Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat"

Átírás

1 ANALÍZIS FELADATGYŰJTEMÉNY I

2 Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyben és a közgazdaságtanban Analízis feladatgyűjtemény I Analízis feladatgyűjtemény II Bevezetés az analízisbe Complexity of Algorithms Differential Geometry Diszkrét matematikai feladatok Diszkrét optimalizálás Geometria Igazságos elosztások Introductory Course in Analysis Mathematical Analysis Exercises I Mathematical Analysis Problems and Exercises II Mértékelmélet és dinamikus programozás Numerikus funkcionálanalízis Operációkutatás Operációkutatási példatár Parciális differenciálegyenletek Példatár az analízishez Pénzügyi matematika Szimmetrikus struktúrák Többváltozós adatelemzés Variációszámítás és optimális irányítás

3 Ge mes Margit, Szentmiklo ssy Zolta n ANALI ZIS FELADATGYU JTEME NY I Eo tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Terme szettudoma nyi Kar Typotex 04

4 c 04 09, Gémes Margit, Szentmiklóssy Zoltán, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Szerkesztők: Kós Géza és Szentmiklóssy Zoltán Lektorálta: Pach Péter Pál Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. ISBN Készült a Typotex Kiadó ( gondozásában Felelős vezető: Votisky Zsuzsa Műszaki szerkesztő: Gerner József Készült a TÁMOP //A/KMR számú, Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához című projekt keretében. KULCSSZAVAK: analízis, kalkulus, derivált, integrál, több-változó, komplex. ÖSSZEFOGLALÁS: Ez a feladatgyűjtemény elsősorban azon egyetemi hallgatók számára készült, akik matematikát, ezen belül kalkulust és analízist tanulnak. A könyv fő feladata bevezetni az olvasót a a differenciál és integrálszámításba és ezek alkalmazásaiba.

5 Tartalomjegyzék Alapfogalmak, valós számok 7.. Elemi feladatok Logikai alapfogalmak Bizonyítási módszerek Halmazok A valós számok axiómarendszere A számegyenes Számsorozatok konvergenciája 3.. Sorozatok határértéke A határérték tulajdonságai Monoton sorozatok A Bolzano-Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium Sorozatok nagyságrendje Vegyes feladatok Valós függvények határértéke, folytonossága Függvények globális tulajdonságai A határérték Folytonos függvények A differenciálszámítás és alkalmazásai A derivált fogalma Deriválási szabályok Középértéktételek, L Hospital szabály Szélsőértékkeresés Függvényvizsgálat Elemi függvények Az egyváltozós Riemann-integrál Határozatlan integrál Határozott integrál A határozott integrál alkalmazásai Improprius integrál Numerikus sorok 6.. Numerikus sorok konvergenciája Pozitív tagú sorok konvergenciakritériumai Feltételes és abszolút konvergencia

6 6 Függvénysorozatok és sorok Pontonkénti és egyenletes konvergencia Hatványsorok, Taylor-sor Trigonometrikus sorok, Fourier-sor Többváltozós függvények differenciálása Topológiai alapfogalmak Többváltozós függvények grafikonja Többváltozós határérték, folytonosság Parciális és totális derivált Többváltozós szélsőérték Többváltozós Riemann-integrál Jordan-mérték Többváltozós Riemann-integrál Vonalintegrál és primitív függvény Sík és térgörbék Skalár-, és vektormezők, differenciáloperátorok Vonalintegrál Komplex függvények 96 Megoldások 04 Ajánlott irodalom 338

7 . fejezet Alapfogalmak, valós számok Biztatásul közlöm, hogy tévesnek bizonyult a cáfolata annak a híresztelésnek, mely szerint mégsem hazugság azt tagadni, hogy lesz olyan vizsgázó, akinek egy analízis tétel bizonyítását sem kell tudnia ahhoz, hogy ne bukjon meg. (Baranyai Zsolt).. Az A R halmazt korlátosnak nevezzük, ha van olyan K R valós szám, hogy minden a A esetén a K. Az A R halmaz felülről korlátos, ha van olyan M R valós szám (felső korlát), amelyre minden a A esetén a M. Az A R halmaz alulról korlátos, ha van olyan m R valós szám (alsó korlát), amelyre minden a A esetén a m... Cantor-axióma: Egymásba skatulyázott korlátos zárt intervallumsorozat metszete nem üres..3. Felső határ, szuprémum: Ha az A halmaznak van legkisebb felső korlátja és ez a szám M, akkor ezt az M számot a halmaz felső határának vagy szuprémumának nevezzük és M = sup A-val jelöljük..4. Teljességi tétel: Ha A R felülről korlátos nem üres halmaz, akkor van legkisebb felső korlátja..5. Bernoulli-egyenlőtlenség: Ha n N és x >, akkor ( + x) n + n x. Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha n = 0 vagy n = vagy x = 0.

8 . Alapfogalmak, valós számok 8.. Elemi feladatok Ábrázoljuk a számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát!.. x 5 < x < 3.3. x 5 <.4. 5 x < 0. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket!.5. 5x x + 7x 0 > x + 7x x + 8x > x 30x x + 4x 0.. 9x 4x x + 4x < 0.3. Hol a hiba? log log és < 4 Összeszorozva a két egyenlőtlenséget: log < 4 log A logaritmus azonosságait használva: log ( ) ( ) 4 < log A log x függvény szigorúan monoton nő, tehát:

9 . Alapfogalmak, valós számok 9 4 < 6 Átszorozva az egyenlőtlenséget: 6 < 4. Oldjuk meg a következő egyenleteket és egyenlőtlenségeket!.4. x + + x.5. x x 5 = 0.6. x + x +.7. x < x.8. x x = 0.9. x x 0.. Logikai alapfogalmak.0. Minél egyszerűbben mondjuk ki az alábbi állítások tagadását: (a) Minden egér szereti a sajtot. (b) Aki másnak vermet ás, maga esik bele. (c) Minden asszony életében van egy pillanat Mikor olyat akar tenni, amit nem szabad. (d) Van olyan a, hogy minden b-hez egyetlen x tartozik, melyre a + x = b (e) 3 nem nagyobb, mint, vagy 5 osztója 0-nek. (f) Nem zörög a haraszt, ha a szél nem fújja. (g) Ha a nagynénémnek kerekei volnának, ő lenne a miskolci gyorsvonat... Egy udvarban van 5 kecske és 0 bolha. Tudjuk, hogy van olyan kecske, amit minden bolha megcsípett. Következik-e ebből, hogy van olyan bolha, amelyik minden kecskét megcsípett?.. Fogadjuk el igaznak a következő állításokat:

10 . Alapfogalmak, valós számok 0 (a) Ha egy állat emlős, akkor vagy van farka, vagy van kopoltyúja. (b) Egyik állatnak sincs farka. (c) Minden állat vagy emlős, vagy van farka, vagy van kopoltyúja. Következik-e ebből, hogy minden állatnak van kopoltyúja?.3. Balkezes Bendegúz, aki valóban balkezes, a bal kezével csak igaz állításokat tud leírni, a jobb kezével pedig csak csak hamis állításokat. Melyik kezével írhatja le a következő mondatokat? (a) Balkezes vagyok. (b) Jobbkezes vagyok. (c) Balkezes vagyok és Bendegúz a nevem. (d) Jobbkezes vagyok és Bendegúz a nevem. (e) Balkezes vagyok vagy Bendegúz a nevem. (f) Jobbkezes vagyok vagy Bendegúz a nevem. (g) A 0 se nem páros, se nem páratlan..4. Azt mondják, a fekete macska szerencsétlenséget hoz. Melyik mondattal tagadhatjuk ezt? (a) A fekete macska szerencsét hoz. (b) Nem a fekete macska hoz szerencsétlenséget. (c) A fehér macska hoz szerencsétlenséget. (d) A fekete macska nem hoz szerencsétlenséget..5. Legyen A a pozitív egészek halmaza. Jelentse a b azt az állítást, hogy a osztója b-nek. Döntsük el, hogy mely állítások igazak az alábbiak közül: (a) a A b A a b (c) a A b A a b (b) a A b A a b (d) a A b A a b.6. Matematika országban a bíró csak a bizonyítékoknak hisz. Például, ha F azt állítja, hogy van fekete oroszlán, akkor állításának helyességéről meggyőzheti a bírót azzal, ha mutat neki egy fekete oroszlánt. (a) F azt állítja, hogy minden oroszlán fekete. Elég bizonyíték-e, ha mutat a bírónak egy fekete oroszlánt?

11 . Alapfogalmak, valós számok (b) F azt állítja, hogy minden oroszlán fekete, G pedig azt állítja, hogy F téved. Hogyan bizonyíthatná G az állítását? (c) F azt állítja, hogy minden -re végződő négyzetszám osztható 3- mal. G szerint F téved. Hogyan bizonyíthatná G az állítását? F-nek vagy G-nek van igaza? (d) F azt állítja, hogy ha egy derékszögű háromszög befogói a és b, átfogója c, akkor a + b = c. Hogyan bizonyíthatná F az állítását? (e) F azt állítja, hogy egy másodfokú egyenletnek lehetnek negatív gyökei. Hogyan bizonyíthatná F az állítását? (f) F azt állítja, hogy egy másodfokú egyenletnek lehet 3 gyöke. G szerint F téved. Hogyan bizonyíthatná G az állítását?.7. : -) Minden mohikán hazudik, mondta az utolsó mohikán. Igazat mondott?.8. : -) ) A 3 prímszám. ) 4 osztható 3-mal. 3) Ebben a keretben pontosan igaz állítás van. Hány igaz állítás van a keretben?.9. Egy 3 jegyű kódszámban bármely 3 szomszédos számjegy összege. A kód második jegye 6, a tizenkettedik jegy pedig 4. Mi a 3-adik jegy?.30. Fogadjuk el igaznak, hogy ki korán kel, aranyat lel. Melyik állítás igazsága következik ebből? (a) Aki későn kel, nem lel aranyat. (b) Aki aranyat lelt, az korán kelt. (c) Aki nem lelt aranyat, az későn kelt..3. Ha kedd van, akkor Belgiumban vagyunk. Melyik állítás következik ebből? (a) Ha szerda van, akkor nem Belgiumban vagyunk. (b) Ha Belgiumban vagyunk, akkor kedd van. (c) Ha nem Belgiumban vagyunk, akkor nincs kedd. Mi a logikai kapcsolat az állítások között? (Melyikből következik a másik?)

12 . Alapfogalmak, valós számok.3. A: x > 5 B: x > A: x 5 < 3 B: x 5 < A: x 5 > 4 B: x 5 > A: x x 6 = 0 B: x =.36. A: x x 6 > 0 B: x >.37. A: 7 = 8 B: 3 = A: 7 = 8 B: 3 = A: x < 7 és y < 3 B: x y < A: x 5 < 0, és y 5 < 0, B: x y < 0, Tagadjuk a következő állításokat! Döntsük el, hogy igaz-e az állítás! Igaz-e a tagadása?.4. n N + n.4. k N + k.43. n N + k N + n k.44. k N + n N + n k.45. Pistike azt mondta reggel az anyukájának, hogy ha a hó miatt nem jár a busz, nem megy iskolába. A busz járt, Pistike mégsem ment iskolába. Hazudott-e reggel Pistike, amikor a már említett mondatot mondta? Hány olyan részhalmaza van a H = {,, 3,..., 00} halmaznak, amelyre igaz, és hány olyan, amelyre nem igaz, hogy.46. az benne van a részhalmazban;.47. az és a benne van a részhalmazban;

13 . Alapfogalmak, valós számok az vagy a benne van a részhalmazban;.49. az benne van a részhalmazban vagy a nincs benne a részhalmazban;.50. ha az benne van a részhalmazban, akkor a benne van a részhalmazban? Hány olyan H részhalmaza van az A n = {,,..., n} halmaznak, amelyre teljesül, hogy.5. x < n (x H = x +.5. H) x (x H = x + / H).53. x (x H x + H = x + H) Írjuk le logikai jelekkel az alábbi állításokat!.54. Nem igaz, hogy P vagy Q..55. Sem Q, sem P..56. Nem P, ha nem Q..57. P pedig nem is Q..58. Csak akkor P, ha Q..59. Sem P, sem Q..60. Q, feltéve, hogy P..6. Nem P, mégis Q..6. P vagy Q, de nem mindkettő..63. Nem igaz, hogy ha P, akkor egyúttal Q is..64. Írjuk fel logikai kvantorokkal a következő mondatot: Minden tengerész ismer olyan kikötőt, ahol van olyan kocsma, ahol még nem járt. Írjuk fel a mondat tagadását szöveggel és logikai kvantorokkal is!

14 . Alapfogalmak, valós számok Van egy zacskó cukorka és a tanulócsoport hallgatói. Melyik állításból következik a másik? (a) A csoport minden hallgatója szopogatott cukorkát (a zacskóból). (b) Van olyan cukorka (a zacskóból), amit minden hallgató szopogatott. (c) Van olyan hallgató, aki minden cukorkát szopogatott (a zacskóból). (d) Minden cukorkát (a zacskóból) szopogatta valamelyik hallgató..3. Bizonyítási módszerek Bizonyítsuk be, hogy irracionális; irracionális; irracionális! Tudjuk, hogy x és y racionális számok. Bizonyítsuk be, hogy (a) x + y (c) xy (b) x y (d) y 0 esetén x y is racionális!.70. Tudjuk, hogy x racionális szám, y pedig irracionális. (a) Lehet-e x + y racionális? (c) Lehet-e xy racionális? (b) Lehet-e x y racionális? (d) Lehet-e x y racionális?.7. Tudjuk, hogy x és y irracionális.

15 . Alapfogalmak, valós számok 5 (a) Lehet-e x + y racionális? (b) Lehet-e xy racionális?.7. Igaz-e, hogy ha (a) a és b racionális számok, akkor a + b is racionális? (b) a és b irracionális számok, akkor a + b is irracionális? (c) a racionális szám, b pedig irracionális, akkor a + b racionális? (d) a racionális szám, b pedig irracionális, akkor a + b irracionális?.73. Ádámnak füle volt. Ha egy apának füle van, akkor a fiának is füle van. (a) Következik-e a fenti két állításból, hogy minden ma élő embernek füle van? (b) Kikről tudjuk biztosan állítani a fenti két állítás alapján, hogy fülük van? (c) Mire következtethetünk, ha a két állításból az elsőt elhagyjuk, és csak a másodikat használjuk fel? (d) Mire következtethetünk, ha a két állításból a másodikat elhagyjuk, és csak az elsőt használjuk fel?.74. Tétel: Az a legnagyobb szám. Bizonyítás: indirekt módszerrel. Tegyük fel, hogy nem a legnagyobb szám, hanem A. Ekkor A >. Mivel A >, ezért A > 0 is teljesül, tehát ha az A > egyenlőtlenséget megszorozzuk A-val, az A > A egyenlőtlenséget kapjuk. Ez az egyenlőtlenség viszont ellentmond annak, hogy A a legnagyobb szám. Tehát az a legnagyobb szám. Jó ez a bizonyítás? Ha nem, akkor hol a hiba?.75. Legyen A, A,... állítások egy sorozata. Mi következik az alábbiakból? (a) A igaz. Ha A, A,..., A n mind igaz, akkor A n+ is igaz. (b) A igaz. Ha A n és A n+ igaz, akkor A n+ is igaz. (c) Ha A n igaz, akkor A n+ is igaz. A n hamis minden n-re. (d) A 00 igaz. Ha A n igaz, akkor A n+ is igaz. (e) A 00 igaz. Ha A n hamis, akkor A n+ is hamis. (f) A hamis. Ha A n igaz, akkor A n+ is igaz. (g) A igaz. Ha A n hamis, akkor A n is hamis.

16 . Alapfogalmak, valós számok Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n N esetén 6 5 n+ 4n Bizonyítsuk be, hogy tg irracionális. ( ) n n Bizonyítsuk be, hogy ha n N +, akkor n!..79. Legyen a = 0, 9, a n+ = a n a n. Igaz-e, hogy van olyan n, amelyre a n < 0 6?.80. Írjuk fel a következő kifejezéseket n =,, 3, 6, 7, k és k + esetén (a) n (b) n (c) n (d) (n ) n (e) n(3n + ) (f) n(n + ).8. Az első néhány tag kiszámítása után sejtsük meg, milyen egyszerűbb kifejezéssel egyenlő az alábbi összeg, majd a sejtést bizonyítsuk be teljes indukcióval! (a) (n ) n (b) (n ) Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egész számra igazak a következő azonosságok:.8. a n b n = (a b)(a n + a n b + + ab n + b n ) n = n = n(n + ) n(n + )(n + ) 6

17 . Alapfogalmak, valós számok 7 ( n(n + ) n 3 = n = n + + n n ) Fejezzük ki egyszerűbb alakban a következő kifejezéseket: (n ) n n (n + ) (n + ) n (n + ) n (n + ) (n + ).9. Egy gazdának van egy pár nyula. Minden nyúlpár hónapos korától minden hónapban egy újabb párnak ad életet. Hány pár nyúl lesz a., 3., 4., 5. és 6. hónapban? Legyen (u n ) a Fibonacci-sorozat, azaz u 0 = 0, u = és n > esetén u n+ = u n + u n..9. Bizonyítsuk be, hogy u n és u n+ relatív prím számok..93. Bizonyítsuk be, hogy, 6n 3 < u n <, 7 n (n > 0)..94. Bizonyítsuk be a következő azonosságokat: (a) u + u + + u n = u n+ (b) u n u n u n+ = ( ) n+ (c) u + u + + u n = u n u n+.95. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket:

18 . Alapfogalmak, valós számok 8 (a) s n = u 0 + u + + u n (b) s n = u + u u n+ (c) s n = u 0 + u u 3n (d) s n = u u + u u u n u n.96. Tétel: Minden ló egyszínű. Bizonyítás: Teljes indukcióval belátjuk, hogy bármely n ló egyszínű. n = -re az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy igaz n-re, és ebből fogjuk n + -re belátni: adott n + ló közül az indukciós feltevés miatt az.,.,..., n. is egyszínű és a.,..., n., (n+). is egyszínű, tehát mind az n + egyszínű. Jó ez a bizonyítás? Ha nem, akkor hol a hiba?.97. Tétel: Nincs józan tengerész. Bizonyítás: Teljes indukcióval. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n tengerészre, és ebből fogjuk n + tengerészre belátni. Adott n + tengerész közül az indukciós feltevés miatt az.,.,..., n. tengerész nem józan, és a.,..., n., (n + ). tengerész sem józan, tehát mind az n + részeg. Jó ez a bizonyítás? Ha nem, akkor hol a hiba?.98. Bizonyítsuk be a számtani-mértani közép közötti egyenlőtlenséget az n = speciális esetben!.99. Bizonyítsuk be, hogy az a, a,... a n pozitív számok számtani, mértani és harmonikus közepe a számok legkisebbike és legnagyobbika közé esik! Tudjuk, hogy a, b, c > 0 és a + b + c = 8. Határozzuk meg a, b és c értékét úgy, hogy a következő kifejezések értéke maximális legyen:.00. abc.0. a bc.0. a 3 b c.03. abc ab + bc + ac Tudjuk, hogy a, b, c > 0 és abc = 8. Határozzuk meg a, b és c értékét úgy, hogy a következő kifejezések értéke minimális legyen:

19 . Alapfogalmak, valós számok a + b + c.05. a + b + c.06. 3a + b + c.07. a + b + c.08. Tudjuk, hogy három pozitív szám szorzata. (a) Legalább mennyi lehet az összegük? (b) Legfeljebb mennyi lehet az összegük? (c) Legalább mennyi lehet a reciprokösszegük? (d) Legfeljebb mennyi lehet a reciprokösszegük?.09. Bizonyítsuk be, hogy ha a > 0, akkor a + a..0. Bizonyítsuk be, hogy ha a, b és c pozitív számok, akkor a b + b c + c a 3... Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n-re ( + n) n 4... Egy motorcsónak motorja a csónakot állóvízben v sebességgel hajtja. A csónak az u sebességű folyóban s utat tesz meg a folyás irányában, majd visszamegy a kiindulási helyéhez. Mennyi lesz az átlagsebessége a teljes úton v-hez képest: v-vel egyenlő, v-nél nagyobb vagy v-nél kisebb?.3. Egy kereskedőnek nem pontos a kétkarú mérlege, mert a karok hossza nem egyenlő. Miután tudja ezt, minden vásárlónál az áru egyik felét a mérleg egyik serpenyőjében, a másik felét a mérleg másik serpenyőjében méri, gondolván, hogy ezzel kiküszöböli a mérleg pontatlanságát. Valóban ez a helyzet?.4. Határozzuk meg az f(x) = x( x) függvény legnagyobb értékét a [0, ] zárt intervallumon! Hol van és mennyi a minimuma az alábbi függvényeknek, ha x > 0?

20 . Alapfogalmak, valós számok 0.5. f(x) = x + 4 x.6. g(x) = x 3x + 5 x.7. Határozzuk meg az x ( x) függvény legnagyobb értékét a [0, ] zárt intervallumon..8. Mennyi a maximuma a g(x) = x( x) 3 függvénynek a [0, ] intervallumon?.9. Mennyi a minimuma az f(x) = x + 3 x függvénynek?.0. Az y = 4 x parabola melyik pontja van a legközelebb a (0, 5) ponthoz?.. Melyik az egységkörbe írható maximális területű téglalap?.. Melyik az egyenes körkúpba írható maximális térfogatú henger?.3. Melyik az egységgömbbe írható maximális térfogatú egyenes körhenger?.4. Legyen egy téglalap két éle a és b, átlója pedig c. Ekkor a téglalap területe T = ab, és a téglalap kerülete K = (a + b). Tehát: Így: Mivel 0 < a < c, ezért: T K ( T a K = ab (a + b) T K c = ab a + b c ) ( ab < c a + b c c ) Beszorzás után: T a K ac < abc a + b c T és K helyébe írjunk ab-t és (a+b)-t: a b (a + b) ac < abc a + b c Rendezés után: a b (a + b) abc a + b < ac c

21 . Alapfogalmak, valós számok Kiemelés után: Osztunk (a c)-vel, de a c < 0: Négyzet esetén b = a és c = a : ab (a c) < c (a c) a + b ab a + b > c a a > a Egyszerűsítés és rendezés után: > Hol a hiba?.4. Halmazok.5. Melyik állítás nem igaz? (a) A \ B = {x : x A x B} (b) A \ B = A B (c) A \ B = (A B) \ B (d) A \ B = A \ (A B).6. Melyik halmazzal egyenlő A B? (a) {x : x A x B} (b) {x : x A x B} (c) {x : x A x B} (d) {x : x A x B}.7. Melyik halmazzal egyenlő A (B C)? (a) A (B C) (b) (A B) C (c) (A B) C (d) (A B) (A C) Állapítsuk meg, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak. Ha egy állítás igaz, bizonyítsuk be, ha hamis, adjunk ellenpéldát!

22 . Alapfogalmak, valós számok.8. A \ B = A B.9. (A B) \ B = A.30. (A \ B) (A B) = A.3. A \ B = A \ B?.3. (A B) \ A = B.33. (A B) \ C = A (B \ C).34. (A \ B) C = (A C) \ B.35. A \ B = A \ (A B) Legyenek A, B, C halmazok. Írjuk fel A, B, C és a halmazműveletek segítségével, azaz olyan jellegű formulával, mint például (A\B) C, az alábbi halmazokat!.36. Azon elemek halmaza, amelyek A-ban benne vannak, de B-ben és C- ben nincsenek benne..37. Azon elemek halmaza, amelyek A, B és C közül pontosan egyben vannak benne..38. Azon elemek halmaza, amelyek A, B és C közül pontosan kettőben vannak benne..39. Azon elemek halmaza, amelyek A, B és C közül pontosan háromban vannak benne..40. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges A, B halmazokra A B = A B..4. Bizonyítsuk be a De Morgan azonosságokat: n n A i = i= i= A i és n n A i = i= i= A i.5. A valós számok axiómarendszere.4. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a, b valós számokra

23 . Alapfogalmak, valós számok 3 (a) a + b a + b (b) a b a b a + b.43. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a, a,..., a n valós számokra igaz, hogy a + a + + a n a + a + + a n..44. Igaz-e, hogy ha (a) x < A, akkor x < A (b) x < A, akkor x < A.45. Igaz-e minden a, a,... a n valós számra, hogy (a) a + a + + a n a + a + + a n (b) a + a + + a n a + a + + a n (c) a + a + + a n < a + a + + a n (d) a + a + + a n > a + a + + a n.46. Igaz-e minden a, b valós számra, hogy (a) a + b a b (c) a b < a b (b) a + b a b (d) a b a b.47. Legyen H a valós számok egy nem üres részhalmaza. Mit jelentenek a következő állítások? (a) x H y H (y < x) (b) y H x H (y < x) (c) x H y H (y x) (d) y H x H (y x).48. Legyen H = {h R : 3 < h } és H = {h R : 3 h < }. Melyik állítás igaz, ha H = H vagy H = H? (a) x H y H (y < x) (b) y H x H (y < x) (c) x H y H (y x) (d) y H x H (y x).49. Legyen A = {a R : 3 < a } és B = {b R : 3 < b < }. Melyik állítás igaz?

24 . Alapfogalmak, valós számok 4 (a) a A b B b < a (c) b B a A b < a (b) b B a A b < a (d) a A b B b < a Legyen H R. Írjuk fel az alábbi állításokat logikai formulákkal, írjuk föl a tagadásukat, továbbá adjunk példát (ha van) olyan H-ra amelyikre teljesül, és olyanra is amelyikre nem!.50. H-nak van legkisebb eleme..5. H bármely két (különböző) eleme között van (mindkettőtől különböző) H-beli elem. Határozzuk meg a következő számhalmaz-sorozatok metszetét!.5. A n = {a Q : n < a < n }.53. B n = {b R\Q : n < b < n }.54. C n = {c Q : n < c < + n }.55. D n = {d N : n < d < n}.56. E n = {e R : n < e < n}.57. Legyen H R. Írjuk fel a következő állítás tagadását: x H y H (x > = y < x ) Határozzuk meg a következő intervallumsorozatok metszetét! (Például rajz segítségével sejtsük meg a metszetet! Ha a sejtés szerint a metszet M, akkor bizonyítsuk be, hogy x M esetén teljesül, hogy n x I n, továbbá ha y / M akkor k y / I k. ( Itt k és n pozitív egész számok.)

25 . Alapfogalmak, valós számok I n = [ /n, /n].59. I n = ( /n, /n).60. I n = [ /n, 3 + /n].6. I n = ( /n, 3 + /n).6. I n = [0, /n].63. I n = (0, /n).64. I n = [0, /n).65. I n = (0, /n].66. Melyik állítás igaz? (A választ mindig indokoljuk!) (a) Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete nem üres, akkor az intervallumok zártak. (b) Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres, akkor az intervallumok nyíltak. (c) Egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete egyetlen pont. (d) Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres, akkor van az intervallumok között nyílt. (e) Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres, akkor van az intervallumok között nem zárt. (f) Ha egy zárt intervallumsorozat metszete nem üres, akkor az intervallumok egymásba vannak skatulyázva. A következő feladatokban is indokoljuk meg a válaszokat!.67. Lehet-e egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres?.68. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete üres?.69. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete egyetlen pont?.70. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete nem üres?

26 . Alapfogalmak, valós számok 6.7. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete üres?.7. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete valódi intervallum (nem csak egy pont)?.73. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete valódi intervallum?.74. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete valódi nyílt intervallum?.75. Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete valódi nyílt intervallum?.76. A valós számok axiómái közül melyek teljesülnek és melyek nem a racionális számok halmazára (a szokásos műveletekkel és rendezéssel)?.77. Bizonyítsuk be az Archimédeszi axiómából, hogy ( b, c < 0) ( n N) nb < c!.78. Bizonyítsuk be, hogy bármely két valós szám között van véges tizedes tört!.79. Bizonyítsuk be, hogy bármely két valós szám között van racionális szám!.80. Mi a kapcsolat a véges tizedestört alakban felírható számok halmaza és a racionális számok halmaza között?.8. Bizonyítsuk be, hogy egy valós szám tizedestört-alakja akkor és csak akkor periodikus, ha a szám racionális..8. Fordítsuk le a végtelen tizedestörtekről tanultakat kettes számrendszerre, azaz definiáljuk a véges és végtelen bináris (kettedes) törteket és mondjuk ki a tételeink megfelelőit!.83. Ellenőrizzük, hogy a Cantor-axióma állítása nem marad igaz, ha bármelyik feltételét elhagyjuk..84. Igazoljuk a testaxiómák segítségével a következő azonosságokat:

27 . Alapfogalmak, valós számok 7 (a) a = ( ) a (b) (a b) c = a (b + c) (c) ( a) b = (a b) (e) a b c d = a c b d (d) a/b = b a.6. A számegyenes Szemléltessük a következő számhalmazokat számegyenesen! Döntsük el, hogy melyik intervallum, és melyik nem az! Az intervallumok esetében döntsük el, hogy melyik zárt, melyik nyílt, és melyik se nem zárt, se nem nyílt!.85. A = {,, 3}.86. B = {.6}.87. C = {x R : < x < 6}.88. D = {x N : x 6}.89. E = {x R : x 6}.90. F = {x R : < x 6}.9. G = {x R : x < 6}.9. H = {x Q : x 6} Döntsük el az alábbi halmazokról, hogy alulról korlátosak-e, felülről korlátosak-e, korlátosak-e, és hogy van-e legkisebb illetve legnagyobb elemük?.93. prímszámok halmaza.94. pozitív számok halmaza.95. [ 5, ).96. { } n : n N+.97. {x R : x 73}.98. {x Q : x 73}.99. {x R : x }.00. {x Q : x }.0. {n N : n prímszám n + prímszám}

28 . Alapfogalmak, valós számok 8.0. Mi a kapcsolat az alábbi két állítás között, azaz melyikből következik a másik? P: Az A halmaz véges (azaz véges sok eleme van). Q: Az A halmaz korlátos..03. Van-e olyan a, a,... számsorozat, amelyre az {a, a,...} halmaz korlátos, de nincs se maximuma, se minimuma? Írjuk fel logikai jelekkel az alábbi állításokat!.04. Az A halmaz korlátos..05. Az A halmaz alulról nem korlátos..06. Az A halmaznak nincs legkisebb eleme..07. Egy számhalmaznak hány maximuma, illetve felső korlátja lehet?.08. Mi a kapcsolat az alábbi két állítás között, azaz melyikből következik a másik? P: Az A halmaznak van legkisebb eleme. Q: Az A halmaz alulról korlátos..09. Legyen A B. Mit tudunk mondani sup A, sup B, sup(a B), sup(a B) és sup(a \ B) kapcsolatáról?.0. Legyen A = (0, ), B = [, { ] és C = n + } : n, m N+. m Határozzuk meg - amennyiben léteznek - a fenti halmazok szuprémumát, infimumát, maximumát és minimumát... Legyen A egy tetszőleges számhalmaz, továbbá { } B = { a : a A}, C = a : a A, a 0. Milyen kapcsolat van a felső és alsó határok között? Határozzuk meg a következő halmazok minimumát, maximumát, infimumát és szuprémumát, ha vannak!

29 . Alapfogalmak, valós számok 9.. [, ].3. (, ) { n : n N+ } { n + } : n N + n.5. Q {x : x (0, ) Q}.9. { n 3 : n N + } { n + } : n, k N+ k { } n + n : n, k N + {n + n } : n N+ { n } : n N +.3. { n n n : n N }.4. Legyen H a valós számok egy nem üres részhalmaza. Mi a következő állítások logikai kapcsolata? (a) H alulról nem korlátos. (c) x H y H (y < x). (b) H-nak nincs legkisebb eleme. (d) y H x H (y < x)..5. Tudjuk, hogy c felső korlátja H-nak. Következik-e ebből, hogy sup H = c?.6. Tudjuk, hogy H-nak nincs c-nél kisebb felső korlátja. Következik-e ebből, hogy sup H = c?.7. Legyenek A és B a valós számok nem üres részhalmazai. Bizonyítsuk be, hogy ha a A b B(a b), akkor sup A sup B..8. Bizonyítsuk be, hogy alulról korlátos, nem üres halmaznak van alsó határa!

30 . Alapfogalmak, valós számok 30 Legyenek x, y, A, B tetszőleges valós számok, ε pedig pozitív valós szám. Mi a P és Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?.9. P: x A < ε Q: A ε < x < A + ε.30. P: x y < ε Q: x A < ε és y A < ε.3. P: x < A és y < B Q: x y < A B.3. P: x < A és y < B Q: x + y < A + B.33. P: x < A és y < B Q: x y < A + B.34. Adjunk példát olyan nem üres valós számhalmazra, amelyik korlátos, de nincs legkisebb eleme!.35. Tegyük fel, hogy a H R halmaz nem üres. Mi a következő állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: H-nak nincs minimuma. Q: a R + b H b < a

31 . fejezet Számsorozatok konvergenciája.. Az (a n ) sorozat konvergens és tart a b R számhoz, ha ε > 0 n 0 n n 0 ( a n b < ε). Egy adott ε-hoz tartozó n 0 természetes számot küszöbindexnek nevezzük. Ha az (a n ) sorozat tart a b számhoz, ezt a következőképpen jelölhetjük: lim a n = b vagy lim a n = b vagy a n b, ha n vagy a n b. n Ha az (a n ) sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat divergens... Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat határértéke, vagy (a n ) tart végtelenhez, ha P R n 0 n n 0 (a n > P ). Ennek jele lim a n = vagy lim a n = vagy a n, ha n vagy a n. n.3. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat határértéke -, vagy (a n ) tart mínusz végtelenhez, ha Ennek jele P R n 0 n n 0 (a n < P ). lim a n = vagy lim a n = vagy a n, n ha n vagy a n..4. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat oszcillálva divergens, ha nincs sem véges, sem végtelen határértéke.

32 . Számsorozatok konvergenciája 3.5. Rendőr-szabály. Ha valahonnan kezdve a n b n c n, létezik az (a n ) és a (c n ) sorozat határértéke és lim a n = lim c n, n n akkor a (b n ) sorozatnak is létezik a határértéke és lim a n = lim b n = lim c n, n n n.. Sorozatok határértéke Legyen az (a n ) sorozat a következőképp megadva: a n = + n. A feladatokban szereplő n és n 0 jelek pozitív egész számokat jelölnek... Adjunk meg olyan n 0 számot, hogy n > n 0 esetén teljesüljön, hogy (a) a n < 0, (b) a n < 0, 0.. Van-e olyan n 0 szám, hogy n > n 0 esetén teljesül, hogy a n < 0, 00?.3. Igaz-e, hogy (a) ε > 0 n 0 n > n 0 ( a n < ε) (b) n 0 ε > 0 n > n 0 ( a n < ε) (c) ε > 0 n 0 n > n 0 ( a n < ε) (d) ε > 0 n 0 n > n 0 ( a n > ε) (e) ε > 0 n 0 n n 0 ( a n < ε) (f) ε > 0 n 0 n n 0 ( a n > ε) Adjunk meg olyan N küszöbindexet, ahonnan kezdve az egyik sorozat nagyobb, mint a másik!.4. a n = 0n + 5 b n = n 3.5. a n = 4n 5 3n 7 b n = 0n + 30

33 . Számsorozatok konvergenciája a n = 3 n n b n = n + n.7. a n = n + 3 n b n = 4 n.8. a n = n b n = n!.9. a n = n! b n = n n.0. a n = n + n b n = n.. a n = n b n = n 3.. a n = 0, 999 n b n = n.3. a n = 0 n b n = n! Keressünk olyan N számot, hogy n > N esetén teljesüljön, hogy.4., 0 n > 000;.5. 0, 9 n < 00 ;.6. n <, n n <, n > 6n n 3 > 6n + 5n n 3 4n + > 6n 5n n 5 4n + > 6n 3 5n + 37 Mutassuk meg, hogy van olyan n 0 szám, amire igaz, hogy minden n > n 0 esetén.. n + n < 0, 0.3. n + 3 n < 0, 0.4. n + 5 n + < 0, 0.5. n + 5 n < 0, 0 Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőtlenségeket!

34 . Számsorozatok konvergenciája n > 0 esetén n > n 3 ;.7. n n < n..8. Melyik állításból következik a másik? P: Az (a n ) sorozatban van legnagyobb és legkisebb tag. Q: Az (a n ) sorozat korlátos..9. Igaz-e, hogy b pontosan akkor határértéke az (a n ) sorozatnak, ha (a) bármely ε > 0-ra az a n sorozatnak végtelen sok tagja van ε-nál közelebb b-hez? (b) bármely ε > 0-ra az a n sorozatnak csak véges sok tagja van b-től legalább ε távolságban? (c) van olyan ε > 0, amelyre az a n sorozatnak végtelen sok tagja van ε-nál közelebb b-hez? (d) van olyan ε > 0, amelyre az a n sorozatnak végtelen sok tagja van b-től legalább ε távolságban? Mit mondhatunk a ( a n ) sorozat határértékéről, ha.30. lim n a n = a (a R);.3. lim n a n = ;.3. lim n a n =?.33. a n oszcillálva divergens?.34. Mi az alábbi két állítás logikai kapcsolata? P: lim n a n = Q: (a n ) alulról korlátos, de felülről nem korlátos. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét, és adjunk meg egy ε-tól függő küszöbindexet:

35 . Számsorozatok konvergenciája ( ) n n.36. n n n 5n 7n n n + n 6 + 3n 5 7n n + n n +.4. n + n n + n.44. n n + + n n.46. ( ) n + n.47. n + + n n n + 3 n.49. Konvergensek-e vagy divergensek-e a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vannak! (a) a n = (c) a n = { 3, ha n páros 4, ha n páratlan (b) a n = { 3, ha n 00 4, ha n > 00 { { 3n, ha n páros 4n, ha n páratlan (d) a n, ha n páros n = 0, ha n páratlan.50. Bizonyítsuk be, hogy az n sorozat nem tart 7-hez!.5. Bizonyítsuk be, hogy a ( ) n n sorozat nem tart 7-hez!.5. Bizonyítsuk be, hogy a ( ) n sorozat nem tart 7-hez!.53. Bizonyítsuk be, hogy a ( ) n sorozat divergens!.54. Bizonyítsuk be, hogy konvergens sorozatnak mindig van legkisebb vagy legnagyobb tagja.

36 . Számsorozatok konvergenciája Adjunk példát arra, hogy a n b n 0 de a n b n.56. Bizonyítsuk be, hogy ha (a n ) konvergens, akkor ( a n ) is. Igaz-e az állítás megfordítása?.57. Abból, hogy a n a következik-e, hogy a n a? És abból, hogy a 3 n a 3 következik-e, hogy a n a?.58. Bizonyítsuk be, hogy ha a n a > 0, akkor a n a. Melyik állításból következik, hogy a n?.59. K esetén a (K, ) intervallumon kívül az a n sorozatnak csak véges sok tagja van..60. K eseten a (K, ) intervallumban az a n sorozatnak végtelen sok tagja van..6. Tegyük fel, hogy lim n a n =. Melyik állítás igaz erre a sorozatra? Melyik állításból következik, hogy lim n a n =? (a) Az a n sorozatnak nincs legnagyobb tagja. (b) Az a n sorozatnak van legkisebb tagja. (c) A (3, ) intervallumon kívül az a n sorozatnak csak véges sok tagja van. (d) K esetén a (K, ) intervallumon kívül az a n sorozatnak csak véges sok tagja van. (e) A (3, ) intervallumban az a n sorozatnak végtelen sok tagja van. (f) K eseten a (K, ) intervallumban az a n sorozatnak végtelen sok tagja van..6. Igaz-e, hogy ha egy sorozatnak van (véges vagy végtelen) határértéke, akkor a sorozat alulról vagy felülről korlátos?.63. Mi az A és a B állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: Az (a n ) sorozat szigorúan monoton nő. Q: Az (a n ) sorozat tart a végtelenhez.

37 . Számsorozatok konvergenciája 37 Lehet-e az a n sorozat határértéke, vagy egy valós szám, ha.64. a sorozatnak végtelen sok 3-nál nagyobb tagja van?.65. a sorozatnak végtelen sok 3-nál kisebb tagja van?.66. a sorozatnak van legnagyobb tagja?.67. a sorozatnak van legkisebb tagja?.68. a sorozatnak nincs legkisebb tagja?.69. a sorozatnak nincs legnagyobb tagja?.70. Van-e olyan oszcillálva divergens sorozat, amelyik (a) korlátos (b) nem korlátos?.7. Egy sorozatnak végtelen sok pozitív és végtelen sok negatív tagja van. Lehet-e a sorozat konvergens? A következő, végtelenbe tartó sorozatokhoz keressünk küszöbindexet:.7. n n n.73. n n n n n 0n n n.77. n! n.78. Tetszőleges a valós szám esetén határozzuk meg n + an határértékét. n Tetszőleges a valós szám esetén határozzuk meg n n + an határértékét.

38 . Számsorozatok konvergenciája Tetszőleges a, b valós számok esetén határozzuk meg (n + a)(n + b) n határértékét..8. Bizonyítsuk be, hogy ha a n+ a n c > 0, akkor a n..8. Bizonyítsuk be, hogy ha a n > 0, a n+ a n c >, akkor a n..83. Melyek azok az x valós számok, amelyekre a tizedestört jegyeiből álló sorozat oszcillálva divergens?.. A határérték tulajdonságai Meg lehet-e mondani az adott egyenlőtlenségek alapján, hogy a b n sorozatnak van-e határértéke, illetve meg lehet-e határozni a határértéket, ha van? Ha igen, határozzuk meg b n határértékét! n < b n < n.85. n b n n n < b n < n.87. n b n.88. b n <, 0 n.89. b n < n.90. Bizonyítsuk be, hogy ha az (a n ) sorozatnak nincs végtelenhez tartó részsorozata, akkor a sorozat felülről korlátos..9. Bizonyítsuk be, hogy ha (a n ), (a n+ ), (a 3n ) konvergensek, akkor (a n ) is az..9. Lehetséges-e, hogy az (a n ) sorozatnak nincs konvergens részsorozata, de ( a n ) konvergens? Legyen a egy valós szám és a n a. Bizonyítsuk be, hogy

39 . Számsorozatok konvergenciája ha a >, akkor a n n..94. ha a <, akkor a n n ha a > 0, akkor n a n..96. ha a <, akkor a n n divergens..97. Bizonyítsuk be, hogy ha (a n + b n ) konvergens és (b n ) divergens, akkor (a n ) divergens..98. Igaz-e, hogy ha (a n b n ) konvergens és (b n ) divergens, akkor (a n ) is divergens?.99. Igaz-e, hogy ha (a n /b n ) konvergens és (b n ) divergens, akkor (a n ) is divergens?.00. Bizonyítsuk be, hogy ha lim a n a n + = 0, akkor (a n) konvergens és lim a n =..0. Tegyük fel, hogy az (a n ) sorozatra teljesül, hogy a n 5 a n Bizonyítsuk be, hogy a n Tegyük fel, hogy az (a n ) sorozatra n a n 0, 3. Bizonyítandó, hogy a n Legyen p(x) egy polinom. Bizonyítsuk be, hogy p(n + ) p(n). Tegyük fel, hogy az a n sorozatnak van határértéke. Mi a következő állítások logikai kapcsolata?.04. P: Minden elég nagy n-re n < a n Q: lim n a n > P: Minden elég nagy n-re n a n Q: lim n a n P: Minden elég nagy n-re n < a n Q: lim n a n P: Minden elég nagy n-re n a n Q: lim n a n > 0 Tegyük fel, hogy az a n és b n sorozatnak van határértéke. Mi a következő állítások logikai kapcsolata?

40 . Számsorozatok konvergenciája P: Minden elég nagy n-re a n < b n Q: lim n a n < lim n b n.09. P: Minden elég nagy n-re a n b n Q: lim n a n lim n b n Melyik állításokból következik, hogy az a n sorozatnak van határértéke? Melyik állításokból következik, hogy a n konvergens? Melyik állításokból következik, hogy a n divergens?.0. b n konvergens és a n > b n minden elég nagy n-re... lim n b n = és a n > b n minden elég nagy n-re... lim n b n = és a n > b n minden elég nagy n-re..3. b n és c n konvergens és b n a n c n minden elég nagy n-re..4. lim n b n = és a n < b n minden elég nagy n-re. Korlátosak-e felülről a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vannak! n n n n n n n n Konvergensek-e vagy divergensek-e a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vannak!.9. n n + 3 n.0. n 3 n n.. n 7 + ( ) n.. n n n.3. n n + n.4. n n n

41 . Számsorozatok konvergenciája n n +.6. ( n 3n ) n.7. n 3 n + n n + n +.8. n n3 n + n n + n n n + n + 3 n + n 3 + ( + ) n n n + ( ) n 3n + n n n n n + n + /n n + 3n n n 7n + n 6 + 3n 5 7n 6 7n 5 + 5n n + 3 n 4 n + ( 7) n.4. 3n 5/3 + n n n /4 + 5 n.4. 7n n 3 3n 3 + 8n 9 Mi a következő állításpárok logikai kapcsolata?.43. P: a n konvergens és b n konvergens Q: a n + b n konvergens.44. P: a n + b n Q: a n és b n.45. P: a n + b n Q: a n vagy b n.46. P: a n b n 0 Q: a n 0 vagy b n P: a n és b n korlátos Q: a n + b n korlátos.48. P: a n és b n korlátos Q: a n b n korlátos

42 . Számsorozatok konvergenciája Mutassunk példákat az a n + b n sorozat lehetséges viselkedésére, ha lim a n = és lim b n =. n n.50. Mutassunk példákat az a n b n sorozat lehetséges viselkedésére, ha lim a n = 0 és lim b n =. n n.5. Mutassunk példákat az a n b n lim a n = 0 és lim b n = 0. n n.5. Mutassunk példákat az a n b n lim a n = és lim b n =. n n sorozat lehetséges viselkedésére, ha sorozat lehetséges viselkedésére, ha.53. Tegyük fel, hogy a b n sorozat egyetlen tagja sem 0. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: b n Q: 0 b n.54. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: a n b n Q: a n b n Tegyük fel, hogy a n és b n. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: a n b n Q: a n b n Tegyük fel, hogy a n 0 és b n 0. Mi a P és a Q állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik? P: a n b n Q: a n b n 0.3. Monoton sorozatok Legyen (a n ) és (b n ) két monoton sorozat. Mit tudunk mondani a monotonitás szempontjából a következő sorozatokról? Milyen további feltételek mellett lesznek monotonok?

43 . Számsorozatok konvergenciája (a n + b n ).58. (a n b n ).59. (a n b n ).60. ( an b n ).6. Legyen a =, és n esetén a n+ = a n. Bizonyítsuk be, hogy az a n sorozat monoton növő!.6. Legyen a =, és n esetén a n+ = a n. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat minden tagja pozitív, továbbá, hogy a sorozat monoton csökkenő!.63. Legyen a = 0, 9, és n esetén a n+ = a n a n. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat minden tagja pozitív, továbbá, hogy a sorozat monoton csökkenő! Mutassuk meg, hogy van olyan n N +, amelyre igaz, hogy a n < 0 6, és adjunk példát ilyen n számra!.64. Legyen a > 0, és minden n N + esetén a n+ a n >,. Mutassuk meg, hogy van olyan n N +, amelyre igaz, hogy a n > 0 6, és adjunk példát ilyen n számra! Mi a következő állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?.65. P: Az a n sorozat monoton nő. Q: Az a n sorozat végtelenhez tart..66. P: Az a n sorozat monoton csökken. Q: Az a n sorozat mínusz végtelenhez tart..67. Tegyük fel, hogy az (a n ) sorozat tagjai n > esetén kielégítik a a n a n + a n+ egyenlőtlenséget. Bizonyítsuk be, hogy az (a n ) sorozat nem lehet oszcillálva divergens..68. Legyen a = a > 0 tetszőleges, a n+ = ( a n + a ). Mutassuk meg, a n hogy a n a.

44 . Számsorozatok konvergenciája 44 Határozzuk meg a következő rekurzív sorozatok határértékét, ha van! A rekurzív képletekben n..69. a =, a n+ = a n + a n.7. a = 3, a n+ = a n + 5 a n.70. a =, 5, a n+ = a n +.7. a = 6, a n+ = a n + 5 a n.73. a = 0, a n+ = + a n.74. a = 0, a n+ = a n.75. a = 0, a n+ = 4 a n.76. a = 0, a n+ = + a n.77. a =, a n+ = a n + a n.78. a = 0, 9, a n+ = a n a n.79. a =, a n+ = a n.80. a =, a n+ = a n + a 3 n + Hatá- Korlátosak-e, illetve monotonok-e a következő sorozatok? rozzuk meg a határértékeket, ha vannak! (.8. + n) n (.8. + ) n+ n.83. ( n) n.84. ( + ) n n.4. A Bolzano-Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium.85. Írjuk fel a Cauchy-kritérium tagadását egy (a n ) sorozatra! Mi a felírt állítás logikai kapcsolata az (a n ) divergens állítással? Mi a következő állításpárok logikai kapcsolata?.86. P: a n és a n+ konvergens Q: a n konvergens

45 . Számsorozatok konvergenciája P: a n, a n+ és a 3n konvergens Q: a n konvergens.88. P: a n 5 Q: a n 5 Következik-e valamelyik állításból, hogy a sorozat konvergens?.89. a n+ a n 0, ha n.90. a n a m < n + m minden n, m-re Döntsük el az alábbi sorozatokról, hogy van-e konvergens részsorozatuk!.9. ( ) n.9. n.93. n.94. ( ) n n.95. Bizonyítsuk be, hogy ha az (a n ) sorozatnak nincs konvergens részsorozata, akkor a n..96. Bizonyítsuk be, hogy ha (a n ) korlátos és minden konvergens részsorozata a-hoz tart, akkor a n a..97. Bizonyítsuk be, hogy ha az (a n ) sorozatnak nincs két, különböző határértékhez tartó részsorozata, akkor a sorozatnak van határértéke..98. Bizonyítsuk be, hogy ha a n+ a n n minden n-re, akkor az (a n ) sorozat konvergens..99. Tegyük fel, hogy a n+ a n 0. Következik-e ebből, hogy a n a n 0?.5. Sorozatok nagyságrendje.00. Bizonyítsuk be, hogy n! n n igaz!

46 . Számsorozatok konvergenciája Tegyük az alábbi sorozatokat nagyságrend szerint sorba! (n 7 ), (n + n ), (00 ( ) n! n), 0.0. Illesszük be az n n n 3 n 3 n n! n n sorba a megfelelő helyre n-et, 3 n-et,..., k n-et!.03. Keressük meg az alábbi sorozatok között az összes aszimptotikusan egyenlő párt! (n!), (n n ), (n! + n n ), ( n), ( n n), ( n + ), ( n ).04. Konvergensek-e vagy divergensek-e a következő sorozatok? Határozzuk meg a határértékeket, ha vannak! n 3 n (, ) n n n ( 4 5 ) n (, ) n , 0 n n + 3 n.. 3 n n + n 0 n n n + n! 0 n n!.3. n! 3 n n 0 n.7. n + n 3 n 3 n ( 3) n n n.5. 0, 99 n n, 0 n n 3.9. n n + n, n 3 n+6 + n n+3 4 n + 5 n 6 n + ( 7) n n

47 . Számsorozatok konvergenciája Vegyes feladatok.. Legyen a n = n + n + + (n tagú az összeg). Mivel a tagokat alkotó n sorozatok 0-hoz tartanak, ezért az a n sorozat tart 0-hoz. Másrészt minden n-re a n = n n =, ezért a n. Melyik következtetés a hibás, és mi a hiba benne?.3. Tudjuk, hogy + ( n, továbbá n =, ezért + n) n. Másrészt ( a Bernoulli-egyenlőtlenség felhasználásával bizonyíthatjuk, hogy + n) n (, tehát + n) n határértéke nem lehet kisebb -nél. Melyik következtetés a hibás, és mi a hiba benne?.4. Tegyük fel, hogy n a n. Mit mondhatunk a lim n a n határértékről?.5. Tegyük fel, hogy n a n. Mit mondhatunk a lim a n határértékről? n.6. Tegyük fel, hogy n a n. Mit mondhatunk a lim n a n határértékről?.7. Tegyük fel, hogy a n. Mit mondhatunk a lim n an n határértékről?.8. Tegyük fel, hogy a n. Mit mondhatunk a lim n an n határértékről?.9. Tegyük fel, hogy a n. Mit mondhatunk a lim n an n határértékről? Mutassunk példát olyan a n sorozatra, amelyre igaz, hogy lim n a n+ a n =, és.30. lim n a n =.3. lim n a n =.3. lim n a n = lim n a n = 7

48 3. fejezet Valós függvények határértéke, folytonossága 3.. Jensen-egyenlőtlenség. Az f függvény akkor és csak akkor konvex az (a, b) intervallumon, ha bárhogy megadva véges sok x, x,..., x n (a, b) n számot és t, t,..., t n 0 súlyokat úgy, hogy t i = ( n ) f t i x i i= i= n t i f(x i ), más szóval a súlyozott középen vett függvényérték kisebb vagy egyenlő a függvényértékek súlyozott közepénél. i= 3.. Határérték és egyenlőtlenségek kapcsolata. Ha a egy környezetében f(x) g(x), f-nek és g-nek létezik a határértéke a-ban, akkor lim f(x) lim g(x). x a x a Ha f-nek és g-nek létezik a határértéke a-ban és lim f(x) < lim g(x), x a x a akkor a egy környezetében f(x) < g(x). Rendőr-szabály. Ha f(x) g(x) h(x) a egy környezetében, f-nek és h-nak létezik a határértéke a-ban, lim f(x) = lim h(x), x a x a akkor a g függvénynek is létezik a határértéke a-ban és lim f(x) = lim g(x) = lim h(x). x a x a x a

49 3. Valós függvények határértéke, folytonossága 49 0-szor korlátos az 0. Ha lim x a f(x) = 0 és g(x) korlátos, akkor lim f(x)g(x) = 0. x a 3.3. Folytonosság és határérték kapcsolata. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos az a pontban, ha az a pontban létezik a függvény határértéke és az megegyezik az f(a) helyettesítési értékkel. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos jobbról az a pontban, ha az a pontban létezik a függvény jobboldali határértéke és az megegyezik az f(a) helyettesítési értékkel. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos balról az a pontban, ha az a pontban létezik a függvény baloldali határértéke és az megegyezik az f(a) helyettesítési értékkel Korlátos zárt intervallumon folytonos függvények. Weierstrass tétele: Korlátos zárt intervallumon folytonos függvénynek van legnagyobb értéke, azaz maximuma, és van legkisebb értéke, azaz minimuma. Bolzano tétele: Ha az f(x) függvény folytonos az [a, b] korlátos zárt intervallumon, akkor a függvény f(a) és f(b) között minden értéket felvesz. Inverz függvény folytonossága: Korlátos zárt intervallumon folytonos és invertálható függvény értékkészlete egy korlátos zárt intervallum, és ezen a függvény inverze folytonos Egyenletes folytonosság. Heine-Borel tétele: Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény egyenletesen folytonos. Az f(x) függvény akkor és csak akkor egyenletesen folytonos a korlátos nyílt (a, b) intervallumon, ha folytonos (a, b)-n és léteznek és végesek a lim f(x), lim f(x) határértékek. x a + x b Ha f(x) folytonos az [a, )-en, deriválható (a, )-en és a derivált korlátos, akkor f(x) egyenletesen folytonos [a, )-en.

50 3. Valós függvények határértéke, folytonossága Függvények globális tulajdonságai 3.. Jelölje [x] az x szám egészrészét, azaz azt a legnagyobb egész számot, amelyik nem nagyobb, mint x. Ábrázoljuk a következő függvényeket! (a) [x] (c) [x + 0, 5] (b) [ x] (d) [x] 3.. Jelölje {x} az x szám törtrészét: {x} = x [x]. függvényeket! Ábrázoljuk a következő (a) {x} (c) {x + 0, 5} (b) { x} (d) {x} 3.3. Függvényt ad-e meg a következő képlet? ha x Q D(x) = 0 ha x / Q 3.4. Adjuk meg a következő függvények képleteit a grafikonjaik alapján! (a) (b)

51 3. Valós függvények határértéke, folytonossága 5 (c) (d) Határozzuk meg a valós számok legbővebb részhalmazát, ahol a következő függvények értelmezve lehetnek! 3.5. log x 3.6. x sin x 3.8. log ( x) x 3.9. Párosítsuk a függvényeket és a függvénygrafikonokat! (a) (x ) 4 (b) (x ) + (c) (x + ) + (d) (x + 3) (A) 6 (B) K4 K3 K K 0

52 3. Valós függvények határértéke, folytonossága 5 (C) (D) K 0 3 K K5 K4 K3 K K 0 K K K3 K K Az alábbi ábrákon az y = x függvény négy eltoltjának a grafikonját ábrázoltuk. Írjuk fel a grafikonoknak megfelelő képleteket! (a) 4 (b) 3 3 K4 K3 K K 0 K 0 3 K (c) (d) K3 K K 0 K K K K K3 K3 K4 K4 K5 3.. Vannak-e egyenlők a következő függvények között?

53 3. Valós függvények határértéke, folytonossága 53 (a) f (x) = x (b) f (x) = x (c) f 3 (x) = ( x ) (d) f 4 (x) = ln e x (e) f 5 (x) = e ln x (f) f 6 (x) = ( x ) 3.. Határozzuk meg a függvényértékeket, ha f(x) = x + 5 és g(x) = x 3. (a) f(g(0)) (c) f(g(x)) (e) f(f( 5)) (g) f(f(x)) (b) g(f(0)) (d) g(f(x)) (f) g(g()) (h) g(g(x)) 3.3. Határozzuk meg a függvényértékeket, ha f(x) = x és g(x) = x +. (a) f(g(/)) (b) g(f(/)) (c) f(g(x)) (e) f(f()) (g) f(f(x)) (d) g(f(x)) (f) g(g()) (h) g(g(x)) Melyik függvény páros, melyik páratlan, melyik se nem páros, se nem páratlan, melyik páros is, és páratlan is? x 3.5. x sin x 3.7. cos x sin x cos x (x + )

54 3. Valós függvények határértéke, folytonossága x [x] 3.5. {x} Tegyük fel, hogy f és g mindenütt értelmezett valós függvények. Döntsük el az alábbi következtetésekről, hogy igazak-e. A válaszokat indokoljuk! 3.6. Ha f páratlan, akkor f(0) = Ha f(0) = 0, akkor f páratlan Ha f páros, akkor f( 5) = f(5) Ha f( 5) = f(5), akkor f páros Ha f és g páros, akkor fg páros Ha f( 5) f(5), akkor f nem páratlan Ha f és g páratlan, akkor fg páros Ha f és g páratlan, akkor fg páratlan Ábrázoljuk a következő függvények grafikonját! Színezzük be pirossal az x-tengelyen azokat az intervallumokat, ahol a függvény monoton csökken. Van-e olyan függvény ezek között, amelyik az egész értelmezési tartományán monoton csökken? (a) sin x (c) x (e) x (b) cos x (d) x (f) x

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Az analízis megalapozása példatár

Az analízis megalapozása példatár Az analízis megalapozása példatár Gémes Margit, Keleti Tamás, Szentmiklóssy Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet 205. június 24. Tartalomjegyzék. A logika alapjai

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Bevezető analízis I. példatár

Bevezető analízis I. példatár Bevezető analízis I. példatár Gémes Margit, Szentmiklóssy Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet 05. szeptember 3. Tartalomjegyzék. Halmazok, logika 3. Valós számok

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR

MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR Budapest, 2018 Szerző: SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA főiskolai docens 978-963-638-542-2 Kiadja a SALDO Pénzügyi

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

1. gyakorlat ( ), Bevezető analízis 1., ősz (Besenyei Ádám csoportja)

1. gyakorlat ( ), Bevezető analízis 1., ősz (Besenyei Ádám csoportja) 1. gyakorlat (2016. 09. 12.), Bevezető analízis 1., 2016. ősz A színek jelentése: fekete az előzetes vázlat; piros, ami ehhez képest módosult. 1. Három matematikus bemegy egy kocsmába, és rendel. A nagy

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben