I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i"

Átírás

1 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex számok: z = + i, z = i, z = i. Határozza meg az alábbiakat: (a) + i (b) i (c) i (d) + i (e) (f) + (g) 5 + i (h) 5i (i) + i (j) 5 i (k) 5 i (l) 6 (m) 6 (n) + 5 i (o) 5 i (p) i (q) i (r) 5 i (s) 5 i (t) 5 i (u) () Legyen z = (cos 60 + i sin 60 ) valamint z = (cos 0 + i sin 0 ). Határozza meg az alábbiakat: (a) (b) (c) 6(cos 80 + i sin 80 ) (d) (cos 00 + i sin 000 ) (e) (cos 80 + i sin 80 ) (f) (cos 60 + k 60 + i sin 60 + k 60 ) k = 0,, (0, 0, 60 ) (g) (cos 0 + k 60 + i sin 0 + k 60 ) k = 0,,, (0, 0, 0, 00 ) (h) 6(cos 80 + k 60 + i sin 80 + k 60 ) k = 0, (90, 70 ) () Töltse ki az alábbi táblázatot: Algebrai alak Trigonometrikus alak + i (cos 5 + i sin 5 ) i (cos 00 + i sin 00 ) + i (cos 5 + i sin 5 ) (cos 0 + i sin 0 ) i (cos 90 + i sin 90 ) (5) Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán: (a) z = 8 + i (b) z = + i, z = i (c) z = + i,z = (d) z =, z = (e) z = i, z = i (f) z = 6 (cos 5 + k 60 + i sin 5 + k 60 ) k = 0,, (5, 65, 85 ) (g) z = 0(cos 7, 57 + k 60 + i sin 7, 57 + k 60 ) k = 0,,,,, (, 9, 7, 9,, 9, 9, 9, 5, 9,, 9 ) (h) z,, = (cos 90 + k 60 z,5,6 = (cos 70 + k 60 (i) z,,, = (cos 90 + k 60 z 5,6,7,8 = 8 (cos 5 + k 60 (j) z,, = (cos 90 + k 60 z,5,6 = (cos 5 + k 60 (6) Végezze el a kijelölt műveleteket: + i sin 90 + k 60 ) k = 0,, (0, 50, 70 ) + i sin 70 + k 60 ) k = 0,, (90, 0, 0 ) + i sin 90 + k 60 ) k = 0,,, (, 5,, 5, 0, 5, 9, 5 ) + i sin 5 + k 60 ) k = 0,,, (, 5, 0, 5, 9, 5, 8, 5 ) + i sin 90 + k 60 ) k = 0,, (0, 50, 70 ) + i sin 5 + k 60 ) k = 0,,, (5, 5, 55 )

2 (a) + i (b) (cos 00 + k 60 (c) (cos 75 + i sin 75 ) (d) + i + i sin 00 + k 60 ) k = 0,, (00, 0, 0 ) (e) + 5 i (7) Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán: (a) z = + 7i (b) z = i (c) z = 7 i (d) z = 5 7 i (e) z = 0, z = i, z = i, z = (f) z = 0, z =, z = + i i i, z = (g) z = i, z = i (h) z = i, z = i (8) Határozza meg az alábbi komplex számok trigonometrikus alakját: (a) z = (cos 5 + i sin 5 ) (b) z = (cos 5 + i sin 5 ) (c) z = (cos 5 + i sin 5 ) (d) z = (cos 0 + i sin 0 ) (e) z = cos 60 + i sin 60

3 () Töltse ki az alábbi táblátatot: II. feladatsor f(x) g(x) f(g(x)) g(f(x)) f(f(x)) sin(x) x sin(x ) sin (x) sin(sin(x)) sin(x) + x + x sin( x) + x + sin x + x + sin(sin(x) + x + ) + sin x + x + + x + x + x x x+ + cos(x) x cos(x ) cos (x) cos(cos(x)) sin(x) x sin( x ) sin(x) sin(sin(x)) lg(x) x + x lg(x + x ) lg (x) + lg(x) lg(lg(x)) arcsin(x) x arcsin( x) arcsin(x) arcsin(arcsin(x)) ln(x) e x x x ln(ln(x)) ln(x) x ln(x ) ln (x) ln(ln(x)) ln(x) ln(x) ln(ln(x)) ln(ln(x)) ln(ln(x)) () Határozza meg a valós számok legbővebb részhalmazát, ahol az alábbi függvények értelmesek: (a) D f =] ; [ ] ; ] [5; [ (b) D f =] ; ] \ { } (c) D f = R \ {} (d) D f = R \ { } (e) D f =] ; [ ]; [ (f) D f = [ ; [ (g) D f =] ; [ (h) Három kikötést kell tenni: arccos(x) értelmezési tartománya: [, ]. Jelölje ezt H. ln(x) értelmezési tartománya: ]0, [. Jelölje ezt H. a nevező nem lehet nulla. Jelölje ezt H. Ezekket: D f = H H \ H Ezeket külön-külön megoldjuk: azaz H = [ ; ] azaz H =] ; [ x + \ x x + > 0 \ x > ln(x + ) 0 = ln a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x + \ x azaz H = { } Vagyis: D f = H H \ H =] ; ] () () Határozza meg az alábbi függvények inverz függvényét, ha létezik: (a) D f = R, R f = R, D f = R, R f = R, f(x) = x + 6 (b) D f = [ ; [, R f = [0; [, D f = [0, [, R f = [, [, f(x) = x 6 (c) D f = R \ { 5}, R f = R \ { 6}, D f = R \ { 6}, R f = R \ { 5}, f(x) = x (d) D f = R, R f =], [, D f =], [, R f = R, f(x) = log (x ) + 7 (e) D f =]5, [, R f = R, D f = R, R f =]5, [, f(x) = 5x (f) D f = R, R f = [, [ de így nem invertálható. D f = [, [, R f = [, [, D f = [, [, R f = [, [, f(x) = x +

4 (g) D f = R \ {}, R f = R \ {}, D f = R \ {}, R f = R \ {}, f(x) = x + (h) D f = [ ; ] = R f, R f = [0; π] = D f, f(x) = ( ( ) ) x π sin + (i) D f = R = R f, R f = [ π ( ; 0] = D f, f(x) = tg x + π ) + (j) D f = R, R f = [ ; ] de így nem invertálható. Leszűkítés pl.: D f = [π; 5π] = R f, R f = [ ; ] = D f, f(x) = arccos(x + ) + π (5) Páros, páraltlan vagy egyik sem az alábbi függvény: (a) f(x) = e x x, f( x) = e x x azaz egyik sem. (b) f(x) = e x sin x, f( x) = e x sin x, azaz páratlan. (c) f(x) = x + cos x +, f( x) = x + cos x +, azaz páros.

5 III. feladatsor () Adja meg az a n = 5n n + sorozat következő elemeit: a =, a = 9 5, a n+ = 5n + n +, a n = () Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából: (a) Szigorúan monoton csökkenő, K = a = 5 k = a n = 0. (b) Szigorúan monoton nő, k = a = K = a n = (c) Se nem csökken, se nem nő. K = k =, a n = 0 5n 6 n 5. (d) A harmadik tagtól kezdve szigorúan monoton csökkenő. K = a = 7 k = a = 0, a n = () Adottak az alábbi konvergens sorozatok. Adja meg a határértéket, és azt a küszöbindexet, amelynél nagyobb indexű tagjai a sorozatnak ε = -nál kisebb hibával közelítik a határértéket! 00 (a) a n =, n 0 = 00 (b) a n =, n 0 = 96 (c) a n =, n 0 = (d) a n =, n 0 = 80 () Határozza meg az alábbi nevezetes sorozatok határértéket: (a) a n = (b) a n = 0 (c) a n = (d) a n = (e) a n = (f) a n = 0 (g) a n = e (h) a n = (i) a n = 0 (j) a n = (k) a n = 0 (l) a n = (5) A nevezetes sorozathatárértékek ismeretével és a műveletekre vonatkozó tételek segítségével határozza meg mely sorozatok konvergensek és mi a határértékük! (a) a n = (b) a n = (c) a n = (d) a n = (6) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = 5 (c) a n = 7 9 (e) a n = 0 (g) a n = (i) a n = (b) a n = 5 (d) a n = 0 (f) a n = 0 (h) a n = (j) a n = 7 (l) a n = (k) a n = 7 (7) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = 5 (c) a n = 5 6 (e) a n = (k) a n = 5 (b) a n = (d) a n = 0 (f) a n = (l) a n = (8) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = (b) a n = (c) a n = (d) a n = 0 (e) a n = (f) a n = 0 (g) a n = (h) a n = (9) Határozza meg a következő sorozatok határértékét:

6 (a) a n = e (c) a n = (e) a n = e (g) a n = e (i) a n = e (k) a n = 0 (m) a n = (o) a n = (q) a n = 0 (s) a n = (b) a n = e (d) a n = (f) a n = e (h) a n = e (j) a n = e 7 (l) a n = 0 (n) a n = (p) a n = e (r) a n = e (t) a n = 0

7 IV. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvényhatárértékeket a függvény grafikonjának ismeretében: (a) x + x = +, x x = (b) x + x = 0, = 0, nem létezik x x x 0 x (c) x + x = 0, = 0, x x x 0 x = + (d) x nem létezik, x = 0 x 0 x 0 + (e) x + x =, x x = 0 ( ) x ( ) x (f) = 0, = + x + x (g) lg x nem létezik, lg x =, x 0 + (h) log x 0 (i) (j) (k) x + x 0 lg x = + x + x nem létezik, log x = +, log x 0 + x + x = sin x nem létezik, sin x nem létezik x tg x = + x π arcsin x = π x +, arcsin x nem létezik, x (l) arctg x = π x +, arctg x = π x (m) arccos x = π, arccos x nem létezik x + x (n) arcctg x = 0, arcctg x = π x + x (o) (p) (q) f(x) = x arcsin x = π { x + ha x x ha x < f(x) =, f(x) = 0, f(x) nem létezik, f(x) = 8 x + x x x f(x) = { x ha x < x ha x f(x) = +, f(x) = +, f(x) nem létezik, f(x) = x + x 0 x x 9 {( ) x f(x) = ha x x ha x < ( f(x) = 0, f(x) =, f(x) = x x x 0, f(x) = x 0 () Határozza meg az alábbi függvények x 0 -beli határértékét: (a) (b) (c) x x f(x) =, x f(x) = f(x) =, x f(x) = f(x) = x, f(x) = x (d) f(x) = 7 x, f(x) = 7 x (e) f(x) = 0, f(x) = 0 x x (f) f(x) =, f(x) = x x (g) (h) f(x) =, f(x) =, f(x) = 5 x x x, f(x) =, f(x) nem létezik x 0 x f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) nem létezik, f(x) = x x x 0 x, f(x) = x, f(x) nem létezik x (i) f(x) = x 0, f(x) = 0, f(x) =, f(x) nem létezik x x x (j) f(x) = nem létezik, f(x) = 0 x x (k) f(x) = 0, f(x) = 0 x x 0 (l) f(x) =, f(x) = x x (m) x 0 f(x) =, x f(x) = 0 )

8 (n) f(x) =, f(x) = x x () Határozza meg az alábbi határértékeket: (a) x 0 x 5 x 5 + x = 5 sin(x) (c) = x 0 x sin 5x (e) x 0 sin 7x = 5 7 e 5x (g) = 5 x 0 7x 7 (b) x 0 x x + x = sin 5x (d) x 0 7x = 5 7 tg 5x (f) x 0 x = 5 e x (h) x 0 sin(x) = ( e x arctg x 0 x ) (i) e x = (j) = π x ( (k) ) 5x ( ) x+ = e 5 x + (l) = e x x + x x + 6 ( ) x+ ( ) x x + (m) = e 5x (n) = e 7 5 x x + x 5x + 7 ( ) x+ ( ) x x + x + 5 (o) = 0 (p) = 0 x x + x 7x ( ) x+ ( ) x x + 5x + (q) = (r) = x x x x + ( x ) x+ ( ) x + x + (s) x x = (t) = x x ( x ) x + + ( x (u) x x = e + x + 0 (v) x x + 0 (w) e x = (x) e x = 0 x 0+ ( ) x 0 (y) arctg = π ( (z) x + x arcsin ) = π x x ) x+ = e

9 V. feladatsor () Adja meg az x 0 helyhez tartozó differenciahányados függvényt, a differenciálhányados értékét a definíció alapján: (a) f(x) = 5, x 0 =, x 0 = d (x) = 5 5 x = 0 f () = 0 d (x) = 5 5 x + = 0 f ( ) = 0 (b) f(x) = x, x 0 =, x 0 = d (x) = x + x x = x f () = d (x) = x + = x f ( ) = (c) f(x) = x + x, x 0 =, x 0 =, x 0 = x 0 = -ban a függvény nincs értelmezve. x + x x d (x) = = + = + f () = + x x x + x + x x d (x) = = + = + f () = + x x x + () Adja meg az alábbi függvények szelő egyeneseinek egyenletét, valamint az érintő egyenesek egyenletét: (a) f(x) = x +, P (0, ), P (, 5) e : y =, e : y = 8x, sz : y = x + (b) f(x) = x, P (, ), P (, ) e : y = x +, e : y = 9 x, sz : y = 6 x + 6 () Határozza meg az alábbi függvények deriváltfüggvényeit: (a) f (x) = 5 x x x (b) f (x) = ( ) x ln cos x (c) f (x) = 6x + x ln (d) f (x) = x + sin x 5 x (e) f (x) = cos x tg x + sin cos x (f) f (x) = e x ln x + e x x (g) f (x) = x ln 0 arcsin x + lg x x (h) f (x) = x lg x + x x ln 0 (i) f (x) = 0x arctg x + x 5 + x (j) f (x) = sin x + ln x cos x x (k) f (x) = cos x (l) f (x) = sin x (m) f (x) = ex sin x e x cos x sin x (n) f cos (x) = x ln x tg x x ln x (o) f (x) = (x ln x )(x + ) ( x x ) (x + ) (p) f (x) = x sin x ( x + 5) cos x 9 sin x (q) f (x) = sin x (ex + ) cgtx e x (e x + ) (r) f (x) = cos(x ) x (s) f (x) = (sin x) cos x (t) f (x) = x + x (u) f (x) = e x x + (x + x( ) (v) f (x) = e tg x ln(x +cos x) ln(x ) + cos x) x sin x cos + tg x x + cos x (w) f (x) = x x (ln x + )

10 (x) f (x) = (sin x) cos x ( cos x cos x ln(sin x) sin x) ( ) sin x( x + (y) f (x) = cos x + x (x + ) ( x + x ) ) x + ( x ln + x) ( x + x ) (z) f (x) = (x + ) arctg x ( x x + arctg x + ln(x + ) + x (aa) r (ϕ) = ϕ ln ln ϕ + ϕ ϕ (ab) V (t) = 6t 5 cos(t) t 6 sin(t) (ac) h (t) = p 5 +, p valós paraméter (ad) h (p) = t5 p 7p 6, t valós paraméter (ae) f (x) = sin x ( x + x ) x+ + ctg x ( ( x + x ) x+ x + x ln (x + ) + ln( ) x + x ) x + x () Határozza meg az alábbi határértékeket: arcsin(5x) = 5 x + x 0 x x x + x + = ln(x)) = 0 x 0 +(x x 0 xx = ( + + x ( = e x x) x + x ) = ( x sin x ln x x 0 x sin x = 0 x 0 + x ) = 0 sin x x x = e cos x x x 0 x = ln x x x = arctan x = x 0 x x x x = x 0 x 0+ x)x = x 0 +(ctg x) x = 5x x ln x = x 0+ (ex + x) x = e x ln(x + )) = ln x tg x = 0 x 0+ (5) Írja fel az alábbi f(x) függvények m meredekségű érintőinek egyenletét: (a) x =, e : y = 6x + 5, x =, e : y = 6x + (b) x = 5, e : y = 0x + 6, x = 7, e : y = 0x + 7 (c) x =, e : y = 6 x + 0, 68, x =, e : y = x 0, 59 6 (6) Hol növekvő, hol csökkenő, hol van lokális szélsőértéke és milyen a szélsőérték jellege az f(x) függvénynek, ha a derivált függvénye az alábbi: (a) f (x) = (x + )(x ) ] ; [ ] ; [ ], [ f (x) f(x) lok. min. - (b) f (x) = (x + 5) (x ) x ] ; 5[ 5 ] 5; [ ]; [ ], [ f (x) X + f(x) - lok. max. - (c) f (x) = ln x (x ) (x 5) (x + )(x ) ]0; [ ]; [ ]; [ ],5[ 5 ], [ f (x) X f(x) lok. min. - - lok. min. (7) Hol konvex, hol konkáv, hol van inflexiós pontja az f(x) függvénynek, ha a második derivált függvénye az alábbi: (a) f (x) = (x + )(x ) ] ; [ ] ; [ ], [ f (x) f(x) infl. pont - (b) f (x) = (x + ) (x ) x + ] ; [ ] ; [ - ] ; [ ], [ f (x) X f(x) infl. pont - - x(x ) (c) f (x) = (x ) (x ) x 0 ]0; [ ]; [ ]; [ ], [ f (x) 0 + X + X f(x) infl. pont )

11 (8) Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényeken: (a). D f = R. zérushelye van a, 0, pontokban. páratlan, f(0) = 0. x f(x) =, x f(x) =. 5. f (x) = x, a derivált zérushelyei (lehetséges lokális szélsőértékhelyek):,. 6. x ], [ ], [ ], [ f (x) f(x) lok. min. lok. max f( ) = f() = 7. f (x) = 6x, a második derivált zérushelyei (lehetséges inflexiós pontok): R f = R. (b). D g = R.. nincs zérushelye.. páros, f(0) =. x 5. g (x) = x 6. g(x) = x g(x) = 0. x ], 0[ 0 ]0, [ f (x) + 0 f(x) inflexiós pont konvex f(0) = 0 konkáv ( + x, a derivált zérushelye az x = 0. ) x ], 0[ 0 ]0, [ f (x) + 0 f(x) lok. max. f(0) = 7. g (x) = (x ) ( + x ), a második derivált zérushelyei az x = /, / pontok. x ], / [ / ] /, / [ / ]/, [ f (x) f(x) inflexiós pont inflexiós pont konvex f ( ) = konkáv f ( ) = konvex 0. R g =]0; ] (c) h(x) = x + x. A h függvény mindenhol értelmezett, kivéve az x = 0 pontot. D h = R \ {0}.. Zérushely: x =.. h( x) = x x, nem páros, nem páratlan. h(0) nincs értelmezve.. h(x) =, h(x) =, h(x) =, h(x) = x vv x x 0 x h (x) = 8x x. h (x) = 0 akkor, ha x =. 6. x ], 0[ 0 ]0, [ ], [ h (x) X 0 + h(x) lok. min. h( ) = 7. h (x) = 8 + x, h (x) = 0, ha x = R h = R

12 x ], [ ], 0[ 0 ]0, [ h (x) + 0 X + h(x) inflexiós pont h( ) = 0 (d) i(x) = x x +. D i = R.. Zérushely x = 0.. i( x) = x x + = i(x) azaz a függvény páros, i(0) = 0. i(x) =, i(x) =. x x 5. i (x) = 8x (x +), i (x) = 0, ha x = 0 6. x ], 0[ 0 ]0, [ i (x) 0 + i(x) lok. min. i(0) = 0 7. i (x) = 8( x ) (x +), i (x) = 0 ha x =, x = 8. x ], [ ], [ ], [ i (x) i(x) inflexiós pont inflexiós pont i( ) = i( ) = 0. R i = [0; [ (e) j(x) = x e x. D j = R. Zérushely: x = 0. j( x) = x e x nem páros, nem páratlan. j(0) = 0.. x j(x) =, x j(x) = 0 5. j (x) = e x (x x ), j (x) = 0 ha x = 0, x = 6. x ], 0[ 0 ]0, [ ], [ j (x) j(x) lok. min. lok. max. j(0) = 0 j() = e 7. j (x) = e x (x x + ), j (x) = 0, ha x =, x = x ], [ ], + [ + ] +, [ j (x) j(x) inflexiós pont inflexiós pont j( ) 0, 9 j( + ) 0, 8 0. R j =]0, [ (f) k(x) = x lg(x). D k =]0; [. Zérushely: x =. nem páros, nem páratlan, ui. negatív x-re nincs értelmezve. k(0) szintén nincs értelmezve.. k(x) = 0, k(x) = x 0 + x 5. k (x) = lg x + ln 0, k (x) = 0 ha x = e k (x) = x ln 0, k (x)-nek nincs zérushelye R k =] 0, 6, [

13 x ]0, e [ e ] e, [ k (x) 0 + k(x) lok. min. k( e ) = 0, 6 x ]0, [ k (x) + k(x) (g) l(x) = ln(x + ). D l = R. Zérushely nincs.. l( x) = ln(x + ) = l(x) páros, l(0) = ln.. x l(x) =, x l(x) = 5. l (x) = x x +, l (x) = 0 ha x = 0 6. x ], 0[ 0 ]0, [ l (x) 0 + l(x) lok. min. l(0) = ln 7. l (x) = 8 x (x +), l (x) = 0, ha x =, x =. 8. x ], ] ; ]; [ l (x) l(x) inflexiós pont inflexiós pont l( ) = ln 8 l( ) = ln 8 0. R l = [ln, [ (h) m(x) = ln(x ). D m =] ; [ ]; [. Zérushely: x =, x =.. m( x) = ln(x ) = m(x) páros, m(0) nincs értelmezve. m(x) =, m(x) = m(x) =, m(x) = x x x x + 5. m (x) = x x, m (x) = 0 ha x = 0, de ez nem része az értelmezési tartománynak 6. x ], [ ], [ m (x) + m(x) 7. m (x) = x (x ), m (x), seholsem nulla. 8. x ], [ ], [ m (x) m(x) 0. R m = R (9) Határozza meg az alábbi függvények x 0 küröli n-ed fokú Taylor poonját! (a) T f,0, (x) = + x x + x + x T f,, (x) = + (x ) + 7(x ) + 5(x ) (x ) = + x x + x + x (b) T f,0, (x) = e ex + ex ex T f,0, (x) = e ex + ex ex + ex ( T f,, (x) = x ) ( + x ) ( x )

14 ( T f,, (x) = x ) ( + x ) ( e x ) + ( e x ) T f,, (x) = e e (x ) + e (x ) e (x ) T f,, (x) = e e (x ) + e (x ) e (x ) + e (x ) (c) T f,0, (x) = ln + x 8 x + x T f,, (x) = x + (x + ) + (x + )

15 VI. feladatsor () Az alapfüggvények integrálja segítségével határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) dx = x9/ ln x + x + C (b) f(x) dx = ln x x 9/ + C (c) f(x) dx = e x + cos x + tg x + C (d) f(x) dx = arcsin x + C (e) f(x) dx = arctg x + x + C (f) f(x) dx = 5x ln 5 x6 + ln x + x + C 6 (g) f(x) dx = sin x + ctg x + C (h) f(x) dx = 7 ln x + x x + C () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: ( 7x) ln x + (a) f(x) dx = + C (b) f(x) dx = + C 7 (c) f(x) dx = e x + C (d) cos(5 x) f(x) dx = + C ctg (x + ) arctg (x + ) (e) f(x) dx = + C (f) f(x) dx = + C (5x+) / arcsin(5x + ) / (g) f(x) dx = + C (h) f(x) dx = + C 5 5 () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = cos6 x + C (b) f(x) dx = ( + x ) / + C 6 / (c) f(x) dx = (x + ) / + C (d) f(x) dx = tg x + C / (e) f(x) dx = (x ) 6/5 + C (f) f(x) dx = arctg 5/ x + C 6/5 5/ (g) f(x) dx = ln5 x + C (h) f(x) dx = 5 arccos x + C (i) f(x) dx = sin x + C (j) f(x) dx = (x + x) + C () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = ln x + + C (b) f(x) dx = 7 ln x + C (c) f(x) dx = 5 ln + x + C (d) f(x) dx = ln + sin x + C (e) f(x) dx = ln 5 + e x + C (f) f(x) dx = ln arctg x + C (5) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = e +sin x + C (b) f(x) dx = e x + C (c) f(x) dx = ( ) 5 sin(5 x) + C (d) f(x) dx = cos + C (6) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját parciális integrálással: (a) f(x) dx = (x 5) sin x + cos x + C (b) f(x) dx = (x ) cos x + x sin x + cos x + C (c) f(x) dx = (x + ) ex ex + C (d) f(x) dx = x e x e x + C (e) f(x) dx = 5 sin(x)e x 5 cos(x)e x + C (f) f(x) dx = x arcsin x + x + C ( ) x (g) f(x) dx = x + x ln x x 9 + x x + C (h) f(x) dx = x ln x x + C (i) f(x) dx = xarctg x ln + x + C (j) f(x) dx = x arctg x x + arctg x + C (k) f(x) dx = cos(x + )ex + sin(x + )ex + C ( ) ( ) x (l) f(x) dx = ln x + x x + x ln x 9 + x + x + 7 x + x + x + C (7) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: x

16 (a) ) + C (b) f(x) dx = ( x arctg f(x) dx = arctg (x + C) ( (c) f(x) dx = ( ) 5/x ) 0 arctg 5 x + C (d) f(x) dx = arctg + C 5/ (e) f(x) dx = ( ) x + arctg + C (f) f(x) dx = ( ) x arctg + C (g) f(x) dx = arcsin(x ) + C (h) f(x) dx = arcsin(x ) + C (i) f(x) dx = arcsin(x + ) + C (j) f(x) dx = arcsin(x ) + C

17 VII. feladatsor () Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékét: 7 (a) dx = ln x (b) 8 x + dx = (c) e (d) ln x dx = (e) x + 8x + 0 dx = π (f) 8 () Határozza meg a területeket, ha: (a) (b) 6 0 f(x) dx = ln f(x) dx = e + (c) f(x) dx = 6 () Határozza meg a két görbe által közrezárt területet! (a) T =, 5 (b) T =, 5 (c) T = () Határozza meg az f(x) és az x tengely által közbezárt területet! (a) T = 5 6 (b) T = 5 6 (c) T = 5 ln (5) Határozza meg alábbi fügvények ívhosszát! (a) s f = 0 π 0 x + x dx = 0 sin x dx = (b) s f = π (c) s f = 7 (6) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest térfogatát! (a) V = π (b) V = π ln (c) V = π ( ) e (d) V = π + e, 5 ( e ) + (e) V = π 9 (f) V = π (7) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest palástjának felszínét! (a) A = π (b) A = π ( 5 / 8 / ) (8) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest teljes felszínét! (a) A = π ( ) 5 / (b) A = 6π + π 8 /

18 VIII. feladatsor () y = + e x x + y = x + x + e x = + e x () () Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = sin x + x + C, y p = sin x + x + 5 y y + y + x = e x + e x (e x + e x + ) + (e x + e x + x) + x = e x + e x 9e x 6e x + 6e x + e x + x + x = 0 (b) y = x + x/ / + x + C, y p = x + x/ / + x + 0 () Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = x + Cx e x ( ) x (b) y = + C e x ( ) (c) y = ln(x + ) + C (x + ) (d) y = + Cex (5) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = C x +, y p = x + (b) y = Ce x (c) y = ( + Cx ) (d) y = ln e x + C (e) y = C(x + ), yp = (x + ) (f) y = tg (x + C) x (g) y = C( + x ) (h) y = C(x ) (6) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = C e x + C e x (b) y = C e x + C xe x (c) y = e x (C sin(x) + C cos(x)) (d) y = C + C e x (e) y = C sin( 5x) + C cos( 5x) (f) y = C e x + C e x (g) y = e x (C sin(5x) + C cos(5x)) + 5 cos(x) sin(x) + e x (h) y = C e x + C e x + x 6 5x (i) y h = C e x + C e x, y p = x + 9, y = y h + y p = C e x + C e x + x + 9 (j) y = C e 5x + C e ( x) + cos(x) + sin(x) (k) y = C e x + C e x + x x 8 (l) y = C e x + C xe x + sin(x) (m) y = C e 5x + C xe 5x + e x e x (n) y = e x (C sin(x) + C cos(x)) + x + ( ) ( )) x x (o) y = e (C x/ sin + C cos + e x + x (7) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket Rez (a) y = C e x + C + ex (6x ) (b) y = C e x + C e x (x + 6x + ) (c) y = C e x + C xe x + 5x e x (d) y = C sin(x) + C cos(x) + x( + cos(x))

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a

Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a Analízis példatár v0.2 A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a letölthető példatárak közt. Országh Tamás Budapest, 2005-2010 1 Mottó: Ki kéne vágni minden

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

ANALÍZIS TANÁROKNAK I.

ANALÍZIS TANÁROKNAK I. Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK I. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI I.Feladat: Egyváltozós függvény grafikonjához húzható érintőkkel kapcsolatos feladatok. 1.feladat: Határozza meg az függvény x = 1 abszcisszájú pontjába

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Beregszászi István Programozási példatár

Beregszászi István Programozási példatár Beregszászi István Programozási példatár 2 1. fejezet 1. laboratóriumi munka 1.1. Matematikai kifejezések Írja fel algoritmikus nyelven a megadott kifejezést megfelelő típusú változók segítségével! Figyeljen

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

2. Függvények. I. Feladatok

2. Függvények. I. Feladatok . Függvények I. Feladatok 1. Az y = x 1 + x + 1 függvény grafikonja és az y = c egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe 30. Mekkora a c állandó értéke?. Hány zérushelye van az a paramétertől

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Gazdasági Matematika I. Megoldások

Gazdasági Matematika I. Megoldások . (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.? FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z

Részletesebben