Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA Tartalomjegyzék
|
|
- Liliána Kis
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright
2 ii A Matematika. elektronikus oktatási segédanyag a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatika Karán a mérnök-informatikus szakos hallgatók Analízis tárgyához készült, de haszonnal forgathatják más szakok, karok vagy műszaki főiskolák, egyetemek hallgatói is, akik hasonló mélységben hasonló anyagot tanulnak matematikából. Az anyag numerikus sorok, sorozatok elméletét, egyváltozós valós függvények határértékét, folytonosságát, differenciálását és integrálását tárgyalja. A definíciók, tételek, bizonyítások mellett kiemelt szerepet kapnak a példák, és a gyakran előforduló feladattípusok megoldásai. A mintegy 6 oldalas elméleti anyagot kiegészíti egy több, mint oldalas példatár, amely többségében megoldott, tematizált gyakorlófeladatokat tartalmaz. A két pdf állomány kölcsönösen hivatkozik egymásra. Az eligazodást tartalomjegyzék, valamint az elméleti anyagban található tárgymutató segíti. A megértést színes ábrák könnyítik, az érdeklődő olvasó pedig a Thomas Calculus illetve a Calculusapplets kapcsolódó weboldalaira is ellátogathat külső hivatkozásokon keresztül. A háttérszínezéssel tagolt elméleti anyag fekete-fehér változata is rendelkezésre áll, amely nyomtatásra javasolt formátum. Kulcsszavak: sor, sorozat, folytonosság, kalkulus, differenciálás, integrálás. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
3 iii Támogatás: Készült a TÁMOP-4..-8//A/KMR-9-8 számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban című projekt keretében. Készült: A BME TTK Matematikai Intézet gondozásában. Szakmai felelős vezető: Ferenczi Miklós Lektorálta: Pröhle Péter Az elektronikus kiadást előkészítette: Győri Sándor, Fritz Ágnes, Kónya Ilona, Pataki Gergely, Tasnádi Tamás Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert ISBN Copyright: Fritz Ágnes (BME), Kónya Ilona (BME), Pataki Gergely (BME), Tasnádi Tamás (BME) A c terminusai: A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjeleníthető és előadható, de nem módosítható. Korábbi változatot szerkesztette. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
4 iv tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
5 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok 5.. Bevezető A valós számok (R) axiómái A rendezési axiómákból levezethető Néhány fogalom Számsorozatok és határérték Számsorozat konvergenciája Számsorozat divergenciája További tételek a határértékről () A határérték egyértelműsége A konvergencia szükséges feltétele Határérték és műveletek Műveletek konvergens számsorozatokkal Néhány jól használható egyszerűbb tétel Feladatok További tételek a határértékről () Néhány példa az előző tételek alkalmazására Monoton sorozatok Példák rekurzív sorozatokra Egy kitüntetett számsorozat Néhány e -vel kapcsolatos példa Feladatok További tételek a határértékről (3) Sorozat torlódási pontjai Valós számsorok 43.. Numerikus sorok konvergenciája Geometriai (mértani) sor Konvergens sorok összege és konstansszorosa A konvergencia szükséges feltétele Váltakozó előjelű (alternáló) sorok
6 TARTALOMJEGYZÉK... Feladatok a váltakozó előjelű sorokhoz Sorok abszolút és feltételes konvergenciája Pozitív tagú sorok Pozitív tagú sorok konvergenciájával kapcsolatos elégséges kritériumok Majoráns kritérium Minoráns kritérium Hányados kritérium Gyökkritérium Integrálkritérium Hibabecslés pozitív tagú sorok esetén Műveletek konvergens sorokkal Végtelen sorok természetes szorzata Végetelen sorok Cauchy-szorzata Zárójelek elhelyezése, illetve elhagyása végtelen sor esetén Végtelen sor elemeinek felcserélése (átrendezése) Feladatok sorokhoz Számsorozatok nagyságrendje Műveletek Θ-val Aszimptotikus egyenlőség (a n b n ) Függvények határértéke és folytonossága Függvény határértéke Szükséges és elégséges tétel határérték létezésére Végesben vett határértékek Végtelenben vett határértékek Feladatok Folytonosság Szakadási helyek osztályozása Műveletek függvények körében Racionális függvények Polinomok (racionális egészfüggvények) Racionális törtfüggvény Példák és feladatok Egy nevezetes határérték Folytonos függvények tulajdonságai Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai Kompakt halmazon folytonos függvények tulajdonságai Egyenletes folytonosság Függvények differenciálása Differenciálszámítás Differenciál, érintő egyenes Differenciálási szabályok tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
7 TARTALOMJEGYZÉK Magasabbrendű deriváltak Inverz függvény Elemi függvények Hatványfüggvények Exponenciális függvények Logaritmusfüggvények Exponenciális hatványfüggvények Trigonometrikus függvények és inverzeik Hiperbolikus függvények és inverzeik Néhány összetett példa A differenciálszámítás középértéktételei Szükséges feltétel lokális szélsőérték létezésére A differenciálszámítás középértéktételei Feladatok L Hospital-szabály Nyílt intervallumon differenciálható függvények tulajdonságai Differenciálható függvények lokális tulajdonságai Implicit megadású függvények deriválása Egyenes aszimptota ± -ben Függvényvizsgálat Folytonos függvények zárt intervallumbeli szélsőértékei Paraméteres megadású görbék Görbék megadása síkbeli polárkoordinátákkal Feladatok Néhány kidolgozott feladat Függvények integrálása Primitív függvény, határozatlan integrál Példák Határozott integrál Jelölések, definíciók A Riemann-integrálhatóság szükséges és elégséges feltételei Elégséges tételek Riemann-integrálhatóságra Newton Leibniz-tétel A Riemann-integrál tulajdonságai Az integrálszámítás középértéktétele Feladatok Integrálfüggvény Példák Feladatok Integrálás helyettesítéssel Integrálási módszerek sin és cos szorzata c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
8 4 TARTALOMJEGYZÉK 5... sin és cos páratlan kitevőjű hatványai sin és cos páros kitevőjű hatványai sin és cos hatványainak szorzata Parciális integrálás Racionális törtfüggvények integrálása Integrálás helyettesítéssel Improprius integrál Definíciók f(x) = improprius integráljai xα Az improprius integrálok néhány tulajdonsága Feladatok Az integrálszámítás alkalmazása Terület Szektorterület Forgástest térfogata Forgástest felszíne Ívhosszúság Tárgymutató 55 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
9 . fejezet Valós számsorozatok.. Bevezető Thom... A valós számok (R) axiómái Algebrai axiómák R-ben értelmezett két művelet: + és Ezek a műveletek nem vezetnek ki az adott halmazból, R-ből, tehát a, b R-re: a + b R és a b R. + művelet tulajdonságai ( 4.). (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c R-re (az összeadás asszociatív).. Létezik egyetlen szám (ezt -val jelöljük), amelyre teljesül, hogy + a = a + = a, ha a R. 3. Minden a R számhoz létezik pontosan egy olyan x R, amelyre x + a = a + x =. Az így értelmezett x-et ( a)-val jelöljük. (Neve: additív inverz.) 4. a + b = b + a, a, b R-re (az összeadás kommutatív) művelet tulajdonságai (5 8.) 5. (a b) c = a (b c), a, b, c R (a szorzás asszociatív) lásd Thomas -es bemutató. fejezet (3-. oldal). 5
10 6. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK 6. Létezik egyetlen szám, amelyet -gyel jelölünk ( ), amelyre teljesül, hogy a = a = a, ha a R 7. Minden a -hoz létezik egyetlen x R, amelyre x a = a x = Az így értelmezett x-et az a szám reciprokának nevezzük, és -val jelöljük. a 8. a b = b a, a, b R (a szorzás kommutatív) A két műveletre (+ és ) -ra együttesen érvényes tulajdonság (9.) 9. a (b + c) = a b + a c, a, b, c R (disztributívitás) Rendezési axiómák ( 3.). Tetszőleges a, b R számpárra az a < b, b < a, a = b relációk közül pontosan egy teljesül (trichotom tulajdonság).. Ha a < b és b < c (röviden a < b < c), akkor a < c, ( a, b, c R) (tranzitívitás). Ha a < b, akkor a + c < b + c, ( a, b, c R) (a rendezés monoton). 3. Ha a < b és c >, akkor a c < b c, ( a, b, c R). Archimédesz-féle axióma (4.) 4. Tetszőleges b > számhoz található b-nél nagyobb n természetes szám. Cantor-féle axióma (5.) 5. Ha minden n N számnak megfeleltetünk egy I n = {x : a n x b n, x R} halmazt (röviden [a n, b n ] zárt intervallumot) oly módon, hogy akkor a n a n+, b n+ b n, ( n N) I n n= Vagyis: egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozat elemeinek metszete nem üres. ( ξ I n, ξ R) n= tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
11 .. BEVEZETŐ 7 M Zártság fontos! (In = ( ], n esetén I n = ) n=... A rendezési axiómákból levezethető A rendezésre vonatkozóan könnyű belátni, hogy igazak az alábbi állítások (szokás ezeket az egyenlőtlenségekkel való számolás szabályai -nak is nevezni):. Minden a R számra az a >, a =, a > tulajdonságok közül pontosan egy teljesül. (a > ( a) < ). (a < b) (c < d) = a + c < b + d Speciálisan: (a > ) (b > ) = a + b > 3. ( a < b) ( c < d) = ac < bd Speciálisan: (a > ) (b > ) = ab > 4. (a < b) (c < ) = ac > bc Speciálisan: a < b = a > b 5. < a < b = a > b a < b < = a > b a < < b = a < b a < b = ab > : ab < : a > b a < b 6. a, b R esetén a + b a + b és a b a b. 7. Ha n pozitív egész szám, és < a < b, akkor a n < b n. Hasonlóan következnek az abszolútérték tulajdonságai...3. Néhány fogalom H R D H felülről korlátos, ha k f R, hogy x H : x k f. (k f : felső korlát) c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
12 8. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK D H alulról korlátos, ha k a R, hogy x H : k a x. (k a : alsó korlát) D H korlátos, ha felülről is és alulról is korlátos, tehát k : x k. D A felülről korlátos H halmaz legkisebb felső korlátját szuprémumnak (felső határnak) nevezzük. Jele: sup H. D Az alulról korlátos H halmaz legnagyobb alsó korlátját infimumnak (alsó határnak) nevezzük. Jele: inf H. Pl. H = { n, n N+ } = {,,,,... } esetén: 3 4 Megoldás. Felső korlátok például:, 3, π,... Alsó korlátok például:,, 56,... sup H = (nincs a halmazban legnagyobb elem), inf H = (= legkisebb elem) Dedekind folytonossági tétel: T Felülről korlátos nem üres számhalmaznak mindig van szuprémuma. ( B) Ebből következik: K Alulról korlátos nem üres számhalmaznak mindig van infimuma. M A fenti axiómarendszerben a Cantor-féle és az Archimédesz-féle axióma lecserélhető ezzel az állítással. Thom App.. Számsorozatok és határérték A valós számsorozat a természetes számokon értelmezett valós értékű függvény: f : N R, az n helyen felvett értéke f(n) = a n, n =,,.... lásd Thomas -es bemutató. fejezet (3-. oldal). tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
13 .. SZÁMSOROZATOK ÉS HATÁRÉRTÉK 9 A számsorozat jelölése: (a n ), vagy a n, vagy a n, n =,,.... D (a n ) felülről korlátos, ha k f : n-re: a n k f. D (a n ) alulról korlátos, ha k a : n-re: k a a n. D (a n ) korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos, tehát k: a n k (k = max{ k a, k f }). Vagyis a fenti definíciók szerint ilyenkor f : N R függvény értékkészlete korlátos.... Számsorozat konvergenciája D Azt mondjuk, hogy (a n ) konvergens és határértéke (limesze) A R, jelben lim a n = A, n ha ε > -hoz (ε R ) N(ε) N, hogy N(ε) neve: küszöbindex, küszöbszám a n A < ε, ha n > N(ε). M A definícióval ekvivalens: ε > -ra az (A ε, A + ε) intervallumon kívül a sorozatnak véges sok eleme van. (Az intervallumon belül pedig végtelen sok eleme van.) Az alábbi példáknál a definíció segítségével bizonyítsuk be, hogy a megadott A a számsorozat határértéke! Pl. A =, ha a) a n = n b) a n = ( )n n Megoldás. Mindkét esetben: a n A = n < ε = n > ε Például ε =, esetén N = választás megfelelő. = N(ε) [ ] ε c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
14 . FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Pl. a n = 6 + n 5, n, A = Megoldás. a n A = 6 + n 5, n ( ) =,, 5, n }{{} = n 5, Ezért N(ε) [ 5, +, ]. ε n>5 < ε = n > 5, +, ε Pl. a n = n n 5 + 5n + 8, A = Megoldás. a n A = n n 5 + 5n + 8 = n n 5 + 5n + 8 < ε Ezt az egyenlőtlenséget nem tudjuk megoldani n-re. Azonban nem szükséges a lehető legkisebb küszöbindex előállítása. Elegendő megmutatnunk, hogy létezik küszöbindex. Ezért a megoldáshoz felhasználhatjuk az egyenlőtlenségek tranzitív tulajdonságát, például az alábbi módon: n a n A = n 5 + 5n + 8 < n n = n < ε = n > 3 3 ε. [ ] 3 Ezért N(ε). ε Pl. a n = 8n4 + 3n + n 4 n + 5, A = 4 Megoldás. a n A = 8n 4 + 3n + n 4 n = 4n + 3n n 4 n + 5 = Innen = 4n + 3n n 4 n + 5 < 4n + 3n n 4 n 4 + = 7 n < ε = 7 ε < n [ ] 7 N(ε). ε tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
15 .. SZÁMSOROZATOK ÉS HATÁRÉRTÉK... Számsorozat divergenciája A nem konvergens számsorozatokat divergens számsorozatnak nevezzük. Például: a n = ( ) n divergens. Ugyanis a sorozat elemei: (,,,,,...) Határértékként csak a vagy az jöhetne szóba. De például ε = választással kiderül, hogy egyik sem lehet a határérték, mert bár pl. a pont sugarú környezete végtelen sok elemet tartalmaz (az a n elemeket), de rajta kívül is végtelen sok van (az a n elemek). Így nem található hozzá N(ε), tehát nem lehet a határérték. Ugyanígy belátható, hogy sem jöhet szóba határértékként. Tehát a sorozat nem konvergens, így divergens. A divergens sorozatoknak két fontos speciális esete a + -hez és a -hez divergáló számsorozat. A megfelelő definíciók: D lim a n = +, n ha P > -hoz (P R) N(P ) N, hogy a n > P, ha n > N(P ) D lim a n =, n ha M < -hoz (M R) N(M) N, hogy a n < M, ha n > N(M) Ez a definíció megfogalmazható M > feltétellel is: M > -hoz N(M) N : a n < M, ha n > N(M) Gy Pl. a n = n 3 + 3n + 5 Bizonyítsa be, hogy lim n a n =! Megoldás. a n = n 3 + 3n + 5 > n 3 > P = n > 3 P [ ] 3 P = N(P ) c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
16 . FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Pl. a n = 6 n + n Bizonyítsa be, hogy lim n a n =! Megoldás. Teljesítendő, hogy a n = 6 n < M (< ), ha n > N(M). + n Ez egyenértékű a következő feltétellel: ( a n =) n 6 > M (> ), ha n > N(M). A feladatot egyszerűsítjük, hiszen + n most sem a legkisebb küszöbindexet keressük: n 6 + n > }{{} n 4 esetén n >6 n n n + n = n 6 > M = n > 6M Ezért N(M) max{4, [ 6M]}..3. További tételek a határértékről ().3.. A határérték egyértelműsége T Ha lim a n = A és lim a n = B, akkor A = B. n n B Indirekt módon bizonyítunk 3. Tehát feltesszük, hogy A B, például A < B. Legyen d = B A > és ε = d 3 >! d=b A ( ) ( ) A A+ε B ε B A számsorozat konvergenciája miatt létezik N (ε) és N (ε), hogy A ε < a n < A + ε, ha n > N (ε), B ε < a n < B + ε, ha n > N (ε). De ekkor n > max {N (ε), N (ε)} esetén: a n < A + ε < B ε < a n Ez pedig ellentmodás, tehát nem igaz, hogy A B, vagyis A = B..3.. A konvergencia szükséges feltétele P = Q, a P állításból következik a Q állítás. Ezt kétféleképpen is megfogalmazhatjuk: tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
17 .4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 3. P elégséges feltétele Q-nak,. Q szükséges feltétele P-nek. (Hiszen, ha Q nem teljesül, akkor már P nem teljesülhet, mert P teljesüléséből már következne Q teljesülése.) T (a n ) konvergens = (a n ) korlátos (Tehát a korlátosság szükséges feltétele a konvergenciának.) B ε > -ra N(ε): A ε < a n < A + ε, ha n > N(ε) = N Tehát (A ε, A + ε) - on kívül legfeljebb csak az a, a,..., a N elemek eshetnek. = a a ( ) A ε A A + ε { ka : n-re k a a n k a = min{a, a,..., a N, A ε} Így K : a n K, tehát korlátos. k f : n-re a n k f k f = max{a, a,..., a N, A + ε}. M = nem igaz. (Az állítás nem megfordítható.) Példa: a n = ( ) n korlátos, de nem konvergens. Pl. Konvergens-e az alábbi sorozat: a n = n +, 3n +, ha n páros, ha n páratlan. Megoldás. Nem konvergens, mert nem korlátos. (a m = m + = 4m + k m N-re ellentmond az Archimédesz-féle axiómának.).4. Határérték és műveletek.4.. Műveletek konvergens számsorozatokkal T (a n A) (b n B) = (a n + b n A + B) B Tehát be kell látni, hogy c n = a n + b n C = A + B, c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
18 4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK azaz ε > -hoz N(ε) N, hogy c n C < ε, ha n > N(ε). Legyen ε = ε! Az a n és b n számsorozatok konvergenciája miatt ( ε ) ( ε ) N (ε ) = N N (ε ) = N, hogy a n A < ε = ε, n > N (ε ) és b n B < ε = ε, n > N (ε ) = Ha n > max {N (ε ), N (ε )}, akkor c n C = (a n + b n ) (A + B) = = (a n A) + (b n B) a n A + b n B < ε + ε = ε = ε { ( ε ) ( ε )} Tehát a keresett N(ε) = max N, N M A bizonyításnál felhasználtuk a háromszög egyenlőtlenséget. ( a + b a + b ) T (a n A) = (c a n c A) B (i) c = esetén az állítás triviálisan igaz. (ii) c esetén: Legyen ε = ε c! a n konvergenciája miatt N (ε ) = N ( ε c a n A < ε n > N (ε ) ), hogy = c a n c A = c (a n A) = c a n A < c ε = c ε c = ε ( ) ε n > N = N(ε) c M A bizonyításnál felhasználtuk, hogy a b = a b. K (i) (a n A) = ( a n A) (Most c = ) tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
19 .4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 5 (ii) (a n A) (b n B) = a n b n = a n + ( b n ) A + ( B) = A B (T, T -ből következik) T 3 (i) (a n ) (b n ) = a n b n (ii) (a n A) (b n B) = a n b n AB ( B ε ) (i) N és N (), hogy a n < ε ( ε ) n > N = N = b n < n > N () = N (ε = most ) Ha n > max {N, N }, akkor a n b n = a n b n < ε = ε. (ii) Mivel a c n A n-re (stagnáló sorozat) A, ezért (a n A A A = ) (b n B B B = ). T 3 (i)-et alkalmazva kapjuk: (a n A) (b n B), vagyis a n b n Ab n Ba n + AB. Ekkor a n b n = (a n b n Ab n Ba n + AB) + ( Ab } {{ } n + Ba n AB ) AB } {{ } AB + AB AB M Nyilván három konvergens sorozat szorzata az egyes határértékek szorzatához konvergál. Teljes indukcióval belátható, hogy véges sok konvergens sorozat szorzata is az egyes sorozatok határértékének szorzatához konvergál. Hasonlóan általánosítható T véges sok konvergens sorozat összegére. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
20 6. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Pl. lim n lim n De vigyázat! lim n ( + n) = = ( + n) k = k = (k N + adott konstans, független n-től) ( + n) n n = Az utolsó példában alkalmazott módszer ún. letakarás lenne. Eddig megismert tételeinkben nem véletlenül nem volt erről szó, mert alkalmazása rossz eredményhez vezethet. Később látni fogjuk, hogy a 3. sorozat határértéke a matematikában jól ismert e szám. T 3 (a n ) (b n korlátos) = a n b n B A feltételek miatt: ε > -hoz N a (ε ) : a n A < ε, ha n > N a (ε ), másrészt b n K. Ekkor a n b n = a n b n a n K < ε K = ε Tehát ε = ε K választás mellett az a n sorozathoz megtalált küszöbindex megfelel az a n b n sorozathoz keresett küszöbindexnek. ( ε ) Így N (ε) = N a választással K a n b n < ε, ha n > N (ε) T 4 (a n A) = ( a n A ) B a n A a n A < ε, ha n > N(ε). M ( an ) konvergenciájából általában nem következik (a n ) konvergenciája. (Pl. a n = ( ) n divergens, de a n = n = ). tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
21 .4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 7 Speciálisan azonban igaz: a n = a n. Ugyanis a n = a n = a n < ε, ha n > N(ε). T 5 (i) (b n B ) = b n B (ii) (b n B ) (a n A) = a n b n A B ( ) B B (i) Mivel T 4 szerint b n B, ezért N = N, hogy azaz vagyis b n B < B, ha n > N B B < b n < B + B, ha n > N b n > B, n > N. Másrészt ε > esetén N ( ε B ) = N (ε ), hogy b n B < ε B = ε n > N (ε ). Így ha n > N(ε) := max {N, N }, akkor: b n B = B b n B b n = B b n B b n < B b n B B < ε B B =< ε B B B = ε (ii) a n b n = a n b n A B = A B T 3 és T 5 (i) miatt. Néhány példa az előző tételek alkalmazására Pl. a n = n + n n } {{ } = 5 db c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
22 8. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Megoldás. A tagok száma 5 (n-től független!), ezért T véges sokszori alkalmazásával a eredmény helyesnek adódik. Pl. b n = n + n + + n + + = HIBÁS gondolatmenet!!! n Megoldás. Hiszen b =, b = +, b 3 = , b 4 = , Így a tagok száma itt függ n-től, ez nem véges sok sorozat összege, így a T tétel erre már nem terjeszthető ki. A helyes megoldás: b n = n n = ( + n) n n = + n n = n + + = Pl. a n = 8n n + 3 n + 9 = n n }{{} = 8 n + 3 n n = 8 Pl. a n = ( ) 3 n + 3n + n 3 n + 6n Megoldás. ( ) 3 n a n = n } {{ } = 8 + n 3 n 3 3n }{{} 6n = + 3n = 4 3n M A hatványozásnál a szorzatra vonatkozó tételt alkalmaztuk. Pl. a n = n 5 n 3 + 6n } {{ } b n sin (n 4 + 5n + 8). } {{ } c n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
23 .4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 9 Megoldás. Hiszen b n = n n 3 }{{} = n 5 n.4.. Néhány jól használható egyszerűbb tétel + 3 n = és c n korlátos. T (a n ) (a n A ) = ( a n A) B (i) A = esete: a n = an < ε, ha n > N(ε) = N a (ε ) = { an = a n < ε, ha n > N a (ε ) (a n miatt N a (ε )) (ii) A > esete: a n A miatt N a (ε A) = N a (ε ) : a n A < ε A = ε, ha n > N a (ε ) A De ekkor a n A = a n A an + A = a n A an + A a n A A < ε A A = ε, tehát N(ε) = N a (ε ) M an, a n A = k a n k A tetszőleges rögzített k N + esetén. Pl. a n = 4n + 5n 4n + n + 3 ( alakú) Megoldás. a n = 4n + 5n (4n + n + 3) 4n + 5n + 4n + n + 3 = = 4n 4 4n + 5n + 4n + n + 3 = = 4n 4n } {{ } 4n = n = n + 5 4n 4n + + 4n + 3 4n + = c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
24 . FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Gy.4.3. Feladatok. lim n n + n 3n + 8 =?. lim n ( n + 5n n + 3 ) =? 3. lim n ( 3 n3 + 3n + 3 n ) =? 4. lim n 4 n4 + n 3 n n6 + 5n + 3 =? 5. lim n ( n4 + 4n n n 4 n n + ) =? T (a n ) = ( ) a n B Tudjuk, hogy N a (P ) : a n > P >, ha n > N a (P ). Tehát P > a n >, ha n > N a (P ). P = ε választással kapjuk, hogy < < ε, ha n > N a (P ). a n Vagyis a n < ε, ha n > N(ε) = N a(p ). (a n > feltehető, hiszen csak véges sok negatív elem lehet. Ezek elhagyhatók.) Pl. (a n )? = ( ) a n Megoldás. Nem következik! Például a n = n esetén a n = n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
25 .4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK Vagy például a n = ( )n n esetén a n = ( ) n n := b n b m, b m+. Tehát a n. De igaz: ((a n > ) (a n )) = ((a n < ) (a n )) = Ezt röviden így fogjuk jelölni az indoklásoknál: ( a n ( a n ) ) + +, T (a n ) = ( ) a n B Tudjuk, hogy N a (ε): a n = a n < ε, ha n > N a (ε). Vagyis a n > ε = P, ha n > N a(ε) = N(P ). További hasonló tételek bizonyíthatók: Pl. ( (Jelentése: a n, b n esetén sőt korlátos ; (Felhasználhatóak bizonyítás nélkül.) a n b n ) ) + ; + ; Határozatlan alakok: ; ; ; ; ; ; Ilyen esetekben azonos átalakítással próbálkozunk, ill. később kapunk egy segédeszközt (L Hospital-szabály). c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
26 . FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK.5. További tételek a határértékről () A limesz monoton: T (a n A, b n B, a n < b n, n N + ) = (A B, tehát lim a n lim b n) n n M Példa A = B esetére: a n = n } {{ } = A < b n = + n } {{ } = B M M 3 a n A, b n B, a n b n esetén is igaz az állítás. a n A, b n B, a n b n, ha n > N ( ilyen N ) feltétel is elég. B Megmutatjuk, hogy A > B nem lehet, így a ( ) ( ) trichotom tulajdonság miatt A B. B A } {{ } d Ha A > B lenne, akkor pl. ε := d 3 = A B > -hoz a számsorozatok konvergenciája 3 miatt N a, N b : n > N a (ε) -ra a n A < ε n > N b (ε) -ra b n B < ε } = a n > b n, ha n > max{n a, N b } Ez pedig a feltétel miatt nem lehetséges. Rendőrelv: T ( a n A b n A és a n c n b n n N ) = (c n A) tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
27 .5. TOVÁBBI TÉTELEK A HATÁRÉRTÉKRŐL () 3 M A tétel állítása most is igaz marad, ha a n N feltétel helyett a gyengébb n > N ( ilyen N ) feltételt használjuk. B A feltételek miatt: Ha n > N a (ε) : A ε < a n < A + ε és A ε < b n < A + ε, ha n > N b (ε). N(ε) := max{n a (ε), N b (ε)}. Ha n > N(ε), akkor az előzőek miatt: Tehát, ha n > N(ε) A ε < a n c n b n < A + ε. A ε < c n < A + ε = c n A < ε. Vagyis c n A, ezzel az állítást bebizonyítottuk. Speciális rendőrelv: T (i) (a n b n ) (b n ) = a n (ii) (a n b n ) (b n ) = a n B ( B) Néhány nevezetes számsorozat lim n an =, ha a <,, ha a =,, ha a >, oszcillálóan divergens egyébként. Gy lim n nk a n =, ha a < és k N + ( B) lim n n p =, ha p >. lim n n n =. ( B) n n lim n n! = ; lim n! n = ; lim n n n n = ; lim n n log n =. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
28 4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK.6. Néhány példa az előző tételek alkalmazására Pl. a n = 3n5 + n n n > 3n5 + n 5 n 3 + 3n 3 = n = a n Másik megoldás: a n = n5 n n 3 n n 3 } {{ } c n > n = a n Felhasználtuk, hogy c n 3 = N : < c n (< 4), ha n > N M Persze belátható lenne, hogy bn, c n C > esetén b n c n. Mi azonban ezt nem bizonyítottuk be, ezért nem használhatjuk fel a megoldásnál. Pl. a n = n cos (n7 5)?, Megoldás. n ( ) } {{ } a n n } {{ } = a rendőrelv miatt a n. Másik megoldás: egy nullsorozat és egy korlátos sorozat szorzatáról van szó, így egy korábbi tétel miatt a szorzat is nullsorozat. Pl. a n = 3 n? 4 n + 3n+ Megoldás. 3 n 4 n + 3 n+ = = n 4 n n }{{} ( ) n } {{ } Tehát + határértéket várunk, ezért a speciális rendőrelvet használjuk: ( ) n 9 a n > = a n. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
