Függvények vizsgálata

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Függvények vizsgálata"

Átírás

1 Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) = 5 + Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldásai:, = 5 ± { 5 = =, tehát f ) = f ) = 0. Első derivált vizsgálata: f ) = + Ennek gyökei:, = ± = ± { = = +. és között f ) < 0, egyébként f ) > 0. Második derivált vizsgálata: f ) = f ) = 0, ha = ; f ) < 0, ha <, f ) > 0, ha >. Táblázatos formában összefoglalva: < = < < = < < + = + > + f ) f ) f ) növekvő ma. csökkenő min. növekvő konkáv infle. konve

2 y 0 +. ábra. az y = + függvény képe ) Vizsgáljuk meg az f ) = sin függvényt! Periodicitás: Mivel sin + π) = sincos π+cos sin π = sin, ezért sin = sin + π), a függvény π szerint periodikus. Zérushelyek: A [0,π] intervallumon zérushelyek: 0, és π. Első derivált zérushelyei: f = sin cos = sin Ennek zérushelyeire = 0,π,π. Innen a zérushelyek: = 0, = π, és = π. Ezért f ) > 0 a 0, π ) intervallumon, valamint f ) < 0 π ) a,π intervallumon. A második derivált: f ) = cos Ennek zérushelyeire: = π, π. Eszerint = π és = π. Innen f ) > 0, ha ) 0, π, és f ) < 0, ha π, ) π. = 0 0 < < π = π π < < π = π π < < π = π π < < π = π f ) f ) f ) min. növekvő ma. csökkenő min. konve infle. konkáv infle. konve

3 y 0 0 π. ábra. az y = sin függvény képe π π π ) Végezzük el az f ) = sin sin függvény vizsgálatát! A függvény π szerint periodikus, ezért a [0,π] intervallumban vizsgáljuk. Az első derivált zérushelyei: f ) = sin cos cos = cos sin ) f ) = 0, ha cos = 0, vagy sin =. Ezek szerint = π, = π. A harmadik zérushely = π lenne, ami egybeesik -gyel.) A második derivált zérushelyei: f ) = sin sin )+cos = sin +sin + sin ) = sin +sin + Ez sin-ben másodkofú egyenlet, megoldásai: sin = ± { + 8 = ± sin ) = = = π sin ) = = = 7π, π Táblázatosan összefoglalva: 0 < < π = π π < < 7π = 7π 7π < < π = π π < < π = π π < < π f ) f ) f ) csökk. min. növekvő ma. csökkenő konve infle. konkáv infle. konve

4 y 0 0 π. ábra. az y = sin sin függvény képe π 7π π π π ) Vizsgáljuk az f ) = racionális törtfüggvényt! A függvény határértékei: lim f ) = 0, és lim f ) = 0. Értelmezési tartomány: D f = R \ {0}. A szakadási helyen a határérték mindkét oldalról. Az első derivált zérushelyei: f ) = ) = ) = f ) = 0, ha + = 0, vagyis ha =. Másik gyök nincs, hiszen az = 0 esetet az értelmezési tartományból kizártuk. f ) < 0, ha < 0, és ha >. f ) > 0, ha 0 < <. Az második derivált zérushelyei: f ) = + 8) + 8 ) ) 8 = Ennek egyetlen zérushelye van, az =. f ) > 0, ha >, és f ) < 0, ha <. Táblázatos formában összefoglalva:

5 < 0 0 < < = < < = < f ) + 0 f ) 0 + f ) csökkenő növekvő ma. csökkenő konkáv konkáv infle. konve y ábra. az y = függvény képe Egyváltozós függvény szélsőértékeinek meghatározása ) y = y = Az y = = 0 egyenlet megoldásai: =, és =. A második derivált: y = y ) = > 0, ezért az = helyen lokális minimum van, értéke y ) =. y ) = < 0, ezért az = helyen lokális maimum van, értéke y ) =. 5

6 ) y = e y = e + e ) = e 5) Ez akkor és csak akkor 0, ha a szorzat valamelyik tényezője 0. e > 0 R, ebből nem kapunk zérushelyet. 5) = ) = 0 egyenlet megoldásai: = 0,, = ±. y = ) e 5) +e 0 ) = e ) ) y = e < 0, ezért az = helyen lokális maimum van, ) értéke y = e. y ) = e < 0, ezért az = helyen lokális maimum van, értéke y ) = e. y 0) = 0, ezért ezt az esetet tovább kell vizsgálni. A harmadik derivált: y = e ) Innen y 0) = 0, vagyis a negyedik deriváltat is meg kell vizsgálni. y IV) = e ) Behelyettesítés után: y IV) 0) = > 0, vagyis = 0 helyen a függvénynek minimuma van, értéke y 0) = 0. ) y = y = Ennek zérushelyei:, = ± 0 Az második derivált: y = 8 = ± { = 5 = y 5) = > 0, azaz itt a függvénynek minimuma van, értéke y 5) = = 8.

7 y ) = < 0, azaz itt a függvénynek maimuma van, értéke y ) = =. ) y = + y = = Ennek zérushelyei: =, és =. Az második derivált: y = = y ) = > 0, azaz itt a függvénynek minimuma van, értéke y ) =. y ) = < 0, azaz itt a függvénynek maimuma van, értéke y ) =. 5) y y = a A teljes egyenlet egyszeri deriválása után kifejezhető az y. Innen átrendezéssel adódik az y : y + yy y y = 0 y = y y y Ennek zérushelye akkor van, ha a számláló 0, azaz ha y y = y y) = = 0. Innen y = következik, hiszen kikötöttük, hogy y 0. Ezt az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve: Ebből y = a következik. A második derivált: = a = a = a y + yy + y ) + yy y y y y = 0 Az egyszerűsítések és átrendezés után: y = y y = a =a,y=a a 7

8 Látható, hogy ha a > 0, akkor y a) < 0, vagyis maimum van, és értéke y a) = a. Ha a < 0, akkor y a) > 0, ekkor minimum van, aminek értéke szintén y a) = a. Síkgörbék vizsgálata Vizsgáljuk meg a következő görbéket növekedés, szélsőérték és konveitás szempontjából! ) y = ln >0 A második derivált: y = ln + = ln + ) y = ln + + = ln + A harmadik derivált: y = A vizsgált tulajdonságok: Szélsőértékek: y = 0, ha: = 0, azonban ezen a helyen a függvény nem értelmezett. ln =, amiből átrendezéssel = e. ) Az első derivált zérushelyén a második derivált értéke: y e = + = > 0, vagyis itt az eredeti függvénynek minimuma van. Növekedés: y > 0, ha > e, tehát y ) növekszik, ha > e. y < 0, ha < e, tehát y ) fogy, ha < e. Infleiós pont: y = 0, ha ln =, vagyis ha = e. A harmadik derivált értéke ) ezen a helyen y e = > 0, vagyis az = e e helyen infleiós pont van. Konveitás: ] ) y > 0, ha > e, tehát e, esetében konve. ] [ y < 0, ha < e, tehát 0,e esetében konve. 8

9 ) y = e y = e A második derivált: y = e + e = e ) A vizsgált tulajdonságok: Szélsőértékek: Az első derivált egyetlen helyen, az = 0-ban zérus. Itt a második derivált értéke negatív, tehát az = 0 helyen a függvénynek maimuma van, értéke y 0) =. Növekedés: y > 0, ha,0[, ezen az intervallumon a függvény növekszik. y < 0, ha ]0, [, ezen az intervallumon a függvény csökken. Infleiós pont: y = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha = 0, vagyis a zérushelyek =, és =, ezeken a helyeken a függvénynek infleiós pontja van. Konveitás: y > 0, ha, [, a görbe itt alulról konve. ] y < 0, ha, [, a görbe itt alulról konkáv. ] ) y > 0, ha,, a görbe itt alulról konve. ) y = + + > 0 A második derivált: y = + + ) = + ) y = + ) + ) ) + ) = + + ) = + ) A vizsgált tulajdonságok: 9

10 Szélsőértékek: y = 0, ha =, és =. = esetén y ) = = maimuma van. < 0, azaz itt a függvénynek = esetén y ) = ) ) = > 0, azaz itt a függvénynek minimuma van. Növekedés: Az első derivált viselkedése miatt a függvény:, [ intervallumon csökkenő, ],[ intervallumon növekvő, ], ) intervallumon csökkenő, Infleiós pont: y = 0, ha ) = 0, aminek megoldásai = 0, =, és =. Ezeken a helyeken a függvénynek infleiós pontja van. Konveitás: A második derivált viselkedése miatt a függvény:, [ intervallumon alulról konkáv, ],0 [ intervallumon alulról konve, ] 0, [ intervallumon alulról konkáv, ], ) intervallumon alulról konve. Görbület, görbületi kör A következő görbék adott pontjában számítsuk ki a simulókör sugarát, és középpontját! Emlékeztető: A simulókör egyenlete a) + y b) = r, ahol: a = 0 + [y 0 )] y 0 ) b = y [y 0 )] y 0 ) + [y 0 )] ) y 0 ) r = [y 0 )] 0

11 Ha a görbe paraméteresen adott, akkor ugyanezek a paraméterek: ẋ + ẏ ) ẏ a = ẋÿ ẍẏ ẋ + ẏ ) ẋ b = y + ẋÿ ẍẏ ẋ + ẏ ) r = ẋÿ ẍẏ ) y = az,0) pontban A deriváltak értéke a megadott pontban: y = = = y = = = Innen a simulókör paraméterei behelyettesítéssel: r = + 9) = 000 a = + 9 = b = = = r = = 5 0 = G = 5 0 ) y = 0 az,) pontban Az egyenlet egyszeri, és kétszeri deriválása, valamint az y 0 = behelyettesítése után kifejezhető az y és y : yy = 0 = y = 0 = y = 5 y + yy = 0 = y = y Innen behelyettesítéssel a paraméterek értékei: y 5 = = 5 8 a = = = = 5 =,8 b = = ) + 5 r = 5 8 = = 8 5 = 0, ) = = r = 9 9 5

12 ) y = + az,) pontban { ) = sin t y = cos t a paraméter t = 0 értékénél Az egyes paraméter szerinti deriváltak: ẋ = cos t ẏ = sin t ẍ = sin t ÿ = cos t 5) t = 0 értékét behelyettesítve ẋ =, ẏ = 0, ẍ = 0, és ÿ =. Ezeket beírva megkapjuk a simulókör paramétereit: { = acos t y = asin t b = + a = 0 r = + 0) 8 + 0) ) 8 a paraméter t = π értékénél = 0 = 8 = = 8 = 8 = G = 8 A paraméter szerinti első deriváltak: ẋ = acos t sin t ẏ = asin t cos t A paraméter szerinti második deriváltak: ẍ = acos t sin t acos t ÿ = asin t cos t asin t Ezek értékei t = π esetében ẋ = a, ẏ = a, ẍ = a, és ÿ = a. Ezeket a képletbe behelyettesítve Hogy ne foduljon elő az a két különböző jelentésben, a simulókör paramétereit a -gyel, és b -gyel jelöljük.): a = a 9a a 9a = a r = b = a ) 9a 9a = a

13 További feladatok Vizsgáljuk meg az alábbi függvényeket! ) f ) = e Értelmezési tartomány: D f = R \ {0} Paritás, periodicitás: paritása nincs, nem periodikus. Folytonosság: = 0-ban szakadási helye van, máshol folytonos. A szakadási helyen vett határértékek: lim 0+0 e = 0 Aszimptota egyenlete: lim 0 0 e = m = lim = f ) = lim e = e 0 =. e c = lim f ) m) = lim Az aszimptota egyenlete tehát: y =. = lim e = Zérushely: e = 0 egyenletnek nincs megoldása, hiszen e > 0 R-re, és 0. Szélsőértékek: f ) = e + e = e + ) Ennek zérushelye akkor és csak akkor van, ha + = 0, vagyis ha =. A második derivált: f ) = e + ) +e ) = e + ) = e Ennek értéke az első derivált zérushelyénél: f ) = e < 0, vagyis ezen a helyen a függvénynek maimuma van, értéke f ) = e = = e.

14 Monotonitás: Szig. mon. nő, ha f ) < 0, ami akkor teljesül, ha e + ) > 0 Mivel e > 0 R-re, ezért ezzel ekvivalens: + > 0 = + Ez akkor teljesül, ha > 0, vagy <. > 0 Szig. mon. csökken, ha f ) < 0. Ez azt jelenti, hogy + < 0, Infleió: ami akkor teljesül hasonlóan az előző esethez), ha < < 0. A függvény második deriváltja: f ) = e Ennek az értelmezési tartományon nincs zérushelye, ezért a függvénynek nincs infleiós pontja. Konveitás: A függvény konve, ha f ) > 0, vagyis ha > 0. A függvény konkáv, ha f ) < 0, vagyis ha < 0. y 0 e ábra. az y = e függvény képe

15 < = < < 0 = 0 0 < f ) + 0 n. é. + f ) n. é. + f ) nő ma. csökken n. é. nő konve n. é. konkáv ) f ) = ) Értelmezési tartomány: D f = R \ {}. Paritás, periodicitás: paritása nincs, nem periodikus. Folytonosság: Az = helyen szakadása van a függvénynek, az értelmezési tartomány többi pontjában folytonos. A szakadási hely két oldalán vett határértékek: lim +0 lim 0 ) = lim + +0 ) = lim 0 ) = ) = + Emiatt az = egyenletű egyenes aszimptota. Határértékek a végtelenben: lim ± ) = lim ± Az aszimptota egyenlete: + = lim ± + = f ) m = lim = lim ± ± ) = lim + = lim ± + = 0 c = lim ± Az aszimptota egyenlete tehát y =. Tengelymetszetek: f ) }{{} m = lim f ) = ± 0 f ) = ) = 0 = = 0 f 0) = 0 = 0 = y = 0 5

16 Szélsőérték, monotonitás: f ) = ) ) = ) ) ) = ) Ennek zérushelye: f ) = 0 = = 0 A második derivált: f ) = ) + ) ) ) + ) ) = ) = + ) Ennek értéke az első derivált zérushelyénél: f 0) = > 0, vagyis itt a függvénynek minimuma van. A minimum értéke f 0) = 0 Monotonitás: f ) = ) Szig. mon. csökken, ha f ) < 0. Ez két esetben teljesül: Ha a számláló pozitív, a nevező negatív, azaz ha > 0 és < 0 egyszerre teljesül. Innen > következik. Ha a számláló negatív, a nevező pozitív, azaz ha < 0 és > 0 egyszerre teljesül. Innen < 0 következik. Szig. mon. nő, ha f ) > 0. Innen: Ha a számláló és a nevező pozitív, > 0 és > 0 egyszerre teljesül. Innen 0 < < következik. Ha a számláló és a nevező negatív, < 0 és < 0 egyszerre teljesül. Ilyen valós szám nincs. Infleió, konveitás: A második derivált zérushelye: A harmadik derivált: f ) = + ) = 0 = = f ) = ) + ) ) ) ) ) 8 = ) 8 = ) 5

17 Ennek értéke a második derivált zérushelyén: f ) = 0 A függvény értéke az infleiós pontban: f ) ) = ) = 9 A függvény konve, ha: A függvény konkáv, ha: f ) > 0 = + > 0 = > f ) < 0 = + < 0 = < < = < < 0 = 0 0 < < = > f ) 0 + n. é. f ) n. é. + f ) csökken min. nő n. é. csökken konve infl. konkáv n. é. konkáv 5 y ábra. az y = függvény képe ) Vizsgáljuk meg a következő függvényeket konveitás szempontjából! 7

18 ) f ) = + sin f ) = + cos Ez a függvény R-re nemnegatív, vagyis az eredeti függvény a teljes értelmezési tartományon D f = R) monoton nő. A második derivált: f ) = sin Ennek zérushelyei: = kπ, ahol k Z. A harmadik derivált f ) = cos, melynek értéke a második derivált zérushelyein f kπ) = = 0, vagyis az eredeti függvénynek az = kπ helyeken infleiós pontja van. Könnyen ellenőrizhető, hogy ezen infleiós pontok ráesnek az y = egyenletű egyenesre, hiszen f kπ) = kπ + } sin {{ kπ } = kπ = f infleió ) = infleió. 0 Az infleiós pontokban húzott infleiós érintők meredeksége: A függvény grafikonja tehát: = 0 + kπ k Z = f ) = + = = π + kπ k Z = f ) = = 0 π y π y = 0 π π 0 π π 7. ábra. az y = + sin függvény képe 8

19 ) f ) = 5 + f ) = 5 + A második derivált: f ) = 0 9 Ebből látszik, hogy a második derivált negatív, ha < 0, és pozitív, ha > > 0. Mivel azonban =, ezért a második derivált nem értelmezett = 0-ban. = 0-ban f ), és értéke f 0) =. Ebből következően az f-nek = = 0-ban van érintője és itt f konveből konkávba megy át. Vagyis f-nek = 0-ban infleiós pontja van. 5) Írjuk fel az y = cos függvény -edfokú Taylor-polinomját az = π helyen és a Taylor-formula maradéktagját! A szükséges deriváltak: y = cos y = sin y = cos y = sin y IV) = cos A Taylor-sor és a maradéktag: T v ) = R v ) = fv+) ξ) n + )! v n=0 π ) y = y π ) = π ) y = y π ) = y IV) π ) = f n) 0 ) n! Behelyettesítve a deriváltak megfelelő értékeit: T ) = ) π! 0 ) n 0 ) v+, ahol < ξ < 0 ) π +! 9 ) π +! ) π!

20 R ) = sin ξ π ) 5, ahol < ξ < π 5! ) Ha, akkor a log a a > ), a a > ), és k k > 0) függvények is -hez tartanak. Hasonlítsuk össze a három függvény értékét nagy -ekre, azaz, ha lehet, állítsuk őket nagyság szerinti sorrendbe! Ehhez számítsuk ki a hányadosaik határértékét!) Legyen f ) és g ) két olyan egyváltozós valós függvény, hogy lim f ) = f ) = lim g ) =. Ha lim = c >, akkor a határérték definíciója g ) szerint 0, hogy > 0 esetén f ) >, azaz f ) > g ). Hasonlóan ha g ) f ) lim g ) = c <, akkor 0 szám, hogy > 0 esetén f ) < g ). A feladatban lévő függvények hányadosainak határértékei a L Hospital szabály alkalmazását az egyenlőségjel fölé tett L betűvel jeleztük): log lim a k k L k k lim = lim a a lna log lim a a Tehát a reciprokokra: lim L = lim ln a = lim k k L k k ) k = lim a lna) L = lim k log a = ln a a lna = lim lim a k = Ezek szerint 0 R, hogy > 0 esetén log a < k < a. lna k k = 0 L = L= lim a ln a = 0 lim a log a = k! a lna) k+ = 0 7) Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi függvényeknek van-e szélsőértékük az = 0 pontban! a) y = Az első derivált és zérushelye: y = = ) y 0) = 0 y = y 0) = > 0, vagyis = 0-ban a függvénynek minimuma van. 0

21 b) y = cos + + y = sin + + Ennek a zérushelye = 0. A második derivált: y = cos + + Ennek értéke az első derivált zérushelyén y 0) = 0, vagyis tovább kell vizsgálni a függvényt. A harmadik derivált: y = sin + Ennek értéke = 0-ban y 0) = > 0, vagyis itt a függvénynek infleiós pontja van. 8) Írjuk fel az e függvény 0 = 0 ponthoz tartozó n-edik MacLaurinpolinomját, és a formula maradéktagját! Az első néhány derivált értéke a 0 = 0 pontban: y = e y 0) = y = e y 0) = y = e y 0) = y = e y 0) = Innen látszik, hogy f k) 0) = {, ha k páros, ha k páratlan A MacLaurin-sor tehát: f ) = n k=0 f k) 0) k! Behelyettesítve a deriváltak értékét: f ) = k + fn+) Θ) n+, ahol 0 < Θ < n + )! n ) k k + )n+ e Θ n+, ahol 0 < Θ < k! n + )! }{{} R n) maradéktag k=0

22 9) Tekintsük az f) = + polinomfüggvényt. Vizsgáljuk meg a következő kérdéseket. Hol metszi az f függvény az, illetve az y tengelyt? Hol veszi fel az f függvény a helyi szélsőértékeit, illetve milyen intervallumokon növekvő vagy csökkenő? Milyen intervallumon konve vagy konkáv a függvény? Vegyük sorra a kérdéseket. Probálgatással megkapjuk, hogy = gyöke az + polinomnak. Ha az kiemelünk -et az + -ból akkor kapjuk, hogy f) = ) 5+). Tehát az f függvény másik két zérus helye az 5 + = 0 egyenlet gyökei: = és =. Tehát az f függvény az =, X =, X = pontokban fogja metszi az tengelyt. Az f az y tengelyt az y = f0) = pontban metszi. Az f függvény helyi szélsőértékeit az f ) = 0 egyenlet gyökei között kell keressük. f ) = + Az + = 0 egyenlet gyökei: = és = +. Ahhoz, hogy megmondjuk, hogy ezek helyi mimnimumok vagy maimumok ki számítjuk f )-et: f ) =. Mivel f sqrt ) = < 0 ezért = pont az f függvénynek helyi maimuma. Továbbá mivel f + ) = > 0 ezért az = + pont helyi minimum pont. Mivel az f a, ) és a +,+ ) intervallumon pozitív ezért ezeken az intervallumokon az f növekvő. Az, + ) intervallumon az f negatív ezért ezen az intervallumon az f csökkenő. Megvizsgáljuk, hogy hol lesz pozitív, illetve negatív az f -t. Könnyen kapjuk, hogy csak az = pontban lesz nulla az f ) és a,) intervallumon negatív az f ), illetve az,+ ) intervallumon pozitív az f ). Tehát az f az,) intervallumon konkáv és a,+ ) intervallumon konve az f.

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI I.Feladat: Egyváltozós függvény grafikonjához húzható érintőkkel kapcsolatos feladatok. 1.feladat: Határozza meg az függvény x = 1 abszcisszájú pontjába

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Gazdasági Matematika I. Megoldások

Gazdasági Matematika I. Megoldások . (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval : 0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás

Részletesebben

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343 Házi ladatok mgoldása 0. nov.. HF. Elmzz az ( ) = üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, zérushly, y-tnglymtszt, monotonitás, lokális

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon

Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon Lukács Imola Matematika BSc Szakdolgozat Témavezető: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben