Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán"

Emil Orosz
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7.

2 AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük az x és y pozitív számok harmónikus, mértani (geometriai) illetve számtani (aritmetikai) közepét rendre az alábbi módon: Ekkor H(x, y) := xy x + y, G(x, y) := xy, A(x, y) := x + y. H(x, y) G(x, y) A(x, y). Továbbá, egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha x = y.

3 Két rokon probléma Feladat: meghatározandó H A Legyenek x < y pozitív számok, és tekintsük az alábbi sorozatokat: x 1 = x, x n+1 = H(x n, y n ); y 1 = y, y n+1 = A(x n, y n ). Határozza meg mindazon α valós számokat, amelyre minden n pozitív egész esetén α [x n, y n ] teljesül! Jelölés: α = H A. Feladat: meghatározandó G A Legyenek x < y pozitív számok, és tekintsük az alábbi sorozatokat: x 1 = x, x n+1 = G(x n, y n ); y 1 = y, y n+1 = A(x n, y n ). Határozza meg mindazon α valós számokat, amelyre minden n pozitív egész esetén α [x n, y n ] teljesül! Jelölés: α = G A.

4 H A meghatározása Megoldás Tegyük fel, hogy α és β olyan különböz valós számok, amelyek eleget tesznek a feladatban foglaltaknak. Ekkor α β > 0; másrészt α β y n+1 x n+1 y n + x n x n = y n x n y 1 x 1 n. Vagyis, n y x / α β, ami lehetetlen, hiszen itt a bal oldal fölülr l nem korlátos. Másrészt, x n+1 y n+1 [x n+1, y n+1 ] teljesül minden n pozitív egész esetén. Azonban x n+1 y n+1 = x ny n x n + y n xn + y n = x n y n = = x 1 y 1 = xy. Ez azt jelenti, hogy α = xy az egyetlen olyan szám, amely benne van a szóbanforgó intervallumok mindegyikében.

5 G A meghatározása Megoldás els felvonás Tegyük fel, hogy α és β olyan különböz valós számok, amelyek eleget tesznek a feladatban foglaltaknak. Ekkor α β > 0; másrészt α β y n+1 x n+1 y n + x n x n = y n x n y 1 x 1 n. Vagyis, n y x / α β, ami lehetetlen, hiszen itt a bal oldal fölülr l nem korlátos. Megoldás második felvonás Legfeljebb egyetlen közös α eleme van a kérdéses intervallumoknak. Legalább egy közös α eleme van a kérdéses intervallumoknak. Pontosan egyetlen közös α eleme van a kérdéses intervallumoknak. Hogyan kapható meg az α valós szám?

6 Carl Friedrich Gauss ( )

7 A Bernoulli-féle lemniszkáta: (x + y ) = p (x y )

8 A számtani-mértani közép G A(1, ) Ha L jelöli a p = 1/ paraméter Bernoulli-féle lemniszkáta pozitív síknegyedbe es ívének hosszát, akkor G A(1, ) L = π. G A(x, y) Ha x és y pozitív számok, akkor ezek számtani-mértani közepe eleget tesz az alábbi összefüggésnek: π G A(x, y) 0 dt = π x cos t + y sin t.

9 Önemészt iteráció: egy elv két köntös Feladat (KöMal P4080/009) Határozza meg az ábrán látható, 015 fokú fémlétra ered ellenállását! Megoldás (Szikszay László, Debrecen) A létra jobb oldali végén lév sorosan kapcsolt ellenállások kicserélhet k egyetlen 4Ω-os ellenállásra. Ez, valamint a vele párhuzamosan kapcsolt ellenállás helyettesíthet egyetlen 6Ω-os ellenállással. Így olyan 014 fokú létrát kapunk, mint amilyen az eredeti volt. Az eljárást ismételve és a fokokat lépésenként elfogyasztva, 4Ω ered ellenállás adódik.

10 Irodalom Besenyei, Á. A számtani-mértani közép és egyéb érdekességek I., KöMal 59 (009) no., 780. Besenyei, Á. A számtani-mértani közép és egyéb érdekességek II., KöMal 59 (009) no. 3, Borwein, J. M., Borwein, P. B. Pi and the AGM: a study in analytic number theory and computational complexity, John Wiley, New York, Daróczy, Z. Gaussian iteration of mean values and the existence of, Teaching Math. Comp. Sci., 1 (003) no. 1, 354. Daróczy, Z., Páles, Zs. Gauss-composition of means and the solution of the MatkowskiSuto problem, Publ. Math. Debrecen, 61 (00) no. 1-,

11 Köszönöm a gyelmet!

Hasonló dokumentumok

Diszkrét démonok A Borsuk-probléma

Diszkrét démonok A Borsuk-probléma A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban