Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA Tartalomjegyzék

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék"

Átírás

1 Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright

2 ii A Matematika. elektronikus oktatási segédanyag a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatika Karán a mérnök-informatikus szakos hallgatók Analízis tárgyához készült, de haszonnal forgathatják más szakok, karok vagy műszaki főiskolák, egyetemek hallgatói is, akik hasonló mélységben hasonló anyagot tanulnak matematikából. Az anyag numerikus sorok, sorozatok elméletét, egyváltozós valós függvények határértékét, folytonosságát, differenciálását és integrálását tárgyalja. A definíciók, tételek, bizonyítások mellett kiemelt szerepet kapnak a példák, és a gyakran előforduló feladattípusok megoldásai. A mintegy 6 oldalas elméleti anyagot kiegészíti egy több, mint oldalas példatár, amely többségében megoldott, tematizált gyakorlófeladatokat tartalmaz. A két pdf állomány kölcsönösen hivatkozik egymásra. Az eligazodást tartalomjegyzék, valamint az elméleti anyagban található tárgymutató segíti. A megértést színes ábrák könnyítik, az érdeklődő olvasó pedig a Thomas Calculus illetve a Calculusapplets kapcsolódó weboldalaira is ellátogathat külső hivatkozásokon keresztül. A háttérszínezéssel tagolt elméleti anyag fekete-fehér változata is rendelkezésre áll, amely nyomtatásra javasolt formátum. Kulcsszavak: sor, sorozat, folytonosság, kalkulus, differenciálás, integrálás. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

3 iii Támogatás: Készült a TÁMOP-4..-8//A/KMR-9-8 számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban című projekt keretében. Készült: A BME TTK Matematikai Intézet gondozásában. Szakmai felelős vezető: Ferenczi Miklós Lektorálta: Pröhle Péter Az elektronikus kiadást előkészítette: Győri Sándor, Fritz Ágnes, Kónya Ilona, Pataki Gergely, Tasnádi Tamás Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert ISBN Copyright: Fritz Ágnes (BME), Kónya Ilona (BME), Pataki Gergely (BME), Tasnádi Tamás (BME) A c terminusai: A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjeleníthető és előadható, de nem módosítható. Korábbi változatot szerkesztette. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

4 iv tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

5 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok 5.. Bevezető A valós számok (R) axiómái A rendezési axiómákból levezethető Néhány fogalom Számsorozatok és határérték Számsorozat konvergenciája Számsorozat divergenciája További tételek a határértékről () A határérték egyértelműsége A konvergencia szükséges feltétele Határérték és műveletek Műveletek konvergens számsorozatokkal Néhány jól használható egyszerűbb tétel Feladatok További tételek a határértékről () Néhány példa az előző tételek alkalmazására Monoton sorozatok Példák rekurzív sorozatokra Egy kitüntetett számsorozat Néhány e -vel kapcsolatos példa Feladatok További tételek a határértékről (3) Sorozat torlódási pontjai Valós számsorok 43.. Numerikus sorok konvergenciája Geometriai (mértani) sor Konvergens sorok összege és konstansszorosa A konvergencia szükséges feltétele Váltakozó előjelű (alternáló) sorok

6 TARTALOMJEGYZÉK... Feladatok a váltakozó előjelű sorokhoz Sorok abszolút és feltételes konvergenciája Pozitív tagú sorok Pozitív tagú sorok konvergenciájával kapcsolatos elégséges kritériumok Majoráns kritérium Minoráns kritérium Hányados kritérium Gyökkritérium Integrálkritérium Hibabecslés pozitív tagú sorok esetén Műveletek konvergens sorokkal Végtelen sorok természetes szorzata Végetelen sorok Cauchy-szorzata Zárójelek elhelyezése, illetve elhagyása végtelen sor esetén Végtelen sor elemeinek felcserélése (átrendezése) Feladatok sorokhoz Számsorozatok nagyságrendje Műveletek Θ-val Aszimptotikus egyenlőség (a n b n ) Függvények határértéke és folytonossága Függvény határértéke Szükséges és elégséges tétel határérték létezésére Végesben vett határértékek Végtelenben vett határértékek Feladatok Folytonosság Szakadási helyek osztályozása Műveletek függvények körében Racionális függvények Polinomok (racionális egészfüggvények) Racionális törtfüggvény Példák és feladatok Egy nevezetes határérték Folytonos függvények tulajdonságai Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai Kompakt halmazon folytonos függvények tulajdonságai Egyenletes folytonosság Függvények differenciálása Differenciálszámítás Differenciál, érintő egyenes Differenciálási szabályok tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

7 TARTALOMJEGYZÉK Magasabbrendű deriváltak Inverz függvény Elemi függvények Hatványfüggvények Exponenciális függvények Logaritmusfüggvények Exponenciális hatványfüggvények Trigonometrikus függvények és inverzeik Hiperbolikus függvények és inverzeik Néhány összetett példa A differenciálszámítás középértéktételei Szükséges feltétel lokális szélsőérték létezésére A differenciálszámítás középértéktételei Feladatok L Hospital-szabály Nyílt intervallumon differenciálható függvények tulajdonságai Differenciálható függvények lokális tulajdonságai Implicit megadású függvények deriválása Egyenes aszimptota ± -ben Függvényvizsgálat Folytonos függvények zárt intervallumbeli szélsőértékei Paraméteres megadású görbék Görbék megadása síkbeli polárkoordinátákkal Feladatok Néhány kidolgozott feladat Függvények integrálása Primitív függvény, határozatlan integrál Példák Határozott integrál Jelölések, definíciók A Riemann-integrálhatóság szükséges és elégséges feltételei Elégséges tételek Riemann-integrálhatóságra Newton Leibniz-tétel A Riemann-integrál tulajdonságai Az integrálszámítás középértéktétele Feladatok Integrálfüggvény Példák Feladatok Integrálás helyettesítéssel Integrálási módszerek sin és cos szorzata c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

8 4 TARTALOMJEGYZÉK 5... sin és cos páratlan kitevőjű hatványai sin és cos páros kitevőjű hatványai sin és cos hatványainak szorzata Parciális integrálás Racionális törtfüggvények integrálása Integrálás helyettesítéssel Improprius integrál Definíciók f(x) = improprius integráljai xα Az improprius integrálok néhány tulajdonsága Feladatok Az integrálszámítás alkalmazása Terület Szektorterület Forgástest térfogata Forgástest felszíne Ívhosszúság Tárgymutató 55 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

9 . fejezet Valós számsorozatok.. Bevezető Thom... A valós számok (R) axiómái Algebrai axiómák R-ben értelmezett két művelet: + és Ezek a műveletek nem vezetnek ki az adott halmazból, R-ből, tehát a, b R-re: a + b R és a b R. + művelet tulajdonságai ( 4.). (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c R-re (az összeadás asszociatív).. Létezik egyetlen szám (ezt -val jelöljük), amelyre teljesül, hogy + a = a + = a, ha a R. 3. Minden a R számhoz létezik pontosan egy olyan x R, amelyre x + a = a + x =. Az így értelmezett x-et ( a)-val jelöljük. (Neve: additív inverz.) 4. a + b = b + a, a, b R-re (az összeadás kommutatív) művelet tulajdonságai (5 8.) 5. (a b) c = a (b c), a, b, c R (a szorzás asszociatív) lásd Thomas -es bemutató. fejezet (3-. oldal). 5

