Hatványsorok, elemi függvények

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hatványsorok, elemi függvények"

Átírás

1 Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények

2 Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények) A H függvényhalmaz elemeiből képzett ( f n ) : N H sorozatot függvénysorozatnak nevezzük.

3 Hatványsorok, elemi függvények EL 3 Példa: nemnegatív egész kitevős függvényekből álló függvénysorozat f n () n, ]-1,1[, n0,1,, f 0 () 1, ]-1,1[ f 1 (), ]-1,1[ f (), ]-1,1[ f 3 () 3, ]-1,1[ : f n () n, ]-1,1[ :

4 Hatványsorok, elemi függvények EL 4 Definíció: függvénysor Legyen (f n ) : N H egy függvénysorozat. Az (f n ) elemeiből képzett s 1 f 1 s f 1 + f n s 3 f 1 + f + f 3 s n f i : i 1 s n f 1 + f + + f n : sorozatot függvénysornak nevezzük. Jelölés (s ) n1 n f n

5 Hatványsorok, elemi függvények EL 5 Példa n 0 Megjegyzés f n () n 0 n ]-1,1[ A változó rögzített értéke mellett a függvénysor egy számsor. A fenti példában az 1/ érték mellett például a számsort kapjuk. n 0 1 n

6 Hatványsorok, elemi függvények EL 6 Definíció: hatványsor Legyen 0 R, a n R, (n0,1,, ). Az f n () ( 0 ) n hatványfüggvényekből képzett n 0 f n () a n 0 n ( 0 ) n, z R speciális függvénysort hatványsornak nevezzük. Példa n 0 f n () n 0 n ]-1,1[ Itt 0 0, a n 1 (n0,1,, )

7 Hatványsorok, elemi függvények EL 7 Megjegyzés Rögzített érték mellett a hatványsor egy számsor. Hatványsorok esetén fontos kérdés, hogy melyek azok a értékek, melyek mellett a hatványsor konvergens. Példa A n0 n hatványsor konvergens, ha ]-1,1[.

8 Hatványsorok, elemi függvények EL 8 Tétel: hatványsor konvergenciatartománya Egy n 0 a n (z z0) n hatványsor esetén a következő három eset lehetséges: 1. ESET A hatványsor csak egy pontban, 0 esetén konvergens, az ettől különböző pontokban divergens. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia sugár 0.

9 Hatványsorok, elemi függvények EL 9. ESET A hatványsor egy pont egy véges környezetében konvergens, pontosabban: van olyan r>0, hogy a hatványsor konvergens, ha 0 < r és divergens, ha 0 > r. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia sugár r, az 0 pont r sugarú nyílt környezetét a hatványsor konvergencia tartományának nevezzük. (Ez nem más, mint az ] 0 r, 0 +r[ nyílt intervallum. Megjegyzés A konvergenciatartomány határán való viselkedés kérdéses.

10 Hatványsorok, elemi függvények EL 10 Példa A n0 n hatványsor konvergencia tartománya a ]-1,1[ intervallum.

11 Hatványsorok, elemi függvények EL ESET A hatványsor mindenhol, azaz minden R esetén konvergens. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia sugár, a konvergenciatartomány pedig a teljes számegyenes. Példa A 0 n n z n! hatványsor mindenhol konvergens.

12 Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Definíció: hatványsor összegfüggvénye Tekintsük a n 0 a n ( 0) n hatványsort, és definiáljuk az f függvényt a hatványsor konvergencia tartományában a következőképpen f () n 0 a n ( 0) (Az f függvény értéke egy helyen egyenlő a rögzítésével kapott számsor összegével.) Az f függvényt a hatványsor összegfüggvényének nevezzük. n

13 Hatványsorok, elemi függvények EL 13 Példa: A n0 n hatványsor konvergencia tartománya a ]-1,1[ intervallum. Itt fennáll, hogy n 0 n 1 1 így a hatványsor összegfüggvénye: f () 1 1

14 Hatványsorok, elemi függvények EL 14 A n 0 n 1 1 hatványsor első néhány tagja és összegfüggvénye:

15 Hatványsorok, elemi függvények EL 15 A n 0 n 1 1 hatványsor első néhány részletösszege és összegfüggvénye:

16 Hatványsorok, elemi függvények EL 16 A természetes alapú eponenciális függvény Definíció: eponenciális függvény A 0 n n n! hatványsor mindenhol konvergens. Összegfüggvénye: n 0 n n! e R e 1+ +! + 3 3! + 4 4! +...

17 Hatványsorok, elemi függvények EL 17 e 1+ +! + 3 3! R

18 Hatványsorok, elemi függvények EL 18 A természetes alapú logaritmus függvény Az e természetes alapú eponenciális függvény inverze az log e ln függvény. A természetes alapú eponenciális és logaritmus függvény grafikonja: e ln

19 Hatványsorok, elemi függvények EL 19 Definíció Eponenciális függvények Ha a R, a>0, akkor legyen a e lna, R A valós változós eponenciális függvények grafikonja: a, ha a > 1 a, ha 0 < a < 1

20 Hatványsorok, elemi függvények EL 0 Definíció A szinusz függvény n+ 1 n sin( ) ( 1) sin() n 0 (n + 1)! 3! 5! 7! sin

21 Hatványsorok, elemi függvények EL 1 sin 3 3! + 5 5!

22 Hatványsorok, elemi függvények EL A koszinusz függvény Definíció: n n 4 6 cos( ) ( 1) cos() n 0 (n)!! 4! 6! cos

23 Hatványsorok, elemi függvények EL 3 A sin és cos függvények nevezetes értékei (π180 )

24 Hatványsorok, elemi függvények EL 4 A trigonometrikus függvényekre vonatkozó azonosságok

25 Hatványsorok, elemi függvények EL 5 A trigonometrikus függvényekre vonatkozó azonosságok

26 Hatványsorok, elemi függvények EL 6 A trigonometrikus függvények kapcsolata

27 Hatványsorok, elemi függvények EL 7 A tangens és a kotangens függvény Definíció tg () sin() cos() ctg () cos() sin()

28 Hatványsorok, elemi függvények EL 8 A szinusz hiperbolikusz függvény Definíció sh() e e R A szinusz hiperbolikusz függvény előállítása hatványsorral: n sh () sh() n 0 (n + 1)! 3! 5! sh

29 Hatványsorok, elemi függvények EL 9 Definíció: A koszinusz hiperbolikusz függvény ch() e + e R A koszinusz hiperbolikusz függvény előállítása hatványsorral: n 4 ch () ch() n0 (n)!! 4! A ch függvény grafikonja (láncgörbe): ch

30 Hatványsorok, elemi függvények EL 30 Definíció A tangens hiperbolikusz és a kotangens hiperbolikusz függvény th () sh() ch() cth () ch() sh()

31 Hatványsorok, elemi függvények EL 31 A hiperbolikusz függvényekre vonatkozó azonosságok

32 Hatványsorok, elemi függvények EL 3 A hiperbolikusz függvényekre vonatkozó azonosságok

33 Hatványsorok, elemi függvények EL 33 Kapcsolat a hiperbolikusz függvények között

34 Hatványsorok, elemi függvények EL 34 A hatványfüggvények 3

35 Hatványsorok, elemi függvények EL 35 1/ 1/3-1 -

36 Hatványsorok, elemi függvények EL 36 Inverzfüggvény (lásd a halmazok című fejezetben is) A hatvány, az eponenciális, a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények inverzei Definíció: invertálható függvény Ha minden y R f elemhez pontosan egy olyan D f elem létezik, melyre f()y, akkor az f függvényt invertálható függvénynek nevezzük.

37 Hatványsorok, elemi függvények EL 37 Példák Az f(), D f R függvény invertálható Az f(), D f R nem invertálható függvény Az f(), D f [0,+ [ függvény invertálható

38 Hatványsorok, elemi függvények EL 38 Definíció: inverzfüggvény Ha f invertálható függvény, akkor azt a g: R f D f függvényt, melyre minden D f esetén fennáll, hogy g o f ( ) az f függvény inverzfüggvényének nevezzük. Jelölés g f -1

39 Hatványsorok, elemi függvények EL 39 Példa f() f -1 () log Df R R f ]0, + [ D 1 ]0, + [ R 1 R f f

40 Hatványsorok, elemi függvények EL 40 Definíció: Legyen 0<a R, a 1. Logaritmus függvények Az log a függvény a valós a eponenciális függvény inverze. log a, ha a > 1 log a, ha 0 < a < 1

41 Hatványsorok, elemi függvények EL 41 A definíció szerint Kapcsolat függvény és inverze között f 1 of () fof 1 () azaz, ha egy függvényből és az inverzéből összetett függvényt képezünk, akkor az identikus függvényt kapjuk. Példa f() f -1 ()log f 1 of () log fof 1 () log

42 Hatványsorok, elemi függvények EL 4 Példa Kapcsolat függvény és inverze között Függvény és inverze esetén az értelmezési tartományok és az értékkészletek felcserélődnek: D f R f 1 R f D f 1 f() f -1 ()log D R 1 f f R R 1 f D ]0, + [ f

43 Hatványsorok, elemi függvények EL 43 Kapcsolat függvény és inverze között f és f 1 grafikonjai egymás tükörképei az egyenesre vonatkozóan f és f 1 monotonitása azonos

44 Hatványsorok, elemi függvények EL 44 Hatványfüggvény inverze 1 n f () 1 n f () (n R, n 0) Példa f() D f [0, [ ( )

45 Hatványsorok, elemi függvények EL 45 A trigonometrikus függvények inverze f() sin f -1 () arcsin π sin 6 1 arcsin 1 π 6

46 sin arcsin cos arccos

47 tg arctg ctg arcctg

48 A hiperbolikusz függvények inverzei sh arsh ch arch

49 th arth cth arcth

50 Hatványsorok, elemi függvények EL 50 Polinomfüggvények Definíció A polinomok a változó nem negatív egész kitevős hatványainak valós számokkal képzett lineáris kombinációi P() a 0 + a 1 + a + a a n n Polinom fokszáma: Polinom főegyütthatója: n a n

51 Hatványsorok, elemi függvények EL 51 A polinomok a legegyszerűbben kezelhető függvények, ezért sokszor célszerű bonyolultabb függvényeket polinomokkal közelíteni (lásd: interpolációs polinomok, Taylor polinomok a differenciálszámításnál, közelítő integrálás a Simpson formulával, stb.) A polinomok vizsgálatában a legalapvetőbb feladat a zérushelyek (gyökök) megkeresése, a gyöktényezős felbontás előállítása és az előjelvizsgálat.

52 Hatványsorok, elemi függvények EL 5 Tétel: gyöktényezős felbontás Minden (legalább első fokú) polinom egyértelműen felbontható elsőfokú és valós gyökkel nem rendelkező másodfokú polinomok szorzatára. A felbontásban szereplő elsőfokú tényezők a gyöktényezők, melyek egy-egy gyökhöz tartoznak az alábbiak szerint: 0 pontosan akkor gyöke egy polinomnak, ha az (- 0 ) gyöktényező szerepel a felbontásban.

53 Hatványsorok, elemi függvények EL 53 Példa P() (-3) (-1) (+5) gyökök: 1 3, 1, 3-5 Előjelvizsgálat (lásd: folytonos függvények előjelváltása): < <<1 1 1<<3 3 3< (-1) P()

54 Hatványsorok, elemi függvények EL 54 Másodfokú polinom gyöktényezős felbontása A P()a +b +c másodfokú polinom gyökttényezős felbontása az a +b +c0 másodfokú polinomegyenlet megoldásával kapható meg az alábbiak szerint: 1. eset: ha az egyenletnek két különböző gyöke van: 1 és, akkor P() a + b +c a (- 1 ) (- ). eset: ha az egyenletnek egy (pontosabban két egybeeső) gyöke van: 0, akkor P() a + b +c a (- 0 ) 3. eset: ha az egyenletnek nincs gyöke, akkor a polinom nem bontható elsőfokú polinomok szorzatára

55 Hatványsorok, elemi függvények EL 55 Másodfokú egyenlet megoldóképlete Az a +b +c0 másodfokú polinomegyenlet gyökeit adja a következő formula b ± b a 4ac A b -4ac kifejezés (diszkrimináns) értékétől függően a másodfokú polinomegyenletnek 0, 1, vagy db gyöke van. Megjegyzés A harmad- és a negyedfokú polinomegyenlethez van megoldóképlet, de lényegesen bonyolultabb a másodfokúénál.

56 Hatványsorok, elemi függvények EL 56 Megjegyzés Magasabb fokú polinomok gyökeinek megkeresésére különféle módszerek vannak. Például: egy gyök ismeretében a megoldandó egyenlet fokszáma eggyel csökkenthető a polinomosztás alkalmazásával. Példa Határozzuk meg a P() harmadfokú polinom gyökeit, ill. a gyöktényezős felbontását! Ehhez az harmadfokú polinomegyenletet megoldani. kell

57 Hatványsorok, elemi függvények EL 57 Mivel 1 gyöke a polinomnak a gyöktényezős felbontásukban szerepel az (-1) gyöktényező, vagyis P felbontása: P() ( 1 ) Q() ahol Q() egy másodfokú polinom, amit a Q() P() / (-1) polinomosztással tudunk meghatározni: ( 3 +1) : ( 1) 1 Q() (-) (-) +1 0

58 Hatványsorok, elemi függvények EL 58 Így a P polinom felbontása: P() ( 1 ) Q() ( 1 ) ( 1 ) A Q() 1 másodfokú polinom tovább bontható, így a P gyöktényezős felbontása: P() ( 1) ( 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) A gyökök pedig: 1 1 (kétszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: ( 1) -1 (egyszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: ( + 1)

59 Hatványsorok, elemi függvények EL 59 Interpoláció (Lagrange-féle interpolációs polinomok) Ha adott pontokra illesztünk egy függvényt meghatározott függvényosztályból, akkor interpolációról beszélünk. Interpolációt alkalmazunk például, ha két mennyiség összefüggésének vizsgálatára végzünk méréseket, és egy függvényosztályból keresünk egy olyan függvényt, mely a mérési eredményeknek megfelelő pontokon átmegy.

60 Hatványsorok, elemi függvények EL 60 Tétel: Lagrange féle interpolációs polinomok Ha adott n darab ( 1,y 1 ),, ( n,y n ) alappont úgy, hogy i j, ha i j akkor pontosan egy olyan legfeljebb (n-1)-edfokú L polinom létezik, mely illeszkedik mindegyik pontra. Ezt a polinomot n-edfokú interpolációs polinomnak nevezzük. Tétel: Lagrange féle interpolációs polinomok meghatározása L() n i 0 y g i i() ahol g i () n j 0 i j i j j

61 Hatványsorok, elemi függvények EL 61 Példa g g g g () () () () i y i ( 1)( )( 3) (0 1)(0 )(0 3) ( 0)( )( 3) (1 0)(1 )(1 3) ( 0)( 1)( 3) ( 0)( 1)( 3) ( 0)( 1)( ) (3 0)(3 1)(3 ) L () y g () + y g () + y g () + y g () g i () L() n j 0 i j i n i 0 y g 3 6 j j i i () +

62 Hatványsorok, elemi függvények EL A megadott pontokra illeszkedő harmadfokú polinom: L()

63 Hatványsorok, elemi függvények EL 63 Definíció Racionális törtfüggvények A racionális törtfüggvények a két polinom hányadosaként előálló függvények f () P() a n n 1 n n 1 k k 1 Q() bk + bk 1 + a a b a + b 0 0 Megjegyzés: szakadási helyek A Q polinom zérushelyeinél az f racionális törtfüggvények szakadása van, mely kétféle lehet: hézagpont, vagy pólus (lásd a folytonosság c. részt).

64 Hatványsorok, elemi függvények EL 64 Példa: racionális törtfüggvény, szakadási helyek ( 1)( 3) f () 3 ( 1) A nevező gyöktényezős felbontásából látható, hogy az f függvénynek az 0 és az 1 helyeken van szakadása. A tört egyszerűsítésével a következő függvény adódik: f *() 3 1 Vegyük észre, hogy az f és az f* függvények között csupán annyi a különbség, hogy az f* értelmezve van az 1 helyen, míg az f nincs. 3

65 Hatványsorok, elemi függvények EL 65 ( 1)( 3) f () ( 1) f *() Az f függvénynek az 1 helyen hézagpontja van, itt az f* függvény értelmezve van (és folytonos), míg az 0 helyen pólusa van, itt az f* függvény sincs értelmezve.

66 Hatványsorok, elemi függvények EL 66 Az, hogy egy f racionális törtfüggvénynek az 0 szakadási helyén hézagpontja vagy pólusa van attól függ, hogy a leegyszerűsítéssel nyert f* függvény nevezőjében megmarad-e az (- 0 ) gyöktényező: ha nem marad meg (vagyis, ha az f* függvény már folytonos lesz az 0 helyen), akkor f-nek az adott helyen hézagpontja van (ezt a folytonosság témakörben megszüntethető szakadásnak fogjuk nevezni) ha megmarad (vagyis, ha az f* függvénynek is szakadási helye 0 ), akkor f-nek az adott helyen pólusa van.

67 Hatványsorok, elemi függvények EL 67 páros pólus páratlan pólus ha a gyöktényező az f* függvény nevezőjében páros hatványon marad ha a gyöktényező az f* függvény nevezőjében páratlan hatványon marad

68 Hatványsorok, elemi függvények EL 68 Az abszolút érték függvény és az előjel függvény 1,ha > 0,ha 0 sgn() 0,ha 0,ha < 0 1,ha < 0 sgn

69 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 69 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy tetszőleges részhalmaza.

70 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 70 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye van az o D helyen, ha f( o ) 0. Megjegyzés A matematikai problémák jelentős része visszavezethető függvény zérushelyeinek megkeresésére.

71 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 71 Definíció: korlátosság Az f:d R függvény felülről [alulról] korlátos, ha az értékkészlete felülről [alulról] korlátos halmaz. Definíció: korlát Az értékkészlet felső korlátja / pontos felső korlátja (sup) / alsó korlátja / pontos alsó korlátja (inf) a függvény ugyanolyan jellegű korlátja.

72 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 7 Definíció: monotonitás Az f:d R függvény monoton növekvő monoton csökkenő szigorúan monoton növekvő szigorúan monoton csökkenő ha a 1, D, 1 < f( 1 ) < f( ). > szigorúan monoton növekvő függvény szigorúan monoton csökkenő függvény

73 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 73 Példa A fogyasztási függvény tipikusan növekvő függvény, hiszen nagyobb jövedelem általában nagyobb fogyasztási kiadást eredményez.

74 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 74 Definíció: szélsőérték (maimum, minimum) Az f:d R függvénynek maimuma [minimuma] van az 0 D helyen, ha f( 0 ) az f értékkészletének legnagyobb [legkisebb] eleme. Definíció: helyi (lokális) szélsőérték Az f:d R függvénynek helyi maimuma [minimuma] van az 0 D helyen, ha 0 -nak van olyan U környezete, melyben az f függvénynek maimuma [minimuma] van az 0 helyen.

75 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 75 Példa Egy sebesség-idő függvény: a sebesség 3s-ig növekszik, itt eléri a maimumát (1 m/s), utána csökken. Megjegyzés Szemléletesen fogalmazva: a helyi szélsőérték-helyek a függvény különböző monotonitású szakaszait választják el egymástól.

76 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 76 Definíció: konveitás Az f:i R függvény konve [konkáv], ha az I intervallum bármely két u<v eleme esetén az (u,f(u)) és a (v,f(v)) pontokat összekötő szakasz (húr) az f függvény felett [alatt] halad. Definíció: infleió Az f:d R függvénynek az D helyen az infleiós pontja van, ha van az -nek olyan ]-ε,+ε[ környezete, hogy az f függvénynek az ]-ε,] intervallumon konve [konkáv], míg az [,+ε[ intervallumon konkáv [konve].

77 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 77 Példa A fogyasztási függvény tipikusan konkáv, mivel a jövedelem növekedése esetén a fogyasztási kiadások egyre kisebb mértékben növekednek, azaz a növekedés üteme csökken.

78 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 78 Definíció: paritás Legyen a D R halmaz szimmetrikus az origóra. Az f:d R függvény páros [páratlan], ha bármely D esetén f(-) f() [ f(-) -f() ]. Megjegyzés Példa A páros függvények grafikonja tengelyesen szimmetrikus a függőleges tengelyre, a páratlan függvények grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. A trigonometrikus függvények közül a sin, tg, ctg függvények páratlanok, a cos függvény páros.

79 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 79 Definíció: periódus Az f:r R függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan pozitív p szám, melyre teljesül, hogy bármely R esetén f(+p)f(). Ha az f függvény periodikus, akkor végtelen sok megfelelő p érték van. A definícióban meghatározott tulajdonságú p értékek halmazának van legkisebb eleme, akkor ezt a számot az f függvény periódusának nevezzük.

80 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 80 Példa A trigonometrikus függvények periodikusak. A sin és a cos függvények periódusa π, a tg és a ctg függvények periódusa π. (Pontonkénti) műveletek R R függvényekkel Definíció: összeadás Az f:d R és a g:d R függvények összege az az (f+g):d R függvény, melyre: ( f + g )( ) f ( ) + g ( )

81 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 81 Hasonlóan értelmezzük a másik három (pontonkénti) alapműveletet is: Definíciók: kivonás, szorzás, osztás Az f:d R és a g:d R függvények különbsége, szorzata, hányadosa: ( f g )( ) f ( ) g ( ), D ( f g )( ) f ( ) g ( ), D ( f / g )( ) f ( ) / g ( ), D (ha 0 R g )

82 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 8 Definíció: folytonosság Az f:[a,b] R f függvény folytonos az 0 [a,b] helyen, ha bármely ( n ):N D f, n 0 sorozat esetén az f( n ):N R f sorozatra fennáll, hogy f ( n ) f ( 0 ). Példa Az f() függvény folytonos az 0 3 helyen, mert ha n 3, akkor f( n ) ( n ) 9 f(3)

83 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 83 Megjegyzés A folytonosság pontbeli tulajdonság. Definíció: jobb oldali folytonosság Az f:]a,b[ R függvény jobbról folytonos az 0 ]a,b[ helyen, ha az f függvény [ 0,b[ intervallumra való leszűkítése folytonos az 0 helyen. Definíció: bal oldali folytonosság Az f:]a,b[ R függvény balról folytonos az 0 ]a,b[ helyen, ha az f függvény ]a, 0 ] intervallumra való leszűkítése folytonos az 0 helyen.

84 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 84 Tétel Az f:]a,b[ R függvény folytonos az 0 ]a,b[ helyen f balról és jobbról is folytonos az 0 helyen. Példa Ez a függvény mindenhol folytonos balról, de a 0, 1, és a 3 helyeken nem folytonos jobbról.

85 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 85 Definíció: intervallumon folytonos függvény Az f:i R függvény folytonos az I intervallumon, ha folytonos az I minden pontjában.

86 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 86 Tétel Intervallumon folytonos függvények néhány tulajdonsága Ha az f:[a,b] R függvény folytonos [a,b]-n, akkor az értékkészlet bármely c,d R f, c<d elemei esetén a [c,d] R f. Vagyis: intervallumon folytonos függvény bármely két értéke közötti értékek mindegyikét felveszi. Következmény Ha a fenti feltételek mellett az f(a) és az f(b) függvényértékek előjele különböző, akkor az f függvénynek van zérushelye az intervallum belsejében.

87 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 87 Tétel Zárt [nyílt] intervallumon értelmezett folytonos függvény képe zárt [nyílt] intervallum.

88 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 88 Tétel Zárt intervallumon folytonos függvények néhány tulajdonsága Ha az f:[a,b] R függvény folytonos, akkor van maimuma és van minimuma. Megjegyzés Nyílt intervallumon folytonos függvény nem feltétlenül korlátos, illetve ha korlátos, akkor sincs feltétlenül maimuma, illetve minimuma.

89 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 89 Megjegyzés HOL Függvények határértéke Míg a számsorozatok esetén a határérték csak egyféleképpen érthető (n ), addig egy függvény határértéke az értelmezési tartomány bármely torlódási pontjában megkérdezhető. MENNYI A R - + a R??? -??? +???

90 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 90 Definíció: határérték valós helyen ( végesben ) Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának 0 torlódási pontjában az f függvény határértéke W, ha bármely ( n ) D f, n a sorozat esetén, melyre n 0 fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim f () 0 W Példa lim 0 1 +

91 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 91 Tétel: határérték és a folytonosság kapcsolata Az f:[a,b] R függvény pontosan akkor folytonos az 0 [a,b] helyen, ha f-nek létezik határértéke az 0 helyen, és az egyenlő az f( 0 ) függvényértékkel: lim f () f ( 0 0 ) Példa lim 3 9

92 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 9 Megjegyzés Figyeljük meg, hogy az 0 helyen vett határérték definíciójában nincs szó a függvény 0 -beli értékéről. Példa: határérték hézagpontban lim lim 3 ( 3) 3 lim 3 9

93 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 93 Definíció: bal oldali határérték Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény bal oldali határértéke W, ha bármely ( n ) D f, n <a (n N) sorozat esetén, melyre n a fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim a 0 f () W Példa lim 3 0 9

94 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 94 Definíció: jobb oldali határérték Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény jobb oldali határértéke W, ha bármely ( n ) D f, n >a (n N) sorozat esetén, melyre n a fennáll, hogy Jelölés f( n ) W lim f () a + 0 W Példa lim

95 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 95 Példák 1 1 lim lim lim + lim lim 0 1 +

96 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 96 Példák: lim f () lim f () 0 4 /8 lim f () lim f () / 8

97 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 97 Definíció: határérték + -ben Legyen W R {-, + }. Az f:]a,+ [ R függvénynek a + -beli határértéke W, ha bármely ( n ) ]a,+ [ sorozat esetén, melyre n + fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim f () + W Példa lim arctg + π

98 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 98 Példa lim + +

99 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 99 Definíció: határérték - -ben Legyen W R {-, + }. Az f:]-,b[ R függvény + -beli határértéke W, ha bármely ( n ) ]-,b[ sorozat esetén, melyre n - fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim f () W Példa lim e 0

100 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 100 Tétel: határérték és a műveletek kapcsolata Ha a R az f és a g függvények értelmezési tartományának egyaránt torlódási pontja, továbbá A,B,c R, akkor limf () a A lim(f + g)() A + a limc f () a c A B és limg() a lim a (f g)() B A B továbbá ha még g() 0 ( D g ) és B 0 is fennáll, akkor lim a f g () A B

101 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 101 Megjegyzés Ha két (véges, vagy végtelen) határértékkel rendelkező függvény között műveletet végzünk, de nem teljesülnek az előző tétel feltételei, például azért, mert legalább az egyik függvény határértéke végtelen, vagy két 0 határértékű függvényt osztottunk el, akkor előfordulhat az is, hogy pusztán a határértékek alapján meg lehet állapítani az új függvény határértékét, de az is, hogy ez nem lehetséges (ha van egyáltalán határérték). Az utóbbi eseteket szokás határozatlan alakú határérték-feladatnak nevezni. A következő táblázatban? jelöli a határozatlan eseteket. A! jel arra utal, hogy előjelvizsgálattal a határérték megállapítható. A többi esetben a határérték szerepel.

102 lim f lim g lim f+g lim f-g lim g-f lim f g lim f/g lim g/f A> A< A> A< ? 0! ? 0! + + +?? +?? + -? + - -?? - - -?? +??

103 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 103 További határozatlan formák Ha limf () a 0 és limg() a 0 akkor a lim a f () g() határérték-feladat határozatlan. Ha limf () 0 a és limg() 0 a vagy limf () 1 a és lim a g() + vagy limf () + és limg() 0 a a akkor a [ ] g() lim a f () határérték-feladat határozatlan.

104 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 104 Definíció: megszüntethető szakadás Az f:]a, 0 [ ] 0,b[ R függvénynek megszüntethető szakadása van az 0 ]a,b[ helyen, ha létezik a határérték, továbbá a függvény folytonos 0 -ban. g() lim f () 0 A f (),ha A,ha 0 0 Példa Ezeknek a függvényeknek megszüntethető szakadása van:

105 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 105 Példák Az alábbi szakadások: függvények szakadásai nem megszüntethető

106 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 106 Példák Racionális törtfüggvények határértékének kiszámítása - -ben és + -ben: lim lim lim lim lim lim lim 3 + lim

107 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 107 Példák Racionális törtfüggvények határértékének kiszámítása valós helyen: 3 3 lim (Az helyen folytonos a függvény.) lim lim 3 ( 3) ( + 5)( 3) lim (Az 3 helyen hézagpontja van a függvénynek.) 3 3 lim lim lim lim (Az -5 helyen pólusa van a függvénynek.)

108 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 108 Példák lim lim 1 ( + + ) lim lim lim ( )( ) ( 1)( + + ) lim ( + 1 )( 1 )

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató

Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Tárgykód(ok): INDK111E, INDK111G Félév: 2015/2016-I. Előadó: Boros Zoltán Óraszám: 2 + 2 (előadás + tantermi gyakorlat) Kredit: 5 (kötelező) Előfeltétele:

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

ANALÍZIS TANÁROKNAK I.

ANALÍZIS TANÁROKNAK I. Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK I. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben