MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK"

Átírás

1 Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright

2 ii A Matematika. elektronikus oktatási segédanyag a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatika Karán a mérnök-informatikus szakos hallgatók Analízis tárgyához készült, de haszonnal forgathatják más szakok, karok vagy műszaki főiskolák, egyetemek hallgatói is, akik hasonló mélységben hasonló anyagot tanulnak matematikából. Az anyag numerikus sorok, sorozatok elméletét, egyváltozós valós függvények határértékét, folytonosságát, differenciálását és integrálását tárgyalja. A definíciók, tételek, bizonyítások mellett kiemelt szerepet kapnak a példák, és a gyakran előforduló feladattípusok megoldásai. A mintegy 60 oldalas elméleti anyagot kiegészíti egy több, mint 00 oldalas példatár, amely többségében megoldott, tematizált gyakorlófeladatokat tartalmaz. A két pdf állomány kölcsönösen hivatkozik egymásra. Az eligazodást tartalomjegyzék, valamint az elméleti anyagban található tárgymutató segíti. A megértést színes ábrák könnyítik, az érdeklődő olvasó pedig a Thomas Calculus illetve a Calculusapplets kapcsolódó weboldalaira is ellátogathat külső hivatkozásokon keresztül. A háttérszínezéssel tagolt elméleti anyag fekete-fehér változata is rendelkezésre áll, amely nyomtatásra javasolt formátum. Kulcsszavak: sor, sorozat, folytonosság, kalkulus, differenciálás, integrálás. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

3 iii Támogatás: Készült a TÁMOP //A/KMR számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban című projekt keretében. Készült: A BME TTK Matematikai Intézet gondozásában. Szakmai felelős vezető: Ferenczi Miklós Lektorálta: Pröhle Péter Az elektronikus kiadást előkészítette: Fritz Ágnes, Kónya Ilona, Pataki Gergely, Tasnádi Tamás Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert ISBN Copyright: Fritz Ágnes (BME), Kónya Ilona (BME), Pataki Gergely (BME), Tasnádi Tamás (BME) A c terminusai: A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjeleníthető és előadható, de nem módosítható. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

4 iv tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

5 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék. Sorozatok 3.. Speciális (végtelenhez tartó) sorozatok Nagyságrendek összehasonlítása (n n, n!, n, n k, n, log n) Sorozatok határértéke Két nevezetes határérték ( n p n n, n n ) Rekurzíve megadott sorozatok ( + x/n) n n e x határértékkel kapcsolatos feladatok Limesz szuperior, limesz inferior Egy alkalmazás: a kör területe Sorok 9.. Numerikus sorok Alternáló sorok, Leibniz sorok Majoráns kritérium, minoráns kritérium Abszolút konvergencia, feltételes konvergencia Hibaszámítás pozitív tagú sorokra Egyváltozós valós függvények határértéke, folytonossága Függvény határértéke Szakadások típusai sin x lim = határértékkel kapcsolatos példák x 0 x Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval A deriválási szabályok gyakorlása A deriválási szabályok + definíció gyakorlása Elemi függvények L Hospital szabály Függvényvizsgálat Abszolút szélsőérték Implicit megadású függvények deriválása

6 TARTALOMJEGYZÉK 4.9. Paraméteres megadású görbék Egyváltozós valós függvények integrálása Határozatlan integrál Parciális integrálás Racionális törtfüggvények integrálása Határozott integrál Területszámítás Integrálfüggvény Integrálás helyettesítéssel Improprius integrál Integrálkritérium tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

7 . fejezet Sorozatok.. Speciális (végtelenhez tartó) sorozatok Definíció: Az a n valós számsorozat végtelenhez tart, jelben (vagy más jelöléssel a n n, vagy csak a n ), ha lim a n = + n App Elm Elm P > 0 (P R) esetén N(P ) N, melyre a n > P, ha n > N(P ). Definíció: lim a n =, ha n M < 0 (M R) esetén N(M) N, melyre a n < M, ha n > N(M). (Lehet M > 0 -val is definiálni, ekkor... a n < M...). Feladat: a n = 6n 3 + 3, mert P 3 6n > P 6n 3 > P 3 n > 3, 6 [ 3 P 3 ] tehát N(P ). 6 ([x] az x egész részét jelöli, mely az x -nél nem nagyobb legnagyobb egész, pl.: [ 0.8] =, [.95] =.) 3

8 4. FEJEZET: SOROZATOK. Feladat: a n = 6n 3 + 3n, 6n 3 + 3n > P : most így nem megy. Helyette becslés: 6n 3 + 3n 6n 3 > P n > 3 P 6 [ 3 P N(P ) 6 ]. (Az alsó becslésnél a 6n 3 helyett állhatna n 3, 3n, n, stb.) 3. Feladat: a n = n n, lim a n =? n n határozatlan, alakú, de az a n = n(n ) alakból már látszik, hogy a n. Az N(P ) küszöbindex meghatározása: Az n n > P egyenlőtlenséget nehézkes egzaktul megoldani. Inkább valamilyen becslést alkalmazunk. Természetesen több lehetőség van, például: n n = n(n ) > (n )(n ) = n > P n > P + Ennek megfelelően: N(P ) [P + ]. Vagy: n n > n n = n > P n > P. Ez a becslés akkor igaz, ha n N(P ) max {, [ P ] }. > n, azaz ha n >, tehát a küszöbindex: 4. Feladat: a n = n 3 3n + 5n + 9, mert: n 3 3n + 5n + 9 > n 3 3n > n 3 n3 = n3 > P n > 3 P A becslés akkor igaz, ha n3 > 3n, azaz ha n > 6, így N(P ) max { [ 3 P ], 6 } tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

9 .. SPECIÁLIS (VÉGTELENHEZ TARTÓ) SOROZATOK 5 5. Feladat: a n = n3 + 3n n +,, mert: n 3 + 3n n + n 3 n + n = n 3 > P n > 3P N(P ) [ ] 3P. 6. Feladat: a n = n + 3 n 9, mert: +++ n + 3 n 9 < M ( < 0) n 3 n + 9 > M ( > 0) Az egzakt megoldás helyett most is érdemesebb először becsülni: n 3 n + 9 > n 3 n > n n = n > M n A becslés akkor igaz, ha > 3 n, ami egy bizonyos N küszöbindex esetén az n > N indexekre teljesül. (Nem kell N -et meghatározni, elég látni, hogy létezik.) Tehát N(P ) max { N, [ M] }. 7. Feladat: Gyakorló feladatok: A megfelelő definícióval mutassa meg, hogy az alábbi sorozatok -hez vagy -hez tartanak! a) a n = 7n 5 + 5, b n = 7n 5 5 b) a n = 7n 5 + 5n, b n = 7n 5 5n c) a n = n 5 3n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

10 6. FEJEZET: SOROZATOK d) a n = n 4 n 3 + 6n + 3 e) a n = n n Tétel: Ha lim a n =, és b n a n, akkor n lim b n =. n Megjegyzés: Elegendő, hogy b n a n csak n > N 0 indexekre teljesül. Tétel: ( a n n ) ( b n = a n ) n. A tételeket nem bizonyítjuk. 8. Feladat: A fenti tételek alkalmazásával mutassuk meg, hogy a következő sorozatok -hez vagy -hez tartanak! a) a n = n 5 7n + 5n + 3 (a n > n 5 7n n 5 n5 = n5 ) b) a n = n 5 + n, illetve n5 n c) a n = n 4 + n 3 n 4 5n 3 (n 5) (a n = n4 + n 3 (n 4 5n 3 ) n4 + n 3 + n 4 5n 3 = n 7n n + n + 5 n 7n = const. n ) d) a n = n 6 n 4 n 6 + n 4 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

11 .. NAGYSÁGRENDEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA (n n, n!, n, n k, n, log n) 7 (Legyen b n = a n. Megmutatjuk, hogy b n, (ez könnyebb), ebből már következik, hogy a n.) 9. Feladat: a n = 3 n 6 + n 5 3 n 6 n a n = α 3 β 3 α + αβ + β, ahol α = 3 n 6 + n 5, β = 3 n 6 n 5... Nagyságrendek összehasonlítása (n n, n!, n, n k, n, log n) határozatlan alak, konkrét esetekben különböző határértékeket kaphatunk, pél- A dául n n 0, n 3 n, 3n 5n 3 5. Elm Tétel: a) n n n! ; b) n! ; c) n n n ; d) n log n. Bizonyítás: a) n n n! = n n... n... n n... = n } = n n {{ } n! spec. rendőrelv b) n! n(n )(n )... = n... n... = n 4 } = n! {{ } n spec. rendőrelv c) Legyen a n = n n. +++ c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

12 8. FEJEZET: SOROZATOK Egyrészt a sorozat monoton nő, tehát a n+ a n, hiszen: n+ n +? n n = n? n + = n Másrészt a páros indexű részsorozat végtelenhez tart: a n = n n = n n n = n a n n a = n. E két tulajdonságból következik, hogy a n. +++ d) Legyen a n = n log n. Belátható, hogy a sorozat monoton nő (ezt csak később tudjuk megmutatni), és a k. Ebből a két tulajdonságból következik az állítás. A következőt kaptuk: n n n! n n k n k log n, k N + Itt a jelet úgy kell olvasni hogy erősebb, vagy nagyobb nagyságrendű. fogalmakat a félév végén pontosítjuk. Ezeket a Belátható, hogy a n -ből következik, hogy a n 0. Ennek alapján az előzőekből következik : log n n 0; n n 0; n n! 0; n! n n 0 Elm.3. Sorozatok határértéke Szükséges ismeretek: lim a n = A definíciója; példák N(ε) meghatározására; konvergens sorozat korlátos; divergens sorozatok; műveletek konvergens számsorozatokkal. Néhány feladat az előadáson tanultakkal kapcsolatban: tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

13 .3. SOROZATOK HATÁRÉRTÉKE 9 0. Feladat: a n = 3n + 4n + 7 n + n + a n A = 3, N(ε) =? 3n + 4n + 7 n + n + 3 = n + 4 n + n + n + 4n N(ε) [ ] 5 ε n = 5 n < ε, Persze másképp is majorálhatunk. Ha egyszerűen megoldható, célszerű olyan becsléseket alkalmazni, melyek minden n -re jók.. Feladat: a n = n 0 8 5n 6 + n 3, lim a n =?, N(ε) =? n a n 0, mert a n = n n 6 }{{} = n 4 0 a n A = n 0 8 5n 6 + n 3 08 n = 0 n 3 n 6 ha n 04 = n 0 8 5n 6 + n 3 } {{ } >0 { [ ] } N(ε) max 0 4, 4 ε < n 5n 6 < n 4 < ε. Feladat: További gyakorló feladatok: Írja le a lim a n = A R definícióját és ennek alapján mutassa meg, hogy n a) lim n n 3 5n n = ( N(ε) =? ) b) lim n 4n 3 + 3n + n 3 + 7n + b = 4 ; b = 30, illetve b = 30 ( N(ε) =? ) c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

14 0. FEJEZET: SOROZATOK c) lim n 0 9 n 3 4n 5 + 3n 3 6n = 0 ( N(ε) =? ) 3. Feladat: +++ a n = n + 3n + 6 3n..., N(ε) =? 3 4. Feladat: Vizsgálja konvergencia szempontjából az a n = a n = (n + )! (5 n) n! (n + )! (5 n) n! sorozatot! = n + 5 n = n n + n = n 5. Feladat: Vizsgálja konvergencia szempontjából az a n = ( n ) ( n 3) sorozatot! a n = ( n ) ( n 3) = n(n ) n(n )(n ) 3 = 3 n 0 6. Feladat: a n = n + 5n n n? Legyen α = n + 5n, β = n n. Ekkor: a n = α β = (α β) α + β α + β = α β α + β = 6n n + 5n + n n = = n 6 n }{{} = + 5n + n 6 = 3 + tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

15 .3. SOROZATOK HATÁRÉRTÉKE 7. Feladat: a n = n 4 + n + 3 n 4 + n? 8. Feladat: a n = 3 n 3 3n n 3 + n +? +++ Legyen α = 3 n 3 3n + 8, β = 3 n 3 + n +. Ekkor: a n = α β = α 3 β 3 α + αβ + β = Feladat: További gyakorló feladatok: Vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi sorozatokat! a) a n = 5 n 5 3n 5 + n 4 n + 3, b n = 5 n 3 3n 5 + n 4 n + 3, c n = n 6 7 3n 5 + n 4 n + 3 b) a n = c) a n = (3n + ) 4 n 4 + n 3n + 5, b n = (n + 3) (3n + 5) 4 ( n+ ( n 4 ) ) ( n ) d) a n = 9n + 7 9n + n + 5 e) a n = 4n 4 + n n f) a n = n n + 3n Feladat: +++ c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

16 . FEJEZET: SOROZATOK a n = n + n + 3 n + bn + Határozzuk meg a b R paraméter értékét úgy, hogy a sorozat határértéke Belátható, hogy a) vagy, b) véges, nem nulla szám, c) 0 legyen! lim n an = 0, ha a <,, ha a =,, ha a >,, egyébként. Sőt, általában igaz, hogy az exponenciális sorozat (a n ) gyorsabban nő, illetve csökken, mint bármely hatványsorozat (n k, k N + ), tehát például ( ) n ( n ) n n 0, vagy n 3 n 0. 5 Összefoglalva: lim n nk a n = { 0, ha a <, k N +, ha a >, k N + A fenti bekeretezett formulákat bizonyítás nélkül felhasználhatjuk a feladatok megoldásánál. Vizsgálja konvergencia szempontjából az alábbi sorozatokat!. Feladat: a n = ( )n n = ( 7 ( ) n + 3 ( ) n ) n = 0 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

17 .3. SOROZATOK HATÁRÉRTÉKE 3. Feladat: a n = ( 3)n+ + n+3 = 3 ( 3)n n = n n ( ) n ( ) n = 8 ( 5 ) n = 0 3. Feladat: a n = (3) n ( 3) n + 0 n? b n = (3)n 3 n + 9 n? c n = 9n 3 n + n? ( 4. Feladat: a n = n3 n + 3 n = n3 n + 3 n ) n ( = n3 + 3 n 4) n 3 n 4 n 3 n 3n ( ) n 0 4 (Felhasználtuk, hogy n k a n 0, ha a <.) 5. Feladat: +++ A q R paraméter függvényében határozzuk meg a következő sorozat határértékét: a n = n ( 3) n + q n? 6. Feladat: További gyakorló feladatok: Vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi sorozatokat! a) a n = 5n+ + ( ) n 5 n b) a n = ( )n 3 n 3 n+ + n c) a n = 4n + n 5 3 n+3 n+3 + n 3 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

18 4. FEJEZET: SOROZATOK d) a n = n + n 8 4 n 7 + 3n+.4. Két nevezetes határérték ( n p n, n n n ) lim n n p =, p > 0 lim n n n = 7. Feladat: Keresse meg a következő sorozatok hatáérértékét! a) a n = n n, b) b n = n n, c) c n = n n a) a n, mert az n n sorozat részsorozata. b) b n = n n = n n n = c) c n = n n = n n n =, mert a számláló és a nevező is két részsorozat. Vagy egyszerűbben: n n = n n = 8. Feladat: Vizsgálja meg konvergencia szempontjából a következő sorozatot! A rendőrelvvel dolgozunk: a n = n n + n n }{{} b n = n n + n n + n = n n n } {{ } = b n. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

19 .4. KÉT NEVEZETES HATÁRÉRTÉK ( n p n, n n n ) 5 Természetesen < b n alsó becslés is jó. 9. Feladat: a n = n n b n = n n + 3 4n + n Ezek a példák csak rendőrelvvel oldhatók meg!!!! (Nem tudják megkerülni.) n 3 }{{} a n = n n n n n 3 = n 5 ( n n ) 3 } {{ } 3 = = a n. n }{{} 5 n = n 4n + n b n + 3 n n = n 4n + n + 3n n 4n = b n. 5 = n }{{} 4 Másik megoldás: b n := n β n Megmutatjuk, hogy β n Ezért < β n < 0.6, ha n > N 0 ( N 0 ) n Ekkor } {{ 0.4 } < b n = n β n < } n {{ 0.6 }, ha n > N 0 = b n (Most is a rendőrelvet használtuk fel.) 30. Feladat: a n = n n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

20 6. FEJEZET: SOROZATOK a n = n n n }{{} és n ÍGY NEM!!!! Ez így "letakarás". Nem tanultunk olyan tételt, amely szerint így csinálhatnánk. Csak a sejtéshez használható a "letakarás". Egy helyes megoldás: n n = 0.9 < n n <., ha n > N 0 ( N 0 ) Ekkor n 0.9 } {{ } < a n < n. } {{ } = n n (A rendőrelvet használtuk fel.) Most lehet egy kicsit egyszerűbben is becsülni a rendőrelvhez: n n n n 3. Feladat: További gyakorló feladatok: Vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi sorozatokat! a) a n = n 4 n, b n = n 4 n+, c n = 4n 4, d n = 5n 4n b) a n = n n 5 3 n+ c) a n = n 6n 5 + 3n 3 n + 6 d) a n = 3 7 n + 7n 3 8n 5n + 9, 7 n b + 7n 3 n = n 8n 5n + 9 e) a n = n 5n + 3n + 4 n 3 + 7n + 6 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

21 .5. REKURZÍVE MEGADOTT SOROZATOK 7.5. Rekurzíve megadott sorozatok Szükséges előismeret: Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens. 3. Feladat: Legyen a = 4, a n+ = 7 0 a n rekurzíve adott sorozat! (a n ) = (4, 4.5, 4.778, ) a) Mutassa meg, hogy a n 5 minden n N -re! b) Indokolja meg, hogy (a n ) konvergens! Határozza meg az (a n ) határértékét! a) Teljes indukcióval dolgozunk: ) a n 5, ha n =,, 3 ) Tegyük fel, hogy a n 5 3) Igaz-e, hogy a n+ = 7 0 5? a n Az indukciós feltétel 0 < a n 5 miatt: ( 0) a n 5 (A reciprokvételnél megfordultak a reláció jelek.) Tehát igaz. b) Sejtés: (a n ) monoton nő Bizonyítás: I. módszer: 5 0 a n a n = a n+ 5 Bizonyítás: teljes indukcióval. a) a a a 3 teljesül c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

22 8. FEJEZET: SOROZATOK b) Tfh. a n a n c) Igaz-e a n a n+? Azaz a n = 7 0 a n? 7 0 = a n+ a n. miatt 0 < a n a n. Innen a n a n ( 0) = 0 a n 0 a n + 7 = a n = 7 0 a n 7 0 a n = a n+ Tehát a számsorozat valóban monoton nő. II. módszer: a n+ = 7 0 a n? a n, (a n > 0) = a n 7 a n + 0 = (a n ) (a n 5)? 0 Mivel a)-ban beláttuk, hogy a n 5, ezért az előző teljesül és így (a n ) monoton nő. Megmutattuk, hogy a számsorozat monoton és korlátos = (a n ) konvergens, és fennáll: ( A = lim a n = lim 7 0 ) n n a n A = 7 0 A = A = 5 vagy A =. A = nem lehet, mivel a n a = 4, ezért a n nem esik a szám pl. sugarú környezetébe. Így A = lim a n = 5. n 33. Feladat: Vizsgálja az alábbi sorozatok konvergenciáját! a n = a n + 3 a) a = : (a n ) = (,.36,.73, ) b) a = 5 : (a n ) = (5, 3.605, 3.95, ) tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

23 .5. REKURZÍVE MEGADOTT SOROZATOK 9 A = A + 3 = A A 3 = 0 = A = vagy A = 3. Most csak A = 3 jöhet szóba, hiszen a n > 0. Ha tehát a számsorozat konvergens, akkor A = 3. Ezért dolgozunk majd a korlátosságnál is a 3 -mal. A megoldás vázlata: a) Megmutatható teljes indukcióval, hogy (a n ) monoton nő és szintén teljes indukcióval, hogy a n < 3. Tehát a sorozat konvergens és az előzőek miatt A = 3. (A Segédletben van hasonló példa kidolgozva.) b) Most teljes indukcióval megmutatható, hogy (a n ) monoton csökken és a n > 3. Tehát a sorozat konvergens és az előzőek miatt A = 3 most is. 34. Feladat: Gyakorló példák: a) a n+ = 8 a n 7, n =,, és a = 4 (a n ) = (4, 5, 5.74, ) a) Bizonyítsa be, hogy < a n < 7! b) Igazolja, hogy a sorozat monoton! c) Konvergens-e ez a sorozat? Ha igen, mi a határértéke? b) a n+ = a n 8 7, n =,, és a = 9 (a n ) = (9, 0.43, 4.4, ) a) Mely valós számok jöhetnek szóba a sorozat határértékeként? b) Igazolja, hogy a n > 8, n N + c) Igazolja, hogy a sorozat monoton! d) Konvergens-e a sorozat! c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

24 0. FEJEZET: SOROZATOK c) Legyen a = 5, a n+ = 8 a n rekurzíve adott sorozat! (a n ) = (5, 5.6, 5.85, ) a) Mutassa meg, hogy a n 6 minden n N -re! b) Indokolja meg, hogy (a n ) konvergens! A felhasznált tételt írja le! c) Határozza meg az (a n ) határértékét! Elm.6. (+x/n) n n e x határértékkel kapcsolatos feladatok lim n ( + x n) n = e x felhasználható. Állapítsuk meg a következő sorozatok határértékét! 35. Feladat: a n = ( + ) 6n + 6n a n = (e n részsorozatáról van szó.) ( + ) 6n ( + ) e = e 6n 6n 36. Feladat: a n = ( ) n+3 n + 5 n 4 a n = ( + 5 ) n n ( + 4 ) n n ( + 5 ) 3 n ( + 4 n ) 3 e5 3 e 4 = 3 e9 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

25 .6. ( + x/n) n n e x HATÁRÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS FELADATOK Más átalakítással: ( ) n 4+7 n a n = = n 4 ( + 9 ) n 4 ( + 9 ) 7 e 9 7 = e 9 n 4 n 4 Ez a fajta átalakítás bizonyos példáknál sokkal hosszabb, ezért az első módszert használata javasolt, de persze ez nem kötelező. 37. Feladat: a n = ( ) n n + +7 n + 3 a n = ( ) n n + n + 3 ( ) n 7 + = n + 3 ( + n ) n + ( + 3n ) n n + 3 n 7 e e 3 7 = e Másik megoldás: ( (n + 3) a n = n + 3 ) (n +3)+4 = ( + ) n +3 ( + ) 4 e 4 = n + 3 n + 3 e 38. Feladat: a n = ( ) 3n 3n + 5, b n = 3n 4 ( ) n 3n + 5 3n a n = 3n + 4 3n + 5 3n b n = + 4 3n 3n n = e5 e 4 = e9 + 5/3 n + 4/3 n n ( e 5/3 e 4/3 ) = e 6 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

26 . FEJEZET: SOROZATOK 39. Feladat: Gyakorló példák: Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét! ( a) a n = + n) 5n b) a n = c) a n = e) a n = ( + ) 6n d) a 5n n = ) n ( 5 f) a n n = ( 5 + ) n n ( + 5n ) n ( ( + ) ) 0 n n ( + 8 ) n n g) a n = i) a n = k) a n = ( ) n+4 n + 7 h) a n = n + 4 ( ) n n + 7 j) a n = n + 3 ( ) n+5 n + 7 n + 3 ) n ( n + 7 n + 3 ( n + 7 n + 3 ) n 40. Feladat: Gyakorló példák: A paraméterek megadott értékeire keresse meg az alábbi sorozat határértékét! ( ) 3n 3 α n β a n = 3n a) α = 3, β = 0 b) α = 3, β = c) α =, β = 0 d) α = 6, β = 0 4. Feladat: a n = ( + n ) n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

27 .6. ( + x/n) n n e x HATÁRÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS FELADATOK 3 ÍGY TILOS! : a n = n ( + n ) n Ez így "letakarás"! Ez a sejtéshez használható: ( n + ) n n e n n e De precízen meg kell mutatni. (Persze kimondható lenne használható tétel, de mi nem mondtunk ki ilyent.) Helyesen: n e 0, } {{ } < a n = ( + n ) n n } {{ } e = a n < n e + 0,, } {{ } ha n > N 0 Persze más becslés is jó. Pl.: n an < n 3 stb. 4. Feladat: a n = ( + ) n n (( a n = + n) n ) n n = a n spec. rendőrelv 43. Feladat: +++ a) a n = ( n 4 ) n 3 b) b n = ( n 4 ) n Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

28 4. FEJEZET: SOROZATOK Gyakorló példák: Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét! a) a n = ( + ) n n b) a n = ( ) n n c) a n = ( ) n n n Feladat: a n = ( ) n 4n +, b n = 4n + 5 ( ) n 4n +, c n = 7n + 5 ( ) n 6n + 4n + 5 ( + /4 ) n n a n = ( + 5/4 ) n e/4 e 5/4 n = e 0 < b n = ( ) n 4n + < 7n + 5 ( ) n 4n + n = 7n ( ) n 5 7 } {{ } 0 = b n 0 rendőrelv c n = ( ) n ( ) n 6n + 6n = 4n + 5 n 5 4n + n ( ) n 6 = 5 c n spec. rendőrelv De lehet kiemeléssel is egyszerűbb alakra hozni. Pl.: ( ( ) n ( ) n + /4 ) n 4n + 4n n b n = = ( 7n + 5 7n } {{ } + 5/7 ) n 0 e/4 e = 0 5/7 4 n n = 7 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

29 .7. LIMESZ SZUPERIOR, LIMESZ INFERIOR 5.7. Limesz szuperior, limesz inferior 46. Feladat: a n = 4 n n + 3 lim sup a n =?, lim inf a n =? 47. Feladat: a) a n = b) b n = ( cos n π ) n 3 n + n + 8 ( cos n π ) n 3 n 3 + n + 8 lim sup a n =?, lim inf a n =?, lim sup b n =?, lim inf b n =?, lim a n =? n lim b n =? n a) α n := n 3 n + n + 8 = 3 n + n + 8 n Ha n = k + : a n = 0 0 Ha n = 4k : a n = α n Ha n = 4k + : a n = α n Tehát a torlódási pontok halmaza: S = {, 0, } = lim sup a n =, lim inf a n =, lim n a n b) β n := n 3 n 3 + n = lim sup b n = lim inf b n = lim n b n = Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

30 6. FEJEZET: SOROZATOK lim sup a n =?, lim inf a n =?, lim a n =? n a) a n = ( 3)n n+ b) a n = ( 4)n n Feladat: a n = n 3 + ( ) n n 3 3n 3 + n + 7 lim sup a n =?, lim inf a n =? Ha n páros: a n = n 3 3n 3 + n + 7 = 3 + n + 7 n 3 3 Ha n páratlan: a n = 0 0 = lim sup a n = 3, lim inf a n = Feladat: a n = n 3 + ( ) n n 3 3n 3 + n + 7 lim sup a n =?, lim inf a n =? Feladat: a n = ( ) n ( ) 3 3 n 4n lim sup a n =?, lim inf a n =? 5 + n n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

31 .8. EGY ALKALMAZÁS: A KÖR TERÜLETE 7 5. Feladat: Gyakorló példák: Határozza meg az alábbi sorozatok limeszét (ha létezik), valamint limesz szuperiorját és a limesz inferiorját! a) a n = 3 + n 4 n + b) a n = 3 + n ( 4) n + c) a n = ( 4)n + 3 n+, b n+ n = a n cos nπ ( ) 6n+ 3n 3 d) a n = ( ) n e) a n = 4n+ + ( ) n 3n + n+ + 3 n.8. Egy alkalmazás: a kör területe Elm lim n sin n n = lim n n sin n = (Bizonyítás később.) lim n sin a n a n = lim n n a sin a n =, a R (Bizonyítás később.) 53. Feladat: lim n sin 3 n n =? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

32 8. FEJEZET: SOROZATOK lim n sin 3 n n = lim n sin 3 n 3 n 3 = 3 = Feladat: Határozzuk meg az r sugarú kör területét mint a beírt szabályos n -szögek területeinek limeszét! A szabályos n -szög egy háromszögének területe: t h = Így a szabályos n -szög területe: t n = n r sin π n = r sin π n π r π π } {{ n } r r sin π n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

33 . fejezet Sorok Elm.. Numerikus sorok App. Feladat: Konvergens-e a ( ) k + k sor? (A definícióval dolgozzon!) k= n ( ) ( ) ( ) s n = k + k = k= + ( n n ) + ( n + n ) = n + ( 4 3 ) +... s = lim s n = n lim ( n + ) =. n Tehát a sor divergens. Geometriai sor összege: a q n = n=0 a q n = n= a q, ha q < Elm 9

34 30. FEJEZET: SOROK. Feladat: n= n =? (Állapítsa meg a sor összegét!) ( 5) n+ s = n= Itt n ( 5) = n+ q = 4 5 n= 5 ( ) n 4 = 5 = } {{ 5} 5 a ( ) , q <, tehát a geometriai sor konvergens. ( ) = 5 3. Feladat: n= 3n+ + ( 5) n 3 n+ =? Elm A sor két konvergens geometriai sor összege. Tanulni, sőt bizonyítani fogunk egy tételt, mely szerint számolhatjuk tagonként a sorösszeget és az eredményeket összegezzük. 3n+ + ( 5) n s = = 3 n+ 9 8n 9 + n 9 ( 5)n = s 9 n + s n= A konstans is kiemelhető: s = 9 n= ( ) n n= n= n= ( ) n 5 = Feladat: x n Milyen x -re konvergens és mi az összege? 4 n n= tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

35 .. ALTERNÁLÓ SOROK, LEIBNIZ SOROK 3.. Alternáló sorok, Leibniz sorok Emlékeztetünk arra, hogy a két fogalom nem ekvivalens! Minden Leibniz sor alternáló sor, de nem minden alternáló sor Leibniz sor. App Elm Konvergensek-e az alábbi sorok? 5. Feladat: a) n= ( ) n+ 5 n + 5 b) n= ( ) n+ n n5 + 5 a) c n := 5 n + 5. Mivel c n 0 (monoton csökkenően tart nullához), a sor Leibniz típusú és így konvergens. b) Most c n = ( n n) = 6 0 = a sor divergens, mert nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele, az általános tag nem tart 0-hoz. 6. Feladat: n= ( ) n n + ( ) n+ n + 5 ( ) n c n := ( ) n n + = n n ( + 5 n ) n e e 5 = e 4 0 Tehát az általános tag nem tart 0-hoz, így nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele, ezért a sor divergens. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

36 3. FEJEZET: SOROK 7. Feladat: ( ) n n= 5 n n + 0 n Mutassa meg, hogy Leibniz sorról van szó! Adjon becslést az s s 99 közelítés hibájára! ( ) n c n = 5 n n + 0 n = ( ) n = 0 Még meg kell mutatnunk, hogy a sorozat monoton csökkenő. (Ez most nem triviális, mert n növelésével a számláló és a nevező is nő.) 5 n+ n+ + 0 n+ 5 ( n + 0 n ) c n+? < cn? 5 n < n + 0 n? < n n 3 n? < 5 0 n 3? < 5 5 n Ez pedig igaz minden n -re és ebből következik visszafelé, hogy c n+ < c n, tehát a sorozat monoton csökkenő. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a sor Leibniz típusú, így konvergens. n Leibniz sorok esetén az s s n = ( ) k+ c k közelítés hibája: Ezért az s s 99 H = s s n c n+ k= közelítés hibájáról az alábbit mondhatjuk: H = s s 99 c 00 = Feladat: n= ( ) n 3n n + 9 n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

37 .3. MAJORÁNS KRITÉRIUM, MINORÁNS KRITÉRIUM 33 Mutassa meg, hogy Leibniz sorról van szó! Adjon becslést az s s 99 közelítés hibájára! Feladat: Konvergens-e a sor? n= ( ) n+ n n Feladat: Konvergens-e a sor? ( ) n n + 5 n Majoráns kritérium, minoráns kritérium Csak olyan példa lehet most, amelyiknél geometriai sorral vagy majorálni, minorálni. n α sorral lehet App Elm c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

38 34. FEJEZET: SOROK Vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi sorokat!. Feladat: n= n 3 n + 3 3n 4 + n + 7 Divergenciát várunk, mert.... Ezért a minoráns kritériumot használjuk: a n := n3 n + 3 3n 4 + n + 7 n3 n n 4 + n 4 + 7n = 4 n ; n divergens n= = divergens. n= a n. Feladat: n= n n + 3 n 5 + n + 7 Konvergenciát várunk, mert.... Ezért a majoráns kritériumot használjuk: a n := n n + 3 n 5 + n + 7 n 0 + 3n n = n 3 ; = n= a n n= konvergens. n 3 konvergens 3. Feladat: n= n + 3 n+ + 6 n Konvergencia esetén adjon becslést az s s 00 közelítés hibájára! Konvergenciát várunk, mert.... Ezért a majoráns kritériumot használjuk: tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

39 .4. ABSZOLÚT KONVERGENCIA, FELTÉTELES KONVERGENCIA konvergens. a n := n + 3 n+ = n n + 6 n + < 3n + 9 3n = n 6 6n ( n= ( ) n ) n konvergens geometriai sor (0 < q = < ) = n= a n Hibabecslés: s 00 n= n + 3 n+ + 6 n Mivel az előző becslés minden n -re jó: 0 < H = n=0 n + 3 n+ + 6 n < 60 n=0 ( ) n = 60 ( ) 0.4. Abszolút konvergencia, feltételes konvergencia Elm Abszolút vagy feltételesen konvergens-e az alábbi sor? 4. Feladat: n= n+ n + ( ) 3n c n := a n = n + + 3n = n 3 n 3 0 = a sor divergens, mert nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

40 36. FEJEZET: SOROK 5. Feladat: n= ( ) n+ n + 3n 5 n Most a szükséges feltétel teljesül. Ilyenkor először mindig az abszolút konvergenciát ellenőrizzük: c n := a n = n + 3n 5 n n + n 3n 5 n = 3 5 n ; 4 3 n= n 4 konvergens (α = 4 > ) = n= c n konvergens. Tehát a sor abszolút konvergens. 6. Feladat: n= n+ n + ( ) 3n + a) Abszolút vagy feltételesen konvergens-e a sor? b) Adjon becslést az s s 000 közelítés hibájára! c n := n + 3n + a) Az abszolút értékekből alkotott sor : c n = n + 3n + n 3n + n = 5 Tehát a sor nem abszolút konvergens. Leibniz sor-e? n= c n n ; 5 = n= divergens, mert n= c n n divergens divergens. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

41 .5. HIBASZÁMÍTÁS POZITÍV TAGÚ SOROKRA 37 c n = n }{{} n = n 0 + n 3 + n = 0 Még megmutatjuk, hogy a (c n ) számsorozat monoton csökkenő. (n + ) + 3(n + ) + (n + 3) (3n + ) c n+? < cn 0? < n + 3n +? < (n + ) (3n + 6n + 5)? < 6n + n Ez pedig igaz és ebből következik visszafelé, hogy c n+ < c n, tehát a sorozat monoton csökkenő. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a sor Leibniz típusú, így konvergens. Tehát a sor feltételesen konvergens. b) s s 000 = 000 n+ n + ( ) 3n + n= H = s s 000 c 00 = közelítés hibája:.5. Hibaszámítás pozitív tagú sorokra Mutassa meg, hogy az alábbi sor konvergens! Mekkora hibát követünk el, ha a sorösszeget 00. részletösszegével közelítjük? (s s 00 ; H = r 00 = a k ; H?) k=0 Elm 7. Feladat: n= n + 3 n+ + c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

42 38. FEJEZET: SOROK n= a n := n + 3 n+ + < 3 ( ) n n konvergens geometriai sor (0 < q = 3 3 < ) = n= a n Hibaszámítás: 0 < H = n=0 n + 3 n+ + < n=0 ( ) n = 3 ( ) Feladat: n= n n+ (n + ) (3 n+ + 5 n ) a n = n= n= n n n n 3 9 n + 5 n konvergens. Vegyük észre, hogy < n -re. Ezt is felhasználjuk a majorálásnál. n + a n 4 4n 3 9 = 4 ( ) n 4 n ( ) n 4 3 konvergens geometriai sor (0 < q = < ) = a n konvergens. n= n= A hibaszámításnál is ugyanezt az ötletet használjuk fel: 0 < H = n=0 n n+ (n + ) (3 n+ + 5 n ) < 4 3 n=0 ( ) n 4 = ( ) Feladat: n= Adjon becslést az s s 99 ( ) n n+ + 3 n n + 9 közelítés hibájára! tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

43 .5. HIBASZÁMÍTÁS POZITÍV TAGÚ SOROKRA Feladat: Gyakorló példák:. Mikor mondjuk, hogy a k= a k sor összege s -sel egyenlő? A definícióval határozza meg az alábbi sor összegét! ( k k + ) =? k=. Adja meg az alábbi sor összegét! 3 n+ + ( ) n =? 7 n n= 3. Konvergens-e az alábbi sor? 3 a) n n= b) n= n n Konvergens-e az alábbi sor? n a) n + 3 n= b) ( ) n n= n n Abszolút konvergens vagy feltételesen konvergens-e az alábbi sor? a) ( ) n n b) ( ) n n 3 + n 7 n + 3 4n 6 n 4 + 5n n= n= 6. a) Mit nevezünk Leibniz-sornak? Milyen tételt tanultunk Leibniz-sorokkal kapcsolatban? b) Konvergensek-e az alábbi sorok? ( ) n (n + ) i), ii) n n= n= n + n, iii) n= n + n 3. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

44 40. FEJEZET: SOROK 7. a n = ( ) n 4n, b n = 4n + ( ) n 4n 3 8n + a) lim n a n =? b) Konvergens-e n= lim b n =? n a n, illetve a n= b n sor? Amelyik konvergens, annál adjon becslést az s s 00 közelítés hibájára! tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

45 3. fejezet Egyváltozós valós függvények határértéke, folytonossága 3.. Függvény határértéke. Feladat: App Elm A megfelelő definícióval bizonyítsa be az alábbi határértékeket! a) lim x (3x + 4) = 7 b) lim x 8 x x + = 8 c) lim x 3 5x = 4 a) Írjuk fel a definíciót, mielőtt hozzáfogunk a megoldáshoz! f(x) A = 3x = 3x 3 = 3 x < ε = x < ε 3 = δ(ε) = ε 3 b) f(x) A = 8 x x + 8 = (4 x ) 8 x + }{{} = ( x) 8 = x 4 = x = x + < ε = x + < ε = δ(ε) = ε 4

46 4 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA c) f(x) A = 5x 4 = ( 5x 4) 5x + 4 5x + 4 = = 5x 6 5x + 4 = = x + 3 < 4 ε 5 5 x + 3 5x x = δ(ε) = 4 ε 5 < ε. Feladat: A megfelelő definícióval bizonyítsa be az alábbi határértékeket! lim x ± x x + 3 = A megfelelő definíciók: lim f(x) = A : ε > 0-hoz P (ε) > 0 : f(x) A < ε, ha x > P (ε) x lim f(x) = A : ε > 0-hoz P (ε) > 0 : f(x) A < ε, ha x < P (ε) x Készítsünk ábrát is a jobb megértéshez! (3. ábra) f(x) A = x x = x + x + 6 x + 3 = 7 x + 3 < ε = x + 3 > 7 ε x : x : x + 3 > 7 = x > 7 ε ε 3 = P (ε) (x + 3) > 7 ( ) 7 = x < ε ε + 3 = P (ε) 3. Feladat: További gyakorló feladatok A megfelelő definícióval bizonyítsa be az alábbi határértékeket! a) lim x x x + 3x = 5 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

47 3.. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE ábra. Az f(x) = x x+3 függvény grafikonja. f(x) b) lim x x + 5 = c) lim x (x3 x + 4x + 7) = d) lim x 3 + x = e) lim x ± 6x + 3 x = Feladat: f(x) = x + 3x 0 (x 4), lim x f(x) =?, lim f(x) =? x c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

48 44 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA f(x) = (x ) (x + 5) (x ) (x + ) lim x lim x ±0 (x + ) } {{ } + x + 3x 0 (x ) } {{ } /6 x (x ) (x ) } {{ } = x ± x + 5 (x + ) } {{ } 7/6 = = ± 5. Feladat: lim x ± x 5 3x + x 7 + 4x =? lim x ± x 5 }{{} x 7 = x 0 3 x 3 + x x x 7 } {{ } = 0 6. Feladat: lim x x 3x + x =?, tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

49 3.. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE 45 x 3x + x = lim x (x ) ( 3x + + x) = lim x 3x + 4x lim x x 3x + x = lim x x x 3x + + x 3x + + x = 3x + + x (x + ) = 4 = 7. Feladat: lim x ( x + x 3 ) =? x ( lim x x + ) x + + x x 3 3 x x + + x 3 = = lim x = = lim x x + (x 3) x x + + x 3 = x x = x x }{{} x x = x + 3x = + = 8. Feladat: További gyakorló feladatok a) lim x ± ( 4x + 3x x) =? b) lim x ( x 4x + x) =? c) lim x (x6 x 5 + 8x 3 5x + ) =?... c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

50 46 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA 9. Feladat: a) lim x 3±0 + 5{x} =? b) lim [x ] =? x 3±0 lim + 5{x} = = 0 x 3+0 lim + 5{x} = + 5 = 7 x 3 0 lim [x ] =, mert x (3, 4) esetén x (, 3) = [x ] = x 3+0 lim [x ] =, mert x (, 3) esetén x (, ) = [x ] = x Feladat: +++ Elm Bizonyítsa be, hogy lim x 0 cos x nem létezik!.... Feladat: További gyakorló feladatok a) lim x sin 7x =? b) lim x x sin 7x =?... tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

51 3.. SZAKADÁSOK TÍPUSAI Szakadások típusai Hol és milyen szakadásai vannak az alábbi függvényeknek? (Mindig határozza meg a jobb és bal oldali határértékeket a vizsgálandó pontokban!). Feladat: f(x) = x3 + x 5x + 3 x (x + 3) f két folytonos függvény hányadosa, így csak a nevező nullahelyeinél van szakadása. Vizsgálandó pontok: x = 0, illetve x = 3 lim x 0 x }{{} + x3 + x 5x + 3 x + 3 } {{ } x = 3 -ban a határérték 0 0 gyöktényező. x 3 + x 5x + 3 =... = (x + 3) (x x + ) = + : x = 0 másodfajú szakadási hely. alakú, tehát a számlálóból is kiemelhető az (x + 3) van. lim x 3 x + 3 x + 3 } {{ } x x + x } {{ } 6/9 = 6 9 : x = 3 -ban megszüntethető szakadása 3. Feladat: f(x) = x4 3x 3 x 6x f két folytonos függvény hányadosa, így csak a nevező nullahelyeinél van szakadása. f(x) = x3 x x 3 x 3 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

52 48 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA Vizsgálandó pontok: x = 0, illetve x = 3 lim x 0+0 x 3 x 3 = 0 lim }{{} x x 3 x 0 0 } {{ } =x 0 x = 0 megszüntethető szakadási hely. x 3 x }{{} = x 0 x 3 x 3 } {{ } = 0 : lim x 3+0 }{{} x x 3 x 3 9 } {{ } = 9 x = 3 -ban véges ugrása van. lim x 3 0 }{{} x 9 x 3 (x 3) } {{ } = 9 : 4. Feladat: f(x) = 4 x + 4 x, ha x x 0x x x + 0, ha x < Ha x < : f(x) = x (x 0) (x ) (x 0) Értelmezési tartomány: x 4, x Vizsgálandó pontok:,, 4 f( ± 0) = lim x x 0 x ±0 } x {{ } x 0 = ± ± f( 0) = lim x 0 f(4 + 0) = lim x 4+0 f(4 0) = lim x 4 0 x (x 0) (x ) (x 0) másodfajú (lényeges) szakadás. = f( + 0) = lim x +0 f -nek x = -ben véges ugrása van (elsőfajú szakadás) ( (4 x) + ) = 0 4 x } {{ } = 0 ) ( 4 x + 4 x = lim x x = ( 4 x + ) 4 x tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi =

53 3.3. lim x 0 sin x x = HATÁRÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS PÉLDÁK 49 x = 4 : másodfajú szakadási hely 5. Feladat: +++ Hol folytonos, hol milyen szakadása van? x, ha x rac. f(x) = x, ha x irrac.... sin x 3.3. lim x 0 x = határértékkel kapcsolatos példák Elm 6. Feladat: lim x 0 sin 5 x tg 3 x =? lim x 0 sin 5 x 5 x 5 x 3 x 3 x sin 3 x cos 3 x = 5 3 = Feladat: lim x 0 cos 9 x x =? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

54 50 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA sin α = lim x 0 cos α sin 9x x alapján: = lim sin 9 x x 0 9 x 9 cos 9x = sin 9x sin 9 x = 9 0 = 0 8. Feladat: lim x 0 cos 5 x sin 3 x =? Most is az előző azonosságot használjuk: sin 5 ( x ) sin 5 x ( lim x 0 sin 3 = lim x x x) x 3 x } {{ }...= 5 x 0 3 x sin 3 x = 0 = 0 9. Feladat: Hol és milyen típusú szakadása van az alábbi függvényeknek? f(x) = sin ( x) x g(x) = sin x x sin ( x) f(x) = x x + Szakadási helyek: x = és x = lim x f(x) = lim x lim f(x) = x ±0 sin ( x) x } {{ } lim x ±0 x + } {{ } ± } x {{ + } / ( = ) sin ( x) x } {{ } sin < 0 : megszüntethető szakadás = : másodfajú szakadás tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

55 3.3. lim x 0 sin x x = HATÁRÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS PÉLDÁK 5 sin x sin x g(x) = = x x (Nem muszáj átírni, de így talán jobban értik.) Szakadási hely: x = g( + 0) = lim x +0 g( 0) = lim x 0 sin (x ) x = sin ( (x )) x = lim x 0 sin (x ) x = Véges ugrás (elsőfajú szakadás). 0. Feladat: További gyakorló feladatok: a) lim x 0 tg 7x sin 9x =? sin 4x b) lim x 0 x =? c) lim x 0 d) lim x 5x sin 8x 7x + sin x =? 5x sin 8x 7x + sin x =? e) lim x 0 cos 5x 7x =? f) lim x 0 cos x 6x 3 =? g) lim x 0 cos 3 x 5x =? h) lim x 0 cos 5 x sin 3 x =? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

56 5 3. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA i) lim x x4 sin x 4 =? j) lim x 0 x 4 sin x 4 =?. Feladat: Hol és milyen típusú szakadása van az alábbi függvénynek? f(x) = sin (x ) (x + 4) x 4x + 4 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

57 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval App A derivált definíciójával határozza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f(x) = 6x + f (4) =? f (4) = lim h 0 = lim h 0 f(4 + h) f(4) = lim h 5 + 6h 5 h h 0 6(4 + h) h h + 5 = = lim h h 5 h ( 5 + 6h + 5) = lim h 0 h h h = h + 5 = 6 0. Feladat: f(x) = x + 7 f () =? 53

58 54 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f () = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 3 f( + h) f() h h h h h h = lim h 0 ( + h) h h h =... = 9 + h ( h) = 7 = 3. Feladat: f(x) = 3x + f ( ) =? Feladat: További gyakorló feladatok: A definícióval határozza meg az alábbi deriváltakat! a) f(x) = 3x f ( 3) =? b) f(x) = x 5 c) f(x) = x x + f (6) =? f () =? d) f(x) = x 4x + 4 sin (x ) f () =? 5. Feladat: tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

59 4.. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK GYAKORLÁSA 55 Tétel: (cos x) = sin x, x R Bizonyítsa be a tételt! (Hasonlóan igazolható, hogy (sin x) = cos x ) f(x) := cos x f (x) = lim h 0 Ugyanis: lim h 0 = lim h 0 f(x + h) f(x) cos (x + h) cos x = lim h h 0 h cos x cos h sin x sin h cos x = h cos h sin h sin x = sin x } {{ h } } {{ h } 0 = lim h 0 cos x cos h h = lim h 0 sin h h = lim sin h h 0 h = sin h = 0 = A deriválási szabályok gyakorlása Szükséges ismeretek: deriválási szabályok, összetett függvény deriválása. Továbbá: ( x α ) = α x α, (sin x) = cos x, (cos x) = sin x. 6. Feladat: Tétel: a) (tg x) = cos x, b) (ctg x) = sin x, x π + kπ x kπ App App App 3 App 4 App 5 Bizonyítsa be az állításokat! konstansszoros deriváltja összeg deriváltja 3 szorzat deriváltja 4 összetett függvény deriváltja 5 inverzfüggvény deriváltja c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

60 56 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA A hányadosfüggvény deriválási szabályát és a függvények definícióját használjuk fel. ( (u ) ) = u v u v v (tg x) = v ( ) sin x = (sin x) cos x sin x (cos x) cos x cos x =... = cos x, x π + kπ (ctg x) = ( cos x ) = (cos x) sin x cos x (sin x) sin x sin x =... = sin x, x kπ 7. Feladat: Deriváljuk az alábbi (vagy hasonló) függvényeket! x x + 3 x + 7, (x + ) + x 4, x + 5x 3 x6 + 3, (x3 + x x) 6, sin 3x, sin 3 x, sin x 3, sin 5 x 3, (x 3 + cos x 4 ) 3 ( x x + 3 ) = (x ) ( x + 7) (x x + 3) 4x x + 7 ( (x + ) + x ) 4 ( x + 7) = (x + ) + x 4 + (x + ) ( + x 4) } {{ } =(+x 4 ) / = = x + x 4 + x ( + x4 ) / ( + x 4 ) } {{ } =8 x 3 Most még ilyen részletességgel dolgozzanak! ( ) x + 5x 3 = (x + 5x 3 ) x (x + 5x 3 ) ( x 6 + 3) x6 + 3 ( = x 6 + 3) = (x + 5x ) x (x + 5x 3 ) (x6 + 3) / x 5 (x ( (x 3 + x x) 6 ) = 6 (x 3 + x x) 5 (x 3 + x x) } {{ } = 3x +4x tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

61 4.. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK GYAKORLÁSA 57 ( sin 3x ) = cos 3x 3 ( sin 3 x ) = 3 sin x (sin x) } {{ } cos x ( sin x 3 ) = cos x 3 3x ( sin 5 x 3 ) = 5 sin 4 x 3 (sin x 3 ) } {{ } cos x 3 6x ( (x 3 + cos x 4 ) 3 ) = 3 (x 3 + cos x 4 ) (x 3 + cos x 4 ) (x 3 + cos x 4 ) = 3x + cos x 4 (cos x 4 ) } {{ } sin x 4 4x 3 8. Feladat: f(x) = cos (4x) (x ) 4, ha x 0 sin 3x, ha x < 0 7 x Határozza meg a deriváltfüggvényt, ahol az létezik! f (), mert a függvény nem értelmezett x = -ben. ( ) f(0 + 0) = lim x 0+0 cos (4x) = (x ) 4 4 = 4 ( ) sin 3x sin 3x f(0 0) = lim = lim 9 x x x 0 0 3x 7 = 9 f(0 + 0) 7 f (0), mert a függvény nem folytonos x = 0 -ban (nem létezik a határérték itt). Ha x 0 és x, akkor f deriválható, mert deriválható függvények összetétele. f (x) = cos 4x ( sin 4x) 4 (cos 4x + 3) 8 ( 4) (x ) 5, ha x > 0 és x sin 3x cos 3x 3 7x sin 3x 4x 49 x 4, ha x < 0 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

62 58 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA App 4.3. A deriválási szabályok + definíció gyakorlása 9. Feladat: f(x) = 3 x Mutassuk meg, hogy f (0)! f f(h) f(0) (0) = lim h 0 h Tehát f (0). = lim h 0 3 h 0 h = lim h 0 3 h = 0. Feladat: f(x) = 3 x sin 3 x f (x) =? (x = 0 -ban a definícióval dolgozzon!) Ha x 0, akkor deriválható függvények összetétele és f (x) = 3 x /3 sin 3 x + 3 ( x cos 3 ) x 3 x /3 Ha x = 0, akkor a definícióval dolgozunk: 3 3 h sin f h (0) = lim 0 3 h sin 3 h = lim h 0 h h 0 3 h 3 h =. Feladat: f(x) = 5 x 3 tg (5 x ), x < 5 a) f (x) =?, ha x 0 b) A derivált definíciója alapján határozza meg f (0) értékét! tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

63 4.3. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK + DEFINÍCIÓ GYAKORLÁSA 59 a) Ha x 0, akkor létezik a derivált, mert deriválható függvények összetétele: f (x) = ((x 3 tg 5 x ) /5) = 5 (x3 tg 5 x ) 4/5 (x 3 tg 5 x ) (x 3 tg 5 x ) = 3x tg 5 x + x 3 cos 5x b) f (0) = lim h 0 = lim h 0 f(h) f(0) h 5 h 3 sin 5h 5 5 h 3 5h = lim h 0 0x 5 h3 tg 5h 0 h cos 5h = 5 = lim h = 5 5 sin 5h h3 cos 5h 5 h 5 =. Feladat: f(x) = x sin (x ) f (x) =? g(x) := (x ) sin (x ) Ez egy mindenütt deriválható függvény: g (x) = sin (x ) + (x ) cos (x ) g felhasználásával: { g(x), ha x f(x) = g(x), ha x < Ezért { g f (x) = (x), ha x > g (x), ha x < x = -ben legjobb a definícióval ellenőrizni a deriválhatóságot. (Használható lenne a segédlet 6. oldalán kimondott tétel is, de talán jobb ilyenkor a definíció.) f () = lim x f(x) f() x = lim x x = lim x x sin (x ) 0 x sin (x ) (x ) = 0 = 0 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu =

64 60 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 3. Feladat: f (x) =? f(x) = 3x sin x, ha x 0 0, ha x = Feladat: További gyakorló feladatok: a) f(x) = x 9 sin (x 3), f (x) =? b) f(x) = x 3 3x, f (x) =? c) f(x) = 5 x sin 5 x 3, f (x) =? d) f(x) = f (x) =? e) f(x) = sin x 7x, ha x > 0 x(x ), ha x 0 3x, ha x ax + b, ha x < Adja meg a és b értékét úgy, hogy f () létezzen! tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

65 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK Elemi függvények 5. Feladat: Rajzolja fel a tg és az arctg függvények grafikonját! Határozza meg értelmezési tartományukat, értékkészletüket, deriváltjukat! Elm App 6 App 7 App 8 App 9 6. Feladat: a) lim x 0 arctg x x =? b) lim arctg x x =? lim arctg x x =? lim arctg x 3 x =? c) lim x 0 x arctg x =? d) lim x 3 arctg x 3x 3x 9 =? e) lim x arctg x x + 3 =? 6 hatványfüggvények 7 exponenciális függvények 8 trigonometrikus függvények 9 hiberbolikus függvények c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

66 6 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA a) x = tg u, u = arctg x helyettesítéssel : lim x 0 arctg x x = lim u 0 u tg u = lim u 0 b) lim arctg = π x 3+0 } 3 {{ x }, mert / 0 alakú lim arctg = π x 3 0 } 3 {{ x }, mert /+0 alakú lim arctg x 3 x = arctg 0 = 0 u sin u cos u = c) lim x 0 x arctg x = 0, mert ( 0 korlátos) alakú. d) lim x 3 arctg x 3x 3x 9 e) lim x arctg x x + 3 = = lim x 3 arctg x 3 x 3 x 3 = arctg = π 4 ( x lim arctg ) x x x + 3 = π x } {{ } 7. Feladat: f(x) = 3 x arctg x, f (x) =? (x = 0 -ban a definícióval dolgozzon!) Fel kell használni, hogy lim x 0 arctg x x Adjuk fel házi feladatnak, mert nincs benne már új dolog! = az előző példában látottak alapján. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

67 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK Feladat: f(x) = x arctg x, ha x 0 a, ha x = 0 g(x) = x arctg x, ha x 0 b, ha x = 0 a) Határozza meg az a és b paraméterek értékét úgy, hogy az f és g folytonos legyen x = 0 -ban! b) f (0) =?, g (0) =? a) lim x arctg x 0 x = 0, Hasonlóan lim g(x) = 0 x 0 (0 korlátos alakú) Tehát a = f(0) := 0, b = g(0) := 0. Vagyis x arctg x, ha x 0 f(x) = 0, ha x = 0 függvények már mindenütt folytonosak. b) f (0) = lim h 0 ( f(h) f(0) h = lim h 0 ) f +(0) = π, f (0) = π g(x) = h arctg h 0 h x arctg x, ha x 0 0, ha x = 0 = lim h 0 arctg h g (0) = lim h 0 g(h) g(0) h = lim h 0 h arctg h 0 h = lim h 0 h arctg h = 0 9. Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

68 64 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f(x) = arctg + x x, ha x β, ha x = a) Megválasztható-e β értéke úgy, hogy az f függvény folytonos legyen x = -ben? b) f (x) =?, ha x c) lim x f (x) =? Létezik-e f ()? a) lim arctg + x = π x +0 } {{ x } lim arctg + x = π x 0 } {{ x } Mivel x = -ben x = -ben. b) Ha x : f (x) = + ( ( ) + x = x a határérték, ezért nincs olyan β, melyre f folytonos lenne ( ) + x ( ) =... = + x x x ( x) ( + x) ( ) ( x) = + x ( x) ) c) lim x f (x) =, de f (), mert az f függvény nem folytonos x = -ben. 0. Feladat: Ismertesse az arcsin függvény tulajdonságait (értelmezési tartomány, értékkészlet, ábra, derivált)! tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

69 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 65. Feladat: f(x) = 3π arcsin (3 x) a) D f =?, R f =?, f (x) =? b) Írja fel az x 0 = 7 4 pontbeli érintőegyenes egyenletét! c) Indokolja meg, hogy f -nek létezik az f inverze! f (x) =?, D f =?, R f =? a) 3 x... = D f = [, ] [ 3 x [, ] = arcsin (3 x) π, π ] = arcsin (3 x) [ π, π] = R f = [π, 4π] f (x) = b) y é = f ( ) 7 4 (3 x) ( ) = 4 (3 x) + f ( 7 4 ) ( x 7 ) 4 = 0 3 π + 8 ( x 7 ) 3 4, x (, ) c) f (x) > 0, ha x (, ) és f folytonos [, ] -ben, ezért f szigorúan monoton nő D f - en, így a teljes értelmezési tartományban invertálható. y = 3π arcsin (3 x) =... f (x) = ( 3 sin 3π x ) D f = R f = [π, 4π], R f = D f = [, ]. Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

70 66 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA a) D f =?, R f =? f(x) = arccos 4 x π b) Adja meg a 5 pontot tartalmazó azon legbővebb intervallumot, melyen f invertálható! f (x) =?, D f =?, R f =? a) f páros függvény. ÉT.: 4 x = x 0 < 4 x miatt arccos 4 [ x 0, π ) = R f = [ π, 0 ) b) f (x) = ( ) 8 = 4 x 3 x ( ) 4 x 8, ha x >. x3 f (x) < 0, ha x (, ) és f folytonos I = (, ] -n = f szigorúan monoton csökken I -n, tehát invertálható I -n. ( 5 I) y = arccos 4 x π =... f (x) = D f = R f = [ π ), 0, R f = D f = (, ] cos (x + π ) 3. Feladat: Deriválja az alábbi függvényeket! ch 5x, ha x 0 f(x) = sh x 3x, ha x < 0 ; g(x) = ( + x 4 ) x tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

71 4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 67 Rajzoljuk fel az sh x, ch x függvényeket! f(0 + 0) = f(0) = ch 0 = f(0 0) = 0 = f nem folytonos x = 0 -ban = f (0) Egyébként f deriválható függvények összetétele és így deriválható: 0x sh 5x, ha x > 0 f (x) = ch x 3, ha x < 0 g exponenciális hatványfüggvény, ennek megfelelően deriváljuk: g(x) = e ln (+x4 ) x = e x ln (+x4 ) ) g (x) = e x ln (+x4) (x ln ( + x 4 )) = ( + x 4 ) x ( ln ( + x 4 ) + x 4x3 + x 4 4. Feladat: x e (x ), ha x > f(x) = ch (x ) 3, ha x Írja fel f (x) értékét, ahol az létezik! Feladat: f(x) = arctg x π Hol és milyen szakadása van a függvénynek? Írja fel f (x) értékét, ahol az létezik! Adjon meg egy intervallumot, melyen létezik f! f (x) =?, D f =?, R f =?... c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

72 68 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA Elm App 4.5. L Hospital szabály 6. Feladat: a) lim x 0 arctg x 3 arsh 5 x 3 =? e) lim x ( x x ) ln x =? b) lim x 0 arcsin 3 x tg x =? f) lim x +0 xtg x =? c) lim x x e 5x =? g) lim x e 8x e 3x e 5x + e 3x =? d) lim x +0 x ln x 7 =? h) lim x sh (3x ) ch (3x + 4) =? a) lim x 0 arctg x 3 arsh 5 x 3 b) lim x 0 arcsin 3 x tg x c) lim x x e 5x = L H = lim x 0 L H = lim x 0 lim x 6x + (x 3 ) = lim 5x x (5x3 ) (3x ) tg x x L H = lim e5x x cos x 6x = lim x 0 3 x L H = lim 5 e5x x + (x 3 ) + (5x3 ) = 5 9x 4 5 e 5x = 0 x sin x cos3 x = 3 d) lim x +0 x ln x 7 = lim x +0 ln x 7 = lim x +0 x 7 ln x x / L H = lim x +0 7 x x 3/ = = lim x +0 4 x = 0 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

73 4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 69 e) lim x ( x x ) ln x = lim x x ln x x + (x ) ln x L H = lim x ln x + x x ln x + (x ) x = lim x ln x ln x + x L H = x x + = x f) lim x +0 xtg x = lim x +0 tg x ln x = lim lim x +0 eln xtg x x +0 ln x ctg x = lim x +0 etg x ln x = e 0 =, mert L H = lim x +0 x sin x = lim x +0 sin x x sin x = 0 g) A L Hospital szabály alkalmazása most nem vezetne eredményre. lim x e 8x e 3x e 5x + e 3x = lim x e 3x e 3x e x e 8x + = = h) Itt sem vezet eredményre a L Hospital szabály. Beírva a függvények definícióját, az előző pédához hasonlóan járhatunk el: lim x sh (3x ) ch (3x + 4) = lim x e 3x e (3x ) e 3x+4 + e (3x+4) = lim x e 3x e 3x e e 6x+ e 4 + e 6x 4 = e e Intervallumon deriválható függvények tulajdonságai, függvényvizsgálat 7. Feladat: Elm App App f(x) = (x 3) 3 (x + 5) 4 a) Adja meg azokat a legbővebb intervallumokat, melyeken a függvény szigorúan monoton! b) Hol van lokális szélsőértéke? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

74 70 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f (x) = 3(x 3) (x+5) 4 + (x 3) 3 4(x+5) 3 =... = (x 3) (x + 5) (x + 5)(7x + 3) } {{ } } {{ } 0 rajzoljuk fel! ( x (, 5) 5 5, 3 ) 3 ( 37 ) 7 7, 3 3 (3, ) f f Tehát f szigorúan monoton nő: (, 5) és ( 37 ), intervallumokon, ( f szigorúan monoton csökken: 5, 3 ) -en. 7 x = 5 -ben lokális maximum van, mert f növekvőből csökkenőbe megy át. x = 3 -ben lokális minimum van, mert f csökkenőből növekvőbe változik Feladat: f(x) = ln (x + x + ) Keresse meg azokat az intervallumokat, melyeken a függvény - monoton nő, illetve monoton csökken; - alulról konvex, alulról konkáv. f(x) = ln (x + x + ) = ln ((x + ) + ) } {{ } f x + (x) = x + x + = D f = R x (, ) (, ) f 0 + f Tehát f (szigorúan) monoton csökken (, ) -en és (szigorúan) monoton nő (, ) - en. f (x) = (x + x + ) (x + )(x + ) x (x + ) = (x + x + ) (x + x + ) tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató

Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Tárgykód(ok): INDK111E, INDK111G Félév: 2015/2016-I. Előadó: Boros Zoltán Óraszám: 2 + 2 (előadás + tantermi gyakorlat) Kredit: 5 (kötelező) Előfeltétele:

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden Analízis-lexikon abszolút maximumhelye Legyen hogy tetszőleges függvény, és része értelmezési tartományának Azt mondjuk, az -nek -ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden esetén

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben