I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i"

Átírás

1 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex számok: z = + i, z = i, z = i. Határozza meg az alábbiakat: (a) + i (b) i (c) i (d) + i (e) (f) + (g) 5 + i (h) 5i (i) + i (j) 5 i (k) 5 i (l) 6 (m) 6 (n) + 5 i (o) 5 i (p) i (q) i (r) 5 i (s) 5 i (t) 5 i (u) () Legyen z = (cos 60 + i sin 60 ) valamint z = (cos 0 + i sin 0 ). Határozza meg az alábbiakat: (a) (b) (c) 6(cos 80 + i sin 80 ) (d) (cos 00 + i sin 000 ) (e) (cos 80 + i sin 80 ) (f) (cos 60 + k 60 + i sin 60 + k 60 ) k = 0,, (0, 0, 60 ) (g) (cos 0 + k 60 + i sin 0 + k 60 ) k = 0,,, (0, 0, 0, 00 ) (h) 6(cos 80 + k 60 + i sin 80 + k 60 ) k = 0, (90, 70 ) () Töltse ki az alábbi táblázatot: Algebrai alak Trigonometrikus alak + i (cos 5 + i sin 5 ) i (cos 00 + i sin 00 ) + i (cos 5 + i sin 5 ) (cos 0 + i sin 0 ) i (cos 90 + i sin 90 ) (5) Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán: (a) z = 8 + i (b) z = + i, z = i (c) z = + i,z = (d) z =, z = (e) z = i, z = i (f) z = 6 (cos 5 + k 60 + i sin 5 + k 60 ) k = 0,, (5, 65, 85 ) (g) z = 0(cos 7, 57 + k 60 + i sin 7, 57 + k 60 ) k = 0,,,,, (, 9, 7, 9,, 9, 9, 9, 5, 9,, 9 ) (h) z,, = (cos 90 + k 60 z,5,6 = (cos 70 + k 60 (i) z,,, = (cos 90 + k 60 z 5,6,7,8 = 8 (cos 5 + k 60 (j) z,, = (cos 90 + k 60 z,5,6 = (cos 5 + k 60 (6) Végezze el a kijelölt műveleteket: + i sin 90 + k 60 ) k = 0,, (0, 50, 70 ) + i sin 70 + k 60 ) k = 0,, (90, 0, 0 ) + i sin 90 + k 60 ) k = 0,,, (, 5,, 5, 0, 5, 9, 5 ) + i sin 5 + k 60 ) k = 0,,, (, 5, 0, 5, 9, 5, 8, 5 ) + i sin 90 + k 60 ) k = 0,, (0, 50, 70 ) + i sin 5 + k 60 ) k = 0,,, (5, 5, 55 )

2 (a) + i (b) (cos 00 + k 60 (c) (cos 75 + i sin 75 ) (d) + i + i sin 00 + k 60 ) k = 0,, (00, 0, 0 ) (e) + 5 i (7) Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán: (a) z = + 7i (b) z = i (c) z = 7 i (d) z = 5 7 i (e) z = 0, z = i, z = i, z = (f) z = 0, z =, z = + i i i, z = (g) z = i, z = i (h) z = i, z = i (8) Határozza meg az alábbi komplex számok trigonometrikus alakját: (a) z = (cos 5 + i sin 5 ) (b) z = (cos 5 + i sin 5 ) (c) z = (cos 5 + i sin 5 ) (d) z = (cos 0 + i sin 0 ) (e) z = cos 60 + i sin 60

3 () Töltse ki az alábbi táblátatot: II. feladatsor f(x) g(x) f(g(x)) g(f(x)) f(f(x)) sin(x) x sin(x ) sin (x) sin(sin(x)) sin(x) + x + x sin( x) + x + sin x + x + sin(sin(x) + x + ) + sin x + x + + x + x + x x x+ + cos(x) x cos(x ) cos (x) cos(cos(x)) sin(x) x sin( x ) sin(x) sin(sin(x)) lg(x) x + x lg(x + x ) lg (x) + lg(x) lg(lg(x)) arcsin(x) x arcsin( x) arcsin(x) arcsin(arcsin(x)) ln(x) e x x x ln(ln(x)) ln(x) x ln(x ) ln (x) ln(ln(x)) ln(x) ln(x) ln(ln(x)) ln(ln(x)) ln(ln(x)) () Határozza meg a valós számok legbővebb részhalmazát, ahol az alábbi függvények értelmesek: (a) D f =] ; [ ] ; ] [5; [ (b) D f =] ; ] \ { } (c) D f = R \ {} (d) D f = R \ { } (e) D f =] ; [ ]; [ (f) D f = [ ; [ (g) D f =] ; [ (h) Három kikötést kell tenni: arccos(x) értelmezési tartománya: [, ]. Jelölje ezt H. ln(x) értelmezési tartománya: ]0, [. Jelölje ezt H. a nevező nem lehet nulla. Jelölje ezt H. Ezekket: D f = H H \ H Ezeket külön-külön megoldjuk: azaz H = [ ; ] azaz H =] ; [ x + \ x x + > 0 \ x > ln(x + ) 0 = ln a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x + \ x azaz H = { } Vagyis: D f = H H \ H =] ; ] () () Határozza meg az alábbi függvények inverz függvényét, ha létezik: (a) D f = R, R f = R, D f = R, R f = R, f(x) = x + 6 (b) D f = [ ; [, R f = [0; [, D f = [0, [, R f = [, [, f(x) = x 6 (c) D f = R \ { 5}, R f = R \ { 6}, D f = R \ { 6}, R f = R \ { 5}, f(x) = x (d) D f = R, R f =], [, D f =], [, R f = R, f(x) = log (x ) + 7 (e) D f =]5, [, R f = R, D f = R, R f =]5, [, f(x) = 5x (f) D f = R, R f = [, [ de így nem invertálható. D f = [, [, R f = [, [, D f = [, [, R f = [, [, f(x) = x +

4 (g) D f = R \ {}, R f = R \ {}, D f = R \ {}, R f = R \ {}, f(x) = x + (h) D f = [ ; ] = R f, R f = [0; π] = D f, f(x) = ( ( ) ) x π sin + (i) D f = R = R f, R f = [ π ( ; 0] = D f, f(x) = tg x + π ) + (j) D f = R, R f = [ ; ] de így nem invertálható. Leszűkítés pl.: D f = [π; 5π] = R f, R f = [ ; ] = D f, f(x) = arccos(x + ) + π (5) Páros, páraltlan vagy egyik sem az alábbi függvény: (a) f(x) = e x x, f( x) = e x x azaz egyik sem. (b) f(x) = e x sin x, f( x) = e x sin x, azaz páratlan. (c) f(x) = x + cos x +, f( x) = x + cos x +, azaz páros.

5 III. feladatsor () Adja meg az a n = 5n n + sorozat következő elemeit: a =, a = 9 5, a n+ = 5n + n +, a n = () Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából: (a) Szigorúan monoton csökkenő, K = a = 5 k = a n = 0. (b) Szigorúan monoton nő, k = a = K = a n = (c) Se nem csökken, se nem nő. K = k =, a n = 0 5n 6 n 5. (d) A harmadik tagtól kezdve szigorúan monoton csökkenő. K = a = 7 k = a = 0, a n = () Adottak az alábbi konvergens sorozatok. Adja meg a határértéket, és azt a küszöbindexet, amelynél nagyobb indexű tagjai a sorozatnak ε = -nál kisebb hibával közelítik a határértéket! 00 (a) a n =, n 0 = 00 (b) a n =, n 0 = 96 (c) a n =, n 0 = (d) a n =, n 0 = 80 () Határozza meg az alábbi nevezetes sorozatok határértéket: (a) a n = (b) a n = 0 (c) a n = (d) a n = (e) a n = (f) a n = 0 (g) a n = e (h) a n = (i) a n = 0 (j) a n = (k) a n = 0 (l) a n = (5) A nevezetes sorozathatárértékek ismeretével és a műveletekre vonatkozó tételek segítségével határozza meg mely sorozatok konvergensek és mi a határértékük! (a) a n = (b) a n = (c) a n = (d) a n = (6) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = 5 (c) a n = 7 9 (e) a n = 0 (g) a n = (i) a n = (b) a n = 5 (d) a n = 0 (f) a n = 0 (h) a n = (j) a n = 7 (l) a n = (k) a n = 7 (7) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = 5 (c) a n = 5 6 (e) a n = (k) a n = 5 (b) a n = (d) a n = 0 (f) a n = (l) a n = (8) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = (b) a n = (c) a n = (d) a n = 0 (e) a n = (f) a n = 0 (g) a n = (h) a n = (9) Határozza meg a következő sorozatok határértékét:

6 (a) a n = e (c) a n = (e) a n = e (g) a n = e (i) a n = e (k) a n = 0 (m) a n = (o) a n = (q) a n = 0 (s) a n = (b) a n = e (d) a n = (f) a n = e (h) a n = e (j) a n = e 7 (l) a n = 0 (n) a n = (p) a n = e (r) a n = e (t) a n = 0

7 IV. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvényhatárértékeket a függvény grafikonjának ismeretében: (a) x + x = +, x x = (b) x + x = 0, = 0, nem létezik x x x 0 x (c) x + x = 0, = 0, x x x 0 x = + (d) x nem létezik, x = 0 x 0 x 0 + (e) x + x =, x x = 0 ( ) x ( ) x (f) = 0, = + x + x (g) lg x nem létezik, lg x =, x 0 + (h) log x 0 (i) (j) (k) x + x 0 lg x = + x + x nem létezik, log x = +, log x 0 + x + x = sin x nem létezik, sin x nem létezik x tg x = + x π arcsin x = π x +, arcsin x nem létezik, x (l) arctg x = π x +, arctg x = π x (m) arccos x = π, arccos x nem létezik x + x (n) arcctg x = 0, arcctg x = π x + x (o) (p) (q) f(x) = x arcsin x = π { x + ha x x ha x < f(x) =, f(x) = 0, f(x) nem létezik, f(x) = 8 x + x x x f(x) = { x ha x < x ha x f(x) = +, f(x) = +, f(x) nem létezik, f(x) = x + x 0 x x 9 {( ) x f(x) = ha x x ha x < ( f(x) = 0, f(x) =, f(x) = x x x 0, f(x) = x 0 () Határozza meg az alábbi függvények x 0 -beli határértékét: (a) (b) (c) x x f(x) =, x f(x) = f(x) =, x f(x) = f(x) = x, f(x) = x (d) f(x) = 7 x, f(x) = 7 x (e) f(x) = 0, f(x) = 0 x x (f) f(x) =, f(x) = x x (g) (h) f(x) =, f(x) =, f(x) = 5 x x x, f(x) =, f(x) nem létezik x 0 x f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) nem létezik, f(x) = x x x 0 x, f(x) = x, f(x) nem létezik x (i) f(x) = x 0, f(x) = 0, f(x) =, f(x) nem létezik x x x (j) f(x) = nem létezik, f(x) = 0 x x (k) f(x) = 0, f(x) = 0 x x 0 (l) f(x) =, f(x) = x x (m) x 0 f(x) =, x f(x) = 0 )

8 (n) f(x) =, f(x) = x x () Határozza meg az alábbi határértékeket: (a) x 0 x 5 x 5 + x = 5 sin(x) (c) = x 0 x sin 5x (e) x 0 sin 7x = 5 7 e 5x (g) = 5 x 0 7x 7 (b) x 0 x x + x = sin 5x (d) x 0 7x = 5 7 tg 5x (f) x 0 x = 5 e x (h) x 0 sin(x) = ( e x arctg x 0 x ) (i) e x = (j) = π x ( (k) ) 5x ( ) x+ = e 5 x + (l) = e x x + x x + 6 ( ) x+ ( ) x x + (m) = e 5x (n) = e 7 5 x x + x 5x + 7 ( ) x+ ( ) x x + x + 5 (o) = 0 (p) = 0 x x + x 7x ( ) x+ ( ) x x + 5x + (q) = (r) = x x x x + ( x ) x+ ( ) x + x + (s) x x = (t) = x x ( x ) x + + ( x (u) x x = e + x + 0 (v) x x + 0 (w) e x = (x) e x = 0 x 0+ ( ) x 0 (y) arctg = π ( (z) x + x arcsin ) = π x x ) x+ = e

9 V. feladatsor () Adja meg az x 0 helyhez tartozó differenciahányados függvényt, a differenciálhányados értékét a definíció alapján: (a) f(x) = 5, x 0 =, x 0 = d (x) = 5 5 x = 0 f () = 0 d (x) = 5 5 x + = 0 f ( ) = 0 (b) f(x) = x, x 0 =, x 0 = d (x) = x + x x = x f () = d (x) = x + = x f ( ) = (c) f(x) = x + x, x 0 =, x 0 =, x 0 = x 0 = -ban a függvény nincs értelmezve. x + x x d (x) = = + = + f () = + x x x + x + x x d (x) = = + = + f () = + x x x + () Adja meg az alábbi függvények szelő egyeneseinek egyenletét, valamint az érintő egyenesek egyenletét: (a) f(x) = x +, P (0, ), P (, 5) e : y =, e : y = 8x, sz : y = x + (b) f(x) = x, P (, ), P (, ) e : y = x +, e : y = 9 x, sz : y = 6 x + 6 () Határozza meg az alábbi függvények deriváltfüggvényeit: (a) f (x) = 5 x x x (b) f (x) = ( ) x ln cos x (c) f (x) = 6x + x ln (d) f (x) = x + sin x 5 x (e) f (x) = cos x tg x + sin cos x (f) f (x) = e x ln x + e x x (g) f (x) = x ln 0 arcsin x + lg x x (h) f (x) = x lg x + x x ln 0 (i) f (x) = 0x arctg x + x 5 + x (j) f (x) = sin x + ln x cos x x (k) f (x) = cos x (l) f (x) = sin x (m) f (x) = ex sin x e x cos x sin x (n) f cos (x) = x ln x tg x x ln x (o) f (x) = (x ln x )(x + ) ( x x ) (x + ) (p) f (x) = x sin x ( x + 5) cos x 9 sin x (q) f (x) = sin x (ex + ) cgtx e x (e x + ) (r) f (x) = cos(x ) x (s) f (x) = (sin x) cos x (t) f (x) = x + x (u) f (x) = e x x + (x + x( ) (v) f (x) = e tg x ln(x +cos x) ln(x ) + cos x) x sin x cos + tg x x + cos x (w) f (x) = x x (ln x + )

10 (x) f (x) = (sin x) cos x ( cos x cos x ln(sin x) sin x) ( ) sin x( x + (y) f (x) = cos x + x (x + ) ( x + x ) ) x + ( x ln + x) ( x + x ) (z) f (x) = (x + ) arctg x ( x x + arctg x + ln(x + ) + x (aa) r (ϕ) = ϕ ln ln ϕ + ϕ ϕ (ab) V (t) = 6t 5 cos(t) t 6 sin(t) (ac) h (t) = p 5 +, p valós paraméter (ad) h (p) = t5 p 7p 6, t valós paraméter (ae) f (x) = sin x ( x + x ) x+ + ctg x ( ( x + x ) x+ x + x ln (x + ) + ln( ) x + x ) x + x () Határozza meg az alábbi határértékeket: arcsin(5x) = 5 x + x 0 x x x + x + = ln(x)) = 0 x 0 +(x x 0 xx = ( + + x ( = e x x) x + x ) = ( x sin x ln x x 0 x sin x = 0 x 0 + x ) = 0 sin x x x = e cos x x x 0 x = ln x x x = arctan x = x 0 x x x x = x 0 x 0+ x)x = x 0 +(ctg x) x = 5x x ln x = x 0+ (ex + x) x = e x ln(x + )) = ln x tg x = 0 x 0+ (5) Írja fel az alábbi f(x) függvények m meredekségű érintőinek egyenletét: (a) x =, e : y = 6x + 5, x =, e : y = 6x + (b) x = 5, e : y = 0x + 6, x = 7, e : y = 0x + 7 (c) x =, e : y = 6 x + 0, 68, x =, e : y = x 0, 59 6 (6) Hol növekvő, hol csökkenő, hol van lokális szélsőértéke és milyen a szélsőérték jellege az f(x) függvénynek, ha a derivált függvénye az alábbi: (a) f (x) = (x + )(x ) ] ; [ ] ; [ ], [ f (x) f(x) lok. min. - (b) f (x) = (x + 5) (x ) x ] ; 5[ 5 ] 5; [ ]; [ ], [ f (x) X + f(x) - lok. max. - (c) f (x) = ln x (x ) (x 5) (x + )(x ) ]0; [ ]; [ ]; [ ],5[ 5 ], [ f (x) X f(x) lok. min. - - lok. min. (7) Hol konvex, hol konkáv, hol van inflexiós pontja az f(x) függvénynek, ha a második derivált függvénye az alábbi: (a) f (x) = (x + )(x ) ] ; [ ] ; [ ], [ f (x) f(x) infl. pont - (b) f (x) = (x + ) (x ) x + ] ; [ ] ; [ - ] ; [ ], [ f (x) X f(x) infl. pont - - x(x ) (c) f (x) = (x ) (x ) x 0 ]0; [ ]; [ ]; [ ], [ f (x) 0 + X + X f(x) infl. pont )

11 (8) Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényeken: (a). D f = R. zérushelye van a, 0, pontokban. páratlan, f(0) = 0. x f(x) =, x f(x) =. 5. f (x) = x, a derivált zérushelyei (lehetséges lokális szélsőértékhelyek):,. 6. x ], [ ], [ ], [ f (x) f(x) lok. min. lok. max f( ) = f() = 7. f (x) = 6x, a második derivált zérushelyei (lehetséges inflexiós pontok): R f = R. (b). D g = R.. nincs zérushelye.. páros, f(0) =. x 5. g (x) = x 6. g(x) = x g(x) = 0. x ], 0[ 0 ]0, [ f (x) + 0 f(x) inflexiós pont konvex f(0) = 0 konkáv ( + x, a derivált zérushelye az x = 0. ) x ], 0[ 0 ]0, [ f (x) + 0 f(x) lok. max. f(0) = 7. g (x) = (x ) ( + x ), a második derivált zérushelyei az x = /, / pontok. x ], / [ / ] /, / [ / ]/, [ f (x) f(x) inflexiós pont inflexiós pont konvex f ( ) = konkáv f ( ) = konvex 0. R g =]0; ] (c) h(x) = x + x. A h függvény mindenhol értelmezett, kivéve az x = 0 pontot. D h = R \ {0}.. Zérushely: x =.. h( x) = x x, nem páros, nem páratlan. h(0) nincs értelmezve.. h(x) =, h(x) =, h(x) =, h(x) = x vv x x 0 x h (x) = 8x x. h (x) = 0 akkor, ha x =. 6. x ], 0[ 0 ]0, [ ], [ h (x) X 0 + h(x) lok. min. h( ) = 7. h (x) = 8 + x, h (x) = 0, ha x = R h = R

12 x ], [ ], 0[ 0 ]0, [ h (x) + 0 X + h(x) inflexiós pont h( ) = 0 (d) i(x) = x x +. D i = R.. Zérushely x = 0.. i( x) = x x + = i(x) azaz a függvény páros, i(0) = 0. i(x) =, i(x) =. x x 5. i (x) = 8x (x +), i (x) = 0, ha x = 0 6. x ], 0[ 0 ]0, [ i (x) 0 + i(x) lok. min. i(0) = 0 7. i (x) = 8( x ) (x +), i (x) = 0 ha x =, x = 8. x ], [ ], [ ], [ i (x) i(x) inflexiós pont inflexiós pont i( ) = i( ) = 0. R i = [0; [ (e) j(x) = x e x. D j = R. Zérushely: x = 0. j( x) = x e x nem páros, nem páratlan. j(0) = 0.. x j(x) =, x j(x) = 0 5. j (x) = e x (x x ), j (x) = 0 ha x = 0, x = 6. x ], 0[ 0 ]0, [ ], [ j (x) j(x) lok. min. lok. max. j(0) = 0 j() = e 7. j (x) = e x (x x + ), j (x) = 0, ha x =, x = x ], [ ], + [ + ] +, [ j (x) j(x) inflexiós pont inflexiós pont j( ) 0, 9 j( + ) 0, 8 0. R j =]0, [ (f) k(x) = x lg(x). D k =]0; [. Zérushely: x =. nem páros, nem páratlan, ui. negatív x-re nincs értelmezve. k(0) szintén nincs értelmezve.. k(x) = 0, k(x) = x 0 + x 5. k (x) = lg x + ln 0, k (x) = 0 ha x = e k (x) = x ln 0, k (x)-nek nincs zérushelye R k =] 0, 6, [

13 x ]0, e [ e ] e, [ k (x) 0 + k(x) lok. min. k( e ) = 0, 6 x ]0, [ k (x) + k(x) (g) l(x) = ln(x + ). D l = R. Zérushely nincs.. l( x) = ln(x + ) = l(x) páros, l(0) = ln.. x l(x) =, x l(x) = 5. l (x) = x x +, l (x) = 0 ha x = 0 6. x ], 0[ 0 ]0, [ l (x) 0 + l(x) lok. min. l(0) = ln 7. l (x) = 8 x (x +), l (x) = 0, ha x =, x =. 8. x ], ] ; ]; [ l (x) l(x) inflexiós pont inflexiós pont l( ) = ln 8 l( ) = ln 8 0. R l = [ln, [ (h) m(x) = ln(x ). D m =] ; [ ]; [. Zérushely: x =, x =.. m( x) = ln(x ) = m(x) páros, m(0) nincs értelmezve. m(x) =, m(x) = m(x) =, m(x) = x x x x + 5. m (x) = x x, m (x) = 0 ha x = 0, de ez nem része az értelmezési tartománynak 6. x ], [ ], [ m (x) + m(x) 7. m (x) = x (x ), m (x), seholsem nulla. 8. x ], [ ], [ m (x) m(x) 0. R m = R (9) Határozza meg az alábbi függvények x 0 küröli n-ed fokú Taylor poonját! (a) T f,0, (x) = + x x + x + x T f,, (x) = + (x ) + 7(x ) + 5(x ) (x ) = + x x + x + x (b) T f,0, (x) = e ex + ex ex T f,0, (x) = e ex + ex ex + ex ( T f,, (x) = x ) ( + x ) ( x )

14 ( T f,, (x) = x ) ( + x ) ( e x ) + ( e x ) T f,, (x) = e e (x ) + e (x ) e (x ) T f,, (x) = e e (x ) + e (x ) e (x ) + e (x ) (c) T f,0, (x) = ln + x 8 x + x T f,, (x) = x + (x + ) + (x + )

15 VI. feladatsor () Az alapfüggvények integrálja segítségével határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) dx = x9/ ln x + x + C (b) f(x) dx = ln x x 9/ + C (c) f(x) dx = e x + cos x + tg x + C (d) f(x) dx = arcsin x + C (e) f(x) dx = arctg x + x + C (f) f(x) dx = 5x ln 5 x6 + ln x + x + C 6 (g) f(x) dx = sin x + ctg x + C (h) f(x) dx = 7 ln x + x x + C () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: ( 7x) ln x + (a) f(x) dx = + C (b) f(x) dx = + C 7 (c) f(x) dx = e x + C (d) cos(5 x) f(x) dx = + C ctg (x + ) arctg (x + ) (e) f(x) dx = + C (f) f(x) dx = + C (5x+) / arcsin(5x + ) / (g) f(x) dx = + C (h) f(x) dx = + C 5 5 () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = cos6 x + C (b) f(x) dx = ( + x ) / + C 6 / (c) f(x) dx = (x + ) / + C (d) f(x) dx = tg x + C / (e) f(x) dx = (x ) 6/5 + C (f) f(x) dx = arctg 5/ x + C 6/5 5/ (g) f(x) dx = ln5 x + C (h) f(x) dx = 5 arccos x + C (i) f(x) dx = sin x + C (j) f(x) dx = (x + x) + C () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = ln x + + C (b) f(x) dx = 7 ln x + C (c) f(x) dx = 5 ln + x + C (d) f(x) dx = ln + sin x + C (e) f(x) dx = ln 5 + e x + C (f) f(x) dx = ln arctg x + C (5) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = e +sin x + C (b) f(x) dx = e x + C (c) f(x) dx = ( ) 5 sin(5 x) + C (d) f(x) dx = cos + C (6) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját parciális integrálással: (a) f(x) dx = (x 5) sin x + cos x + C (b) f(x) dx = (x ) cos x + x sin x + cos x + C (c) f(x) dx = (x + ) ex ex + C (d) f(x) dx = x e x e x + C (e) f(x) dx = 5 sin(x)e x 5 cos(x)e x + C (f) f(x) dx = x arcsin x + x + C ( ) x (g) f(x) dx = x + x ln x x 9 + x x + C (h) f(x) dx = x ln x x + C (i) f(x) dx = xarctg x ln + x + C (j) f(x) dx = x arctg x x + arctg x + C (k) f(x) dx = cos(x + )ex + sin(x + )ex + C ( ) ( ) x (l) f(x) dx = ln x + x x + x ln x 9 + x + x + 7 x + x + x + C (7) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: x

16 (a) ) + C (b) f(x) dx = ( x arctg f(x) dx = arctg (x + C) ( (c) f(x) dx = ( ) 5/x ) 0 arctg 5 x + C (d) f(x) dx = arctg + C 5/ (e) f(x) dx = ( ) x + arctg + C (f) f(x) dx = ( ) x arctg + C (g) f(x) dx = arcsin(x ) + C (h) f(x) dx = arcsin(x ) + C (i) f(x) dx = arcsin(x + ) + C (j) f(x) dx = arcsin(x ) + C

17 VII. feladatsor () Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékét: 7 (a) dx = ln x (b) 8 x + dx = (c) e (d) ln x dx = (e) x + 8x + 0 dx = π (f) 8 () Határozza meg a területeket, ha: (a) (b) 6 0 f(x) dx = ln f(x) dx = e + (c) f(x) dx = 6 () Határozza meg a két görbe által közrezárt területet! (a) T =, 5 (b) T =, 5 (c) T = () Határozza meg az f(x) és az x tengely által közbezárt területet! (a) T = 5 6 (b) T = 5 6 (c) T = 5 ln (5) Határozza meg alábbi fügvények ívhosszát! (a) s f = 0 π 0 x + x dx = 0 sin x dx = (b) s f = π (c) s f = 7 (6) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest térfogatát! (a) V = π (b) V = π ln (c) V = π ( ) e (d) V = π + e, 5 ( e ) + (e) V = π 9 (f) V = π (7) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest palástjának felszínét! (a) A = π (b) A = π ( 5 / 8 / ) (8) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest teljes felszínét! (a) A = π ( ) 5 / (b) A = 6π + π 8 /

18 VIII. feladatsor () y = + e x x + y = x + x + e x = + e x () () Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = sin x + x + C, y p = sin x + x + 5 y y + y + x = e x + e x (e x + e x + ) + (e x + e x + x) + x = e x + e x 9e x 6e x + 6e x + e x + x + x = 0 (b) y = x + x/ / + x + C, y p = x + x/ / + x + 0 () Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = x + Cx e x ( ) x (b) y = + C e x ( ) (c) y = ln(x + ) + C (x + ) (d) y = + Cex (5) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = C x +, y p = x + (b) y = Ce x (c) y = ( + Cx ) (d) y = ln e x + C (e) y = C(x + ), yp = (x + ) (f) y = tg (x + C) x (g) y = C( + x ) (h) y = C(x ) (6) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = C e x + C e x (b) y = C e x + C xe x (c) y = e x (C sin(x) + C cos(x)) (d) y = C + C e x (e) y = C sin( 5x) + C cos( 5x) (f) y = C e x + C e x (g) y = e x (C sin(5x) + C cos(5x)) + 5 cos(x) sin(x) + e x (h) y = C e x + C e x + x 6 5x (i) y h = C e x + C e x, y p = x + 9, y = y h + y p = C e x + C e x + x + 9 (j) y = C e 5x + C e ( x) + cos(x) + sin(x) (k) y = C e x + C e x + x x 8 (l) y = C e x + C xe x + sin(x) (m) y = C e 5x + C xe 5x + e x e x (n) y = e x (C sin(x) + C cos(x)) + x + ( ) ( )) x x (o) y = e (C x/ sin + C cos + e x + x (7) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket Rez (a) y = C e x + C + ex (6x ) (b) y = C e x + C e x (x + 6x + ) (c) y = C e x + C xe x + 5x e x (d) y = C sin(x) + C cos(x) + x( + cos(x))

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [ Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4. Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus

Részletesebben

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra

Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log 1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság. Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS

KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS Bodó Beáta 1 KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS 1. B Az f(x) függvény értelmezési tartománya. Hol konkáv az f(x) függvény, ha második deriváltja f (x) = (x + 6) 5 (4x 12) 8 (x + 2)? f (x) zérushelyei: 6; 2; 3 D

Részletesebben

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4 Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

0, különben. 9. Függvények

0, különben. 9. Függvények 9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

1. Monotonitas, konvexitas

1. Monotonitas, konvexitas 1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a

Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a Analízis példatár v0.2 A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a letölthető példatárak közt. Országh Tamás Budapest, 2005-2010 1 Mottó: Ki kéne vágni minden

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása . tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106 Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás

Részletesebben