Függvények vizsgálata

Átírás

1 Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) = 5 + Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldásai:, = 5 ± { 5 = =, tehát f ) = f ) = 0. Első derivált vizsgálata: f ) = + Ennek gyökei:, = ± = ± { = = +. és között f ) < 0, egyébként f ) > 0. Második derivált vizsgálata: f ) = f ) = 0, ha = ; f ) < 0, ha <, f ) > 0, ha >. Táblázatos formában összefoglalva: < = < < = < < + = + > + f ) f ) f ) növekvő ma. csökkenő min. növekvő konkáv infle. konve

2 y 0 +. ábra. az y = + függvény képe ) Vizsgáljuk meg az f ) = sin függvényt! Periodicitás: Mivel sin + π) = sincos π+cos sin π = sin, ezért sin = sin + π), a függvény π szerint periodikus. Zérushelyek: A [0,π] intervallumon zérushelyek: 0, és π. Első derivált zérushelyei: f = sin cos = sin Ennek zérushelyeire = 0,π,π. Innen a zérushelyek: = 0, = π, és = π. Ezért f ) > 0 a 0, π ) intervallumon, valamint f ) < 0 π ) a,π intervallumon. A második derivált: f ) = cos Ennek zérushelyeire: = π, π. Eszerint = π és = π. Innen f ) > 0, ha ) 0, π, és f ) < 0, ha π, ) π. = 0 0 < < π = π π < < π = π π < < π = π π < < π = π f ) f ) f ) min. növekvő ma. csökkenő min. konve infle. konkáv infle. konve

3 y 0 0 π. ábra. az y = sin függvény képe π π π ) Végezzük el az f ) = sin sin függvény vizsgálatát! A függvény π szerint periodikus, ezért a [0,π] intervallumban vizsgáljuk. Az első derivált zérushelyei: f ) = sin cos cos = cos sin ) f ) = 0, ha cos = 0, vagy sin =. Ezek szerint = π, = π. A harmadik zérushely = π lenne, ami egybeesik -gyel.) A második derivált zérushelyei: f ) = sin sin )+cos = sin +sin + sin ) = sin +sin + Ez sin-ben másodkofú egyenlet, megoldásai: sin = ± { + 8 = ± sin ) = = = π sin ) = = = 7π, π Táblázatosan összefoglalva: 0 < < π = π π < < 7π = 7π 7π < < π = π π < < π = π π < < π f ) f ) f ) csökk. min. növekvő ma. csökkenő konve infle. konkáv infle. konve

4 y 0 0 π. ábra. az y = sin sin függvény képe π 7π π π π ) Vizsgáljuk az f ) = racionális törtfüggvényt! A függvény határértékei: lim f ) = 0, és lim f ) = 0. Értelmezési tartomány: D f = R \ {0}. A szakadási helyen a határérték mindkét oldalról. Az első derivált zérushelyei: f ) = ) = ) = f ) = 0, ha + = 0, vagyis ha =. Másik gyök nincs, hiszen az = 0 esetet az értelmezési tartományból kizártuk. f ) < 0, ha < 0, és ha >. f ) > 0, ha 0 < <. Az második derivált zérushelyei: f ) = + 8) + 8 ) ) 8 = Ennek egyetlen zérushelye van, az =. f ) > 0, ha >, és f ) < 0, ha <. Táblázatos formában összefoglalva:

5 < 0 0 < < = < < = < f ) + 0 f ) 0 + f ) csökkenő növekvő ma. csökkenő konkáv konkáv infle. konve y ábra. az y = függvény képe Egyváltozós függvény szélsőértékeinek meghatározása ) y = y = Az y = = 0 egyenlet megoldásai: =, és =. A második derivált: y = y ) = > 0, ezért az = helyen lokális minimum van, értéke y ) =. y ) = < 0, ezért az = helyen lokális maimum van, értéke y ) =. 5

6 ) y = e y = e + e ) = e 5) Ez akkor és csak akkor 0, ha a szorzat valamelyik tényezője 0. e > 0 R, ebből nem kapunk zérushelyet. 5) = ) = 0 egyenlet megoldásai: = 0,, = ±. y = ) e 5) +e 0 ) = e ) ) y = e < 0, ezért az = helyen lokális maimum van, ) értéke y = e. y ) = e < 0, ezért az = helyen lokális maimum van, értéke y ) = e. y 0) = 0, ezért ezt az esetet tovább kell vizsgálni. A harmadik derivált: y = e ) Innen y 0) = 0, vagyis a negyedik deriváltat is meg kell vizsgálni. y IV) = e ) Behelyettesítés után: y IV) 0) = > 0, vagyis = 0 helyen a függvénynek minimuma van, értéke y 0) = 0. ) y = y = Ennek zérushelyei:, = ± 0 Az második derivált: y = 8 = ± { = 5 = y 5) = > 0, azaz itt a függvénynek minimuma van, értéke y 5) = = 8.

7 y ) = < 0, azaz itt a függvénynek maimuma van, értéke y ) = =. ) y = + y = = Ennek zérushelyei: =, és =. Az második derivált: y = = y ) = > 0, azaz itt a függvénynek minimuma van, értéke y ) =. y ) = < 0, azaz itt a függvénynek maimuma van, értéke y ) =. 5) y y = a A teljes egyenlet egyszeri deriválása után kifejezhető az y. Innen átrendezéssel adódik az y : y + yy y y = 0 y = y y y Ennek zérushelye akkor van, ha a számláló 0, azaz ha y y = y y) = = 0. Innen y = következik, hiszen kikötöttük, hogy y 0. Ezt az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve: Ebből y = a következik. A második derivált: = a = a = a y + yy + y ) + yy y y y y = 0 Az egyszerűsítések és átrendezés után: y = y y = a =a,y=a a 7

8 Látható, hogy ha a > 0, akkor y a) < 0, vagyis maimum van, és értéke y a) = a. Ha a < 0, akkor y a) > 0, ekkor minimum van, aminek értéke szintén y a) = a. Síkgörbék vizsgálata Vizsgáljuk meg a következő görbéket növekedés, szélsőérték és konveitás szempontjából! ) y = ln >0 A második derivált: y = ln + = ln + ) y = ln + + = ln + A harmadik derivált: y = A vizsgált tulajdonságok: Szélsőértékek: y = 0, ha: = 0, azonban ezen a helyen a függvény nem értelmezett. ln =, amiből átrendezéssel = e. ) Az első derivált zérushelyén a második derivált értéke: y e = + = > 0, vagyis itt az eredeti függvénynek minimuma van. Növekedés: y > 0, ha > e, tehát y ) növekszik, ha > e. y < 0, ha < e, tehát y ) fogy, ha < e. Infleiós pont: y = 0, ha ln =, vagyis ha = e. A harmadik derivált értéke ) ezen a helyen y e = > 0, vagyis az = e e helyen infleiós pont van. Konveitás: ] ) y > 0, ha > e, tehát e, esetében konve. ] [ y < 0, ha < e, tehát 0,e esetében konve. 8

9 ) y = e y = e A második derivált: y = e + e = e ) A vizsgált tulajdonságok: Szélsőértékek: Az első derivált egyetlen helyen, az = 0-ban zérus. Itt a második derivált értéke negatív, tehát az = 0 helyen a függvénynek maimuma van, értéke y 0) =. Növekedés: y > 0, ha,0[, ezen az intervallumon a függvény növekszik. y < 0, ha ]0, [, ezen az intervallumon a függvény csökken. Infleiós pont: y = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha = 0, vagyis a zérushelyek =, és =, ezeken a helyeken a függvénynek infleiós pontja van. Konveitás: y > 0, ha, [, a görbe itt alulról konve. ] y < 0, ha, [, a görbe itt alulról konkáv. ] ) y > 0, ha,, a görbe itt alulról konve. ) y = + + > 0 A második derivált: y = + + ) = + ) y = + ) + ) ) + ) = + + ) = + ) A vizsgált tulajdonságok: 9

10 Szélsőértékek: y = 0, ha =, és =. = esetén y ) = = maimuma van. < 0, azaz itt a függvénynek = esetén y ) = ) ) = > 0, azaz itt a függvénynek minimuma van. Növekedés: Az első derivált viselkedése miatt a függvény:, [ intervallumon csökkenő, ],[ intervallumon növekvő, ], ) intervallumon csökkenő, Infleiós pont: y = 0, ha ) = 0, aminek megoldásai = 0, =, és =. Ezeken a helyeken a függvénynek infleiós pontja van. Konveitás: A második derivált viselkedése miatt a függvény:, [ intervallumon alulról konkáv, ],0 [ intervallumon alulról konve, ] 0, [ intervallumon alulról konkáv, ], ) intervallumon alulról konve. Görbület, görbületi kör A következő görbék adott pontjában számítsuk ki a simulókör sugarát, és középpontját! Emlékeztető: A simulókör egyenlete a) + y b) = r, ahol: a = 0 + [y 0 )] y 0 ) b = y [y 0 )] y 0 ) + [y 0 )] ) y 0 ) r = [y 0 )] 0

11 Ha a görbe paraméteresen adott, akkor ugyanezek a paraméterek: ẋ + ẏ ) ẏ a = ẋÿ ẍẏ ẋ + ẏ ) ẋ b = y + ẋÿ ẍẏ ẋ + ẏ ) r = ẋÿ ẍẏ ) y = az,0) pontban A deriváltak értéke a megadott pontban: y = = = y = = = Innen a simulókör paraméterei behelyettesítéssel: r = + 9) = 000 a = + 9 = b = = = r = = 5 0 = G = 5 0 ) y = 0 az,) pontban Az egyenlet egyszeri, és kétszeri deriválása, valamint az y 0 = behelyettesítése után kifejezhető az y és y : yy = 0 = y = 0 = y = 5 y + yy = 0 = y = y Innen behelyettesítéssel a paraméterek értékei: y 5 = = 5 8 a = = = = 5 =,8 b = = ) + 5 r = 5 8 = = 8 5 = 0, ) = = r = 9 9 5

12 ) y = + az,) pontban { ) = sin t y = cos t a paraméter t = 0 értékénél Az egyes paraméter szerinti deriváltak: ẋ = cos t ẏ = sin t ẍ = sin t ÿ = cos t 5) t = 0 értékét behelyettesítve ẋ =, ẏ = 0, ẍ = 0, és ÿ =. Ezeket beírva megkapjuk a simulókör paramétereit: { = acos t y = asin t b = + a = 0 r = + 0) 8 + 0) ) 8 a paraméter t = π értékénél = 0 = 8 = = 8 = 8 = G = 8 A paraméter szerinti első deriváltak: ẋ = acos t sin t ẏ = asin t cos t A paraméter szerinti második deriváltak: ẍ = acos t sin t acos t ÿ = asin t cos t asin t Ezek értékei t = π esetében ẋ = a, ẏ = a, ẍ = a, és ÿ = a. Ezeket a képletbe behelyettesítve Hogy ne foduljon elő az a két különböző jelentésben, a simulókör paramétereit a -gyel, és b -gyel jelöljük.): a = a 9a a 9a = a r = b = a ) 9a 9a = a

13 További feladatok Vizsgáljuk meg az alábbi függvényeket! ) f ) = e Értelmezési tartomány: D f = R \ {0} Paritás, periodicitás: paritása nincs, nem periodikus. Folytonosság: = 0-ban szakadási helye van, máshol folytonos. A szakadási helyen vett határértékek: lim 0+0 e = 0 Aszimptota egyenlete: lim 0 0 e = m = lim = f ) = lim e = e 0 =. e c = lim f ) m) = lim Az aszimptota egyenlete tehát: y =. = lim e = Zérushely: e = 0 egyenletnek nincs megoldása, hiszen e > 0 R-re, és 0. Szélsőértékek: f ) = e + e = e + ) Ennek zérushelye akkor és csak akkor van, ha + = 0, vagyis ha =. A második derivált: f ) = e + ) +e ) = e + ) = e Ennek értéke az első derivált zérushelyénél: f ) = e < 0, vagyis ezen a helyen a függvénynek maimuma van, értéke f ) = e = = e.

14 Monotonitás: Szig. mon. nő, ha f ) < 0, ami akkor teljesül, ha e + ) > 0 Mivel e > 0 R-re, ezért ezzel ekvivalens: + > 0 = + Ez akkor teljesül, ha > 0, vagy <. > 0 Szig. mon. csökken, ha f ) < 0. Ez azt jelenti, hogy + < 0, Infleió: ami akkor teljesül hasonlóan az előző esethez), ha < < 0. A függvény második deriváltja: f ) = e Ennek az értelmezési tartományon nincs zérushelye, ezért a függvénynek nincs infleiós pontja. Konveitás: A függvény konve, ha f ) > 0, vagyis ha > 0. A függvény konkáv, ha f ) < 0, vagyis ha < 0. y 0 e ábra. az y = e függvény képe

15 < = < < 0 = 0 0 < f ) + 0 n. é. + f ) n. é. + f ) nő ma. csökken n. é. nő konve n. é. konkáv ) f ) = ) Értelmezési tartomány: D f = R \ {}. Paritás, periodicitás: paritása nincs, nem periodikus. Folytonosság: Az = helyen szakadása van a függvénynek, az értelmezési tartomány többi pontjában folytonos. A szakadási hely két oldalán vett határértékek: lim +0 lim 0 ) = lim + +0 ) = lim 0 ) = ) = + Emiatt az = egyenletű egyenes aszimptota. Határértékek a végtelenben: lim ± ) = lim ± Az aszimptota egyenlete: + = lim ± + = f ) m = lim = lim ± ± ) = lim + = lim ± + = 0 c = lim ± Az aszimptota egyenlete tehát y =. Tengelymetszetek: f ) }{{} m = lim f ) = ± 0 f ) = ) = 0 = = 0 f 0) = 0 = 0 = y = 0 5

16 Szélsőérték, monotonitás: f ) = ) ) = ) ) ) = ) Ennek zérushelye: f ) = 0 = = 0 A második derivált: f ) = ) + ) ) ) + ) ) = ) = + ) Ennek értéke az első derivált zérushelyénél: f 0) = > 0, vagyis itt a függvénynek minimuma van. A minimum értéke f 0) = 0 Monotonitás: f ) = ) Szig. mon. csökken, ha f ) < 0. Ez két esetben teljesül: Ha a számláló pozitív, a nevező negatív, azaz ha > 0 és < 0 egyszerre teljesül. Innen > következik. Ha a számláló negatív, a nevező pozitív, azaz ha < 0 és > 0 egyszerre teljesül. Innen < 0 következik. Szig. mon. nő, ha f ) > 0. Innen: Ha a számláló és a nevező pozitív, > 0 és > 0 egyszerre teljesül. Innen 0 < < következik. Ha a számláló és a nevező negatív, < 0 és < 0 egyszerre teljesül. Ilyen valós szám nincs. Infleió, konveitás: A második derivált zérushelye: A harmadik derivált: f ) = + ) = 0 = = f ) = ) + ) ) ) ) ) 8 = ) 8 = ) 5

17 Ennek értéke a második derivált zérushelyén: f ) = 0 A függvény értéke az infleiós pontban: f ) ) = ) = 9 A függvény konve, ha: A függvény konkáv, ha: f ) > 0 = + > 0 = > f ) < 0 = + < 0 = < < = < < 0 = 0 0 < < = > f ) 0 + n. é. f ) n. é. + f ) csökken min. nő n. é. csökken konve infl. konkáv n. é. konkáv 5 y ábra. az y = függvény képe ) Vizsgáljuk meg a következő függvényeket konveitás szempontjából! 7

18 ) f ) = + sin f ) = + cos Ez a függvény R-re nemnegatív, vagyis az eredeti függvény a teljes értelmezési tartományon D f = R) monoton nő. A második derivált: f ) = sin Ennek zérushelyei: = kπ, ahol k Z. A harmadik derivált f ) = cos, melynek értéke a második derivált zérushelyein f kπ) = = 0, vagyis az eredeti függvénynek az = kπ helyeken infleiós pontja van. Könnyen ellenőrizhető, hogy ezen infleiós pontok ráesnek az y = egyenletű egyenesre, hiszen f kπ) = kπ + } sin {{ kπ } = kπ = f infleió ) = infleió. 0 Az infleiós pontokban húzott infleiós érintők meredeksége: A függvény grafikonja tehát: = 0 + kπ k Z = f ) = + = = π + kπ k Z = f ) = = 0 π y π y = 0 π π 0 π π 7. ábra. az y = + sin függvény képe 8

19 ) f ) = 5 + f ) = 5 + A második derivált: f ) = 0 9 Ebből látszik, hogy a második derivált negatív, ha < 0, és pozitív, ha > > 0. Mivel azonban =, ezért a második derivált nem értelmezett = 0-ban. = 0-ban f ), és értéke f 0) =. Ebből következően az f-nek = = 0-ban van érintője és itt f konveből konkávba megy át. Vagyis f-nek = 0-ban infleiós pontja van. 5) Írjuk fel az y = cos függvény -edfokú Taylor-polinomját az = π helyen és a Taylor-formula maradéktagját! A szükséges deriváltak: y = cos y = sin y = cos y = sin y IV) = cos A Taylor-sor és a maradéktag: T v ) = R v ) = fv+) ξ) n + )! v n=0 π ) y = y π ) = π ) y = y π ) = y IV) π ) = f n) 0 ) n! Behelyettesítve a deriváltak megfelelő értékeit: T ) = ) π! 0 ) n 0 ) v+, ahol < ξ < 0 ) π +! 9 ) π +! ) π!

20 R ) = sin ξ π ) 5, ahol < ξ < π 5! ) Ha, akkor a log a a > ), a a > ), és k k > 0) függvények is -hez tartanak. Hasonlítsuk össze a három függvény értékét nagy -ekre, azaz, ha lehet, állítsuk őket nagyság szerinti sorrendbe! Ehhez számítsuk ki a hányadosaik határértékét!) Legyen f ) és g ) két olyan egyváltozós valós függvény, hogy lim f ) = f ) = lim g ) =. Ha lim = c >, akkor a határérték definíciója g ) szerint 0, hogy > 0 esetén f ) >, azaz f ) > g ). Hasonlóan ha g ) f ) lim g ) = c <, akkor 0 szám, hogy > 0 esetén f ) < g ). A feladatban lévő függvények hányadosainak határértékei a L Hospital szabály alkalmazását az egyenlőségjel fölé tett L betűvel jeleztük): log lim a k k L k k lim = lim a a lna log lim a a Tehát a reciprokokra: lim L = lim ln a = lim k k L k k ) k = lim a lna) L = lim k log a = ln a a lna = lim lim a k = Ezek szerint 0 R, hogy > 0 esetén log a < k < a. lna k k = 0 L = L= lim a ln a = 0 lim a log a = k! a lna) k+ = 0 7) Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi függvényeknek van-e szélsőértékük az = 0 pontban! a) y = Az első derivált és zérushelye: y = = ) y 0) = 0 y = y 0) = > 0, vagyis = 0-ban a függvénynek minimuma van. 0

21 b) y = cos + + y = sin + + Ennek a zérushelye = 0. A második derivált: y = cos + + Ennek értéke az első derivált zérushelyén y 0) = 0, vagyis tovább kell vizsgálni a függvényt. A harmadik derivált: y = sin + Ennek értéke = 0-ban y 0) = > 0, vagyis itt a függvénynek infleiós pontja van. 8) Írjuk fel az e függvény 0 = 0 ponthoz tartozó n-edik MacLaurinpolinomját, és a formula maradéktagját! Az első néhány derivált értéke a 0 = 0 pontban: y = e y 0) = y = e y 0) = y = e y 0) = y = e y 0) = Innen látszik, hogy f k) 0) = {, ha k páros, ha k páratlan A MacLaurin-sor tehát: f ) = n k=0 f k) 0) k! Behelyettesítve a deriváltak értékét: f ) = k + fn+) Θ) n+, ahol 0 < Θ < n + )! n ) k k + )n+ e Θ n+, ahol 0 < Θ < k! n + )! }{{} R n) maradéktag k=0

22 9) Tekintsük az f) = + polinomfüggvényt. Vizsgáljuk meg a következő kérdéseket. Hol metszi az f függvény az, illetve az y tengelyt? Hol veszi fel az f függvény a helyi szélsőértékeit, illetve milyen intervallumokon növekvő vagy csökkenő? Milyen intervallumon konve vagy konkáv a függvény? Vegyük sorra a kérdéseket. Probálgatással megkapjuk, hogy = gyöke az + polinomnak. Ha az kiemelünk -et az + -ból akkor kapjuk, hogy f) = ) 5+). Tehát az f függvény másik két zérus helye az 5 + = 0 egyenlet gyökei: = és =. Tehát az f függvény az =, X =, X = pontokban fogja metszi az tengelyt. Az f az y tengelyt az y = f0) = pontban metszi. Az f függvény helyi szélsőértékeit az f ) = 0 egyenlet gyökei között kell keressük. f ) = + Az + = 0 egyenlet gyökei: = és = +. Ahhoz, hogy megmondjuk, hogy ezek helyi mimnimumok vagy maimumok ki számítjuk f )-et: f ) =. Mivel f sqrt ) = < 0 ezért = pont az f függvénynek helyi maimuma. Továbbá mivel f + ) = > 0 ezért az = + pont helyi minimum pont. Mivel az f a, ) és a +,+ ) intervallumon pozitív ezért ezeken az intervallumokon az f növekvő. Az, + ) intervallumon az f negatív ezért ezen az intervallumon az f csökkenő. Megvizsgáljuk, hogy hol lesz pozitív, illetve negatív az f -t. Könnyen kapjuk, hogy csak az = pontban lesz nulla az f ) és a,) intervallumon negatív az f ), illetve az,+ ) intervallumon pozitív az f ). Tehát az f az,) intervallumon konkáv és a,+ ) intervallumon konve az f.