A végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.
|
|
- Mariska Léna Bodnár
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék nemethj
2 2 Pólya György: Ha a tudomány valamelyik területét (vagy elméletét, vagy fogalmát) tanítjuk, akkor az emberpalántáknak nagy lépésekkel nyomon kell követniük az emberiség szellemi fejlődését. A végtelen a matematikában: α), 2, 3, 4,... β) 0, 3 = γ) Csoki : = δ) Torta : =? A = = 2 B = = 2
3 3 Ellentmondásos; vitatott, misztikus Mindig nagy falatnak tűnt Megosztotta a matematikusokat (Kelle? Dobjuk el!) A végtelent legjobb elkerülni (Galilei) Ősidők óta semmi sem kavarja fel annyira az emberi értelmet, mint a végtelen kérdése (Hilbert) Példák (ellentmondások, meghökkentő dolgok a végtelent tekintve) a) Galilei-féle paradoxon: (kölcsönösen egyértelmű, akkor ugyanannyi elem, Kalmár-lovasok)
4 4 Paradoxon? Ellentmondás? Rész egész régi felfogása? [Sőt [0; ] és [0; 2] példája] y y x 2 x b) (0; ] szakasznak ugyanannyi pontja van, mint [; ) félegyenesnek (ld. y = x grafikonja) (vagy ( ; ) és ( ; ), y = tg π 2 x vagy y = x + x ).
5 5 c) Ugyanannyi racionális szám van, mint természetes szám. d) (0; ) szakasznak annyi pontja van, mint az egész síknak. A módszer: P = (0, a a 2...;0, b b 2...) k.e. 0, a b a 2 b 2... = p
6 6 y x P p x Definíció: (ami feloldja az ellentmondást, ami abból adódik, hogy a végesre igaz szabályokat akartuk a végtelenre erőszakolni (u.i.: a rész és egész problémáját)
7 7 Egy halmazt végtelen halmaznak nevezünk, ha van olyan valódi részhalmaza, amellyel a halmaz ekvivalens (azaz ugyanannyi pontja van). (Ellenkező esetben véges.) [Kihúztuk a paradoxonok méregfogát.] Néhány további furcsaság, vitára okot adó probléma α) =? (Leibniz) Összeg: 0; ; 2 Sőt: + x + x 2 = x x 3 = x + x 3 x 4 +x 6 3 = + + (Dobjuk el!!) (Vigyázat! Akkor eldobjuk a tizedes törteket.)
8 8 β) n + = 2 Másik megoldás: (ld. előbb) = A / = A 3 3 = 2 3 A A = 2. De pl n + = A / = 2A 2 = A A = 2(???) [Szabad; nem szabad; ld. végtelen szakaszos tizedestörtek]
9 γ) További = A = A = A 2 () + (3) : = 3 2 A = 3 2 A A. (Dobjuk el!!) Megjegyzés: A = ln 2 = log e 2
10 0 ( sinx + sin3x 3 ) + (Fo- δ) sgnx = 4 π urier 807) (Dobjuk el!!) [Euler, D Alembert, Lagrange, Cauchy (biz.)]
11
12 2 Definíció (kell) a + a a n + =? a k = s k= s n = a + a n s, akkor az összeg s, egyébként divergens (nincs összege) Ellenőrizzük: 0) n + = 00) s n = 2 n s =, s 2 = 0, s 3 =, s 4 = 0 NINCS összeg 000) n +?=A s n (Euler!!)
13 3 0000) = ln2 (átrendezett már egy másik sor) s 2n = n = = ( 2n ) 2n = n + + n n ln2. = I. Bizonyítás: ( + ν ) ν < e < ( + ν ) ν ln ( + ν ) < ν < ln ( + ν ) ( )
14 4 ( )-ba ν = n +, n + 2,...,2n ln ( + n + ) < ( n + < ln + ) n. ( ln + ) < ( 2n 2n < ln + ) 2n ln(2n + ) ln(n + ) < < n n < ln2n lnn s 2n ln 2, hiszen ln 2n + n + ln2. II. Bizonyítás: + x = x+x2 x 3 +x 4 ; x <
15 5 ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x = ln2 = Miért lehet x =? (Abel) (Abszolút konvergencia!!!) (Felt. konv.; Riemann tétele.) Pl. adjunk meg olyan átrendezést, ahol az összeg pl. 2 (ld. könyv) ) Fourier sora is OK, hiszen lehet olyan, hogy folytonos függvényekből álló végtelen sor összege nem folytonos. (Biz.: XIX. sz. második felében) (Dirichlet, Abel) Néhány további érdekes végtelen összegről Mértani sor: + q + q q n +
16 6 = q n =, ha q <, hiszen n=0 q s n = qn q. Egy további érdekes összeg: n 2 n + = n n= 2 n = 2 (Swineshead; XIV. század; fizika, valószínűség). Bontsuk fel a sort a következőképpen:
17 n + = n + = = n Vigyázat!. + +?= = = 0 Megjegyzés: n=0 000n, 06 n?
18 8 000, , , Néhány további érdekes összeg: a) n + = (harmonikus sor) n= n =? > > > > > 00, 5 0
19 Lassú (példa) = = = = = = = 2.
20 20 n= Belátható: n = α) 9/ n n < 80. Bizonyítsuk be, hogy a 9 n n sor konvergens. Megoldás. Írjuk fel az új sor néhány tagját részletesen. n = n = ( ) ( ) ( ) ( + 0 k + + ) +. } 8 8 {{ 8 } (k+)-szer
21 2 Végezzük el a következő felső becsléseket: = 8, = 8 9 0, k k } 8 8 {{ 8 } 0, k (k+)-szer. Így azt kapjuk, hogy 9 n n < 8 90 = ( 9 0 ( 9 ) k = 80, 0 k=0 ) k + =
22 22 tehát a sor valóban konvergens. β) s n (n > ) soha sem egész szám. Tegyük fel, hogy van olyan n >, hogy ( ) n = A, ahol A N +. Legyen 2 r a legnagyobb paritású tag az, 2,..., n számok között. Ekkor ( ) a következő alakban írható: ( ) u 2 s v + 2 r = A, ahol v páratlan és r > s (mivel r volt a maximális paritás). Szorozzuk be ( ) mindkét oldalát 2 s v-vel, akkor az adódik, hogy u + v 2 r s = A 2s v,
23 23 ami ellentmondás, mert a bal oldal első tagja egész, a második pedig nem, így összegük nem adhatja ki a jobb oldalon álló egész számot. Tehát a részletösszegek nem adhatnak egész számot (n > ) esetben). γ) = 2, 5 Még egy érdekesség: = log e π 3 3. (Biz. hatványsorral; ld. könyv.) + x + x 2 + x 3 = ( + x + x 2 )( x 3 + x 6 x 9 + ) = = + x + x 2 x 3 x 4 x 5 +
24 24 + x + x 2 ( ) x + x 3 dx = x+ x2 2 +x3 3 x4 4 x5 5 x6 6 3 ln( + x3 ) + 2 arc tg 2x + 2 arc tg = = x + x2 2 + x = ln arc tg 3 = ln π 3 3 (( ) felbontása 3x x 3 dx+ x + x 2 dx) sinn Kérdés: konvergens-e? Mi az n= n összege? (Dirichlet-kritérium) Dirichlet-kritérium: Ha a n 0 és a B n =
25 25 b + + b n sorozat korlátos, akkor a a n b n n= konvergens Bizonyítás. n n a k b k = a k (B k B k ) = m m n n = a k B k a k+ B k = m m n = B k (a k a k+ ) a m B m + a n B n m K(a m a n ) + Ka m + Ka n 0, azaz a sor konvergens.
26 26 Másrészt: sinx + sin2x + + sin nx = = cos x 2 cos 2n sin x 2 x sin + sin2 + + sinn K, így a n = n és b n = sinn szereposztással: n sinn sor konvergens. Kérdés: Abszolút konvergens-e? b) n 2 + = Van véges összeg: n= n 2
27 ) s n < 2 Alkalmazzuk az alábbi becslést: ( ) s n = n 2 < 27 < (n )n, majd az egyes tagokat bontsuk fel törtek különbségére az alábbi módon: 2 = 2 ; 2 3 = 2 3 ;, (n )n = n n. Így ( ) jobb oldala helyett az írható, hogy n n = 2 n,
28 28 hiszen a közbülső tagok kiesnek, ugyanis ez egy teleszkópikus összeg. Azt kapjuk, hogy s n 2 n < 2 Versenypélda: a a 2 n =. 2) Geometriai megoldás
29 29 Mekkora az összeg? 689 (Jacob Bernoulli) tűzte ki (Bázeli probléma) Euler 734
30 n 2 + =? =, =, =, =, π 2 0 év 6 Tehát n= n 2 = π2 (elemi bizonyítás a 6 könyvben: sinmx =...; Viete formulák n-edfokú egyenletre) Johann Bernoulli: Bárcsak a bátyám
31 megérhette volna. 3 Euler memóriája: Vergilius: Aeneasz (580 oldal) Csészék, villamos, mentő; szőnyeg Euler (hiányos) ( ) m sinmx = sinxcos m x ( ) m sin 3 xcos m 3 x + 3
32 32 ( sinx = sin n x ) = n ( ) n = sin x x ( ) n n cosn sin 3 x x n 3 n cosn 3 + n }{{}}{{} x x 3 3! sinx = x x3 3! + x5 5! ( ) Továbbá P(x) = A(x r )(x r 2 ) (x r n ) ) ) ) = B ( ( xr xr2 ( xrn
33 ( ) sinx x ( = x2 π 2 = x2 3! + x4 5! = ) ( ) x2 4π ! = π 2 4π 2 9 π 2 π2 6 = További összegek (Euler)
34 = = ! 3 π = 24 7! 3 π = ! 5 π = 0 30! = 32 3! = 34 5! 3 π0 π2 05 π2 35 π4
35 c) = 26 7! = 28 9! = 220 2! = ! = ! + n= = ! 3 (?) (Apery) n π π π π π 26 π d) = (ld. könyv; oszthatóság; 7 harmonikus sor)
36 36 Indirekt bizonyítás: Tfh p i konv. k N: i=k+ p i < 2 ; Qjel =p p 2 p k Tekintsük a i= részletösszegét: + iq sort és a köv.
37 N i= + iq { + iq} N : {p k+,...,p N } 37 N N p s s p k+ i 2 N N N p s,t s p t p k+ i p k+ i 4 N N N N p s p t p q s,t,q N i= i= k+ p i k+ p i + iq < + iq + iq Q konv., de i + i =, k+ p i 8
38 38 ez ellentmondás. Prímszámok a négyzetszámok között. Mutassuk meg, hogy van két olyan szomszédos négyzetszám, amelyek közé legalább 0 6 db prímszám esik. Megoldás. Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, azaz minden n természetes szám esetén n 2 és (n+) 2 közé kevesebb, mint 0 6 db prímszám esik.,..., p(n) s n ezeket a prímszámokat. Ekkor tehát s n < 0 6 teljesül minden n esetén. Nyilvánvaló, hogy ekkor Jelölje p (n) 0 6 n 2 > p (n) + p (n) p s (n) n Viszont, ha mindkét oldalt összegezzük,
39 adódik, hogy 0 6 n= n 2 > n= p n, 39 ahol a jobb oldali összegben az összes prímszám reciprok összege van. Ez nyilvánvaló, hogy ellentmondás, mert a n= n 2 sor konvergens, a n= p n sor pedig divergens, mégpedig úgy, hogy (pozitív tagú lévén) a részletösszegek tartanak a végtelenbe. Azaz eredeti állításunk valóban igaz. A végtelen összegek haszna α) 0, 3 = (mértani sor: a = 3 00 ; q = 00 ) β) 2 = ! !
40 ! ( + x) n n(n ) = + nx + x 2 + 2! n(n ) (n k + ) + x k + + x n. k! n 2 (NEWTON)
41 ( 4 ) ( + x) 2 = + 2 x x 2 + 2! ( ) ( ) k + + x k + = k! = + 2 x 2 2 2! x ! x3 + n 3 (2n 3) + ( ) 2 n x n + n! 2 = ! ! ! + x = (?); x = 3(?). γ) sin x = x x3 3! + x5 5!
42 42 (Taylor; Maclaurin; Kelvin) δ) e = +! + 2! + 3! ε) π = 4 ( + + ) (Newton) π 3, 4... Bizonyítás: + x 2 = x2 + x 4 arc tg x = x x3 3 + x5 5 ;
43 x = (?) 43 π 4 = i.e (B) 3,25 (E) 3, (A) 3,48 i.sz. 263 : 5 tizedesjegy 480 : : 4 60 : : : : : : : :
44 44 François Viète (kb. 579): 2 π = John Wallis (kb. 650): π 2 = William Brouncker (kb. 650): π =
45 45 Madhava, James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibniz (450 67): π 4 = (lassú, de szép; Newton; biz. a könyvben) Isaac Newton (kb. 666): π = 3 3 ( ) Srinivasa Ramanujan (94): π = ( ) 3 2n 42 n + 5 n 2 n+4. 2 n=0 π = n=0 (4n)! (n!) 4 [ n] 396 4n.
46 46 David Chudnovsky és Gregory Chudnovsky (989): π = 2 ( ) n (6n)! (n!) 3 (3n)! n= n ( ) n+/2 (Minden újabb tag hozzávétele kb. 5 újabb pontos jegyét adja π-nek.) Jonathan Borwein és Peter Borwein (989): ahol π = 2 n=0 ( ) n (6n)! (n!) 3 (3n)! (A + nb) C n+/2, A := B := C := [5280( )] 3.
47 47 (Minden újabb tag hozzávétele kb. 3 újabb pontos jegyét adja π-nek.) David Bailey, Peter Borwein és Simon Plouffe (996): π = i=0 ( 4 6 i 8 i i i + 5 ). 8 i + 6 Megjegyzés: irracionalitás; transzcendencia; 76 Lambert; 882 Lindemann
48 48 Egy porszem virágot terem, S egy szál vadvirág az eget, Fogd föl tenyeredbe a végtelent, S egy perc alatt élj évezredet. (W. Blake)
SZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenRekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor
Részletesebben2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Érdekes összegek. Szakdolgozat. Matematika BSc Tanár
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Érdekes összegek Szakdolgozat Készítette: Pressing Dániel Matematika BSc Tanár Témavezető: dr Besenyei Ádám Adjunktus Budapest, 4 Tartalomjegyzék Bevezetés
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenFüggvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány
Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenVIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenDifferenciál és integrálszámítás diszkréten
Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenModern matematikai paradoxonok
Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék 2013. január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 1 / 36 Jelentés Mit jelent a paradoxon
RészletesebbenKözepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán
Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21
NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenVégtelen sorok konvergencia kritériumai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Végtelen sorok konvergencia kritériumai BSc szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Bogye Tamara Szentmiklóssy Zoltán Matematika BSc adjunktus Matematika
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
RészletesebbenA folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 016. április 7. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenA folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenVégtelen sorok konvergencia kritériumai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Végtelen sorok konvergencia kritériumai BSc szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Bogye Tamara Bátkai András Matematika BSc egyetemi docens Matematika
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenSzakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
RészletesebbenMatematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára
Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenFüggvények alkalmazása feladatokban. nemethj
Dr. Németh József Függvények alkalmazása feladatokban http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj . Oldjuk meg a következő egyenletet: x 6 + 6 x x 5x 6. Megoldás. Vizsgáljuk az ÉT.-t! A bal oldalon x 6 0 x 6
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenÉrdekességek az elemi matematika köréből
Érdekességek az elemi matematika köréből Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 17 Társasház
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenA prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió
Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,
RészletesebbenKiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 204 205 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
RészletesebbenMatematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
RészletesebbenAz analízis megalapozása példatár
Az analízis megalapozása példatár Gémes Margit, Keleti Tamás, Szentmiklóssy Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet 205. június 24. Tartalomjegyzék. A logika alapjai
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebbenvégtelen sok számot?
Hogyan adjunk össze végtelen sok számot? Németh Zoltán, SZTE Bolyai Intézet www.math.u szeged.hu/~nemeth 2006, 2007. Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben