Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Végtelen sorok konvergencia kritériumai"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Végtelen sorok konvergencia kritériumai BSc szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Bogye Tamara Bátkai András Matematika BSc egyetemi docens Matematika tanári Alkalmazott analízis szakirány Tanszék Budapest 202

2 Tartalomjegyzék Bevezetés 4. Végtelen sorok története 5.. Ókor Közép és koraújkor Alavető fogalmak és ismertebb kritériumok Alapfeltételek és definíciók Végtelen sorok és műveletek A legismertebb kritériumok Minoráns kritérium Majoráns kritérium Leibniz - kritérium Cauchy-féle Gyökkritérium d Alambert féle hányadoskritérium Hányados-minoráns kritérium Hányados-majoráns kritérium Kevésbé ismert kritériumok Raabe kritérium Kummer kritérium Bertrand - kritérium Gauss - kritérium Integrálkritérium Kondenzációs kritérium

3 3.7. Jermakov - kritérium Dirichlet I. kritériuma Dirichlet II. kritériuma Abel - kritérium Logaritmikus kritérium Végtelen sorok a középiskolában Számsorozatok Végtelen sorok Köszönetnyilvánítás 42 3

4 Bevezetés Szakdolgozatom témájaként a végtelen sorok konvergencia kritériumait választottam. Fontosnak tartottam, hogy olyan területét mutassam meg a matematikának, mely hozzám is közel áll. A tudományra fogékony embereket mindig is foglalkoztatta az a gondolat, hogy vajon mi lehet egy - egy végtelen sor összege, és ezt hogyan számolhatjuk ki. E, korokon átívelő problémára szeretnék néhány megoldást mutatni munkám során. 4

5 . fejezet Végtelen sorok története.. Ókor Az ókorban is gyakran voltak olyan problémák, feladatok, melyek megoldásához bizonyos sorozatok, sorok ismerete elengedhetetlen volt, ezért már az akkori tudósokat is mélyen foglalkoztatták. A babilóniai aritmetika foglalozott először a mértani sorozattal és a négyzetszámok sorozatával. Ám az egyiptomiaktól sem álltak távol ezen ismeretek. Az ókori görögöknél pedig már megjelentek az egynél kisebb kvóciensű geometriai sorozat tagjaiból álló végtelen sorok, és ezek összegei. Erre a leghíresebb példák Zenon (i.e ) paradoxonjai, mint például Akhilleusz és a teknős versenye, vagy a kilőtt nyíl problémája. Az Akhilleusz feladat alapja, hogy a hős versenyre kel a teknőssel, úgy, hogy az utóbbi előnnyel indul a megmérettetésen. Ám a futó sosem éri utol a teknőst, mert mire sikerül ledolgoznia a teknősbéka eredetileg kapott előnyét, addigra a teknős már megint megtesz egy távot, s amíg ezt is lefutja Akhilleusz, addigra a teknős újabb előnyt szerez, és így tovább. Tehát a verseny sosem ér véget. Ebből a feltevésből kiindulva tagadta a mozgást Zenon. Most viszgáljuk meg ezt a feladatot matematikailag leírva. Vegyük a teknős előnyét a verseny kezdetén egységnyinek, és tegyük fel, hogy Akhilleusz sebessége k-szorosa a teknősének (k > ). Így Akhilleusznak a következő távokat kell megtennie egymás után:, k, k 2,..., k n,... 5

6 A verseny idejét úgy kapjuk, hogy az időegységnek az hosszúságú előny lefutási idejét vesszük. Ekkor a verseny, k + k k n +... ideig tartott. Ebből gondolta Zenon, hogy mivel egyre nagyobb pozitív számokat adunk össze, ezért soha nem ér célba Akhilleusz. Ám már Arisztotelész (i.e ) felismerte, hogy az ilyen, és hasonló, egynél kisebb kvóciensű geometriai soroknak van véges összege. ( A fenti esetben ez k ). k.2. Közép és koraújkor Ritkán, ám a középkorban is felbukkantak a végtelen összegek. A XIV. században Richard Swineshead foglalkozott egy fizikai probléma kapcsán a végtelen sorokkal, majd Nicole Oresme ( ) vizsgálta az n +... harmonikus sort. Bebizonyította többek között azt is, hogy ezen összeg "bármely számnál nagyobb". A konvergencia illetve a divergencia fogalma ekkor még ismeretlen volt. A XV. században leginkább csillagászati, kerület, és terület számítási problémák kapcsán találkozhatunk a végtelen sorokkal. A XV I. században Francois Viete ( ) megadta a mértani sor összegének képletét. Az elkövetkezendő korokban pedig virágzásnak indult a sorelmélet fejlődése. Gregory De Saint Vincent ( ) XV III. századi matematikus foglalkozott mélyebben Zenon apóriáival. Rájött, hogy, ha a végtelen geometriai sor kvóciense egynél kisebb, akkor összege véges. Ezt a sor limeszének nevezte és a sor végének fogalmaként használta. Úgy vélte, hogy ezt a véget sosem érhetjük el, ám bármilyen kis számnál jobban meg tudjuk közelíteni. Munkássága során sikerült bizonyítania a hiperbola alatti terület és a logaritmus közti 0 +x dx = ln( + x) kapcsolatot. Később ezt az összefüggést Nicolus Mercator ( ) alkalmazta az ln( + x) kiszámításához használható végtelen sor kifejezésére. Végtelen osztással = x + +x x2 x

7 kapta, majd ennek integrálásával úgynevezett Mercator sorhoz jutott. James Gregory ( ). Az 0 dx = arctan x összefüggést felhasználva vég- +x 2 telen osztással ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x Hasonló módszerrel fejezte ki az arctan x sorát = x 2 + x 4 x x 2 egyenlőséghez jutott. Ezt a felfedezést, az úgynevezett Gregory sort, ami azonos arctan x Taylor-sorával 67-ben közölte Gregory, 40 évvel Taylor előtt. Ezekben az időkben kezdték el komolyabban vizsgálni, hogy az eddig csak alkalmazott sorok mikor konvergensek, mikor divergensek, van-e véges összegük, és, ha igen, akkor mikor? Ezen kérdések vizsgálata sokszor szült vitákat és ellentmondásokat. Erre kiváló példa Jacob Bernoulli ( ) egyik feltevése. Azt állította, hogy egy olyan sor, melynek általános tagja nullához tart, annak az összege végtelen is lehet. Ez a kijelentése még a következő században is nagy port kavart. Ám fenti megállapítása ellenére Bernoulli néha egy-egy divergens sor vizsgálatakor ellentmondásokba ütközött. Tekintsük meg ennek példájaként az alábbi feladatot. Ezen egyenlőségeket adjuk össze, ekkor: = = = = 2( ). Mint látható a bal oldalon a harmonikus sort kaptuk, míg jobb oldalon a páratlan számok reciprokainak sorát. Most mindkét oldalt 2-vel elosztva 7

8 = kapjuk. Ami ellentmondás, ugyanis, mint tudjuk ez nem lehetséges. Ilyen, és hasonló tévutak után érkezünk el a XV II XV III. század fordulójára, ahol két kiváló tudós munkássága hozta meg az egyik nagy áttörést a sorelmélet fejlődésében. Sir Isac Newton ( ) és Gottfried Wilheim Leibniz (646-76) a kor fizikai problémáit vizsgálva jutottak el megállapításaikhoz. Őket tartják számon a függvénytan megalapítóiként, a differenciálszámítás, illetve integrálszámítás felfedezőiként is. Ekkoriban a mechanikában még csak közelítő számításokat tudtak végezni, ám elsőként Newton és Leibniz polinomokat kezdtek el alkalmazni ezen közelítésekre. A függvényeket végtelen polinomokként, azaz hatványsorokként írták fel, ugyanis ezeket könnyebb volt -tagonkéntintegrálni. Munkássága során Newton is rájött Mercatortól függetlenül, hogy igaz. Megállapította továbbá ln( + x) = x x2 2 + x arcsin x = x + 6 x x x t. Ezen sor segítségével kapta meg a sin x függvény hatványsorát, az alábbiak szerint. Vezessük be az arcsin x = s jelölést. Ekkor s = x + 6 x x x A továbbiakban egyenlőre a fenti sornak csak az első 3 elemét vizsgáljuk. Nézzük az x = s + p felbontást. 0 = p + 6 (s3 + 3s 2 p +...) (s5 +...). Ekkor alkalmazzuk a határozatlan együtthatók módszerét. A p = A, p = As, p = As 2 kipróbálásával mindig A = 0-t kapunk, ám p = As 3 helyettesítés esetén A + = 0 A = 6 6 érték jön ki. Tehát x = s 6 x Most helyettesítsünk be p = 6 s3 + q-t 8

9 amiből jól látható. Ebből következően 0 = q + 6 ( 2 s5 +...) (s5 +...). q = ( )s5 = 20 s5 x = s 6 s s x = sin x beírásával megkapjuk a sor első tagjait. Ezt tovább gondolva sin s = s s s s hatványsort kapjuk. Hasonlóképpen írta le végtelen polinomként a cos x-et is. Eleinte azt hitte minden függvény hatvány sorba fejthető, ezáltal az integrálás egy könnyed eljárássá válik majd. Csak évtizedekkel Newton után jöttek rá hogy ez koránt sincs így. Sorba fejtési eljárásához gyakran használta többek között a binomiális tételt, racionális függvényeknél a Gregory eljárást, vagy éppen az új változók bevezetését. Néhány esetben foglalkozott a sor konvergenciájával, ám csak addig vizsgálódott, amíg meg nem állapította, hogy egy hatványsor elég kicsi x értékekre konvergens. Ezzel szemben Leibniz a zárt alak előnyeit hangsúlyozta, s többnyire ezzel is dolgozott. Persze Ő is alkalmazta a végtelen sorokat, s Newtontól függetlenül szintén hatványsorba fejtette a sin x, cos x függvényeket. Kedvelt eljárása a sorba fejtéskor az úgy nevezet határozatlan együtthatók módszere a = A + Bx + b+x Cx2 + Dx ahol A, B, C, D,... határozatlan együtthatók. Mindkét oldalt szorozta (b + x)-el, majd az azonos x hatványok együtthatóit egyenlővé téve kapta meg A, B, C, D,... együtthatók értékeit. Kutatásai során sokat foglalkozott a konvergenciával is. Egyik levelében kifejtette, hogy ha egy alternáló sor tagjai abszolút értékben csökkennek, és 0-hoz tartanak, akkor konvergens a sor. Ez a mai nevén a Leibniz-kritérium. Ezen gondolatmeneteken tovább haladva jutott el Brook Taylor (685-73) 75-ben publikált eredményéhez, melyben a Newton-féle interpolációs képlet általánosításával adta meg a függvények sorba fejtéséhez szükséges leghatékonyabb eljárást. A kor másik híres matematikusa volt Leonhard 9

10 Euler ( ) is, akinek nevéhez számtalan eredmény fűződik. Sorba fejtette például az exponenciális függvényt, különböző törtfüggvényeket és gyökfüggvényeket, Newton és Leibniz eljárásainak segítségével. A gyökök és együtthatók közti összefüggés alkalmazéséval numerikus sorok összegeit írta le, összefüggést talált a végtelen sorok és végtelen szorzatok között is. 797-ben Lagrange megjelentette Théorie des fonctious analytiques ( Az analitikus függvények elmélete) című könyvét. Ebben a differenciálás algebrai módszereit részletezi. Többek között bizonyította, hogy minden f(x + h) függvény majdnem mindenütt kifejezhető f(x + h) = f(x) + a h + a 2 h a n h n + R n alakú Taylor - sorral csak algebrai úton. A differenciál hányadosokat Taylor sor együtthatóiént értelmezte. Így a határérték fogalmát kikerülte. Fő hibája, hogy csak az analitikus függvényekre érvényes. Elsőként határozta meg a (R n ) maradéktagot konkrét függvényeknél, és először állította elő a Taylor - sor maradéktagját integrál alakban. Ő használta először a középértéktételt, a derivált kifejezést, és az f (x) illetve az f (n) (x) jelöléseket. A legnagyobb áttörést a XIX. századi felismerések hozták meg. Jean Le Rond D Alambert ( ) már megkülönböztetett konvergens illetve divergens sorokat is, és megfogalmazta a róla elnevezett hányados kritériumot. Az 800-as évek elején Jean Baptiste Fourier ( ),Carl Friedrich Gauss ( ), Bernard Bolzano (78-848), Niels Henrik Abel ( ) igyekeztek letisztázni a konvergencia illetve divergencia fogalmait. Ám a sorelmélet precíz fogalmainak megalkotásában a legnagyobb szerep kétségtelenül Augustin Louis Cauchy ( ) személyéhez köthető. Meghatározta, hogy egy végtelen sor összege részletösszegek sorozatának hatátértéke, tehát egy sor akkor konvergens, ha ez a határérték létezik. A váltakozó előjelű sorokra bevezette az abszolút konvergencia fogalmát. Összefüggést adott az abszolútértékű tagok álltal alkotott sor konvergenciája és az eredeti sor konvergenciája között. Konvergencia vizsgálati eredménye - képpen megfogalmazott több konvergencia kritériumot is. Ezek közül a leghíresebb a Róla elnevezett Cauchy-féle konvergencia kritérium. Bevezette a komplex változójú hatványsoroknál a konvergencia sugár fogalmát, amely kiszámítható az r = lim sup n a n 0

11 összefüggés alapján. Ez az úgy nevezetett Cauchy-Hadamard formula. Azt a következtetést állapította meg, hogy a függvény hatványsorának konvergenciája nem feltétlenül jelenti azt, hogy a sor az alapfüggvényhez tart. Észrevette, hogy ha két sor abszolút konvergens, akkor direkt szorzatuk is konvergens, és a határértéke az alapsor határértékeinek szorzata. A tudomány további fejlődését olyan kiemelkedő tudósok segítették, mint Peter Gustav Lejenue Dirichlet ( ), Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (85-897), Georg Friedrich Bernhard Riemann( ), Simeon David Poisson (78-840), Moritz Cantor ( ), Henry Louis Lebesgue (875-94), Riesz Frigyes ( ), Fejér Lipót ( ), Haar Alfréd ( ). Természetesen napjainkban is vannak, akik e tudományág elkötelezett hívei.

12 2. fejezet Alavető fogalmak és ismertebb kritériumok 2.. Alapfeltételek és definíciók Ebben a fejezetben bevezetem a végtelen sor fogalmát, a konvergenciáját, a sorokkal való néhány műveletet. Illetve azokat a leggyakrabban használt kritériumokat, melyeket egyetemi tanulmányaim során ismertem meg Definíció. []A a n végtelen sor részletösszegein az s n = n i= a i, n Z + számokat értjük. Ha a részletösszegekből képzett (s n ) sorozat konvegens és határértéke A, akkor azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor konvergens és az összege A. Ennek jelölése a n = A. Tehát s 0 = 0 a k = a 0 k=0 s = a k = a 0 + a k=0 s n = n a k = a 0 + a +...a n k=0 Amennyiben az (s n ) sorozat divergens akkor azt mondjuk, hogy a a n végtelen sor divergens. Ha lim n s n = (vagy ) akkor azt mondjuk, hogy a n végtelen sor összege (vagy ). Ennek jelölése a n = (illetve ). 2

13 2..2. Példa. [] sor n-dik részletösszege s n = n igaz, hogy lim n s n = 2 ezért a sor konvergens és összege 2. i=0 2 i = 2 2 n. Mivel Tétel. []Ha (a n ) sor konvergens, akkor lim n a n = 0. Bizonyítás. A sor összege legyen A. Mivel és a n = (a a n ) (a a n ) (a a n ) = s n (a a n ) = s n igaz, ezért a n = s n s n Tehát a n A A = 0. Ám ez a tételben szereplő feltétel a konvergenciához szükséges, de nem elégséges feltétele Tétel. []. Egy nem negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens ha részletösszegeinek sorozata korlátos felölről. 2. Ha egy nem negatív tagú sor divergens akkor az összege végtelen. Bizonyítás. Ha a sor tagjai nem negatívak, akkor a sor részletösszegeinek sorozata monoton nő. Ha ezen sorozat korlátos felülről, akkor konvergens, ha viszont nem korlátos akkor a végtelenhez tart. Tehát a végtelen sor vagy konvergens, vagy divergens és az összege végtelen. Így a végtelen harmonikus sor is divergens és az összege. A következő kritérium megadja egy sor konvergenciájának pontos feltételét, ám a gyakorlatban ritkán alkalmazható, mert nehéz ellenőrizni Tétel. []Cauchy - kritérium A a n végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha ɛ > 0 - hoz N index, hogy n N és bármely m n -re a n+ + a n a m < ɛ. 3

14 2..6. Példa. []Vegyük a úgynevezett végtelen harmonikus sort. n Bizonyítás. Nézzük a sor s n, n-ik részletösszegét, amely ( n ) és s 2n-t. s 2n s n = ( n ) ( n ) = ( n+ + n n ) 2n n = 2 n-re. Tegyük fel, hogy a harmonikus sor konvergál A-hoz. Ekkor, ha n akkor s 2n s n A A = 0, ami nem lehet. Tehát a sor divergens Végtelen sorok és műveletek Tétel. []Legyen a n sor konvergens és összege A, valamint b n sor is konvergens és összege B és egy c R szám. (a n ±b n ) és c a n sorok egyaránt n=0 n=0 konvergesek akkor összegük A ± B illetve c A. n=0 n= Tétel. []Konvergens sorba tetszőleges számú zárójelet beiktatva, véges számú tagját hozzáadva vagy elhagyva a sor konvergenciájának illetve divergenciájának ténye nem változik Definíció. []A a n konvergens sor első n (n Z + ) tagjának elhagyásával nyert h n = n =n+ n=0 a n konverges sor összegét az eredeti sor maradékösszegének hívjuk Tétel. [] a n konvergens sor maradékösszegeinek h n (n Z + ) végtelen sorozata nullsorozat. n= Definíció. []A a n végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a a n sor konvergens. n=0 n= Tétel. []. Minden abszolút konvergens sor konvergens. 2. Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezettje is abszolút konvergens, és összege megegyezik az eredeti sor összegével. 4

15 n= Definíció. []A a n végtelen sort feltételesen konvergensnek mondjuk, ha konvergens, de nem abszolút konvergens Definíció. []Az (a n ) számsorozatot akkor nevezzük korlátos változásúnak, ha (an+ a n ) sor abszolút konvergens Tétel. []Riemann átrendezési tétele Ha (a n ) sor feltételesen konvergens akkor az átrendezettjei között van olyan amelyiknek az összege, van amelyiknek, minden A R számra van olyan amelyik konvergens és az összege A, és olyan is van amelyik divergens és nincs összege A legismertebb kritériumok Mivel a már bemutatott Cauchy - kritériumról elmondható, hogy feltétele nehezen ellenőrizhető, ezért szükség van további kritériumokra. Ezek a gyakorlatbeli alkalmazás során egyszerűbben ellenőrizhetőek Minoráns kritérium Tétel. []Ha 0 a n,b n és N, hogy az a n b n n > N-re valamint a n divergens, akkor a b n is divergens. Bizonyítás. a n sor n-edik részletösszege legyen s n, míg b n pedig S n. A feltételből következően s n és S n monoton nő és minden n esetén a s n S n. a n - ről tudjuk, hogy divergens, azaz lim n s n =. Ebből következően lim n S n =, tehát b n is divergens sor Példa. [] Tudjuk, hogy n kérdéses sort. Tehát a konvergens - e vagy divergens? 2n+ divergens és 3n < 2n+. Tehát a sor divergens. 2n+ = 3n 3 n sor minorálja a 5

16 2.5. Majoráns kritérium Tétel. []Ha 0 a n,b n és N, hogy az a n b n n > N-re valamint b n konveges, akkor a a n is konvergens. Bizonyítás. a n sor n-edik részletösszege legyen s n, míg b n pedig S n. s n és S n monoton nő és minden n esetén s n S n a feltétel alpján. Tudjuk, hogy b n sor konvergens és összege b. Tehát minden n esetén S n b. Ebből következően s n b is teljesül, tehát s n monoton nő és korlátos, azaz konvergens Példa. []Konvergens - e vagy divergens az alábbi sor?. Például a konvergens sor majorálja az eredeti sort, ha n > 5. n 4 +5n 25 n=n, n 4 Tehát sor konvergens. n 4 +5n Leibniz - kritérium Tétel. []Ha az (a n ) sorozat monoton csökkenő és nullához tart, akkor ( ) n a n sor konvergens. Bizonyítás. A sor n-ik részletösszege legyen s n. A feltételből következik, hogy s 2 s 4... s 2n s 2n s 2n 3... s 3 s n-re. Így (s 2n ) sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, míg az s 2n sorozat monoton növő és felülről korlátos. Ebből következően mind kettő konvergens. Mivel igaz, hogy s 2n s 2n = a 2n 0 lim n s 2n = lim n s 2n Amiből következik, hogy az (s n ) sorozat konvergens Példa. []Döntsük el a következő sorról, hogy konvergens - e vagy divergens? ( ) n n+ Az n n (n+2). n+ n (n+2) = n+2 n (n+2) = n+2 n (n+2) n (n+2) = n n (n+2) n. - ről pedig tudjuk, hogy tart a nullához. A sorozat két egymást követő tagjának különbségével megvizsgáljuk a monotoritást: 6

17 = n (n+) = 0. n+ n n (n+) n (n+) Tehát a n+ sorozatról megállapítottuk, hogy monoton fogyó nullsorozat, ezért az ere- n (n+2) deti sor a Leibniz - kritérium szerint konvergens. A soron követező kritérium a sor abszolút konvergenciájára illetve divergenciájára ad meg elégséges feltételt. A sor n-edik tagjénak n-edik gyöke segítésgével Cauchy-féle Gyökkritérium Tétel. []. Ha olyan q < szám, hogy n a n < q teljesül elég nagy n esetén, akkor a n sor abszolút konvergens. 2. Ha lim n n a n <, akkor a n sor abszolút konvergens. 3. Ha végtelen sok n index esetén n a n akkor a a n sor divergens. n=0 7

18 Bizonyítás... feltétel szerint a n < q n minden elég nagy n esetén. A q n geometriai sorról tudjuk q. Ha q, akkor [2.3 Tétel] szerint a sor divergens mivel a konvergenciához szükséges feltétel nem teljesül: lim q k 0. Ha q < akkor s n = q k = qn+ q és q k = lim s n = q ugyanis lim n q n+ = 0. Tehát a n abszolút konvergens. 2. Válasszunk egy q számot úgy, hogy igaz legyen lim n n a n < q <. Ez esetben n a n < q teljesül minden elég nagy n-re. Ekkor a bizonyítást visszavezethetjük az. pontbeli bizonyításra. Tehát a n sor abszolút konvergens. 3. A feltételből láthatjuk, hogy a n, tehát a sor nem tart nullához, így divergens lesz Példa. []Konvergens vagy divergens a ( ) n5 sor? n 4 A fenti tételt alkalamazva: n ( ) n 4 n5 = ( ) n4. n 4 Tudjuk, hogy lim n ( n 4 ) n4 e <. Tehát az eredeti sor konvergens. Megjegyzés 2.. lim n n (a n = feltételből sem a sor konvergenciájára, sem pedig a divergenciájára vonatkozólag semmit sem következtethetünk. Például: sor konvergens, míg divergens, pedig lim n 2 n n n n 2 n = lim n = n a n sor konvergenciájához nem elég, hogy elég nagy n-re n a n < Mert ebből csak az következik, hogy a n < elég nagy n-re, és nem az, hogy a n 0 ami a konvergenciához lenne szükséges feltétel. 8

19 2.8. d Alambert féle hányadoskritérium Tétel. []Legyen a n, a n > 0 n Z + sor konvergens, ha q R, melyre fennáll: n=0 A sor divergens ha a n+ a n. Bizonyítás. Vegyük a n=0 következik, hogy a 2 q a. a 3 a 2 q3 q 2 a n+ a n q < n Z +. q n geometriai sort. Ekkor a 2 a q2 q, tehát a 2 a q. Ebből tehát a 3 q q a q = q 2 a. Ebből már belátható, hogy általánosságban a n+ q a n q 2 a n... q n a. Azaz q n majorálja a n+ sort, így az eredeti sor konvergens. Divergencia esetén a n+ a n, a fentiekhez hasonló módon a a 2 a, tehát a 2 a. a 3 a 2 ebből következik, hogy a 3 a 2 2 a. Általánosságban a n+ a n... a. Ez egy nem nulla, monoton növő sorozat. Tehát az eredeti sor divergens. Megjegyzés:. A hányadoskritérium feltételei nem szükségesek, hogy egy sor konvergens legyen. n Például sor konvergens, annak ellenére, hogy lim 2 n 2 n =. (n+) 2 Tehát nem létezik olyan q <, hogy igaz lenne n 2 (n+) 2 n Z +. < q minden elég nagy 2. Ha lim n a n+ a n = feltételből sem a konvergenciára sem a divergenciára nem lehet következtetni, például divergens, konvergens, n n 2 pedig lim n n n+ = lim n n2 (n+) 2 = Következmény. []Ha a n > 0 akkor a n konvergens. n=0 lim n a n+ a n < 9

20 Példa. []Konvergens - e az a n = 2n n! n n végtelen sor? a n+ 2 n+ (n+)! (n+) n+ 2 = n n! n n a n = Mivel tudjuk, hogy Tehát a n konvergens. 2 n 2 (n+)! (n+) n (n+) 2 n n! = 2 n n n = n+ n+ n = + n n+ 2n (n+)! n 2 n n! (n+) n. Ezért a fenti egyenlet tovább egyenlő: 2 2 <. (+ n )n e n n = 2 n n Állítás. []Ha (a n ) sorozat tagjai különböznek 0-tól, és lim sup a n+ a n < akkor lim sup n a n < Következmény. []Ha (a n ) sorozat tagjai nullától különböznek és a n sorról a hányadoskritériummal eldönthető, hogy konvergens-e, akkor a gyökritériummal is. De fordítva sajnos ez nem igaz Példa. [] n x n sor abszolút konvergenciája x < esetén a hányados kritériummal: n=0 (n+) x n+ = x n+ n x n n x <, ha n. Gyökkritériummal: n n x n = n n x n = n n x x 3 n ha n páros Példa. []Adott (a n ) = n=0 5 n ha n páratlan Gyökitériummal: lim n 2n a 2n = 3 lim n 2n+ a 2n+ = 5 sup n a n = 3 konvergens. 20

21 Hányadoskritériummal: aa n+ a n = Tehát: lim sup a n+ a n ( )n ha n páros ( )n ha n páratlan = gyökkritériummal könnyedén míg hányadoskritériummal nem dönthető el ez esetben a konvergencia. A Hányados-minoráns és a Hányados-majoráns kritériumok következményei a majoráns illetve a minoráns kritériumoknak Hányados-minoráns kritérium Ha (z n ) pozitív tagú sor divegens, N Z + pedig olyan, hogy ettől kezdve k egészre a k > 0 és a k+ a k z k+ z k akkor (a k ) sor is divergens. Bizonyítás. A fenti feltételben szereplő egyenlőtlenséget N < n mellett k = N-re, k = N + -re...,k = n indexre felírva majd összeszorozva őket kapjuk, hogy N < n a n a N zn z N 2.0. Hányados-majoráns kritérium Ha (z n ) pozitív tagú konvergens sor, N Z + pedig olyan, hogy ettől kezdve k Z a k+ a k z k+ z k akkor (a n ) abszolút konvergens sor. Bizonyítás. A fenti feltételben szereplő egyenlőtlenséget N > n melett k = N-re, k = N + -re...,k = n indexre felírva majd összeszorozva őket kapjuk, hogy N < n a n a N zn z N 2

22 3. fejezet Kevésbé ismert kritériumok Ebben a fejezetben olyan további kritériumokat mutatok meg, melyek túlmutatnak egyetemi tanulmányaimon. A soron következő négy kritériumban közös, hogy feltételeik tartalmazzák a vizsgált sor két szomszédos tagjának hányadosát, és a sor abszolút konvergenciáját, illetve divergenciáját határozzák meg. Azt is mondhatjuk, hogy a hányados kritérium általánosításai. 3.. Raabe kritérium Tegyük fel, hogy minden pozitív egész n-re az a n pozitív tagú sorozat, és legyen R n = n ( an a n+ ). Ha lim inf R n > (a n ) sor konvergens. 2. Ha R n egy indextől kezdve (a n ) sor divergens. Bizonyítás.. A feltétel szerint létezik olyan pozitív r és olyan pozitív egész N index, hogy, ha s n > N akkor teljesül a n ( an a n+ ) > + r egyenlőtlenség. Ha ezt a kövezkező módon átrendezzük: n a n (n + ) a n+ > r a n+, n N 22

23 majd N, N +,..., n indexekre is írjuk fel: N a N (N + ) a N+ > r a N+ (N + ) a N+ (N + 2) a N+2 > r a N+2. n a n (n + ) a n+ > r a n+ Adjuk össze az egyenlőtlenségeket és becsüljük felülről a bal oldalt. Ezt átalakítva N a N > N a N (n + ) a n+ > r N a N r > n+ l=n+ kapjuk. Mindkét oldalhoz hozzáadjuk a N a l -t. l= a l. n+ l=n+ a l. N a N r + N l= a l > n+ l= a l. Ekkor jól látható, hogy a bal oldalon álló szám a jobb oldali részletösszegek felső korlátja. Tehát a l konvergens. 2. Az előzőekhez hasonlóan adódik, csak itt n ( an a n+ ), n N összefüggést alakítjuk át és írjuk fel N, N +,...,n indexekre. Majd az így nyert egyenlőtlenségeket összeadva, és (n + )-el elosztva N a N n+ a n+ kapjuk. A minoráns kritériumot alkalmazva kiderül, hogy a l divergens sor Példa. []Döntsük el a következő sorról, hogy konvergens - e vagy sem! n ( α n) = an sorozatból képzett végtelen sor. Ha α 0, és α Z + akkor a n pozitív tagú sorozat. Alkalmazzuk a Raabe - kritériumot: 23

24 Kis trükkel átalakítva: R n = n (( α! n! (α n)! α! (n+)! (α (n+)!) ) ) = n ( n+ α n ). R n = n ( n α+α+ ) = n ( + α+ n ) = (α + ) α + n α n α n α eredményre jutunk. Amiből következik, hogy a sor konvergens. 24

25 3.2. Kummer kritérium Tegyük fel, hogy minden pozitív egész n-re a n > 0, és c n pozitív tagú segédsorozat, melyre igaz, hogy =. Ekkor c n. Ha lim inf(c n a n a n+ c n+ ) > 0 (a n ) konvergens. 2. Ha egy indextől nézve c n a n a n+ c n+ 0 a n divergens. Bizonyítás.. lim inf(c n a n a n+ c n+ ) > 0 feltételből következik, hogy létezik olyan ɛ R +, hogy egy N indextől kezdve egyenlőtlenség fennáll. Ezt átalakítva c n a n a n+ c n+ ɛ c n a n c n+ a n+ ɛ a n+ kapjuk. Tehát (c n a n ) egy indextől monoton csökkenő pozitív tagú sorozat így konvergens. (cn a n c n+ a n+ ) konvergens sor, mert n esetén s n = n (c k a k c k+ a k+ ) = c a c n a n c a lim n c n a n k= teljsül. Alkalmazzuk a majoráns kritériumot így látható, hogy ɛ a n konvergens. Tehát a n is konvergens. 2. A feltétel szerint létezik olyan N index, amelytől kezdve igaz lesz. Tehát akkor az következik. Mivel c n kapjuk, hogy a n divergens. c n a n a n+ c n+ 0 a n a n+ c n c n+ = cn c n+. = ezért a hányados - minoráns kritériumot alkalmazva 25

26 3.3. Bertrand - kritérium Tegyük fel, hogy pozitív egész n-re a n > 0 sorozat és B n = (n ( an a n+ ) ) ln n, n Z +.. Ha lim inf B n > konvergens a a n sor 2. Ha egy indextől kezdve B n a n divergens. Bizonyítás.. A Kummer kritériumot alkalmazzuk c n = n ln n, n Z +, n 2 segédsorozattal. lim inf(n ln n a n a n+ (n + ) ln(n + )) > 0 ezt átalakítjuk: lim inf(ln n (n ( an a n+ ) ) + (n + ) ln n n+ ) > 0 majd a következő összefüggés: (n + ) ln n n+ = (n + ) ln( + n ) = ln( + n )(n+) segítségével kapjuk: lim inf ln n(n ( an a n+ ) ) <, ami a kritérium feltétele a konvergenciához. 2. Itt ugyanúgy a Kummer kritériumot alkalmazzuk a c n = n ln n, n 2 segédsorozattal. Azaz, ha: (n ln n a n a n+ (n ) ln(n + )) 0 Akkor átrendezve: ln n (n ( an a n+ ) ) + (n + ) ln n n+ ) 0 26

27 kapjuk. Az (n + ) ln n vizsgálva láthatjuk, hogy egyenlő n+ ln( + n )(n+) - hez. Tehát (n + ) ln n n+ <. így a következő ln n (n ( an a n+ ) ) egyenlőtlenségre jutunk. Tehát a végtelen sor divergens Példa. []Döntsük el, hogy konvergens vagy divergens - e az alábbi sor. n ln n? Alkalmazzuk a Bertrand kritériumot, ekkor B n = ln(n ( (n+) ln(n+) n ln n ) ) 0. (n + ) ln(n + ) n ln n ln n = (n + ) ln( + n ) Tehát az eredeti sor divergens. lim inf(n + ) ln( + n ) Gauss - kritérium Tegyük fel, hogy pozitív egész n-re a n > 0 sorozat, és olyan α, β R +, γ R és (b m ) korlátos sorozat, hogy an a n+ = α + γ n + bn n +β, n Z + akkor, ha. α > esetén konvergens, α < esetén pedig divergens a (a n ) végtelen sor. 2. Ha α = és γ > akkor konvergens. Ha pedig α = és γ akkor (a n ) végtelen sor divergens. Bizonyítás. 2. α = esetén a Raabe - kritériumot alkalmazva lim n n ( an a n+ ) = lim n γ + bn n β = γ. Ekkor γ > esetben (a n ) konvergens, γ < esetén deivergens. Amennyiben γ = Bertrand - kritériummal belátható, hogy divergens. Ugyanis 27

28 lim n n ( an a n+ ) ln n = lim bn ln n n β = 0, ami kisebb mint.. Ha α >, akkor hányadoskritériummal lim n a n+ a n = lim n α+ γ n + bn n +β = α ami kisebb, mint, tehát a (a n ) sor konvergens. Ha az α < akkor értelemszerűen adódik, hogy α > tehát a sor divergens Példa. []Konvergens - e vagy divergens a ( (2n )!! ) k, n Z +, k > 0 sor? Ha (2n)!! Vizsgáljuk (2n )!! a n (2n)!! a n+ = ( (2n+)!! (2n+2)!! ) k = ( 2n+2 2n+ )k = ( + 2n+ )k -t. n ( an a n+ ) = n (( + 2n+ )k ) = n ( ( ) k + ( ) k 2n+ 2 ( 2n+ ) ( ) k k ( 2n+ )k ). Felhasználjuk a binomiális tételt, így lim n n ( an a n+ ) = k 2. Ekkor Raabe - kritériumot alkalmazva kiderül, hogy ha k > 2 akkor konvergens, ha k < 2 akkor viszont divergens a sor. Már csak azt kell megvizsgálnunk, hogy k = 2 esetén milyen. Ha k = 2: a n a n+ = ( 2n+2 2n+ )2 = ( + 2n+ )2 = = + ( ) + = 2n+ (2n+) 2 n 2n+ (2n+) 2 + n n (2n+) + (2n+) 2 Alkalmazva a Gauss tesztet: = + n + n 2 ( n 2n+ + n2 (2n+) 2 ). b n = n 2n+ + n2 (2n+) 2 28

29 segédsorozattal. Ekkor α =, β = és γ = értékek mellett teljesül az egyenlőtlenség, amiből következik, hogy a sor divergens.tehát az eredeti sorunk k > 2 esetén konvergens, k 2 esetén pedig divergens. A következő három tételben szereplő kritériumok csak olyan sorokra használhatóak, melynek tagjai nem negatívak és monoton csökkenő sorozatot képeznek. Az integrálkritérium a kondenzációs kritérium, és Jermakov - kritérium nem csak elégségesek, hanem szükségesek is a konvergenciához Integrálkritérium Tétel. []Legyen a Z és f : [a, ] R félegyenesen monoton csökkenő és nem negatív függvény. f(n) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens (illetve divergens), ha a n=a f(x)dx improprius integrál konvergens (divergens). Bizonyítás. Tettszőleges n > a egész szám esetén nézzük az [a, n] intervallum a, a +,...,n egész számokkal való felosztását. Az f függvény ezen felosztásához tartozó alsó és felső összegét jelöljük s n illetve S n -nel. Ekkor f (i) = s n n f(x)dx S a n = n f(i) i=a+ igaz, ugyanis f mondoton csökkenő, az [i, i] intervallumon f legkisebb értéke f(i), a legnagyobb pedig f(i ). Tudjuk, hogy f nem negatív, ezért h h f(x)dx függény monoton nő, tehát a f(x)dx improprius integrál létezik. Továbbá vagy véges, a ha konvergens az integrál, vagy végtelen, ha divergens. Az integrál konvergens akkor n n f(x)dx korlátos. Ekkot s a n-ről is tudjuk, hogy korlátos, tehát f(n) sor konvergens. Amennyiben viszont az integrál divergens akkor elmondható, hogy n n f(x)dx a a végtelenhez tart. Ekkor S n sorozat is a végtelenhez tart, így f(n) végtelen sor divergens Példa. [] n=0 n konvergens -e? n 2 +2 x dx = lim y x 2 +2 n i=a x dx = x 2 +2 lim y [ 2 ln(x2 + 2)] y = lim y ( 2 ) ln(y2 + 2) 2 ) ln(2 + 2) = n=a n=a lim y ( 2 ) ln(y2 + 2) 2 ) ln(3) = lim y 2 ln( y ). 29

30 Tehát a sor divergens Példa. [] n α α > hiperharmonikus sor konvergens -e? y dn = lim n α y n α dn = lim n [ n α+ α+ ]y = lim n ( y α ). α α Tehát az intergrál konvergens, ebből következően a hiperharmonikus sor is konvergens. 30

31 3.6. Kondenzációs kritérium Tétel. []Legyen (a n ) sorozat monoton csökkenő és nem negatív, akkor (a n ) és (2n a 2 n) végtelen sorok egyszerre konvergensek, vagy egyszerre divergensek. Bizonyítás. A fenti két sor mindegyike nem negatív tagú, tehát a konvergencia attól függ, hogy a részletösszeg - sorozat korlátos - e felülről. Ehhez kellenek s n = n a k illetve S n = n 2 k a 2 k k= k= sorok részletösszegei. Illetve s 0 = 0 és S 0 = 0. Mivel ezen felül a 2n a i i > 2 n így S n S n = 2 n a 2 n s 2 n+ s 2 n S n = n (S k S k ) n (s 2 k+ s 2 k) = s 2 n+ s 2. k= k= Tehát ha (S n ) felülről korlátos, akkor (s 2 n+) is. monoton növő, korlátos felülről, ugyanis a 2 n a i amiből adódik (a n ) sor (s n ) részletösszeg - sorozat i 2 n így S n S n = 2 n a 2 n 2 (s 2 n s 2 n ) S n = (S k S k ) 2 (s 2 n s ). Tehát, ha (s n ) felülről korlátos akkor (S n ) is az Példa. []Konvergens vagy divergens a A kondenzációs kritérium alapján 2n (2 n ) α = 2 n = (2 n )α végtelen sor ahol α > 0? n α = 2 n α n Tudjuk, hogy α > 0, tehát 2 α >. Mivel tudjuk, hogy az erederi sor is konvergens.. (2 α ) n konvergens, ezért (2 α ) n 3

32 3.7. Jermakov - kritérium Tétel. []Tegyük fel, hogy f : [0, ] R + monoton csökkenő függvény, és lim n e n f(e n ) f(n) λ > akkor f(n) sor divergens. = λ. Amennyiben λ < akkor f(n) sor konvergens, ha pedig Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f pozitív, monoton fogyó és lim x e x f(e x ) f(x) = λ. f(n) konvergenciája az integrál kritérium miatt ekvivalens azzal, hogy 0 f(x)dx konvergens. Így λ < esetén elég bebizonyítani, hogy az improprius integrál konvergens. Tekintsük a, b R, 0 a < b esetén y = e x helyettesítést. e b e a f(y)dy = b a ex f(e x )dx ekkor igaz lesz, mert f monoton függvény Riemann-integrálható a korlátos és zárt [e a, e b ]- n. A fenti feltevésből következik, hogy létezik x 0 > 0 melyre minden x > x 0 esetén teljesül, hogy e x f(e x ) f(x) < +λ 2 <. Vezessük be a b 0 = x 0 és a b n+ = e bn, n Z + jelölést. Ekkor Hasonlóképpen b2 b f(y)dy = b b 0 e x f(e x )dx < +λ b 2 b 0 f(y)dy. b3 b 2 f(y)dy < +λ b2 2 b f(y)dy < ( +λ 2 )2 b b 0 f(y)dy teljesül. Teljes indukcióval könnyen belátható, hogy Ebből következően igaz lesz, hogy bn+ x 0 f(y)dy = n bk+ b k f(y)dy < ( +λ 2 )k b b 0 f(y)dy, k Z +. k=o bk+ b k f(y)dy < n k=o ( +λ e x 0 2 )k x 0 f(y)dy < 2 e x 0 λ x 0 f(y)dy. Az első tényezőt az +λ 2 kvóciensű mértani sor összegével becsüljük. Amennyiben b n b < b n+, akkor b x 0 f(y)dy < b n+ x 0 f(y)dy < 2 e x 0 λ x 0 f(y)dy teljesül. Ekkor a bal oldali Riemann-integrál a felső határ korlátos függvénye, így b x 0 f(y)dy = lim x x 0 f(y)dy < 2 e x 0 λ x 0 f(y)dy 32

33 igaz lesz. Ebből következően f improrius integrálja konvergens [x 0, )-n, ezért [0, ) intervallumon is. Ezzel a konvergenciával ekvivalens f(n) konvergenciája. A divergenciát hasonló módon bizonyíthatjuk. Ha λ >, akkor az előbbi bizonyítást megimésmételhetjük fordított reláció jelekkel egészen addig a pontig ahol +λ 2 kvóciensű mértani sor összegével becsültünk. Így elmondható, hogy bn x 0 f(y)dy > n ( +λ 2 )k e x 0 x 0 k=0 lesz igaz. A jobb olali Riemann - integrál pozitív és Ebből következően A pozitív f függvény b n x 0 ( +λ k=0 lim n bn x 0 2 )k = f(y)dy = f(y)dy f(y)dy improprius integrálja létezik és végtelen vagy egy valós szám. Létezik olyan szigorúan monoton növő és végtelenhez tartó (b n ) sorozat, hogy bn x 0 f(y)dy (átviteli elv miatt). b n x 0 integrál kritérium szerint f(n) divergens. f(y)dy = lim n b x 0 f(y)dy = Tehát az Példa. []Döntsük el, hogy a n=2 (n 2) konvergens-e vagy sem! n ln n A Jermakov kritériumot alkalmazva f(x) =, x [2, ] függvényre: x ln x f(e x ) e x f(x) = e x x ex x ln x Tehát a feltételek alapján a sor divergens. = ln x Definíció. []Az (a n ) számsorozatot, akkor nevezzük korlátos változásúnak, ha n (a n+ a n ) sorozatból képzett végtelen sor abszolút konvergens. Egy számsorozat pontosan akkor korlátos változású, ha előállítható két konvergens monoton növő sorozat különbsége ként. A következő három kritérium a sorok abszolút konvergenciájának eldöntésére nem alkalmasak. Közös ismérvük, hogy a tételekben szereplő soroknak a tagjai két sorozat szorzatából tevődnek össze. 33

34 3.8. Dirichlet I. kritériuma Tétel. []Ha (b n ) sorozat (s n ) részéletössezeg - sorozata korlátos, és (a n ) korlátos változású nullsorozat, akkor a sn (a n a n+ ) és a (a n b n ) sor is konvergens, összegeik pedig egyenlőek. Bizonyítás. s n (a n a n+ ) sor abszolút konvergens, ugyanis ha a tagok abszolútértékét nézzük, akkor a belőlük képzett sor a részletösszegeinek alapján korlátos. n s k (a k a k+ ) = n n s k a k a k+ sup{ s k } a k a k+ k= k= k= ahol k, n Z +. A s n (a n a n+ ) abszolút konvergens sor, így konvergens is. Vezessük be az s 0 = 0 jelöléssel k Z + -ra y k = s k s k -et, így: n a k y k = n a k (s k s k ) = n a k s k n a k s k = k= k= k= k= n a k s k n a k+ s k = a n s n + n s k (a k a k+ ). k= k= k= Mivel (s n ) korlátos sorozat, (a n ) pedig nullsorozat, ezért (a n s n ) nullsorozat. Ha nézzük a két sor határértékét, akkor n a k y k = lim n a n s n + (a k a k+ ) s k = s k (a k a k+ )-et k= k= k= kapjuk, amit bizonyítani is szerettünk volna Dirichlet II. kritériuma Tétel. []Tegyük fel, hogy (b n ) sorozat részletösszegeinek sorozata korlátos, és az (a n ) monoton csökkenő és nullához tart. Ekkor a n b n végtelen sor konvergens. Bizonyítás. Kell, hogy ha (a n ) monoton csökennő nullsorozat, akkor korlátos változású. (an a n+ ) állandó előjelű, nem negatív előjelű tagú sorra: n a k a k+ = n (a k a k+ ) = a n a n+ a k= ha n. Majd Dirichlet I. tétele alapján (a n b n ) konvergens. k= 34

35 Megjegyzés. Dirichlet I. kritériumának következménye Dirichlet II. kritériuma. 2. Dirichlet II. kritérium speciális esete a Leibnzt - kritériummal egyezik meg. Méghozzá (b n ) = ( ) n illetve (b n ) = ( ) n esetekben Példa. []Nézzük a cos n. A (b n n) = (cos n) sorozat részletösszegei korlátosak az (a n ) = pedig monoton csökkenő nullsorozat. Belátni az s n n = sorról kell azt, hogy valóban korlátos. Ötlet: szorozzunk sin 2. s n sin = n cos k sin = cos sin cos(n ) sin + cos n sin = k= ( sin( ) + sin( + )... sin((n ) ) + sin((n ) + ) k= sin(n 2 ) + sin(n + 2 )) = 2 (sin(n + 2 ) sin 2 ). így s n = sin(n+ 2 ) sin 2 2 sin, tehát tényleg korlátos az s n. Ebből következően 2 cos n n konvergens Abel - kritérium Tétel. []Ha b n sor konvergens, az (a n ) pedig korlátos változású sorozat, akkor a n b n sor konvergens. Bizonyítás. Mivel (a n ) korlátos változású, ezért konvergens. részletösszegeinek sorozata korlátos. b n sor konvergens, akkor b n lim n a n s n = lim n a n lim n s n = lim n a n így a n b n konvergens, és a n b n = lim n a n b n + s n (a n a n ). (Dirichlet I. konvergenciájának bizonyítása alapján) 35

36 Példa. []Döntsük el, hogy konvergens - e a 9 2 n n! = n n! sorozat? n! ( 2 )n sor konvergens az Abel - kritérium szerint, ugyanis a n = n! monoton csökkenő nullasorozat, és ( 2 )n konvergens mértani sor Példa. []Konvergens - e a ( + n )n cos n? cos n n n konvergens ezt beláttuk a Dirichlet - kritériummal. Az ( + n )n sorozatról tudjuk, hogy korlátos változású, ugyanis korlátos és monoton. Tehát a két sorozat szorzataként kapott végtelen sor konvergens. 3.. Logaritmikus kritérium 3... Tétel. []Adott (a n ) pozitív tagú sor és L n = ln an ln n, (n 2, n Z+ ).. Ha lim inf L n > akkor a n konvergens 2. Ha egy indextől kezdve L n akkor (a n ) divergens. Bizonyítás. Ha lim infl n > akkor létezik N Z + és r R +, hogy ln an ln n + r igaz minden n N esetén. Ezt átalakítva ln a n ( + r) ln n kapjuk. Majd ( )-el szorozva mindkét oldalt ln a n ( + r) ln n = ln n +r egyenlőtlenség teljesül. Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt a n. n +r n +r hiperharmonikus sor r R + esetén konvergens, így majoráns kritériumot alkalmazva a n is konvergens. Hasonló módon bizonyíthatjuk a divergenciát is. Egy N indextől kezdve ln an ln n ln a n ln n a n n 36

37 teljesül. A n harmonikus sor divergens. A minoráns kritériumot alkalmazva arra jutunk, hogy a n divergens Példa. []Döntsük el, hogy a n=3 A logaritmikus kritérium alapján a ( ) ln (ln ln n) L n = lnn ln n = ln(ln ln n)ln n ln n Tehát a feltétel szerint a sor konvergens. (ln ln n) ln n = konvergens-e vagy sem! ln n ln ln ln n lnn = ln ln ln n. 37

38 4. fejezet Végtelen sorok a középiskolában 4.. Számsorozatok A középiskolában a diákok először a számsorozat fogalmával és tulajdonságaival ismerkednek meg. A függvényekre vonatkozó ismereteikből kiindulva a valós értékű függvények értelmezési tartományának vizsgálatával jutnak el a valós számsorozat fogalmához Példa. [Számsorozatra], 5, 7, 9, 3... Ez f(x) függvény szerint: f() a = f(2) 5 a 2 = 5 f(3) 7 a 3 = 7. Az a i a sorozat i. eleme, az a n pedig az n. tag (általános tag). Ezek után a hozzárendelési módból kiindulva tárgyaljuk a sorozat megadási lehetőségeit. Ez történhet a tagok felsorolásával, vagy szövegesen, képlettel esetleg rekurzívan - megtudjuk az első néhány elemet, majd képletet adunk a további elemek kiszámítására. 38

39 4..2. Példa. [Szöveges megadás] A 2 számjegyeinek sorozata Példa. [Felsorolással való megadás] Ez a prímszámok sorozata Példa. [Képlettel való megadás] Példa. [Rekurzív megadás] a = a 2 = 4 a 3 = a 4 = 4 a 5 = {a n } = 2 n+ 3 a = a 2 = a 3 = 2... a n = a n 2 + a n Fibonacci-sorozat. A könnyebb átláthatóság és szemléltetés érdekében megmutatunk kétféle ábrázolási módot. Az egyik, mely szerint koordináta-rendszerben bejelöljük a sorozat néhány elemét, majd levonjuk a következtetést, hogy a grafikon diszkrét pontokból áll. A másik ábrázolási mód pedig, hogy számegyenesen szemléltetjük a sorozat tagjait. A következőkben a függvénytani tulajdonságok állnak az óra középpontjában. Tanult függvénytulajdonságok alapján értelmezzük a korlátosság, monotonitás, határérték fogalmait Példa. [] sorozatot tekintve {a n } = n 2 n+2 < n 2 n+2 = n+2 4 n+2 = 4 n+2 < Ezen a példán keresztül a diákok maguk tapasztalhatják és fogalmazhatják meg, hogy a sorozat korlátos és monoton növő. Rájönnek, hogy a korlátosság vizsgálata az értékkészletre vonatkozik, a monotonitásnál pedig az értelmezési tartományon vizsgáljuk az értékkészlet elemeit.több példán keresztül szemléltetés és ábrázolás útján a konvergencia és a határérték fogalmát is megtaníthatjuk. Ezután pontos definíciót is adhatunk ezekre a fogalmakra. 39

40 4..7. Definíció. []Egy sorozat konvergens és határértéke az A valós szám, ha bármely ɛ > 0 számhoz N pozitív egész küszöbindex, hogy bármely n N + esetén igaz, hogy a n A < ɛ. Azt is mondhatnánk, hogy a sorozatnak csak véges sok tagja van a határérték tettszőlegesen kis környezetén kívül. Ez a fogalom a diákok számára nehéznek és emészthetetlennek bizonyul. Ezért rengeteg példa gyakorlásával érhetünk el sikert. Ezen példák megoldása közben jön elő a divergens sorozat elnevezés is. Ezzel párhuzamosan fedezik fel, hogy:. Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. 2. Minden konvergens sorozat korlátos. 3. Minden monoton korlátos sorozat konvergens. 4. Vannak olyan sorozatok, amelyek nem konvergensek, de van konvergens részsorozatuk. Mindezek áttekintése után a sorozatokkal végzett műveletek tárgyalásába kezdünk.a függvények kapcsán már tanulták a műveleteket ezért egy művelet megadása után mintaszerűen végezhetik a többit. Az összeg -, különbség -, szorzat - és a hányados sorozat határértékére vonatkozó szabályokat illetve a rendőr szabályt mondjuk ki és bizonyítjuk. Legvégül a majdani könnyebb számítások érdekében tárgyaljuk néhány nevezetes sorozat határértékét. Ilyen sorok például az. a n = n sorozat, melynek konvergenciáját az arkhimédészi - axióma alapján vezetjük le. 2. A mértani sorozat melyet megvizsgálunk a kvóciens nagyságának szempontjából. 3. a n = n a 4. a n = n n 5. a n = an n! 6. a n = ( + n ) n 7. Számtani sorozatok Végül rengeteg gyakorló feladattal sajátítjuk el a határértékek kiszámítását. 40

41 4.2. Végtelen sorok A végtelen sorokat Zenon paradoxonjai alapján játékosan vezetjük be és vetjük fel az összegzés problémáját. A konklúzió levonása után pontos definíciót adunk a végtelen sorokra, melyet a számsorozatból vezetünk le. Mindezek után a mértani sor részletösszeg sorozatát a sor összegét és a konvergencia fogalmát tisztázzuk. Tárgyaljuk a nevezetes végtelen sorok határértékét. Levezetjük az összehasonlító (hányados, majoráns), hatvány illetve gyökkritériumot. Gyakorlásra kiválóak az alábbi példák: Döntsük el, hogy az alábbi sorok konvergensek - e vagy divergensek? ( n+ ) 3n ( n(n+2) ) ( x n n! n=0 ) 0 n , 5 + 5, Egy 24 cm oldalú négyzet alakú papírlapot négy kisebb négyzetre vágunk, melyek oldala 2 cm. Három négyzetet oldalaikkal egymás melléhelyezünk. A negyediket négy kisebb négyzetre vágjuk, melyek oldalai 6 cm-esek. Ezek közül hármat a nagyobb négyzetek mellé teszünk. A negyedik négyzetet ismét négy kisebb négyzetre vágjuk, és az eljárást a végtelenségig folytatjuk. Határozza meg az egymás melletti négyzetek oldalainak együttes hosszát! 4

42 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Bátkai Andrásnak, aki, tudásával, szakmai tapasztalatával segítette munkámat. Hálával tartozom még évfolyamtársamnak, Szabó Dávidnak,és öcsémnek, Bogye Balázsnak akik bevezettek a L A TEX rejtelmeibe. Végül de nem utolsó sorban szüleimnek, akik mindvégig mellettem álltak, támogattak, és akik nélkül mindez sosem sikerült volna. 42

43 Irodalomjegyzék [] CSÁSZÁR ÁKOS, Végtelen sorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 979. [2] DR. KONRAD KNOPP, Theory and application of infinite series. [3] DR. SZARKA ZOLTÁN, Végtelen sorozatok és sorok I. és II. kötet. Magas szinten könnyedén sorozat. LSI Alkalmazástechnikai Tanácsadó Szolgálat, Budapest, 988. [4] FARKAS MIKLÓS - HOFFMAN TIBORNÉ, Matematika IV. kötet - Végtelen sorok. Műegyetemi Kidaó, 994. [5] FRANTISEK DURIS, Infinite Series:Convergence Tests (Bachelor thesis).bratislava, oldwww.dcs.fmph.uniba.sk [6] LACZKOVICH MIKLÓS - T. SÓS VERA, Analízis II. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, [7] NÉMETH JÓZSEF, VElőadások a végtelen sorokról. Polygon Könyvtár, Szeged, [8] URBÁN JÁNOS, Határérték - számítás. Műszaki kiadó, Budapest, [9] SZILÁGYI TIVADAR, Végtelen sorok, hatványsorok. sztiv/5vs.pdf [0] [] SDT.SULINET.HU 43

Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Végtelen sorok konvergencia kritériumai Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Végtelen sorok konvergencia kritériumai BSc szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Bogye Tamara Szentmiklóssy Zoltán Matematika BSc adjunktus Matematika

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

SZTE TTIK Bolyai Intézet

SZTE TTIK Bolyai Intézet Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11. ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Sorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK

Sorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK Sorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK Végtelen valós számsor: Definíció: Az a n sorozat tagjaiból képzett a 1 + a 2 + + a n + végtelen összeget végtelen valós számsornak, röviden sornak nevezzük. Sor részletösszegei:

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév

Matematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben