Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Differenciál és integrálszámítás diszkréten"

Átírás

1 Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

2 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16

3 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16

4 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16

5 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

6 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

7 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

8 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

9 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

10 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

11 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

12 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

13 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

14 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

15 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

16 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

17 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

18 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

19 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

20 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

21 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

22 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

23 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

24 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

25 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

26 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

27 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

28 Sorozatok differenciálása A differencia-operátor tulajdonságai Linearitás: (a n + b n ) = a n + b n, Homogenitás: (ca n ) = c (a n ), Leibniz-szabály: (a n b n ) = a n+1 b n + b n a n. Monomiális és polinomiális sorozatok differenciálása ( ) k n k = (n + 1) k n k = n k + n k ( ) ( ) k k = n k n k 1 ( ) k n + 1 n k k 1 Így egy k-adfokú polinomiális sorozat differenciasorozata k 1-edfokú. Ezért egy k-adfokú polinomiális sorozat primitív sorozata k + 1-edfokú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

29 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

30 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

31 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

32 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

33 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

34 Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q R. Ekkor q n = q n+1 q n = (q 1)q n. Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 1 és P polinom. Ekkor q n P(n) = q n+1 P(n) + P(n) q n = q n+1 P(n) + P(n)(q 1)q n = q n (q P(n) + (q 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom.. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

35 Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q R. Ekkor q n = q n+1 q n = (q 1)q n. Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 1 és P polinom. Ekkor q n P(n) = q n+1 P(n) + P(n) q n = q n+1 P(n) + P(n)(q 1)q n = q n (q P(n) + (q 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom.. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

36 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

37 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

38 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

39 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

40 Trigonometrikus sorozatok Differenciálás sin n = sin(n + 1) sin(n) = sin 1 cos n + cos 1 sin n sin n = sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n, cos n = cos(n + 1) cos(n) = cos 1 cos n sin 1 sin n cos n = (cos 1 1) cos n sin 1 sin n. Tehát a (α sin n + β cos n) sorozat mindig γ sin n + δ cos n alakú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

41 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

42 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

43 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

44 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

45 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

46 Gyakorló feladatok Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: a n = n sin n, b n = n n cos(n). Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: A n = (xn + yn + z) sin n + (un + vn + w) cos n, B n = (xn + y) n sin(n) + (un + v) n cos(n). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

47 Gyakorló feladatok Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: a n = n sin n, b n = n n cos(n). Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: A n = (xn + yn + z) sin n + (un + vn + w) cos n, B n = (xn + y) n sin(n) + (un + v) n cos(n). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA) Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

2015, Diszkrét matematika

2015, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Számtartományok:

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11. ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán

Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása 5 Tartalomjegyzék Bevezetés.......................................................... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán........... 11 B) Egyváltozós függvényegyenletek megoldása....................

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Gazdasági számítások matematikai alapjai

Gazdasági számítások matematikai alapjai Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Gazdasági számítások matematikai alapjai Eger, 20. november 28. Tartalomjegyzék. Elemi matematika 3.. Számírás..................................

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Jelfeldolgozás - ANTAL Margit. impulzusválasz. tulajdonságai. Rendszerek. ANTAL Margit. Sapientia - Erdélyi Magyar Tudományegyetem

Jelfeldolgozás - ANTAL Margit. impulzusválasz. tulajdonságai. Rendszerek. ANTAL Margit. Sapientia - Erdélyi Magyar Tudományegyetem Sapientia - Erdélyi Magyar Tudományegyetem 2007 Megnevezések Diszkrét Dirac jel Delta függvény Egységimpluzus függvény A diszkrét Dirac jel δ[n] = { 1, n = 0 0, n 0 d[n] { 1, n = n0 δ[n n 0 ] = 0, n n

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14 Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011

2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011 8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben