Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Átírás

1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények Halmazok, relációk, függvények A Halmazok és relációk Relációk inverze és kompozíciója Függvények Feladatok Halmazok, relációk, függvények E Ekvivalencia és rendezési reláció Halmazok számossága Számhalmazok Valós számok A A valós számok axiómarendszere Természetes, egész és racionális számok Felső és alsó határ Intervallumok és környezetek Valós számok hatványai Feladatok Komplex számok A A komplex szám fogalma, műveletek Komplex számok trigonometrikus alakja Elemi függvények Valós-valós függvények alaptulajdonságai A Az elemi függvények A Hatványfüggvények Exponenciális és logaritmus függvények i

2 Trigonometrikus függvények és inverzeik Hiperbolikus függvények és inverzeik Néhány különleges függvény Feladatok Sorozatok, sorok Sorozatok, sorok A A sorozat fogalma és tulajdonságai Sorozat határértéke Divergens sorozatok Sorok Feladatok Sorozatok E Sorozat konvergenciája Műveletek konvergens sorozatokkal Részsorozatok Sorozat lim sup-ja és lim inf-je Intervallumsorozat Cauchy konvergenciakritérium Sorok E Sor konvergenciája Konvergenciakritériumok Végtelen sorok átrendezései Folytonosság Folytonosság A A folytonos függvény fogalma és tulajdonságai A műveletek és a folytonosság kapcsolata Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai Feladatok Folytonosság E A folytonosság fogalma és az átviteli elv Műveletek folytonos függvényekkel Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai Az inverzfüggvény folytonossága Egyenletes folytonosság Függvény határértéke Függvény határértéke A Végesben vett, véges határérték Végtelenben vett, illetve nem véges határérték Egyoldali határérték ii

3 7.2. Feladatok Függvény határértéke E A határérték általános definíciója és az átviteli elv Műveletek függvények határértékével Differenciálhatóság Differenciálhatóság A A derivált fogalma és geometriai jelentése Elemi függvények deriváltja és a deriválási szabályok A derivált kapcsolata a függvény tulajdonságaival Többszörös derivált és a Taylor-polinom L Hospital-szabály Feladatok Differenciálhatóság E A derivált fogalma és kapcsolata a folytonossággal Műveletek differenciálható függvényekkel, deriválási szabályok Lokális növekedés, fogyás, lokális szélsőérték Középértéktételek A globális monotonitás elégséges feltételei Konvex és konkáv függvények Taylor-formula L Hospital-szabály Integrálhatóság, integrálszámítás Integrálszámítás A A Riemann-integrál fogalma és geometriai jelentése A Riemann-integrál és a műveletek kapcsolata Newton Leibniz-formula Primitív függvény Az integrál alkalmazásai Fourier-sor Az improprius integrál Feladatok Integrálszámítás E Az integrál fogalma Az integrálhatóság feltételei Műveletek és az integrál kapcsolata Primitív függvény és a Newton Leibniz-formula Függvénysorozatok, függvénysorok 151 iii

4 10.1. Függvénysorozatok, függvénysorok A Függvénysorozatok Függvénysorok Hatványsorok Feladatok Függvénysorozatok, függvénysorok E Függvénysorozatok Függvénysorok Hatványsorok, Taylor-sorok Többváltozós függvények Többváltozós függvények A Az n-dimenziós tér Többváltozós függvények Határérték és folytonosság Feladatok Többváltozós függvények E Metrikus tér Nyílt és zárt halmazok; kompakt halmaz Folytonos függvények Fixponttétel Többváltozós differenciálás Többváltozós deriválás A Parciális derivált Deriváltmátrix Érintő Szélsőérték Feladatok Többváltozós deriválás E Parciális derivált és deriváltmátrix Második derivált, Taylor-formula Szélsőérték Implicit- és inverzfüggvény tétel Feltételes szélsőérték Vonalintegrál Vonalintegrál A A vonalintegrál fogalma és tulajdonságai Potenciál Feladatok Vonalintegrál E iv

5 A vonalintegrál fogalma és tulajdonságai Potenciál Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek A Alapfogalmak Szétválasztható változójú differenciálegyenlet Alkalmazás Feladatok Többváltozós függvény integrálja Többváltozós integrál A A többváltozós integrál fogalma Az integrál kiszámítása téglalapon és normáltartományon Az integrál transzformációja Feladatok Vektoranalízis Vektoranalízis A Térgörbék Felületek A nabla Integrálátalakító tételek Feladatok Komplex függvények Komplex sorozatok, végtelen sorok Komplex hatványsorok Komplex függvény folytonossága Komplex függvény határértéke Komplex függvény differenciálhatósága Komplex függvények integrálja Primitív függvény, az integrál kiszámítása Taylor-sor, harmonikus függvények Komplex függvények zérushelyei Becslések Komplex függvény maximuma Laurent-sor Szinguláris helyek A reziduum-tétel v