x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

Átírás

1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

2 A szinusz függvény EL 19 Definíció: sin(z) e e 2i iz iz = z C A szinusz függvény előállítása hatványsorral: 2n+ 1 n z sin( z) = ( 1) z z z sin(z) z n= 0 (2n + 1)! 3! 5! 7! A valós változós sin függvény grafikonja: x sin x

3 EL 21 A koszinusz függvény Definíció: cos(z) e + e 2i iz iz = z C A koszinusz függvény előállítása hatványsorral: 2n n z cos( z) = ( 1) z z z cos(z) n= 0 (2n)! 2! 4! 6! A valós változós cos függvény grafikonja: x cos x

4 EL 22 A valós sin és cos függvények nevezetes értékei (π=180 )

5 Definíció: A tangens és a kotangens függvény tg (z) = sin(z) cos(z) ctg (z) = cos(z) sin(z) EL 24 A valós változós tg és ctg függvények grafikonja:

6 A szinusz hiperbolikusz függvény EL 25 Definíció: sh(z) e e 2 z z = z C A szinusz hiperbolikusz függvény előállítása hatványsorral: 2n+ 1 z 3 5 sh (z) = z z sh(z) z n= 0 (2n + 1)! 3! 5! A valós változós sh függvény grafikonja: x sh x

7 Definíció: ch(z) A koszinusz hiperbolikusz függvény z z e + e = z C 2 A szinusz hiperbolikusz függvény előállítása hatványsorral: ch(z) = n=0 ch(z) 2n z (2n)! 1+ 2 z 2! + 4 z 4! +... EL 26 A valós változós ch függvény grafikonja (láncgörbe): x ch x

8 EL 27 A tangens és a kotangens hiperbolikusz függvény Definíció: th (z) = sh(z) ch(z) cth (z) = ch(z) sh(z) A valós változós th és cth függvények grafikonja:

9 EL 28 x x A hatványfüggvények x x 2 x x 3

10 EL 29 x x 1/2 x x 1/3 x x -1 x x -2

11 EL 30 Inverzfüggvény Az exponenciális, a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények inverzei

12 EL 31 Definíció: invertálható függvény Ha minden y R f elemhez pontosan egy olyan x D f elem létezik, melyre f(x)=y, akkor az f függvényt invertálható függvénynek nevezzük.

13 EL 32 Példák: Az f(x)=2 x, D f =R függvény invertálható Az f(x)=x 2, D f =R függvény nem invertálható Az f(x)=x 2, D f =[0,+ [ függvény invertálható

14 EL 33 Definíció: inverzfüggvény Ha f invertálható függvény, akkor azt a g: R f D f függvényt, melyre minden x D f esetén fennáll, hogy g o f ( x ) = x az f függvény inverzfüggvényének nevezzük. Jelölés: g = f -1

15 EL 34 Példa: f(x) = 2 x f -1 (x) = log 2 x Df = R R f = ]0, + [ D 1 = ]0, + [ R 1 R = f f

16 EL 35 Definíció: Legyen 0<a R, a 1. A valós logaritmus függvények Az x log a x függvény a valós x a x exponenciális függvény inverze. x log a x, ha a > 1 x log a x, ha 0 < a < 1

17 EL 36 A természetes alapú logaritmus függvény Az x e x természetes alapú exponenciális függvény inverze az x log e x = ln x függvény. e>1, így a természetes alapú exponenciális és logaritmus függvények grafikonja: x e x x ln x

18 EL 37 Kapcsolat függvény és inverze között Példa: f 1 of (x) = x fof 1 (x) = x f(x)=2 x f -1 (x)=log 2 x f 1 of (x) = log 2 2 x = x fof 1 (x) = 2 log 2 x = x

19 Kapcsolat függvény és inverze között D = 1 R = 1 f R f f D f EL 38 Példa: f(x)=2 x f -1 (x)=log 2 x D = R 1 f = f R R 1 f = D = ]0, + [ f

20 EL 39 Kapcsolat függvény és inverze között f és f 1 grafikonjai egymás tükörképei az x x egyenesre vonatkozóan f és f 1 monotonitása azonos

21 EL 40 Hatványfüggvény inverze f(x) = x 2 D f = [0, [ x 2 = x ( ) x 2 = x

22 A trigonometrikus függvények inverze EL 41 f(x)= sinx f -1 (x)= arcsinx π sin = arcsin 1 2 = π 6

23 x sin x x arcsin x x cos x x arccos x

24 x tg x x arctg x x ctg x x arcctg x

25 A hiperbolikusz függvények inverzei x sh x x arsh x x ch x x arch x

26 x th x x arth x x cth x x arcth x

27 EL 46 Definíció: Polinomfüggvények A polinomok a változó nem negatív egész kitevős hatványainak valós számokkal képzett lineáris kombinációi P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n Polinom fokszáma: Polinom főegyütthatója: n a n

28 EL 47 A polinomok a legegyszerűbben kezelhető függvények, ezért sokszor célszerű bonyolultabb függvényeket polinomokkal közelíteni (lásd: interpolációs polinomok, Taylor polinomok a differenciálszámításnál, közelítő integrálás a Simpson formulával, stb.) A polinomok vizsgálatában a legalapvetőbb feladat a zérushelyek (gyökök) megkeresése, a gyöktényezős felbontás előállítása és az előjelvizsgálat.

29 EL 48 Tétel: gyöktényezős felbontás Minden (legalább első fokú) polinom egyértelműen felbontható elsőfokú és valós gyökkel nem rendelkező másodfokú polinomok szorzatára. A felbontásban szereplő elsőfokú tényezők a gyöktényezők, melyek egy-egy gyökhöz tartoznak az alábbiak szerint: x 0 pontosan akkor gyöke egy polinomnak, ha az (x-x 0 ) gyöktényező szerepel a felbontásban.

30 EL 49 Példa: P(x) = x 4 18x x 15 = = (x-3) (x-1) 2 (x+5) gyökök: x 1 = 3, x 2 = 1, x 3 = -5 Előjelvizsgálat (lásd: folytonos függvények előjelváltása) x<-5 x=-5-5<x<1 x=1 1<x<3 x=3 3<x x (x-1) x P(x)

31 Másodfokú polinom gyöktényezős felbontása EL 50 A P(x)=a x 2 +b x+c másodfokú polinom gyökttényezős felbontása az a x 2 +b x+c=0 másodfokú polinomegyenlet megoldásával kapható meg az alábbiak szerint: 1. eset: ha az egyenletnek két különböző gyöke van: x 1 és x 2, akkor P(x) = a x 2 + b x +c =a (x-x 1 ) (x-x 2 ) 2. eset: ha az egyenletnek egy (pontosabban két egybeeső) gyöke van: x 0, akkor P(x) = a x 2 + b x +c =a (x-x 0 ) 2 3. eset: ha az egyenletnek nincs gyöke, akkor a polinom nem bontható elsőfokú polinomok szorzatára

32 EL 51 Másodfokú egyenlet megoldóképlete Az a x 2 +b x+c=0 másodfokú polinomegyenlet gyökeit adja a következő formula x = b ± b 2a 2 4ac A b 2-4ac kifejezés (diszkrimináns) értékétől függően a másodfokú polinomegyenletnek 0, 1, vagy 2 db gyöke van. Megjegyzés: A harmad- és a negyedfokú polinomegyenlethez van megoldóképlet, de lényegesen bonyolultabb a másodfokúénál.

33 Az abszolút érték függvény és az előjel függvény EL 60 x x,ha x = x,ha x < 0 0 sgn(x) = 1,ha x > 0 0,ha x = 0 1,ha x < 0 x x x sgn x