Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Differenciál és integrálszámítás diszkréten"

Átírás

1 Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

2 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16

3 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16

4 Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16

5 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

6 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

7 Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

8 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

9 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

10 Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

11 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

12 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

13 Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

14 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

15 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

16 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

17 Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n n(n + 1) = ( 1 = 1 ) 1 ( ( ) n 1 ) n (n + 1) n n(n + 1) = n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

18 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

19 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

20 A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

21 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

22 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

23 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

24 A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

25 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

26 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

27 Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

28 Sorozatok differenciálása A differencia-operátor tulajdonságai Linearitás: (a n + b n ) = a n + b n, Homogenitás: (ca n ) = c (a n ), Leibniz-szabály: (a n b n ) = a n+1 b n + b n a n. Monomiális és polinomiális sorozatok differenciálása ( ) k n k = (n + 1) k n k = n k + n k ( ) ( ) k k = n k n k 1 ( ) k n + 1 n k k 1 Így egy k-adfokú polinomiális sorozat differenciasorozata k 1-edfokú. Ezért egy k-adfokú polinomiális sorozat primitív sorozata k + 1-edfokú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

29 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

30 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

31 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

32 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

33 Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

34 Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q R. Ekkor q n = q n+1 q n = (q 1)q n. Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 1 és P polinom. Ekkor q n P(n) = q n+1 P(n) + P(n) q n = q n+1 P(n) + P(n)(q 1)q n = q n (q P(n) + (q 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom.. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

35 Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q R. Ekkor q n = q n+1 q n = (q 1)q n. Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 1 és P polinom. Ekkor q n P(n) = q n+1 P(n) + P(n) q n = q n+1 P(n) + P(n)(q 1)q n = q n (q P(n) + (q 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom.. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

36 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

37 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

38 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

39 Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

40 Trigonometrikus sorozatok Differenciálás sin n = sin(n + 1) sin(n) = sin 1 cos n + cos 1 sin n sin n = sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n, cos n = cos(n + 1) cos(n) = cos 1 cos n sin 1 sin n cos n = (cos 1 1) cos n sin 1 sin n. Tehát a (α sin n + β cos n) sorozat mindig γ sin n + δ cos n alakú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

41 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

42 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

43 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

44 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

45 Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

46 Gyakorló feladatok Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: a n = n sin n, b n = n n cos(n). Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: A n = (xn + yn + z) sin n + (un + vn + w) cos n, B n = (xn + y) n sin(n) + (un + v) n cos(n). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

47 Gyakorló feladatok Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: a n = n sin n, b n = n n cos(n). Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: A n = (xn + yn + z) sin n + (un + vn + w) cos n, B n = (xn + y) n sin(n) + (un + v) n cos(n). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug / 16

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása

Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása 5 Tartalomjegyzék Bevezetés.......................................................... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán........... 11 B) Egyváltozós függvényegyenletek megoldása....................

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Gazdasági számítások matematikai alapjai

Gazdasági számítások matematikai alapjai Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Gazdasági számítások matematikai alapjai Eger, 20. november 28. Tartalomjegyzék. Elemi matematika 3.. Számírás..................................

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.

Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika

0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika 0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika Mechanika (ismétlés) statika, kinematika Dinamika, energia Áramlástan Reológia Optika find x Teszt: 30 perc, 30 kérdés Matek alapfogalmak: Adattípusok: Természetes,

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden Analízis-lexikon abszolút maximumhelye Legyen hogy tetszőleges függvény, és része értelmezési tartományának Azt mondjuk, az -nek -ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden esetén

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Néhány fontosabb folytonosidejű jel

Néhány fontosabb folytonosidejű jel Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

MATEMATIKA (EMELT SZINT)

MATEMATIKA (EMELT SZINT) MATEMATIKA (EMELT SZINT) Tanterv 0 0 2 2 óraszámokra Készítette: Krizsán Árpád munkaközösség-vezető Ellenőrizte: Csajági Sándor közismereti igazgató-helyettes Érvényes: 2013/2014 tanévtől 2013. Óratervtábla

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus Az szám Szakdolgozat Készítette: Csuka Anita Matematika Bsc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Reiman István: Matematika

Reiman István: Matematika Reiman István: Matematika Reiman István Matematika Budapest, 2011 Reiman István, Typotex, 2011 Az 1992-es kiadás alapján készült. Lektorálták: Laczkó László, Pálmay Lóránt, Urbán János ISBN 978 963 279

Részletesebben

Matematika középszint Név:... osztály:... MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 5. 8:00. Időtartam: 45 perc

Matematika középszint Név:... osztály:... MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 5. 8:00. Időtartam: 45 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM I. összetevő 1

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY

KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY Név:.Iskola: KOMPETENCIA ALAPÚ LEVELEZŐ MATEMATIKA VERSENY 2012. november 12. 12. évfolyam I. forduló Pótlapok száma db Matematika 12. évfolyam 1. forduló 1. Az alábbiakban számtani sorozatokat adtunk

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Állandó együtthatós lineáris rekurziók

Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1. fejezet Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1.1. A megoldás menete. Mese. Idézzük fel a Fibonacci-számokat! Az F n sorozatot a következő módon definiáltuk: legyen F 0 = 0, F 1 = 1, és F n+2 = F n+1

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

Diszkrét matematika I. feladatok

Diszkrét matematika I. feladatok Diszkrét matematika I feladatok 1 Teljes indukció 11 Könnyebb Teljes indukcióval bizonyítsd be az alábbi összefüggéseket: 1 1 + + 3 + + n = 1 + + 3 + + n = n(n + 1) 3 1 + 3 + + n(n + 1) = n(n + 1)(n +

Részletesebben

M A T E M A T I K A. Az első három közül egyet kell választani. A negyedik csak a harmadik mellett tanulható kiegészítésként.

M A T E M A T I K A. Az első három közül egyet kell választani. A negyedik csak a harmadik mellett tanulható kiegészítésként. M A T E M A T I K A (A szerzők tapasztalt tanárok, mind a magyar, mind az IB rendszerét kiválóan ismerik. Dőlttel szedve és kiemelve jelenik meg a szövegben, ami jelentős eltérés az IB-ben, és ezért érdemes

Részletesebben