Függvény differenciálás összefoglalás
|
|
- Csenge Csonka
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a húrok átmennek érintőbe. Def: húr iránytangense f f(a + ) f(a) f(a + h) f(a) f() f(a) (a) érintő iránytangense h h a a Az f deriválható a-ban, ha a fenti határérték létezik, és véges. Ekkor f (a) R az f függvény a pontbeli deriváltja (differenciálhányadosa). (Jobb és baloldali derivált ugyanígy definiálható, jobb és baloldali határérték felhasználásával.) Tétel: f () akkor és csak akkor létezik, ha a jobb és baloldali deriváltak léteznek, és ezek egyenlők. Def: Az f függvény deriválható (differenciálható) egy intervallumon, a minden pontjában differenciálható. Tétel: Ha egy függvény differenciálható egy pontban, akkor ebben a pontban folytonos is. (Tehát a deriválhatóság erősebb. Pl: függvény a pontban folytonos, de nem deriválható.) Tétel: Az f függvény _ pontbeli érintő egyenesének egyenlete: y f ( )( ) + f( ). Deriválási szabályok: Tétel: Ha f() és g() differenciálható az pontban, akkor f ± g, cf (c R), és f g is differenciálható, illetve ha g() esetén 1 és f is differenciálható valamint: g g (f() ± g()) f () ± g () (cf()) cf () (f() g()) f () g() + f() g () Tétel: Nevezetes függvények deriváltjai: ( n ) n n 1 (e ) e (a ) a ln a (a R) (ln ) 1 (log a ) 1 ln a (cos ) sin (sin ) cos (tg ) 1 cos 2 (ctg ) 1 sin 2 (arccos ) (arcsin ) 1 2 (arctg ) ( 1 g() ) g () g 2 () ( f() g() ) f () g() f() g () g 2 () (f(g())) f (g()) g () (arcctg ) (ch ) sh (sh ) ch (th ) 1 ch 2 (cth ) 1 sh 2 L Hospital szabály: Tétel (L Hospital szabály): Legyen f és g differenciálható az a egy pontozott környezetében, úgy hogy itt g(), g f () és a f() a g(). Ekkor, ha () a g () a f(). g()
2 Tétel (L Hospital szabály): Legyen f és g differenciálható az a egy pontozott környezetében, úgy hogy itt g(), g f () és a f() a g(). Ekkor, ha () a f() g () a. g() Függvényvizsgálat: Def: Az f függvény az -ban lokálisan növekvő, ha -nak van egy kis környezete, melyre igaz, hogy ha >, akkor f( ) > f(), és ha <, akkor f( ) < f(). Def: Az f függvény az -ban lokálisan csökkenő, ha -nak van egy kis környezete, melyre igaz, hogy ha >, akkor f( ) < f(), és ha <, akkor f( ) > f(). Tétel: Ha f differenciálható -ban és 1. f lokálisan nő -ban, akkor f ( ) 2. f ( ) >, akkor f lokálisan nő -ban. Tétel: Differenciálható függvény esetén lokális szélsőérték létezésének 1. Szükséges feltétele: f ( ) 2. Elégséges feltétele: a. f () és f () előjelet vált -ban b. f () és f ( ). (f ( ) > esetén lokális minimum, f ( ) < esetén lokális maimum van) Def: Az f függvény -ban konve, ha -nak van egy kis környezete, melyre igaz, hogy a környezet bármely két függvénypontját összekötve a húr a függvénygörbe felett halad. Def: Az f függvény -ban konkáv, ha -nak van egy kis környezete, melyre igaz, hogy a környezet bármely két függvénypontját összekötve a húr a függvénygörbe alatt halad. Tétel: Kétszer differenciálható függvény esetén infleiós pont szélsőérték létezésének 1. Szükséges feltétele: f () 2. Elégséges feltétele: a. f ( ) és f előjelet vált -ban b. f ( ) és f ( ) Mintapéldák: 1. A definíció segítségével határozzuk meg a derivált függvény értékét az adott pontban! a. f() 2, f (5)? f() f(a) A derivált értéke az a pontban megkapható a a a ( 5)( + 5) f() f(5) 5 5 Tehát f (5) 1. b. f() 4 + 5, f (1)? határértékkel. Tehát: f() f(a) A derivált értéke az a pontban megkapható a a határértékkel. Tehát: a f() f(1) ( )( ) ( )( ) ( 1)( ) ( 1)( ) (4 + 5) 3 2 ( 1)( ) 4 4 ( 1)( ) 4( 1) ( 1)( ) Tehát f (1) 2 3.
3 2. Milyen a és b esetén lesz a függvény a teljes számegyenesen differenciálható? 6 ha < 1 a. f() { 2 +1 a b ha különben Első körben vizsgáljuk a folytonosságot, hiszen a differenciálhatóság feltétele a folytonosság. A két darab külön-külön folytonos, hiszen a racionális törtfüggvény folytonos, kivéve a nevező nullhelyén (ami itt nincs), illetve az egyszerű polinom függvény is folytonos. Tehát csak az illesztési pontban kell vizsgálnunk a határértéket és függvényértéket: f() a b a b + + f() f(1) a 1 b a b A folytonossághoz az szükséges, hogy a fenti három megegyezzen. Tehát a b 3. Nézzük ez után a deriváltat: Tehát f () { 6 ( 2 + 1) 6 (2 + ) ( 2 + 1) 2 12 ( 2 + 1) 2 ha < 1 a a ha 1 f (1) 12 1 (1 + 1) 2 6 f + (1) a Ahhoz, hogy a függvény deriválható legyen a bal és jobboldali deriváltnak meg kell egyeznie. Tehát a 6. Ez alapján pedig 6 b 3, vagyis b 9. cos( π ) ha 1 1 b. f() { a 6 b ha különben a 6 b ha < 1 Legelőször is alakítsuk kicsit át a függvényünket: f() { cos( π ) ha 1 1 a 6 b ha > 1 Ez után vizsgáljuk a folytonosságot, hiszen a differenciálhatóság feltétele a folytonosság. A három darab külön-külön folytonos, hiszen a polinom és cos függvények folytonosak. Tehát csak az illesztési pontban kell vizsgálnunk a határértéket és függvényértéket. Először -1 pontban: f() 1 f() 1 + cos( π ) cos(( π) ( 1)) cos π a6 b a ( 1) 6 b ( 1) ( 1) 2 a b + 2 f( 1) a ( 1) 6 b ( 1) ( 1) 2 a b + 2 A folytonossághoz az szükséges, hogy a fenti három megegyezzen. Tehát a b Nézzük az 1 pontban: f() cos( π ) cos(( π) (1)) cos( π) f() a6 b a (1) 6 b (1) (1) 2 a b + 2 f(1) a (1) 6 b (1) (1) 2 a b + 2 A folytonossághoz az szükséges, hogy a fenti három megegyezzen. Tehát a b (Vizsgálhattuk volna egyszerre a +1 és -1 pontbeli határértékeket, mert a függvény mindkét ága páros függvény.)
4 Nézzük ez után a deriváltat: Tehát a 6 5 b a 5 4b ha < 1 f () { sin( π) ( π) π sin( π ) ha 1 1 6a 5 4b ha < 1 f ( 1) 6 a ( 1) 5 4b( 1) ( 1) 6a + 4b 4 f + ( 1) π sin(( π) ( 1) ) π sin(π) π Ennek a kettőnek meg kell egyeznie, ahhoz, hogy az eredeti függvény deriválható legyen, tehát 6a + 4b 4. Ugyanígy vizsgáljuk a deriváltat a +1 pontban. f (1) 6 a (1) 5 4b(1) (1) 6a 4b + 4 f + (1) π sin(( π) 1) π sin(π) π Ezeknek szintén meg kell egyeznie. Eszerint 6a 4b + 4. (Ez pont ugyanaz, mint az előző feltétel, hiszen csak egy -1 szorzó a különbség.) Tehát a és b-re a következő feltételeket kaptuk: a b és 6a 4b + 4 Ezeket kicsit átalakítva kapjuk a következő egyenletrendszert: 3a 3b 9 és 3a 2b 2. Ezeket ha ezeket kivonjuk egymásból kapjuk, hogy b 7. Tehát b 7, és eszerint a 7 3, tehát a Deriválási szabályok segítségével deriváljuk a következő függvényeket! a. ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1) ( ) ( 2 1) ( 2 1) 2 ((5 ) + (3 3 ) (4) + (1) ) ( 2 1) ( ) (( 2 ) (1) ) ( 2 1) 2 ( ) ( 2 1) ( ) (2 ) ( 2 1) 2 ( ) ( 2 1) ( ) (2) ( 2 1) ( 2 1) Magyarázat a lépésekhez: *: Alkalmaztuk a tört deriváltra vonatkozó szabályt: ( f g ) f g f g g 2 **: Mindkét deriválásnál alkalmaztuk az összeg deriváltra vonatkozó szabályt: (f + g) f + g ***: Az összes eset ( n ) típusú. Illetve egy helyen alkalmaztuk, hogy : (cf) cf
5 b. (( 4 + 2) ) (( 4 + 2) ) ( 4 + 2) ( 4 + 2) ( ) (( 4 ) + (2) ) ( 4 + 2) (( ) 1 2) (4 3 + ) ( 4 + 2) (( ) 1 2) (4 3 ) ( 4 + 2) ( 1 2 ( ) 1 2 ( ) ) (4 3 ) ( 4 + 2) ( 1 2 ( ) 1 2 ((1) + (2 3 ) )) (4 3 ) ( 4 + 2) ( 1 2 ( ) 1 2 ( )) ( ) ( (62 )) (4 + 2) Magyarázat a lépésekhez: *: Alkalmaztuk a szorzat deriváltra vonatkozó szabályt: (f g) f g + f g **: Az ( 4 + 2) tagra alkalmaztuk az összeg deriváltjára vonatkozó szabályt (f + g) f + g, valamint a gyököt felírtuk 1 -dik hatványként. 2 ***: Az előbbi összeg tagjai mind ( n ) típusúak. ****: Áttértünk az (( ) 1 2) tényezőhöz. Ez egy összetett függvény. A külső függvény az 1/2, a belső pedig Ezekre alkalmaztuk: (f(g())) f (g()) g (). ***** A megmaradt derivált egy összeg deriváltja, erre megint alkalmaztuk az összeg deriválási szabályát. ****** A tagok deriváltját pedig már könnyen kapjuk az n deriváltja alapján. 7 ctg c. ( 2 5 cos 4 ) π 7 ctg (7 ctg ) (2 5 cos 4 4 ( 2 5 cos 4 ) π ) (7 ctg ) (2 5 cos π (2 5 cos (ctg ) (2 5 cos 4 (7 ctg ) ((2) (5 cos ) ( 4 ) (2 5 cos sin sin 2 (2 5 cos (7 ctg ) ( 5 (cos ) 4 π () ) (2 5 cos 4 2 (2 5 cos 4 (7 ctg ) ( 5 ( sin ) 4 π 1) (2 5 cos 4 2
6 7 (2 5 cos 4 (7 ctg ) sin 2 (5 ( sin ) 4 (2 5 cos 4 2 Magyarázat a lépésekhez: cos 28 π sin 2 (2 5 cos 4 2 (7 ctg ) + (5 sin 4 *: Alkalmaztuk a tört deriváltra vonatkozó szabályt: ( f g ) f g f g g 2 **: Az első deriválásnál alkalmazzuk, hogy: (cf) cf, a másodiknál pedig az összeg deriváltjára vonatkozó szabályt: : (f + g) f + g ***: Ez után használjuk az alap határértékeket, illetve újra a (cf) cf egyenlőséget. ****: Újfent az alap határértékeket használhatjuk. d. ( ) ( ) (e ln ) (e ln ) e ln ( ln ) e ln (() ln + (ln ) ) Magyarázat a lépésekhez: e ln (1 ln + 1 ) e ln (ln + 1) *: típusú deriválásnál érdemes alkalmazni, hogy valamely a esetén e ln a a. **: Logaritmus azonosság szerint ln α α ln ***: Ez után deriváljuk a közvetett függvényt. A külső függvény e a belső pedig ln. Ezekre alkalmazzuk a (f(g())) f (g()) g () ****: Használjuk a szorzat határértékét: (f g) f g + f g 4. Határozza meg az f() 4+3 függvény grafikonját az (ln ) pont felett érintő egyenes egyenletét! a. f() 4+3 (ln ) Az f() függvény ponthoz tartozó érintőjének egyenlete y f ( )( ) + f( ). Ez jelen esetben 1 f(1) (ln 1) f () (4 + 3) ((ln ) 3 + 1) (4 + 3) ((ln ) 3 + 1) ((ln ) 3 + 1) 2 ( + 3) ((ln ) 3 + 1) (4 + 3) (3 (ln ) ) ((ln ) 3 + 1) 2 3 ((ln )3 + 1) (4 + 3) (3 (ln ) 2 1 ) ((ln ) 3 + 1) 2 f (1) 3 ((ln 1)3 + 1) ( ) (3 (ln 1) ) ((ln 1) 3 + 1) 2 3 (()3 + 1) (4 + 3) (3 () 2 1) (() 3 + 1) Tehát az egyenes egyenlete: y 3 ( 1) + 7. Ezt átalakítva: 2y
7 b. f() 1 + sin( e 2+1 ) f() 1 + sin( e 2 +1 ) 1 + sin 1 f () (1 + sin( e 2+1 )) + (sin( e 2+1 )) + cos( e 2+1 ) ( e 2+1 ) cos( e 2+1 ) [1 e e 2+1 (2 + 1) ] cos( e 2+1 ) [e e 2+1 2] f () cos( e 2 +1 ) [e e ] cos( e) [e + ] 1 e Eszerint az érintő egyenlete: y e ( ) + 1. Ezt átalítva: y e Adjuk meg a következő határértékeket! a. 2 (1 e 2 ) cos(π ) (1 e 2 ) cos(π ) L H 2 4 b. (ln ) (tg ( π 2 )) (ln ) (tg (π 2 c. ( 1 1 e 1 ) d. ( 2 e ) sin 5 e. ( 2 ( (e 2 ) 1) cos(π ) + (1 e 2 ) sin(π ) π 2 2 e 2 cos(π ) + (1 e 2 ) sin(π ) π 2 e cos(2π) + (1 e ) sin(2π) π 2 2 )) (ln ) sin ( π 2 ) L H cos ( π 2 ) 1 1 sin (π 2 ) + ln 1 cos (π 2 ) π 2 sin ( π 2 ) π 2 (1 1 e 1 ) ( e 1 (e 1) 7 ) e 1 1 (e 1) + (e ) e 1 e 1 + e ( (1 1) π sin (π 2 ) + (ln ) cos (π 2 ) π 2 sin ( π 2 ) π π 2 1 π 2 π 2 L H (e 1) ) 1 (e (e 1) ) L H e e + e + e 1 2 L H e ) 5 L H (sin 7 ) (cos(5) 5 ) (2 L H ) e e e + 1 e + e ( 2 e ) 2 (sin 5 7 ) sin(5)
8 6. Adja meg azokat a legbővebb nyílt intervallumokat, melyeken f szigorúan monoton nő, illetve szigorún monoton csökken! a. f() 2 (+2) 2 A függvény folytonos, kivéve ott, ahol a nevező nulla, vagyis az 2 pontban. (Itt ugye a függvény nincs értelmezve.) Szélsőértéke ott lehet, ahol a függvény deriváltja. f 1 ( 2) 2( + 2) () ( + 2) 4 ( + 2) 4 6 ( + 2) 4 Ez akkor lehet, ha a számláló, vagyis, ha 6. Tehát szélsőértéke LEHET az 6 pontban, de ezt ellenőriznünk kell. Kétféleképpen tehetjük ezt meg. Vagy a második derivált előjelét vizsgáljuk az 6 pontban, vagy pedig azt, hogy az első derivált előjelet vált-e az 6 pontban. Vizsgáljuk a második deriváltat: f () 1 ( + 2)4 ( 6) 4 ( + 2) 3 1 ( + 2) 4 ( + 2)4 + 4 ( + 6)( + 2) 3 ( + 2) 4 f ( 6) ( 6 + 2)4 + 4 ( 6 + 6)( 6 + 2) 3 ( 6 + 2) 4 ( 4)4 + 4 ()( 4) 3 ( 4) Mivel ez negatív, az eredeti függvénynek -6 helyen lokális maimuma van. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha az vizsgáljuk, hogy milyen az előjele az első deriváltnak. A nevező minden esetben pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk. Ha kisebb, mint 6, akkor 6 pozitív. (tehát ott az eredeti függvény ott nő.) Ha pedig nagyobb, mint 6, akkor 6 negatív. (tehát az eredeti függvény csökken.) Vagyis az f valóban előjelet vált, tehát lokális szélsőértéke van. Mivel előtte nő, utána csökken, a szélsőérték maimum. 7. Határozza meg a következő függvény infleiós pontját! a. f() 3 2 Szélsőérték ott lehet, ahol a második derivált értéke nulla. f () f () 6 Tehát szélsőérték ott lehet, ahol 6, vagyis -nál. Azt, hogy itt valóban infleiós pont van-e úgy tudjuk eldönteni, hogy vizsgáljuk a harmadik deriváltat, ami f () 6. Ez természetesen bármilyen esetén pozitív, tehát tényleg infleiós pont van. (Másképp vizsgálhattuk volna a második derivált 6 előjelét. Ez -ban valóban előjelet vált, tehát tényleg infleiós pont van.)
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
Részletesebben4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenEgyváltozós függvények differenciálszámítása
Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenI. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
Részletesebben4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai
69 4. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 4... A görbe érintője és a pillanatnyi sebesség Tekintsük az f : R + R + f) 4 függvényt. Húzzuk meg az y
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)
Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja
RészletesebbenHatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Részletesebben2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény
RészletesebbenTartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok...
Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények............................... 3 3... Bevezető feladatok.......................... 3 3... Határérték............................... 5 3..3. Függvény
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
Részletesebbenlim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?
FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z
Részletesebben10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
Részletesebben0, különben. 9. Függvények
9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
Részletesebbenx a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1
EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
RészletesebbenRégebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
RészletesebbenKurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,
Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenMATEMATIKA 1. GYAKORLATOK
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenKonvexitás, elaszticitás
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
RészletesebbenI. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL
A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenElemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat
Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenNagy Krisztián Analízis 2
Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...
Részletesebben1. Sorozatok 2014.03.12.
1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett
Részletesebben1. Sorozatok. A sorozat megadható. Képlettel: Rekurziós formulával: Felsorolással: Gazdasági Matematika
1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett
Részletesebben(arcsin x) (arccos x) ( x
ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
Részletesebben1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
Részletesebben3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak
4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenII. rész. Valós függvények
II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +
Részletesebben