29 .6. NÉHÁNY PÉLDA AZ ELŐZŐ TÉTELEK ALKALMAZÁSÁRA 5 a Pl. n = n + ( 3) n? 5 n+ + 7 n+ Megoldás. n + ( 3) n 5 n+ + 7 n+ = 4 n 3 ( 3)n 5 5 n n = = = 4 n }{{} 7 n n 4 7 ( ( ) n ) n + 7 = a Pl. n = n + 9 n+? n 5 + 3n Megoldás. n + 9 n+ n n = ( n n 9) + 9 ( ) n n n n + 3 = 7 Felhasználtuk, hogy lim n nk a n =, ha a <. (Most a = 9.) Pl. Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét! a n = n + + n n + b n = n + + n n + n Megoldás. a n } + {{ +... } = darab A (b n ) sorozatnál már nem alkalmazható az előbbi módszer, mivel az egyes tagok ugyan nullához tartanak, de a tagok száma végtelenhez tart ( alakú). A rendőrelv segítségével tudjuk megoldani a feladatot. n n + n } {{ } = n n + n < b n < n n + = n n + n } {{ } c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
30 6. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK = b n. Pl. Bizonyítsuk be, hogy lim n a n n! = (a R)! Megoldás. Ha a = : triviálisan igaz. Ha < a < : alakú, ezért -hoz tart a sorozat. Ha a = :. n! Ha a > : n > [a] esetén < an n! = a a [a] a a [a] + a n < a a [a] a a n = a[a] [a]! a n = konstans n Ha a < : a n n! = ( )n a n n! = an n!. = ( ) n a n } {{ } }{{} n! korlátos Pl. a n = 3n n? 3n Megoldás. n = 3n 3n 3n 3 = Ugyanis az n n és az n p (p = 3) részsorozatairól van szó. Másik megoldás: a n = 3n n = 3 n n 3 = n 5 + 5n Pl. a n = n 8n?, Megoldás. n ( n ) 3 n } 4 {{ } 3 = n 5 = n 8n n 5 + 5n n 8n n n 5 + 5n 5 8n n = 7 ( n n ) 3 n } 6 {{ } 3 = tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
31 .7. MONOTON SOROZATOK 7 3 a n + 5 n Pl. n = n n + 4? n = a n. n 5 4 } {{ } n 3 n = n 4 n + 4 < + 5 n 5 n n n n + 4 < + 5 n n n 4 n = n 5 } {{ 4} 5 4 = a n Monoton sorozatok Elégséges tétel (a n ) konvergenciájára: T (i) Ha (a n ) monoton növekedő és felülről korlátos, akkor konvergens. (ii) Ha (a n ) monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. A két esetet összevonva a tétel így is kimondható : Ha (a n ) monoton és korlátos, akkor konvergens. B Monoton növekedő esetre: Felveszünk egy I n = [c n, d n ] egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatot, ahol c n : mindig a számsorozat egy eleme és d n : mindig felső korlát. Így az (a n ) sorozat elemei véges sok elem kivételével a [c n, d n ] -ben vannak. A Cantoraxióma szerint az I n intervallumok metszete nem üres. Választunk a metszetből egy elemet, erről belátjuk, hogy a számsorozat határértéke. Mivel a határérték egyértelmű, azt is beláttuk, hogy ebben a speciális intervallumsorozatban egyetlen közös elem van, mert az intervallumok hossza -hoz tart. Részletesen: a a n K I = [c, d ] := [a, K] F := c + d K (a korlátosság miatt) F c = a K = d c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
32 8. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Ha F felső korlát, akkor c = c, d = F, I = [c, d ] := [c, F ] Ha F nem felső korlát: a n > F és ekkor c = a n, d = d, I = [c, d ] := [a n, d ] F := c + d Ha F felső korlát: I = [c, d ] := [c, F ] Ha F nem felső korlát: a n > F és ekkor I := [a n, d ]. n= Stb. I n (Cantor-axióma), tehát l Belátjuk, hogy lim n a n = l. n= I n. c m d m ( [ ] ) l ε l l + ε I n hossza: d n c n K a n < ε, ha n > N(ε). Az előzőek miatt < l c n d n c n < ε és < d n l d n c n < ε, vagyis Mivel c m = a nm és (a n ) : l ε < c n d n < l + ε, ha n > N(ε). c m = a nm a n, ha n > n m és a n d m (felső korlát) n = l ε < c m = a nm a n d m < l + ε, ha n > n m = N(ε) Tehát valóban lim n a n = l. Gy.7.. Példák rekurzív sorozatokra A rekurzív megadású számsorozatok konvergenciája sok esetben vizsgálható az előző elégséges tétel alkalmazásával. Erre mutatunk most néhány példát. Pl. a = 4 3 ; a n+ = 3 + a n ; n =,,... 4 Konvergens-e a sorozat? Ha igen, mi a határértéke? ( Megoldás. a =,33 > a = 4 Sejtés: (a n ), tehát a n > a n+ >. Bizonyítás: teljes indukcióval. ) =,94 > a 3 =,67 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
33 .7. MONOTON SOROZATOK 9. a > a > a 3 > teljesül. Tfh. a n > a n > 3. Igaz-e: 3 + a n 4. miatt a n > a n 3 4 > = a n? > an+ = 3 + a n 4 = a n > a n = 3 + a n > 3 + a n = 3 + a n = a n > a n+ = 3 + a n 4 4 Tehát a számsorozat monoton csökkenő és alulról korlátos (hiszen a n > ) = (a n ) konvergens, és fennáll: A = lim n a n = lim n 3 + a n 4 A = 3 + A 4 = A 4A + 3 = = A = vagy A = 3. A = 3 nem lehet, mivel a n < a = 4 3, ezért a n környezetébe. Így A = lim n a n =. nem esik a 3 szám pl. sugarú Pl. a = ; a n+ = 6 + a n ; n =,,... Konvergens-e a sorozat? Ha igen, mi a határértéke? Megoldás. (a n ) = (,,646,,94,... ) 6 + an miatt a sorozat elemei pozitívak ((ii)-ben precízen megmutatjuk). (i) Ha a sorozat konvergens lenne, akkor létezne A = lim a n = lim 6 + an = 6 + A, vagyis A A 6 =. n n Ebből A = 3 vagy A = lehetne. a n = 6 + a n > miatt A = nem lehet. Így csak az A = 3 jöhet szóba. (ii) Sejtés: (a n ). Bizonyítás: teljes indukcióval. (Egyidejűleg belátjuk, hogy a n >.) < a < a < a 3 igaz. Tegyük fel, hogy < a n < a n. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
34 3. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Igaz-e, hogy Az indukciós feltevés miatt Vagyis < a n < a n+.? < 6 + a n = a n? < an+ = 6 + a n < a n < a n = < + 6 < 6 + a n < 6 + a n (a n > miatt) = < 6 + a n < 6 + a n Tehát a sorozat monoton növekedő és elemei értelmezettek és pozitívak. (iii) Létezik-e K felső korlát? K-nak most célszerű A-t választani. Teljes indukcióval belátjuk, hogy a n < 3 n N : a < 3 teljesül. Tegyük fel, hogy a n < 3. Ekkor a n+ = 6 + a n < = 3. Tehát (a n ) felülről korlátos (felső korlátja 3). (iv) Vagyis (a n ) (a n ) felülről korlátos = lim a n = A. n Láttuk, hogy A = 3 lehet csak. M A monotonitás másképpen is belátható: < a n? < an+ = 6 + a n a n? < 6 + a n a n a n 6? < Ez igaz, ha < a n < 3, de ezt még be kell bizonyítani. < a n (a n > miatt), a n < 3 pedig teljes indukcióval bizonyítandó. triviálisan igaz Pl. a = 3; a n+ = 5 6 a n ; n =,,... 3 Konvergens-e a sorozat? Megoldás. Monoton csökkenő-e? a n+ = 5 6a n 3? < a n, amiből 6a n + 3a n 5? >. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
35 .8. EGY KITÜNTETETT SZÁMSOROZAT 3 ( 6x + 3x 5 =, x, = 5 ) ; 3 Tehát monoton csökkenő, ha a n < 5, vagy a n > 3. Most teljes indukcióval belátható, hogy a n 3 ( < 5 Tehát a sorozat monoton csökkenő a 3 kezdőértékkel. ) (HF.) Ha a sorozat alulról korlátos lenne, akkor konvergens lenne, és a határértéke: A = 5 6A = A = 5 3 vagy A = 3 lehetne. Mivel most a n 3 n-re = (a n ) nem konvergens, vagyis alulról nem korlátos = M -hez n, hogy a n < M. Mivel (a n ), ezért a n < a n < M, ha n > n, tehát lim n a n =..8. Egy kitüntetett számsorozat T e n = ( + n) n korlátos és = (e n ) konvergens. B. Korlátosság (a binomiális tétel felhasználásával): e n = ( + n) n = = + + n k= n k= ( ) ( ) k n = + + k n k! ( )( ) n n } {{ }} {{ } < < < + + < < n k= k! = n k= ( n(n ) (n (k )) k! k ) n < } {{ } < < n k! := s n k= n k = c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
36 3. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK De (s n ) felülről korlátos, mert s n = n < ( < Tehát e n =. (e n ) monoton nő: = + ( + n) n < s n = = + n k= n k= = + ( k! < 3. k= n ) n ) = = 3 ( e n+ = + ) n+ n+ ( ) n + = n + k (n + ) = k n+ k! k= k! (( ) ( ) ( k n + n + n + ( ) n + } {{ } > n n > + k= k! ( (( n k ) n + } {{ } + > k n ) ( k n ( ) n + n + )) + = e n ( ) n < 3 )) = (n + ) n+ > Tehát e n+ > e n. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
37 .8. EGY KITÜNTETETT SZÁMSOROZAT 33 Mivel (e n ) és korlátos = konvergens. A sorozat határértékét e-vel jelöljük. ( e := lim + ) n n n A fentiek miatt: < e < 3. Belátható (mi nem bizonyítjuk), hogy e nem racionális szám, továbbá: lim s n = lim n n n k= k! = k! k= = e és ( lim + x n = e n n) x, x R.8.. Néhány e -vel kapcsolatos példa Gy Pl. a n = ( + ) n 3 +n+6 n 3 + n + 6 e, ugyanis (e n ) egy részsorozatáról van szó. Pl. a n = Pl. a n = ( + ) n = n 6 ( + ) 6n 7 = 6n + ( + ) n 6 ( + ) 6 e 6 = e n 6 n 6 ( + ) 6n+ ( 6n + + ) 8 e = e 8 6n + Pl. a n = ( ) n n + 3 = n + 4 ( ) n+4 6 n + 4 = = n + 4 ( + n + 4 Felhasználtuk, hogy ) n+4 ( ) 6 n + 4 e = 6 e n n n + 3 = n = n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
38 34. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Másik megoldás: ( ) n a n = + 3 n ( + 4 n ) n ( n + 4 n + 3 ) e3 e 4 = e Pl. a n = ( ) n n n + 3 = ( + n ) n ( + 3n ) n e e 3 = e 5 Pl. a n = ( ) n n + = n + 6 ( + n ( + 6 n ) n ) n ( ) e = e e 6 Pl. a n = ( ) n n + = n + 9 ( + n ( + 9 n ) n ) n e e 9 = e 7 Pl. a n = ( ) n 4n + 5 n + 3? Megoldás. Két átalakítással is megoldjuk.. megoldás: ( + 5 n a n = ( + 3 n ) n ) n. megoldás: ( + 5 ) 4n 4n a n = ( + 3 ) 4n e = e 4 e 6 4n ( ) e 5 = e 4 e 3 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
39 .8. EGY KITÜNTETETT SZÁMSOROZAT 35 Pl. Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét! ( ) 3n 3n ( ) + 3n 9n + a n =, b 3n n =, 3n ( ) 3n 3n 3 ( ) + 3n 3n + c n =, d 3n n =. 3n Megoldás. ( + ) 3n 3n a n = ( + ) 3n e e = e3 = A 3n b n = (a n ) 3 = b n A 3 = e 9 c n = (a n ) n > 8 n, ha n > N (a n e 3 miatt N ) = c n d n = n a n = N : n > N esetén n e3, } {{ } d n n e 3 +, } {{ } = d n..8.. Feladatok. Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét, amennyiben azok léteznek! ) n+ ( a) a n = + 4n ( ) n+7 n b) a n = ( ) n n + 8 ( ) n+8 n + 3 c) a n = n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
40 36. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK ( ) n ( ) n ( ) n 3n 3n 4n d) a n =, b n =, c n = 3n + 4n + 3n + ( ) n 3 n 3 +8 ( ) n 3 n 4 ( n 3 e) a n =, b n 3 n =, c + n 3 n = + n 3 + ( f) a n = n!) n! (, b n = n!) (n )! (, c n = n! ( ) n + 3 n. a) lim =? n n + (n n + 3 b) lim n n + 4 ) n +4 =? 3. Gyakorló példák rekurzív sorozatokhoz: a) a = ; a n+ = + a n b) a = ; a n+ = a n a n (Útmutatás: ) n ) (n+)! a n+ = a n ( a n ), először < a n < -et mutassa meg.) c) a = 3 ; a n+ = a n 3 + a n (Segítség: a n+ = a n a n = a n ) d) a = ; a n = + a n e) a = 4; a n+ = a n f) a = 5; a n = a n További tételek a határértékről (3) T Minden sorozatnak van monoton részsorozata. B csúcs : a n csúcs, ha n > n -ra a n a n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
41 .9. TOVÁBBI TÉTELEK A HATÁRÉRTÉKRŐL (3) 37. végtelen sok csúcs = van monoton csökkenő részsorozat, hiszen ezek a csúcsok monoton csökkenő részsorozatot alkotnak.. Véges sok csúcs van (esetleg nincs is). a s : a legnagyobb indexű csúcs után következő elem. (Ha nem volt: a s = a.) a s nem csúcselem. s > s : a s a s, különben a s csúcs lenne. a s sem csúcselem. s 3 > s : a s3 a s, különben a s csúcs lenne. Stb. Így kapunk egy (a nr ) részsorozatot. Bolzano Weierstrass kiválasztási tétel: T Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. B Az előző tétel miatt monoton részsorozat, és mivel ez korlátos = konvergens. M A racionális számok Q halmazában nem igaz a Bolzano Weierstrass kiválasztási tétel. Legyen (b n ) = (,,4,,4,,44,... ) / Q, b n Q. (b n ) [, ], azaz korlátos. (b n ) minden részsorozata -höz konvergál, tehát nincs (b n )-nek olyan részsorozata, amely egy Q-beli elemhez konvergálna. Szükséges és elégséges tétel számsorozat konvergenciájához Cauchy-féle konvergenciakritérium: T Az (a n ) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha ε > -hoz M(ε) N: a m a n < ε n, m > M(ε) esetén ( B) M Más megfogalmazásban: a n+k a n < ε n > M(ε), k N esetén M A tétel azt a tényt fejezi ki, hogy konvergens sorozat elemei egymáshoz is tetszőlegesen közel vannak, ha indexeik elég nagyok. Ezt a tételt használhatjuk a konvergencia bizonyítására akkor is, ha a határértéket nem ismerjük. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
42 38. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK D Az (a n ) számsorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha ε > -hoz M(ε): a m a n < ε, ha n, m > M(ε) A Cauchy-féle konvergencia tételt megfogalmazhatjuk a következőképpen is: Az (a n ) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. M Q-ban a Cauchy-sorozat nem feltétlenül konvergens. Például (a n ) = (,,4,,4,,44,... ) / Q. Az (a n ) Cauchy-sorozat, mert a n+k a n < N = ε, ha n > N, k N tetszőleges. Nincs olyan Q -beli elem, amelyhez (a n ) konvergálna. Egy fontos példa Pl. Megoldás. s n = n k= Bizonyítsuk be, hogy k = n lim s n = n s N = N s N = N + N + + N N N-et akármilyen nagyra választjuk: s N s N = N N > N N =, tehát nem szorítható ε alá, ha ε. kritérium = divergens. Mivel (s n ) = s n. Nem teljesül rá a Cauchy-féle konvergencia tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
43 .. SOROZAT TORLÓDÁSI PONTJAI 39.. Sorozat torlódási pontjai D (Torlódási pont (sűrűsödési pont, sűrűsödési érték):) t R, ill. t =, vagy t = az (a n ) torlódási pontja, ha minden környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza (Tehát létezik olyan (a nr ) részsorozat, amely t-hez tart.) ( + környezetei (P, ) alakúak, ahol P R. környezetei (, M) alakúak, ahol M R.) T (a n ) valós számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha pontosan egy valós szám a torlódási pontja. lim n a n = + akkor és csak akkor, ha t = az egyetlen torlódási pont. D S := (a n ) torlódási pontjainak halmaza. T Ha a torlódási pontok halmaza felülről korlátos, akkor létezik legnagyobb torlódási pont. ( B) D (Limesz szuperior:) lim sup a n jel = lim a n := legnagyobb torlódási pont,, ha a torlódási pontok halmaza felülről korlátos ha S = vagy S = { }, különben D (Limesz inferior:) lim inf a n jel = lim a n := legkisebb torlódási pont, ha a torlódási pontok halmaza alulról korlátos, ha S = vagy S = { }, különben M Ha lim a n = lim a n = lim a n = lim a n n n Pl. a n = ( )n n ; lim a n =?, lim a n =? Gy c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
44 4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Megoldás. Ha n páros: a n = n (Részletezve: n = m : a m = m = 4 m ) Ha n páratlan: a n = n = n (n = m + : a m+ = (m+) = 4 m ) Így a sorozat torlódási pontjai:, = lim a n =, lim a n = Pl. a n = ( n + n sin n π ) n + 3n + 7 Adja meg a számsorozat torlódási pontjait! lim a n =?, lim a n =? Megoldás. n értékétől ( függően három részsorozat viselkedését kell vizsgálnunk. Ha n = m : sin n π ) =, ezért a kapott részsorozat: Ha n = 4m + : Ha n = 4m : n a n = n + 3n + 7 ( sin n π ) =, ekkor a részsorozat: n a n = n + 3n + 7 ( sin n π ) =, így a részsorozat: a n = Tehát a torlódási pontok halmaza: S = Pl. lim a n =, lim a n = {, }, a n = 3n+ + ( 4) n n+, b n = a n cos nπ lim a n =?, lim a n =? lim b n =?, lim b n =? Megoldás. a n = 3 9n + ( 4) n = 9n n }{{} 9 n = ( ) n 9 ( ) n = 3 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
45 .. SOROZAT TORLÓDÁSI PONTJAI 4 Ezért lim a n = lim a n = lim a n = n 3 Az (a n ) sorozat konvergens, mert egyetlen véges torlódási pontja van. (b n ) vizsgálata : cos nπ = ( ) n. Ezért, ha n páros: b n = a n 3 Ha n páratlan: b n = a n 3 = lim a n = 3, lim a n = 3, lim n a n Pl. Határozza meg az alábbi sorozatok limeszét (ha létezik), valamint limesz szuperiorját és a limesz inferiorját! a) a n = 4n + 3 n+ b) b + 4 n n = ( 4)n + 3 n+ + 4 n c) c n = ( 4)n + 3 n+ + 4 n Megoldás. a) a n = 4n n = 4n + 4 n }{{} 4 n = = lim n a n = lim a n = lim a n = ( ( ) n + 4 ) n + + = b) b n = ( 4)n n = ( 4)n + 4 n } 4{{ n } = ( ) n β n + + = Ha n páros: b n = β n Ha n páratlan: b n = β n ( ) n 4 ( ) n + 4 } {{ } :=β n = ( ) n β n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
46 4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK = lim b n =, lim b n =, lim n b n c) c n = ( 4)n n = ( 4)n + 6 n } 6 {{ n } = ( 4 )n ( ) n 4 ( ) n + 6 = lim n c n = lim c n = lim c n = + + = tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
47 . fejezet Valós számsorok.. Numerikus sorok konvergenciája A végtelen összeghez hozzárendelünk egy ( s n ) számsorozatot a következő módon: a k k= Thom App s n := n a k : k= +a a k = a }{{} +a a n + s } {{ } } s {{ } } s 3 {{ } s n k= n-edik részletösszeg E számsorozat határértékének segítségével definiáljuk a sor összegét az alábbiaknak megfelelően. D A a k numerikus sor konvergens és összege s, ha létezik a k= ( n ) lim s n = lim a k = s R n n k= (véges) határérték. lásd Thomas -es bemutató. fejezet (-3. oldal). 43
48 44. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK A részletösszegek (s n ) sorozatának viselkedése szerint az alábbi esetek lehetségesek: k= a k = lim n n k= a k = lim s n = n s R, +,,, az összeg konvergens az összeg divergens. Pl. =? k= Megoldás. = esetén s n = n k= = lim n s n = (Divergens a sor.) k= = n Pl. ( ) k+ =? k= Megoldás. ( ) k+ = ( ) k + divergens, mert k= s k+ = s k = } = (s n ) -nek torlódási pontja van, a sor divergens. Pl. k= Megoldás. ( ) k =? ( ) k = ( ) ( ) n = lim } {{ } s n k= tehát a sor konvergens. n ( ) n } {{ } s n = =, Pl. k= k (k + ) =? tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
49 .. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIÁJA 45 Megoldás. k= k (k + ) = lim n = lim n (( + n n ( k (k + ) = lim n k + + ) = k k= k= ) ( ) ( ) ( n + + )) = n ( = lim ) =, konvergens a sor. n n + Pl. k k= (harmonikus sor) divergens Megoldás. ( ) ( s k = ) ( ) ( + + ) ( + k k ) k k k = + k lim s = = k k k = Ugyanis s n s k, ha n > k miatt lim n s n =. M Ha a sorban véges sok tagot elhagyunk vagy megváltoztatunk, akkor a konvergencia ténye nem változik, konvergens sorból konvergens sort, divergens sorból divergens sort kapunk. A sorösszeg értéke természetesen megváltozik. k=... Geometriai (mértani) sor T Geometriai sor + q + q + =, ha q < q q k =, ha q divergens, ha q k= c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
50 46. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK B s n = n k= q k = + q + q + + q n Ha q = : s n = n, ezért lim s n =. n Ha q : s n = qn q. Mivel q n, ha q <, ezért lim s n = n q =, ha q <. q Mivel q n, ha q > = s n, ha q >. Ha q = : q n -nek két torlódási pontja van, mégpedig t =, t =. = s n -nek is torlódási pontja van: és, tehát divergens. Ha q < : q n -nek két torlódási pontja van, mégpedig t =, t =. = s n -nek is torlódási pontja van: és, tehát divergens. Pl. k=3 q k = q 3 + q 4 + q 5 + = q3 q, ha q <. A részletösszegek a tételben szereplő részletösszegek q 3 -szeresei, így a határérték (a sor összege) is q 3 -nel szorzódik. Pl. a + aq + aq + = a q k = k= a q k = k= a q, ha q < Most a részletösszegek a tételben szereplő részletösszegek a -szorosai, így a határérték is a -szoros lesz. ( ) első tag A képletet úgy érdemes megjegyezni, hogy s = kvóciens. Pl. k=3 ( ) 3k =? 3 k tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
51 .. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIÁJA 47 Megoldás. k=3 = ( ) 3k = 3 k k=3 ( ) 3 ( ) (( ) 3 ) k = (3 ) k ( 8 9 k=3 ( 8) k 9 k = ) 5 ± = ( 8 9 k=3 ) 3 ( 8 9 ) ( 8 9) k = (q = 8 9, q < ) Pl. k= k + 3 k+ 4 k+ =? Megoldás. s n = 6 s n = ( n k= n ( ) k 3k+ + = 4k+ 4 k+ k= ( ) k + 3 n k= ( n k= ( ) ) k = 6 ( ) k ( ( ) ) k 3 4 ( )n ( 3 ) 4 )n = lim s n = ( n 6 3 ) = Pl. Milyen x-re konvergens a (log x) k sor? k= Megoldás. q = log x, log x < < log x <, < x <, azaz x (, ).... Konvergens sorok összege és konstansszorosa T Ha a k = S a k= és b k = S b, S a, S b, c R k= = (a k + b k ) = S a + S b és k= (c a k ) = c S a. k= c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
52 48. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK B S a = lim n sa n = lim n S b = lim n sb n = lim n S a+b = lim Másrészt n sa+b n lim n k= S c a = lim n sc n a = lim n n a k k= n b k k= ( n n = lim (a k + b k ) = lim a k + n k= n ( k= n ) ( n ) a k + lim b k = S a + S b n n k= k= (c a k ) = c lim n n k= a k = c S a n k= b k ) = Ezen tételek segítségével egyszerűbben oldhatók meg az előző típusú feladatok. Pl. k= ( 3) k+ k+ =? Megoldás. k= ( 3) k+ = ( 3) k+ k= ( 3 ) k = 9 4 ( 3 ) 4 ( 3 4 ) (q = 34, q < teljesül. ) Pl. k= 3 k+ + ( ) k+ 5 k =? Megoldás. A sor két konvergens geometriai sor összege: k= 9 3 k + ( ) ( ) k 5 k = 9 k= ( ) k k= ( 5) k = ( 5 ) 5 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
53 .. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIÁJA 49 (q = 3 5, q <, q = 5, q < ) A konvergencia szükséges és elégséges feltétele (Cauchy-kritérium): T Cauchy-tétel a k akkor és csak akkor konvergens, ha ε > -hoz M(ε): k= a n+ + a n+ + + a n+k < ε, ha n > M(ε) és k N + B Triviálisan igaz, hiszen a számsorozatok konvergenciájára tanult szükséges és elégséges tétel alkalmazható. (s n ) akkor és csak akkor konvergens, ha ε > -hoz M(ε), hogy n, m > M(ε) esetén s m s n < ε. Legyen m > n és m = n + k! Mivel s n = a + a + + a n, s m = s n+k = a + a + + a n + a n+ + a n+ + + a n+k. Ezért s m s n = a n+ + a n+ + + a n+k < ε, ha n > M(ε) és k N + tetszőleges. Pl. Konvergens-e a sor)? ( ) n+ n = n= (alternáló harmonikus Megoldás. Igen, ugyanis s n+k s n = a n+ + a n+ + + a n+k = n + n + + n ( )k+ n + k = c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
54 5. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK ( n + ) ( + n + n + 3 ) ( + + n + 4 n + k ) = n + k } {{ } } {{ } } {{ } > > = ( n + n + ) ( ), ha k páros n + 3 n + k } {{ } } {{ } > > = ( n + ) n + } {{ } Vagyis > n + 3 ) ( ) + + n + 4 n + k n + k } {{ } } {{ } ( + > > > + n + k = = ( n + n + ) ( n + 3 n + k ), ha k páratlan n + k } {{ } } {{ } > > s n+k s n < n + < ε, ha n > [ ] = N(ε) ε ε Későbbiekben könnyen ellenőrizhetjük, hogy ez egy úgynevezett Leibniz-sor...3. A konvergencia szükséges feltétele T ( ) a k konvergens k= = ( ) lim a k = k B A Cauchy-kritériumból ( k = választással): s n+ s n = a n+ < ε, ha n > N(ε) = a n Vagy (egy másik bizonyítás) s n = s n + a n = a n = s n s n s s = M A feltétel nem elégséges. Például a sor a feltételt teljesíti, mégis divergens. k= k tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
55 .. VÁLTAKOZÓ ELŐJELŰ (ALTERNÁLÓ) SOROK 5.. Váltakozó előjelű (alternáló) sorok c c + c 3 + ( ) n+ c n + = ( ) n+ c n, c n > n= Thom App Leibniz-kritérium: T Ha az alternáló sor tagjainak abszolút értékeiből képzett sorozat (fent (c n ) ) monoton fogyóan tart -hoz ( jelben c n ), akkor a sor konvergens. Az ilyen alternáló sor neve: Leibniz-sor. B Belátjuk, hogy s k és felülről korlátos: Másrészt s k+ = s k + (c k+ c } {{ k+ ) s } k = s k s } {{ k+ = c } (c c 3 ) (c } {{ } 4 c 5 ) (c } {{ } k+ ) c } {{ } az előzőből látható Tehát s k monoton növő és felülről korlátos = s k konvergens, legyen s = lim k. k Megmutatjuk, hogy s k+ s szintén, és így a sor konvergens. s k+ = s k + c k+ s + = s M Az is megmutatható, hogy az sk+ részsorozat monoton csökkenően tart s -hez. s k+ = (c c ) + (c 3 c 4 ) + + (c k c k ) + c k+ = = (c c ) + (c 3 c 4 ) + + c } {{ k (c } k c k+ ) } {{ } s k s k lásd Thomas -es bemutató 6. fejezet (49-6. oldal). c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenMATEMATIKA 1. GYAKORLATOK
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
RészletesebbenAnalízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenAnalízis Gyakorlattámogató jegyzet
Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
RészletesebbenA valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
RészletesebbenMatematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Részletesebben2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.
Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenDifferenciál és integrálszámítás diszkréten
Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten
RészletesebbenMATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR
MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR Budapest, 2018 Szerző: SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA főiskolai docens 978-963-638-542-2 Kiadja a SALDO Pénzügyi
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenGazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenPécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenMatematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar
Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Kód: BMETE90AX00; Követelmény: 4/2/0/V/6; Félév: 2016/17/2; Nyelv: magyar; Előadó: Dr. Fülöp Ottilia Gyakorlatvezető: Dr. Fülöp
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenAnalízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor
Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor Bodrogné Réffy Júlia, Horváth Róbert 2018/19. II. félévtől Tantárgykód: BMETE90AX20 Félév: 2018/19. tavasz Nyelv: magyar
RészletesebbenMatematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar
Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Tárgykódok: BMETE93BG01, BMETE94BG01, BMETE90AX00 Kurzuskódok: G00, G01, G02, H0, H1, HV Követelmény: 4/2/0/V/6;
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenA kiadásért felel dr. Táncos László, a Semmelweis Kiadó igazgatója Nyomda alá rendezte Békésy János Borítóterv: Táncos László SKD: SKD043-e
Dr. Gergó Lajos elõadásjegyzetei alapján készítették: Dr. Gergó Lajos Dr. Meskó Attiláné Gillemotné Dr. Orbán Katalin Semmelweis Egyetem, Gyógyszerésztudományi Kar, Egyetemi Gyógyszertár, Gyógyszerügyi
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
RészletesebbenKiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenGazdasági Matematika I.
Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK
RészletesebbenEger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet
Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenTANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz
I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21
NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán
RészletesebbenValós függvénytan Elektronikus tananyag
Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a
Részletesebben