim ± Az aszimptota egyenlete tehát y =. Tengelymetszetek: f ) }{{} m = lim f ) = ± 0 f ) = ) = 0 = = 0 f 0) = 0 = 0 = y = 0 5
16 Szélsőérték, monotonitás: f ) = ) ) = ) ) ) = ) Ennek zérushelye: f ) = 0 = = 0 A második derivált: f ) = ) + ) ) ) + ) ) = ) = + ) Ennek értéke az első derivált zérushelyénél: f 0) = > 0, vagyis itt a függvénynek minimuma van. A minimum értéke f 0) = 0 Monotonitás: f ) = ) Szig. mon. csökken, ha f ) < 0. Ez két esetben teljesül: Ha a számláló pozitív, a nevező negatív, azaz ha > 0 és < 0 egyszerre teljesül. Innen > következik. Ha a számláló negatív, a nevező pozitív, azaz ha < 0 és > 0 egyszerre teljesül. Innen < 0 következik. Szig. mon. nő, ha f ) > 0. Innen: Ha a számláló és a nevező pozitív, > 0 és > 0 egyszerre teljesül. Innen 0 < < következik. Ha a számláló és a nevező negatív, < 0 és < 0 egyszerre teljesül. Ilyen valós szám nincs. Infleió, konveitás: A második derivált zérushelye: A harmadik derivált: f ) = + ) = 0 = = f ) = ) + ) ) ) ) ) 8 = ) 8 = ) 5
17 Ennek értéke a második derivált zérushelyén: f ) = 0 A függvény értéke az infleiós pontban: f ) ) = ) = 9 A függvény konve, ha: A függvény konkáv, ha: f ) > 0 = + > 0 = > f ) < 0 = + < 0 = < < = < < 0 = 0 0 < < = > f ) 0 + n. é. f ) n. é. + f ) csökken min. nő n. é. csökken konve infl. konkáv n. é. konkáv 5 y ábra. az y = függvény képe ) Vizsgáljuk meg a következő függvényeket konveitás szempontjából! 7
18 ) f ) = + sin f ) = + cos Ez a függvény R-re nemnegatív, vagyis az eredeti függvény a teljes értelmezési tartományon D f = R) monoton nő. A második derivált: f ) = sin Ennek zérushelyei: = kπ, ahol k Z. A harmadik derivált f ) = cos, melynek értéke a második derivált zérushelyein f kπ) = = 0, vagyis az eredeti függvénynek az = kπ helyeken infleiós pontja van. Könnyen ellenőrizhető, hogy ezen infleiós pontok ráesnek az y = egyenletű egyenesre, hiszen f kπ) = kπ + } sin {{ kπ } = kπ = f infleió ) = infleió. 0 Az infleiós pontokban húzott infleiós érintők meredeksége: A függvény grafikonja tehát: = 0 + kπ k Z = f ) = + = = π + kπ k Z = f ) = = 0 π y π y = 0 π π 0 π π 7. ábra. az y = + sin függvény képe 8
19 ) f ) = 5 + f ) = 5 + A második derivált: f ) = 0 9 Ebből látszik, hogy a második derivált negatív, ha < 0, és pozitív, ha > > 0. Mivel azonban =, ezért a második derivált nem értelmezett = 0-ban. = 0-ban f ), és értéke f 0) =. Ebből következően az f-nek = = 0-ban van érintője és itt f konveből konkávba megy át. Vagyis f-nek = 0-ban infleiós pontja van. 5) Írjuk fel az y = cos függvény -edfokú Taylor-polinomját az = π helyen és a Taylor-formula maradéktagját! A szükséges deriváltak: y = cos y = sin y = cos y = sin y IV) = cos A Taylor-sor és a maradéktag: T v ) = R v ) = fv+) ξ) n + )! v n=0 π ) y = y π ) = π ) y = y π ) = y IV) π ) = f n) 0 ) n! Behelyettesítve a deriváltak megfelelő értékeit: T ) = ) π! 0 ) n 0 ) v+, ahol < ξ < 0 ) π +! 9 ) π +! ) π!
20 R ) = sin ξ π ) 5, ahol < ξ < π 5! ) Ha, akkor a log a a > ), a a > ), és k k > 0) függvények is -hez tartanak. Hasonlítsuk össze a három függvény értékét nagy -ekre, azaz, ha lehet, állítsuk őket nagyság szerinti sorrendbe! Ehhez számítsuk ki a hányadosaik határértékét!) Legyen f ) és g ) két olyan egyváltozós valós függvény, hogy lim f ) = f ) = lim g ) =. Ha lim = c >, akkor a határérték definíciója g ) szerint 0, hogy > 0 esetén f ) >, azaz f ) > g ). Hasonlóan ha g ) f ) lim g ) = c <, akkor 0 szám, hogy > 0 esetén f ) < g ). A feladatban lévő függvények hányadosainak határértékei a L Hospital szabály alkalmazását az egyenlőségjel fölé tett L betűvel jeleztük): log lim a k k L k k lim = lim a a lna log lim a a Tehát a reciprokokra: lim L = lim ln a = lim k k L k k ) k = lim a lna) L = lim k log a = ln a a lna = lim lim a k = Ezek szerint 0 R, hogy > 0 esetén log a < k < a. lna k k = 0 L = L= lim a ln a = 0 lim a log a = k! a lna) k+ = 0 7) Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi függvényeknek van-e szélsőértékük az = 0 pontban! a) y = Az első derivált és zérushelye: y = = ) y 0) = 0 y = y 0) = > 0, vagyis = 0-ban a függvénynek minimuma van. 0
21 b) y = cos + + y = sin + + Ennek a zérushelye = 0. A második derivált: y = cos + + Ennek értéke az első derivált zérushelyén y 0) = 0, vagyis tovább kell vizsgálni a függvényt. A harmadik derivált: y = sin + Ennek értéke = 0-ban y 0) = > 0, vagyis itt a függvénynek infleiós pontja van. 8) Írjuk fel az e függvény 0 = 0 ponthoz tartozó n-edik MacLaurinpolinomját, és a formula maradéktagját! Az első néhány derivált értéke a 0 = 0 pontban: y = e y 0) = y = e y 0) = y = e y 0) = y = e y 0) = Innen látszik, hogy f k) 0) = {, ha k páros, ha k páratlan A MacLaurin-sor tehát: f ) = n k=0 f k) 0) k! Behelyettesítve a deriváltak értékét: f ) = k + fn+) Θ) n+, ahol 0 < Θ < n + )! n ) k k + )n+ e Θ n+, ahol 0 < Θ < k! n + )! }{{} R n) maradéktag k=0
22 9) Tekintsük az f) = + polinomfüggvényt. Vizsgáljuk meg a következő kérdéseket. Hol metszi az f függvény az, illetve az y tengelyt? Hol veszi fel az f függvény a helyi szélsőértékeit, illetve milyen intervallumokon növekvő vagy csökkenő? Milyen intervallumon konve vagy konkáv a függvény? Vegyük sorra a kérdéseket. Probálgatással megkapjuk, hogy = gyöke az + polinomnak. Ha az kiemelünk -et az + -ból akkor kapjuk, hogy f) = ) 5+). Tehát az f függvény másik két zérus helye az 5 + = 0 egyenlet gyökei: = és =. Tehát az f függvény az =, X =, X = pontokban fogja metszi az tengelyt. Az f az y tengelyt az y = f0) = pontban metszi. Az f függvény helyi szélsőértékeit az f ) = 0 egyenlet gyökei között kell keressük. f ) = + Az + = 0 egyenlet gyökei: = és = +. Ahhoz, hogy megmondjuk, hogy ezek helyi mimnimumok vagy maimumok ki számítjuk f )-et: f ) =. Mivel f sqrt ) = < 0 ezért = pont az f függvénynek helyi maimuma. Továbbá mivel f + ) = > 0 ezért az = + pont helyi minimum pont. Mivel az f a, ) és a +,+ ) intervallumon pozitív ezért ezeken az intervallumokon az f növekvő. Az, + ) intervallumon az f negatív ezért ezen az intervallumon az f csökkenő. Megvizsgáljuk, hogy hol lesz pozitív, illetve negatív az f -t. Könnyen kapjuk, hogy csak az = pontban lesz nulla az f ) és a,) intervallumon negatív az f ), illetve az,+ ) intervallumon pozitív az f ). Tehát az f az,) intervallumon konkáv és a,+ ) intervallumon konve az f.
Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
Részletesebben4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenEgyváltozós függvények differenciálszámítása II.
Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenTartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok...
Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények............................... 3 3... Bevezető feladatok.......................... 3 3... Határérték............................... 5 3..3. Függvény
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat
Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes
Részletesebben2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Részletesebben10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenEgyváltozós függvények differenciálszámítása
Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenHatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
RészletesebbenNagy Krisztián Analízis 2
Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenBodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak
ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak I. modul: Dierenciálszámítás alkalmazásai lecke: Konveitás, elaszticitás Tanulási cél: A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenFüggvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények
Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
RészletesebbenKonvexitás, elaszticitás
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenEGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI I.Feladat: Egyváltozós függvény grafikonjához húzható érintőkkel kapcsolatos feladatok. 1.feladat: Határozza meg az függvény x = 1 abszcisszájú pontjába
RészletesebbenFüggvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenGazdasági Matematika I. Megoldások
. (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont
RészletesebbenNagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenE-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények
Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést
RészletesebbenII. rész. Valós függvények
II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével
RészletesebbenAbszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenElemi függvények, függvénytranszformációk
Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!
Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden
Részletesebben= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4
Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!
Részletesebben1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenA függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/
A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 07/8 ősz 8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás). Számoljuk ki a következő határértékeket: y + 3 a) y
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenFeladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
RészletesebbenFüggvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok
Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,
RészletesebbenFüggvénytan elmélet, 9. osztály
Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,
Részletesebben1.1 A függvény fogalma
1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük.
Részletesebben4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai
69 4. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 4... A görbe érintője és a pillanatnyi sebesség Tekintsük az f : R + R + f) 4 függvényt. Húzzuk meg az y
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
Részletesebben