10 6. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK 6. Létezik egyetlen szám, amelyet -gyel jelölünk ( ), amelyre teljesül, hogy a = a = a, ha a R 7. Minden a -hoz létezik egyetlen x R, amelyre x a = a x = Az így értelmezett x-et az a szám reciprokának nevezzük, és -val jelöljük. a 8. a b = b a, a, b R (a szorzás kommutatív) A két műveletre (+ és ) -ra együttesen érvényes tulajdonság (9.) 9. a (b + c) = a b + a c, a, b, c R (disztributívitás) Rendezési axiómák ( 3.). Tetszőleges a, b R számpárra az a < b, b < a, a = b relációk közül pontosan egy teljesül (trichotom tulajdonság).. Ha a < b és b < c (röviden a < b < c), akkor a < c, ( a, b, c R) (tranzitívitás). Ha a < b, akkor a + c < b + c, ( a, b, c R) (a rendezés monoton). 3. Ha a < b és c >, akkor a c < b c, ( a, b, c R). Archimédesz-féle axióma (4.) 4. Tetszőleges b > számhoz található b-nél nagyobb n természetes szám. Cantor-féle axióma (5.) 5. Ha minden n N számnak megfeleltetünk egy I n = {x : a n x b n, x R} halmazt (röviden [a n, b n ] zárt intervallumot) oly módon, hogy akkor a n a n+, b n+ b n, ( n N) I n n= Vagyis: egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozat elemeinek metszete nem üres. ( ξ I n, ξ R) n= tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

11 .. BEVEZETŐ 7 M Zártság fontos! (In = ( ], n esetén I n = ) n=... A rendezési axiómákból levezethető A rendezésre vonatkozóan könnyű belátni, hogy igazak az alábbi állítások (szokás ezeket az egyenlőtlenségekkel való számolás szabályai -nak is nevezni):. Minden a R számra az a >, a =, a > tulajdonságok közül pontosan egy teljesül. (a > ( a) < ). (a < b) (c < d) = a + c < b + d Speciálisan: (a > ) (b > ) = a + b > 3. ( a < b) ( c < d) = ac < bd Speciálisan: (a > ) (b > ) = ab > 4. (a < b) (c < ) = ac > bc Speciálisan: a < b = a > b 5. < a < b = a > b a < b < = a > b a < < b = a < b a < b = ab > : ab < : a > b a < b 6. a, b R esetén a + b a + b és a b a b. 7. Ha n pozitív egész szám, és < a < b, akkor a n < b n. Hasonlóan következnek az abszolútérték tulajdonságai...3. Néhány fogalom H R D H felülről korlátos, ha k f R, hogy x H : x k f. (k f : felső korlát) c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

12 8. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK D H alulról korlátos, ha k a R, hogy x H : k a x. (k a : alsó korlát) D H korlátos, ha felülről is és alulról is korlátos, tehát k : x k. D A felülről korlátos H halmaz legkisebb felső korlátját szuprémumnak (felső határnak) nevezzük. Jele: sup H. D Az alulról korlátos H halmaz legnagyobb alsó korlátját infimumnak (alsó határnak) nevezzük. Jele: inf H. Pl. H = { n, n N+ } = {,,,,... } esetén: 3 4 Megoldás. Felső korlátok például:, 3, π,... Alsó korlátok például:,, 56,... sup H = (nincs a halmazban legnagyobb elem), inf H = (= legkisebb elem) Dedekind folytonossági tétel: T Felülről korlátos nem üres számhalmaznak mindig van szuprémuma. ( B) Ebből következik: K Alulról korlátos nem üres számhalmaznak mindig van infimuma. M A fenti axiómarendszerben a Cantor-féle és az Archimédesz-féle axióma lecserélhető ezzel az állítással. Thom App.. Számsorozatok és határérték A valós számsorozat a természetes számokon értelmezett valós értékű függvény: f : N R, az n helyen felvett értéke f(n) = a n, n =,,.... lásd Thomas -es bemutató. fejezet (3-. oldal). tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

13 .. SZÁMSOROZATOK ÉS HATÁRÉRTÉK 9 A számsorozat jelölése: (a n ), vagy a n, vagy a n, n =,,.... D (a n ) felülről korlátos, ha k f : n-re: a n k f. D (a n ) alulról korlátos, ha k a : n-re: k a a n. D (a n ) korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos, tehát k: a n k (k = max{ k a, k f }). Vagyis a fenti definíciók szerint ilyenkor f : N R függvény értékkészlete korlátos.... Számsorozat konvergenciája D Azt mondjuk, hogy (a n ) konvergens és határértéke (limesze) A R, jelben lim a n = A, n ha ε > -hoz (ε R ) N(ε) N, hogy N(ε) neve: küszöbindex, küszöbszám a n A < ε, ha n > N(ε). M A definícióval ekvivalens: ε > -ra az (A ε, A + ε) intervallumon kívül a sorozatnak véges sok eleme van. (Az intervallumon belül pedig végtelen sok eleme van.) Az alábbi példáknál a definíció segítségével bizonyítsuk be, hogy a megadott A a számsorozat határértéke! Pl. A =, ha a) a n = n b) a n = ( )n n Megoldás. Mindkét esetben: a n A = n < ε = n > ε Például ε =, esetén N = választás megfelelő. = N(ε) [ ] ε c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

14 . FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Pl. a n = 6 + n 5, n, A = Megoldás. a n A = 6 + n 5, n ( ) =,, 5, n }{{} = n 5, Ezért N(ε) [ 5, +, ]. ε n>5 < ε = n > 5, +, ε Pl. a n = n n 5 + 5n + 8, A = Megoldás. a n A = n n 5 + 5n + 8 = n n 5 + 5n + 8 < ε Ezt az egyenlőtlenséget nem tudjuk megoldani n-re. Azonban nem szükséges a lehető legkisebb küszöbindex előállítása. Elegendő megmutatnunk, hogy létezik küszöbindex. Ezért a megoldáshoz felhasználhatjuk az egyenlőtlenségek tranzitív tulajdonságát, például az alábbi módon: n a n A = n 5 + 5n + 8 < n n = n < ε = n > 3 3 ε. [ ] 3 Ezért N(ε). ε Pl. a n = 8n4 + 3n + n 4 n + 5, A = 4 Megoldás. a n A = 8n 4 + 3n + n 4 n = 4n + 3n n 4 n + 5 = Innen = 4n + 3n n 4 n + 5 < 4n + 3n n 4 n 4 + = 7 n < ε = 7 ε < n [ ] 7 N(ε). ε tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

15 .. SZÁMSOROZATOK ÉS HATÁRÉRTÉK... Számsorozat divergenciája A nem konvergens számsorozatokat divergens számsorozatnak nevezzük. Például: a n = ( ) n divergens. Ugyanis a sorozat elemei: (,,,,,...) Határértékként csak a vagy az jöhetne szóba. De például ε = választással kiderül, hogy egyik sem lehet a határérték, mert bár pl. a pont sugarú környezete végtelen sok elemet tartalmaz (az a n elemeket), de rajta kívül is végtelen sok van (az a n elemek). Így nem található hozzá N(ε), tehát nem lehet a határérték. Ugyanígy belátható, hogy sem jöhet szóba határértékként. Tehát a sorozat nem konvergens, így divergens. A divergens sorozatoknak két fontos speciális esete a + -hez és a -hez divergáló számsorozat. A megfelelő definíciók: D lim a n = +, n ha P > -hoz (P R) N(P ) N, hogy a n > P, ha n > N(P ) D lim a n =, n ha M < -hoz (M R) N(M) N, hogy a n < M, ha n > N(M) Ez a definíció megfogalmazható M > feltétellel is: M > -hoz N(M) N : a n < M, ha n > N(M) Gy Pl. a n = n 3 + 3n + 5 Bizonyítsa be, hogy lim n a n =! Megoldás. a n = n 3 + 3n + 5 > n 3 > P = n > 3 P [ ] 3 P = N(P ) c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

16 . FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Pl. a n = 6 n + n Bizonyítsa be, hogy lim n a n =! Megoldás. Teljesítendő, hogy a n = 6 n < M (< ), ha n > N(M). + n Ez egyenértékű a következő feltétellel: ( a n =) n 6 > M (> ), ha n > N(M). A feladatot egyszerűsítjük, hiszen + n most sem a legkisebb küszöbindexet keressük: n 6 + n > }{{} n 4 esetén n >6 n n n + n = n 6 > M = n > 6M Ezért N(M) max{4, [ 6M]}..3. További tételek a határértékről ().3.. A határérték egyértelműsége T Ha lim a n = A és lim a n = B, akkor A = B. n n B Indirekt módon bizonyítunk 3. Tehát feltesszük, hogy A B, például A < B. Legyen d = B A > és ε = d 3 >! d=b A ( ) ( ) A A+ε B ε B A számsorozat konvergenciája miatt létezik N (ε) és N (ε), hogy A ε < a n < A + ε, ha n > N (ε), B ε < a n < B + ε, ha n > N (ε). De ekkor n > max {N (ε), N (ε)} esetén: a n < A + ε < B ε < a n Ez pedig ellentmodás, tehát nem igaz, hogy A B, vagyis A = B..3.. A konvergencia szükséges feltétele P = Q, a P állításból következik a Q állítás. Ezt kétféleképpen is megfogalmazhatjuk: tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

17 .4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 3. P elégséges feltétele Q-nak,. Q szükséges feltétele P-nek. (Hiszen, ha Q nem teljesül, akkor már P nem teljesülhet, mert P teljesüléséből már következne Q teljesülése.) T (a n ) konvergens = (a n ) korlátos (Tehát a korlátosság szükséges feltétele a konvergenciának.) B ε > -ra N(ε): A ε < a n < A + ε, ha n > N(ε) = N Tehát (A ε, A + ε) - on kívül legfeljebb csak az a, a,..., a N elemek eshetnek. = a a ( ) A ε A A + ε { ka : n-re k a a n k a = min{a, a,..., a N, A ε} Így K : a n K, tehát korlátos. k f : n-re a n k f k f = max{a, a,..., a N, A + ε}. M = nem igaz. (Az állítás nem megfordítható.) Példa: a n = ( ) n korlátos, de nem konvergens. Pl. Konvergens-e az alábbi sorozat: a n = n +, 3n +, ha n páros, ha n páratlan. Megoldás. Nem konvergens, mert nem korlátos. (a m = m + = 4m + k m N-re ellentmond az Archimédesz-féle axiómának.).4. Határérték és műveletek.4.. Műveletek konvergens számsorozatokkal T (a n A) (b n B) = (a n + b n A + B) B Tehát be kell látni, hogy c n = a n + b n C = A + B, c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

18 4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK azaz ε > -hoz N(ε) N, hogy c n C < ε, ha n > N(ε). Legyen ε = ε! Az a n és b n számsorozatok konvergenciája miatt ( ε ) ( ε ) N (ε ) = N N (ε ) = N, hogy a n A < ε = ε, n > N (ε ) és b n B < ε = ε, n > N (ε ) = Ha n > max {N (ε ), N (ε )}, akkor c n C = (a n + b n ) (A + B) = = (a n A) + (b n B) a n A + b n B < ε + ε = ε = ε { ( ε ) ( ε )} Tehát a keresett N(ε) = max N, N M A bizonyításnál felhasználtuk a háromszög egyenlőtlenséget. ( a + b a + b ) T (a n A) = (c a n c A) B (i) c = esetén az állítás triviálisan igaz. (ii) c esetén: Legyen ε = ε c! a n konvergenciája miatt N (ε ) = N ( ε c a n A < ε n > N (ε ) ), hogy = c a n c A = c (a n A) = c a n A < c ε = c ε c = ε ( ) ε n > N = N(ε) c M A bizonyításnál felhasználtuk, hogy a b = a b. K (i) (a n A) = ( a n A) (Most c = ) tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

19 .4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 5 (ii) (a n A) (b n B) = a n b n = a n + ( b n ) A + ( B) = A B (T, T -ből következik) T 3 (i) (a n ) (b n ) = a n b n (ii) (a n A) (b n B) = a n b n AB ( B ε ) (i) N és N (), hogy a n < ε ( ε ) n > N = N = b n < n > N () = N (ε = most ) Ha n > max {N, N }, akkor a n b n = a n b n < ε = ε. (ii) Mivel a c n A n-re (stagnáló sorozat) A, ezért (a n A A A = ) (b n B B B = ). T 3 (i)-et alkalmazva kapjuk: (a n A) (b n B), vagyis a n b n Ab n Ba n + AB. Ekkor a n b n = (a n b n Ab n Ba n + AB) + ( Ab } {{ } n + Ba n AB ) AB } {{ } AB + AB AB M Nyilván három konvergens sorozat szorzata az egyes határértékek szorzatához konvergál. Teljes indukcióval belátható, hogy véges sok konvergens sorozat szorzata is az egyes sorozatok határértékének szorzatához konvergál. Hasonlóan általánosítható T véges sok konvergens sorozat összegére. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

20 6. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Pl. lim n lim n De vigyázat! lim n ( + n) = = ( + n) k = k = (k N + adott konstans, független n-től) ( + n) n n = Az utolsó példában alkalmazott módszer ún. letakarás lenne. Eddig megismert tételeinkben nem véletlenül nem volt erről szó, mert alkalmazása rossz eredményhez vezethet. Később látni fogjuk, hogy a 3. sorozat határértéke a matematikában jól ismert e szám. T 3 (a n ) (b n korlátos) = a n b n B A feltételek miatt: ε > -hoz N a (ε ) : a n A < ε, ha n > N a (ε ), másrészt b n K. Ekkor a n b n = a n b n a n K < ε K = ε Tehát ε = ε K választás mellett az a n sorozathoz megtalált küszöbindex megfelel az a n b n sorozathoz keresett küszöbindexnek. ( ε ) Így N (ε) = N a választással K a n b n < ε, ha n > N (ε) T 4 (a n A) = ( a n A ) B a n A a n A < ε, ha n > N(ε). M ( an ) konvergenciájából általában nem következik (a n ) konvergenciája. (Pl. a n = ( ) n divergens, de a n = n = ). tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

21 .4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 7 Speciálisan azonban igaz: a n = a n. Ugyanis a n = a n = a n < ε, ha n > N(ε). T 5 (i) (b n B ) = b n B (ii) (b n B ) (a n A) = a n b n A B ( ) B B (i) Mivel T 4 szerint b n B, ezért N = N, hogy azaz vagyis b n B < B, ha n > N B B < b n < B + B, ha n > N b n > B, n > N. Másrészt ε > esetén N ( ε B ) = N (ε ), hogy b n B < ε B = ε n > N (ε ). Így ha n > N(ε) := max {N, N }, akkor: b n B = B b n B b n = B b n B b n < B b n B B < ε B B =< ε B B B = ε (ii) a n b n = a n b n A B = A B T 3 és T 5 (i) miatt. Néhány példa az előző tételek alkalmazására Pl. a n = n + n n } {{ } = 5 db c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

22 8. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Megoldás. A tagok száma 5 (n-től független!), ezért T véges sokszori alkalmazásával a eredmény helyesnek adódik. Pl. b n = n + n + + n + + = HIBÁS gondolatmenet!!! n Megoldás. Hiszen b =, b = +, b 3 = , b 4 = , Így a tagok száma itt függ n-től, ez nem véges sok sorozat összege, így a T tétel erre már nem terjeszthető ki. A helyes megoldás: b n = n n = ( + n) n n = + n n = n + + = Pl. a n = 8n n + 3 n + 9 = n n }{{} = 8 n + 3 n n = 8 Pl. a n = ( ) 3 n + 3n + n 3 n + 6n Megoldás. ( ) 3 n a n = n } {{ } = 8 + n 3 n 3 3n }{{} 6n = + 3n = 4 3n M A hatványozásnál a szorzatra vonatkozó tételt alkalmaztuk. Pl. a n = n 5 n 3 + 6n } {{ } b n sin (n 4 + 5n + 8). } {{ } c n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

23 .4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 9 Megoldás. Hiszen b n = n n 3 }{{} = n 5 n.4.. Néhány jól használható egyszerűbb tétel + 3 n = és c n korlátos. T (a n ) (a n A ) = ( a n A) B (i) A = esete: a n = an < ε, ha n > N(ε) = N a (ε ) = { an = a n < ε, ha n > N a (ε ) (a n miatt N a (ε )) (ii) A > esete: a n A miatt N a (ε A) = N a (ε ) : a n A < ε A = ε, ha n > N a (ε ) A De ekkor a n A = a n A an + A = a n A an + A a n A A < ε A A = ε, tehát N(ε) = N a (ε ) M an, a n A = k a n k A tetszőleges rögzített k N + esetén. Pl. a n = 4n + 5n 4n + n + 3 ( alakú) Megoldás. a n = 4n + 5n (4n + n + 3) 4n + 5n + 4n + n + 3 = = 4n 4 4n + 5n + 4n + n + 3 = = 4n 4n } {{ } 4n = n = n + 5 4n 4n + + 4n + 3 4n + = c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

24 . FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Gy.4.3. Feladatok. lim n n + n 3n + 8 =?. lim n ( n + 5n n + 3 ) =? 3. lim n ( 3 n3 + 3n + 3 n ) =? 4. lim n 4 n4 + n 3 n n6 + 5n + 3 =? 5. lim n ( n4 + 4n n n 4 n n + ) =? T (a n ) = ( ) a n B Tudjuk, hogy N a (P ) : a n > P >, ha n > N a (P ). Tehát P > a n >, ha n > N a (P ). P = ε választással kapjuk, hogy < < ε, ha n > N a (P ). a n Vagyis a n < ε, ha n > N(ε) = N a(p ). (a n > feltehető, hiszen csak véges sok negatív elem lehet. Ezek elhagyhatók.) Pl. (a n )? = ( ) a n Megoldás. Nem következik! Például a n = n esetén a n = n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

25 .4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK Vagy például a n = ( )n n esetén a n = ( ) n n := b n b m, b m+. Tehát a n. De igaz: ((a n > ) (a n )) = ((a n < ) (a n )) = Ezt röviden így fogjuk jelölni az indoklásoknál: ( a n ( a n ) ) + +, T (a n ) = ( ) a n B Tudjuk, hogy N a (ε): a n = a n < ε, ha n > N a (ε). Vagyis a n > ε = P, ha n > N a(ε) = N(P ). További hasonló tételek bizonyíthatók: Pl. ( (Jelentése: a n, b n esetén sőt korlátos ; (Felhasználhatóak bizonyítás nélkül.) a n b n ) ) + ; + ; Határozatlan alakok: ; ; ; ; ; ; Ilyen esetekben azonos átalakítással próbálkozunk, ill. később kapunk egy segédeszközt (L Hospital-szabály). c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

26 . FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK.5. További tételek a határértékről () A limesz monoton: T (a n A, b n B, a n < b n, n N + ) = (A B, tehát lim a n lim b n) n n M Példa A = B esetére: a n = n } {{ } = A < b n = + n } {{ } = B M M 3 a n A, b n B, a n b n esetén is igaz az állítás. a n A, b n B, a n b n, ha n > N ( ilyen N ) feltétel is elég. B Megmutatjuk, hogy A > B nem lehet, így a ( ) ( ) trichotom tulajdonság miatt A B. B A } {{ } d Ha A > B lenne, akkor pl. ε := d 3 = A B > -hoz a számsorozatok konvergenciája 3 miatt N a, N b : n > N a (ε) -ra a n A < ε n > N b (ε) -ra b n B < ε } = a n > b n, ha n > max{n a, N b } Ez pedig a feltétel miatt nem lehetséges. Rendőrelv: T ( a n A b n A és a n c n b n n N ) = (c n A) tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

27 .5. TOVÁBBI TÉTELEK A HATÁRÉRTÉKRŐL () 3 M A tétel állítása most is igaz marad, ha a n N feltétel helyett a gyengébb n > N ( ilyen N ) feltételt használjuk. B A feltételek miatt: Ha n > N a (ε) : A ε < a n < A + ε és A ε < b n < A + ε, ha n > N b (ε). N(ε) := max{n a (ε), N b (ε)}. Ha n > N(ε), akkor az előzőek miatt: Tehát, ha n > N(ε) A ε < a n c n b n < A + ε. A ε < c n < A + ε = c n A < ε. Vagyis c n A, ezzel az állítást bebizonyítottuk. Speciális rendőrelv: T (i) (a n b n ) (b n ) = a n (ii) (a n b n ) (b n ) = a n B ( B) Néhány nevezetes számsorozat lim n an =, ha a <,, ha a =,, ha a >, oszcillálóan divergens egyébként. Gy lim n nk a n =, ha a < és k N + ( B) lim n n p =, ha p >. lim n n n =. ( B) n n lim n n! = ; lim n! n = ; lim n n n n = ; lim n n log n =. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

28 4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK.6. Néhány példa az előző tételek alkalmazására Pl. a n = 3n5 + n n n > 3n5 + n 5 n 3 + 3n 3 = n = a n Másik megoldás: a n = n5 n n 3 n n 3 } {{ } c n > n = a n Felhasználtuk, hogy c n 3 = N : < c n (< 4), ha n > N M Persze belátható lenne, hogy bn, c n C > esetén b n c n. Mi azonban ezt nem bizonyítottuk be, ezért nem használhatjuk fel a megoldásnál. Pl. a n = n cos (n7 5)?, Megoldás. n ( ) } {{ } a n n } {{ } = a rendőrelv miatt a n. Másik megoldás: egy nullsorozat és egy korlátos sorozat szorzatáról van szó, így egy korábbi tétel miatt a szorzat is nullsorozat. Pl. a n = 3 n? 4 n + 3n+ Megoldás. 3 n 4 n + 3 n+ = = n 4 n n }{{} ( ) n } {{ } Tehát + határértéket várunk, ezért a speciális rendőrelvet használjuk: ( ) n 9 a n > = a n. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

29 .6. NÉHÁNY PÉLDA AZ ELŐZŐ TÉTELEK ALKALMAZÁSÁRA 5 a Pl. n = n + ( 3) n? 5 n+ + 7 n+ Megoldás. n + ( 3) n 5 n+ + 7 n+ = 4 n 3 ( 3)n 5 5 n n = = = 4 n }{{} 7 n n 4 7 ( ( ) n ) n + 7 = a Pl. n = n + 9 n+? n 5 + 3n Megoldás. n + 9 n+ n n = ( n n 9) + 9 ( ) n n n n + 3 = 7 Felhasználtuk, hogy lim n nk a n =, ha a <. (Most a = 9.) Pl. Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét! a n = n + + n n + b n = n + + n n + n Megoldás. a n } + {{ +... } = darab A (b n ) sorozatnál már nem alkalmazható az előbbi módszer, mivel az egyes tagok ugyan nullához tartanak, de a tagok száma végtelenhez tart ( alakú). A rendőrelv segítségével tudjuk megoldani a feladatot. n n + n } {{ } = n n + n < b n < n n + = n n + n } {{ } c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

30 6. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK = b n. Pl. Bizonyítsuk be, hogy lim n a n n! = (a R)! Megoldás. Ha a = : triviálisan igaz. Ha < a < : alakú, ezért -hoz tart a sorozat. Ha a = :. n! Ha a > : n > [a] esetén < an n! = a a [a] a a [a] + a n < a a [a] a a n = a[a] [a]! a n = konstans n Ha a < : a n n! = ( )n a n n! = an n!. = ( ) n a n } {{ } }{{} n! korlátos Pl. a n = 3n n? 3n Megoldás. n = 3n 3n 3n 3 = Ugyanis az n n és az n p (p = 3) részsorozatairól van szó. Másik megoldás: a n = 3n n = 3 n n 3 = n 5 + 5n Pl. a n = n 8n?, Megoldás. n ( n ) 3 n } 4 {{ } 3 = n 5 = n 8n n 5 + 5n n 8n n n 5 + 5n 5 8n n = 7 ( n n ) 3 n } 6 {{ } 3 = tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

31 .7. MONOTON SOROZATOK 7 3 a n + 5 n Pl. n = n n + 4? n = a n. n 5 4 } {{ } n 3 n = n 4 n + 4 < + 5 n 5 n n n n + 4 < + 5 n n n 4 n = n 5 } {{ 4} 5 4 = a n Monoton sorozatok Elégséges tétel (a n ) konvergenciájára: T (i) Ha (a n ) monoton növekedő és felülről korlátos, akkor konvergens. (ii) Ha (a n ) monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. A két esetet összevonva a tétel így is kimondható : Ha (a n ) monoton és korlátos, akkor konvergens. B Monoton növekedő esetre: Felveszünk egy I n = [c n, d n ] egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatot, ahol c n : mindig a számsorozat egy eleme és d n : mindig felső korlát. Így az (a n ) sorozat elemei véges sok elem kivételével a [c n, d n ] -ben vannak. A Cantoraxióma szerint az I n intervallumok metszete nem üres. Választunk a metszetből egy elemet, erről belátjuk, hogy a számsorozat határértéke. Mivel a határérték egyértelmű, azt is beláttuk, hogy ebben a speciális intervallumsorozatban egyetlen közös elem van, mert az intervallumok hossza -hoz tart. Részletesen: a a n K I = [c, d ] := [a, K] F := c + d K (a korlátosság miatt) F c = a K = d c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

32 8. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Ha F felső korlát, akkor c = c, d = F, I = [c, d ] := [c, F ] Ha F nem felső korlát: a n > F és ekkor c = a n, d = d, I = [c, d ] := [a n, d ] F := c + d Ha F felső korlát: I = [c, d ] := [c, F ] Ha F nem felső korlát: a n > F és ekkor I := [a n, d ]. n= Stb. I n (Cantor-axióma), tehát l Belátjuk, hogy lim n a n = l. n= I n. c m d m ( [ ] ) l ε l l + ε I n hossza: d n c n K a n < ε, ha n > N(ε). Az előzőek miatt < l c n d n c n < ε és < d n l d n c n < ε, vagyis Mivel c m = a nm és (a n ) : l ε < c n d n < l + ε, ha n > N(ε). c m = a nm a n, ha n > n m és a n d m (felső korlát) n = l ε < c m = a nm a n d m < l + ε, ha n > n m = N(ε) Tehát valóban lim n a n = l. Gy.7.. Példák rekurzív sorozatokra A rekurzív megadású számsorozatok konvergenciája sok esetben vizsgálható az előző elégséges tétel alkalmazásával. Erre mutatunk most néhány példát. Pl. a = 4 3 ; a n+ = 3 + a n ; n =,,... 4 Konvergens-e a sorozat? Ha igen, mi a határértéke? ( Megoldás. a =,33 > a = 4 Sejtés: (a n ), tehát a n > a n+ >. Bizonyítás: teljes indukcióval. ) =,94 > a 3 =,67 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

33 .7. MONOTON SOROZATOK 9. a > a > a 3 > teljesül. Tfh. a n > a n > 3. Igaz-e: 3 + a n 4. miatt a n > a n 3 4 > = a n? > an+ = 3 + a n 4 = a n > a n = 3 + a n > 3 + a n = 3 + a n = a n > a n+ = 3 + a n 4 4 Tehát a számsorozat monoton csökkenő és alulról korlátos (hiszen a n > ) = (a n ) konvergens, és fennáll: A = lim n a n = lim n 3 + a n 4 A = 3 + A 4 = A 4A + 3 = = A = vagy A = 3. A = 3 nem lehet, mivel a n < a = 4 3, ezért a n környezetébe. Így A = lim n a n =. nem esik a 3 szám pl. sugarú Pl. a = ; a n+ = 6 + a n ; n =,,... Konvergens-e a sorozat? Ha igen, mi a határértéke? Megoldás. (a n ) = (,,646,,94,... ) 6 + an miatt a sorozat elemei pozitívak ((ii)-ben precízen megmutatjuk). (i) Ha a sorozat konvergens lenne, akkor létezne A = lim a n = lim 6 + an = 6 + A, vagyis A A 6 =. n n Ebből A = 3 vagy A = lehetne. a n = 6 + a n > miatt A = nem lehet. Így csak az A = 3 jöhet szóba. (ii) Sejtés: (a n ). Bizonyítás: teljes indukcióval. (Egyidejűleg belátjuk, hogy a n >.) < a < a < a 3 igaz. Tegyük fel, hogy < a n < a n. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

34 3. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Igaz-e, hogy Az indukciós feltevés miatt Vagyis < a n < a n+.? < 6 + a n = a n? < an+ = 6 + a n < a n < a n = < + 6 < 6 + a n < 6 + a n (a n > miatt) = < 6 + a n < 6 + a n Tehát a sorozat monoton növekedő és elemei értelmezettek és pozitívak. (iii) Létezik-e K felső korlát? K-nak most célszerű A-t választani. Teljes indukcióval belátjuk, hogy a n < 3 n N : a < 3 teljesül. Tegyük fel, hogy a n < 3. Ekkor a n+ = 6 + a n < = 3. Tehát (a n ) felülről korlátos (felső korlátja 3). (iv) Vagyis (a n ) (a n ) felülről korlátos = lim a n = A. n Láttuk, hogy A = 3 lehet csak. M A monotonitás másképpen is belátható: < a n? < an+ = 6 + a n a n? < 6 + a n a n a n 6? < Ez igaz, ha < a n < 3, de ezt még be kell bizonyítani. < a n (a n > miatt), a n < 3 pedig teljes indukcióval bizonyítandó. triviálisan igaz Pl. a = 3; a n+ = 5 6 a n ; n =,,... 3 Konvergens-e a sorozat? Megoldás. Monoton csökkenő-e? a n+ = 5 6a n 3? < a n, amiből 6a n + 3a n 5? >. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

35 .8. EGY KITÜNTETETT SZÁMSOROZAT 3 ( 6x + 3x 5 =, x, = 5 ) ; 3 Tehát monoton csökkenő, ha a n < 5, vagy a n > 3. Most teljes indukcióval belátható, hogy a n 3 ( < 5 Tehát a sorozat monoton csökkenő a 3 kezdőértékkel. ) (HF.) Ha a sorozat alulról korlátos lenne, akkor konvergens lenne, és a határértéke: A = 5 6A = A = 5 3 vagy A = 3 lehetne. Mivel most a n 3 n-re = (a n ) nem konvergens, vagyis alulról nem korlátos = M -hez n, hogy a n < M. Mivel (a n ), ezért a n < a n < M, ha n > n, tehát lim n a n =..8. Egy kitüntetett számsorozat T e n = ( + n) n korlátos és = (e n ) konvergens. B. Korlátosság (a binomiális tétel felhasználásával): e n = ( + n) n = = + + n k= n k= ( ) ( ) k n = + + k n k! ( )( ) n n } {{ }} {{ } < < < + + < < n k= k! = n k= ( n(n ) (n (k )) k! k ) n < } {{ } < < n k! := s n k= n k = c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

36 3. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK De (s n ) felülről korlátos, mert s n = n < ( < Tehát e n =. (e n ) monoton nő: = + ( + n) n < s n = = + n k= n k= = + ( k! < 3. k= n ) n ) = = 3 ( e n+ = + ) n+ n+ ( ) n + = n + k (n + ) = k n+ k! k= k! (( ) ( ) ( k n + n + n + ( ) n + } {{ } > n n > + k= k! ( (( n k ) n + } {{ } + > k n ) ( k n ( ) n + n + )) + = e n ( ) n < 3 )) = (n + ) n+ > Tehát e n+ > e n. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

37 .8. EGY KITÜNTETETT SZÁMSOROZAT 33 Mivel (e n ) és korlátos = konvergens. A sorozat határértékét e-vel jelöljük. ( e := lim + ) n n n A fentiek miatt: < e < 3. Belátható (mi nem bizonyítjuk), hogy e nem racionális szám, továbbá: lim s n = lim n n n k= k! = k! k= = e és ( lim + x n = e n n) x, x R.8.. Néhány e -vel kapcsolatos példa Gy Pl. a n = ( + ) n 3 +n+6 n 3 + n + 6 e, ugyanis (e n ) egy részsorozatáról van szó. Pl. a n = Pl. a n = ( + ) n = n 6 ( + ) 6n 7 = 6n + ( + ) n 6 ( + ) 6 e 6 = e n 6 n 6 ( + ) 6n+ ( 6n + + ) 8 e = e 8 6n + Pl. a n = ( ) n n + 3 = n + 4 ( ) n+4 6 n + 4 = = n + 4 ( + n + 4 Felhasználtuk, hogy ) n+4 ( ) 6 n + 4 e = 6 e n n n + 3 = n = n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

38 34. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Másik megoldás: ( ) n a n = + 3 n ( + 4 n ) n ( n + 4 n + 3 ) e3 e 4 = e Pl. a n = ( ) n n n + 3 = ( + n ) n ( + 3n ) n e e 3 = e 5 Pl. a n = ( ) n n + = n + 6 ( + n ( + 6 n ) n ) n ( ) e = e e 6 Pl. a n = ( ) n n + = n + 9 ( + n ( + 9 n ) n ) n e e 9 = e 7 Pl. a n = ( ) n 4n + 5 n + 3? Megoldás. Két átalakítással is megoldjuk.. megoldás: ( + 5 n a n = ( + 3 n ) n ) n. megoldás: ( + 5 ) 4n 4n a n = ( + 3 ) 4n e = e 4 e 6 4n ( ) e 5 = e 4 e 3 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

39 .8. EGY KITÜNTETETT SZÁMSOROZAT 35 Pl. Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét! ( ) 3n 3n ( ) + 3n 9n + a n =, b 3n n =, 3n ( ) 3n 3n 3 ( ) + 3n 3n + c n =, d 3n n =. 3n Megoldás. ( + ) 3n 3n a n = ( + ) 3n e e = e3 = A 3n b n = (a n ) 3 = b n A 3 = e 9 c n = (a n ) n > 8 n, ha n > N (a n e 3 miatt N ) = c n d n = n a n = N : n > N esetén n e3, } {{ } d n n e 3 +, } {{ } = d n..8.. Feladatok. Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét, amennyiben azok léteznek! ) n+ ( a) a n = + 4n ( ) n+7 n b) a n = ( ) n n + 8 ( ) n+8 n + 3 c) a n = n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

40 36. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK ( ) n ( ) n ( ) n 3n 3n 4n d) a n =, b n =, c n = 3n + 4n + 3n + ( ) n 3 n 3 +8 ( ) n 3 n 4 ( n 3 e) a n =, b n 3 n =, c + n 3 n = + n 3 + ( f) a n = n!) n! (, b n = n!) (n )! (, c n = n! ( ) n + 3 n. a) lim =? n n + (n n + 3 b) lim n n + 4 ) n +4 =? 3. Gyakorló példák rekurzív sorozatokhoz: a) a = ; a n+ = + a n b) a = ; a n+ = a n a n (Útmutatás: ) n ) (n+)! a n+ = a n ( a n ), először < a n < -et mutassa meg.) c) a = 3 ; a n+ = a n 3 + a n (Segítség: a n+ = a n a n = a n ) d) a = ; a n = + a n e) a = 4; a n+ = a n f) a = 5; a n = a n További tételek a határértékről (3) T Minden sorozatnak van monoton részsorozata. B csúcs : a n csúcs, ha n > n -ra a n a n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

41 .9. TOVÁBBI TÉTELEK A HATÁRÉRTÉKRŐL (3) 37. végtelen sok csúcs = van monoton csökkenő részsorozat, hiszen ezek a csúcsok monoton csökkenő részsorozatot alkotnak.. Véges sok csúcs van (esetleg nincs is). a s : a legnagyobb indexű csúcs után következő elem. (Ha nem volt: a s = a.) a s nem csúcselem. s > s : a s a s, különben a s csúcs lenne. a s sem csúcselem. s 3 > s : a s3 a s, különben a s csúcs lenne. Stb. Így kapunk egy (a nr ) részsorozatot. Bolzano Weierstrass kiválasztási tétel: T Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. B Az előző tétel miatt monoton részsorozat, és mivel ez korlátos = konvergens. M A racionális számok Q halmazában nem igaz a Bolzano Weierstrass kiválasztási tétel. Legyen (b n ) = (,,4,,4,,44,... ) / Q, b n Q. (b n ) [, ], azaz korlátos. (b n ) minden részsorozata -höz konvergál, tehát nincs (b n )-nek olyan részsorozata, amely egy Q-beli elemhez konvergálna. Szükséges és elégséges tétel számsorozat konvergenciájához Cauchy-féle konvergenciakritérium: T Az (a n ) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha ε > -hoz M(ε) N: a m a n < ε n, m > M(ε) esetén ( B) M Más megfogalmazásban: a n+k a n < ε n > M(ε), k N esetén M A tétel azt a tényt fejezi ki, hogy konvergens sorozat elemei egymáshoz is tetszőlegesen közel vannak, ha indexeik elég nagyok. Ezt a tételt használhatjuk a konvergencia bizonyítására akkor is, ha a határértéket nem ismerjük. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

42 38. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK D Az (a n ) számsorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha ε > -hoz M(ε): a m a n < ε, ha n, m > M(ε) A Cauchy-féle konvergencia tételt megfogalmazhatjuk a következőképpen is: Az (a n ) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. M Q-ban a Cauchy-sorozat nem feltétlenül konvergens. Például (a n ) = (,,4,,4,,44,... ) / Q. Az (a n ) Cauchy-sorozat, mert a n+k a n < N = ε, ha n > N, k N tetszőleges. Nincs olyan Q -beli elem, amelyhez (a n ) konvergálna. Egy fontos példa Pl. Megoldás. s n = n k= Bizonyítsuk be, hogy k = n lim s n = n s N = N s N = N + N + + N N N-et akármilyen nagyra választjuk: s N s N = N N > N N =, tehát nem szorítható ε alá, ha ε. kritérium = divergens. Mivel (s n ) = s n. Nem teljesül rá a Cauchy-féle konvergencia tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

43 .. SOROZAT TORLÓDÁSI PONTJAI 39.. Sorozat torlódási pontjai D (Torlódási pont (sűrűsödési pont, sűrűsödési érték):) t R, ill. t =, vagy t = az (a n ) torlódási pontja, ha minden környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza (Tehát létezik olyan (a nr ) részsorozat, amely t-hez tart.) ( + környezetei (P, ) alakúak, ahol P R. környezetei (, M) alakúak, ahol M R.) T (a n ) valós számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha pontosan egy valós szám a torlódási pontja. lim n a n = + akkor és csak akkor, ha t = az egyetlen torlódási pont. D S := (a n ) torlódási pontjainak halmaza. T Ha a torlódási pontok halmaza felülről korlátos, akkor létezik legnagyobb torlódási pont. ( B) D (Limesz szuperior:) lim sup a n jel = lim a n := legnagyobb torlódási pont,, ha a torlódási pontok halmaza felülről korlátos ha S = vagy S = { }, különben D (Limesz inferior:) lim inf a n jel = lim a n := legkisebb torlódási pont, ha a torlódási pontok halmaza alulról korlátos, ha S = vagy S = { }, különben M Ha lim a n = lim a n = lim a n = lim a n n n Pl. a n = ( )n n ; lim a n =?, lim a n =? Gy c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

44 4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Megoldás. Ha n páros: a n = n (Részletezve: n = m : a m = m = 4 m ) Ha n páratlan: a n = n = n (n = m + : a m+ = (m+) = 4 m ) Így a sorozat torlódási pontjai:, = lim a n =, lim a n = Pl. a n = ( n + n sin n π ) n + 3n + 7 Adja meg a számsorozat torlódási pontjait! lim a n =?, lim a n =? Megoldás. n értékétől ( függően három részsorozat viselkedését kell vizsgálnunk. Ha n = m : sin n π ) =, ezért a kapott részsorozat: Ha n = 4m + : Ha n = 4m : n a n = n + 3n + 7 ( sin n π ) =, ekkor a részsorozat: n a n = n + 3n + 7 ( sin n π ) =, így a részsorozat: a n = Tehát a torlódási pontok halmaza: S = Pl. lim a n =, lim a n = {, }, a n = 3n+ + ( 4) n n+, b n = a n cos nπ lim a n =?, lim a n =? lim b n =?, lim b n =? Megoldás. a n = 3 9n + ( 4) n = 9n n }{{} 9 n = ( ) n 9 ( ) n = 3 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

45 .. SOROZAT TORLÓDÁSI PONTJAI 4 Ezért lim a n = lim a n = lim a n = n 3 Az (a n ) sorozat konvergens, mert egyetlen véges torlódási pontja van. (b n ) vizsgálata : cos nπ = ( ) n. Ezért, ha n páros: b n = a n 3 Ha n páratlan: b n = a n 3 = lim a n = 3, lim a n = 3, lim n a n Pl. Határozza meg az alábbi sorozatok limeszét (ha létezik), valamint limesz szuperiorját és a limesz inferiorját! a) a n = 4n + 3 n+ b) b + 4 n n = ( 4)n + 3 n+ + 4 n c) c n = ( 4)n + 3 n+ + 4 n Megoldás. a) a n = 4n n = 4n + 4 n }{{} 4 n = = lim n a n = lim a n = lim a n = ( ( ) n + 4 ) n + + = b) b n = ( 4)n n = ( 4)n + 4 n } 4{{ n } = ( ) n β n + + = Ha n páros: b n = β n Ha n páratlan: b n = β n ( ) n 4 ( ) n + 4 } {{ } :=β n = ( ) n β n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

46 4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK = lim b n =, lim b n =, lim n b n c) c n = ( 4)n n = ( 4)n + 6 n } 6 {{ n } = ( 4 )n ( ) n 4 ( ) n + 6 = lim n c n = lim c n = lim c n = + + = tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

47 . fejezet Valós számsorok.. Numerikus sorok konvergenciája A végtelen összeghez hozzárendelünk egy ( s n ) számsorozatot a következő módon: a k k= Thom App s n := n a k : k= +a a k = a }{{} +a a n + s } {{ } } s {{ } } s 3 {{ } s n k= n-edik részletösszeg E számsorozat határértékének segítségével definiáljuk a sor összegét az alábbiaknak megfelelően. D A a k numerikus sor konvergens és összege s, ha létezik a k= ( n ) lim s n = lim a k = s R n n k= (véges) határérték. lásd Thomas -es bemutató. fejezet (-3. oldal). 43

48 44. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK A részletösszegek (s n ) sorozatának viselkedése szerint az alábbi esetek lehetségesek: k= a k = lim n n k= a k = lim s n = n s R, +,,, az összeg konvergens az összeg divergens. Pl. =? k= Megoldás. = esetén s n = n k= = lim n s n = (Divergens a sor.) k= = n Pl. ( ) k+ =? k= Megoldás. ( ) k+ = ( ) k + divergens, mert k= s k+ = s k = } = (s n ) -nek torlódási pontja van, a sor divergens. Pl. k= Megoldás. ( ) k =? ( ) k = ( ) ( ) n = lim } {{ } s n k= tehát a sor konvergens. n ( ) n } {{ } s n = =, Pl. k= k (k + ) =? tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

49 .. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIÁJA 45 Megoldás. k= k (k + ) = lim n = lim n (( + n n ( k (k + ) = lim n k + + ) = k k= k= ) ( ) ( ) ( n + + )) = n ( = lim ) =, konvergens a sor. n n + Pl. k k= (harmonikus sor) divergens Megoldás. ( ) ( s k = ) ( ) ( + + ) ( + k k ) k k k = + k lim s = = k k k = Ugyanis s n s k, ha n > k miatt lim n s n =. M Ha a sorban véges sok tagot elhagyunk vagy megváltoztatunk, akkor a konvergencia ténye nem változik, konvergens sorból konvergens sort, divergens sorból divergens sort kapunk. A sorösszeg értéke természetesen megváltozik. k=... Geometriai (mértani) sor T Geometriai sor + q + q + =, ha q < q q k =, ha q divergens, ha q k= c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

50 46. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK B s n = n k= q k = + q + q + + q n Ha q = : s n = n, ezért lim s n =. n Ha q : s n = qn q. Mivel q n, ha q <, ezért lim s n = n q =, ha q <. q Mivel q n, ha q > = s n, ha q >. Ha q = : q n -nek két torlódási pontja van, mégpedig t =, t =. = s n -nek is torlódási pontja van: és, tehát divergens. Ha q < : q n -nek két torlódási pontja van, mégpedig t =, t =. = s n -nek is torlódási pontja van: és, tehát divergens. Pl. k=3 q k = q 3 + q 4 + q 5 + = q3 q, ha q <. A részletösszegek a tételben szereplő részletösszegek q 3 -szeresei, így a határérték (a sor összege) is q 3 -nel szorzódik. Pl. a + aq + aq + = a q k = k= a q k = k= a q, ha q < Most a részletösszegek a tételben szereplő részletösszegek a -szorosai, így a határérték is a -szoros lesz. ( ) első tag A képletet úgy érdemes megjegyezni, hogy s = kvóciens. Pl. k=3 ( ) 3k =? 3 k tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

51 .. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIÁJA 47 Megoldás. k=3 = ( ) 3k = 3 k k=3 ( ) 3 ( ) (( ) 3 ) k = (3 ) k ( 8 9 k=3 ( 8) k 9 k = ) 5 ± = ( 8 9 k=3 ) 3 ( 8 9 ) ( 8 9) k = (q = 8 9, q < ) Pl. k= k + 3 k+ 4 k+ =? Megoldás. s n = 6 s n = ( n k= n ( ) k 3k+ + = 4k+ 4 k+ k= ( ) k + 3 n k= ( n k= ( ) ) k = 6 ( ) k ( ( ) ) k 3 4 ( )n ( 3 ) 4 )n = lim s n = ( n 6 3 ) = Pl. Milyen x-re konvergens a (log x) k sor? k= Megoldás. q = log x, log x < < log x <, < x <, azaz x (, ).... Konvergens sorok összege és konstansszorosa T Ha a k = S a k= és b k = S b, S a, S b, c R k= = (a k + b k ) = S a + S b és k= (c a k ) = c S a. k= c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

52 48. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK B S a = lim n sa n = lim n S b = lim n sb n = lim n S a+b = lim Másrészt n sa+b n lim n k= S c a = lim n sc n a = lim n n a k k= n b k k= ( n n = lim (a k + b k ) = lim a k + n k= n ( k= n ) ( n ) a k + lim b k = S a + S b n n k= k= (c a k ) = c lim n n k= a k = c S a n k= b k ) = Ezen tételek segítségével egyszerűbben oldhatók meg az előző típusú feladatok. Pl. k= ( 3) k+ k+ =? Megoldás. k= ( 3) k+ = ( 3) k+ k= ( 3 ) k = 9 4 ( 3 ) 4 ( 3 4 ) (q = 34, q < teljesül. ) Pl. k= 3 k+ + ( ) k+ 5 k =? Megoldás. A sor két konvergens geometriai sor összege: k= 9 3 k + ( ) ( ) k 5 k = 9 k= ( ) k k= ( 5) k = ( 5 ) 5 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

53 .. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIÁJA 49 (q = 3 5, q <, q = 5, q < ) A konvergencia szükséges és elégséges feltétele (Cauchy-kritérium): T Cauchy-tétel a k akkor és csak akkor konvergens, ha ε > -hoz M(ε): k= a n+ + a n+ + + a n+k < ε, ha n > M(ε) és k N + B Triviálisan igaz, hiszen a számsorozatok konvergenciájára tanult szükséges és elégséges tétel alkalmazható. (s n ) akkor és csak akkor konvergens, ha ε > -hoz M(ε), hogy n, m > M(ε) esetén s m s n < ε. Legyen m > n és m = n + k! Mivel s n = a + a + + a n, s m = s n+k = a + a + + a n + a n+ + a n+ + + a n+k. Ezért s m s n = a n+ + a n+ + + a n+k < ε, ha n > M(ε) és k N + tetszőleges. Pl. Konvergens-e a sor)? ( ) n+ n = n= (alternáló harmonikus Megoldás. Igen, ugyanis s n+k s n = a n+ + a n+ + + a n+k = n + n + + n ( )k+ n + k = c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

54 5. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK ( n + ) ( + n + n + 3 ) ( + + n + 4 n + k ) = n + k } {{ } } {{ } } {{ } > > = ( n + n + ) ( ), ha k páros n + 3 n + k } {{ } } {{ } > > = ( n + ) n + } {{ } Vagyis > n + 3 ) ( ) + + n + 4 n + k n + k } {{ } } {{ } ( + > > > + n + k = = ( n + n + ) ( n + 3 n + k ), ha k páratlan n + k } {{ } } {{ } > > s n+k s n < n + < ε, ha n > [ ] = N(ε) ε ε Későbbiekben könnyen ellenőrizhetjük, hogy ez egy úgynevezett Leibniz-sor...3. A konvergencia szükséges feltétele T ( ) a k konvergens k= = ( ) lim a k = k B A Cauchy-kritériumból ( k = választással): s n+ s n = a n+ < ε, ha n > N(ε) = a n Vagy (egy másik bizonyítás) s n = s n + a n = a n = s n s n s s = M A feltétel nem elégséges. Például a sor a feltételt teljesíti, mégis divergens. k= k tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

55 .. VÁLTAKOZÓ ELŐJELŰ (ALTERNÁLÓ) SOROK 5.. Váltakozó előjelű (alternáló) sorok c c + c 3 + ( ) n+ c n + = ( ) n+ c n, c n > n= Thom App Leibniz-kritérium: T Ha az alternáló sor tagjainak abszolút értékeiből képzett sorozat (fent (c n ) ) monoton fogyóan tart -hoz ( jelben c n ), akkor a sor konvergens. Az ilyen alternáló sor neve: Leibniz-sor. B Belátjuk, hogy s k és felülről korlátos: Másrészt s k+ = s k + (c k+ c } {{ k+ ) s } k = s k s } {{ k+ = c } (c c 3 ) (c } {{ } 4 c 5 ) (c } {{ } k+ ) c } {{ } az előzőből látható Tehát s k monoton növő és felülről korlátos = s k konvergens, legyen s = lim k. k Megmutatjuk, hogy s k+ s szintén, és így a sor konvergens. s k+ = s k + c k+ s + = s M Az is megmutatható, hogy az sk+ részsorozat monoton csökkenően tart s -hez. s k+ = (c c ) + (c 3 c 4 ) + + (c k c k ) + c k+ = = (c c ) + (c 3 c 4 ) + + c } {{ k (c } k c k+ ) } {{ } s k s k lásd Thomas -es bemutató 6. fejezet (49-6. oldal). c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Gazdasági Matematika I.

Gazdasági Matematika I. Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK

Részletesebben

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden Analízis-lexikon abszolút maximumhelye Legyen hogy tetszőleges függvény, és része értelmezési tartományának Azt mondjuk, az -nek -ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden esetén

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

MATEMATIKAI ANALÍZIS I.

MATEMATIKAI ANALÍZIS I. MATEMATIKAI ANALÍZIS I. Vágó Zsuzsanna 200. szeptember 2 Tartalomjegyzék. Valós számok 5.. Bevezetés............................. 6... Természetes számok, teljes indukció.......... 6.2. Valós számok értelmezése....................

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1 Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása 5 Tartalomjegyzék Bevezetés.......................................................... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán........... 11 B) Egyváltozós függvényegyenletek megoldása....................

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Matematikai Analízis Példatár Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István

Matematikai Analízis Példatár Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István írta Vágó, Zsuzsanna és Csörgő, István Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Vágó Zsuzsanna, Csörgő István Tartalom Matematikai Analízis Példatár... 1 1. Bevezető... 1 2.

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Matematika példatár 1.

Matematika példatár 1. Matematika példatár 1. Halmazelmélet, sorozatok Csabina, Zoltánné Matematika példatár 1.: Halmazelmélet, sorozatok Csabina, Zoltánné Lektor: PhD. Vigné dr. Lencsés, Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben