1. Sorozatok. A sorozat megadható. Képlettel: Rekurziós formulával: Felsorolással: Gazdasági Matematika

Átírás

1 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett helyettesítési értékét a sorozat n- edik elemének nevezzük és a(n) = a n -nel jelöljük. A sorozat megadható Képlettel: Rekurziós formulával: Felsorolással: Gazdasági Matematika 1

2 Monoton sorozatok Az {a n } n N sorozatot (szigorúan) monoton csökkenőnek nevezzük, ha minden n Nesetén a n a n-1 ( a n < a n-1 ). Az {a n } n N sorozatot (szigorúan) monoton növekvőnek nevezzük, ha minden n Nesetén a n a n-1 ( a n > a n-1 ). Azokat az {a n } n N sorozatokat, amelyek minden n N esetén vagy monoton nőnek vagy monoton csökkennnek, monoton sorozatnak nevezzük. Gazdasági Matematika 2

3 Korlátos sorozatok Az {a n } n N sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K R, hogy minden n Nesetén a n K. Az {a n } n N sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan k R, hogy minden n Nesetén a n k. Az {a n } n N sorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülről is korlátos. Gazdasági Matematika 3

4 Konvergens és divergens sorozatok Az {a n } n N sorozatnak létezik az A véges határértéke, ha mindenε> 0 számhoz létezik olyan n 0 (ε) N küszöbszám (küszöbindex), amelyre igaz, hogy ha n > n 0, akkor a n A <ε. Jelölése lim ({a n } n N ) = A Ha az {a n } n N sorozatnak létezik az A véges határértéke, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük, egyébként a sorozat divergens. Ha lim ({a n } n N ) = 0, akkor a sorozatot zérussorozatnak nevezzük. Gazdasági Matematika 4

5 Tétel ( Rendőr elv ): Legyenek adottak az {a n } n N, {b n } n N, {c n } n N sorozatok, és legyen {a n } n N és {b n } n N konvergens. Ha lim {a n } n N = lim {b n } n N = A és minden n >N 0 -ra teljesül, hogy a n c n b n, akkor a {c n } n N sorozat is konvergens, és lim ({c n } n N ) = A. Gazdasági Matematika 5

6 Sorozatokra vonatkozó tételek Tétel : Ha az {a n } n N sorozat konvergens, akkor csak egy határértéke van, azaz a határérték egyértelmű. (Unicitás). Tétel : Ha az {a n } n N sorozat konvergens, akkor korlátos. A korlátosság szükséges, de nem elégséges feltétel. (Tekintsük a {(-1) n } n N sorozatot. Tétel: Ha az {a n } n N sorozat monoton növekvő (csökkenő) és felülről (alulról) korlátos, akkor konvergens. A feltétel csak elégséges, de nem szükséges, mert a konvergenciából nem következik a monotonitás. pl. Gazdasági Matematika 6

7 Műveletek véges határértékű sorozatokkal Tétel: Legyen az {a n } n N sorozat konvergens és c tetszőleges valós szám. Ekkor a c{a n } n N = {ca n } n N sorozat is konvergens, és lim {ca n } n N = c lim {a n } n N. Tétel: Legyen lim {a n } n N = A és lim {b n } n N = B, (azaz mindkét sorozat konvergens). Ekkor igazak a következő állítások: lim ({a n + b n } n N ) = lim {a n } n N + lim {b n } n N = A + B. lim ({a n b n } n N ) = lim {a n } n N lim {b n } n N = A B. lim ({a n b n } n N ) = lim {a n } n N lim {b n } n N = A B. Amennyiben véges sok elemtől eltekintve b n 0 és B 0, akkor Gazdasági Matematika 7

8 Végtelen határértékű sorozatok Az {a n } n N sorozatnak tágabb értelemben vett határértéke +, ha minden P R számhoz létezik olyan N 0 N küszöbszám, amelyre igaz, hogy ha n > N 0, akkor a n > P. Jelölése lim ({a n } n N ) = +. Az {a n } n N sorozatnak tágabb értelemben vett határértéke, ha minden P R számhoz létezik olyan N 0 N küszöbszám, amelyre igaz, hogy ha n > N 0, akkor a n < P. Jelölése lim ({a n } n N ) =. Gazdasági Matematika 8

9 Műveletek végtelen határértékű sorozatokkal Tétel: Legyen az {a n } n N sorozat határértéke +. Ekkor Tétel: Legyen az {a n } n N sorozat konvergens, és lim {a n } n N = A 0. Legyen továbbá lim {b n } n N = +. Ekkor Tétel: Legyen az {a n } n N és {b n } n N sorozat konvergens úgy, hogy lim {a n } n N = A és lim {b n } n N = 0 és b n > 0 minden n N-re. Ekkor Gazdasági Matematika 9

10 Tétel: Legyen az {a n } n N Ekkor sorozat korlátos, és lim {b n } n N = +. Tétel: Legyen az {a n } n N és {b n } n N két olyan sorozat, amelyre teljesül, hogy létezik olyan k > N, hogy ha n > k, akkor a n b n. Ekkor: ha lim {a n } n N = +, akkor lim {b n } n N = +. ha lim {b n } n N =, akkor lim {a n } n N =. Gazdasági Matematika 10

11 Nevezetes sorozatok I. Tétel: Az sorozat konvergens, és Tétel: Legyen c tetszőleges valós szám. Ekkor Gazdasági Matematika 11

12 Nevezetes sorozatok II. Tétel: Az sorozat konvergens, és Tétel: Tetszőleges k valós szám esetén Tétel: Tétel: Tétel:Tetszőleges a valós szám esetén Gazdasági Matematika 12

13 Példa: Határozzuk meg az sorozat határértékét, és adjuk megazε=10-4 heztartozóküszöbindexet! Alakítsuk át a n -t a következőképpen: Használjuk az előző tételeket: Gazdasági Matematika 13

14 A második rész kiszámításához használjuk fel, hogy Helyettesítsünk be a határérték definíciójába: Tudjuk, hogy n N, ezért, ezért az egyenlőtlenség: Amiből kapjuk, hogy N 0 = Gazdasági Matematika 14

15 Példa: Határozzuk meg az sorozat határértékét! Alakítsák át a n -t a következőképpen: Amiből adódik, hogy Gazdasági Matematika 15

16 Tétel (Cauchy-féle konvergencia kritérium): Az {a n } n N sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha bármelyε>0 hoz megadható olyan N(ε) küszöbszám, hogy ha n, m > N, akkor a n a m < ε. A tétel jelentése: a sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha elég nagy indextől kezdve az elemei tetszőlegesen keveset térnek el egymástól. Biz.???? Gazdasági Matematika 16

17 Megjegyzés: Ha a sorozat polinomok hányadosa, akkor a nevező ill. a számláló fokszámától függően három esetet különböztetünk meg: Ha a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevező fokszáma, akkor a határérték vagy + vagy, a legmagasabb fokú tagok együtthatóinak előjelétől függően. Ha a számláló fokszáma megegyezik a nevező fokszámával, akkor a határérték a legmagasabb fokú tagok együtthatóinak hányadosával egyenlő. Ha a számláló fokszáma kisebb, mint a nevező fokszáma, akkor a határérték 0. Gazdasági Matematika 17

18 Fogalmak Két halmaz egyértelmű hozzárendelését függvénynek nevezzük. A: B: x y = f(x) y értelmezési tartomány képhalmaz Gazdasági Matematika 18

19 Az A halmaz valamely eleméhez rendelt B halmazbeli elemet függvényértéknek nevezzük és f(a)-val jelöljük, ahol a A. A függvényértékek halmazát értékkészletnek nevezzük. A függvény értelmezési tartományát D f -fel, az értékkészletét pedig R f -fel jelöljük. A fentiekből következik, hogy R f B. Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha adott az értelmezési tartomány és a hozzárendelési utasítás: f(x), x A. f(x) = x, g(x) = x+3, h(x) = x 2 1, x N. x R. x R. Gazdasági Matematika 19

20 Az f és g függvényt akkor mondjuk egyenlőknek, ha D f = D g és minden x D f esetén f(x) = g(x). Azonos-e a két kifejezés? D f = R és D g = R \ {0} Gazdasági Matematika 20

21 Ha az f függvény értelmezési tartománya is és értékkészlete is a valós számok halmazának részhalmaza, akkor valós-valós függvényről vagy egyváltozós valós függvényről beszélünk. Az egyváltozós valós függvény grafikonján az (x;f(x)) koordinátájú pontok halmazát értjük a Descartes-féle koordináta rendszerben, ahol x D f. Gazdasági Matematika 21

22 Intervallumok Legyen a,b Rés a < b. Az ezek által meghatározott nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely (a,b) = {x R a < x < b.} Legyen a,b Rés a < b. Az ezek által meghatározott zárt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely [a,b] = {x R a x b.} Legyen a,b R és a < b. Az ezek által meghatározott balról zárt jobbról nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely [a,b) = {x R a x < b.} Legyen a,b R és a < b. Az ezek által meghatározott jobbról zárt balról nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely (a,b] = {x R a < x b.} Gazdasági Matematika 22

23 Intervallumnak nevezzük még az alábbi számhalmazokat is: (-,b) = {x R x < b} (-,b] = {x R x b} (a, + ) = {x R x >a} [a, + ) = {x R x a} (-, + ) = R Gazdasági Matematika 23

24 A környezet és a távolság kapcsolata Távolság definíciója valós számokra és n dimenzióra kiterjesztve. A távolság tulajdonságai A környezet és a távolság viszonya. Belső pont, határpont. Zárt halmaz, nyílt halmaz. Gazdasági Matematika 24

25 Az A és B halmazoknak az A Bszimbólummal jelölt Descartes-féle szorzatán az összes olyan rendezett (a,b) párokból álló halmazt értjük, amelyekre a A és b B. Jelölése: A B= { (a,b) a Aés b B }. Ha A = B, akkor az A Ahelyett az A 2 jelölést is használjuk. Ha A, B R, akkor rendezett számpárokról beszélünk. Pl. Legyen A= {1, 2, 3} és B= {e, f} A B= Gazdasági Matematika 25

26 A táblázat felfogható egy speciális szorzótáblának. A szorzathalmaz elemeinek a számát a két halmaz elemeinek szorzata adja. Tétel: A Descartes-szorzás művelete nem kommutatív. (Nem felcserélhető). A szorzathalmaz kettőnél több halmaz szorzatára is értelmezett, ekkor rendezett hármasok, négyesek, stb. lesznek a szorzathalmaz elemei. Ha az n darab halmaz mindegyike a valós számok halmazával egyenlő, akkor szokás azr n jelölést használni. A szorzathalmaz lehetővé teszi matematikai alakzatok konstrukcióját is: Gazdasági Matematika 26

27 N N Gazdasági Matematika 27

28 Az a < b valós számok távolságán a számegyenes a és b pontjainak távolságát értjük: A számsík a = (a 1, a 2 ) és b = (b 1, b 2 ) pontjainak távolságát a értékkel definiáljuk. Az a = (a 1, a 2,, a n ) és b = (b 1, b 2,, b n ) pontjainak távolságát a értékkel definiáljuk. Gazdasági Matematika 28

29 A fentebb definiált távolság fogalom az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: ρ(a, b) 0 ρ(a, b) = 0 akkor és csak akkor, ha a = b. ρ(a, b) = ρ(b, a) ρ(a, b) ρ(a, c) + ρ(c, b) Valamely x 0 R n pontnak δ > 0 sugarú környezetén R n azon x pontjainak halmazát értjük, amelyek x 0 -tól való távolsága kisebbδnál, azaz Gazdasági Matematika 29

30 Egy x 0 helyδsugarú környezete (másik definíció) Legyen x R ésδ R +. Az x 0 helyδsugarú környezetén az (x 0 δ, x 0 +δ) intervallumot értjük és k δ (x 0 )-al jelöljük. Ha x (x 0 δ, x 0 +δ), akkor x x 0 <δ. Az x 0 hely szigorúbb értelemben vettδsugarú környezetén az (x 0 δ, x 0 +δ) \ {x 0 } intervallumot értjük és k δ (x 0 ) \ {x 0 } -al jelöljük. Ha x (x 0 δ, x 0 +δ) \ {x 0 }, akkor a x 0 <δ. Az x 0 hely baloldali δ sugarú környezetén az (x 0 δ, x 0 ) intervallumot értjük és k δ (x 0 0)-al jelöljük. Az x 0 hely jobboldali δ sugarú környezetén az (x 0, x 0 + δ) intervallumot értjük és k δ (x 0 + 0)-al jelöljük. Gazdasági Matematika 30

31 Egy H Rhalmaznak a egy belső pontja, ha a-nak van olyan környezete, amely része H-nak. Egy H R halmaznak a egy határpontja, ha a-nak bármely környezetében H-nak is és H komplementerének is van pontja. Ha egy H Rhalmaznak minden pontja belső pont, akkor H-t nyílt halmaznak, ha minden határpontját tartalmazza, akkor zárt halmaznak nevezzük. Gazdasági Matematika 31

32 Függvénytulajdonságok Az f függvény zérus helyének nevezzük azt az értelmezési tartománybeli elemet, ahol a felvett függvényérték zérus, azaz a D f, f(a) = 0. Példa: Ábrázoljuk az f(x) = x 2 4 függvényt a [-3;3] intervallumon és határozzuk meg a zérus helyeit! Az egyenlet gyökei (zérus helyei): x 1 = -2 x 2 = 2. Gazdasági Matematika 32

33 Gazdasági Matematika 33

34 Függvények paritása Az f függvényt párosnak nevezzük, ha minden x D f esetén -x D f és f(-x) = f(x). Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x függvényt párosság szempontjából! A függvény grafikonja tengelyesen tükrös az f(x) tengelyre. Gazdasági Matematika 34

35 Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha minden x D f esetén -x D f és f(-x) = -f(x). Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x 3 4x függvényt párosság szempontjából! A függvény grafikonja tükrös az origóra. Gazdasági Matematika 35

36 Függvények korlátossága Az f függvényt az értelmezési tartományán vagy annak valamely A részhalmazán felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K R valós szám, hogy minden a Aesetén f(a) K. Az f függvényt az értelmezési tartományán vagy annak valamely A részhalmazán alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K R valós szám, hogy minden a Aesetén f(a) K. Az f függvényt az értelmezési tartományán vagy annak valamely A részhalmazán korlátosnak nevezzük, ha a függvény alulról és felülről is korlátos. Gazdasági Matematika 36

37 Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = sin x + 2 függvényt korlátosság szempontjából! A sin x + 2 függvény értékei az [1;3] intervallumba esnek, így a függvény alulról és felülről is korlátos, azaz korlátos. Gazdasági Matematika 37

38 Függvények monotonitása Az f függvényt az értelmezési tartomány valamely A (A D f ) részhalmazán monoton növekvőnek nevezzük, ha tetszőleges x 1, x 2 A, x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Ha x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) < f(x 2 ), akkor függvényt szigorúan monoton növekvőnek nevezzük Az f függvényt az értelmezési tartomány valamely A (A D f ) részhalmazán monoton csökkenőnek nevezzük, ha tetszőleges x 1, x 2 A, x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Ha x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) > f(x 2 ), akkor függvényt szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük Gazdasági Matematika 38

39 Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = e x függvényt monotonitás szempontjából! f(x) = e x Az egynél nagyobb alapú hatványok esetében ha a kitevőt növeljük, akkor a hatvány értéke is nő Ezért ha x 1 < x 2, akkor Tehát a függvény szigorúan monoton növekvő. Gazdasági Matematika 39

40 Függvények szélsőértékhelyei Legyen adott az f függvény, és legyen H az értelmezési tartomány valamely részhalmaza (H D f ). Az x 0 H az f-nek minimumhelye, ha minden x H, (x x 0 ) esetén f(x) f(x 0 ). Az x 0 H az f-nek maximumhelye, ha minden x H, (x x 0 ) esetén f(x) f(x 0 ). A minimum és maximumhelyeket együttesen szélsőértékhelyeknek nevezzük. Ha x 0 -nak van olyan K környezete (K D f ), hogy minden x D f K és x x 0 esetén f(x) f(x 0 ),(vagy f(x) f(x 0 )), akkor x 0 a függvénynek lokális szélsőértékhelye. Ha H D f, akkor x 0 a függvénynek abszolút szélsőértékhelye. Gazdasági Matematika 40

41 Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = (x+3) 2-1 függvényt a szélsőértékek szempontjából! A függvénynek az x = -3 helyen abszolút minimum helye van. Gazdasági Matematika 41

42 Periódikus függvények Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan p > 0 valós és k egész szám, hogy minden x D f esetén x+kp D f, és f(x+kp) = f(x). A valós p számot periódusnak nevezzük. A trigonometrikus függvények periodikusak. Pl. a sin x függvény periódusa 2π. Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x [x] törtrész függvényt periodicitás szempontjából! A függvény periodikus, és a periódusa 1. Gazdasági Matematika 42

43 Konvex és konkáv függvények Legyen adott az f függvény és a,b D f, a < b. Legyen továbbá x 1 és x 2 az [a;b] intervallum két tetszőleges pontja (a x 1 < x 2 b). Legyen e az f(x 1 ) és f(x 2 ) pontokon áthaladó szelő. Az f függvényt az [a;b] intervallumon konvexnek nevezzük, ha bármely olyan x D f re, amelyre x 1 < x < x 2 igaz, hogy f(x) < e(x). Az f függvényt az [a;b] intervallumon konkávnak nevezzük, ha bármely olyan x D f re, amelyre x 1 < x < x 2 igaz, hogy f(x) > e(x). Ha az x 0 D f helynek van olyan jobb és baloldali környezete, hogy a függvény az egyikben konvex, a másikban konkáv, akkor az x 0 helyet inflexiós pontnak nevezzük. Gazdasági Matematika 43

44 Példa: konvex függvény e(x) x x 2 a x 1 b f(x) < e(x). f(x) Gazdasági Matematika 44

45 Példa: inflexiós pont A függvény a (- ;0] intervallumon konkáv, a [0,+ ) intervallumon konvex, ezért az x 0 = 0 pont a függvény inflexiós pontja. Gazdasági Matematika 45

46 Műveletek függvényekkel Legyen adott az f és g függvény D f és D g értelmezési tartománnyal, valamint egy c R konstans. Tegyük fel, hogy D f D g. Ekkor Az f függvény konstansszorosán azt a cf függvényt értjük, amelyre D cf = D f, és minden x D f -re (cf )(x) = c f(x). Két függvény összegén azt az (f+g) függvényt értjük, amelyre D f+g = D f D g, és minden x D f D g -re (f+g)(x) = f(x) + g(x). Két függvény szorzatán azt az (fg) függvényt értjük, amelyre D fg = D f D g, és minden x D f D g -re (fg)(x) = f(x) g(x). Két függvény hányadosán azt az függvényt értjük, amelyre D f/g = D f D g, és minden x D f D g -re (x) =. Gazdasági Matematika 46

47 Legyen adott az f és a g függvény. Tegyük fel, hogy D f R g = A, és A. Legyen D az a halmaz, amely része g értelmezési tartományának és képe az A halmaz. Tegyük fel, hogy az f függvény az A halmazt az E R f halmazra képezi le. Azt a függvényt, amely a D halmazhoz az E halmazt rendeli (értékkészletként), összetett függvénynek nevezzük és f g-vel jelöljük. Az f-t külső, a g-t pedig belső függvénynek nevezzük. (f g)(x) = f(g(x)) R g D f R f g f E D A Gazdasági Matematika 47

48 Példa: Határozzuk meg azt a legbővebb halmazt, amelyen az f(x) = lg (x 2 1) függvény értelmezhető. A külső függvény a logaritmus függvény, a belső függvény a hatványfüggvény. A belső függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Mivel a logaritmus függvény értelmezési tartomány a pozitív valós számok halmaza, ezért a x 2 1 > 0 nak kell teljesülni. Ezért x > 1 vagy x < -1. Ezért az f összetett függvény értelmezési tartománya D f = R \ [-1; 1]. Gazdasági Matematika 48

49 Inverz függvény Legyen az f függvény külcsönösen egyértelmű (x 1, x 2 D f, x 1 x 2 akkor f(x 1 ) f(x 2 ) ). Azt a függvényt, amely az f függvény értékkészletén (R f ) van értelmezve, és az y R f elemhez azt az egyetlen x D f elemet rendeli, amelyre f(x) = y, az f függvény inverzének nevezzük és f -1 gyel jelöljük: f -1 (y) = x Megjegyzések: Az értelmezési tartomány és az értékkészlet inverz képzésnél megcserélődik. ( f -1 ) -1 =f. Egy függvény és inverzének grafikonja tükrös az y = x egyenesre. Ha D f = R f, akkor f º f -1 = f -1 º f. Ha egy függvény szigorúan monoton, akkor van inverze. (Ez elegendő de nem szükséges feltétel!) Gazdasági Matematika 49

50 Példa 1: Adjuk meg az f(x) = 2x 3 függvény inverzét! D f = R f = R. A hozzárrendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik az inverz függvény. (Ráadásul a függvény monoton növekvő.) A definíció alapján f -1 (y) = x, ezért. Gazdasági Matematika 50

51 Példa 2: Adjuk meg az f(x) = e x függvény inverzét! D f = (-, ), R f = (0, ). A hozzárrendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik az inverz függvény. (Ráadásul a függvény monoton növekvő.) A definíció alapján f -1 (y) = x, ezért x = log y. f(x) = e x f(x) = log(x) Gazdasági Matematika 51

52 A trigonometrikus függvények inverzei (ciklometrikus függvények) Gazdasági Matematika 52

53 A hiperbolikus függvények és inverzeik Gazdasági Matematika 53

54 Külső függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára A külső függvénytranszformációnál mindig a kiszámított függvényértéken hajtunk végre transzformációt. Eredménye mindig az y tengely irányába történő változás. Legyen adott az f függvény grafikonja. Az f+c, c Rfüggvény grafikonja az f függvény grafikonjának y tengely menti eltolásával nyerhető. Az eltolás nagysága c, iránya megegyezik c előjelével. A f függvény grafikonja az f nek x tengelyre vonatkozó tükörképe. A cf függvény grafikonja az f-nek y tengely menti nyújtásával (c > 1), vagy zsugorításával (0 < c < 1) kapható. Ha c negatív, akkor alkalmazzuk még az előző pontból adódó tükrözést is. Gazdasági Matematika 54

55 Belső függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára A belső függvénytranszformációnál mindig a független változón hajtunk végre transzformációt. Eredménye mindig az x tengely irányába történő változás. Legyen adott az f függvény grafikonja. Az f(x+a), a R, a+x D f függvény grafikonja az f függvény grafikonjának x tengely menti eltolásával nyerhető. Az eltolás nagysága a, iránya ellentétes a előjelével. A f (-x) függvény grafikonja az f nek y tengelyre vonatkozó tükörképe. A f (ax) függvény grafikonja az f-nek x tengely menti zsugorításával (a > 1), vagy nyújtásával (0 < a < 1) kapható. Ha a negatív, akkor alkalmazzuk még az előző pontból adódó tükrözést is. Gazdasági Matematika 55

56 Példa: Ábrázoljuk az f(x) = -(x-3) 2 +4 függvényt. f(x)=x 2 f(x)=(x-3) 2 f(x)=-(x-3) 2 +4 f(x)=-(x-3) 2 Gazdasági Matematika 56

57 Az elemi függvények halmazát alkotják a Konstansfüggvények Hatványfüggvények Exponenciális függvények Trigonometrikus függvények és az ezekből véges számú összeadással, kivonással, szorzással, osztással, összetett- és inverz-függvény képzéssel előállítható függvények. Gazdasági Matematika 57

58 Függvények határértéke Négy esetet különböztetünk meg attól függően, hogy hol vizsgáljuk a határértéket, és az véges vagy végtelen. Gazdasági Matematika 58

59 Végtelenben vett véges határérték Az f(x) függvénynek + -ben a határértéke az A R szám, ha bármely ε > 0 hoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x > K és x D f, akkor f(x) A <ε. Jelölése: Az f(x) függvénynek - -ben a határértéke az A R szám, ha bármely ε > 0 hoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x < K és x D f, akkor f(x) A <ε. Jelölése: Gazdasági Matematika 59

60 Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határérkét -ben! 2 A függvény páros, ezért a grafikonja tükrös az y tengelyre. Gazdasági Matematika 60

61 Végtelenben vett végtelen határérték Az f(x) függvénynek + -ben a határértéke +, ha bármely P R számhoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x > K és x D f, akkor f(x) > P. Jelölése: Az f(x) függvénynek + -ben a határértéke -, ha bármely P R számhoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x > K és x D f, akkor f(x) < P. Jelölése: Gazdasági Matematika 61

62 Az f(x) függvénynek - -ben a határértéke +, ha bármely P R számhoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x < K és x D f, akkor f(x) > P. Jelölése: Az f(x) függvénynek - -ben a határértéke -, ha bármely P R számhoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x < K és x D f, akkor f(x) < P. Jelölése: Gazdasági Matematika 62

63 Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határérkét -ben! A függvény páros, ezért a grafikonja tükrös az y tengelyre. Gazdasági Matematika 63

64 Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határérkét -ben! Gazdasági Matematika 64

65 Véges helyen vett végtelen határérték Az f(x) függvénynek az x 0 Rahatárértéke +, ha bármely P R számhoz létezik olyanδ > 0 (δ R + ) valós szám, hogy valahányszor x k δ (x 0 )\{x 0 } és x D f, akkor f(x) > P. Jelölése: Az f(x) függvénynek az x 0 Rahatárértéke -, ha bármely P R számhoz létezik olyanδ > 0 (δ R +) valós szám, hogy valahányszor x k δ (x 0 )\{x 0 } és x D f, akkor f(x) < P. Jelölése: Gazdasági Matematika 65

66 Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határérkét az x 0 = 0 pontban! Gazdasági Matematika 66

67 Véges helyen vett véges határérték Az f(x) függvénynek az x 0 Rajobboldali határértéke az A R, ha bármelyε R + számhoz létezik olyanδ R + valós szám, hogy valahányszor x k δ (x 0 +0) D f, mindannyiszor f(x) A < ε. Jelölése: Az f(x) függvénynek az x 0 Rabaloldali határértéke az A R, ha bármely ε R + számhoz létezik olyan δ R + valós szám, hogy valahányszor x k δ (x 0-0) D f, mindannyiszor f(x) A < ε. Jelölése: Gazdasági Matematika 67

68 Tétel: Ha az f függvénynek létezik az x 0 Rhelyen a baloldali és a jobboldali határértéke, és akkor Tétel: Ha az f függvénynek létezik az x 0 R helyen határértéke, akkor az egyértelműen meghatározott. Gazdasági Matematika 68

69 Példa: Ábrázolja az a határértékétaz x 0 = 5 pontban! függvényt, és adja meg -5 Gazdasági Matematika 69

70 Műveleti tételek Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a + -ben a határértéke az A R és legyen c R tetszőleges. Ekkor létezik a cf függvénynek is a határértéke, és Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a + -ben a határértéke az A R és a g(x) függvénynek a + -ben a határértéke a B R. Ekkor létezik az f±gfüggvénynek is a határértéke, és Gazdasági Matematika 70

71 Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a + -ben a határértéke az A R és a g(x) függvénynek a + -ben a határértéke a B R. Ekkor létezik az fg függvénynek is a határértéke, és Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a + -ben a határértéke az A R és a g(x) függvénynek a + -ben a határértéke a B R, ahol B 0. Ekkor létezik az f / g függvénynek is a határértéke, és Gazdasági Matematika 71

72 Az előző állítások igazak véges helyen vett határérték esetén is: Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke az A Rés legyen c Rtetszőleges. Ekkor létezik a cf függvénynek is a határértéke, és Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke az A R és a g(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke a B R. Ekkor létezik az f±gfüggvénynek is a határértéke, és Gazdasági Matematika 72

73 Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke az A R és a g(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke a B R. Ekkor létezik az fg függvénynek is a határértéke, és Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke az A Rés a g(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke a B R, ahol B 0. Ekkor létezik az f / g függvénynek is a határértéke, és Gazdasági Matematika 73

74 Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határérkét -ben és x 0 = 0 ban is! Ezért a függvénynek 0-ban nincs határértéke. Gazdasági Matematika 74

75 Nevezetes határértékek Tétel: Tétel: Tétel: Tétel: Tétel: Tétel: Gazdasági Matematika 75

76 Példa: Határozzuk meg a x 0 = 0 helyen! függvény határértékét az Alakítsuk át az f(x) függvényt: vegyük figyelembe, hogy ha x 0, akkor 2x 0. Ezért Gazdasági Matematika 76

77 Példa: Határozzuk meg a az x 0 = + helyen! függvény határértékét Alakítsuk át az f(x) függvényt: Ezért használva a műveletekre vonatkozó tételeket is kapjuk, hogy Gazdasági Matematika 77

78 Függvények folytonossága Az f függvényt az x 0 D f helyen folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az x 0 helyen a határértéke és az egyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz Az f függvényt az x 0 D f helyen jobbról folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az x 0 helyen a jobboldali határértéke és az egyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz Az f függvényt az x 0 D f helyen balról folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az x 0 helyen a baloldali határértéke és az egyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz Gazdasági Matematika 78

79 Figyeljük meg, hogy a folytonosság pontbeli tulajdonság! Az f függvényt az [a,b] intervallumon folytonosnak nevezzük, ha a függvény az intervallum minden pontjában folytonos, továbbá a az intervallum bal végpontjában jobbról-, a jobb végpontjában pedig balról folytonos. Tétel: Legyen az f és a g függvény az x 0 helyen folytonos. Ekkor cf is folytonos az x 0 helyen, ahol c R. is folytonos az x 0 helyen, ahol. is folytonos az x 0 helyen, ahol. is folytonos az x 0 helyen, ahol és g(x 0 ) 0. is folytonos az x 0 helyen, ha g folytonos az x 0 helyen és f folytonos a g(x 0 ) helyen. Gazdasági Matematika 79

80 Differenciálszámítás Legyen adott az f(x) függvény, és legyen x 0 D f. Ekkor a függvényt az x 0 helyhez tartozó differenciahányados függvénynek nevezzük. Gazdasági Matematika 80

81 A differenciahányados nem más, mint az adott f(x) függvény f(x) és f(x 0 ) pontján átmenő szelő meredeksége: f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) x 0 x x 0 x Gazdasági Matematika 81

82 Ha létezik az f(x) függvény x 0 helyhez tartozó differenciahányados függvényének határértéke az x 0 helyen, akkor azt az f(x) függvény differenciálhányadosának nevezzük, és a függvényt az adott pontban differenciálhatónak mondjuk. A differenciálhányados geometriai jelentése: az f(x) függvény adott pontjába húzott érintő meredeksége. (Ennek belátására vizsgáljuk meg az előző oldal ábráját! Gazdasági Matematika 82

83 A differenciálhatóság is pontbeli fogalom. Tekintsük az f függvény értelmezési tartományának azt a részhalmazát, amelyen a függvény differenciálható. Jelöljük ezt a halmazt A-val. Definiáljuk azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya A, és minden x A elemhez függvényértékként az x helyhez tartozó differenciálhányadost rendeli. Ekkor az f (x) vel jelölt függvényt az f(x) függvény differenciálhányados függvényének (deriváltjának) nevezzük. Gazdasági Matematika 83

84 Tétel: Az f(x) = c, c R, függvény differenciálhányadosa nulla. Biz. Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x 0 helyen, akkor Gazdasági Matematika 84

85 Tétel: Az f(x) = x függvény differenciálhányadosa 1. Biz. Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x 0 helyen, akkor Gazdasági Matematika 85

86 Tétel: Az f(x) = x 2, függvény differenciálhányadosa 2x. Biz. Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x 0 helyen, akkor Ezért Gazdasági Matematika 86

87 Példa: Határozzuk meg az f(x) = x 2 függvény differenciálhányados függvényének értékét az x 0 = 4 helyen! Mivel ezért Gazdasági Matematika 87

88 A differenciálhányados geometriai jelentése mellett van egy nagyon fontos fizikai jelentése is: Az út-idő függvény idő szerinti deriváltja a t 0 időpillanatban megegyezik a pillanatnyi sebességgel. A sebesség-idő függvény idő szerinti differenciálhányadosa adja a gyorsulást a t 0 időpontban. Gazdasági Matematika 88

89 A differenciálás műveleti szabályai Tétel: legyen f differenciálható az x 0 D f helyen, és legyen c R tetszőleges konstans. Ekkor cf is differenciálható az x 0 helyen, és Tétel: legyen f és g differenciálható az x 0 D f D g helyen, és legyen c Rtetszőleges konstans. Ekkor f g is differenciálható az x 0 helyen, és Tétel: legyen f és g differenciálható az x 0 D f D g helyen, és legyen c Rtetszőleges konstans. Ekkor f g is differenciálható az x 0 helyen, és Gazdasági Matematika 89

90 Tétel: legyen g differenciálható az x 0 D f helyen, és tegyük fel, hogy g(x 0 ) 0. Ekkor 1/g is differenciálható az x 0 helyen, és Tétel: legyen f és g differenciálható az x 0 D f D g helyen, és g(x 0 ) 0. Ekkor f /g is differenciálható az x 0 helyen, és Tétel: legyen g differenciálható az x 0 D g helyen, és f differenciálható a g(x 0 ) D f. Ekkor f g összetett függvény is differenciálható az x 0 helyen, és Gazdasági Matematika 90

91 Elemi függvények deriváltjai I. f(x) f (x) f(x) f (x) c c R 0 ln x x k k R kx k-1 sin x cos x a x a R a x ln a cos x -sin x e x e x tg x log a x ctg x Gazdasági Matematika 91

92 Elemi függvények deriváltjai II. f(x) f (x) f(x) f (x) arcsin x ch x sh x arccos x th x arctg x cth x arcctg x arsh x sh x ch x arch x Gazdasági Matematika 92

93 Példa-1: Differenciálja az függvényt! A műveleti tételek alapján tagonként kell differenciálni: Gazdasági Matematika 93

94 Példa-2: Differenciálja az függvényt! A műveleti tételek alapján tagonként kell differenciálni: Itt az első tag egy szorzat, a második tag konstans: Gazdasági Matematika 94

95 Példa-3: Differenciálja az függvényt! Itt egy összetett függvény van, amelyben a külső függvény a tg függvény, a belső függvény az 5x függvény. Ezért Gazdasági Matematika 95

96 Magasabb rendű differenciálhányadosok Ha az f és az f ' függvény is deriválható az x 0 helyen, akkor az f '' az f függvény x 0 helyen vett második deriváltjának nevezzük. Analóg módon juthatunk el az n-dik derivált fogalmához. Jelölések: f '(x), f ''(x), f '''(x), f (4) (x),, f (n) (x), Gazdasági Matematika 96

97 Példa-1: Adja meg az f(x) = x 4 függvény első 5 deriváltját! f '(x) = 4x 3, f ''(x) = 12x 2, f '''(x) = 24x, f (4) (x) = 24, f (5) (x) = 0 Példa-2: Adja meg az f(x) = sin x függvény első 8 deriváltját! (sin x)' = cos x, (sin x)'' = -sin x, (sin x)'''(x) = -cos x, (sin x) (4) = sin x, (sin x) (5) = cos x, (sin x) (6) = -sin x, (sin x) (7) (x) = -cos x, (sin x) (8) = sin x, Gazdasági Matematika 97

98 Függvényvizsgálat I. Függvények növekedése, csökkenése Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Legyen f (x) = 0 minden x (a,b). Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumon állandó. Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor Az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor monoton növekvő ha f (x) 0minden x (a,b). Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor Az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor monoton csökkenő ha f (x) 0 minden x (a,b). Gazdasági Matematika 98

99 Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor szigorúan monoton növekvő ha f (x) > 0 minden x (a,b). Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor szigorúan monoton csökkenő ha f (x) < 0 minden x (a,b). Gazdasági Matematika 99

100 Példa: Vizsgáljuk meg az függvényt monotonitás szempontjából az értelmezési tartományán, ha D f = R. A növekedési viszonyokat az első derivált előjele határozza meg. Differenciáljuk a függvényt: A függvény szigorúan monoton növekvő, ha f' (x) > 0: A függvény szigorúan monoton csökkenő, ha Gazdasági Matematika 100

101 Valóban, a függvény alakja: Gazdasági Matematika 101

102 Függvényvizsgálat II. Szélsőérték meghatározása Tétel: Legyen az f függvény az x 0 helyen differenciálható. Ha f-nek az x 0 helyen létezik a lokális szélsőértéke, akkor f '(x 0 ) = 0. Tétel: Legyen az f függvény az x 0 helyen kétszer differenciálható. Ha f '(x 0 ) = 0 és f ''(x 0 ) > 0, akkor f-nek az x 0 helyen lokális minimuma van. Tétel: Legyen az f függvény az x 0 helyen kétszer differenciálható. Ha f '(x 0 ) = 0 és f ''(x 0 ) < 0, akkor f-nek az x 0 helyen lokális maximuma van. Gazdasági Matematika 102

103 Példa: Határozza meg az függvény szélsőértékeit! A szélsőérték létezésére vonatkozó tétel alapján határozzuk meg az első deriváltak zérushelyeit: amiből kapjuk, hogy Ezzel a lehetséges szélsőértékeket kaptuk meg. Vizsgáljuk most a második deriváltakat a lehetséges szélsőérték helyeken: és így A második derivált az x = 2 helyen negatív, ezért itt lokális maximuma van a függvénynek, az x = -2 helyen pedig pozitív, ezért itt lokális minimuma van a függvénynek. Gazdasági Matematika 103

104 Függvényvizsgálat III. Alaki viszonyok, inflexió Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon kétszer differenciálható. Ahhoz a függvény az intervallumon konvex (konkáv) legyen, szükséges és elegendő feltétel, hogy az f '(x) függvény az intervallumon szigorúan monoton növekvő (csökkenő) legyen, azaz f''(x) > 0, (ill. f''(x) < 0) minden x (a,b)-re. Tétel (az inflexiós hely létezésének szükséges feltétele): Legyen az f függvény az x 0 helyen kétszer differenciálható, és itt a függvénynek inflexiója van, akkor f''(x 0 ) = 0. Tétel (az inflexiós hely létezésének elégséges feltétele): Legyen az f függvény az x 0 helyen kétszer differenciálható, és legyen f''(x 0 ) = 0. Ekkor az f függvénynek az x 0 helyen inflexiója van. Gazdasági Matematika 104

105 Példa: Határozzuk meg az, D f =Rfüggvény inflexióshelyét, és állapítsa meg, mely intervallumon konvex és konkáv a függvény. Az inflexióshely létezésére vonatkozó tétel alapján keressük meg a második derivált zérushelyeit: A második derivált sosem nulla, így nincs inflexiós hely. Vizsgáljuk meg a második derivált előjelét: ez a kifejezés akkor negatív, ha x < 0, és akkor pozitív, ha x > 0. A függvény értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza, tehát a függvény mindenütt konvex. Gazdasági Matematika 105

106 A függvényvizsgálat lépései Az értelmezési tartomány megállapítása Zérushelyek meghatározása Szimmetriatulajdonságok: párosság, páratlanság, periodicitás Folytonosság, szakadási helyek meghatározása. Határértékek meghatározása a szakadási helyek jobb ill. baloldalán, valamint az intervallum végpontjaiban. Monotonitás, szélsőérték vizsgálat. Alaki viszonyok: konvex, konkáv tartományok, inflexiós pontok meghatározása. A függvény grafikonjának megrajzolása. Értékkészlet meghatározása. Gazdasági Matematika 106

107 Példa: Végezzen el teljeskörű függvényvizsgálatot az függvényen! 1. A függvény értelmezési tartománya: D f =R. 2. A zérushelyek meghatározása:? Gazdasági Matematika 107

108 3. Szimmetriatulajdonságok. A függvény páros, mert A hatványfüggvények nem periodikusak, így a különbségük sem az. 4. Folytonosság, szakadási helyek, határérték: a hatványfüggvények folytonosak minden x D f helyen, szakadási hely nincs. 5.Monotonitás, szélsőérték: szélsőérték ott lehet, ahol a függvény differenciálhányadosa nulla. Gazdasági Matematika 108

109 Az első derivált előjele adja a tényleges monotonitást: Ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monoton csökkenő. Ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monoton növekvő. A második derivált előjele a szélsőérték helyeken szolgáltatja a szélsőértékeket: Amiből adódik, hogy Ezért a függvénynek minimumhelye van +1-ben és -1-ben, és maximumhelye van 0-ban. Gazdasági Matematika 109

110 6. Alaki viszonyok: ha Amiből kapjuk, hogy Ezeken az intervallumokon a függvény konvex. Hasonlóan: Amiből: ha Itt a függvény konkáv. Gazdasági Matematika 110

111 Ahol a függvény konvexből konkávba megy át inflexiós pontja van. Ezek a pontok: ott a függvénynek Gazdasági Matematika 111

112 -1 1 Az függvény grafikonja Gazdasági Matematika 112

113 Integrálszámítás és alkalmazásai A primitív függvény, a határozatlan integrál Elemi függvények határozatlan integrálja Integrálási szabályok A határozott integrál fogalma és tulajdonságai A Newton-Leibniz szabály Az integrálszámítás alkalmazásai Gazdasági Matematika 113

114 A primitív függvény A differenciálszámítás során megismertük azt, hogy egy f(x) függvény f (x) deriváltját hogyan lehet megadni a függvény ismeretében. A kérdés az, hogy a differenciálhányados ismeretében hogyan lehet meghatározni az f(x) függvényt? Erre a kérdésre ad választ az integrálszámítás. Akkor mondjuk, hogy az F(x) függvény primitív függvénye az f(x) függvénynek az I R intervallumban, ha F folytonos az I-n és minden belső pontjában F (x) = f(x). Gazdasági Matematika 114

115 Példa: Vegyük észre, hogy az f(x) = x 2 függvény primitív függvénye a számegyenesen az függvény, mert F (x) = x 2 = f(x). Hasonló megfontolás alapján látható az is, hogy a és Függvények ugyancsak primitív függvényei az f(x) függvénynek. (Ez egyszerűen adódik abból, hogy a konstans differenciálhányadosa 0.) Tétel: Ha f-nek az I intervallumban van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak egy additív konstansban térnek el egymástól. Gazdasági Matematika 115

116 Egy f függvény határozatlan integráljának mondjuk az I R intervallumban az f függvény primitív függvényeinek halmazát. Jele Az integrál mögötti részt integrandusnak, az x változót integrációs együtthatónak nevezzük. A határozatlan integrál definíciójából következik, hogy Egy függvény határozatlan integrálját megadni azt jelenti, hogy megkeressük a hozzá tartozó összes primitív függvényt. Gazdasági Matematika 116

117 Példa: Határozzuk meg f primitív függvényeit, ha Megoldás: A korábbi tétel miatt, ha grafikusan akarjuk ábrázolni a különböző primitív függvényeket, akkor azok olyan párhuzamos görbesereget alkotnak, amelyek az y tengely mentén vannak eltolva. (Ld. A következő oldalt.) Gazdasági Matematika 117

118 f(x) = x 2 Gazdasági Matematika 118

119 Az elemi függvények határozatlan integráljai n -1, n R Gazdasági Matematika 119

120 Integrálási szabályok Tétel: Tegyük fel, hogy f-nek és g-nek létezik a primitív függvénye az I intervallumban. Akkor cf-nek és (f + g)-nek is van primitív függvénye, és Gazdasági Matematika 120

121 Példa: keressük az f(x) = 3x 4 + 2x 3 5x +2 függvény határozatlan integrálját! függvény határozatlan integ- Példa: keressük az rálját! Gazdasági Matematika 121

122 Tétel: Tegyük fel, hogy f(x)-nek F a primitív függvénye az I intervallumban, és ax+b I. Akkor Biz. Gazdasági Matematika 122

123 Példa: keressük az f(x) = (2x+4) 3 függvény határozatlan integrálját! Példa: keressük az f(x) = cos(3x+3) függvény határozatlan integrálját! Gazdasági Matematika 123

124 Tétel: Tegyük fel, hogy f(x) differenciálható és F a primitív függvénye az I intervallumban, és n -1. Akkor Biz. Figyeljük meg, hogy változtattunk a jelölésen! Gazdasági Matematika 124

125 Példa: keressük az f = 2(2x+4) 3 függvény határozatlan integrálját! Példa: keressük az függvény határozatlan integrálját! Gazdasági Matematika 125

126 Tétel: Tegyük fel, hogy f differenciálható az I intervallumban, és f(x) 0, x I. Akkor Példa: keressük az függvény határozatlan integrálját! Gazdasági Matematika 126

127 Parciális integrálás A szorzatfüggvény differenciálási szabályának megfordításából adódó integrálási szabályt parciális integrálásnak nevezzük. Tétel: Tegyük fel, hogy f és g folytonos és differenciálható az I intervallumban. Akkor Biz. Integráljuk mindkét oldalt: Amiből átrendezéssel megkapjuk a tétel állítását. Gazdasági Matematika 127

128 Példa: keressük az határozatlan integrál értékét! Legyen f(x) = x és gʹ(x) = e x. Ekkor fʹ(x) = 1 és g(x) = e x. Így Gazdasági Matematika 128

129 Integrálás helyettesítéssel A helyettesítéses integráláshoz lényegében az összetett függvény differenciálási szabályának megfordításával juthatunk el. Tétel: Tegyük fel, hogy a g függvény differenciálható az I intervallumban, és F (x) =f(x), ahol x g(i). Akkor Példa: keressük az határozatlan integrál értékét! Az első tényező egy összetett függvény, amelynek belső függvénye g: g(x) = x 2. Az integrandus nem a megfelelő - - alakú, ha szorozzuk és osztjuk is 2-vel, akkor a kívánt forma elérhető: VIG Gazdasági BSc Matematika II. 129

130 A határozott integrál fogalma Keressük annak a síkidomnak a területét, amelyet az f(x) = x 2 görbe, az x tengely és az x = b egyenes határol. Jelöljük a fenti parabolikus háromszög területét T-vel, és osszuk fel a [0,b] intervallumot n egyenlő hosszúságú ekvidisztans részintervallumra. Legyenek az osztópontok: ahol A T területnek egy alsó becslését kapjuk, ha minden részintevallumon egy olyan téglalapnak a területét számítjuk ki, amelynek alapja a részintervallum hossza, magassága a részintervallum bal végpontjában felvett függvényérték. Gazdasági Matematika 130

131 Így a parabolikus háromszög területét alulról egy törtvonallal határolt sokszög területével közelítjük meg: x 0 x 1 x 2 x i x n-2 x n-1 x n =b 131 Gazdasági Matematika 131

132 Jelöljük az összterületet s n -nel és számítsuk ki az alsó közelítő területek összegét: Hasonlóan számítható ki a felső közelítő összeg, de most a részintervallumokon a jobb oldali végponthoz tartozó függvényérték adja a magasságot. Gazdasági Matematika 132

133 Jelöljük az összterületet S n -nel és számítsuk ki az felső közelítő területek összegét: Az nyílvánvaló, hogy Gazdasági Matematika 133

134 Most n-et növelve osszuk a [0,b] intervallumot egyre több részre. Ekkor Ezért Gazdasági Matematika 134

135 Monoton függvények határozott integrálja A fentiekben alkalmazott technikát változtatás nélkül használhatjuk monoton növekvő függvények esetére. Legyen f az [a,b] intervallumon értelmezett monoton növekvő korlátos függvény, és legyen f 0. Határozzuk meg a görbe vonalú trapéz területét, ha azt az x tengely, az f függvény grafikonja és az x = a, valamint az x = b egyenesek határolják. Eddig egyenlő hosszúságú részintervallumokra osztottuk az adott szakaszt. Mivel ez nem kötelező előírás, és a következőkben általánosabban akarjuk kezelni a problémát, be kell vezetnünk a következő definíciót: Gazdasági Matematika 135

136 f(x) f(a) T f(b) a b Gazdasági Matematika 136

137 Legyen Az [a,b] intervallum felosztása n nem feltétlenül egyenlő részre. A felosztás finomságán a számot értjük. jelöli. A δ n tehát a leghosszabb részintervallum hosszát Minden olyan felosztást, amelyet egy adott felosztásból úgy kapunk, hogy újabb osztópontokat veszünk fel, és eközben δ n csökken, az adott felosztás finomításának nevezzük. Gazdasági Matematika 137

138 Ha f monoton növekvő és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor az felosztáshoz tartozó alsó összegen (a beírt téglalapok területösszegén) az összeget értjük. Gazdasági Matematika 138

139 Ha f monoton növekvő és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor az felosztáshoz tartozó felső összegen (a beírt téglalapok területösszegén) az összeget értjük. Monoton csökkenő függvények esetén az alsó és feslő összegek értelemszerűen definiálhatók. A fenti definíciókból egyértelműen adódik, hogy az f(x) görbe alatti T terület az [a,b] intervallumon: Gazdasági Matematika 139

140 Tétel: Legyen f(x) egy monoton növekvő, korlátos függvény az [a,b] intervallumon. Tekintsük az [a,b] intervallumnak egy felosztását, és a felosztást finomítsuk minden határon túl, azazδ n 0. Ekkor a {s n } és a {S n } sorozatok konvergálnak, és A tétel analóg módon kimondható monoton csökkenő korlátos függvényekre is. A következőkben megmutatjuk, hogy a függvényértékek választásánál nem kell ragaszkodnunk a részintervallumok végpontjaihoz. Gazdasági Matematika 140

141 Tétel: Legyen f az [a,b] intervallumon monoton és korlátos. Legyen Az [a,b] intervallum egy felosztása, és legyenek Tetszés szerinti valós számok. Legyen továbbá Ekkor A σ n értéket az adott beosztáshoz tartozó közelítő összegnek nevezzük. Gazdasági Matematika 141

142 Az f függvényt az [a,b] intervallumban integrálhatónak nevezzük, ha a felosztások minden határon túli finomításával keletkező σ n közelítő összegek sorozatának létezik a (beosztástól és aξ n közbülső pontoktól független) határértéke. A határértéket az f függvény [a,b] intervallumon vett integráljának vagy határozott integráljának (vagy Riemann-integráljának) nevezzük. Jele: A fenti definíció ismeretében az előző oldali tétel átfogalmazható: az [a,b] intervallumon monoton korlátos függvény integrálható. Gazdasági Matematika 142

143 Az f függvényt az (a,b) intervallumban szakaszonként monoton függvénynek nevezzük, ha van az [a,b] intervallumnak olyan véges felosztása, hogy minden részintervallumban f monoton. Tétel: Szakaszonként monoton függvények integrálját a monoton szakaszokon vett integrálok összege szolgáltatja. Tétel: Ha az [a,b] intervallumnak van olyan felosztása, hogy minden nyitott részintervallumon az f függvény folytonos, és f az [a,b]-n korlátos, akkor az f függvény az [a,b]-n integrálható. Gazdasági Matematika 143

144 A határozott integrál tulajdonságai Tétel: Ha az f és a g függvény integrálható az [a,b] intervallumon, és α R, akkor és Továbbá, ha a < c < b, akkor (A két utolsó állítás más szóval: a határozott integrál mind függvény, mind intervallum szerint additív.) Gazdasági Matematika 144

145 Ha f integrálható az [a,b] intervallumon, akkor Tétel: Ha f integrálható és folytonos az [a,b] intervallumban, akkor létezik olyan valós szám, amelyre Tétel: Ha egy f függvény integrálható az [a,b] intervallumon, akkor integrálható annak minden részintervallumán is. Gazdasági Matematika 145

146 A Newton-Leibniz szabály Ha az előző oldali utolsó tételét, akkor az intervallum alsó határát rögzítve az intervallumon vett integrál egy függvény, amelynek értéke a részintervallum felső határának értékétől függ. Más szóval minden x [a,b] számhoz egy valós szám rendelhető. Jelöljük ezt a függvényt G-vel: Ezt G függvényt az f függvény integrálfüggvényének nevezzük. Az integrálfüggvény jól használható a határozott integrál kiszámításakor, hiszen Gazdasági Matematika 146

147 Már a definícióból két dolog is látszik: Egyrészt azonnal adódik, hogy G(a) = 0, másrészt lehet látni,hogy a G függvénynek köze van a primitív függvényhez. Valóban, igaz a következő tétel: Tétel: ha G az f-nek integrálfüggvénye, és f folytonos az [a,b] intervallumon, akkor Azaz G az f-nek egy primitív függvénye. A fenti tétel következménye az, hogy ha F(x) is primitív függvénye f(x)-nek, akkor Ezért Mivel G(a) = 0, ezért Gazdasági Matematika

148 Meghatározva C-t, azt kapjuk, hogy És ezért Ezt a képletet szokás Newton-Leibniz formulának is nevezni. A határozott integrál értékét tehát úgy számítjuk ki, hogy megkeressük f egy primitív függvényét (F-et), és a felső határon vett helyettesítési értékéből kivonjuk az alsó határon vett helyettesítési értékét. Gazdasági Matematika 148

149 Példa. Számítsuk ki az határozott integrál értékét a Newton-Leibniz formula segítségével! A megoldás helyességét egyszerű geometriai eszközökkel is ellenőrizhetjük: 2 4 Gazdasági Matematika 149

150 Az integrálszámítás alkalmazásai Az integrál geometriai értelmezésének a következménye, hogy ha f korlátos és integrálható az [a,b] intervallumon, akkor az annak a síkidomnak a területét adja, amelyet az f függvény, az x = a, az x = b egyenesek és az x tengely határolnak, feltéve, ha f(x) 0. Ha a függvényre nem érvényes a nem-negativitás, akkor a negatív szakaszon külön számítjuk ki a függvényhez tartozó terület értékét, és annak az abszolút értékével számolunk. Gazdasági Matematika 150

151 Példa. Számítsuk ki az határozott integrál értékét a Newton-Leibniz formula segítségével! Az ellenőrzéshez rajzoljuk fel az (x-3) függvény grafikonját! Gazdasági Matematika 151

152 Példa: bizonyos esetekben érdemes kihasználni a szimmetriát. Számítsuk ki, hogy mekkora területet zár be az x tengellyel az y = sinx függvény a [0,2π] intervallumon! Ha egyszerűen alkalmazzuk a Newton-Leibniz formulát, akkor: Ami nyílván hibás eredmény. Használjuk ki a szimmetrát! Ekkor Ez így már a helyes eredmény! Gazdasági Matematika 152

153 Két vagy több függvénygörbe által határolt síkidom területének mérőszáma a két (vagy több) függvény által határolt területek különbségéből határozható meg. Példa: határozzuk meg az f(x) = x 2 és a által bezárt síkidom területét! egyenletű görbék Először határozzuk meg a két görbe metszéspontjait: x 1 = 0 és x 2 = 1. Ezért Gazdasági Matematika 153

154 Valószínűségszámítás Kombinatorika Permutációk Variációk Kombinációk Valószínűségszámítás Eseményalgebra Valószínűségszámítás axiómái (Kolmogorov axiómák) Klasszikus valószínűség, Feltételes valószínűség, függetlenség, A valószínűségi változó és jellemzői (eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, várható érték és szórás) Gazdasági Matematika 154

155 Nevezetes diszkrét eloszlások Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Geometriai eloszlás Hipergeometrikus eloszlás Poisson eloszlás Nevezetes folytonos eloszlás Egyenletes eloszlás Exponenciális eloszlás Normális eloszlás Gazdasági Matematika 155

156 Kombinatorika A kombinatorika egy adott véges halmaz elemeinek adott feltételek szerinti csoportosításával foglalkozik. Aszerint, hogy a csoportosítás milyen feltételek mellett történik, permutációról variációról kombinációról beszélünk. A véges halmaz elemei lehetnek számok, betűk, tárgyak, személyek, stb. Gazdasági Matematika 156

157 Permutáció Egy n elemű véges halmaz elemeinek meghatározott sorrendbe történő elhelyezését permutációnak nevezzük. Ha a halmaz elemei különbözőek, akkor ismétlés nélküli permutációról, ha a halmaz elemei között vannak egyenlők is, akkor ismétléses permutációról beszélünk. Legtöbbször a feladat értelmezéséből megadható egy alapsorrend, (pl. nagyság szerinti vagy alfabetikus rendezés), de feladattól függően bármely sorrend tekinthető alapsorrendnek. A leggyakrabban feltett kérdés: hányféle sorrendben lehet n elemet egymás mellé rendezni, azaz n elemnek hány permutációja van? Gazdasági Matematika 157

158 Vezessük be a következő jelölést: n = n!. Az n! elnevezése: n faktoriális. Tétel: n elem ismétlés nélküli permutációinak a száma P n = n!. Biz. Az első helyre n féleképpen választhatunk elemet. A második helyre a megmaradó n 1 elemből választhatunk minden egyes első helyre történt választáshoz. Ezért az első két helyre összesen n (n 1) különböző választás lehetséges. A harmadik helyre a megmaradó n 2 elemből választhatunk minden az első két helyre történt választáshoz. Ezért az első három helyre összesen n (n 1)(n 2) különböző választás lehetséges. Ezt a gondolatmenetet folytatva az (n 1). pozícióra 2-féleképpen választhatunk minden rögzített (n 2)-eshez. Az utolsó pozícióba beírva a megmaradt elemet, megkapjuk a tétel állítását. Gazdasági Matematika 158

159 Példa. Egy 5 tagú társaság egy asztal körül helyet akar foglalni, de nem tudnak megegyezni a helyekben. Ezért elhatározzák, hogy 10 percenként új sorrendben ülnek az asztal köré. Mennyi ideig tart az összejövetel, ha minden lehetséges sorrendet ki akarnak használni? Az összes lehetséges sorrend P 5 = 5! = 120 lesz, ami azt jelenti, hogy 1200 perc = 20 óra szükséges az összes lehetőség kihasználására. Gazdasági Matematika 159

160 Példa: Hány négyjegyű szám képezhető az alábbi számjegyekből? 0, 2, 3, 5 Az összes permutációk száma P 4 = 4! = 24. Mivel a 0-val kezdődő permutációk nem négyjegyű számok, ezért ezek számát le kell vonnunk az összes permutációból. A 0 annyiszor állhat az első helyen, ahány permutációja van a maradék 3 számnak. Ezek száma P 3 = 3! = 6. Így a képezhető négyjegyű számaink összes lehetséges száma: P 4 P 3 = 24 6 = 18. Gazdasági Matematika 160

161 Az olyan permutációt, ahol a sorbarendezendő elemek között egyenlők (egyformák) is előfordulnak, ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: Legyen az n darab elem között k 1, k 2,, k r darab egyenlő, ahol k i 1 és Jelölje az n elem ismétléses permutációinak a számát. Ekkor Gazdasági Matematika 161

162 Biz. Tekintsük az n elem egy tetszőleges permutációját. A k 1 darab egyforma elemet különböztessük meg egymástól átmeneteileg átszínezéssel. Permutáljuk a k 1 egyforma elemet egymás között. Így k 1! különböző permutációt kapunk. Végezzük el az átszínezést a k 2, k 3,, k r egyforma elemekre is. Összesen előállítottunk permutációt, amelyek száma nyílván n!. Ezért Amiből átrendezéssel a tétel állítása azonnal megkapható. Gazdasági Matematika 162

163 A tétel bizonyításának illusztrálására képezzük az 1, 1, 2, 2 elemek összes ismétléses permutációit! Színezzük át az egyforma elemeket, és képezzük az összes ismétlés nélküli permutációt! Tegyük egyszínűvé az összes számot! Az egyformák közül csak az egyiket hagyjuk meg! Gazdasági Matematika 163

164 Példa: Hány különböző hétjegyű szám alkotható a 1, 1, 4, 4, 4, 7, 7 számjegyekből? A megoldást nyílván értéke adja: Példa: Hányféleképpen tölthető ki a totószelvény egy oszlopa, ha az 6 db 1-es, 3 db 2-es és 5 db x-es tippet tartalmaz? (A totószelvényen 13+1tippet kell kitölteni.) A megoldást nyílván értéke adja: (Megjegyzés: Így azért sosem töltünk ki totószelvényt!) Gazdasági Matematika 164

165 Variáció n különböző elemből k számú elem kiválasztását úgy, hogy a kiválasztás sorrendje is számít, n elem k-ad osztályú variációjának nevezzük, (1 k n). Ha egy elemet csak egyszer választhatunk ki, akkor ismétlés nélküli variációról, ha egy elem többször is kiválasztható, akkor ismétléses varációról beszélünk. Ismétlés nélküli variációt visszatevés nélküli mintavétellel, ismétléses variációt visszatevéses mintavétellel lehet előállítani. Gazdasági Matematika 165

166 Tétel: n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma: Biz. Használjuk a permutációknál alkalmazott gondolatmenetet! Az első helyre n féleképpen választhatunk elemet. A második helyre a megmaradó n 1 elemből választhatunk minden egyes első helyre történt választáshoz. Ezért az első két helyre összesen n (n 1) különböző választás lehetséges. Folytatva a kiválasztást, a k. helyre a megmaradó n k + 1 elemből választhatunk. Így az összes választási lehetőségünk száma: Gazdasági Matematika 166

167 Példa: Képezzük az elemek összes másodosztályú variációit! Az első helyre 4 elemből választhatunk, és minden egyes választáshoz a második helyre a maradék 3 elemből választhatunk elemet: Gazdasági Matematika 167

168 Példa: Hány olyan 4-jegyű szám képezhető a 10 számjegyből, amelyeknek minden számjegye különböző? Az összesképezhető négyjegyű számot a szolgáltatja: Ezek közül nem valódiak azok, amelyek 0-val kezdődnek. Ezek számát a adja meg: Így a keresett négyjegyű számok száma: Gazdasági Matematika 168

169 Tétel: n elem k-ad osztályú ismétléses variációinak száma: Biz. Az első helyre n féleképpen választhatunk elemet. A második helyre ugyancsaknelemből választhatunk minden egyes első helyre történt választáshoz. Ezért az első két helyre összesen n 2 különböző választás lehetséges. Folytatva a kiválasztást, a k. helyre ismét n elemből választhatunk. Így az összes választási lehetőségünk száma: Gazdasági Matematika 169

170 Példa: Hány olyan négyjegyű szám van, amelyet csupa páratlan számjegy alkot? Nyilván ismétlődés lehet (a 1939 ilyen négyjegyű szám), és a sorrend is számít ( ). Az 1, 3, 5, 7, 9 számjegyekből a négyjegyű számokat kell kiválasztani. Ezek száma: Példa: Egy totózónak hány oszlopot kell kitöltenie, ha biztos telitalálatot akar elérni? A megoldás három elem 14-ed osztályú ismétléses variációinak a száma: Gazdasági Matematika 170

171 Kombináció n különböző elemből k számú elem kiválasztását úgy, hogy a kiválasztás sorrendje NEM számít, n elem k-ad osztályú kombinációjának nevezzük, (1 k n). Ha egy elemet csak egyszer választhatunk ki, akkor ismétlés nélküli kombinációról, ha egy elem többször is kiválasztható, akkor ismétléses kombinációról beszélünk. Ismétléses kombinációk esetében k elemű részhalmazokat képezünk, ahol két részhalmazt akkor mondunk egyenlőnek, ha bennük ugyanazok az elemek ugyanannyiszor fordulnak elő. Ismétléses kombináció esetén a k n feltételnek nem kell állnia, k tetszőleges természetes szám lehet. Gazdasági Matematika 171

172 Tétel: n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak a száma: (A jobb oldalon álló jelölés olvasása: n alatt a k, és binomiális együtthatónak nevezzük.) Biz. Amint az a definíciókból is látszik, a variációk és kombinációk között az eltérés mindössze annyi, hogy a kombinációknál a sorrend számít. Ez azt jelenti, hogy ha egy k-ad rendű kombinációból k! darab variáció állítható elő. Így amiből a tétel állítása azonnal adódik. Gazdasági Matematika 172

173 Példa: Hány lottószelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen öttalálatos szelvényünk? A kitöltendő szelvények számát megkapjuk, ha kiszámítjuk, hogy hányféleképpen választhatunk ki 5 elemet a 90 számból. Esetünkben a kiválasztás sorrendje nem számít, hiszen a kihúzás sorrendje nem befolyásolja a találatok számát. A megoldás tehát: (ami azonnal mutatja, hogy a 200 Ft / játék összegnél a biztos nyereményt befektetésből lehet elérni.) Gazdasági Matematika 173

174 Példa: A bridzs kártyajátékot az 52 lapos franciakártyával 4 játékos játsza, mindenki 13 lapot kap. Hányféle leosztás lehet a bridzsben, ha két leosztást akkor tekintünk különbözőnek, ha legalább egy játékos kezében legalább egy kártyában eltér a leosztás. Az első játékos száma: féleképpen kaphat különböző lapokat. Ezek A második játékosnak a maradék 39 lapból osztható ismét 13 kártya. Ezek száma: A harmadik játékos 26 lapból kap 13 kártyalapot. Így az összes különböző leosztások száma: Gazdasági Matematika 174

175 Tétel: n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációinak a száma: Biz. A bizonyítás azon alapul, hogy megmutatható az, hogy az 1, 2,,n elemeknek ugyanannyi k tagú ismétlés nélküli kombinációja van, mint ahány k tagú ismétléses kombinációja van az 1, 2,, n + k 1 elemeknek. Legyen (j 1, j 2,, j k ) tetszőleges k tagú ismétléses kombinációja az 1, 2,, k elemeknek, ahol j 1 j 2 j k. (1) Készítsük el ebből a (2) kombinációt. Gazdasági Matematika 175

176 A (2) kifejezés jobb oldalán az 1, 2,, n + k 1 elemek egy ismétlés nélküli kombinációja áll. (Ez az (1) monotonitási feltételből következik.) Mivel a (2) kifejezés egy kölcsönösen egyértelmű leképezés (bijekció) az 1, 2,, n elemek és az 1, 2,, n + k 1 elemek között, ezért az ismétlés nélküli kombinációkból is egyértelműen előállíthatóak az ismétléses kombinációk. Ekkor a leképezést használjuk. Gazdasági Matematika 176

177 Példa: Két ugyanolyan színű dobókockával dobunk. Hány különböző kimenetele lehet a dobásnak? A 6 lapra 6 szám van felírva (n = 6), ezek ismétlődhetnek, de mivel a két dobókocka (k = 2) színe ugyanaz, ezért nem megkülönböztethetők (sorrendjük nem számít). A képlet szerint a megoldás: A lehetséges kombinációk: Gazdasági Matematika 177

178 Irodalom a kombinatórika fejezethez: Szele Tíbor: Bevezetés az Algebrába. Tankönyvkiadó, Budapest Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin: Diszkrét Matematika. Typotex Balásházy Ferenc: Valószínűségszámítás. Matematika a levelező szakos hallgatók számára. ZMNE BJKM Főiskolai Kar. Jegyzet Bánhegyesiné Topor Gizella, Bánhegyesi Zoltán: Matematika, nem matematika szakosoknak. Műszaki Könyvkiadó ISBN (Val.szám is) Gazdasági Matematika 178

179 Valószínűségszámítás Azokat a jelenségeket, amelyek létrejöttét a tekintetbe vett körülmények nem határozzák meg egyértelműen, véletlen jelenségeknek nevezzük. A véletlen jelenségeknek a megadott körülmények mellett többféle kimenete is lehet. Statisztikus törvényszerűségeknek nevezzük a véletlenszerű összefüggésekkel szemben érvényesülő szükségszerű hatásokat. Általában az olyan jelenségeket, amelyek nagy számban lépnek fel, vagy azonos körülmények között tetszés szerinti sokszor megismételhetők, tömegjelenségeknek nevezzük. A valószínűségszámítás tárgya a véletlen tömegjelenségek vizsgálata. Gazdasági Matematika 179

180 Az olyan jelenségeket, amelyeknek a kimenetele az adott körülmények között többféle is lehet, gyűjtőnéven kísérletnek nevezzük. A kísérlet lehetséges eredményei az elemi események. Kísérlet például: egy lövedék kilövése ágyúból, dobókockával történő dobás egy folyó vízállásának leolvasása meghatározott helyen és időben utasok száma egy buszjáraton reggel rögzített időpontban egy kártyalap kihúzása a kártyacsomagból Kockadobásnál vagy a kártyalap kihúzásánál az elemi események száma véges, míg a vízállás leolvasásánál végtelen sok mérési eredményünk lehet. Az adott kísérletnél előforduló elemi események összességét eseménytérnek nevezzük. Gazdasági Matematika 180

181 Előfordulhat, hogy egy kísérlet kapcsán nem az elemi események bekövetkezését vizsgáljuk, hanem az elemi eseményekből alkotott részhalmazok bekövetkezésére vagyunk kíváncsiak. Az eseménytér (H) részhalmazait eseményeknek nevezzük. (Az elemi események is események.) Pl. Páros kockadobások bekövetkezését vizsgáljuk, 310 cm-nél magasabb vízállásokat rögzítünk, A pikk lapok húzását tekintjük érvényes kísérletnek stb A teljes eseménytér és az üres halmaz is a H eseménytér halmazelméleti értelemben vett részhalmazai, ezért ezek is beletartoznak az eseménytérbe. Az egész H halmazt biztos eseménynek, az üres halmazt lehetetlen eseménynek nevezzük. Gazdasági Matematika 181

182 Tekintsünk egy olyan kísérletsorozatot, amely n kísérletből áll. Jelentse k egy meghatározott esemény bekövetkezéseinek a számát. Ekkor a hányadost a tekintett esemény relatív gyakoriságának nevezzük a szóbanforgó kísérletsorozatban. Ha nagy számú kísérletsorozat elvégzése során az A esemény bekövetkezésének a relatív gyakoriságok egy szám körül ingadoznak, akkor azt a számot az A esemény valószínűségének nevezzük. Jelölése: P(A). Ha a relatív gyakoriságok nem ingadoznak egy szám körül, akkor a szóbanforgó eseménynek nincs valószínűsége. Ha egy tömegjelenséggel kapcsolatos eseménynek van valószínűsége, akkor az egy objektív adat (mint a tömeg, a hőmérsklet stb ). Gazdasági Matematika 182

183 A valószínűségszámítás feladata az, hogy az egyszerű események valószínűségének az ismeretében bonyolultabb, összetett események valószínűségére következtessen. Ahhoz, hogy a valószínűségszámítás módszereivel megismerkedjünk, először arra van szükség, hogy megvizsgáljuk azt, hogyan lehet az elemi eseményekből összetett eseményeket képezni. Ehhez meg kell ismerni az eseményalgebrát, amely a Boole-algebrák egy speciális esete. Gazdasági Matematika 183

184 Az eseményalgebra Tekintsük a kockadobást, mint kísérletsorozatot. Ebben az esetben az elemi események a kockadobás eredményei lesznek, tehát 1-et, 2- t,,6-t dobunk. Tekintsük az elemi eseményekből képezett következő (összetett) eseményeket: A kockadobás eredménye páros szám. A kockadobás eredménye 3-nál nagyobb. A kockadobás eredménye páratlan szám. Gazdasági Matematika 184

185 Legyen A és B két esemény. A két esemény összegén azt az eseményt értjük, amely akkor következik be, ha a két esemény közül valamelyik bekövetkezik. Jelölése: A + B vagy. Legyen A és B két esemény. A két esemény szorzatán azt az eseményt értjük, amely akkor következik be, ha a két esemény közül mindkettő bekövetkezik. Jelölése: AB vagy. ese- Egy A esemény kiegészítő (komplemens) eseményén azt az ményt értjük, amelyre igaz, hogy Gazdasági Matematika 185

186 A következő összefüggések igazak: I. II. III. IV. V. Gazdasági Matematika 186

187 A fenti azonosságok nyilvánvaló következménye az, hogy AB = 0 jelentése: az A és B események egyszerre nem következhetnek be, azaz A és B egymást kizáró események. Általában az elemeknek olyan halmazát, amelyben értelmezve van a H és a 0 elem, továbbá definiált az elemek között az összeadás, a szorzás és a ellentett-képzés művelete, és a műveletek rendelkeznek az I. V. tulajdonságokkal, Boole-féle algebrának nevezzük. Tétel: Egy Boole-algebrában érvényesek a következő azonosságok: Gazdasági Matematika 187

188 Tétel: Egy Boole-algebrában érvényesek a De Morgan azonosságok: Gazdasági Matematika 188

189 A Boole-algebrában a kivonást a következőképpen definiáljuk: Tétel (Abszorbciós tétel): Biz. Következmény 1: Gazdasági Matematika 189

190 Ha a A i nem szükségképpen elemi események egy véges vagy végtelen sorozatára fennállnak a feltételek, akkor az események ilyen rendszerét teljes rendszernek nevezzük. Teljes rendszert alkot például minden esemény a kiegészítő (komplemens) eseményével együtt, egy kockadobásos kísérletsorozatnál a páros és a páratlan dobások eseményeiből alkotott rendszer. Gazdasági Matematika 190

191 A valószínűségszámítás alapfogalmai Az A esemény P(A) valószínűségére Kolmogorov-féle axiómák: - mint axiómára igazak a I. II. III. Ha az A és B események egymást kizáró események (AB = 0), akkor (A III. axióma kiterjeszthető eseményeknek olyan végtelen sorozatára is, amelyekre A i A j = 0.) Gazdasági Matematika 191

192 Tétel: Ha egy A esemény valószínűsége P(A), akkor Biz. Mivel A és az ellentettje teljes rendszert alkotnak, ezért a III. axióma miatt A II. axióma miatt P(H) = 1, ezért átrendezéssel azonnal megkapjuk a tétel állítását. Következmény 2: P(0) = 0. Gazdasági Matematika 192

193 Tétel: Ha az A és B események tetszőleges események, akkor annak a valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik: Biz. Legyen az A és a B két egymást kizáró esemény. Ekkor a Következmény 1 miatt Használjuk továbbá a következő azonosságot: Alkalmazzuk a III. axiómát a két azonosságra: A két egyenletet egymásból kivonva átrendezéssel kapjuk a tétel állítását. Gazdasági Matematika 193

194 Klasszikus valószínűség Tegyük fel, hogy egy kísérletsorozatnál a véges sok A 1, A 2,,A n esemény teljes eseményrendszert alkot. Ekkor a III. axiómát alkalmazva kapjuk, hogy: Tegyük fel, hogy az A 1, A 2,,A n események egyformán valószínűek, azaz Ekkor a rendszer teljessége miatt Így Gazdasági Matematika 194

195 Ha egy B esemény akkor következik be, ha vagy az A 1, vagy az A 2,, vagy az A k elemi esemény valamelyike bekövetkezik, akkor és mivel az A i események egymást kizáró események, ezért Mivel az elemi események száma n, ezért azaz a B esemény bekövetkezésének valószínűségét úgy kapjuk, hogy a kedvező elemi események számát elosztjuk az összes elemi események számával. Gazdasági Matematika 195

196 Klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük az elemi események egy olyan teljes rendszerét, ahol az elemi események részhalmazain értelmezve van egy P(B) = k / n függvény, ahol k a B halmaz, n pedig a H halmaz elemeinek száma. A klasszikus valószínűségszámítás a klasszikus valószínűségi mezőkkel foglalkozik. A klasszikus valószínűségszámítás eszközeivel a következő feladatok egyszerűen megoldhatók: Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy szabályos dobókockával 2-est dobunk, páratlan számot dobunk, nem dobunk 5-öst? Gazdasági Matematika 196

197 Példa: Mi annak a valószínűsége, hogy véletlenszerűen húzva ki egy lapot a 32 lapos magyar kártyából zöldet húzunk? felsőt húzunk? a kihúzott lap a makk király lesz? Gazdasági Matematika 197

198 Tömegesen gyártott termékeknél a gyártás átlagos minőségére az előállított termékek nagy száma miatt többnyire nem következtethetünk úgy, hogy minden egyes terméket megvizsgálunk. Ezekben az esetekben a selejtes termékek számának a meghatározását mintavétel segítségével végezzük el. Ha a kiválasztott terméket a vizsgálat után visszarakjuk a vizsgálat elvégzése után, akkor visszatevéses mintavételről, ha a terméket a vizsgálat után nem tesszük vissza, akkor visszatevés nélküli mintavételről beszélünk. Visszatevéses mintavételnél a selejtes és a hibátlan termékek aránya nem változik, a visszatevés nélküli esetben azonban az arányok megváltoznak. Gazdasági Matematika 198

199 Visszatevés nélküli mintavétel Tegyük fel, hogy egy N darabból álló termékhalmazban M darab selejtes van. Ha a termékekből n darabot visszatevés nélkül kiválasztunk, akkor mi a valószínűsége annak, hogy azok között éppen k darab selejtes lesz? Mivel bármelyik terméket egyenlő valószínűséggel választhatjuk, ezért alkalmazható a valószínűség kiválasztásának klasszikus módja. Az összes lehetséges elemi események száma: A kedvező elemi események számát akkor kapjuk meg, ha az M számú selejtes darabból éppen k számút választunk, és ezek mellé az N M számú hibátlan darabból n k számút választunk ki. Gazdasági Matematika 199

200 Az előbbit -féle módon, az utóbbit -féle módon lehetséges kiválasztani. A két feltétel egyszerre így számú esetben következhet be. Ez a kedvező események száma. Annak valószínűsége tehát, hogy visszatevés nélkül kiválasztott n elemű mintában éppen k selejtes darab van: Gazdasági Matematika 200

201 Példa: 40 munkadarabból, amelyek között 8 selejtes van, találomra kiveszünk négyet. Mi a valószínűsége annak, hogy két jót és két selejtest veszünk ki? Használjuk a visszatevés nélküli mintavétel képletét arra az esetre, ha N = 40, M = 8, n = 4, k = 2. Ekkor Gazdasági Matematika 201

202 Visszatevéses mintavétel Végezzük el az előző mintavételünket úgy, hogy minden húzás után a kivett mintát rakjuk vissza. Ekkor az összes elemi esemény száma lesz. Ha a kedvező eseteket akarjuk kiszámítani, akkor az M selejtesből k darabot -féleképpen választhatunk ki. A maradék (N M) nem selejtesből az n k darabot pedig -féleképpen lehet kiválasztani. Így ha a kihúzás sorrendjére nem lennénk tekintettel az összes lehetséges eset száma lenne. A k darab selejtes és az (n k) nem selejtes terméket az n elem olyan ismétléses permutációinak a száma adja, amelyben k darab egyforma elem van, azaz Gazdasági Matematika 202

203 Így a kedvező esetek száma: és a ezért a keresett valószínűség: Vezessük be a következő jelöléseket: ahol p jelenti egy darab selejtes termék kiválasztásának a valószínűségét, és q = 1 p szolgáltatja a nem selejtes termékek kihúzásának a valószínűségét. Ekkor a keresett valószínűséget a következő formában írhatjuk fel: Gazdasági Matematika 203

204 Példa: Egy magyar kártyából 5-ször egymás után húzzunk ki egy lapot úgy, hogy minden húzás után a kihúzott lapot visszarakjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy az öt kihúzott lap közül 3 makk lesz? Most az ismétléses mintavétel valószínűségének képletét kell használnunk, ahol n = 5, k = 3, M = 8, N = 32, és p =1/4, q = ¾ lesz. Így Gazdasági Matematika 204

205 Geometriai valószínűség Ha egy kísérlet lehetséges eseményei egy geometriai alakzat részhalmazainak feleltethetők meg úgy, hogy az egyes események bekövetkezésének valószínűsége az eseményhez rendelt részhalmaz geometriai mértékével (hossz, terület, térfogat) arányos, akkor geometriai valószínűségről beszélünk. Tegyük fel, hogy egy céltáblába lövünk, és minden lövésünk célba talál. Ekkor annak a valószínűsége, hogy a lövésünk a céltábla egy t területű részébe csapódik be, arányos lesz a vizsgált rész területével. Ha az arányossági tényezőt c-vel jelöljük, akkor: p = c t Ha T-vel jelöljük a céltábla területét, akkor annak a valószínűsége, hogy a céltáblába találunk a biztos esemény valószínűsége lesz, azaz P(H) = 1. Gazdasági Matematika 205

206 Alkalmazva a területtel arányos formulát azt kapjuk, hogy P(H) = 1 = c t, amiből adódik, hogy vagyis annak a valószínűsége, hogy lövésünk a céltábla egy t területű részébe csapódik be: ahol T jelöli az egész céltábla területét. Gazdasági Matematika 206

207 Példa: Legyen a céltáblánk egy r = 25 cm sugarú kör. Osszuk a céltáblát r 1 = 5, r 2 = 10 r 3 = 15, r 4 = 20 sugarú körökkel koncentrikus körgyűrűkre. Mi annak a valószínűsége, hogy a céltábla 15 < r < 20 körgyűrűjébe találunk bele? Jelöljük a keresett eseményt A-val. Ekkor Hasonló megfontolás alapján annak a valószínűsége, hogy a találat a legbelső körben lesz: Számoljuk ki a maradék két körcikkbe való becsapódás valószínűségét is! (Ha jól számolunk, akkor azt kell kapnunk, hogy a négy esemény teljes rendszert alkot.) Gazdasági Matematika 207

208 Események függetlensége Azt mondjuk, hogy az A és B események függetlenek egymástól, ha P(AB) = P(A) P(B). Az A 1, A 2,, A n eseményrendszer teljesen független, ha bármely A i, A j, i,j = 1, 2,, n, i j párra P(A i A j ) = P(A i ) P(A j ) Ha két kísérlet egyidejű vagy egymás utáni elvégzése során fennáll az, hogy a két kísérletet egynek tekintve, a közös kísérletben az egyik kísérlet bármely eredményeként adódó esemény független a másik kísérlet bármely eredményeként adódó eseménytől, akkor a két kiséletet függetlennek nevezzük. Gazdasági Matematika 208

209 Feltételes valószínűség Legyen A és B egy kísérlet két lehetséges kimeneti eseménye. Ismételjük meg a kísérletet n-szer egymás után. Tegyük fel, hogy az A esemény n A -szor, a B esemény n B -szer, az A és B esemény együttesen n AB -szer következett be. A kísérletsorozatra A, B illetve AB relatív gyakoriága: Szűrjük most meg a kísérletsorozatot, és csak azt az n B számú kísérleteket vegyük figyelembe, amelyeknél B következett be. Világos, hogy ezeknél a kísérleteknél az A esemény n AB -szer következett be, ezért az A esemény relatív gyakorisága ebben a kísérletsorozatban: Gazdasági Matematika 209

210 Vegyük észre, hogy ami nem más, mint az AB esemény relatív gyakoriságának és a B esemény relatív gyakoriságának a hányadosa annál a kísérletsorozatnál, amikor minden kimeneti eseménnyel számoltunk. Azt tudjuk, hogy a valószínűségek létezése esetén a relatív gyakoriságok a valószínűség körül ingadoznak. Ha feltételezzük, hogy P(B) > 0, akkor a fenti kifejezés körül ingadozik. Ezt az értéket az A esemény B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük. Jelölése: P(A B). Gazdasági Matematika 210

211 Hasonlóan definiálható a B esemény A bekövetkezési feltétel melletti feltételes valószínűsége: ahol feltételezzük, hogy P(A) 0. A két definícióból átrendezéssel kapjuk, hogy és amely képleteket szorzási szabálynak is nevezünk. Ennek egy átfogalmazott alakja: Gazdasági Matematika 211

212 A feltételes valószínűség gondolamenetét kiterjeszthetjük több esemény bekövetkezésére is: Legyen A 1, A 2, A 3 egy kísérletsorozat három eseménye. Alkalmazzuk a korábbi gondolatmenetet. Azt kapjuk, hogy (1) és (1)-ből és (2)-ből átrendezéssel kapjuk, hogy (2) (3) (4) Gazdasági Matematika 212

213 (3)-ból és (4)-ből kapjuk, hogy Ezt az eljárást kiterjeszthetjük egy rekurzív eljárás alkalmazásával n eseményre is: ezt a feltételes valószínűség láncszabályának is nevezzük. Gazdasági Matematika 213

214 Példa: Egy csomag magyar kártyából egymás után kihúzunk négy lapot úgy, hogy a kihúzott napot nem tesszük vissza. Mi annak a valószínűsége, hogy az első kettő piros, a második kettő zöld? Vezessük be a következő definíciókat az egyes eseményekre: A 1 : az első kihúzott lap piros, A 2 : a második kihúzott lap piros, A 3 : a harmadik kihúzott lap zöld, A 4 : a negyedik kihúzott lap zöld. A feltételek alapján kapjuk, hogy Gazdasági Matematika 214

215 Az A 2 esemény a feltételes valószínűség tételéből adódóan: Hasonlóan: Ezért a keresett valószínűség a feltételes valószínűség láncszabályából adódóan: és Gazdasági Matematika 215

216 Teljes valószínűség tétele Tétel (Teljes valószínűség tétele): Tegyük fel, hogy egy esményalgebra B 1, B 2,, B n eseményei teljes eseményrendszert alkotnak, és P(B i ) > 0, i = 1, 2,, n. Ha A egy tetszőleges esemény, akkor Biz. Mivel a B i -k teljes eseményrendszert alkotnak, ezért A = A H = A (B 1 + B B n ) = AB 1 + AB AB n. Mivel a jobb oldalon álló események páronként egymást kizárják, ezért P(A) = P(AB 1 )+ P(AB 2 )+ + P(AB n ). (1) Gazdasági Matematika 216

217 Használjuk a feltételes valószínűség tételét, ahol azaz (2) Helyettesítsük be (2)-t az (1) jobboldalába minden i = 1, 2,, n-re, és megkapjuk a tétel állítását. Gazdasági Matematika 217

218 Bayes-tétele Tétel: Tegyük fel, hogy egy esményalgebra B 1, B 2,, B n eseményei teljes eseményrendszert alkotnak, és P(B i ) > 0, i = 1, 2,, n. Ha A egy tetszőleges pozitív valószínűségű esemény, akkor Biz. A feltételes valószínűség definíciójából következik, hogy Ha most P(A) helyébe behelyettesítjük a teljes valószínűség tételének jobb oldalát, akkor a tétel állítását megkapjuk. Gazdasági Matematika 218

219 Példa: Tegyük fel, hogy egy késztermék két különböző szempontból lehet selejtes. Tételezzük fel, hogy mintavétel után azt tapasztaljuk, hogy 1000 munkadarab közül 75 azoknak a száma, amelyek csak az első (A esemény), 120 azoknak a száma, amelyek csak a második (B esemény) és 9 azoknak a száma, amelyek mindkét szempontból selejtesek. Kérdés: független-e a két esemény egymástól? Mivel és ezért Tehát az A és B esemény független egymástól. Gazdasági Matematika 219

220 A valószínűségi változó fogalma Az elemi események halmazán értelmezett függvény függő változóját valószínűségi változónak nevezzük. A valószínűségi változót görög betűvel jelöljük: ξ, η, stb. Legyenek az elemi események E 1, E 2,, E n. Ha az x 1, x 2,, x n jelenti aξvalószínűségi változó értékeit, és f(e i ) = x i, akkor aξ=x i azt mutatja, hogy a kísérlet során az E i esemény következett be. Az E i esemény valószínűségét a P(ξ = x i ) jelöli. Példa: a kockadobásnál a ξ valószínűségi változó értékei: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ekkor f(e i ) = i, és Gazdasági Matematika 220

221 Példa: Két kockával dobunk. A ξ valószínűségi változó jelentse a dobott számok összegét. Összesen 36 elemi eseményünk van, ezeket az (i,j) számpárokkal jellemezhetjük, ahol i jelenti az első kockával, j pedig a második kockával dobott szám értékét. Ellentétben az egy kockadobásnál megfigyeltekkel, itt az elemi események és a hozzájuk rendeltξ=i+jszámok nem határozzák meg kölcsönösen egymást. (Például aξ=4értéket rendeljük az (1,3), (2,2), (3,1) eseményekhez.) Grafikonon ábrázolva a P(ξ = i + j) valószínűségeket a következő lapon látható ábrát kapjuk. Vegyük észre, hogy a legvalószínűbb érték a 7-es, ezt 6 elemi eseményhez rendeljük hozzá. Gazdasági Matematika 221

222 P(ξ = i + j) i + j Gazdasági Matematika 222

223 Példa: Adjunk le lövéseket egy R sugarú céltáblára. Ha azt feltételezzük, hogy minden lövésünk célba talál, akkor elemi eseménynek tekinthetjük, ha a lövés a céltábla (a,b) koordinátájú pontjába talál. (A koordinátarendszer origójának a céltábla középpontját tekintjük.) Legyen azaz a találat helyének az origótól való távolsága. Azt már ismerjük, hogy a céltábla esetében a klasszikus valószínűségszámítás geometriai valószínűségre vonatkozó szabályait alkalmazhatjuk. Ezért például mivel az egyenlőség azt jelentené, hogy a találat a körvonalra esik, és ennek területe 0. Gazdasági Matematika 223

224 Annak van tehát értelme, hogy azt vizsgáljuk, hogy a lövés egy x sugarú körön belül esik. Mivel az x tetszőleges valós szám lehet, ezért az esemény valószínűségére három esetet különböztethetünk meg: ha ha ha x 0 0 < x R R < x Ezért a valószínűségi változó egy folytonos függvény lesz: Gazdasági Matematika 224

225 P(ξ < x) 1 R Gazdasági Matematika 225 x

226 Példa: Dobjunk fel szabályos kockát, és ξ jelentse a dobott számot. Határozzuk meg a P(ξ < x) valószínűségeket! A lehetséges értékek:ξ=x i = i, (i = 1,2,,6). Ha x 1esetén P(ξ < x) = 0. Ha x (1, 2), akkor P(ξ < x) = P(ξ = 1) = 1/6. Ha x (1, 2, 3), akkor P(ξ < x) = P(ξ = 1) + P(ξ = 2) = 1/3. Ha x (1, 2,, 6), akkor Ha x (1, 2,, n), ahol n > 6 akkor Ha a P(ξ < x) függvényt ábrázoljuk, akkor a következő függvényt kapjuk: Gazdasági Matematika 226

227 P(ξ < x) x Gazdasági Matematika 227

228 Az eloszlásfüggvény A korábbi példákban függvényeket határoztunk meg, amelyek jellemzik a valószínűségi változót. Legyen ξ egy valószínűségi változó. Az F(x) = P(ξ < x), x R függvényt aξeloszlásfüggvényének nevezzük. Egy eloszlásfüggvényre teljesülnek a következő tulajdonságok: F(x) monoton növekvő függvény, azaz ha x 1 x 2, akkor F(x 1 ) F(x 2 ). F(x) minden x pontjában balról folytonos, azaz Gazdasági Matematika 228

229 Tétel: Ha F(x) a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, akkor annak a valószínűsége, hogy aξaz [a,b) intervallumba esik Biz. P(a ξ < b) = F(b) F(a). Az eloszlásfüggvény definíciójából a következők felírhatók: (1) (2) (3) (3)-at átrendezve, és beírva a definícióból adódó értékeket kapjuk: ami a tétel állítását szolgáltatja. Gazdasági Matematika 229

230 A ξ valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha ξ lehetséges értékeinek halmaza véges (vagy megszámlálhatóan végtelen). A ξ valószínűségi változót folytonosnak nevezzük, ha eloszlásfüggvénye folytonos. Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: Tétel: Ha ξ diszkrét valószínűségi változó, és lehetséges értékei az x 1, x 2,, x n valós számok, akkor Gazdasági Matematika 230

231 A sűrűségfüggvény Ha a ξ valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye folytonos és differenciálható, akkor az F differnciálhányados függvényét a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. Jelölése: f(x) = F (x), x R. A sűrűségfüggvény tulajdonságai: Gazdasági Matematika 231

232 A valószínűségi változók további jellemzői Aξ valószínűségi változó módusza az az x i érték, amelynek P(x i ) valószínűsége a legnagyobb. (Ha több ilyen van, akkor a móduszok halmazáról beszélünk.) A ξ valószínűségi változó mediánja az az M(ξ) szám, amelyre teljesül, hogy Ha több ilyen szám van, akkor legyen a az a legkisebb szám, amelyre (1) teljesül és b az a legnagyobb szám, amelyre (2) teljesül. Ekkor (1) (2) Gazdasági Matematika 232

233 Ha a ξ valószínűségi változó diszkrét eloszlású, akkor a várható értéke: A várható érték tehát a súlyozott számtani közép. Példa: Ha ξ egy kockadobás eredményeinek valószínűségi változója, akkor a lehetséges értékei: 1, 2,, 6. Ezért Látjuk, hogy a várható érték eltérhet a módusztól (tehát nem a leggyakrabban előforduló érték) és a mediántól is. Ebben az esetben a várható érték olyan szám, amely a diszkrét valószínűségi változó értékei között nem is szerepel. Gazdasági Matematika 233

234 Ha a ξ valószínűségi változó folytonos eloszlású, akkor a várható értéke: A 72. oldalon tárgyalt feladatban az eloszlás-függvény: ha x 0 ha 0 < x R ha R < x Ami alapján a sűrűségfüggvény ha 0 x R Ezért a várható érték: ha R < x Gazdasági Matematika 234

235 A várható érték egy ξ valószínűségi változó átlagértékét adja. (Ugyanúgy, mint pl. a fizikában egy rendszer súlypontja.) A várható érték ismerete azonban általában nem elegendő arra, hogy egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek eloszlására következtetni tudjunk. Példa: Válasszunk ki egy évfolyamot véletlenszerűen, és válasszunk ki egy tantárgyat is véletlenszerűen. A hallgató adott tantárgyból kapott érdemjegyének a várható értéke akkor is közepes lesz, ha az évfolyam fele elégtelen, másik fele pedig jeles osztályzatot kapott, és akkor is, ha mindenki közepesre vizsgázott. Az eloszlások ilyen jellegű vizsgálatára alkalmas a szórás. Gazdasági Matematika 235

236 A szórás Ha a ξ valószínűségi változó diszkrét eloszlású, akkor a szórásnégyzete: Alakítsuk át a jobb oldalt: Gazdasági Matematika 236

237 Ha a ξ valószínűségi változó folytonos eloszlású, akkor a szórásnégyzete: Ezt a kifejezést szokásos a ξ valószínűségi változó második centrális momentumának is nevezni. Gazdasági Matematika 237

238 Nevezetes diszkrét eloszlások I. A ξ valószínűségi változót egyenletes eloszlásúnak nevezzük, ha a ξ kimenetelei egyenlően valószínűek, lehetséges értékei: 0, 1, 2,, n, és ahol k = 0, 1, 2,, n. Az egyenletes eloszlás várható értéke: A szórás értékét a képlet alapján számítjuk ki. Gazdasági Matematika 238

239 Példa: Dobjunk fel egy szabályos dobókockát. A kimenet legyen a dobott szám. Határozzuk meg a kísérlet várható értékét és szórását! A várható érték: Még egyszer leszögezzük: A várható érték jelentése nem az, hogy a kísérlet kimenete 3,5 lesz, hanem az, hogy elegendően sok kísérletet elvégezve a kapott eredmények átlaga a várható eredmény környékén lesz. A szórás értéke: Ezért a szórás: Gazdasági Matematika 239

240 Az egyenletes eloszlás kiemelt fontosságú a véletlen számoknál. A számítógépes programok véletlen-szám generátoraival szemben gyakorlatilag egyetlen követelmény merül fel: az általuk előállított számok eloszlásának egyenletessége. Kimutatható, hogy ennek biztosítása nagyon nehéz. A véletlen számok széles körben alkalmazhatók: Szimuláció (véletlen időközökben érkezés szimulálása.) Mintavétel (egy terméksorozat minőségének megállapításakor) Számítógépes programozás (algoritmusok hatékonyságát véletlen adatok generálásával ellenőrizhetjük.) Szórakozás (kockázás, kártyázás, rulett) Gazdasági Matematika 240

241 Nevezetes diszkrét eloszlások II. A ξ valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha a ξ lehetséges értékei: 0, 1, 2,, n, és ahol 0 < p < 1, k = 0, 1, 2,, n és q = 1 p. A binomiális eloszlásnak két paramétere van: n és p. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy (Lásd a 79. oldalon található tételt!) Gazdasági Matematika 241

242 Tétel: A ξ binomiális eloszlású p és n paraméterű valószínűségi változó várható értéke Biz. M(ξ) = np Az összegzésben egy p és n 1 paraméterű binomiális eloszlás tagjai szerepelnek, ezért az összegük 1. Így M(ξ) = np Gazdasági Matematika 242

243 Tétel: A ξ binomiális eloszlású p és n paraméterű valószínűségi változó szórása Példa: Tegyünk egy urnába 3 piros és 9 darab fehér golyót. Húzzunk az urnából 20-szor egy-egy golyót úgy, hogy az egyes húzások után feljegyezzük a golyó színét, majd visszatesszük. Jelentse ξ a mintában levő piros golyók számát. Számítsuk ki aξvalószínűségi változó várható értékét és szórását! A lehetséges piros golyók száma: 0, 1, 2,, 20. Valószínűségeik a a klasszikus modell segítségével határozhatjuk meg. Tegyük fel, hogy a golyók meg vannak számozva, és az első három a piros. Így a húzások leírására egy olyan modellt tudunk használni, amelynek kimenetelei az 1, 2,, 12 számokból álló 20 hosszúságú sorozatok. Gazdasági Matematika 243

244 Egy lehetséges kimenet: 3, 2, 7, 2, 6, 8, 12, 8, 4, 5, 10, 10 ahol a piros számok jelölik a piros golyókat. Mivel mind a 12 pozícióban előfordulhat bármelyik golyó, ezért a lehetséges kimenetek száma Ezek egyenlő valószínűséggel fordulhatnak elő. A kérdés most már csak az, hogy hány olyan sorozat van, amelyben az 1, 2, 3 számok k-szor fordulnak elő. Ezek száma: Így a keresett valószínűség: ami éppen egy binomiális eloszlást szolgáltat p = 4 és n = 20 paraméterekkel. Gazdasági Matematika 244

245 Most kiszámíthatjuk a várható értéket és a szórást: és Gazdasági Matematika 245

246 Nevezetes diszkrét eloszlások III. A ξ valószínűségi változót geometriai eloszlásúnak nevezzük, ha a ξ lehetséges értékei: 1, 2,, n, és annak valószínűsége, hogy aξak értéket veszi fel: ahol 0 < p < 1, k = 1, 2,, n és q = 1 p. A binomiális eloszlásnak két paramétere van: n és p. Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó geometriai eloszlású, akkor a várható értéke és szórása Gazdasági Matematika 246

247 A geometriai eloszlásnak megfelelő modellünk a következő lesz. Tekintsünk egy olyan kísérletet, amelynek két kimenetele lehetséges: A és B. Legyen P(A) = p és P(B) = 1 p = q. Végezzük el a kísérletet egymástól függetlenül sokszor, és tekintsünk egy kísérletsorozatot egyetlen kísérletnek. Ennek minden kimenetele az A és B eseményekből alkotott sorozattal jellemezhető. Aξ valószínűségi változó jelölje azt a sorszámot, amelynél A először fordul elő. Aξ lehetséges értékei az 1, 2,, n, számok. Mivel az egyes kísérletek egymástól függetlenek, ezért ugyanis k 1-szer a B esemény következett be, és csak a k-adikra az A. Gazdasági Matematika 247

248 Példa: Tegyünk egy urnába 2 piros és 8 darab fehér golyót. Húzzunk az urnából visszatevéssel egy-egy golyót mindaddig, amíg piros golyót sikerül húzni. Legyen a kísérlet kimenetele a szükséges húzások száma. Számítsuk ki aξvalószínűségi változó várható értékét és szórását! A kimenetelek tehát a pozitív egész számok lehetnek, de előállhat az az eset is, hogy soha nem húzunk piros golyót. Ezért a val.vált. értelmezési tartománya megszámlálhatóan végtelen számosságú halmaz. Vezessük be az alábbi eseményeket: A k : a szükséges húzások száma pontosan k, azaz a k. húzásra húzunk először pirosat. B k : az első k húzás között nincs piros. Gazdasági Matematika 248

249 Egészítsük ki a a fenti eseményeket a C k-1 eseménnyel, amely azt jelenti, hogy az első k 1 húzás között van piros golyó. A három esemény teljes eseményrendszert alkot, hiszen egymást kizáró események és Hasonlóan: Ezért Vegyük észre, hogy a B n esemény akkor következik be, ha n egymás utáni kihúzott golyó között nincs piros, ami éppen a binomiális eloszlás első tagja: Gazdasági Matematika 249

250 Így minden k = 1, 2, értékre, ezért p = 1/5 és q = 4/5. Ebből kapjuk, hogy és amiből adódik, hogy Gazdasági Matematika 250

251 Nevezetes diszkrét eloszlások IV. A ξ valószínűségi változót hipergeometrikus eloszlásúnak nevezzük, ha aξlehetséges értékei: 0, 1, 2,, n és annak valószínűsége, hogy aξakértéket veszi fel: ahol n M N, k = 0, 1, 2,, n. Gazdasági Matematika 251

252 Tétel: Legyen a ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású. Jelölje p = M / N és q = 1- p. Ekkor aξvárható értéke és szórása Hipergeometrikus eloszlást eredményez a következő kísérletsorozat: Legyen egy dobozban N golyó, közöttük M kitüntetett (piros színű). Visszatevés nélkül, véletlenszerűen kiválasztunk egy n elemű mintát (n M). Legyen aξvalószínűségi változó a mintában lévő kitüntetett elemek száma, értékei: 0, 1, 2,, n. Gazdasági Matematika 252

253 Példa: Tegyünk egy urnába 6 darab piros és 4 darab fehér golyót. Húzzunk ki visszatevés nélkül 4 golyót. Legyen a kísérlet kimenetele a kihúzott piros golyók száma. Mi lesz ennek a kísérletsorozatnak a várható értéke és szórása? Összesen -féle 4 elemű minta van. Ezek közül tartalmaz pontosan m darab pirosat. Ezért annak a valószínűsége, hogy a mintában m darab piros van: Tehát hipergeometriai eloszlással van dolgunk. Ezért Gazdasági Matematika 253

254 Nevezetes diszkrét eloszlások V. A ξ valószínűségi változót λ paraméterű Poisson eloszlásúnak nevezzük, ha a ξ lehetséges értékei: 0, 1, 2,, n, és a ξ valószínűségi változó valószínűségeloszlása: aholλ>0, k = 0, 1, 2,, n,. A Poisson eloszlásnál a ξ lehetséges értékeinek halmaza megszámlálhatóan végtelen. Tétel: Legyen a ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású. Jelölje p = M / N és q = 1- p. Ekkor aξvárható értéke és szórása Gazdasági Matematika 254

255 A Poisson eloszlás a binomiális eloszlás határeseteként, a kísérletek számának növelésével kaphatjuk megúgy, hogy az A esemény valószínűsége n növelésével egyre csökken, miközben az np = λ szorzat állandó marad. A Poisson eloszlás jelentőségét az adja, hogy igen sok gyakorlati feladatban találkozunk ilyen eloszlású változókkal. Általában a pontok tér- vagy időbeli eloszlása akkor követi a Poisson-eloszlást, ha azok egymástól függetlenül és minden tér vagy időrészben egyformán valószínűen oszolhatnak el. Ilyen eloszlást mutat többek között a vérsejtek száma a mikroszkóp látóterében, az egy útszakaszon bizonyos idő alatt áthaladó gépkocsik száma, a sajtóhibák száma egy könyvoldalon stb. Az eloszlás paramétere arányos lesz a vizsgált térrész vagy időintervallum nagyságával. Gazdasági Matematika 255

256 Nevezetes folytonos eloszlások I. A ξ folytonos valószínűségi változót egyenletes eloszlásúnak nevezzük az (a,b) intervallumon, ha sűrűségfüggvénye: ha a < x < b egyébként Az eloszlásfüggvénye ha ha ha x a a < x b b < x Gazdasági Matematika 256

257 Tétel: Az egyenletes eloszlású folytonos ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása: Gazdasági Matematika 257

258 Nevezetes folytonos eloszlások II. A ξ folytonos valószínűségi változót exponenciális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye: ha x 0 ha x < 0 Az eloszlásfüggvénye ha x 0 ha x > 0 Gazdasági Matematika 258

259 Tétel: Az exponenciális eloszlású folytonos ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása: Gazdasági Matematika 259

260 Nevezetes folytonos eloszlások III. A ξ folytonos valószínűségi változót normális eloszlásúnak nevezzük m ésσparaméterekkel, ha sűrűségfüggvénye: Az eloszlásfüggvénye Mivel az integrálunkat elemi függvényekkel nem tudjuk kifejezni, ezért az eloszlásfüggvény értékeit táblázat segítségével határozhatjuk meg. Gazdasági Matematika 260

261 Tétel: Az normális eloszlású folytonos ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása: Kitüntetett szerepe van annak a normális eloszlásnak, amelynek paraméterei m = 0 és σ = 1. Ezt standard normális eloszlásnak nevezzük. Jelölése: N (0,1). A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye ill. eloszlásfüggvénye: Gazdasági Matematika 261