MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

Átírás

1 Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright

2 ii A Matematika. elektronikus oktatási segédanyag a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatika Karán a mérnök-informatikus szakos hallgatók Analízis tárgyához készült, de haszonnal forgathatják más szakok, karok vagy műszaki főiskolák, egyetemek hallgatói is, akik hasonló mélységben hasonló anyagot tanulnak matematikából. Az anyag numerikus sorok, sorozatok elméletét, egyváltozós valós függvények határértékét, folytonosságát, differenciálását és integrálását tárgyalja. A definíciók, tételek, bizonyítások mellett kiemelt szerepet kapnak a példák, és a gyakran előforduló feladattípusok megoldásai. A mintegy 60 oldalas elméleti anyagot kiegészíti egy több, mint 00 oldalas példatár, amely többségében megoldott, tematizált gyakorlófeladatokat tartalmaz. A két pdf állomány kölcsönösen hivatkozik egymásra. Az eligazodást tartalomjegyzék, valamint az elméleti anyagban található tárgymutató segíti. A megértést színes ábrák könnyítik, az érdeklődő olvasó pedig a Thomas Calculus illetve a Calculusapplets kapcsolódó weboldalaira is ellátogathat külső hivatkozásokon keresztül. A háttérszínezéssel tagolt elméleti anyag fekete-fehér változata is rendelkezésre áll, amely nyomtatásra javasolt formátum. Kulcsszavak: sor, sorozat, folytonosság, kalkulus, differenciálás, integrálás. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

3 iii Támogatás: Készült a TÁMOP //A/KMR számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban című projekt keretében. Készült: A BME TTK Matematikai Intézet gondozásában. Szakmai felelős vezető: Ferenczi Miklós Lektorálta: Pröhle Péter Az elektronikus kiadást előkészítette: Fritz Ágnes, Kónya Ilona, Pataki Gergely, Tasnádi Tamás Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert ISBN Copyright: Fritz Ágnes (BME), Kónya Ilona (BME), Pataki Gergely (BME), Tasnádi Tamás (BME) A c terminusai: A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjeleníthető és előadható, de nem módosítható. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

4 iv tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

5 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék. Sorozatok 3.. Speciális (végtelenhez tartó) sorozatok Nagyságrendek összehasonlítása (n n, n!, n, n k, n, log n) Sorozatok határértéke Két nevezetes határérték ( n p n n, n n ) Rekurzíve megadott sorozatok ( + x/n) n n e x határértékkel kapcsolatos feladatok Limesz szuperior, limesz inferior Egy alkalmazás: a kör területe Sorok 9.. Numerikus sorok Alternáló sorok, Leibniz sorok Majoráns kritérium, minoráns kritérium Abszolút konvergencia, feltételes konvergencia Hibaszámítás pozitív tagú sorokra Egyváltozós valós függvények határértéke, folytonossága Függvény határértéke Szakadások típusai sin x lim = határértékkel kapcsolatos példák x 0 x Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval A deriválási szabályok gyakorlása A deriválási szabályok + definíció gyakorlása Elemi függvények L Hospital szabály Függvényvizsgálat Abszolút szélsőérték Implicit megadású függvények deriválása

6 TARTALOMJEGYZÉK 4.9. Paraméteres megadású görbék Egyváltozós valós függvények integrálása Határozatlan integrál Parciális integrálás Racionális törtfüggvények integrálása Határozott integrál Területszámítás Integrálfüggvény Integrálás helyettesítéssel Improprius integrál Integrálkritérium tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

7 . fejezet Sorozatok.. Speciális (végtelenhez tartó) sorozatok Definíció: Az a n valós számsorozat végtelenhez tart, jelben (vagy más jelöléssel a n n, vagy csak a n ), ha lim a n = + n App Elm Elm P > 0 (P R) esetén N(P ) N, melyre a n > P, ha n > N(P ). Definíció: lim a n =, ha n M < 0 (M R) esetén N(M) N, melyre a n < M, ha n > N(M). (Lehet M > 0 -val is definiálni, ekkor... a n < M...). Feladat: a n = 6n 3 + 3, mert P 3 6n > P 6n 3 > P 3 n > 3, 6 [ 3 P 3 ] tehát N(P ). 6 ([x] az x egész részét jelöli, mely az x -nél nem nagyobb legnagyobb egész, pl.: [ 0.8] =, [.95] =.) 3

8 4. FEJEZET: SOROZATOK. Feladat: a n = 6n 3 + 3n, 6n 3 + 3n > P : most így nem megy. Helyette becslés: 6n 3 + 3n 6n 3 > P n > 3 P 6 [ 3 P N(P ) 6 ]. (Az alsó becslésnél a 6n 3 helyett állhatna n 3, 3n, n, stb.) 3. Feladat: a n = n n, lim a n =? n n határozatlan, alakú, de az a n = n(n ) alakból már látszik, hogy a n. Az N(P ) küszöbindex meghatározása: Az n n > P egyenlőtlenséget nehézkes egzaktul megoldani. Inkább valamilyen becslést alkalmazunk. Természetesen több lehetőség van, például: n n = n(n ) > (n )(n ) = n > P n > P + Ennek megfelelően: N(P ) [P + ]. Vagy: n n > n n = n > P n > P. Ez a becslés akkor igaz, ha n N(P ) max {, [ P ] }. > n, azaz ha n >, tehát a küszöbindex: 4. Feladat: a n = n 3 3n + 5n + 9, mert: n 3 3n + 5n + 9 > n 3 3n > n 3 n3 = n3 > P n > 3 P A becslés akkor igaz, ha n3 > 3n, azaz ha n > 6, így N(P ) max { [ 3 P ], 6 } tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

9 .. SPECIÁLIS (VÉGTELENHEZ TARTÓ) SOROZATOK 5 5. Feladat: a n = n3 + 3n n +,, mert: n 3 + 3n n + n 3 n + n = n 3 > P n > 3P N(P ) [ ] 3P. 6. Feladat: a n = n + 3 n 9, mert: +++ n + 3 n 9 < M ( < 0) n 3 n + 9 > M ( > 0) Az egzakt megoldás helyett most is érdemesebb először becsülni: n 3 n + 9 > n 3 n > n n = n > M n A becslés akkor igaz, ha > 3 n, ami egy bizonyos N küszöbindex esetén az n > N indexekre teljesül. (Nem kell N -et meghatározni, elég látni, hogy létezik.) Tehát N(P ) max { N, [ M] }. 7. Feladat: Gyakorló feladatok: A megfelelő definícióval mutassa meg, hogy az alábbi sorozatok -hez vagy -hez tartanak! a) a n = 7n 5 + 5, b n = 7n 5 5 b) a n = 7n 5 + 5n, b n = 7n 5 5n c) a n = n 5 3n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

10 6. FEJEZET: SOROZATOK d) a n = n 4 n 3 + 6n + 3 e) a n = n n Tétel: Ha lim a n =, és b n a n, akkor n lim b n =. n Megjegyzés: Elegendő, hogy b n a n csak n > N 0 indexekre teljesül. Tétel: ( a n n ) ( b n = a n ) n. A tételeket nem bizonyítjuk. 8. Feladat: A fenti tételek alkalmazásával mutassuk meg, hogy a következő sorozatok -hez vagy -hez tartanak! a) a n = n 5 7n + 5n + 3 (a n > n 5 7n n 5 n5 = n5 ) b) a n = n 5 + n, illetve n5 n c) a n = n 4 + n 3 n 4 5n 3 (n 5) (a n = n4 + n 3 (n 4 5n 3 ) n4 + n 3 + n 4 5n 3 = n 7n n + n + 5 n 7n = const. n ) d) a n = n 6 n 4 n 6 + n 4 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

11 .. NAGYSÁGRENDEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA (n n, n!, n, n k, n, log n) 7 (Legyen b n = a n. Megmutatjuk, hogy b n, (ez könnyebb), ebből már következik, hogy a n.) 9. Feladat: a n = 3 n 6 + n 5 3 n 6 n a n = α 3 β 3 α + αβ + β, ahol α = 3 n 6 + n 5, β = 3 n 6 n 5... Nagyságrendek összehasonlítása (n n, n!, n, n k, n, log n) határozatlan alak, konkrét esetekben különböző határértékeket kaphatunk, pél- A dául n n 0, n 3 n, 3n 5n 3 5. Elm Tétel: a) n n n! ; b) n! ; c) n n n ; d) n log n. Bizonyítás: a) n n n! = n n... n... n n... = n } = n n {{ } n! spec. rendőrelv b) n! n(n )(n )... = n... n... = n 4 } = n! {{ } n spec. rendőrelv c) Legyen a n = n n. +++ c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

12 8. FEJEZET: SOROZATOK Egyrészt a sorozat monoton nő, tehát a n+ a n, hiszen: n+ n +? n n = n? n + = n Másrészt a páros indexű részsorozat végtelenhez tart: a n = n n = n n n = n a n n a = n. E két tulajdonságból következik, hogy a n. +++ d) Legyen a n = n log n. Belátható, hogy a sorozat monoton nő (ezt csak később tudjuk megmutatni), és a k. Ebből a két tulajdonságból következik az állítás. A következőt kaptuk: n n n! n n k n k log n, k N + Itt a jelet úgy kell olvasni hogy erősebb, vagy nagyobb nagyságrendű. fogalmakat a félév végén pontosítjuk. Ezeket a Belátható, hogy a n -ből következik, hogy a n 0. Ennek alapján az előzőekből következik : log n n 0; n n 0; n n! 0; n! n n 0 Elm.3. Sorozatok határértéke Szükséges ismeretek: lim a n = A definíciója; példák N(ε) meghatározására; konvergens sorozat korlátos; divergens sorozatok; műveletek konvergens számsorozatokkal. Néhány feladat az előadáson tanultakkal kapcsolatban: tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

13 .3. SOROZATOK HATÁRÉRTÉKE 9 0. Feladat: a n = 3n + 4n + 7 n + n + a n A = 3, N(ε) =? 3n + 4n + 7 n + n + 3 = n + 4 n + n + n + 4n N(ε) [ ] 5 ε n = 5 n < ε, Persze másképp is majorálhatunk. Ha egyszerűen megoldható, célszerű olyan becsléseket alkalmazni, melyek minden n -re jók.. Feladat: a n = n 0 8 5n 6 + n 3, lim a n =?, N(ε) =? n a n 0, mert a n = n n 6 }{{} = n 4 0 a n A = n 0 8 5n 6 + n 3 08 n = 0 n 3 n 6 ha n 04 = n 0 8 5n 6 + n 3 } {{ } >0 { [ ] } N(ε) max 0 4, 4 ε < n 5n 6 < n 4 < ε. Feladat: További gyakorló feladatok: Írja le a lim a n = A R definícióját és ennek alapján mutassa meg, hogy n a) lim n n 3 5n n = ( N(ε) =? ) b) lim n 4n 3 + 3n + n 3 + 7n + b = 4 ; b = 30, illetve b = 30 ( N(ε) =? ) c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

14 0. FEJEZET: SOROZATOK c) lim n 0 9 n 3 4n 5 + 3n 3 6n = 0 ( N(ε) =? ) 3. Feladat: +++ a n = n + 3n + 6 3n..., N(ε) =? 3 4. Feladat: Vizsgálja konvergencia szempontjából az a n = a n = (n + )! (5 n) n! (n + )! (5 n) n! sorozatot! = n + 5 n = n n + n = n 5. Feladat: Vizsgálja konvergencia szempontjából az a n = ( n ) ( n 3) sorozatot! a n = ( n ) ( n 3) = n(n ) n(n )(n ) 3 = 3 n 0 6. Feladat: a n = n + 5n n n? Legyen α = n + 5n, β = n n. Ekkor: a n = α β = (α β) α + β α + β = α β α + β = 6n n + 5n + n n = = n 6 n }{{} = + 5n + n 6 = 3 + tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

15 .3. SOROZATOK HATÁRÉRTÉKE 7. Feladat: a n = n 4 + n + 3 n 4 + n? 8. Feladat: a n = 3 n 3 3n n 3 + n +? +++ Legyen α = 3 n 3 3n + 8, β = 3 n 3 + n +. Ekkor: a n = α β = α 3 β 3 α + αβ + β = Feladat: További gyakorló feladatok: Vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi sorozatokat! a) a n = 5 n 5 3n 5 + n 4 n + 3, b n = 5 n 3 3n 5 + n 4 n + 3, c n = n 6 7 3n 5 + n 4 n + 3 b) a n = c) a n = (3n + ) 4 n 4 + n 3n + 5, b n = (n + 3) (3n + 5) 4 ( n+ ( n 4 ) ) ( n ) d) a n = 9n + 7 9n + n + 5 e) a n = 4n 4 + n n f) a n = n n + 3n Feladat: +++ c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

16 . FEJEZET: SOROZATOK a n = n + n + 3 n + bn + Határozzuk meg a b R paraméter értékét úgy, hogy a sorozat határértéke Belátható, hogy a) vagy, b) véges, nem nulla szám, c) 0 legyen! lim n an = 0, ha a <,, ha a =,, ha a >,, egyébként. Sőt, általában igaz, hogy az exponenciális sorozat (a n ) gyorsabban nő, illetve csökken, mint bármely hatványsorozat (n k, k N + ), tehát például ( ) n ( n ) n n 0, vagy n 3 n 0. 5 Összefoglalva: lim n nk a n = { 0, ha a <, k N +, ha a >, k N + A fenti bekeretezett formulákat bizonyítás nélkül felhasználhatjuk a feladatok megoldásánál. Vizsgálja konvergencia szempontjából az alábbi sorozatokat!. Feladat: a n = ( )n n = ( 7 ( ) n + 3 ( ) n ) n = 0 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

17 .3. SOROZATOK HATÁRÉRTÉKE 3. Feladat: a n = ( 3)n+ + n+3 = 3 ( 3)n n = n n ( ) n ( ) n = 8 ( 5 ) n = 0 3. Feladat: a n = (3) n ( 3) n + 0 n? b n = (3)n 3 n + 9 n? c n = 9n 3 n + n? ( 4. Feladat: a n = n3 n + 3 n = n3 n + 3 n ) n ( = n3 + 3 n 4) n 3 n 4 n 3 n 3n ( ) n 0 4 (Felhasználtuk, hogy n k a n 0, ha a <.) 5. Feladat: +++ A q R paraméter függvényében határozzuk meg a következő sorozat határértékét: a n = n ( 3) n + q n? 6. Feladat: További gyakorló feladatok: Vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi sorozatokat! a) a n = 5n+ + ( ) n 5 n b) a n = ( )n 3 n 3 n+ + n c) a n = 4n + n 5 3 n+3 n+3 + n 3 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

18 4. FEJEZET: SOROZATOK d) a n = n + n 8 4 n 7 + 3n+.4. Két nevezetes határérték ( n p n, n n n ) lim n n p =, p > 0 lim n n n = 7. Feladat: Keresse meg a következő sorozatok hatáérértékét! a) a n = n n, b) b n = n n, c) c n = n n a) a n, mert az n n sorozat részsorozata. b) b n = n n = n n n = c) c n = n n = n n n =, mert a számláló és a nevező is két részsorozat. Vagy egyszerűbben: n n = n n = 8. Feladat: Vizsgálja meg konvergencia szempontjából a következő sorozatot! A rendőrelvvel dolgozunk: a n = n n + n n }{{} b n = n n + n n + n = n n n } {{ } = b n. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

19 .4. KÉT NEVEZETES HATÁRÉRTÉK ( n p n, n n n ) 5 Természetesen < b n alsó becslés is jó. 9. Feladat: a n = n n b n = n n + 3 4n + n Ezek a példák csak rendőrelvvel oldhatók meg!!!! (Nem tudják megkerülni.) n 3 }{{} a n = n n n n n 3 = n 5 ( n n ) 3 } {{ } 3 = = a n. n }{{} 5 n = n 4n + n b n + 3 n n = n 4n + n + 3n n 4n = b n. 5 = n }{{} 4 Másik megoldás: b n := n β n Megmutatjuk, hogy β n Ezért < β n < 0.6, ha n > N 0 ( N 0 ) n Ekkor } {{ 0.4 } < b n = n β n < } n {{ 0.6 }, ha n > N 0 = b n (Most is a rendőrelvet használtuk fel.) 30. Feladat: a n = n n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

20 6. FEJEZET: SOROZATOK a n = n n n }{{} és n ÍGY NEM!!!! Ez így "letakarás". Nem tanultunk olyan tételt, amely szerint így csinálhatnánk. Csak a sejtéshez használható a "letakarás". Egy helyes megoldás: n n = 0.9 < n n <., ha n > N 0 ( N 0 ) Ekkor n 0.9 } {{ } < a n < n. } {{ } = n n (A rendőrelvet használtuk fel.) Most lehet egy kicsit egyszerűbben is becsülni a rendőrelvhez: n n n n 3. Feladat: További gyakorló feladatok: Vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi sorozatokat! a) a n = n 4 n, b n = n 4 n+, c n = 4n 4, d n = 5n 4n b) a n = n n 5 3 n+ c) a n = n 6n 5 + 3n 3 n + 6 d) a n = 3 7 n + 7n 3 8n 5n + 9, 7 n b + 7n 3 n = n 8n 5n + 9 e) a n = n 5n + 3n + 4 n 3 + 7n + 6 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

21 .5. REKURZÍVE MEGADOTT SOROZATOK 7.5. Rekurzíve megadott sorozatok Szükséges előismeret: Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens. 3. Feladat: Legyen a = 4, a n+ = 7 0 a n rekurzíve adott sorozat! (a n ) = (4, 4.5, 4.778, ) a) Mutassa meg, hogy a n 5 minden n N -re! b) Indokolja meg, hogy (a n ) konvergens! Határozza meg az (a n ) határértékét! a) Teljes indukcióval dolgozunk: ) a n 5, ha n =,, 3 ) Tegyük fel, hogy a n 5 3) Igaz-e, hogy a n+ = 7 0 5? a n Az indukciós feltétel 0 < a n 5 miatt: ( 0) a n 5 (A reciprokvételnél megfordultak a reláció jelek.) Tehát igaz. b) Sejtés: (a n ) monoton nő Bizonyítás: I. módszer: 5 0 a n a n = a n+ 5 Bizonyítás: teljes indukcióval. a) a a a 3 teljesül c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

22 8. FEJEZET: SOROZATOK b) Tfh. a n a n c) Igaz-e a n a n+? Azaz a n = 7 0 a n? 7 0 = a n+ a n. miatt 0 < a n a n. Innen a n a n ( 0) = 0 a n 0 a n + 7 = a n = 7 0 a n 7 0 a n = a n+ Tehát a számsorozat valóban monoton nő. II. módszer: a n+ = 7 0 a n? a n, (a n > 0) = a n 7 a n + 0 = (a n ) (a n 5)? 0 Mivel a)-ban beláttuk, hogy a n 5, ezért az előző teljesül és így (a n ) monoton nő. Megmutattuk, hogy a számsorozat monoton és korlátos = (a n ) konvergens, és fennáll: ( A = lim a n = lim 7 0 ) n n a n A = 7 0 A = A = 5 vagy A =. A = nem lehet, mivel a n a = 4, ezért a n nem esik a szám pl. sugarú környezetébe. Így A = lim a n = 5. n 33. Feladat: Vizsgálja az alábbi sorozatok konvergenciáját! a n = a n + 3 a) a = : (a n ) = (,.36,.73, ) b) a = 5 : (a n ) = (5, 3.605, 3.95, ) tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

23 .5. REKURZÍVE MEGADOTT SOROZATOK 9 A = A + 3 = A A 3 = 0 = A = vagy A = 3. Most csak A = 3 jöhet szóba, hiszen a n > 0. Ha tehát a számsorozat konvergens, akkor A = 3. Ezért dolgozunk majd a korlátosságnál is a 3 -mal. A megoldás vázlata: a) Megmutatható teljes indukcióval, hogy (a n ) monoton nő és szintén teljes indukcióval, hogy a n < 3. Tehát a sorozat konvergens és az előzőek miatt A = 3. (A Segédletben van hasonló példa kidolgozva.) b) Most teljes indukcióval megmutatható, hogy (a n ) monoton csökken és a n > 3. Tehát a sorozat konvergens és az előzőek miatt A = 3 most is. 34. Feladat: Gyakorló példák: a) a n+ = 8 a n 7, n =,, és a = 4 (a n ) = (4, 5, 5.74, ) a) Bizonyítsa be, hogy < a n < 7! b) Igazolja, hogy a sorozat monoton! c) Konvergens-e ez a sorozat? Ha igen, mi a határértéke? b) a n+ = a n 8 7, n =,, és a = 9 (a n ) = (9, 0.43, 4.4, ) a) Mely valós számok jöhetnek szóba a sorozat határértékeként? b) Igazolja, hogy a n > 8, n N + c) Igazolja, hogy a sorozat monoton! d) Konvergens-e a sorozat! c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

24 0. FEJEZET: SOROZATOK c) Legyen a = 5, a n+ = 8 a n rekurzíve adott sorozat! (a n ) = (5, 5.6, 5.85, ) a) Mutassa meg, hogy a n 6 minden n N -re! b) Indokolja meg, hogy (a n ) konvergens! A felhasznált tételt írja le! c) Határozza meg az (a n ) határértékét! Elm.6. (+x/n) n n e x határértékkel kapcsolatos feladatok lim n ( + x n) n = e x felhasználható. Állapítsuk meg a következő sorozatok határértékét! 35. Feladat: a n = ( + ) 6n + 6n a n = (e n részsorozatáról van szó.) ( + ) 6n ( + ) e = e 6n 6n 36. Feladat: a n = ( ) n+3 n + 5 n 4 a n = ( + 5 ) n n ( + 4 ) n n ( + 5 ) 3 n ( + 4 n ) 3 e5 3 e 4 = 3 e9 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

25 .6. ( + x/n) n n e x HATÁRÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS FELADATOK Más átalakítással: ( ) n 4+7 n a n = = n 4 ( + 9 ) n 4 ( + 9 ) 7 e 9 7 = e 9 n 4 n 4 Ez a fajta átalakítás bizonyos példáknál sokkal hosszabb, ezért az első módszert használata javasolt, de persze ez nem kötelező. 37. Feladat: a n = ( ) n n + +7 n + 3 a n = ( ) n n + n + 3 ( ) n 7 + = n + 3 ( + n ) n + ( + 3n ) n n + 3 n 7 e e 3 7 = e Másik megoldás: ( (n + 3) a n = n + 3 ) (n +3)+4 = ( + ) n +3 ( + ) 4 e 4 = n + 3 n + 3 e 38. Feladat: a n = ( ) 3n 3n + 5, b n = 3n 4 ( ) n 3n + 5 3n a n = 3n + 4 3n + 5 3n b n = + 4 3n 3n n = e5 e 4 = e9 + 5/3 n + 4/3 n n ( e 5/3 e 4/3 ) = e 6 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

26 . FEJEZET: SOROZATOK 39. Feladat: Gyakorló példák: Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét! ( a) a n = + n) 5n b) a n = c) a n = e) a n = ( + ) 6n d) a 5n n = ) n ( 5 f) a n n = ( 5 + ) n n ( + 5n ) n ( ( + ) ) 0 n n ( + 8 ) n n g) a n = i) a n = k) a n = ( ) n+4 n + 7 h) a n = n + 4 ( ) n n + 7 j) a n = n + 3 ( ) n+5 n + 7 n + 3 ) n ( n + 7 n + 3 ( n + 7 n + 3 ) n 40. Feladat: Gyakorló példák: A paraméterek megadott értékeire keresse meg az alábbi sorozat határértékét! ( ) 3n 3 α n β a n = 3n a) α = 3, β = 0 b) α = 3, β = c) α =, β = 0 d) α = 6, β = 0 4. Feladat: a n = ( + n ) n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

27 .6. ( + x/n) n n e x HATÁRÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS FELADATOK 3 ÍGY TILOS! : a n = n ( + n ) n Ez így "letakarás"! Ez a sejtéshez használható: ( n + ) n n e n n e De precízen meg kell mutatni. (Persze kimondható lenne használható tétel, de mi nem mondtunk ki ilyent.) Helyesen: n e 0, } {{ } < a n = ( + n ) n n } {{ } e = a n < n e + 0,, } {{ } ha n > N 0 Persze más becslés is jó. Pl.: n an < n 3 stb. 4. Feladat: a n = ( + ) n n (( a n = + n) n ) n n = a n spec. rendőrelv 43. Feladat: +++ a) a n = ( n 4 ) n 3 b) b n = ( n 4 ) n Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

28 4. FEJEZET: SOROZATOK Gyakorló példák: Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét! a) a n = ( + ) n n b) a n = ( ) n n c) a n = ( ) n n n Feladat: a n = ( ) n 4n +, b n = 4n + 5 ( ) n 4n +, c n = 7n + 5 ( ) n 6n + 4n + 5 ( + /4 ) n n a n = ( + 5/4 ) n e/4 e 5/4 n = e 0 < b n = ( ) n 4n + < 7n + 5 ( ) n 4n + n = 7n ( ) n 5 7 } {{ } 0 = b n 0 rendőrelv c n = ( ) n ( ) n 6n + 6n = 4n + 5 n 5 4n + n ( ) n 6 = 5 c n spec. rendőrelv De lehet kiemeléssel is egyszerűbb alakra hozni. Pl.: ( ( ) n ( ) n + /4 ) n 4n + 4n n b n = = ( 7n + 5 7n } {{ } + 5/7 ) n 0 e/4 e = 0 5/7 4 n n = 7 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

29 .7. LIMESZ SZUPERIOR, LIMESZ INFERIOR 5.7. Limesz szuperior, limesz inferior 46. Feladat: a n = 4 n n + 3 lim sup a n =?, lim inf a n =? 47. Feladat: a) a n = b) b n = ( cos n π ) n 3 n + n + 8 ( cos n π ) n 3 n 3 + n + 8 lim sup a n =?, lim inf a n =?, lim sup b n =?, lim inf b n =?, lim a n =? n lim b n =? n a) α n := n 3 n + n + 8 = 3 n + n + 8 n Ha n = k + : a n = 0 0 Ha n = 4k : a n = α n Ha n = 4k + : a n = α n Tehát a torlódási pontok halmaza: S = {, 0, } = lim sup a n =, lim inf a n =, lim n a n b) β n := n 3 n 3 + n = lim sup b n = lim inf b n = lim n b n = Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

30 6. FEJEZET: SOROZATOK lim sup a n =?, lim inf a n =?, lim a n =? n a) a n = ( 3)n n+ b) a n = ( 4)n n Feladat: a n = n 3 + ( ) n n 3 3n 3 + n + 7 lim sup a n =?, lim inf a n =? Ha n páros: a n = n 3 3n 3 + n + 7 = 3 + n + 7 n 3 3 Ha n páratlan: a n = 0 0 = lim sup a n = 3, lim inf a n = Feladat: a n = n 3 + ( ) n n 3 3n 3 + n + 7 lim sup a n =?, lim inf a n =? Feladat: a n = ( ) n ( ) 3 3 n 4n lim sup a n =?, lim inf a n =? 5 + n n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

31 .8. EGY ALKALMAZÁS: A KÖR TERÜLETE 7 5. Feladat: Gyakorló példák: Határozza meg az alábbi sorozatok limeszét (ha létezik), valamint limesz szuperiorját és a limesz inferiorját! a) a n = 3 + n 4 n + b) a n = 3 + n ( 4) n + c) a n = ( 4)n + 3 n+, b n+ n = a n cos nπ ( ) 6n+ 3n 3 d) a n = ( ) n e) a n = 4n+ + ( ) n 3n + n+ + 3 n.8. Egy alkalmazás: a kör területe Elm lim n sin n n = lim n n sin n = (Bizonyítás később.) lim n sin a n a n = lim n n a sin a n =, a R (Bizonyítás később.) 53. Feladat: lim n sin 3 n n =? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

32 8. FEJEZET: SOROZATOK lim n sin 3 n n = lim n sin 3 n 3 n 3 = 3 = Feladat: Határozzuk meg az r sugarú kör területét mint a beírt szabályos n -szögek területeinek limeszét! A szabályos n -szög egy háromszögének területe: t h = Így a szabályos n -szög területe: t n = n r sin π n = r sin π n π r π π } {{ n } r r sin π n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

33 . fejezet Sorok Elm.. Numerikus sorok App. Feladat: Konvergens-e a ( ) k + k sor? (A definícióval dolgozzon!) k= n ( ) ( ) ( ) s n = k + k = k= + ( n n ) + ( n + n ) = n + ( 4 3 ) +... s = lim s n = n lim ( n + ) =. n Tehát a sor divergens. Geometriai sor összege: a q n = n=0 a q n = n= a q, ha q < Elm 9

34 30. FEJEZET: SOROK. Feladat: n= n =? (Állapítsa meg a sor összegét!) ( 5) n+ s = n= Itt n ( 5) = n+ q = 4 5 n= 5 ( ) n 4 = 5 = } {{ 5} 5 a ( ) , q <, tehát a geometriai sor konvergens. ( ) = 5 3. Feladat: n= 3n+ + ( 5) n 3 n+ =? Elm A sor két konvergens geometriai sor összege. Tanulni, sőt bizonyítani fogunk egy tételt, mely szerint számolhatjuk tagonként a sorösszeget és az eredményeket összegezzük. 3n+ + ( 5) n s = = 3 n+ 9 8n 9 + n 9 ( 5)n = s 9 n + s n= A konstans is kiemelhető: s = 9 n= ( ) n n= n= n= ( ) n 5 = Feladat: x n Milyen x -re konvergens és mi az összege? 4 n n= tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

35 .. ALTERNÁLÓ SOROK, LEIBNIZ SOROK 3.. Alternáló sorok, Leibniz sorok Emlékeztetünk arra, hogy a két fogalom nem ekvivalens! Minden Leibniz sor alternáló sor, de nem minden alternáló sor Leibniz sor. App Elm Konvergensek-e az alábbi sorok? 5. Feladat: a) n= ( ) n+ 5 n + 5 b) n= ( ) n+ n n5 + 5 a) c n := 5 n + 5. Mivel c n 0 (monoton csökkenően tart nullához), a sor Leibniz típusú és így konvergens. b) Most c n = ( n n) = 6 0 = a sor divergens, mert nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele, az általános tag nem tart 0-hoz. 6. Feladat: n= ( ) n n + ( ) n+ n + 5 ( ) n c n := ( ) n n + = n n ( + 5 n ) n e e 5 = e 4 0 Tehát az általános tag nem tart 0-hoz, így nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele, ezért a sor divergens. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

36 3. FEJEZET: SOROK 7. Feladat: ( ) n n= 5 n n + 0 n Mutassa meg, hogy Leibniz sorról van szó! Adjon becslést az s s 99 közelítés hibájára! ( ) n c n = 5 n n + 0 n = ( ) n = 0 Még meg kell mutatnunk, hogy a sorozat monoton csökkenő. (Ez most nem triviális, mert n növelésével a számláló és a nevező is nő.) 5 n+ n+ + 0 n+ 5 ( n + 0 n ) c n+? < cn? 5 n < n + 0 n? < n n 3 n? < 5 0 n 3? < 5 5 n Ez pedig igaz minden n -re és ebből következik visszafelé, hogy c n+ < c n, tehát a sorozat monoton csökkenő. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a sor Leibniz típusú, így konvergens. n Leibniz sorok esetén az s s n = ( ) k+ c k közelítés hibája: Ezért az s s 99 H = s s n c n+ k= közelítés hibájáról az alábbit mondhatjuk: H = s s 99 c 00 = Feladat: n= ( ) n 3n n + 9 n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

37 .3. MAJORÁNS KRITÉRIUM, MINORÁNS KRITÉRIUM 33 Mutassa meg, hogy Leibniz sorról van szó! Adjon becslést az s s 99 közelítés hibájára! Feladat: Konvergens-e a sor? n= ( ) n+ n n Feladat: Konvergens-e a sor? ( ) n n + 5 n Majoráns kritérium, minoráns kritérium Csak olyan példa lehet most, amelyiknél geometriai sorral vagy majorálni, minorálni. n α sorral lehet App Elm c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

38 34. FEJEZET: SOROK Vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi sorokat!. Feladat: n= n 3 n + 3 3n 4 + n + 7 Divergenciát várunk, mert.... Ezért a minoráns kritériumot használjuk: a n := n3 n + 3 3n 4 + n + 7 n3 n n 4 + n 4 + 7n = 4 n ; n divergens n= = divergens. n= a n. Feladat: n= n n + 3 n 5 + n + 7 Konvergenciát várunk, mert.... Ezért a majoráns kritériumot használjuk: a n := n n + 3 n 5 + n + 7 n 0 + 3n n = n 3 ; = n= a n n= konvergens. n 3 konvergens 3. Feladat: n= n + 3 n+ + 6 n Konvergencia esetén adjon becslést az s s 00 közelítés hibájára! Konvergenciát várunk, mert.... Ezért a majoráns kritériumot használjuk: tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

39 .4. ABSZOLÚT KONVERGENCIA, FELTÉTELES KONVERGENCIA konvergens. a n := n + 3 n+ = n n + 6 n + < 3n + 9 3n = n 6 6n ( n= ( ) n ) n konvergens geometriai sor (0 < q = < ) = n= a n Hibabecslés: s 00 n= n + 3 n+ + 6 n Mivel az előző becslés minden n -re jó: 0 < H = n=0 n + 3 n+ + 6 n < 60 n=0 ( ) n = 60 ( ) 0.4. Abszolút konvergencia, feltételes konvergencia Elm Abszolút vagy feltételesen konvergens-e az alábbi sor? 4. Feladat: n= n+ n + ( ) 3n c n := a n = n + + 3n = n 3 n 3 0 = a sor divergens, mert nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

40 36. FEJEZET: SOROK 5. Feladat: n= ( ) n+ n + 3n 5 n Most a szükséges feltétel teljesül. Ilyenkor először mindig az abszolút konvergenciát ellenőrizzük: c n := a n = n + 3n 5 n n + n 3n 5 n = 3 5 n ; 4 3 n= n 4 konvergens (α = 4 > ) = n= c n konvergens. Tehát a sor abszolút konvergens. 6. Feladat: n= n+ n + ( ) 3n + a) Abszolút vagy feltételesen konvergens-e a sor? b) Adjon becslést az s s 000 közelítés hibájára! c n := n + 3n + a) Az abszolút értékekből alkotott sor : c n = n + 3n + n 3n + n = 5 Tehát a sor nem abszolút konvergens. Leibniz sor-e? n= c n n ; 5 = n= divergens, mert n= c n n divergens divergens. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

41 .5. HIBASZÁMÍTÁS POZITÍV TAGÚ SOROKRA 37 c n = n }{{} n = n 0 + n 3 + n = 0 Még megmutatjuk, hogy a (c n ) számsorozat monoton csökkenő. (n + ) + 3(n + ) + (n + 3) (3n + ) c n+? < cn 0? < n + 3n +? < (n + ) (3n + 6n + 5)? < 6n + n Ez pedig igaz és ebből következik visszafelé, hogy c n+ < c n, tehát a sorozat monoton csökkenő. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a sor Leibniz típusú, így konvergens. Tehát a sor feltételesen konvergens. b) s s 000 = 000 n+ n + ( ) 3n + n= H = s s 000 c 00 = közelítés hibája:.5. Hibaszámítás pozitív tagú sorokra Mutassa meg, hogy az alábbi sor konvergens! Mekkora hibát követünk el, ha a sorösszeget 00. részletösszegével közelítjük? (s s 00 ; H = r 00 = a k ; H?) k=0 Elm 7. Feladat: n= n + 3 n+ + c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

42 38. FEJEZET: SOROK n= a n := n + 3 n+ + < 3 ( ) n n konvergens geometriai sor (0 < q = 3 3 < ) = n= a n Hibaszámítás: 0 < H = n=0 n + 3 n+ + < n=0 ( ) n = 3 ( ) Feladat: n= n n+ (n + ) (3 n+ + 5 n ) a n = n= n= n n n n 3 9 n + 5 n konvergens. Vegyük észre, hogy < n -re. Ezt is felhasználjuk a majorálásnál. n + a n 4 4n 3 9 = 4 ( ) n 4 n ( ) n 4 3 konvergens geometriai sor (0 < q = < ) = a n konvergens. n= n= A hibaszámításnál is ugyanezt az ötletet használjuk fel: 0 < H = n=0 n n+ (n + ) (3 n+ + 5 n ) < 4 3 n=0 ( ) n 4 = ( ) Feladat: n= Adjon becslést az s s 99 ( ) n n+ + 3 n n + 9 közelítés hibájára! tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

43 .5. HIBASZÁMÍTÁS POZITÍV TAGÚ SOROKRA Feladat: Gyakorló példák:. Mikor mondjuk, hogy a k= a k sor összege s -sel egyenlő? A definícióval határozza meg az alábbi sor összegét! ( k k + ) =? k=. Adja meg az alábbi sor összegét! 3 n+ + ( ) n =? 7 n n= 3. Konvergens-e az alábbi sor? 3 a) n n= b) n= n n Konvergens-e az alábbi sor? n a) n + 3 n= b) ( ) n n= n n Abszolút konvergens vagy feltételesen konvergens-e az alábbi sor? a) ( ) n n b) ( ) n n 3 + n 7 n + 3 4n 6 n 4 + 5n n= n= 6. a) Mit nevezünk Leibniz-sornak? Milyen tételt tanultunk Leibniz-sorokkal kapcsolatban? b) Konvergensek-e az alábbi sorok? ( ) n (n + ) i), ii) n n= n= n + n, iii) n= n + n 3. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

44 40. FEJEZET: SOROK 7. a n = ( ) n 4n, b n = 4n + ( ) n 4n 3 8n + a) lim n a n =? b) Konvergens-e n= lim b n =? n a n, illetve a n= b n sor? Amelyik konvergens, annál adjon becslést az s s 00 közelítés hibájára! tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

45 3. fejezet Egyváltozós valós függvények határértéke, folytonossága 3.. Függvény határértéke. Feladat: App Elm A megfelelő definícióval bizonyítsa be az alábbi határértékeket! a) lim x (3x + 4) = 7 b) lim x 8 x x + = 8 c) lim x 3 5x = 4 a) Írjuk fel a definíciót, mielőtt hozzáfogunk a megoldáshoz! f(x) A = 3x = 3x 3 = 3 x < ε = x < ε 3 = δ(ε) = ε 3 b) f(x) A = 8 x x + 8 = (4 x ) 8 x + }{{} = ( x) 8 = x 4 = x = x + < ε = x + < ε = δ(ε) = ε 4

46 4 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA c) f(x) A = 5x 4 = ( 5x 4) 5x + 4 5x + 4 = = 5x 6 5x + 4 = = x + 3 < 4 ε 5 5 x + 3 5x x = δ(ε) = 4 ε 5 < ε. Feladat: A megfelelő definícióval bizonyítsa be az alábbi határértékeket! lim x ± x x + 3 = A megfelelő definíciók: lim f(x) = A : ε > 0-hoz P (ε) > 0 : f(x) A < ε, ha x > P (ε) x lim f(x) = A : ε > 0-hoz P (ε) > 0 : f(x) A < ε, ha x < P (ε) x Készítsünk ábrát is a jobb megértéshez! (3. ábra) f(x) A = x x = x + x + 6 x + 3 = 7 x + 3 < ε = x + 3 > 7 ε x : x : x + 3 > 7 = x > 7 ε ε 3 = P (ε) (x + 3) > 7 ( ) 7 = x < ε ε + 3 = P (ε) 3. Feladat: További gyakorló feladatok A megfelelő definícióval bizonyítsa be az alábbi határértékeket! a) lim x x x + 3x = 5 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

47 3.. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE ábra. Az f(x) = x x+3 függvény grafikonja. f(x) b) lim x x + 5 = c) lim x (x3 x + 4x + 7) = d) lim x 3 + x = e) lim x ± 6x + 3 x = Feladat: f(x) = x + 3x 0 (x 4), lim x f(x) =?, lim f(x) =? x c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

48 44 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA f(x) = (x ) (x + 5) (x ) (x + ) lim x lim x ±0 (x + ) } {{ } + x + 3x 0 (x ) } {{ } /6 x (x ) (x ) } {{ } = x ± x + 5 (x + ) } {{ } 7/6 = = ± 5. Feladat: lim x ± x 5 3x + x 7 + 4x =? lim x ± x 5 }{{} x 7 = x 0 3 x 3 + x x x 7 } {{ } = 0 6. Feladat: lim x x 3x + x =?, tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

49 3.. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE 45 x 3x + x = lim x (x ) ( 3x + + x) = lim x 3x + 4x lim x x 3x + x = lim x x x 3x + + x 3x + + x = 3x + + x (x + ) = 4 = 7. Feladat: lim x ( x + x 3 ) =? x ( lim x x + ) x + + x x 3 3 x x + + x 3 = = lim x = = lim x x + (x 3) x x + + x 3 = x x = x x }{{} x x = x + 3x = + = 8. Feladat: További gyakorló feladatok a) lim x ± ( 4x + 3x x) =? b) lim x ( x 4x + x) =? c) lim x (x6 x 5 + 8x 3 5x + ) =?... c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

50 46 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA 9. Feladat: a) lim x 3±0 + 5{x} =? b) lim [x ] =? x 3±0 lim + 5{x} = = 0 x 3+0 lim + 5{x} = + 5 = 7 x 3 0 lim [x ] =, mert x (3, 4) esetén x (, 3) = [x ] = x 3+0 lim [x ] =, mert x (, 3) esetén x (, ) = [x ] = x Feladat: +++ Elm Bizonyítsa be, hogy lim x 0 cos x nem létezik!.... Feladat: További gyakorló feladatok a) lim x sin 7x =? b) lim x x sin 7x =?... tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

51 3.. SZAKADÁSOK TÍPUSAI Szakadások típusai Hol és milyen szakadásai vannak az alábbi függvényeknek? (Mindig határozza meg a jobb és bal oldali határértékeket a vizsgálandó pontokban!). Feladat: f(x) = x3 + x 5x + 3 x (x + 3) f két folytonos függvény hányadosa, így csak a nevező nullahelyeinél van szakadása. Vizsgálandó pontok: x = 0, illetve x = 3 lim x 0 x }{{} + x3 + x 5x + 3 x + 3 } {{ } x = 3 -ban a határérték 0 0 gyöktényező. x 3 + x 5x + 3 =... = (x + 3) (x x + ) = + : x = 0 másodfajú szakadási hely. alakú, tehát a számlálóból is kiemelhető az (x + 3) van. lim x 3 x + 3 x + 3 } {{ } x x + x } {{ } 6/9 = 6 9 : x = 3 -ban megszüntethető szakadása 3. Feladat: f(x) = x4 3x 3 x 6x f két folytonos függvény hányadosa, így csak a nevező nullahelyeinél van szakadása. f(x) = x3 x x 3 x 3 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

52 48 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA Vizsgálandó pontok: x = 0, illetve x = 3 lim x 0+0 x 3 x 3 = 0 lim }{{} x x 3 x 0 0 } {{ } =x 0 x = 0 megszüntethető szakadási hely. x 3 x }{{} = x 0 x 3 x 3 } {{ } = 0 : lim x 3+0 }{{} x x 3 x 3 9 } {{ } = 9 x = 3 -ban véges ugrása van. lim x 3 0 }{{} x 9 x 3 (x 3) } {{ } = 9 : 4. Feladat: f(x) = 4 x + 4 x, ha x x 0x x x + 0, ha x < Ha x < : f(x) = x (x 0) (x ) (x 0) Értelmezési tartomány: x 4, x Vizsgálandó pontok:,, 4 f( ± 0) = lim x x 0 x ±0 } x {{ } x 0 = ± ± f( 0) = lim x 0 f(4 + 0) = lim x 4+0 f(4 0) = lim x 4 0 x (x 0) (x ) (x 0) másodfajú (lényeges) szakadás. = f( + 0) = lim x +0 f -nek x = -ben véges ugrása van (elsőfajú szakadás) ( (4 x) + ) = 0 4 x } {{ } = 0 ) ( 4 x + 4 x = lim x x = ( 4 x + ) 4 x tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi =

53 3.3. lim x 0 sin x x = HATÁRÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS PÉLDÁK 49 x = 4 : másodfajú szakadási hely 5. Feladat: +++ Hol folytonos, hol milyen szakadása van? x, ha x rac. f(x) = x, ha x irrac.... sin x 3.3. lim x 0 x = határértékkel kapcsolatos példák Elm 6. Feladat: lim x 0 sin 5 x tg 3 x =? lim x 0 sin 5 x 5 x 5 x 3 x 3 x sin 3 x cos 3 x = 5 3 = Feladat: lim x 0 cos 9 x x =? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

54 50 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA sin α = lim x 0 cos α sin 9x x alapján: = lim sin 9 x x 0 9 x 9 cos 9x = sin 9x sin 9 x = 9 0 = 0 8. Feladat: lim x 0 cos 5 x sin 3 x =? Most is az előző azonosságot használjuk: sin 5 ( x ) sin 5 x ( lim x 0 sin 3 = lim x x x) x 3 x } {{ }...= 5 x 0 3 x sin 3 x = 0 = 0 9. Feladat: Hol és milyen típusú szakadása van az alábbi függvényeknek? f(x) = sin ( x) x g(x) = sin x x sin ( x) f(x) = x x + Szakadási helyek: x = és x = lim x f(x) = lim x lim f(x) = x ±0 sin ( x) x } {{ } lim x ±0 x + } {{ } ± } x {{ + } / ( = ) sin ( x) x } {{ } sin < 0 : megszüntethető szakadás = : másodfajú szakadás tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

55 3.3. lim x 0 sin x x = HATÁRÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS PÉLDÁK 5 sin x sin x g(x) = = x x (Nem muszáj átírni, de így talán jobban értik.) Szakadási hely: x = g( + 0) = lim x +0 g( 0) = lim x 0 sin (x ) x = sin ( (x )) x = lim x 0 sin (x ) x = Véges ugrás (elsőfajú szakadás). 0. Feladat: További gyakorló feladatok: a) lim x 0 tg 7x sin 9x =? sin 4x b) lim x 0 x =? c) lim x 0 d) lim x 5x sin 8x 7x + sin x =? 5x sin 8x 7x + sin x =? e) lim x 0 cos 5x 7x =? f) lim x 0 cos x 6x 3 =? g) lim x 0 cos 3 x 5x =? h) lim x 0 cos 5 x sin 3 x =? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

56 5 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA i) lim x x4 sin x 4 =? j) lim x 0 x 4 sin x 4 =?. Feladat: Hol és milyen típusú szakadása van az alábbi függvénynek? f(x) = sin (x ) (x + 4) x 4x + 4 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

57 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval App A derivált definíciójával határozza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f(x) = 6x + f (4) =? f (4) = lim h 0 = lim h 0 f(4 + h) f(4) = lim h 5 + 6h 5 h h 0 6(4 + h) h h + 5 = = lim h h 5 h ( 5 + 6h + 5) = lim h 0 h h h = h + 5 = 6 0. Feladat: f(x) = x + 7 f () =? 53

58 54 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f () = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 3 f( + h) f() h h h h h h = lim h 0 ( + h) h h h =... = 9 + h ( h) = 7 = 3. Feladat: f(x) = 3x + f ( ) =? Feladat: További gyakorló feladatok: A definícióval határozza meg az alábbi deriváltakat! a) f(x) = 3x f ( 3) =? b) f(x) = x 5 c) f(x) = x x + f (6) =? f () =? d) f(x) = x 4x + 4 sin (x ) f () =? 5. Feladat: tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

59 4.. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK GYAKORLÁSA 55 Tétel: (cos x) = sin x, x R Bizonyítsa be a tételt! (Hasonlóan igazolható, hogy (sin x) = cos x ) f(x) := cos x f (x) = lim h 0 Ugyanis: lim h 0 = lim h 0 f(x + h) f(x) cos (x + h) cos x = lim h h 0 h cos x cos h sin x sin h cos x = h cos h sin h sin x = sin x } {{ h } } {{ h } 0 = lim h 0 cos x cos h h = lim h 0 sin h h = lim sin h h 0 h = sin h = 0 = A deriválási szabályok gyakorlása Szükséges ismeretek: deriválási szabályok, összetett függvény deriválása. Továbbá: ( x α ) = α x α, (sin x) = cos x, (cos x) = sin x. 6. Feladat: Tétel: a) (tg x) = cos x, b) (ctg x) = sin x, x π + kπ x kπ App App App 3 App 4 App 5 Bizonyítsa be az állításokat! konstansszoros deriváltja összeg deriváltja 3 szorzat deriváltja 4 összetett függvény deriváltja 5 inverzfüggvény deriváltja c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

60 56 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA A hányadosfüggvény deriválási szabályát és a függvények definícióját használjuk fel. ( (u ) ) = u v u v v (tg x) = v ( ) sin x = (sin x) cos x sin x (cos x) cos x cos x =... = cos x, x π + kπ (ctg x) = ( cos x ) = (cos x) sin x cos x (sin x) sin x sin x =... = sin x, x kπ 7. Feladat: Deriváljuk az alábbi (vagy hasonló) függvényeket! x x + 3 x + 7, (x + ) + x 4, x + 5x 3 x6 + 3, (x3 + x x) 6, sin 3x, sin 3 x, sin x 3, sin 5 x 3, (x 3 + cos x 4 ) 3 ( x x + 3 ) = (x ) ( x + 7) (x x + 3) 4x x + 7 ( (x + ) + x ) 4 ( x + 7) = (x + ) + x 4 + (x + ) ( + x 4) } {{ } =(+x 4 ) / = = x + x 4 + x ( + x4 ) / ( + x 4 ) } {{ } =8 x 3 Most még ilyen részletességgel dolgozzanak! ( ) x + 5x 3 = (x + 5x 3 ) x (x + 5x 3 ) ( x 6 + 3) x6 + 3 ( = x 6 + 3) = (x + 5x ) x (x + 5x 3 ) (x6 + 3) / x 5 (x ( (x 3 + x x) 6 ) = 6 (x 3 + x x) 5 (x 3 + x x) } {{ } = 3x +4x tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

61 4.. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK GYAKORLÁSA 57 ( sin 3x ) = cos 3x 3 ( sin 3 x ) = 3 sin x (sin x) } {{ } cos x ( sin x 3 ) = cos x 3 3x ( sin 5 x 3 ) = 5 sin 4 x 3 (sin x 3 ) } {{ } cos x 3 6x ( (x 3 + cos x 4 ) 3 ) = 3 (x 3 + cos x 4 ) (x 3 + cos x 4 ) (x 3 + cos x 4 ) = 3x + cos x 4 (cos x 4 ) } {{ } sin x 4 4x 3 8. Feladat: f(x) = cos (4x) (x ) 4, ha x 0 sin 3x, ha x < 0 7 x Határozza meg a deriváltfüggvényt, ahol az létezik! f (), mert a függvény nem értelmezett x = -ben. ( ) f(0 + 0) = lim x 0+0 cos (4x) = (x ) 4 4 = 4 ( ) sin 3x sin 3x f(0 0) = lim = lim 9 x x x 0 0 3x 7 = 9 f(0 + 0) 7 f (0), mert a függvény nem folytonos x = 0 -ban (nem létezik a határérték itt). Ha x 0 és x, akkor f deriválható, mert deriválható függvények összetétele. f (x) = cos 4x ( sin 4x) 4 (cos 4x + 3) 8 ( 4) (x ) 5, ha x > 0 és x sin 3x cos 3x 3 7x sin 3x 4x 49 x 4, ha x < 0 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

62 58 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA App 4.3. A deriválási szabályok + definíció gyakorlása 9. Feladat: f(x) = 3 x Mutassuk meg, hogy f (0)! f f(h) f(0) (0) = lim h 0 h Tehát f (0). = lim h 0 3 h 0 h = lim h 0 3 h = 0. Feladat: f(x) = 3 x sin 3 x f (x) =? (x = 0 -ban a definícióval dolgozzon!) Ha x 0, akkor deriválható függvények összetétele és f (x) = 3 x /3 sin 3 x + 3 ( x cos 3 ) x 3 x /3 Ha x = 0, akkor a definícióval dolgozunk: 3 3 h sin f h (0) = lim 0 3 h sin 3 h = lim h 0 h h 0 3 h 3 h =. Feladat: f(x) = 5 x 3 tg (5 x ), x < 5 a) f (x) =?, ha x 0 b) A derivált definíciója alapján határozza meg f (0) értékét! tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

63 4.3. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK + DEFINÍCIÓ GYAKORLÁSA 59 a) Ha x 0, akkor létezik a derivált, mert deriválható függvények összetétele: f (x) = ((x 3 tg 5 x ) /5) = 5 (x3 tg 5 x ) 4/5 (x 3 tg 5 x ) (x 3 tg 5 x ) = 3x tg 5 x + x 3 cos 5x b) f (0) = lim h 0 = lim h 0 f(h) f(0) h 5 h 3 sin 5h 5 5 h 3 5h = lim h 0 0x 5 h3 tg 5h 0 h cos 5h = 5 = lim h = 5 5 sin 5h h3 cos 5h 5 h 5 =. Feladat: f(x) = x sin (x ) f (x) =? g(x) := (x ) sin (x ) Ez egy mindenütt deriválható függvény: g (x) = sin (x ) + (x ) cos (x ) g felhasználásával: { g(x), ha x f(x) = g(x), ha x < Ezért { g f (x) = (x), ha x > g (x), ha x < x = -ben legjobb a definícióval ellenőrizni a deriválhatóságot. (Használható lenne a segédlet 6. oldalán kimondott tétel is, de talán jobb ilyenkor a definíció.) f () = lim x f(x) f() x = lim x x = lim x x sin (x ) 0 x sin (x ) (x ) = 0 = 0 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu =

64 60 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 3. Feladat: f (x) =? f(x) = 3x sin x, ha x 0 0, ha x = Feladat: További gyakorló feladatok: a) f(x) = x 9 sin (x 3), f (x) =? b) f(x) = x 3 3x, f (x) =? c) f(x) = 5 x sin 5 x 3, f (x) =? d) f(x) = f (x) =? e) f(x) = sin x 7x, ha x > 0 x(x ), ha x 0 3x, ha x ax + b, ha x < Adja meg a és b értékét úgy, hogy f () létezzen! tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

65 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK Elemi függvények 5. Feladat: Rajzolja fel a tg és az arctg függvények grafikonját! Határozza meg értelmezési tartományukat, értékkészletüket, deriváltjukat! Elm App 6 App 7 App 8 App 9 6. Feladat: a) lim x 0 arctg x x =? b) lim arctg x x =? lim arctg x x =? lim arctg x 3 x =? c) lim x 0 x arctg x =? d) lim x 3 arctg x 3x 3x 9 =? e) lim x arctg x x + 3 =? 6 hatványfüggvények 7 exponenciális függvények 8 trigonometrikus függvények 9 hiberbolikus függvények c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

66 6 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA a) x = tg u, u = arctg x helyettesítéssel : lim x 0 arctg x x = lim u 0 u tg u = lim u 0 b) lim arctg = π x 3+0 } 3 {{ x }, mert / 0 alakú lim arctg = π x 3 0 } 3 {{ x }, mert /+0 alakú lim arctg x 3 x = arctg 0 = 0 u sin u cos u = c) lim x 0 x arctg x = 0, mert ( 0 korlátos) alakú. d) lim x 3 arctg x 3x 3x 9 e) lim x arctg x x + 3 = = lim x 3 arctg x 3 x 3 x 3 = arctg = π 4 ( x lim arctg ) x x x + 3 = π x } {{ } 7. Feladat: f(x) = 3 x arctg x, f (x) =? (x = 0 -ban a definícióval dolgozzon!) Fel kell használni, hogy lim x 0 arctg x x Adjuk fel házi feladatnak, mert nincs benne már új dolog! = az előző példában látottak alapján. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

67 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK Feladat: f(x) = x arctg x, ha x 0 a, ha x = 0 g(x) = x arctg x, ha x 0 b, ha x = 0 a) Határozza meg az a és b paraméterek értékét úgy, hogy az f és g folytonos legyen x = 0 -ban! b) f (0) =?, g (0) =? a) lim x arctg x 0 x = 0, Hasonlóan lim g(x) = 0 x 0 (0 korlátos alakú) Tehát a = f(0) := 0, b = g(0) := 0. Vagyis x arctg x, ha x 0 f(x) = 0, ha x = 0 függvények már mindenütt folytonosak. b) f (0) = lim h 0 ( f(h) f(0) h = lim h 0 ) f +(0) = π, f (0) = π g(x) = h arctg h 0 h x arctg x, ha x 0 0, ha x = 0 = lim h 0 arctg h g (0) = lim h 0 g(h) g(0) h = lim h 0 h arctg h 0 h = lim h 0 h arctg h = 0 9. Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

68 64 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f(x) = arctg + x x, ha x β, ha x = a) Megválasztható-e β értéke úgy, hogy az f függvény folytonos legyen x = -ben? b) f (x) =?, ha x c) lim x f (x) =? Létezik-e f ()? a) lim arctg + x = π x +0 } {{ x } lim arctg + x = π x 0 } {{ x } Mivel x = -ben x = -ben. b) Ha x : f (x) = + ( ( ) + x = x a határérték, ezért nincs olyan β, melyre f folytonos lenne ( ) + x ( ) =... = + x x x ( x) ( + x) ( ) ( x) = + x ( x) ) c) lim x f (x) =, de f (), mert az f függvény nem folytonos x = -ben. 0. Feladat: Ismertesse az arcsin függvény tulajdonságait (értelmezési tartomány, értékkészlet, ábra, derivált)! tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

69 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 65. Feladat: f(x) = 3π arcsin (3 x) a) D f =?, R f =?, f (x) =? b) Írja fel az x 0 = 7 4 pontbeli érintőegyenes egyenletét! c) Indokolja meg, hogy f -nek létezik az f inverze! f (x) =?, D f =?, R f =? a) 3 x... = D f = [, ] [ 3 x [, ] = arcsin (3 x) π, π ] = arcsin (3 x) [ π, π] = R f = [π, 4π] f (x) = b) y é = f ( ) 7 4 (3 x) ( ) = 4 (3 x) + f ( 7 4 ) ( x 7 ) 4 = 0 3 π + 8 ( x 7 ) 3 4, x (, ) c) f (x) > 0, ha x (, ) és f folytonos [, ] -ben, ezért f szigorúan monoton nő D f - en, így a teljes értelmezési tartományban invertálható. y = 3π arcsin (3 x) =... f (x) = ( 3 sin 3π x ) D f = R f = [π, 4π], R f = D f = [, ]. Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

70 66 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA a) D f =?, R f =? f(x) = arccos 4 x π b) Adja meg a 5 pontot tartalmazó azon legbővebb intervallumot, melyen f invertálható! f (x) =?, D f =?, R f =? a) f páros függvény. ÉT.: 4 x = x 0 < 4 x miatt arccos 4 [ x 0, π ) = R f = [ π, 0 ) b) f (x) = ( ) 8 = 4 x 3 x ( ) 4 x 8, ha x >. x3 f (x) < 0, ha x (, ) és f folytonos I = (, ] -n = f szigorúan monoton csökken I -n, tehát invertálható I -n. ( 5 I) y = arccos 4 x π =... f (x) = D f = R f = [ π ), 0, R f = D f = (, ] cos (x + π ) 3. Feladat: Deriválja az alábbi függvényeket! ch 5x, ha x 0 f(x) = sh x 3x, ha x < 0 ; g(x) = ( + x 4 ) x tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

71 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 67 Rajzoljuk fel az sh x, ch x függvényeket! f(0 + 0) = f(0) = ch 0 = f(0 0) = 0 = f nem folytonos x = 0 -ban = f (0) Egyébként f deriválható függvények összetétele és így deriválható: 0x sh 5x, ha x > 0 f (x) = ch x 3, ha x < 0 g exponenciális hatványfüggvény, ennek megfelelően deriváljuk: g(x) = e ln (+x4 ) x = e x ln (+x4 ) ) g (x) = e x ln (+x4) (x ln ( + x 4 )) = ( + x 4 ) x ( ln ( + x 4 ) + x 4x3 + x 4 4. Feladat: x e (x ), ha x > f(x) = ch (x ) 3, ha x Írja fel f (x) értékét, ahol az létezik! Feladat: f(x) = arctg x π Hol és milyen szakadása van a függvénynek? Írja fel f (x) értékét, ahol az létezik! Adjon meg egy intervallumot, melyen létezik f! f (x) =?, D f =?, R f =?... c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

72 68 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA Elm App 4.5. L Hospital szabály 6. Feladat: a) lim x 0 arctg x 3 arsh 5 x 3 =? e) lim x ( x x ) ln x =? b) lim x 0 arcsin 3 x tg x =? f) lim x +0 xtg x =? c) lim x x e 5x =? g) lim x e 8x e 3x e 5x + e 3x =? d) lim x +0 x ln x 7 =? h) lim x sh (3x ) ch (3x + 4) =? a) lim x 0 arctg x 3 arsh 5 x 3 b) lim x 0 arcsin 3 x tg x c) lim x x e 5x = L H = lim x 0 L H = lim x 0 lim x 6x + (x 3 ) = lim 5x x (5x3 ) (3x ) tg x x L H = lim e5x x cos x 6x = lim x 0 3 x L H = lim 5 e5x x + (x 3 ) + (5x3 ) = 5 9x 4 5 e 5x = 0 x sin x cos3 x = 3 d) lim x +0 x ln x 7 = lim x +0 ln x 7 = lim x +0 x 7 ln x x / L H = lim x +0 7 x x 3/ = = lim x +0 4 x = 0 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

73 4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 69 e) lim x ( x x ) ln x = lim x x ln x x + (x ) ln x L H = lim x ln x + x x ln x + (x ) x = lim x ln x ln x + x L H = x x + = x f) lim x +0 xtg x = lim x +0 tg x ln x = lim lim x +0 eln xtg x x +0 ln x ctg x = lim x +0 etg x ln x = e 0 =, mert L H = lim x +0 x sin x = lim x +0 sin x x sin x = 0 g) A L Hospital szabály alkalmazása most nem vezetne eredményre. lim x e 8x e 3x e 5x + e 3x = lim x e 3x e 3x e x e 8x + = = h) Itt sem vezet eredményre a L Hospital szabály. Beírva a függvények definícióját, az előző pédához hasonlóan járhatunk el: lim x sh (3x ) ch (3x + 4) = lim x e 3x e (3x ) e 3x+4 + e (3x+4) = lim x e 3x e 3x e e 6x+ e 4 + e 6x 4 = e e Intervallumon deriválható függvények tulajdonságai, függvényvizsgálat 7. Feladat: Elm App App f(x) = (x 3) 3 (x + 5) 4 a) Adja meg azokat a legbővebb intervallumokat, melyeken a függvény szigorúan monoton! b) Hol van lokális szélsőértéke? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

74 70 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f (x) = 3(x 3) (x+5) 4 + (x 3) 3 4(x+5) 3 =... = (x 3) (x + 5) (x + 5)(7x + 3) } {{ } } {{ } 0 rajzoljuk fel! ( x (, 5) 5 5, 3 ) 3 ( 37 ) 7 7, 3 3 (3, ) f f Tehát f szigorúan monoton nő: (, 5) és ( 37 ), intervallumokon, ( f szigorúan monoton csökken: 5, 3 ) -en. 7 x = 5 -ben lokális maximum van, mert f növekvőből csökkenőbe megy át. x = 3 -ben lokális minimum van, mert f csökkenőből növekvőbe változik Feladat: f(x) = ln (x + x + ) Keresse meg azokat az intervallumokat, melyeken a függvény - monoton nő, illetve monoton csökken; - alulról konvex, alulról konkáv. f(x) = ln (x + x + ) = ln ((x + ) + ) } {{ } f x + (x) = x + x + = D f = R x (, ) (, ) f 0 + f Tehát f (szigorúan) monoton csökken (, ) -en és (szigorúan) monoton nő (, ) - en. f (x) = (x + x + ) (x + )(x + ) x (x + ) = (x + x + ) (x + x + ) tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi