4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval"

Átírás

1 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) ) = ) = = 6 0. Feladat: f) = + 7 f ) =? 53

2 54 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f ) 3 f + ) f) ) =... = ) = 7 = 3. Feladat: f) = 3 + f ) =? Feladat: További gyakorló feladatok: A definícióval atározza meg az alábbi deriváltakat! a) f) = 3 f 3) =? b) f) = 5 c) f) = + f 6) =? f ) =? d) f) = sin ) f ) =? 5. Feladat: tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

3 4.. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK GYAKORLÁSA 55 Tétel: cos ) = sin, R Bizonyítsa be a tételt! Hasonlóan igazolató, ogy sin ) = cos ) f) := cos f ) Ugyanis: f + ) f) cos + ) cos cos cos sin sin cos = cos sin sin = sin }{{ }}{{ } 0 cos cos sin sin = sin = 0 = A deriválási szabályok gyakorlása Szükséges ismeretek: deriválási szabályok, összetett függvény deriválása. Továbbá: α ) = α α, sin ) = cos, cos ) = sin. 6. Feladat: Tétel: a) tg ) = cos, b) ctg ) = sin, π + kπ kπ Bizonyítsa be az állításokat! konstansszoros deriváltja összeg deriváltja 3 szorzat deriváltja 4 összetett függvény deriváltja 5 inverzfüggvény deriváltja c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

4 56 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA A ányadosfüggvény deriválási szabályát és a függvények definícióját asználjuk fel. u ) ) = u v u v v tg ) = v ) sin = sin ) cos sin cos ) cos cos =... = cos, π + kπ ctg ) = cos ) = cos ) sin cos sin ) sin sin =... = sin, kπ 7. Feladat: Deriváljuk az alábbi vagy asonló) függvényeket! , + ) + 4, , 3 + ) 6, sin 3, sin 3, sin 3, sin 5 3, 3 + cos 4 ) ) = ) + 7) + 3) ) + ) 4 + 7) = + ) ) + 4) } {{ } =+ 4 ) / = = ) / + 4 ) }{{} =8 3 Most még ilyen részletességgel dolgozzanak! ) = ) ) 6 + 3) = 6 + 3) = + 5 ) ) 6 + 3) / ) 6 ) = ) ) }{{} = 3 +4 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

5 4.. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK GYAKORLÁSA 57 sin 3 ) = cos 3 3 sin 3 ) = 3 sin sin ) }{{} cos sin 3 ) = cos 3 3 sin 5 3 ) = 5 sin 4 3 sin 3 ) }{{} cos cos 4 ) 3 ) = cos 4 ) 3 + cos 4 ) 3 + cos 4 ) = 3 + cos 4 cos 4 ) }{{} sin Feladat: f) = cos 4) ) 4, a 0 sin 3, a < 0 7 Határozza meg a deriváltfüggvényt, aol az létezik! f ), mert a függvény nem értelmezett = -ben. ) f0 + 0) 0+0 cos 4) = ) 4 4 = 4 ) sin 3 sin 3 f0 0) = 9 f0 + 0) 7 f 0), mert a függvény nem folytonos = 0 -ban nem létezik a atárérték itt). Ha 0 és, akkor f deriválató, mert deriválató függvények összetétele. f ) = cos 4 sin 4) 4 cos 4 + 3) 8 4) ) 5, a > 0 és sin 3 cos sin , a < 0 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

6 58 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 4.3. A deriválási szabályok + definíció gyakorlása 9. Feladat: f) = 3 Mutassuk meg, ogy f 0)! f f) f0) 0) Teát f 0) = 0. Feladat: f) = 3 sin 3 f ) =? = 0 -ban a definícióval dolgozzon!) Ha 0, akkor deriválató függvények összetétele és f ) = 3 /3 sin cos 3 ) 3 /3 Ha = 0, akkor a definícióval dolgozunk: 3 3 sin f 0) 0 3 sin =. Feladat: f) = 5 3 tg 5 ), < 5 a) f ) =?, a 0 b) A derivált definíciója alapján atározza meg f 0) értékét! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

7 4.3. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK + DEFINÍCIÓ GYAKORLÁSA 59 a) Ha 0, akkor létezik a derivált, mert deriválató függvények összetétele: f ) = 3 tg 5 ) /5) = 5 3 tg 5 ) 4/5 3 tg 5 ) 3 tg 5 ) = 3 tg cos 5 b) f 0) f) f0) 5 3 sin tg cos 5 = = 5 5 sin 5 3 cos =. Feladat: f) = sin ) f ) =? g) := ) sin ) Ez egy mindenütt deriválató függvény: g ) = sin ) + ) cos ) g felasználásával: { g), a f) = g), a < Ezért { g f ) = ), a > g ), a < = -ben legjobb a definícióval ellenőrizni a deriválatóságot. Használató lenne a segédlet 6. oldalán kimondott tétel is, de talán jobb ilyenkor a definíció.) f ) f) f) sin ) 0 sin ) ) = 0 = 0 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u =

8 60 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 3. Feladat: f ) =? f) = 3 sin, a 0 0, a = Feladat: További gyakorló feladatok: a) f) = 9 sin 3), f ) =? b) f) = 3 3, f ) =? c) f) = 5 sin 5 3, f ) =? d) f) = f ) =? e) f) = sin 7, a > 0 ), a 0 3, a a + b, a < Adja meg a és b értékét úgy, ogy f ) létezzen! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

9 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK Elemi függvények 5. Feladat: Rajzolja fel a tg és az arctg függvények grafikonját! Határozza meg értelmezési tartományukat, értékkészletüket, deriváltjukat! Elm Feladat: a) 0 arctg =? b) arctg =? arctg =? arctg 3 =? c) 0 arctg =? d) 3 arctg =? e) arctg + 3 =? 6 atványfüggvények 7 eponenciális függvények 8 trigonometrikus függvények 9 iberbolikus függvények c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

10 6 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA a) = tg u, u = arctg elyettesítéssel : 0 arctg u 0 u tg u u 0 b) arctg = π 3+0 } 3 {{ }, mert / 0 alakú arctg = π 3 0 } 3 {{ }, mert /+0 alakú arctg 3 = arctg 0 = 0 u sin u cos u = c) 0 arctg = 0, mert 0 korlátos) alakú. d) 3 arctg e) arctg + 3 = 3 arctg = arctg = π 4 arctg ) + 3 = π }{{} 7. Feladat: f) = 3 arctg, f ) =? = 0 -ban a definícióval dolgozzon!) Fel kell asználni, ogy 0 arctg Adjuk fel ázi feladatnak, mert nincs benne már új dolog! = az előző példában látottak alapján. tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

11 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK Feladat: f) = arctg, a 0 a, a = 0 g) = arctg, a 0 b, a = 0 a) Határozza meg az a és b paraméterek értékét úgy, ogy az f és g folytonos legyen = 0 -ban! b) f 0) =?, g 0) =? a) arctg 0 = 0, Hasonlóan g) = korlátos alakú) Teát a = f0) := 0, b = g0) := 0. Vagyis arctg, a 0 f) = 0, a = 0 függvények már mindenütt folytonosak. b) f 0) f) f0) ) f +0) = π, f 0) = π g) = arctg 0 arctg, a 0 0, a = 0 arctg g 0) g) g0) arctg 0 arctg = 0 9. Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

12 64 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f) = arctg +, a β, a = a) Megválasztató-e β értéke úgy, ogy az f függvény folytonos legyen = -ben? b) f ) =?, a c) f ) =? Létezik-e f )? a) arctg + = π +0 } {{ } arctg + = π 0 } {{ } Mivel = -ben = -ben. b) Ha : f ) = + ) + = a atárérték, ezért nincs olyan β, melyre f folytonos lenne ) + ) =... = + ) + ) ) ) = + ) ) c) f ) =, de f ), mert az f függvény nem folytonos = -ben. 0. Feladat: Ismertesse az arcsin függvény tulajdonságait értelmezési tartomány, értékkészlet, ábra, derivált)! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

13 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 65. Feladat: f) = 3π arcsin 3 ) a) D f =?, R f =?, f ) =? b) Írja fel az 0 = 7 4 pontbeli érintőegyenes egyenletét! c) Indokolja meg, ogy f -nek létezik az f inverze! f ) =?, D f =?, R f =? a) 3... = D f = [, ] [ 3 [, ] = arcsin 3 ) π, π ] = arcsin 3 ) [ π, π] = R f = [π, 4π] f ) = b) y é = f ) ) ) = 4 3 ) + f 7 4 ) 7 ) 4 = 0 3 π ) 3 4,, ) c) f ) > 0, a, ) és f folytonos [, ] -ben, ezért f szigorúan monoton nő D f - en, így a teljes értelmezési tartományban invertálató. y = 3π arcsin 3 ) =... f ) = 3 sin 3π ) D f = R f = [π, 4π], R f = D f = [, ]. Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

14 66 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA a) D f =?, R f =? f) = arccos 4 π b) Adja meg a 5 pontot tartalmazó azon legbővebb intervallumot, melyen f invertálató! f ) =?, D f =?, R f =? a) f páros függvény. ÉT.: 4 = 0 < 4 miatt arccos 4 [ 0, π ) = R f = [ π, 0 ) b) f ) = ) 8 = 4 3 ) 4 8, a >. 3 f ) < 0, a, ) és f folytonos I =, ] -n = f szigorúan monoton csökken I -n, teát invertálató I -n. 5 I) y = arccos 4 π =... f ) = D f = R f = [ π ), 0, R f = D f =, ] cos + π ) 3. Feladat: Deriválja az alábbi függvényeket! c 5, a 0 f) = s 3, a < 0 ; g) = + 4 ) tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

15 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 67 Rajzoljuk fel az s, c függvényeket! f0 + 0) = f0) = c 0 = f0 0) = 0 = f nem folytonos = 0 -ban = f 0) Egyébként f deriválató függvények összetétele és így deriválató: 0 s 5, a > 0 f ) = c 3, a < 0 g eponenciális atványfüggvény, ennek megfelelően deriváljuk: g) = e ln +4 ) = e ln +4 ) ) g ) = e ln +4) ln + 4 )) = + 4 ) ln + 4 ) Feladat: e ), a > f) = c ) 3, a Írja fel f ) értékét, aol az létezik! Feladat: f) = arctg π Hol és milyen szakadása van a függvénynek? Írja fel f ) értékét, aol az létezik! Adjon meg egy intervallumot, melyen létezik f! f ) =?, D f =?, R f =?... c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

16 68 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA Elm 4.5. L Hospital szabály 6. Feladat: a) 0 arctg 3 ars 5 3 =? e) ) ln =? b) 0 arcsin 3 tg =? f) +0 tg =? c) e 5 =? g) e 8 e 3 e 5 + e 3 =? d) +0 ln 7 =? ) s 3 ) c 3 + 4) =? a) 0 arctg 3 ars 5 3 b) 0 arcsin 3 tg c) e 5 = L H 0 L H ) ) 3 ) tg L H e5 cos L H 5 e5 + 3 ) + 53 ) = e 5 = 0 sin cos3 = 3 d) +0 ln 7 = +0 ln ln / L H / = +0 4 = 0 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

17 4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 69 e) ) ln ln + ) ln L H ln + ln + ) ln ln + L H = + = f) +0 tg = +0 tg ln +0 eln tg +0 ln ctg +0 etg ln = e 0 =, mert L H +0 sin +0 sin sin = 0 g) A L Hospital szabály alkalmazása most nem vezetne eredményre. e 8 e 3 e 5 + e 3 e 3 e 3 e e 8 + = = ) Itt sem vezet eredményre a L Hospital szabály. Beírva a függvények definícióját, az előző pédáoz asonlóan járatunk el: s 3 ) c 3 + 4) = e 3 e 3 ) e e 3+4) e 3 e 3 e e 6+ e 4 + e 6 4 = e e Intervallumon deriválató függvények tulajdonságai, függvényvizsgálat 7. Feladat: Elm f) = 3) 3 + 5) 4 a) Adja meg azokat a legbővebb intervallumokat, melyeken a függvény szigorúan monoton! b) Hol van lokális szélsőértéke? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

18 70 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f ) = 3 3) +5) 4 + 3) 3 4+5) 3 =... = 3) + 5) + 5)7 + 3) }{{}}{{} 0 rajzoljuk fel!, 5) 5 5, 3 ) 3 37 ) 7 7, 3 3 3, ) f f Teát f szigorúan monoton nő:, 5) és 37 ), intervallumokon, f szigorúan monoton csökken: 5, 3 ) -en. 7 = 5 -ben lokális maimum van, mert f növekvőből csökkenőbe megy át. = 3 -ben lokális minimum van, mert f csökkenőből növekvőbe változik Feladat: f) = ln + + ) Keresse meg azokat az intervallumokat, melyeken a függvény - monoton nő, illetve monoton csökken; - alulról konve, alulról konkáv. f) = ln + + ) = ln + ) + ) }{{} f + ) = + + = D f = R, ), ) f 0 + f Teát f szigorúan) monoton csökken, ) -en és szigorúan) monoton nő, ) - en. f ) = + + ) + ) + ) + ) = + + ) + + ) tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

19 4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 7 A nevező, a számlálóban levő parabolát pedig rajzoljuk fel!, ), 0) 0 0, ) f f infl. pont) infl. pont) 9. Feladat: f) = e 3 Hol monoton növő, illetve csökkenő az f függvény? Hol van lokális szélsőértéke? f ) = e 3 + e 3 3) = 3) e 3 = 0, a = 3., ) ) 3 3 3, f + 0 f lok.ma. f ) = 3 3 e 30. Feladat: f) = Hol konve, ol konkáv a függvény? Hol van infleiós pontja? f ) = f ) = = 60 }{{} ) }{{} ) 4), 0) 0 0, ), 4) 4 4, ) f f infl.p. infl.p. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

20 7 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 3. Feladat: f) = e Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyeken az f függvény konve, illetve konkáv! Hol van infleiója az f függvénynek? f ) = e + e ) = e e f ) = e ) 4 e e ) = e 4 3 6) = e 3) Ábrázoljuk vázlatosan a 3) függvényt, mert így könnyebb az előjelvizsgálat! 3 3 Harmadfokú polinom, nullaelyek:, 0, ; + -ben + -ez tart a függvény és -ben -ez tart a függvény.) Ennek alapján: ) 3, 3 ) 3, 0 0 0, ) 3 3 ) 3, f f infl.p. infl.p. infl.p. 3. Feladat: Hol konve, ol konkáv az függvény? Van-e infleiós pontja? f) = ln e ) D f = 0, ) f ) = ln e ) + e = ln e ) + e f ) = ln e ) + e + = ln e ) + 3 = 0 e = ln e ) = 3 = e = e 3/ = = e 5/ tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

21 4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 73 0, e 5/ ) e 5/ e 5/, ) f 0 + f infl. pont) 33. Feladat: Vizsgálja meg és vázlatosan ábrázolja az f) = ln e ) függvényt? Konve-konkáv tulajdonságot, infleiót most ne vizsgáljon! D f = 0, ) Nullaely: e = = = e +0 ln e ) }{{ } +0 alakú = ln e ) }{{ } alakú L H = 0 f ) =, f) = ln e ) = ln e ) = 0 = ln e ) = = = 0, ), ) f + 0 f lok. ma. A függvény grafikonja a 4. ábrán látató. 34. Feladat: Végezzen függvényvizsgálatot és vázlatosan ábrázolja a függvényt! a) f) = 3 e c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

22 74 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 4.. ábra. Az f) = lne ) függvény grafikonja. lne)/ b) f) = + a) f) = 3 e D f = R ; Nullaely: = 0 3 e = 3 e Nem páros, nem páratlan, nem periodikus. f ) = 3 e 3 e = e 3 ) L H =... = 0 3 e =, 0) 0 0, 3) 3 3, ) f f lok. ma. f3) = 7 e 3 = 7 e 3 f ) = 6 e 3 e 3 e + 3 e = e 6 + 6) }{{} =0 : =3± 3 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

23 4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 75, 0) 0 ) 0, ) 3 3, , ) f f infl.p. infl.p. infl.p. R f =, 7 ] e 3 A függvény grafikonja a 4..a) ábrán látató. 4.. ábra. A két vizsgált függvény grafikonja. a) b).5 3 e )/ b) f) = + D f = R \ {0} ; ± + ) = + ) + ) = + ) +0 = ± Nullaelyek: =, = f ) = + ) = + > 0, 0) 0 0, ) f + + f szak.. = ; 0 + ) = + c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

24 76 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f ) = 4 3, 0) 0 0, ) f + f szak.. A függvény grafikonja a 4..b) ábrán látató. Megjegyzés: ± ) f) + )) = 0 = A függvény, a ± ± egyre közelebb kerül az y = + lineáris függvényez lineáris aszimptota). 35. Feladat: Van-e lineáris aszimptotája az alábbi függvénynek + -ben? a) f) = + sin b) f) = c) f) = Elm 4.7. Abszolút szélsőérték 36. Feladat: f) = a) Végezzen függvényvizsgálatot és vázlatosan ábrázolja a függvényt! b) Beszéletünk-e a függvény maimumáról illetve minimumáról az [, 3] intervallumon? Ha igen, akkor mennyi ezek értéke? tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

25 4.7. ABSZOLÚT SZÉLSŐÉRTÉK 77 a) D f = R \ {0} ; = + f) = +, f) = Nem páros, nem páratlan, nem periodikus. Nullaely: f) = = 0 = f 5 48) = 0 f ) = = 3 5 3) 3 = 0 = =, f) = 0, 0) 0 0, ), ) f f szak.. lok. min. f ) = = = 0 = = 5 48, f 5 48) = 0), 5 48) , 0) 0 0, ) f f infl.p. szak.. A függvény grafikonja a 4.3 ábrán látató. b) Mivel f folytonos [, 3] -ban zárt!) = min., ma. Weierstrass II. tétele) Mivel f az intervallumon mindenütt deriválató, a szóbajöető pontok: - a lokális szélsőérték: f) = 0, - az intervallum végpontjai: f) = 49, f3) = = min {f)} = 0, ma [,] {f)} = 49 [,] 37. Feladat: f) = e 3 Van-e minimuma, illetve maimuma az f függvénynek a [0, ] intervallumon? Indokoljon!) Ha igen, atározza meg! c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

26 78 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ábra. A vizsgált függvény grafikonja f ) = e 3 3)... min {f)} = f0) = 0, ma [0,] {f)} = f [0,] 3 ) = 4 9 e Elm 4.8. Implicit megadású függvények deriválása 38. Feladat: Az y) függvény az 0 = e pont környezetében differenciálató és kielégíti az ln y + y ln = implicit függvénykapcsolatot. Határozza meg ezen függvény e,) pontjabeli érintő egyenesének egyenletét! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

27 4.8. IMPLICIT MEGADÁSÚ FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 79 Ellenőrizzük a pontot! e ln + ln e? = Igaz. Teát az y) valóban átmegy az adott ponton: ye) =. ln y) + y) ln = Mindkét oldalt szerint deriváljuk: ln y) + y) y ) + y ) ln + y) = 0 Beelyettesítve = e -t ye) = ), kapjuk y e) -t: ln + e y e) + y e) ln e + e = 0 = y e) = Az érintőegyenes egyenlete: y é = ye) + y e) e) = e e + ) e) e e + ) 39. Feladat: egy környezeté- A differenciálató y = y) átmegy az 0 =, y 0 = ponton és 0 ben kielégíti az alábbi implicit egyenletet: y + y 5 + e ) 4 = 0 Van-e ennek a függvénynek lokális szélsőértéke az 0 = pontban? Van-e infleiója a függvénynek ugyanitt? + 0 =? 0 Igaz. Az -től való függést már nem jelölöm, így áttekintetőbb: y y + 0y 4 y + e 4 ) 3 = 0 Beelyettesítés: =, y = y ) + 0y ) = 0 = y ) = 4 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

28 80 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA Mivel y ) 0 = nincs lokális szélsőértéke = -ben nem teljesül a szükséges feltétel). y y + y y + 40y 3 y y + 0 y 4 y + 4e ) = 0 =, y =, y = 4 : 8 y ) y ) = 0 Elég csak felírni, ogy ebből y ) = 3 a igaz). 64 Mivel y ) 0 = nincs infleiós pontja = -ben nem teljesül a szükséges feltétel). Elm 4.9. Paraméteres megadású görbék 40. Feladat: Legyen = t + sin 4t, y = t + sin t a) Indokolja meg, ogy a fenti paraméteresen megadott görbének van y = f) előállítása a t 0 = π 8 paraméterez tartozó 0 = t 0 ) pont egy környezetében! b) f 0 ) =?, f 0 ) =? Van-e lokális szélsőértéke, illetve infleiója az f függvénynek az 0 pontban? c) Írja fel a t 0 paraméterű pontban az érintő egyenes egyenletét! Descartes koordinátákkal.) a) ẋt) = + 4 cos 4t π ) π ẋ = > 0 és ẋt) folytonos = 8 8 δ, π ) 8 + δ = itt t) szigorúan monoton nő = inverze : t = t) és így f) = yt))., aol ẋt) > 0 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

Gazdasági Matematika I. Megoldások

Gazdasági Matematika I. Megoldások . (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.? FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI I.Feladat: Egyváltozós függvény grafikonjához húzható érintőkkel kapcsolatos feladatok. 1.feladat: Határozza meg az függvény x = 1 abszcisszájú pontjába

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval : 0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY

MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA II. FELADATGY JTEMÉNY KÉZI CSABA Date: today. KÉZI CSABA ELŽSZÓ Ez a feladatgy jtemény a Debreceni Egyetem M szaki Karának Matematika II. tantárgyának tematikájához szorosan illeszkedik. Célja

Részletesebben

ANALÍZIS TANÁROKNAK I.

ANALÍZIS TANÁROKNAK I. Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK I. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Tartalomjegyzék. I. Első félévi feladatok 2. II. Második félévi feladatok 30. Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak.

Tartalomjegyzék. I. Első félévi feladatok 2. II. Második félévi feladatok 30. Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak. Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. Első félévi feladatok. Egyenlőtlenségek. Koordinátarendszerek 5. Sík és térvektorok 6 4. Koordinátageometria

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben