4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval"

Átírás

1 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) ) = ) = = 6 0. Feladat: f) = + 7 f ) =? 53

2 54 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f ) 3 f + ) f) ) =... = ) = 7 = 3. Feladat: f) = 3 + f ) =? Feladat: További gyakorló feladatok: A definícióval atározza meg az alábbi deriváltakat! a) f) = 3 f 3) =? b) f) = 5 c) f) = + f 6) =? f ) =? d) f) = sin ) f ) =? 5. Feladat: tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

3 4.. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK GYAKORLÁSA 55 Tétel: cos ) = sin, R Bizonyítsa be a tételt! Hasonlóan igazolató, ogy sin ) = cos ) f) := cos f ) Ugyanis: f + ) f) cos + ) cos cos cos sin sin cos = cos sin sin = sin }{{ }}{{ } 0 cos cos sin sin = sin = 0 = A deriválási szabályok gyakorlása Szükséges ismeretek: deriválási szabályok, összetett függvény deriválása. Továbbá: α ) = α α, sin ) = cos, cos ) = sin. 6. Feladat: Tétel: a) tg ) = cos, b) ctg ) = sin, π + kπ kπ Bizonyítsa be az állításokat! konstansszoros deriváltja összeg deriváltja 3 szorzat deriváltja 4 összetett függvény deriváltja 5 inverzfüggvény deriváltja c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

4 56 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA A ányadosfüggvény deriválási szabályát és a függvények definícióját asználjuk fel. u ) ) = u v u v v tg ) = v ) sin = sin ) cos sin cos ) cos cos =... = cos, π + kπ ctg ) = cos ) = cos ) sin cos sin ) sin sin =... = sin, kπ 7. Feladat: Deriváljuk az alábbi vagy asonló) függvényeket! , + ) + 4, , 3 + ) 6, sin 3, sin 3, sin 3, sin 5 3, 3 + cos 4 ) ) = ) + 7) + 3) ) + ) 4 + 7) = + ) ) + 4) } {{ } =+ 4 ) / = = ) / + 4 ) }{{} =8 3 Most még ilyen részletességgel dolgozzanak! ) = ) ) 6 + 3) = 6 + 3) = + 5 ) ) 6 + 3) / ) 6 ) = ) ) }{{} = 3 +4 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

5 4.. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK GYAKORLÁSA 57 sin 3 ) = cos 3 3 sin 3 ) = 3 sin sin ) }{{} cos sin 3 ) = cos 3 3 sin 5 3 ) = 5 sin 4 3 sin 3 ) }{{} cos cos 4 ) 3 ) = cos 4 ) 3 + cos 4 ) 3 + cos 4 ) = 3 + cos 4 cos 4 ) }{{} sin Feladat: f) = cos 4) ) 4, a 0 sin 3, a < 0 7 Határozza meg a deriváltfüggvényt, aol az létezik! f ), mert a függvény nem értelmezett = -ben. ) f0 + 0) 0+0 cos 4) = ) 4 4 = 4 ) sin 3 sin 3 f0 0) = 9 f0 + 0) 7 f 0), mert a függvény nem folytonos = 0 -ban nem létezik a atárérték itt). Ha 0 és, akkor f deriválató, mert deriválató függvények összetétele. f ) = cos 4 sin 4) 4 cos 4 + 3) 8 4) ) 5, a > 0 és sin 3 cos sin , a < 0 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

6 58 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 4.3. A deriválási szabályok + definíció gyakorlása 9. Feladat: f) = 3 Mutassuk meg, ogy f 0)! f f) f0) 0) Teát f 0) = 0. Feladat: f) = 3 sin 3 f ) =? = 0 -ban a definícióval dolgozzon!) Ha 0, akkor deriválató függvények összetétele és f ) = 3 /3 sin cos 3 ) 3 /3 Ha = 0, akkor a definícióval dolgozunk: 3 3 sin f 0) 0 3 sin =. Feladat: f) = 5 3 tg 5 ), < 5 a) f ) =?, a 0 b) A derivált definíciója alapján atározza meg f 0) értékét! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

7 4.3. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK + DEFINÍCIÓ GYAKORLÁSA 59 a) Ha 0, akkor létezik a derivált, mert deriválató függvények összetétele: f ) = 3 tg 5 ) /5) = 5 3 tg 5 ) 4/5 3 tg 5 ) 3 tg 5 ) = 3 tg cos 5 b) f 0) f) f0) 5 3 sin tg cos 5 = = 5 5 sin 5 3 cos =. Feladat: f) = sin ) f ) =? g) := ) sin ) Ez egy mindenütt deriválató függvény: g ) = sin ) + ) cos ) g felasználásával: { g), a f) = g), a < Ezért { g f ) = ), a > g ), a < = -ben legjobb a definícióval ellenőrizni a deriválatóságot. Használató lenne a segédlet 6. oldalán kimondott tétel is, de talán jobb ilyenkor a definíció.) f ) f) f) sin ) 0 sin ) ) = 0 = 0 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u =

8 60 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 3. Feladat: f ) =? f) = 3 sin, a 0 0, a = Feladat: További gyakorló feladatok: a) f) = 9 sin 3), f ) =? b) f) = 3 3, f ) =? c) f) = 5 sin 5 3, f ) =? d) f) = f ) =? e) f) = sin 7, a > 0 ), a 0 3, a a + b, a < Adja meg a és b értékét úgy, ogy f ) létezzen! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

9 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK Elemi függvények 5. Feladat: Rajzolja fel a tg és az arctg függvények grafikonját! Határozza meg értelmezési tartományukat, értékkészletüket, deriváltjukat! Elm Feladat: a) 0 arctg =? b) arctg =? arctg =? arctg 3 =? c) 0 arctg =? d) 3 arctg =? e) arctg + 3 =? 6 atványfüggvények 7 eponenciális függvények 8 trigonometrikus függvények 9 iberbolikus függvények c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

10 6 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA a) = tg u, u = arctg elyettesítéssel : 0 arctg u 0 u tg u u 0 b) arctg = π 3+0 } 3 {{ }, mert / 0 alakú arctg = π 3 0 } 3 {{ }, mert /+0 alakú arctg 3 = arctg 0 = 0 u sin u cos u = c) 0 arctg = 0, mert 0 korlátos) alakú. d) 3 arctg e) arctg + 3 = 3 arctg = arctg = π 4 arctg ) + 3 = π }{{} 7. Feladat: f) = 3 arctg, f ) =? = 0 -ban a definícióval dolgozzon!) Fel kell asználni, ogy 0 arctg Adjuk fel ázi feladatnak, mert nincs benne már új dolog! = az előző példában látottak alapján. tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

11 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK Feladat: f) = arctg, a 0 a, a = 0 g) = arctg, a 0 b, a = 0 a) Határozza meg az a és b paraméterek értékét úgy, ogy az f és g folytonos legyen = 0 -ban! b) f 0) =?, g 0) =? a) arctg 0 = 0, Hasonlóan g) = korlátos alakú) Teát a = f0) := 0, b = g0) := 0. Vagyis arctg, a 0 f) = 0, a = 0 függvények már mindenütt folytonosak. b) f 0) f) f0) ) f +0) = π, f 0) = π g) = arctg 0 arctg, a 0 0, a = 0 arctg g 0) g) g0) arctg 0 arctg = 0 9. Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

12 64 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f) = arctg +, a β, a = a) Megválasztató-e β értéke úgy, ogy az f függvény folytonos legyen = -ben? b) f ) =?, a c) f ) =? Létezik-e f )? a) arctg + = π +0 } {{ } arctg + = π 0 } {{ } Mivel = -ben = -ben. b) Ha : f ) = + ) + = a atárérték, ezért nincs olyan β, melyre f folytonos lenne ) + ) =... = + ) + ) ) ) = + ) ) c) f ) =, de f ), mert az f függvény nem folytonos = -ben. 0. Feladat: Ismertesse az arcsin függvény tulajdonságait értelmezési tartomány, értékkészlet, ábra, derivált)! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

13 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 65. Feladat: f) = 3π arcsin 3 ) a) D f =?, R f =?, f ) =? b) Írja fel az 0 = 7 4 pontbeli érintőegyenes egyenletét! c) Indokolja meg, ogy f -nek létezik az f inverze! f ) =?, D f =?, R f =? a) 3... = D f = [, ] [ 3 [, ] = arcsin 3 ) π, π ] = arcsin 3 ) [ π, π] = R f = [π, 4π] f ) = b) y é = f ) ) ) = 4 3 ) + f 7 4 ) 7 ) 4 = 0 3 π ) 3 4,, ) c) f ) > 0, a, ) és f folytonos [, ] -ben, ezért f szigorúan monoton nő D f - en, így a teljes értelmezési tartományban invertálató. y = 3π arcsin 3 ) =... f ) = 3 sin 3π ) D f = R f = [π, 4π], R f = D f = [, ]. Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

14 66 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA a) D f =?, R f =? f) = arccos 4 π b) Adja meg a 5 pontot tartalmazó azon legbővebb intervallumot, melyen f invertálató! f ) =?, D f =?, R f =? a) f páros függvény. ÉT.: 4 = 0 < 4 miatt arccos 4 [ 0, π ) = R f = [ π, 0 ) b) f ) = ) 8 = 4 3 ) 4 8, a >. 3 f ) < 0, a, ) és f folytonos I =, ] -n = f szigorúan monoton csökken I -n, teát invertálató I -n. 5 I) y = arccos 4 π =... f ) = D f = R f = [ π ), 0, R f = D f =, ] cos + π ) 3. Feladat: Deriválja az alábbi függvényeket! c 5, a 0 f) = s 3, a < 0 ; g) = + 4 ) tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

15 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 67 Rajzoljuk fel az s, c függvényeket! f0 + 0) = f0) = c 0 = f0 0) = 0 = f nem folytonos = 0 -ban = f 0) Egyébként f deriválató függvények összetétele és így deriválató: 0 s 5, a > 0 f ) = c 3, a < 0 g eponenciális atványfüggvény, ennek megfelelően deriváljuk: g) = e ln +4 ) = e ln +4 ) ) g ) = e ln +4) ln + 4 )) = + 4 ) ln + 4 ) Feladat: e ), a > f) = c ) 3, a Írja fel f ) értékét, aol az létezik! Feladat: f) = arctg π Hol és milyen szakadása van a függvénynek? Írja fel f ) értékét, aol az létezik! Adjon meg egy intervallumot, melyen létezik f! f ) =?, D f =?, R f =?... c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

16 68 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA Elm 4.5. L Hospital szabály 6. Feladat: a) 0 arctg 3 ars 5 3 =? e) ) ln =? b) 0 arcsin 3 tg =? f) +0 tg =? c) e 5 =? g) e 8 e 3 e 5 + e 3 =? d) +0 ln 7 =? ) s 3 ) c 3 + 4) =? a) 0 arctg 3 ars 5 3 b) 0 arcsin 3 tg c) e 5 = L H 0 L H ) ) 3 ) tg L H e5 cos L H 5 e5 + 3 ) + 53 ) = e 5 = 0 sin cos3 = 3 d) +0 ln 7 = +0 ln ln / L H / = +0 4 = 0 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

17 4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 69 e) ) ln ln + ) ln L H ln + ln + ) ln ln + L H = + = f) +0 tg = +0 tg ln +0 eln tg +0 ln ctg +0 etg ln = e 0 =, mert L H +0 sin +0 sin sin = 0 g) A L Hospital szabály alkalmazása most nem vezetne eredményre. e 8 e 3 e 5 + e 3 e 3 e 3 e e 8 + = = ) Itt sem vezet eredményre a L Hospital szabály. Beírva a függvények definícióját, az előző pédáoz asonlóan járatunk el: s 3 ) c 3 + 4) = e 3 e 3 ) e e 3+4) e 3 e 3 e e 6+ e 4 + e 6 4 = e e Intervallumon deriválató függvények tulajdonságai, függvényvizsgálat 7. Feladat: Elm f) = 3) 3 + 5) 4 a) Adja meg azokat a legbővebb intervallumokat, melyeken a függvény szigorúan monoton! b) Hol van lokális szélsőértéke? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

18 70 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f ) = 3 3) +5) 4 + 3) 3 4+5) 3 =... = 3) + 5) + 5)7 + 3) }{{}}{{} 0 rajzoljuk fel!, 5) 5 5, 3 ) 3 37 ) 7 7, 3 3 3, ) f f Teát f szigorúan monoton nő:, 5) és 37 ), intervallumokon, f szigorúan monoton csökken: 5, 3 ) -en. 7 = 5 -ben lokális maimum van, mert f növekvőből csökkenőbe megy át. = 3 -ben lokális minimum van, mert f csökkenőből növekvőbe változik Feladat: f) = ln + + ) Keresse meg azokat az intervallumokat, melyeken a függvény - monoton nő, illetve monoton csökken; - alulról konve, alulról konkáv. f) = ln + + ) = ln + ) + ) }{{} f + ) = + + = D f = R, ), ) f 0 + f Teát f szigorúan) monoton csökken, ) -en és szigorúan) monoton nő, ) - en. f ) = + + ) + ) + ) + ) = + + ) + + ) tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

19 4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 7 A nevező, a számlálóban levő parabolát pedig rajzoljuk fel!, ), 0) 0 0, ) f f infl. pont) infl. pont) 9. Feladat: f) = e 3 Hol monoton növő, illetve csökkenő az f függvény? Hol van lokális szélsőértéke? f ) = e 3 + e 3 3) = 3) e 3 = 0, a = 3., ) ) 3 3 3, f + 0 f lok.ma. f ) = 3 3 e 30. Feladat: f) = Hol konve, ol konkáv a függvény? Hol van infleiós pontja? f ) = f ) = = 60 }{{} ) }{{} ) 4), 0) 0 0, ), 4) 4 4, ) f f infl.p. infl.p. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

20 7 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 3. Feladat: f) = e Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyeken az f függvény konve, illetve konkáv! Hol van infleiója az f függvénynek? f ) = e + e ) = e e f ) = e ) 4 e e ) = e 4 3 6) = e 3) Ábrázoljuk vázlatosan a 3) függvényt, mert így könnyebb az előjelvizsgálat! 3 3 Harmadfokú polinom, nullaelyek:, 0, ; + -ben + -ez tart a függvény és -ben -ez tart a függvény.) Ennek alapján: ) 3, 3 ) 3, 0 0 0, ) 3 3 ) 3, f f infl.p. infl.p. infl.p. 3. Feladat: Hol konve, ol konkáv az függvény? Van-e infleiós pontja? f) = ln e ) D f = 0, ) f ) = ln e ) + e = ln e ) + e f ) = ln e ) + e + = ln e ) + 3 = 0 e = ln e ) = 3 = e = e 3/ = = e 5/ tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

21 4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 73 0, e 5/ ) e 5/ e 5/, ) f 0 + f infl. pont) 33. Feladat: Vizsgálja meg és vázlatosan ábrázolja az f) = ln e ) függvényt? Konve-konkáv tulajdonságot, infleiót most ne vizsgáljon! D f = 0, ) Nullaely: e = = = e +0 ln e ) }{{ } +0 alakú = ln e ) }{{ } alakú L H = 0 f ) =, f) = ln e ) = ln e ) = 0 = ln e ) = = = 0, ), ) f + 0 f lok. ma. A függvény grafikonja a 4. ábrán látató. 34. Feladat: Végezzen függvényvizsgálatot és vázlatosan ábrázolja a függvényt! a) f) = 3 e c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

22 74 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 4.. ábra. Az f) = lne ) függvény grafikonja. lne)/ b) f) = + a) f) = 3 e D f = R ; Nullaely: = 0 3 e = 3 e Nem páros, nem páratlan, nem periodikus. f ) = 3 e 3 e = e 3 ) L H =... = 0 3 e =, 0) 0 0, 3) 3 3, ) f f lok. ma. f3) = 7 e 3 = 7 e 3 f ) = 6 e 3 e 3 e + 3 e = e 6 + 6) }{{} =0 : =3± 3 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

23 4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 75, 0) 0 ) 0, ) 3 3, , ) f f infl.p. infl.p. infl.p. R f =, 7 ] e 3 A függvény grafikonja a 4..a) ábrán látató. 4.. ábra. A két vizsgált függvény grafikonja. a) b).5 3 e )/ b) f) = + D f = R \ {0} ; ± + ) = + ) + ) = + ) +0 = ± Nullaelyek: =, = f ) = + ) = + > 0, 0) 0 0, ) f + + f szak.. = ; 0 + ) = + c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

24 76 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f ) = 4 3, 0) 0 0, ) f + f szak.. A függvény grafikonja a 4..b) ábrán látató. Megjegyzés: ± ) f) + )) = 0 = A függvény, a ± ± egyre közelebb kerül az y = + lineáris függvényez lineáris aszimptota). 35. Feladat: Van-e lineáris aszimptotája az alábbi függvénynek + -ben? a) f) = + sin b) f) = c) f) = Elm 4.7. Abszolút szélsőérték 36. Feladat: f) = a) Végezzen függvényvizsgálatot és vázlatosan ábrázolja a függvényt! b) Beszéletünk-e a függvény maimumáról illetve minimumáról az [, 3] intervallumon? Ha igen, akkor mennyi ezek értéke? tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

25 4.7. ABSZOLÚT SZÉLSŐÉRTÉK 77 a) D f = R \ {0} ; = + f) = +, f) = Nem páros, nem páratlan, nem periodikus. Nullaely: f) = = 0 = f 5 48) = 0 f ) = = 3 5 3) 3 = 0 = =, f) = 0, 0) 0 0, ), ) f f szak.. lok. min. f ) = = = 0 = = 5 48, f 5 48) = 0), 5 48) , 0) 0 0, ) f f infl.p. szak.. A függvény grafikonja a 4.3 ábrán látató. b) Mivel f folytonos [, 3] -ban zárt!) = min., ma. Weierstrass II. tétele) Mivel f az intervallumon mindenütt deriválató, a szóbajöető pontok: - a lokális szélsőérték: f) = 0, - az intervallum végpontjai: f) = 49, f3) = = min {f)} = 0, ma [,] {f)} = 49 [,] 37. Feladat: f) = e 3 Van-e minimuma, illetve maimuma az f függvénynek a [0, ] intervallumon? Indokoljon!) Ha igen, atározza meg! c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

26 78 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ábra. A vizsgált függvény grafikonja f ) = e 3 3)... min {f)} = f0) = 0, ma [0,] {f)} = f [0,] 3 ) = 4 9 e Elm 4.8. Implicit megadású függvények deriválása 38. Feladat: Az y) függvény az 0 = e pont környezetében differenciálató és kielégíti az ln y + y ln = implicit függvénykapcsolatot. Határozza meg ezen függvény e,) pontjabeli érintő egyenesének egyenletét! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

27 4.8. IMPLICIT MEGADÁSÚ FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 79 Ellenőrizzük a pontot! e ln + ln e? = Igaz. Teát az y) valóban átmegy az adott ponton: ye) =. ln y) + y) ln = Mindkét oldalt szerint deriváljuk: ln y) + y) y ) + y ) ln + y) = 0 Beelyettesítve = e -t ye) = ), kapjuk y e) -t: ln + e y e) + y e) ln e + e = 0 = y e) = Az érintőegyenes egyenlete: y é = ye) + y e) e) = e e + ) e) e e + ) 39. Feladat: egy környezeté- A differenciálató y = y) átmegy az 0 =, y 0 = ponton és 0 ben kielégíti az alábbi implicit egyenletet: y + y 5 + e ) 4 = 0 Van-e ennek a függvénynek lokális szélsőértéke az 0 = pontban? Van-e infleiója a függvénynek ugyanitt? + 0 =? 0 Igaz. Az -től való függést már nem jelölöm, így áttekintetőbb: y y + 0y 4 y + e 4 ) 3 = 0 Beelyettesítés: =, y = y ) + 0y ) = 0 = y ) = 4 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

28 80 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA Mivel y ) 0 = nincs lokális szélsőértéke = -ben nem teljesül a szükséges feltétel). y y + y y + 40y 3 y y + 0 y 4 y + 4e ) = 0 =, y =, y = 4 : 8 y ) y ) = 0 Elég csak felírni, ogy ebből y ) = 3 a igaz). 64 Mivel y ) 0 = nincs infleiós pontja = -ben nem teljesül a szükséges feltétel). Elm 4.9. Paraméteres megadású görbék 40. Feladat: Legyen = t + sin 4t, y = t + sin t a) Indokolja meg, ogy a fenti paraméteresen megadott görbének van y = f) előállítása a t 0 = π 8 paraméterez tartozó 0 = t 0 ) pont egy környezetében! b) f 0 ) =?, f 0 ) =? Van-e lokális szélsőértéke, illetve infleiója az f függvénynek az 0 pontban? c) Írja fel a t 0 paraméterű pontban az érintő egyenes egyenletét! Descartes koordinátákkal.) a) ẋt) = + 4 cos 4t π ) π ẋ = > 0 és ẋt) folytonos = 8 8 δ, π ) 8 + δ = itt t) szigorúan monoton nő = inverze : t = t) és így f) = yt))., aol ẋt) > 0 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

Tartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok...

Tartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok... Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények............................... 3 3... Bevezető feladatok.......................... 3 3... Határérték............................... 5 3..3. Függvény

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása . tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

1. Monotonitas, konvexitas

1. Monotonitas, konvexitas 1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

1.1 A függvény fogalma

1.1 A függvény fogalma 1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük.

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat

Teljes függvényvizsgálat Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4 Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!

Részletesebben

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.

Részletesebben

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Gazdasági Matematika I. Megoldások

Gazdasági Matematika I. Megoldások . (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4. Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus

Részletesebben

Inverz függvények Inverz függvények / 26

Inverz függvények Inverz függvények / 26 Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.? FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z

Részletesebben

4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai

4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai 69 4. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 4... A görbe érintője és a pillanatnyi sebesség Tekintsük az f : R + R + f) 4 függvényt. Húzzuk meg az y

Részletesebben

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [ Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

I. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL

I. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív

Részletesebben