Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet"

Átírás

1 Tartalomjegyzék Előszó Függvénytani alapismeretek Valós számsorozatok Valós számsorok Valós függvények határértéke Valós függvények differenciálhányadosa A differenciálszámítás alkalmazásai Integrálszámítás Improprius integrál Megoldások Függvénytani alapismeretek Valós számsorozatok Valós számsorok Valós függvények határértéke Valós függvények differenciálhányadosa A differenciálszámítás alkalmazásai Integrálszámítás Improprius integrál

2

3 ELŐSZÓ A nem matematika szakos hallgatóknak a matematika tanulása olykor jóval nagyobb nehézséget okoz, mint azt az elsajátítandó tananyag mennyiségéből és bonyolultságából gondolnánk. Ennek valószínűleg az egyik nagyon fontos oka az, hogy az órára való felkészüléskor, egyedül nagyon kevés feladattal birkóznak meg a hallgatók. Kiváló feladatgyűjtemények állnak a hallgatók rendelkezésére, amelyekből sikeresen felkészülhetnek a vizsgáikra, zárthelyi dolgozataikra, ha megfelelő matematikai alapműveltséggel rendelkeznek az analízis feladatok megoldásában. Ehhez a tudáshoz próbálja hozzásegíteni a könyv azokat a hallgatókat, akik hajlandók olyan oldalakat lapozgatni, ahol nem bízunk semmit (vagy olykor egy nagyon keveset) a kezdő lépéseket megtevőkre, hanem végigvezetjük a feladatmegoldás alapvető lépésein, melynek végén nyugodt szívvel tekinthetnek leendő számonkéréseikre. A tankönyv tartalma és jelölésrendszere követi az irodalomjegyzékben megemlített Matematika, nem matematika szakos hallgatóknak" ([]) című jegyzetét. A feladatgyűjtemény a L A TEX nevű dokumentumkészítő rendszer segítségével készült, annak minden szépségét és nehézségét megélve. Az ábrák elkészítéséhez a Scientific Workplace programcsomagot használtuk. Ez a rendszer tette lehetővé azt is, hogy a feladatok megoldásait ne csak a szokásos módon ellenőrizhessük, hanem számítógéppel is. Így ha esetleges bosszantó elírások elő is fordulnak a végeredményekben hibák csak nagyon ritka esetben találhatók. Ezúton szeretném kifejezni köszönetemet azon kollégáimnak, barátaimnak és tanítványaimnak, akik hozzájárultak e könyv elkészítéséhez. Kovács Emődnek és Olajos Péternek TEX-hel kapcsolatos kérdéseim türelmes megválaszolásáért. Kollégáimnak a sok megtalált hibáért, amelyek így nem kerültek bele a feladatgyűjteménybe. Rados Mihálynak a teljes kézirat átolvasásáért, az olykor tréfás, mindig alapos és segítő, margóra írt megjegyzéseiért. Rimán Jánosnak, akitől megtanultam, hogy mindig még maga-

4 sabbra kell tenni a mércét. Kovács Dórának a precíz szerkesztő munkájáért. Tanítványaimnak az ábrák elkészítésében és a megoldások ellenőrzésében tanúsított lelkes munkájukért. Köszönöm a Békésy György posztdoktori ösztöndíj támogatását, amely nyugodt hátteret biztosított a munkámhoz. Külön köszönöm családtagjaimnak megértésüket és türelmüket. Eger, 004. augusztus 3. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

5 . Függvénytani alapismeretek 7. Függvénytani alapismeretek. Legyen X adott halmaz és A, B, C X. Bizonyítsuk be, hogy (a) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (b) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), (c) A \ (A \ (B \ C)) = A B C c.. Határozzuk meg az alábbi f relációk értelmezési tartományát, értékkészletét és inverzét: (a) A := {,, 3, 5}, B := {3, 4, 6, 7}, f A B, és fy akkor és csak akkor, ha osztója y-nak, (b) A := {, 0,, 4, 5}, B := {,, 3, 5, 6, 7}, f A B, és fy akkor és csak akkor, ha + y = Döntsük el, hogy az alábbi függvények közül melyek invertálhatók, azokban az esetekben, amelyekben ez lehetséges határozzuk meg az inverz függvényét: (a) f : R R, f() := 5 + 6, (b) f : R R, f() :=, (c) f : R \{} R, f() := +, (d) f : R R, f() := +, (e) f : R R, f() := sin. 4. Határozzuk meg a következő halmazok pontos alsó és pontos felső korlátját, belső, külső, torlódási és határpontjainak halmazát: (a) H := [, ] (5, 7], (b) H := (, 3) {6} {7}, (c) H 3 := (, 5) (5, + ),

6 8. Függvénytani alapismeretek (d) H 4 := [ 3, ] (4, + ), (e) H 5 := ( 3, ] (, 4) [5, 0), (f) H 6 := { 8} [, + ). 5. Határozzuk meg a következő halmazok pontos alsó és pontos felső korlátját, belső, külső, torlódási és határpontjainak halmazát: (a) H := Q, (b) H := R \ Q, (c) H 3 := N, { (d) H 4 := R : = } n, n N, { (e) H 5 := R : = n, n N { (f) H 6 := }, R : = + } n +, n N. 6. Határozzuk meg a g f és f g függvényeket: (a) f : R R, f () := + 7, g : R R, g () := +, (b) f : R+ R, f () :=, g : [ π, π] R, g () := sin, (c) f : [0, π] R, f () = sin, g : [0, π] R, g () := cos, (d) f : R R, f () :=, g : [, + ) R, g () :=, (e) f : [, 4] R, f () :=, g : [, + ) R, g () :=.

7 . Valós számsorozatok 9. Valós számsorozatok. Határozzuk meg, hogy hányadik tagtól kezdve esnek a sorozatok tagjai a határérték 0 3 sugarú környezetébe: (a) a n : N R, a n := n + 6, (b) a n : N R, a n := 6n n + 7, (c) a n : N R, a n := 3n + 4n +.. Bizonyítsuk be a definíció alapján, hogy az alábbi sorozatok konvergensek: (a) a n : N R, a n := ( )n n, (b) a n : N R, a n := sin n n, (c) a n : N R, a n := n + n +, (d) a n : N R, a n := n + n + n +, (e) a n : N R, a n := n 3 + 5, (f) a n : N R, a n := 6n + n + n + n +, ( ) n (g) a n : N R, a n := 6, (h) a n : N R, a n := 5 + ( )n 5 n.

8 0. Valós számsorozatok 3. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n : N R, a n := n3 5n + 8 3n 3 + n + 7, (b) a n : N R, a n := 4n5 + 3n 3 5 3n 5 + 4n 4 + n 3 + 9, (c) a n : N R, a n := ( ) n n + n 3 + 5n 3, (d) a n : N R, a n := n + 3 n 3 n + 5, n 3 (e) a n : N R, a n := n3 + 5n + n + 5n 3 + n Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: ( ) 3n + 4 n (a) a n : N R, a n :=, 3n 5 ( ) 5n n+ (b) a n : N R, a n :=, 5n + 3 ( ) 7n n 5 (c) a n : N R, a n :=, 7n + 4 ( 6n ) n +4 (d) a n : N R, a n := 6n, + 3 ( 3n ) 4n + 7 (e) a n : N R, a n := 3n, 5 ( (f) a n : N R, a n := ) n n. 5. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: ( n + 3 (a) a n : N R, a n := 3n ) 4n,

9 . Valós számsorozatok (b) a n : N R, a n := 3n+ + n n, (c) a n : N R, a n := n 6 4n cos nπ, + (d) a n : N R, a n := ( )n + 4 n+ 3 n + 7 n. 6. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából: (a) a n : N R, a n := n + 4 n + 3, (b) a n : N R, a n := 3n 4 n +, (c) a n : N R, a n := n 3n + 5, (d) a n : N R, a n := ( ) n n n +, (e) a n : N R, a n := ( ) n n n +, (f) a n : N R, a n := 5n+, n! (g) a n : N R, a n := n + 3 4n cos nπ Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő sorozatok, és ha igen, határozzuk meg a határértéküket: (a) a n : N R, a n := n + n, (b) a n : N R, a n := 3 n n, (c) a n : N R, a := 0, a n := n ( n 4 4 n ), ha n, (d) a n : N R, a n := 3n3 + 4n n + 3n + n, + 7

10 . Valós számsorozatok (e) a n : N R, a n := 6n4 3n + n + n 7, ( ) n n (f) a n : N R, a n :=, 3n ( ) n n (g) a n : N R, a n :=, n (h) a n : N R, a n := 5n + 3 n + 6 n. 8. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n : N R, a n := n n + 6n + 7, (b) a n : N R, a n := 3n + 6n + 8n +, (c) a n : N R, a n := n 4 n + 5 n, (d) a n : N R, a n := n sin n! n 3 + 4, (e) a n : N R, a n := n, n(n + 5) (f) a n : N R, a n := n (n + )(n + ). 9. Legyen a := és a n := + a n, ha n N és n >. Határozzuk meg az adott rekurzióval definiált sorozat határértékét.

11 3. Valós számsorok 3 3. Valós számsorok. Bizonyítsuk be a definíció alapján, hogy az alábbi sorok konvergensek, és számítsuk ki az összegüket: (a) (b) (c) (d) (e) 3 n (n + ), (n + ) (n + 3), n (n + ), n (n + ) (n + ), 3 n n.. Határozzuk meg a következő sorok összegét: (a) (b) (c) (d) (e) ( 7 n + 5 ) 3 n, 0 6 n+5, + ( ) n 3 5 n+, 0 cos nπ 3 n, 0 sin n π + cos nπ 4 n+3, 0

12 4 3. Valós számsorok (f) (g) 0 0 ( 3) n + n 8 6 n, nπ cos n Bizonyítsuk be, hogy az alábbi sorok divergensek: (a) (b) (c) (d) (e) (f) ( ) n n, n n + n + 3, n 0, 00,, 0 n, 0 5 n n, n + cos nπ. 5n 4. A Cauchy-féle gyökkritérium vagy a d Alembert-féle hányadoskritérium segítségével döntsük el, hogy konvergensek-e az alábbi sorok: (a) (b) (c) 5n 3 n n!, ( ) 3 n n!, n 0, n, n!

13 3. Valós számsorok 5 (d) (e) (f) 5 n n 7, n! (n)!, 5 n 3 (6n ) 7 n. 5. Döntsük el, hogy konvergensek-e az alábbi valós számsorok: (a) (b) (c) (d) (e) (f) n + 3 n (n + 5), n 3 (5n + ) 3 n, n 3 n, n n 4 + n +, e n (n + )!, n. 6. Döntsük el, hogy konvergensek-e az alábbi valós számsorok: (a) (b) arctg n n + n +, n! e n n n,

14 6 3. Valós számsorok (c) (d) (e) (f) (g) (h) 3 n + 3 n + n +, (arcsin n) n 4 +, n + 3 n 4 + 3n + 4, 3 n+4 (log n) n, ( ) n n + n(n + 3), ( ) n n n!.

15 4. Valós függvények határértéke 7 4. Valós függvények határértéke. Határozzuk meg a következő határértékeket: (a) ( cos ), (b) ( cos ), (c) 0 cos 3 cos, (d) 0 cos 5 ( + cos ), (e) 0 tg sin 3 cos. sin ( cos ) (f) 0 3 cos 3, sin sin (g) 0 tg, (h) 0 sin m sin n, ahol n, m N.. Határozzuk meg a következő határértékeket: ( (a) + a + b), a, b R +, + ( ) (b) 9 + 3, + (c) (d) , 9 3, 9 (e), 9 3

16 8 4. Valós függvények határértéke (f) Határozzuk meg a következő határértékeket: (a) (b) (c) (d) , , , , (e), (f), 0 (g) Határozzuk meg a következő határértékeket: ( (a) + ), + ( (b) + 5 ), + ( (c) + a ), a R +, + ( 3 (d) + a 3 a), a R, (e) (f) ( ) , 4 3 ( ) 6 5+,

17 4. Valós függvények határértéke 9 (g) (h) ( 5 π ( ) ) 4 +,. 5. Az A paraméter milyen értékénél lesz a következő határérték egyenlő -gyel, A arctg Határozzuk meg a következő függvények bal és jobb oldali határértékét az adott 0 helyeken: (a) f : R \ {} R, f () := +, 0 =, (b) f : R \ {, } R, f () :=, 0 =, 0 =, (c) f : R \ {, 4} R, f () := ( + ) 5 + 4, 0 =, 0 = 4, (d) f : R \ {0, } R, f () := + 4 3, 0 = 0, 0 =, (e) f : R \ {0} R, f () := , 0 = 0, (f) f : R \ {} R, f () := 5 5, 0 =. 7. Határozzuk meg a következő függvények bal és jobb oldali határértékét az adott 0 helyeken: (a) f : R \ {3} R, f () := + 3, 0 = 3, (b) f : R \ {} R, f () := ( ), 0 =, (c) f : R \ {0} R, f () := arctg, 0 = 0,

18 0 4. Valós függvények határértéke (d) f : [, 0) (0, ] R, f () := arcsin, 0 = 0.

19 5. Valós függvények differenciálhányadosa 5. Valós függvények differenciálhányadosa. Bizonyítsuk be a definíció felhasználásával, hogy a következő függvények tetszőleges 0 R pontban differenciálhatók: (a) f : R R, f () := 3 + +, (b) g : R R, g () := Bizonyítsuk be a definíció alapján, hogy az f függvény az értelmezési tartomány tetszőleges 0 pontjában differenciálható, ahol f : R \ {0} R, f () :=. 3. Bizonyítsuk be a definíció alapján, hogy az f függvény tetszőleges 0 R pontban differenciálható, ahol f : R R, f () := n, n N. 4. Bizonyítsuk be, hogy a következő függvények nem differenciálhatók az 0 = 0 pontban: (a) f : R R, f () :=, { 0, ha = 0, (b) g : R R, g () := sin, ha 0, (c) h: R R, h () := sin. 5. Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: (a) f : R+ R, f () := , (b) f : R+ R, f () := π 3 +, (c) f : R R, f () := ( cos + ) ( ), (d) f : R+ R, f () = (ln + arctg ) (5 + ), ( (e) f : 0, π ) R, f () := 6π tg + 6, arctg

20 5. Valós függvények differenciálhányadosa (f) f : R+ R, f () = π cos 3 sin ln. 6. Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: (a) f : R R, f () := π, (b) f : R+ R, f () := cos( + ), (c) f : (, 0) R, f () := arcsin( 7 + ), (d) f : R R, f () := cos, (e) f : R R, f() := ( + e ) sin 6, (f) f : R+ R, f () := sin, (g) f : R+ R, f () := ln ( 3 ln ), (h) f : R+ R, f () := arctg + 6, (i) f : ( 0, π ) R, f () := ln tg, (j) f : (e, + ) R, f () := ln ln ln, (k) f : R R, f() := sin (arctg 3 ) 6 cos (l) f : R+ R, f () := π, (m) f : R R, f () := arctg π, + (n) f : R R, f () := 3 + π ln 8 6, (o) f : ( π ) (, 0 0, π ) tg R, f () := log 6 +, (p) f : R+ R, f () := π sin, ( (q) f : π, π ) 8 R, f () := e cos tg.

21 5. Valós függvények differenciálhányadosa 3 7. Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: (a) f : R+ R, f () := (b) f : (0, π) R, f () := (sin ), (c) f : (0, π) R, f () := (sin ) cos, (d) f : (, + ) R, f () := (ln ), (e) f : R+ R, f () := ( ), (f) f : ( 0, π 4 ) R, f () := log cos. 8. Határozzuk meg a következő függvények negyedik deriváltját: (a) f : R R, f () := , (b) f : R R, f () := , (c) f : R R, f () := e + cos, (d) f : R R, f () := +, (e) f : R R, f () := sin. 9. Határozzuk meg a következő függvények n-edik differenciálhányadosát, ahol n tetszőleges természetes szám: (a) f : (, + ) R, f () := ln ( + ), (b) f : R R, f () = e +e, (c) f : R R f () = sin, (d) f : R R, f () := e.

22 4 6. A differenciálszámítás alkalmazásai 6. A differenciálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg a következő határértékeket l Hospital-szabály segítségével: (a) 0 sin, (b) 0 e e sin, sin sin (c), 0 sin 5 5 (d), 0 e (e) 0 cos, (f) ( ).. Határozzuk meg a következő határértékeket l Hospital-szabály segítségével: (a) (b) + e, + ( + ) 3 arctg 6 (c), 0 5 (d) ln sin, (e) sin,, Guillaume Francois Antoine de l Hospital (66 704) francia matematikus, Johann Bernoulli tanítványa. Bernoulli előadásai alapján írt könyvében Analyse des infiniment petits (696) szerepel ez a szabály, amely valójában Bernoullitól származik.

23 6. A differenciálszámítás alkalmazásai 5 (f) (g) 5, +0 + sin, 3. Határozzuk meg a következő határértékeket l Hospital-szabály segítségével: ( (a) 0+0 ) e. ( (b) 0 cos ), ( ( (c) ln + )), + ( ( (d) ln + e )), (e) (f) (g) (h) + (ln ) 3, e, ( ) e sin, + π 0 (tg )cos. 4. Határozzuk meg a következő határértékeket: (a) 0 sin sin, (b) + sin + sin. 5. Keressük meg a következő függvények abszolút és helyi szélsőértékeit: (a) f : R R, f() := , (b) f : [3, 8] R, f() := ,

24 6 6. A differenciálszámítás alkalmazásai (c) f : [ ], 3 R, f() := + +, (d) f : [ 3, ] R, f() := , [ (e) f :, ] 5 R, f() := Végezzünk teljes függvényvizsgálatot a következő függvényeken: (Vizsgáljuk meg a következő függvények monotonitását, szélsőérték helyeit, konveitását, paritását és periodicitását. Határozzuk meg a függvények határértékét a végtelenben (ha lehetséges) és a szakadási helyeken (ha vannak ilyenek). Rajzoljuk fel a függvény gráfját.) (a) f : R R, f() := 4, (b) f : R R, f() := 3 3, (c) f : R \ { } R, f() := 3 +, (d) f : R \ {0} R, f() := 3 +, (e) f : R+ R, f() := ln, (f) f : R+ R, f() := ln, (g) f : R \{} R, f() := + +, (h) f : R \{, } R, f() :=, (i) f : R \{} R, f() := 3 + 5, (j) f : R R, f() := e, (k) f : R \{0} R, f() := +, (l) f : R \{} R, f() := ( ), (m) f : R+ R, f() := ln,

25 6. A differenciálszámítás alkalmazásai 7 (n) f : R R, f() := { e, ha > 0, 0, egyébként. 7. Döbrögi szőlőt termel a birtokán fekvő napos dombokon. Azt tapasztalja, hogy az f() = összefüggés adja meg, hogy kg trágya felhasználása után hány mázsa szőlő terem hektáronként. Mennyi trágyát használjon fel ahhoz, hogy a szüret után, a bevételből, a legtöbb pénzt tudja fizetni Ludas Matyinak a vásárban? Abban biztos lehet, hogy a szőlő ára aranytallér lesz, egy kg trágya pedig aranytallérba kerül A Matematika Tanszék repülőgépet szeretne rendelni a geometriai terepgyakorlatozók részére. A bérleti díj 0 utasra 6000 euró. Minden további személy 0 euró árengedményt kap. A repülőgép legfeljebb 60 személyt képes befogadni. Mennyi szponzori pénzt kell a Matematika Tanszéknek előzetesen összegyűjteni, hogy nyugodtan megrendelhesse ezt az utazást a résztvevők pontos számának ismerete nélkül? 9. Bergengóciában egy fa magasságát, a jelenlegi pillanattól kezdve, év múlva a következő összefüggés adja meg: f () = 8. Mikor lesz a fa a legmagasabb? 0. Egy folyó partján egy 568 m nagyságú, téglalap alakú telket kell elkeríteni. Mekkorára válasszuk a téglalap méreteit, hogy a legrövidebb kerítésre legyen szükségünk? (A partra értelemszerűen nem kell kerítés.). Egységnyi térfogatú és azonos falvastagságú söröskorsók közül melyiknek a gyártásához szükséges a legkevesebb üveg? (A korsót egyenes hengernek tekintjük.). Adott gömb köré írható egyenes kúpok közül melyiknek a legkisebb a térfogata? 3. Egy adott V térfogatú, négyzet alapú, felül nyitott tartályt akarunk készíteni. Mekkorára válasszuk a méreteket, hogy az elkészítéshez a legkevesebb lemezt kelljen felhasználni.

26 8 6. A differenciálszámítás alkalmazásai 4. Osszuk fel a 8-at két részre úgy, hogy (a) négyzetösszegük minimális, (b) szorzatuk maimális legyen. 5. Valamely kör és négyzet kerületének összege állandó. Mutassuk meg, hogy a két síkidom területének összege akkor minimális, ha a kör átmérője egyenlő a négyzet oldalával.

27 7. Integrálszámítás 9 7. Integrálszámítás. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a) ( ) 7 d, I := R +, (b) (c) ( π ) 7 3 d, I := R +, d, I := R +, (d) (e) (f) + 3 d, I := R, + d, I := R, + 49 d, I := ( 9 3, 3).. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a) sin cos d, I := R, (b) sin cos d, I := R, (c) e d, I := R, (d) cos 3 d, I := R, ( (e) tg d, I := π, π ).

28 30 7. Integrálszámítás 3. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: 3 (a) d, I := R, + + (b) d, I := R +, (c) 5 ln d, I := (, + ), (d) (6 d, I := (0, + ), + 6) arctg (e) d I := (0, ), arcsin ( (f) tg 6 d, I := 0, π ), (g) e + e d, I := R, + (h) d I := R +. ( + 5) 4. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a) log 5 d, I := (, + ), (b) d, I := R +, (c) 5 d, I := R, + 3 (d) e 4 e + d, I := R, (e (e) + ) e + d, I := R,

29 7. Integrálszámítás 3 (f) (g) (h) ln d, I := (, + ), sin 5 (cos ) 6 d, I := R, sin 3 + sin d, I := R. 5. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat a parciális integrálásra vonatkozó tétel segítségével az adott I intervallumokon: (a) sin d, I := R, (b) ( + ) e d, I := R, (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) ( + ) e d, I := R, ( 3) cos 6 d, I := R, ln d, I := R +, arcsin 3 d, I := ( 3, 3), arctg d, I := R, ( + ) ln d, I := R +, e sin 3 d, I := R, e + sin d, I := R.

30 3 7. Integrálszámítás 6. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: 5 (a) + d, I := (, + ), 6 (b) d, I := (, 3), 3 (c) d, I := (, 3), π + (d) d, I := (5, + ), 5 (e) d, I := (, 3), (f) d, I := R, (g) d, I := R, (h) 4 d, I := R Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat az adott I intervallumokon: (a) ( d, I := (, + ), + ) ( + ) (b) ( d, I := (, + ), + + ) ( ) (c) 3 3 d, I := (, 0), (d) ( d, I := ( 7, + ), + 5) ( + 7) + + (e) 3 ( + + ) d, I := R +.

31 7. Integrálszámítás Számítsuk ki a következő határozott integrálokat: (a) (b) (c) (d) π 0 r r π cos 5 d, ( + ) d, π(r ) d, ahol r R+, cos + sin d, (e) (f) π arcsin d, arctg d.

32 34 8. Improprius integrál 8. Improprius integrál. Számítsuk ki a következő improprius integrálokat: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) d, d, α d, ahol α R, + d, d, ln d, ( ) 3 d, (h) (i) d, ( )e d,

33 8. Improprius integrál 35 (j) + (cos ) d. +. Határozzuk meg A értékét úgy, hogy az f() d = egyenlőség teljesüljön, ha (a) f : R R, f() := { Ae, ha 0, 0, ha < 0, (b) f : R R, f() := { A π(+ ), ha 0, 0, ha < 0, (c) f : R R, f() := { Ae, ha 0, 0, ha < Számítsuk ki a következő improprius integrálokat: (a) (b) (c) (d) 0 e 3 0 d, 4 ln d, ( ) d, 3 3 d,

34 36 8. Improprius integrál (e) 4 d.

35 MEGOLDÁSOK

36 38. Függvénytani alapismeretek. Függvénytani alapismeretek. (a) A halmazelméleti műveletek tulajdonságait felhasználva adódik, hogy (A B) \ C = A B C c = A B C c C c = = (A C c ) (B C c ) = (A \ C) (B \ C). (b) A halmazelméleti műveletek tulajdonságait és a de Morgan-féle azonosságokat felhasználva kapjuk, hogy (A \ B) (A \ C) = (A B c ) (A C c ) = = (A B c A) C c = A (B c C c ) = = A (B C) c = A \ (B C). (c) A halmazelméleti műveletek tulajdonságait és a de Morgan-féle azonosságokat felhasználva kapjuk, hogy A \ (A \ (B \ C)) = A (A (B C c ) c ) c = = A (A (B c C)) c = A (A c (B c C) c ) = = A (A c (B C c )) = (A A c ) (A B C c ) = = A B C c. (A feladat megoldásában felhasználtuk, hogy tetszőleges A halmaz esetén (A c ) c = A.). (a) Mivel f = {(, 3), (, 4), (, 6), (, 7), (, 4), (, 6), (3, 6)}, így D f = {,, 3}, R f = {3, 4, 6, 7} és f = {(3, ), (4, ), (6, ), (7, ), (4, ), (6, ), (6, 3)}. (b) Mivel f = {(, 6), (0, 5), (, 3), (4, )}, így D f = {, 0,, 4}, R f = {, 3, 5, 6} és f = {(6, ), (5, 0), (3, ), (4, )}.

37 Megoldások (a) Ha, y R esetén f() = f(y), azaz ha = 5y + 6, akkor = y, tehát az ismert tétel miatt a függvény invertálható. Rögzített R esetén jelöljük f()-et y-nal. Az így kapott y = egyenlőségben cseréljük fel és y szerepét, majd ebből fejezzük ki y-t. Azt kapjuk, hogy y = 6 ( 5). Mivel R f = R, így D f = R, tehát az f függvény inverze f : R R, f () := ( 5). 6 (b) Mivel f( ) = f() = 0, az f függvény nem invertálható. (c) A fentebb említett módszert követve kapjuk, hogy f : R \{} R, f () := +. (d) A fentebb említett módszert követve kapjuk, hogy f : R+ R, f () := log. (e) Mivel f(0) = f(π) =, az f függvény nem invertálható. A könnyebbség kedvéért vezessük be a következő jelöléseket. Jelentse H a belső pontok, H a határpontok, H k a külső pontok és H a torlódási pontok halmazát. 4. (a) sup H = 7, inf H =, H = (, ) (5, 7), H = {,, 5, 7}, H k = (, ) (, 5) (7, + ), = [, ] [5, 7]. H (b) sup H = 7, inf H =, H = (, 3), H = {3, 6, 7}, H k = (3, 6) (6, 7) (7, + ), H = (, 3]. (c) sup H 3 = +, inf H 3 =, H3 = (, 5) (5, + ), H 3 = {5}, H3 k =, H 3 = R. (d) sup H 4 = +, inf H 4 = 3, H4 = ( 3, ) (4, + ), H 4 = { 3,, 4}, H4 k = (, 3) (, 4), = [ 3, ] [4, + ). H 4

38 40. Függvénytani alapismeretek (e) sup H 5 = 0, inf H 5 = 3, H5 = ( 3, ) (, 4) (5, 0), H 5 = { 3,,, 4, 5, 0}, H5 k = (, 3) (, ) (4, 5) (0, + ), = [ 3, ] [, 4] [5, 0]. H 5 (f) sup H 6 = +, inf H 6 = 8, H6 = (, + ), H 6 = { 8, }, H6 k = (, 8) ( 8, ), H 6 = [, + ). 5. (a) sup H = +, inf H =, H =, H = R, H k =, H = R. (b) Megegyezik az előző feladat megoldásával. (c) sup H 3 = +, inf H 3 =, H 3 =, H 3 = N, H k 3 = R \ N, H 3 =. (d) sup H 4 =, inf H 4 = 0, H 4 =, H 4 = H 4 {0}, H k 4 = R \ (H 4 {0}), H 4 = {0}. (e) sup H 5 =, inf H 5 =, H 5 =, H 5 = H 5 {}, H k 5 = R \ (H 5 {}), H 5 = {}. (f) sup H 6 = 0, inf H 6 =, H 6 =, H 6 = H 6 { }, H k 6 = R \ (H 6 { }), H 6 = { }. 6. (a) f g : R R, (f g) () := +5 7, g f : R R, (g f) () := ( ) (b) f g : (0, π) R, (f g) () := sin, g f : R+ R, (g f) () := sin. (c) f g : [ 0, π ] R, (f g) () := sin cos, g f : [0, π] R, (g f) () := cos sin. (d) Ekkor g f = f g =. (e) f g : [, 3] R, (f g) () :=, g f : {} R, (g f) () :=.

39 Megoldások 4. Valós számsorozatok. (a) Könnyen belátható, hogy a sorozat határértéke 0. A kérdés megválaszolásához az n < 0 3 egyenlőtlenséget kell megoldanunk, melyből n > 994 adódik, azaz n > 44,6. Tehát a sorozat tagjai a 45. tagtól kezdve lesznek a határérték 0 3 sugarú környezetében. (b) A sorozat tagjai a tagtól kezdve lesznek az adott környezetben. (c) A sorozat tagjai a 5. tagtól kezdve lesznek az adott környezetben.. (a) Belátjuk, hogy a sorozat határértéke 0. Legyen ε R + tetszőleges, de rögzített és n N. Az ( ) n 0 n < ε egyenlőtlenségből n > ε adódik, azaz N(ε) = ε választással állításunkat igazoltuk. (b) Belátjuk, hogy a sorozat határértéke 0. Legyen ε R + tetszőleges, de rögzített. Ekkor minden n N esetén amelyből N(ε) = ε sin n n 0 n, választással állításunk következik. (c) N(ε) = ε választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke.

40 4. Valós számsorozatok (d) Ha n N, n >, akkor n + n + n + < n. Ebből N(ε) = ma {, ε} választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke. (e) N(ε) = 3 ε választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke 0. (f) N(ε) = 5 ε választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke 6. ln ε (g) N(ε) = ln 0,5 választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke 6. ln ε (h) N(ε) = ln 0, választással adódik, hogy a sorozat konvergens és határértéke (a) Mind a számlálót, mind a nevezőt n 3 -nal osztva a n 3 5n + 8 n 3n 3 + n + 7 = 5 n + 8 n 3 n n n 3 egyenlőséget kapjuk, melyből a határérték 4-nek adódik. (b) A határérték 4 3. (c) A sorozat egy korlátos és egy nullsorozat szorzata, így a határértéke 0. (d) A számlálót és a nevezőt is n 3 -nal szorozva könnyen adódik, hogy a határérték. (e) A határérték (a) Könnyen adódik, hogy n ( ) 3n + 4 n = 3n 5 n ( + 4 ) n 3n ( 5 3n ) n = n ( n ) n ( 5 3 n ) n = e 3.

41 Megoldások 43 Megjegyezzük, hogy más úton is célba érhetünk, ha felhasználjuk a következő ismert tételt. Ha c n = 0, c n > és c n 0 n minden n N esetén, akkor ( + c n) cn = e. Ekkor n n = ( 3n + 4 3n 5 ( ( + 9 3n 5 (b) A határérték e 4 5, mivel ) n = n ) 3n 5 9 ( ) 3n n = 3n 5 ) 9n 3n 5 = e 3. n = n ( 5n 5n + 3 ) n+ = n ( ( 4 5n + 3 ( ) (5n + 3) 4 n+ = 5n + 3 ) ) 3 5 ) 5n+3 ( 4 5n + 3 A második egyenlőségben felhasználtuk, hogy ( 4 ) =. n 5n + 3 (c) A határérték e 5 7. (d) n = n ( 6n 6n + 3 [ ( ) n n + 3 = e 4 5. ( ) 4 n +4 = n 6n = + 3 ) 6n + ] 3 [ ( ) 4 6n +3 ( ) ] = n 6n + 3 6n = e =

42 44. Valós számsorozatok (e) A határérték e 6. (f) Felhasználva az ( ) ( ) ( n = n + n) azonosságot a határérték -nek adódik. 5. (a) Felhasználjuk a konvergens sorozatok szorzatára vonatkozó tételt. Így n ( n + 3 3n Megjegyezzük, hogy ) 4n ( ) 4n ( n + 3 = n 3 n ) 4n = 0. n ( n + 3 n ) 4n ( ( = + 3 ) ) n 4 n n = e. (b) Felhasználjuk, hogy n qn = 0, ha q <. Így 3 n+ + n n n = n 9 ( ) 3 n ( 5 ( n ) 5) n = 0. + (c) A korlátos sorozatok és nullsorozatok szorzatára vonatkozó tétel miatt a határérték 0. Itt n és a koszinuszfüggvény korlátos. n 6 4n + = 0 (d) A határérték 0. (Lásd a (b) feladat megoldását!) 6. (a) Vizsgáljuk meg az a n+ a n különbséget. Az a n+ a n = (n + ) + 4 (n + ) + 3 n + 4 n + 3 = 5 (n + 5)(n + 3) < 0 egyenlőtlenségből következik, hogy a sorozat szigorúan monoton

43 Megoldások 45 csökkenő. Az n + 4 (n +,5) +,5 = = n + 3 n + 3 +,5 n + 3 átalakítást elvégezve is megkaphatjuk az állítást. Minden n N esetén < a n. (b) A sorozat szigorúan monoton növekvő. Minden n N esetén 3 a n < 3. (c) A sorozat nem monoton, mert a < a és a > a 3. Ha n, akkor a n+ a n = n 3n + n 3n + 5 = ( 3n + )( 3n + 5) < 0, így a n+ < a n. Ebből minden n N esetén a a n 0 egyenlőtlenségrendszer adódik. (d) A sorozat nem monoton, mert a < a és a > a 3. A páros indeű tagok részsorozata monoton csökkenő sorozat, és minden k természetes szám esetén 0 < a k 3. A páratlan indeű tagok részsorozata monoton növekvő sorozat, és minden k N esetén 3 a k+ < 0. Azaz a sorozat korlátos, és minden n N esetén 3 a n 3. (e) A sorozat nem monoton, mert a < a és a > a 3. A sorozat korlátos, és minden n N esetén 3 a n 4 9. (f) Mivel a n > 0 és a n+ a n = 5 n + minden n-re, így n > 5 esetén a n+ < a n, míg n < 4 esetén a n+ > a n (a 4 = a 5 ). Ebből következik, hogy minden n természetes szám esetén 0 < a n 56 4!. Megjegyezzük, hogy 0 a sorozat értékkészletének a pontos alsó, és 56 4! pedig a pontos felső korlátja.

44 46. Valós számsorozatok (g) A sorozat nem monoton, mert a < a és a > a 3. A sorozat korlátos, és minden n N esetén a n (a) Az eredményt egyszerű átalakítással kapjuk: ( ( ) n + n) = n n + n + + n n n n + + n = = n n + + n = 0. (b) A megoldásban felhasználjuk az a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) azonosságot. ( 3 n n) ( 3 (n 3 + 5) + n 3 ) n n n = n 3 (n 3 + 5) + n 3 = n n 5 (n 3 + 5) + n 3 = 0. n n 3 (c) A sorozat határértéke. ( ) n n (d) Az a n = + n n 3 n 3 + n + 7 átalakítás után könnyen látható, hogy a n = +. n n ( ) n n (e) Az a n = n 4 n + n 7 átalakítás után könnyen látható, n hogy a n =. n (f) A sorozat határértéke 0, ami következő egyenlőségekből és a konvergens sorozatok szorzatára vonatkozó tételből következik. Azaz ( ) ( ( )) n n n n = = n n 3 n = n 3n ( ) ( n 3 n ) n,

45 Megoldások 47 és így n ( ) n = e. n (g) Mivel ( ) n n = n n e és az a n : N R, a n := ( ) n n n sorozat szigorúan monoton növekvő, ezért ( ) n n n < teljesül minden n N esetén. A közrefogási szabályból és a ( ) n 0 a n < egyenlőtlenségekből adódik, hogy a szóban forgó sorozat határértéke 0. 5 (h) Mivel a n = 5n + 9 9n n > 9n 6 n = ( ) 3 n, így 8 a n = +. n 8. (a) A közrefogási szabályból és az < n n + 6n + 7 n 4n = n 4 ( n n ) egyenlőtlenségekből adódik, hogy a határérték. (b) A közrefogási szabályból és az < 3n + 6n + 8n + < n 6n + 8n + n 5n = n 5 ( n n ), egyenlőtlenségekből adódik, hogy a határérték. (c) A közrefogási szabályból és az 5 < n 4 n + 5 n < n 5 n < 5 n egyenlőtlenségekből adódik, hogy a határérték 5.

46 48. Valós számsorozatok (d) A sorozat egy korlátos és egy nullsorozat szorzatára bontható, így a határértéke 0. (e) Az első n természetes szám összegére vonatkozó állítás felhasználásával kapjuk, hogy a n(n + ) n = n n n(n + 5) =. (f) Felhasználva az első n természetes szám négyzetének összegére vonatkozó állítást kapjuk, hogy a n(n + )(n + ) n = n n 6(n + )(n + ) = A sorozat nyilvánvalóan monoton növekvő. A teljes indukció módszerével igazoljuk, hogy a sorozat korlátos. Érvényesek az a = <, a = + a < + = egyenlőtlenségek. Tegyük fel, hogy a n <, ekkor az indukciós feltevésünket felhasználva kapjuk, hogy a n = + a n < + =. Mivel a sorozat korlátos és monoton, így konvergens. Az a n = + a n egyenlőségből következik, hogy a n = + a n. Jelölje a a sorozat határértékét. Felhasználva az előző egyenlőséget és azt, hogy konvergens sorozat részsorozatai is az eredeti sorozat határértékéhez konvergálnak, az a = + a összefüggéshez jutunk. Az egyenlet gyökei és. Mivel a sorozat minden tagja pozitív, így a =.

47 Megoldások Valós számsorok. (a) Mivel így n (n + ) = n minden n természetes szám esetén, n + s n = n(n + ) = = n n + = n +. ( A ) = egyenlőségből következik, hogy a sor n n + konvergens, és összege. (b) Bontsuk az kifejezést parciális törtekre. Az (n + ) (n + 3) (n + ) (n + 3) = = A n + + B (A + B) n + 3A + B = n + 3 (n + ) (n + 3) egyenlőségekből a A + B = 0, 3A + B = egyszerű lineáris egyenletrendszerhez jutunk. Ebből az A =, B = értékek adódnak. Így s n = (n + ) (n + 3) = = ( n + + n + ) = n + 3 = 6 n + 3. ( A n 6 ) = egyenlőségből következik, hogy a sor n konvergens, és összege 6.

48 50 3. Valós számsorok Egyszerűbben megkaphatjuk az előző eredményt, ha észreveszszük, hogy (n + ) (n + 3) = (n + 3) (n + ) (n + ) (n + 3). (c) Az (a) feladatból rögtön következik, hogy a sor összege 4. Az előző megoldáshoz hasonló módon is belátható, hogy n (n + ) = ( n ) n + minden n N esetén. Így s n = ( n ) = n + = 4 n +. ( Mivel n 4 ) = 4n + 4 4, a sor konvergens, és összege 4. (d) Bontsuk az kifejezést parciális törtekre. Az n (n + ) (n + ) n (n + ) (n + ) = A n + B n + + C n + = = (A + B + C) n + (3A + B + C) n + A n (n + ) (n + ) egyenlőségekből az A + B + C = 0, 3A + B + C = 0, A = lineáris egyenletrendszert kapjuk, amelyből az A =, B =, C = értékek adódnak, azaz n (n + ) (n + ) = ( n n + + ). n +

49 Megoldások 5 Most tekintsük az s n kifejezést és használjuk fel az előzőeket. Ekkor s n = (n ) n (n + ) + + n (n + ) (n + ) = ( n n + n + ) + n n + + n + ( A n n + + n + hogy a sor konvergens, és összege 4. n n + n + + ). ( n + + n + = ) = egyenlőségből következik, 4 Megjegyezzük, hogy az összegzés könnyebben átlátható, ha a kapott törteket hármas csoportokban egymás alá írjuk. (e) Mivel 3 n n = 3 (n ) (n + ) = n n + minden n N esetén, így A s n = n 4 n + n 3 n + n n + = = n n n +. ( n 6 n n ) = n + 6 egyenlőségből következik, hogy a sor konvergens, és összege 6.

50 5 3. Valós számsorok. (a) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk a feladat végeredményét: n=0 ( 7 n + 5 ) 3 n = n=0 ( ) n n=0 ( ) n = (b) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk a feladat megoldását: n= n=0 = 6n n= ( 36) ( ) n = = (c) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk, hogy ( + ( ) n 3 5 n+ = ( ) n ( + ) ) n = n=0 (d) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk, hogy n=0 cos nπ 3 n = ( ) n 3 n = n=0 n=0 ( ) n = (e) Mivel sin n π + cos nπ 4 n+3 = 64 n=0 n=0 ( sin n π 4 n + ) cos nπ 4 n, a feladat megoldását két konvergens sor összegéből kapjuk. Felhasználva a cos nπ ( ) n 4 n = 4 n = 4 5 n=0 n=0

51 Megoldások 53 és a n=0 sin n π 4 n = n=0 ( ) 4n+ 4 n=0 ( ) 4n+3 = egyenlőségeket, az eredmény 680. (f) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk meg a feladat végeredményét: ( 3) n + n n=0 8 6 n = 8 ( n=0 ( 3 6) n + ( ) ) n = (g) A konvergens sorok összegére vonatkozó tétel és a mértani sor összegképletének felhasználásával kapjuk meg a feladat végeredményét: nπ cos n 3 = 3n + n=0 n=0 n=0 ( ) n = ( ) n n=0 n=0 3n+ + n=0 n=0 ( ) n = n+ = ( 3. (a) Mivel n ) n ( ) n n = n n n = e, a sorok konvergenciájának szükséges feltétele nem teljesül, tehát a sor divergens. n+ (b) Mivel n n+3 =, az előző indok alapján a sor divergens. (c) Mivel n 0, 00 =, az (a) feladatban említett indok alapján n a sor divergens. (d) Mivel n, 0n = +, az (a) feladatban említett indok alapján a sor divergens. (e) Mivel n n 0 5 n = n 0 5 ( n n) = 0 5, az (a) feladatban említett indok alapján a sor divergens.

52 54 3. Valós számsorok (f) Mivel az a n : N R, a n := (cos nπ) n+ n+ 5n = ( )n 5n sorozat divergens, az (a) feladatban említett indok alapján a sor divergens. 4. (a) Mivel a n+ a n 5 (n + ) 3 n n! = 3 n+ (n + )! 5n = (n + ) n! 3 (n + ) n!n = 0, ezért a d Alembert-féle hányadoskritérium szerint a sor abszolút konvergens. (b) Mivel és 3 e a n+ a n = 3 ( n+ n = 3 3n n+ (n + ) n!nn (n + ) 3 n n! = ) n = 3 e, >, így a d Alembert-féle hányadoskritérium szerint a sor divergens. (c) Mivel a n+ 0, n+ n! 0, a n = = (n + )! 0, n n + = 0, így a d Alembert-féle hányadoskritérium szerint a sor abszolút konvergens. (d) Mivel n 5 n n 7 = 5 ( n n ) 7 = 5 >, így a sor a Cauchy-féle gyökkritérium szerint divergens. A sor divergenciája nyilvánvalóan adódik abból a tényből is, hogy n 5n n 7 = +.

53 Megoldások 55 (e) Határozzuk meg a a n+ a n értékét. Mivel (n + ) n! (n)! (n + ) (n + ) (n)!n! = n + 4n + 6n + = 0, így a d Alembert-féle hányadoskritérium szerint a sor abszolút konvergens. (f) Mivel n 5 a n = 3 5 n n (6n ) 7 n = 5 n n 6n = 5 7 <, így a Cauchy-féle gyökkritérium szerint a sor abszolút konvergens. Az < n 6n < n 6n = n 6 n n egyenlőtlenségekből és a közrefogási szabályból adódik, hogy n 6n =. n 5. (a) Minden n N esetén 6n = n 6n < n + 3 n + 5n. Legyen b n : N R, b n := 6n. Ekkor 0 < b n < n+3 n(n+5) minden n N esetén, és a b n = 6 n sor divergens. Így a minoráns kritérium szerint a sor divergens. (b) Mivel n+3 n(n+5) n a n = n 3 n (5n + ) 3 n = n 3 3 n 5n + = 3 <, így a sor a Cauchy-féle gyökkritérium miatt konvergens. Az < n 5n + n 6n = n 6 n n egyenlőtlenségből és a közrefogási szabályból adódik, hogy n 5n + =. n

54 56 3. Valós számsorok (c) Mivel n n n n) a n = n 3 n = ( = 3 3 <, így a sor a Cauchy-féle gyökkritérium miatt konvergens. (d) Minden n N esetén n n 4 + n + < n n 4 = n 3. Legyen b n : N R, b n :=. Ekkor 0 n n 3 n 4 +n + minden n N esetén, és a b n = n 3 < b n sor konvergens. Így a majoráns kritérium miatt a n sor abszolút konvergens. n 4 +n + (e) Határozzuk meg a értékét. Mivel a n+ a n e n e (n + )! (n + 3) (n + ) (n + )!e n = = e (4n + 0n + 6) = 0, így a sor a d Alembert-féle hányadoskritérium miatt abszolút konvergens. (f) Minden n N, n esetén n < n. Legyen most b n : N R, b n := n. Ekkor 0 < b n < n minden n N, n esetén, és a b n = n sor divergens. Így a minoráns kritérium miatt a 6. (a) Minden n N esetén arctg n n + n + < n π n + n + < sor divergens. π 4n.

55 Megoldások 57 Legyen b n : N R, b n = π 4. Ekkor 0 < n arctg n n +n+ < b n minden n N esetén, és a b n = π 4 sor konvergens. Így a majoráns kritérium miatt az adott sor konvergens. (b) Határozzuk meg a értékét. Mivel a n+ a n (n + ) n! e n n n ee n (n + ) (n + ) n = n! e n ( n+ n ) n = e <, így a d Alembert féle hányadoskritérium miatt az adott sor konvergens. (c) Minden n N esetén n < n + 3 n + n +. Legyen b n : N R, b n := 3. Ekkor 0 < b 3n n < 3 n+ 3 n +n+ minden n N esetén, és a b n = n sor divergens. Így a minoráns kritérium miatt a sor divergens. 3 n+ 3 n +n+ (d) Minden n N esetén (arcsin n) n 4 + < π n 4. Legyen b n : N R, b n := π. Ekkor 0 < n arcsin n 4 n 4 + b n minden n N esetén, és a b n = π sor konvergens. Így a majoráns kritérium miatt a (e) Minden n N esetén arcsin n n 4 + n 4 n + 3 n 4 + 3n + 4 > 3 n. sor konvergens.

56 58 3. Valós számsorok Legyen b n : N R, b n := 3 n. Ekkor 0 < b n+ n < 3 n 4 +3n+4 minden n N esetén, és a b n = 3 n sor divergens. Így a minoráns kritérium miatt a n+ 3 n 4 +3n+4 sor divergens. (f) A Cauchy-féle gyökkritérium alkalmazásával egyszerűen igazolható, hogy a sor abszolút konvergens. (g) Könnyen belátható, hogy az a n : N R, a n := n+ n(n+3) sorozat monoton csökkenő nullsorozat. A váltakozó előjelű sorokra vonatkozó Leibniz-tétel miatt a sorozat konvergens. (h) Az előző feladathoz hasonlóan igazolható, hogy a sorozat konvergens.

57 Megoldások Valós függvények határértéke. (a) A sin 0 = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz 0 3 (4 + ) ( + cos ) ( cos ) ( + cos ) = (4 + ) ( + cos ) 0 ( cos = ) = 0 sin (4 + ) ( + cos ) =. (b) A sin 0 = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz 0 3 ( + ) ( + cos ) 5 ( cos ) ( + cos ) = ( + ) ( + cos ) 0 5 ( cos = ) = 0 5 sin ( + ) ( + cos ) = 4 5. (c) A sin 0 = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz ( cos 3) ( + cos 3) cos 3 0 = cos ( + cos 3) 0 cos ( + cos 3) = = 0 = 0 9 sin 3 cos ( + cos 3) = ( sin 3 3 ) cos ( + cos 3) = 9. sin (d) A 0 = ismert határérték felhasználásával, egyszerű

58 60 4. Valós függvények határértéke átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz (e) A 0 ( cos 5) ( + cos 5) ( + cos ) ( + cos 5) = cos 5 = 0 ( + cos ) ( + cos 5) = = 0 sin 0 = 0 5 sin 5 ( + cos ) ( + cos 5) = ( sin 5 5 ) ( + cos ) ( + cos 5) = 5 4. = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz 0 (f) A sin cos sin 3 = cos 0 sin sin cos = 0 3 cos sin sin = 0 3 cos ( + cos ) = ( sin = 0 sin 0 sin sin cos cos 3 cos = sin ( cos ) + cos = 0 3 cos + cos = ) 3 cos ( + cos ) =. = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz 0 = 0 sin ( cos ) + cos 3 cos 3 + cos = sin sin 3 cos 3 ( + cos ) = ( sin = 0 ) 3 cos 3 ( + cos ) = 4.

59 Megoldások 6 (g) A sin 0 = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz (h) A sin (cos ) 0 sin = 0 sin 0 sin (cos ) cos = 0 sin = cos ( cos ) cos ( sin ) cos = = 0. sin (cos + ) 0 sin ( + cos ) = ismert határérték felhasználásával, egyszerű átalakítások után adódik a feladat végeredménye. Azaz 0 sin m n m m sin n n = 0 sin m m n sin n m n = m n.. (a) A kifejezést a eredményt: +a+ +b +a+ +b + hányadossal bővítve kapjuk az + a b + a + + b = (a b) = + + a + + b = = + a b + a + + b = a b. (b) Az előző feladat megoldásában alkalmazott ötlet segítségével adódik a megoldás: = = = =

60 6 4. Valós függvények határértéke (c) (d) + + = ( 3) ( + 3) = (e) A határérték 6. (f) A határérték. 3. (a) A határérték. (b) (c) (d) = (e) A határérték. = +. = 0. (f) Egyszerű bővítéssel adódik az eredmény: 0 ( = ( ) = = ) =

61 Megoldások 63 (g) Egyszerű bővítéssel adódik az eredmény: ( ) = = ( 0 ) = (a) (b) + + = + [ ( + + = = 0. [ ( = ) ] ) ] = = = 5. (c) + = + [ ( + a + a + a + = ) ] + a + + a + + = a + a + = a. (d) Használjuk fel az a 3 b 3 = (a b)(a +ab+b ) azonosságot. Bővítsünk a 3 ( +a) + 3 ( +a)( a)+ 3 ( a) 3( +a) + 3 ( +a)( a)+ 3 kifejezéssel. Ekkor ( a) a ( + a) + 3 = 0. 4 a + ( 3 a) + 3

62 64 4. Valós függvények határértéke (e) Használjuk fel a + = + [ ( ( + + ) = e ismert határértéket: ) ( ) ] = 4 3 (4 ) + 4 = ( Egy lehetséges másik út a megoldáshoz a következő: ) 4 = e 5. + = e 5. ( ) [ ( = + 5 ) ] = (f) Az előző feladathoz hasonlóan: + = + ( ) ( = e 5. ) = + ( ) 6 5 = (g) Az előzőekhez hasonló módon: ( 5 π ( π = + + ) 4 ( 5 ) π 5 + = ) (e ) π 4 = e

63 Megoldások 65 (h) A megoldás az előzőekhez hasonló módon történik. + ( ) = + 3 ( ) = e 7 3 = ( ) = 5. A = 4 π. 6. (a) Használjuk fel azt, hogy +0 = +, illetve 0 =. Így +0 0 ( ( + ) ) = +, ( ( + ) ) =. (b) Az előző feladathoz hasonlóan oldható meg. Ekkor ( ) =, + ( ) = +, + ( ) =, + ( ) =

64 66 4. Valós függvények határértéke (c) (d) ( ( + ) 4 ( ( + ) 4 ( ( + ) ( ( + ) ( ) + 3 =, ( ) + 3 (e) Felhasználjuk az ismert (f) illetve 0+0 ) =, ( ) ) = +, ( ) ) = +, ( 4) ) =. ( 4) 0 0 = +, = +, + 3 = +, határértékeket. ( Ekkor ) ( + 3) 7. (a) 3+0 (b) 3 + ( ) + 3 = +, ( ) + 3 =. 0 0 =, 3 = 0 ( = 0, ( + 3) = = = +, ( ) = = +. ) = =.

65 Megoldások 67 (c) (d) 0 ( ) = 0 arctg 0+0 = π, 0+0 arcsin = +, arctg 0 0 = π. 0 0 arcsin =. =.

66 68 5. Valós függvények differenciálhányadosa 5. Valós függvények differenciálhányadosa. (a) Legyen 0 tetszőleges valós szám. Ekkor f () f ( 0 ) 3 + ( + = ) = = + 0 = 0 ( 0 ( 0 ) ) 0 + ( 0 ) ( + 0 ) = = 0 ( 0 = ) = , 0 azaz a függvény differenciálható 0 -ban, és f ( 0 ) = (b) Legyen 0 tetszőleges valós szám. Ekkor g () g ( 0 ) = 0 0 = ( ) 0 = = 0 ( 0 )( + 0 ) + ( 0 ) 0 = 0 +, azaz a g függvény differenciálható 0 -ban, és g ( 0 ) = Legyen 0 0 tetszőleges valós szám. Ekkor f () f ( 0 ) = = = 0 0, = = azaz a függvény differenciálható 0 -ban, és f ( 0 ) =. 0

67 Megoldások Legyen 0 tetszőleges valós szám, ekkor f () f ( 0 ) n n 0 = = ( 0 )( n + n n = ) = n n 0, azaz a függvény differenciálható 0 -ban, és f ( 0 ) = n n (a) Mivel és f () f ( 0 ) = =, f () f ( 0 ) = =, azaz a függvény jobb és bal oldali differenciálhányadosa az 0 = 0 pontban nem egyenlő. Tehát a függvény az adott pontban nem differenciálható. (b) Tekintsük a függvény 0 = 0 ponthoz tartozó differenciahányadosát: = sin 0. g () g ( 0 ) Ha n : N R, n := (n )π, akkor az n sorozat nullához konvergál. Ebben az esetben a hozzá tartozó sin n sorozat nem konvergens, így a g függvény az adott pontban nem differenciálható. (c) Mivel h () h ( 0 ) sin = =,

68 70 5. Valós függvények differenciálhányadosa és h () h ( 0 ) sin = =, azaz a h függvény jobb és bal oldali differenciálhányadosa a 0 pontban nem egyenlő, a függvény az adott pontban nem differenciálható. A fejezet további feladataiban a D f = D f egyenlőség miatt nem adjuk meg az f értelmezési tartományát. 5. (a) f () = (b) f () = π. (c) f () = sin ( ) + ( cos + ) ( ln 3). (d) f () = ( + + ) (5 + ) + (ln + arctg ) ( ln ). (e) f () = 6 π cos arctg ( 6π tg + 6 ) + arctg. ( ) π sin 3 cos + ( (f) f + 7 ln ) () = ( + 7 ln ) (π cos 3 sin + ) ( + 4 ln ( )) ( + 7 ln ). 6. (a) f () = 7 +6 ln 7. (b) f () = sin ( + ) ( ) +. (c) f () = ( 7 + ) 76. (d) f () = cos ( sin ). (e) f () = sin 6 + ( + e ) 6 sin 5 cos. (f) f () = sin ln cos.

69 Megoldások 7 (g) f () = ( 3 3 ln + 3 ln ln 3 ). ln (h) f 6 4 ( + )3 () = (i) f () = 4 (ln tg ) tg cos. (j) f () = ln ln ln. (k) f () = sin (arctg 3 ) cos (arctg 3 ) +( 3 ) (l) A függvény differenciálhányadosát a következő kifejezés adja: 7 + π 4 cos 3 ( sin ) (7 + π) cos 4 6 cos 4 (7 + π). (m) f () = ( 7 3 π ) + 4. (n) f () = 0, mivel f konstansfüggvény. (o) f () = ln 6 tg + tg cos ( + ) tg ln ( + ). (p) Mivel f() = π sin, így f () = π (ln 3) cos sin 3 sin. (q) f () = 8 ( e cos ( sin ) tg ln 3 ) cos (e cos tg ). 7. (a) Végezzük el az = e ln = e ln átalakításokat, majd alkalmazzuk az összetett, illetve szorzatfüggvényre vonatkozó differenciálási szabályokat. Így f () = e ln (ln + ) = (ln + ).

70 7 5. Valós függvények differenciálhányadosa (b) Az előző példa alapján kapjuk, hogy f () = e ln sin ( ln sin + sin cos ). Az eredményt felírhatjuk f () = (sin ) ( ln sin + sin cos ) alakban is. (c) Az előzőek alapján kapjuk, hogy f () = e cos ln sin ( sin ln sin + cos sin cos ). (d) Az előzőek alapján kapjuk, hogy ( ) f () = e ln ln ln ln + ln. (e) Az előzőek alapján kapjuk, hogy f () = e ln ( ln + ). (f) Térjünk át természetes alapú logaritmusra, majd alkalmazzuk az összetett, illetve a hányados függvényre vonatkozó differenciálási szabályokat. Így f() = ln cos ln és f cos () = ( sin ) ln ln cos ln. 8. (a) A deriváltak minden valós esetén a következők: f () = , f () = +, f (3) () = 4 +, f (4) () = 4. (b) Könnyen belátható, hogy f (4) () = 0, minden R esetén. (c) A deriváltak minden valós esetén a következők: f () = e + ( sin ), f () = 4e + ( cos ), f (3) () = 8e + sin, f (4) () = 6e + cos. (d) A deriváltak minden valós esetén a következők: f () =, f () = 8, ( +) ( +) 3 ( +) f (3) () = , f (4) () = ( +) 4 ( +) 3 ( +) 5 ( +) 4 ( +) 3 (e) A deriváltak minden valós esetén a következők: f () = sin + cos, f () = cos sin, f (3) () = 3 sin cos, f (4) () = 4 cos + sin.

71 Megoldások (a) Az első néhány differenciálhányados a következő: f () = +, f () = ( + ), f (3) () = ( ) ( ) ( + ) 3, f (4) () = ( ) ( ) ( 3) ( + ) 4. Azt állítjuk, hogy f (n) () = ( ) n (n )! ( + ) n minden n N esetén. A bizonyítást teljes indukcióval végezzük. Az előzőekből következik, hogy n = esetén igaz az állítás. Legyen n >. Megmutatjuk, hogy ha valamely n természetes számra igaz az állítás, akkor igaz (n + )-re is. Az n-edik differenciálhányados deriváltjából egyszerűen következik az állítás, azaz f (n+) () = ( ) n n! ( + ) (n+), és ezzel az állítást bizonyítottuk. (b) Az előzőhöz hasonló módon teljes indukció segítségével igazolható, hogy { minden R esetén e f (n) +e () =, ha n páros, e e, ha n páratlan. Az f : R R, f() := e e függvényt szinusz hiperbolikusz függvénynek, az f : R R, f() := e +e függvényt koszinusz hiperbolikusz függvénynek nevezzük. (c) Az előzőhöz hasonló módon teljes indukció segítségével igazolható, hogy minden R és k N {0} esetén n cos + sin, ha n = 4k, f (n) n sin + cos, ha n = 4k +, () = n cos sin, ha n = 4k +, n sin cos, ha n = 4k + 3. (d) Az előzőekhöz hasonló módon teljes indukció segítségével igazolható, hogy minden R esetén f (n) () = e ( + n + n (n ) ).

72 74 6. A differenciálszámítás alkalmazásai 6. A differenciálszámítás alkalmazásai. (a) A határérték. (b) A határérték 0 0 típusú, a l Hospital-szabály alkalmazásával szá- e mítható ki. Így e 0 sin = 0 e +e cos =. (c) A határérték 0 0 típusú, a l Hospital-szabály alkalmazásával számítható ki. Így sin sin cos cos = = 0 sin cos 5 5. Természetesen néhány esetben a l Hospital-szabály alkalmazása nélkül is célba jutunk. Ebben az esetben járható lenne a következő út is: sin sin sin ( cos ) = = 0 sin 5 0 sin 5 sin = 0 sin 5 ( cos ) = 5. sin Felhasználjuk, hogy 0 sin 5 = 5 5 sin 0 sin 5 = 5. (d) A határérték 0 0 típusú, a l Hospital-szabály alkalmazásával számítható ki a határérték. Így ln 5 ln 5 0 = ln 5 ln. (e) A határérték, mivel a 0 sin e 0 ( cos sin ) = e 0 sin = ( e ) ( = 0 sin sin = e ), 0 sin sin = ismert határérték, a második tényezőre pedig alkalmazhatjuk a l Hospital-szabályt.

73 Megoldások 75 (f) A határérték típusú. Egyszerű átalakítás után a kitevőre alkalmazzuk a l Hospital-szabályt, és felhasználjuk, hogy az eponenciális függvény folytonos. Így ( ) = 0+0 e( ) ln(+3) = e ln(+3) = 0+0 = e 6.. (a) + e = + e = 0. (b) A határérték típusú. Végezzük el a ( ) = = + e3 ln(+ ) átalakítást, majd a kitevőben lévő kifejezésre (némi átalakítás után) alkalmazzuk a l Hospital-szabályt. Így + = + ln ( + ) = 3 ( ) + + ( ) 3 4 = = = +. Az e alapú eponenciális függvénynek a + -ben vett határértéke adja a feladat megoldását, azaz a kérdéses határérték +. (c) A határérték 0 0 típusú, a l Hospital-szabály alkalmazásával számítható ki a határérték. Így 6 +(6) 0 5 = 6 5. (d) A határérték ( ) 0 típusú. Egy egyszerű átalakítás után a l Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk meg az eredményt. Így ln 0+0 sin = 0+0 sin = 0+0 cos = (sin ) cos = 0+0 sin 0+0 cos sin sin = 0. cos =

74 76 6. A differenciálszámítás alkalmazásai (e) A határérték 0 0 típusú. Végezzük el a 0+0 sin = sin eln 0+0 átalakítást. Az előző feladat és az eponenciális függvény folytonosságának felhasználásával a határérték -nek adódik. (f) A határérték típusú. Egy egyszerű átalakítás után alkalmazzuk a l Hospital szabályt, és így 5 = e 5 ln = e (g) A határérték 0 típusú. Egy egyszerű átalakítás után a l Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk meg az eredményt: sin + = + = + cos = +. ( ) ( ) cos 3 = cos + Érdemes megemlíteni a feladat megoldásának egy másik lehetséges útját is, ami azért érdekes, mert megmutatja számunkra, hogy a l Hospital-szabály mellőzésével is célba érhetünk. Végezzük el a t := helyettesítést. Ekkor = sin + = sin + sin t = = +. t 0+0 t t 3. (a) A határérték típusú. Közös nevezőre hozás után a l Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk meg az eredményt. Így e e 0+0 e = 0+0 e = 0.

75 Megoldások 77 (b) A határérték típusú. Közös nevezőre hozás után a l Hospital-szabály alkalmazásával kapjuk meg az eredményt. Így cos sin 0 = 0 =. (c) A határérték típusú. Az azonos alapú logaritmusokra vonatkozó azonosságok miatt ln e ln ( + ) e = ln +. Ebben az esetben a l Hospital-szabály kétszeri alkalmazásával és a természetes alapú logaritmusfüggvény tulajdonságainak felhasználásával érhetünk célba. Így és + e + + = e + = ( ln e ln ( + )) = + ln e + = +, e + = +. (d) A határérték típusú. Az azonos alapú logaritmusokra vonatkozó azonosságok miatt ln e ln ( + e ) = ln e. +e A l Hospital-szabály háromszori alkalmazásával és a logaritmusfüggvény tulajdonságainak felhasználásával kapjuk meg az eredményt. Így és + + e + e = 8e + e 4 + e = = + e = + 8e = +, ( ln e ln ( + e )) = e 4 + e = (e) A határérték típusú, a l Hospital-szabály háromszori alkalmazásával számítható ki a határérték. Így 3 (ln ) + = 6 + (ln ) = 3 + ln = 6 + = 0. (ln ) = 3 + =

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató

Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Tárgykód(ok): INDK111E, INDK111G Félév: 2015/2016-I. Előadó: Boros Zoltán Óraszám: 2 + 2 (előadás + tantermi gyakorlat) Kredit: 5 (kötelező) Előfeltétele:

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben