Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény"

Átírás

1 Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek van inverz függvéne. Bizonítás: Ha a függvén például szigorúan monoton, növekvő, akkor az < feltevésből f ( ) < f ( ) következik. Ebből látható, hog eg függvénértéket a függvén csak eg helen vehet fel, tehát a hozzárendelés egértelműen megfordítható. Megjegzés: A szigorú monotonitás az inverz függvén létezésének elegendő, de nem szükséges feltétele. Könnű olan függvént találni, amel nem monoton, mégis van inverze.. Nevezetes függvének.. A hatvánfüggvén Definíció: Az = n függvént hatvánfüggvénnek nevezzük, ha n tetszőleges, nullától különböző állandó.... Pozitív egész kitevőjű hatvánfüggvén Értelemszerűen itt n Z +. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = (,+ ). Értékkészlet: R f = [,+ ), ha n páros; illetve R f = (,+ ), ha n páratlan. Foltonosság: az értelmezési tartománukon foltonos függvének.

2 4 3 n = n = 4 n = 3 n = ábra. Hatvánfüggvének képe pozitív egész kitevő esetén... Negatív egész kitevőjű hatvánfüggvén = n = n alakúak, ahol n Z+. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = (,+ ) \ {}. Értékkészlet: R f = [,+ ), ha n páros; illetve R f = (,+ ), ha n páratlan. Foltonosság: Foltonos, monoton részekből állnak.

3 n = 3 4 n = ábra. Hatvánfüggvének képe negatív egész, páratlan kitevő esetén n = 3 n = ábra. Hatvánfüggvének képe negatív egész, páros kitevő esetén..3. Törtkitevőjű hatvánfüggvének Teljes tárgalásuk sok apró vizsgálatot igénel. = p p q esetén a tört számlálójának és nevezőjének páros vag páratlan voltát kell megvizsgálni. Gakorlati q szempontból legfontosabb az = = függvén. 3

4 = = ábra. A négzetgök függvén és ellentettje Tulajdonságok: (Az = ± függvénre) Értelmezési tartomán: D f = [,+ ). Értékkészlet: = függvénre R f = [,+ ); = függvénre R f = (,]. Foltonosság: foltonos, monoton függvének... A polinomfüggvén = P () = a n + a n a n + a n függvén, ahol n N; a, a, a,...,a n tetszőleges valós számok. (n-edfokú polinom.) Az egész számegenesen értelmezett foltonos függvén, mivel foltonos függvének lineáris kombinációja. Viselkedése a -ben: lim P n () = { +, ha a >, ha a <. Ez akkor látszik legegszerűbben, ha kiemeljük az összes első tagját az összes többiből: ( P n () = a n + a a + a a a ) n a n. Ebben az felírásban esetében a zárójelben lévő összeg -hez konvergál. 4

5 .3. A racionális törtfüggvén Nem egszerűsíthető törtfüggvén, amel a, a, a,..., a n és b, b, b,..., b m valós számokkal a következő alakban írható fel: Tulajdonságok: f () = a n + a n a n + a n b n + b n b m + b m Értelmezési tartomán: a nevező zérushelei kivételével az egész számegenes. (legfeljebb m hel.) Határértékek: Az általános felírásban a számlálóban és a nevezőben lévő legmagasabb fokszámú tagot kiemelve: f () = ) a ( n + a a + a a an a n ) b ( m + b b + b b bm b m Ebben a kifejezésben esetén a zárójelben lévő kifejezések határértéke, ezért a függvén határértéke n és m értékeitől, illetve a és b előjelétől függ. Az eges lehetséges eseteket külön vizsgáljuk.. n > m esetén m a -nel egszerűsítve a kifejezés: n m. Ennek határértéke +, ha a és b azonos előjelű,, ha a és b b különböző előjelű. A -ben vett határérték az a és b előjelén kívül még (n m) páros vag páratlan voltától is függ. Nevezetesen: Ha a és b azonos előjelű, akkor a határérték +, ha n m páros; a határérték, ha n m páratlan. Ha a és b különböző előjelű, akkor fordított a helzet.. n = m esetén lim ± f () = a b. 3. Ha n < m, akkor egszerűsítés után a nevezőben m n miatt lim f () =. ±.4. Az eponenciális függvén Alakja = a, ahol a R +. 5

6 8 6 < a < a > ábra. Az eponenciális függvének grafikonja a > és < a < esetén Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,+ ). Monotonitás, foltonosság: Ha a >, akkor a függvén szigorúan monoton növekvő. Ha < a <, akkor a függvén szigorúan monoton csökkenő. A függvén az értelmezési tartomán minden pontjában foltonos. Ha a >, akkor lim a =, míg ha < a <, akkor lim + a =. Az eponenciális függvénnek az tengel aszimptotája..5. A logaritmus függvén Az = a eponenciális függvén inverzét logaritmus függvénnek nevezzük: = log a a > 6

7 4 a > < a < ábra. A logaritmus függvén Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = ],+ ) Értékkészlet: R f = (,+ ) Foltonosság, monotonitás: Mivel az eponenciális függvén foltonos, ezért a logaritmus függvén is foltonos; a > esetén szigorúan monoton növekvő, < a < esetén szigorúan monoton csökkenő. Megjegzés: Az e =,78... alapú logaritmus jele ln, a -es alapú logaritmus jele lg..6. Trigonometrikus függvének Az = sin, = cos, = tg, = ctg függvének összefoglaló neve trigonometrikus függvének, ahol ívmértékben értendő. 7

8 ctg sin tan cos 7. ábra. Szögfüggvének grafikus jelentése.6.. Szinusz függvén Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,]. Periodicitás: A függvén π szerint periodikus. Ebből következően sin( + π) = sin, ami sin( ± kπ) = sin alakban is felírható, ahol k N. Foltonosság, monotonitás: A szinusz függvén a teljes értelmezési [ tartománon foltonos. A függvén szigorúan monoton növekvő az π, π ] intervallumon, tehát az [ π ± kπ, π ] ± kπ -n is. A függvén szigorúan [ π monoton csökkenő az, 3π ] [ π -n, és ezáltal ± kπ, 3π ] ± kπ -n is. Paritás: Páratlan függvén, azaz sin ( ) = sin. 8

9 π π π 3π π 8. ábra. A szinusz függvén grafikonja.6.. Koszinusz függvén ( A cos = sin + π ) összefüggés alapján können tárgalható. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,]. Foltonosság, monotonitás: A koszinusz függvén a teljes értelmezési tartománon foltonos. az [ ± kπ,π ± kπ]-n. [π ± kπ,π ± kπ]-n. Paritás: Páros függvén, azaz cos ( ) = cos. A függvén szigorúan monoton csökkenő A függvén szigorúan monoton növekvő az 9

10 π π π 3π π 9. ábra. A koszinusz függvén grafikonja.6.3. Tangens függvén Definíció szerint: def = sin cos Tulajdonságok: { Értelmezési tartomán: D f = R \ (k + ) π } k Z. Értékkészlet: R f = R. Foltonosság, monotonitás: A szakadási heleken (azaz = (k + ) π, ahol k Z) a bal oldali határérték +, a jobb oldali határérték. Periodicitás: A tangens függvén π szerint periodikus, hiszen tg ( + π) = Paritás: A tangens függvén páratlan. sin( + π) cos ( + π) = sin cos = tg

11 3 3 π π π 3π. ábra. A tangens függvén grafikonja.6.4. Kotangens függvén Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R \ {kπ k Z}. Ezeken a heleken a jobb oldali határérték +, a bal oldali határérték. Értékkészlet: R f = R. Foltonosság, monotonitás: A ]±kπ, ±(k + ) π[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, foltonos függvén. (k Z) Periodicitás: A kotangens függvén π szerint periodikus. Paritás: A kotangens függvén páratlan.

12 3 3 π π π 3π. ábra. A kotangens függvén grafikonja.7. Trigonometrikus függvének inverzei.7.. Az arkusz szinusz függvén Az = sin függvén inverze. A sin függvén a π π intervallumon szigorúan monoton növekvő. Ennek inverze az arc sin függvén, amit az = arc sin főágának, vag főértékének szokás nevezni. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = [,]. [ Értékkészlet: R f = π, π ]. Foltonosság, monotonitás: A főágon túl az összes szigorúan monoton szakasz is invertálható, ezen inverzek összességét = Arc sin -szel jelöljük. Ennek bármelik ága előállítható arc sin-szel.

13 π = arc sin π. ábra. Az arkusz szinusz függvén grafikonja A fentiekből a teljes számegenesre értelmezett Arc sin függvénre: { arc sin ± kπ a növekvő ágakra Arc sin = (π arc sin ) ± kπ a csökkenő ágakra.7.. Az arkusz koszinusz függvén Az = cos függvén inverze. A cos függvén a π intervallumon szigorúan monoton növekvő. Ennek inverze az arc cos függvén, amit az = arc sin főágának, vag főértékének szokás nevezni. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = [,]. Értékkészlet: R f = [,π]. Foltonosság, monotonitás: A főágon túl az összes szigorúan monoton szakasz is invertálható, ezen inverzek összességét = Arc cos -szel jelöljük. Ennek bármelik ága előállítható arc cos-szel. 3

14 π π = arc cos 3. ábra. Az arkusz koszinusz függvén grafikonja A fentiekből a teljes számegenesre értelmezett Arc cos függvénre: { arc cos ± kπ a csökkenő ágakra Arc cos = arc cos ± kπ a növekvő ágakra.7.3. Az arkusz tangens függvén A [ π, ] π intervallumon szigorúan monoton ág inverze arc tg. Ez a főág vag főérték. A többi ég is invertálható, ezek összessége: Arc tg = arc tg ± kπ. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R. [ Értékkészlet: R f = π, π ]. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan mononton növekvő, foltonos függvén. Határértékek: lim = arc tg = π, illetve lim + = arc tg = π. 4

15 π = arc tg π ábra. Az arkusz tangens függvén grafikonja.7.4. Az arkusz kotangens függvén A [,π] intervallumon szigorúan monoton ág inverze arc ctg. Ez a főág v. főérték. A többi ég is invertálható, ezek összessége: Arcctg = arc ctg ± kπ. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,π]. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő, foltonos függvén. Határértékek: lim = arc ctg =, illetve lim = arc ctg = π. + 5

16 π π = arc ctg ábra. Az arkusz kotangens függvén grafikonja.8. Hiperbolikus függvének.8.. A szinusz hiperbolikusz függvén Definíció szerint: Tulajdonságok: = sh def = e e Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = R. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton növekvő, foltonos függvén. Paritás: sh ( ) = e e = sh miatt páratlan függvén. 6

17 3 = e = e = sh ábra. A szinusz hiperbolikusz függvén grafikonja.8.. A koszinusz hiperbolikusz függvén Definíció szerint: Tulajdonságok: = ch def = e + e Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,+ ). Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton szakaszokból áll, foltonos függvén. Paritás: ch ( ) = e + e = ch miatt páros függvén. 7

18 = ch = e = e ábra. A koszinusz hiperbolikusz függvén grafikonja A sh és ch függvének nevezetes azonosságai ch sh = Bizonítás: ( e + e ) ( e e ) = e + e + e e + = 4 sh(u ± v) = sh u ch v ± ch u sh v shu = sh u ch u ch ( ± ) = ch ch ± sh sh ch = ch + sh ch = sh = ch + ch.8.3. A tangens hiperbolikusz függvén Definíció szerint: Tulajdonságok: th def = sh ch = e e e + e 8

19 Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,]. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton növekvő, foltonos függvén. Paritás: Páratlan függvén. Határértékek: lim = th =, illetve lim = th =. + = th ábra. A tangens hiperbolikusz függvén grafikonja.8.4. A kotangens hiperbolikusz függvén Definíció szerint: Tulajdonságok: cth def = ch sh = e + e e e Értelmezési tartomán: D f = R \ {}. Értékkészlet: R f = R \ [,]. Foltonosság, monotonitás: Két szigorúan monoton csökkenő, foltonos szakaszból áll. Paritás: Páratlan függvén. 9

20 Határértékek: lim vett határérték: lim = cth =, illetve lim = cth =, és lim + + = cth =. A -ban = cth = +. 5 = cth ábra. A kotangens hiperbolikusz függvén grafikonja.9. Hiperbolikus függvének inverzei.9.. Az area szinusz hiperbolikusz függvén A szinusz hiperbolikusz függvén definíciójából indulunk ki. Innen átrendezzük, kifejezve az e -t: sh = = e e e e = e e = e = ± + A negatív előjel, R esetében nem jöhet szóba. Ennek figelembe vételével vetejük mindkét oldal logaritmusát: ( = ln + ) + Innen az ar sh függvén definíciója: ar sh = ln ( + ) +

21 3 = ar sh ábra. Az area szinusz hiperbolikusz függvén grafikonja.9.. Az area koszinusz hiperbolikusz függvén 3 = ar ch 3. ábra. Az area koszinusz hiperbolikusz függvén grafikonja.9.3. Az area tangens hiperbolikusz függvén A tangens hiperbolikusz definícója: th = e e e + e =

22 Innen e -t kifejezve: Gökvonás és logaritmus után: e ( ) = e ( + ) e = + = ln + Ezek szerint a area tangens hiperbolikusz definíciója, figelembe véve az area tangens értékkészletét (ami az inverz függvénének értelmezési tartomána lesz): ar th = ln +, ahol ],[ = ar th. ábra. Az area tangens hiperbolikusz függvén grafikonja.9.4. Az area kotangens hiperbolikusz függvén Az area kotangens hiperbolikusz definíciós összefüggése alakra uganaz, mint az ar th függvéné, azzal a különbséggel, hog más az értelmezési tartomán: ar cth = ln +,ahol (, ] [, ).

23 3 = ar cth ábra. Az area kotangens hiperbolikusz függvén grafikonja. Feladatok.. Értelmezési tartomán Határozzuk meg a következő függvének értelmezési tartománát! ) = + + A négzetgök értelmezési tartomána miatt teljesülnie kell az alábbi feltételeknek: + és Ezek átrendezésével: és Innen az értelmezési tartomán: D f = [,]. ) = + 3 A tört nevezője nem lehet, ami azt jelenti, hog és 3. További megszorítás nincs, ezért az értelmezési tartomán: D f = R \ {,3}. 3) = ln ( 3 + ) A logaritmus miatt: 3 + > A bal oldal gökei = és =. Ábrázolva a függvént: 3

24 ábra. Az area kotangens hiperbolikusz függvén grafikonja Leolvasható, hog D f = (,[ ], ) 5 4) = ln 4 A gökjel alatti kifejezés nemnegatív kell, hog legen: 5 = A bal oldal gökei = és = 4, vagis az előbbi egenlőtlenség 4 esetén teljesül. Vagis ez épp az értelmezési tartomán D f = [,4]. 5) = arc sin 3 5 Az arkusz szinusz értékkészlete miatt: Innen átrendezéssel: Az értelmezési tartomán tehát: D f = [,4]. 4

25 6) = arc cos 9 Egrészt a négzetgök értelmezési tartomána miatt: 9, vagis 3 3. Másrészt az arkusz koszinusz értelmezési tartomána miatt: 9 8 Ez alapján 8 vag 8 kell, hog teljesüljön. A két feltétel összevetéséből az értelmezési tartomán: D f = [ 3, 8 ] [ 8,3 ]... Értékkészlet Határozzuk meg a következő függvének értelmezési tartománát, értékkészletét és ábrázoljuk a függvént! ) = arc sin ( + 3) Értelmezési tartomán: az arkusz szinusz argumentuma - és közé kell, hog essen. Emiatt +3 = 4. Vagis D f = [ 4, ]. Értékkészlet: nincs külső transzformáció, ezért R f = [ π, ] π. π arc sin ( + 3) arc sin π ábra. Függvénábrázolás transzformációval 5

26 ) = arc cos + Értelmezési tartomán: az arkusz koszinusz argumentuma - és közé kell, hog essen. Emiatt =. Vagis D f = [,]. Értékkészlet: a külső transzformáció miatt R f = [,π + ]. π + arc cos + π arc cos π π arc cos arc cos 3) = 3 arc tg 6. ábra. Függvénábrázolás transzformációval Értelmezési tartomán: Az arkusz tangens értelmezési tartománát nem szűkíti le ez a belső transzformáció, ezért D f = R. Értékkészlet: a külső transzformáció miatt R f = ] π 4, π [. 4 6

27 π arc tg 3 arc tg arc tg 3 arc tg( 3) π ábra. Függvénábrázolás transzformációval 4) = sh ( + ) Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = R. 4 sh ( + ) sh ( + ) sh 4 8. ábra. Függvénábrázolás transzformációval 7

28 .3. Paritás Állapítsuk meg az alábbi függvénekről, hog párosak, vag páratlanok, vag nincs értelme a paritásnak! ) = 3 + Páratlan függvén, hiszen két páratlan függvén összege. ) = 4 Páros függvén, hiszen két páros függvén különbsége. 3) = Páros függvén, hiszen páros függvénekből áll elő. (Figelem, = függvén is páros!) 4) = sin 6 Nincs paritása, hiszen eg páros és eg páratlan függvén különbsége. 5) = 3 cos Páratlan függvén; páros és páratlan függvén szorzata páratlan. Legen uganis h () = f () g () a szorzatfüggvén, és f () páros, g () páratlan függvének. Ekkor: h ( ) = f ( ) g ( ) = f () [ g ()] = f () g () = h (), vagis a h () függvén ténleg páratlan. 6) = Páratlan függvén, mert páros és páratlan függvének hánadosa. 7) = sin5 6 Páros függvén, mert két páratlan függvén hánadosa. 8) = sin Páros függvén, mert páros függvének szorzata..4. Inverz függvén Képezzük a következő függvének inverzeit: 8

29 ) = 3 + Átrendezés után: = 3 + = 3 = + = = 3 = = 3 Az inverz függvén: = 3. ) = ln + 5 = ln + 5 = e = + 5 = e = + 5 = = Az inverz függvén: ( = ) e 5 3) = 3 + e 4 = 3 + e 4 = 3 = e 4 = ln ( 3 ) = 4 Az inverz függvén: = 4 ln ( 3 ). 4) = 5 6 = 5 6 = 6 = 5 = (6 ) = 5 Az inverz függvén: = ) = = = + 6 = 5 +5 = log 5 ( + 6) = + 3 Az inverz függvén: = [log 5 ( + 6) 3] ( e 5 ).5. Polárkoordinátás ábrázolás Ábrázoljuk polárkoordináta-rendszerben az alábbi függvéneket: ) r (ϕ) = a ϕ 9

30 r = t ábra. Archimédeszi spirál ) r (ϕ) = e ϕ r = 7 ep(t) 3 3. ábra. Logaritmikus spirál 3

31 3) r (ϕ) = a( + cos ϕ) r = +cos(t) 3. ábra. Kardioid 4) r (ϕ) = a cos ϕ r ϕ a ϕ = 3. ábra. Az r = a sugarú kör ábrázolása polárdiagramon 5) Írjuk fel a polártengellel párhuzamos, és tőle egségre haladó egenes egenletét polárkoordinátás megadásban: 3

32 r ϕ ϕ = 33. ábra. A polártengeltől egségre lévő egenes Az ábráról látható, hog = sinϕ, ahonnan átrendezéssel az egenes egenlete: r = sin ϕ r. 6) A derékszögű koordináta-rendszer és a polár koordináta-rendszer közötti kapcsolat segítségével írjuk fel az archimédeszi spirális és a logaritmikus spirális paraméteres egenletrendszerét! Archimédeszi spirális: polárkoordinátákban r = aϕ. Ebből a megoldás: = aϕcos ϕ = aϕsin ϕ Logaritmikus spirális: polárkoordinátákban r = e ϕ. Innen: =.6. Implicit függvénmegadás ) = e ϕ cos ϕ = e ϕ sinϕ Az -et és -t tartalmazó tagokat teljes négzetté alakítjuk. Innen: ( ) + ( + 4) = 6, ami eg (, 4) középpontú, r = 4 sugarú kör egenlete. ) = Hasonlóan járunk el, mint a kör esetében. Az átalakítás után: + 9( ) = 9 Mindkét oldalt 9-cel elosztva eg ellipszis egenletét kapjuk: 9 + ( ) =. 3

33 Az ellipszis középpontja (,), a két fél nagtengele a = 3 és b = hosszúságú. 3) 9 4 = 36 Átalakítás után: Ez eg hiperbola egenlete. 4 9 =.7. Paraméteres függvénmegadás { = 5cos t ) = 3sin t Látható sin + cos = alapján, hog ezzel ekvivalens: ) =, ami eg origó középpontú, a = 5 és b = 9 fél nagtengelekkel rendelkező ellipszis egenlete. { = 5(t sin t) = 5( cos t) Ez eg ciklois, vagis eg olan görbe, amit eg r = 5 sugarú kör kerületi pontja ír le, miközben a kör gördül az tengelen. = 5 (t cos(t)), = 5 ( cos(t)) ) { = 3t = t ábra. Ciklois görbe Fejezzük ki a t-t -szel; az első egenletből: t =

34 Ezt a második egenletbe visszahelettesítve: = meredekséggel, és b = 4 3 tengelmet- ami eg egenes egenlete, m = 3 szettel. = 5 3 = ,.8. Függvénhatárértékek A következő példákban a függvének határértékeinek meghatározásának leggakoribb módszereit mutatjuk be eg-eg példával. ) A számláló és nevező szorzattá alakítása után: + 3 lim = lim ( ) ( + 5) ( ) ( + ) = lim = = 7 3 ) A számlálóban elimináljuk a négzetgököt, ezután können adódik a határérték: lim + + = lim = + + = lim ( ) = lim = 3) Szorzattá alakítás és egszerűsítés után: lim = lim 8 6 = 8 6 lim = = 8 6 lim = ( )( + + ) ( ) ( ) 4 = 3 = = 6 4) sin alakú határértékre visszavezethető a tört bővítésével: sin5 sin 5 lim = 5 lim 5 = 5 5) Szintén sin alakra vezet, ha felhasználjuk a tangens definícióját: tg lim = lim sin cos = 34

35 6) A tangens definícióját felhasználva három egszerűbb határérték szorzatára bomlik fel: tg sin lim 3 sin = lim sin cos = lim sin cos cos A *-gal jelölt egenlőség bizonítása: cos lim = lim 3 sin = = = 4 lim 7) Racionális törtfüggvén határértéke -ban: lim = lim = lim sin( cos ) (cos ) 3 = ( sin ) = = 5 3 8) Két szögfüggvén különbségére vonatkozó nevezetes azonosság segítségével két sin alakú határértéket kapunk: cos 6 cos 3 lim = lim sin 6+3 sin 7 sin = lim 9) A cos -et lim π 3cos cos sin sin 6 3 = lim sin 7 7 = sin 3 3 lim = argumentumú szögfüggvénekkel felírva egszerűsíthető a tört: ) Helettesítéses határérték: ( ) lim = lim + cos = 3 lim sin π cos sin ( + + ( = 3 lim cos π + sin ) = 3 ) ( = lim ) = + A helettesítés képlete: + =, amiből átrendezéssel: = u. u Ezzel a határérték: ( = lim + u [( = lim + u u) ) u ] ( + ) = e = u u u e ) Rendőr-elv alkalmazása: ( lim + ) ( = lim + ) 35

36 A gökjel alatti menniséget alulról és felülről becsüljük, felhasználva, hog ( + ) lim = e, kapjuk: < ( + ) < 3 Itt lim = lim 3 =, ezért az eredeti függvénre is lim f () =. ) Helettesítéses határérték: lim ( ) + = lim ( + 3 ) ( = lim + 3 ) ( 3 ) = lim + 3 A helettesítés: u =, vagis = 3 u +. Ezzel a zárójelben lévő kifejezés határértéke: [( lim + ) u ] 3 ( + = e u u u) 3 ( ) + De lim e = +, tehát lim = +. 3) A tangens definíciója, és a szögfüggvének transzformációjával: ( π ) ( π ) ( sin π lim π tg = lim π cos = lim ) π sin ( π sin = ) 4) Racionális törtfüggvén határértéke esetében a nevező legnagobb fokszámú tagjával egszerűsítünk: lim = lim = 5 8 5) sin típusú határértéket kapunk, ha bővítünk 5-szel:.9. Függvénábrázolás Ábrázoljuk a következő függvéneket: sin 8 lim tg5 = lim sin8 8 5 tg 5 =

37 ) Racionális törtfüggvén: = 3 Rögtön látható, hog az = egenes aszimptota. Ezen túl érdemes megvizsgálni a függvén határértékeit, ezek segítik a törtfüggvén ábrázolását. A függvén grafikonja tehát: lim = 3 = 3 lim = 3 = + lim = 3 + = 5 = ábra. Transzformált reciprokfüggvén grafikonja ) Teljes négzetté alakítás: = 4 8 = 4 ( ) = 4 [ ] ( ) 4 = 4( ) 6 A függvén grafikonját az = függvénből kiindulva transzformációkkal képezzük: 37

38 5 = = ( ) = 4( ) = 4( ) ábra. Másodfokú függvén transzformációja 3) Négzetgököt tartalmazó függvén: = 3 6 = 3 = 3 3 = = ábra. Gök függvén transzformációja 4) Reciprok függvén = ( ) 3 38

39 4 = ( ) 3 = ábra. Törtfüggvén transzformációval 39

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

7. Kétváltozós függvények

7. Kétváltozós függvények Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3.

Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3. 0-06, II. félév. FELADATLAP Eredmének. Van határértéke, illetve foltonos az f függvén az alábbi pontokban? (a) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -mal egenl½o f() =.! Az

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

A közoktatás függvénytani ismereteinek összefoglalása

A közoktatás függvénytani ismereteinek összefoglalása A közoktatás függvéntani ismereteinek összefoglalása Vigné Dr. Lencsés Ágnes 005. Lektorálta: Dr. Klincsik Mihál a matematika tudománok kandidátusa Szerkesztette: Pilgermajer Ákos Az ábrákat készítette:

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

Kettős és többes integrálok

Kettős és többes integrálok Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x. Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gula Parócza József Szászné dr Simon Judit MATEMATIKA 9 Az érthetõ matematika tankönv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amel ingenesen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Két statikai alapfeladatról

Két statikai alapfeladatról Két statikai alapfeladatról evezetés z alábbiakban két gakori és fontos síkbeli statikai alapfeladatot veszünk alaposabban szemügre kicsit másként két feladat: 1 Közös támadáspontú két erő eredőjének meghatározása

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Koordinátarendszerek

Koordinátarendszerek Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben