Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK

Átírás

1 Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206

2 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték Halmazok, intervallumok, környezetek Függvények előjele, néhány függvényosztály A táblázatos módszer egyenlőtlenségek megoldására Inverz függvény, függvény-összetétel Trigonometrikus függvények, exponenciális és logaritmus függvény 2. Valós számsorozatok A sorozat definíciója Konvergencia Sorozatok monotonitása és korlátossága Részsorozatok Határértékszámítási gyakorlatok, feladatok sorozatokkal Függvények határértéke Érintő egyenesek és változási sebességek - Motiváció Környezet, torlódási pont A függvény határértékének definíciója Egyoldali határértékek Műveletek függvény-határértékekkel Nevezetes függvényhatárértékek Feladatok függvények határértékével Függvények folytonossága Differenciálszámítás Bevezető fogalmak

3 TARTALOMJEGYZÉK A differenciálhányados, a derivált fogalma Elemi függvények deriváltjai Deriválási szabályok A differenciálszámítás alkalmazásai L Hospital szabály Az elsőrendű derivált és a monotonitás kapcsolata Többször differencálható függvények Konvex és konkáv függvények Integrálszámítás Határozatlan integrál Helyettesítéses integrálás határozatlan integrálra Parciális integrálás határozatlan integrál esetén Határozott integrál Helyettesítéses integrálás a határozott integrál esetén Parciális integrálás határozott integrál esetén Improprius integrálok Az integrálszámítás alkalmazásai

4 . fejezet Bevezető A hallgató által ismertnek tekintjük a közoktatás alapjaiból elsajátított halmaz fogalmát, a halmazokkal értelmezett műveleteket, továbbá a valós, egész, természetes számok fogalmát, a valós számok halmazán adott összeadás és szorzás tulajdonságait, a relációt, az intervallumok fogalmát, a teljes indukció elvét, a nemnegatív valós számok n-edik hatványának illetve n-edik gyökének tulajdonságait. Ez a fejezet a kalkulus számára legfontosabb bevezető fogalmakat összegzi... Az abszolút érték.. Definíció. Az x R valós szám abszolút értéke alatt a következő nemnegatív valós számot értjük: x, ha x 0 x :=.) x, ha x < 0. Megjegyzés: A definíció alapján tehát az x az x szám 0-tól való távolságát adja meg. A következő fejezetekhez alapvető fontosságú lesz az x a geometriai jelentése, ahol a egy adott valós szám. Gondoljuk meg: rögzített a R esetén x a az x a)-nak a 0-tól vett távolsága. Most toljuk el a 0-t a-ba, így x a-t az x-be toltuk. Az eltolás megőrzi a távolságot, tehát x a az x-nek az a-tól vett távolságával egyezik meg..2. Állítás. Adott a R szám esetén az x a geometriai jelentése: x a az x-nek a-tól való távolságát adja meg. 4

5 FEJEZET. BEVEZETŐ 5 jelenti. Az előbbi alapján világos az is, hogy x y az x-nek az y-tól való távolságát.3. Tétel. Az abszolút érték tulajdonságai: i) x 0 x R) ii) x = 0 x = 0 x R) iii) x y = x y x, y R) iv) x + y x + y x, y R) háromszög-egyenlőtlenség. Bizonyítás: Az első három állítás a definíció azonnali következménye. Lássuk be a iv) pontban található, ún. háromszög-egyelőtlenséget! Az abszolút érték értelmezése alapján x x x és y y y minden x és y valós számokra. Ezeket összeadva kapjuk, hogy x + y ) x + y x + y, azaz x + y x + y és x + y) x + y, ezért az abszolút érték definíciójából adódik, hogy x + y x + y x, y R). Példa: Könnyen belátható, hogy a háromszög egyenlőtlenség fennáll x = 2 és y = 3 esetén: = < 5 = Tétel. Adott a R esetén x < a a < x < a). A bizonyítás azonnali: x < a x < a és x < a a < x < a)... Feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán: a) x 3 <, b) x 7 3, c) x + 7 <, d) x Megoldások: Az x a geometriai jelentésével egyszerűen megválaszolható a feladat: a) x 2, 4); b) x, 4] [0, ); c) x 8, 6); d) x, 5] [, ).

6 FEJEZET. BEVEZETŐ 6.2. Halmazok, intervallumok, környezetek A "halmaz" és a "halmaz eleme" fogalmak alapfogalmak, nem definiáljuk, de a halmaz felfogható elemek összességeként és ezen elemekre azt mondjuk, hogy a halmaz elemei. Ha S egy halmaz, akkor az a S jelölés azt jelzi, hogy a eleme az S-nek, és a S azt jelzi, hogy a nem eleme az S-nek. Ha A és B halmazok, akkor a halmazok uniója alatt azon elemek halmazát értjük, melyek vagy A-nak, vagy B-nek elemei vagy mindkettőnek). Jelölése: A B. A halmazok A B metszete azon elemek halmaza, melyek mind A-nak, mind pedig B-nek elemei., az üres halmaz az a halmaz, melynek nincsenek elemei. Például a racionális számok halmazának és irracionális számok halmazának a metszete üres halmaz..5. Definíció. Intervallumok alatt a következő halmazokat értjük: nyílt intervallum: a, b) = {x R : a < x < b} zárt intervallum: [a, b] = {x R : a x b} félig-nyílt intervallumok: [a, b) and a, b] Itt a, b R {± }. A valós számok egy részhalmazát intervallumnak nevezzük, ha tartalmaz legalább 2 pontot és tartalmazza a kettő közötti összes valós számot. Például, [4, ), 0, ), R =, + ) intervallumok, de R \ {2} nem intervallum. Ha a, b véges számok, akkor véges véges intervallumokról beszélünk, különben végtelen intervallumokról. Egy véges intervallumot zártnak nevezünk, ha mindkét végpontját tartalmazza, félig-nyíltnak, ha csak az egyik végpontját, és nyíltnak, ha egyiket sem tartalmazza. A végpontokat határpontoknak is hívjuk; ezek alkotják az intervallum határát. A többi pontot az intervallum belső pontjának nevezzük és ezek együttesen alkotják az intervallum belsejét. Egy végtelen intervallumot zártnak nevezünk, ha tartalmazza az egyik végpontját; egyébként nyíltnak. Az egész valós számok halmaza egy olyan végtelen intervallum, mely nyílt is és zárt is..6. Definíció. A K r α) := α r, α + r) = {x R : x α < r} intervallumot az α pont r-sugarú környezetének nevezzük..7. Definíció. A K r + ) := r, + ) = {x R : x > r} intervallumot a + r-sugarú környezetének nevezzük.

7 FEJEZET. BEVEZETŐ 7.8. Definíció. A K r ) :=, r) = {x R : x < r} intervallumot a r-sugarú környezetének nevezzük..3. Függvények előjele, néhány függvényosztály A függvény egy alapvető fogalma a kalkulusnak, hiszen a valós világot írják le matematikai eszközökkel. A víz forrási hőmérséklete függ a tengerszint feletti magasságtól a forráspont csökken, ahogy emelkedünk.) Egy pénzbefektetésre fizetett kamat függ az időszak hosszától, melyre a befektetés vonatkozik. Egy kör kerülete függ a kör sugarától. Egy egyenes pályán mozgó tárgy kezdőponttól megtett távolsága függ a sebességétől. Mindezen esetekben egy y menyiség értéke függ valamely másik változó mennyiségtől, melyet jelölhet x. Az y értékét meghatározza az x értéke, ezért azt mondjuk, hogy y egy függvénye az x-nek. A függvény tehát felfogható egy olyan szabályként, mely az fx) kimenetet adja meg az x bemenet során..9. Definíció. Egy f : A B függvény alatt egy olyan leképezést értünk, mely az A halmaz minden eleméhez hozzárendeli a B halmaz pontosan egy elemét. Itt fontos, hogy a függvény egy olyan szabály, mely minden x A elemhez pontosan egy fx) B elemet rendel. Azon x elemek halmaza, melyekre a függvény értelmezett az f függvény értelmezési tartományának nevezzük és D f -el jelöljük, az fx)-et pedig f értékének nevezzük az x pontban. Az összes lehetséges fx) értékek halmaza, amint x befutja az értelmezési tartományt, A-t, a függvény értékkészletének nevezzük. Az értékkészletnek nem kell tartalmaznia a B minden elemét..2. Feladat. Állapítsa meg, hogy f egy függvény-e Z-ből R-be, ha a) fn) = ±n, b) fn) = n 2 + 2, c) fn) = n 2 9. Ha az f függvényt az x változó egy kifejezéseként adjuk meg és az értelmezési tartomány nincs konkrétan megadva, akkor az értelmezési tartományt úgy

8 FEJEZET. BEVEZETŐ 8 értjük, hogy mindazon x pontok halmaza, melyre a kifejezés értelmezett. Például az fx) = függvényre az értelmezési tartomány a nemnulla x valós x 2 számok halmaza hiszen a 0 pontban nincs értelmezve, nem oszthatunk nullával) és az értékkészlet az összes pozitív valós számok halmaza hiszen nemnulla számok négyzete pozitív). Az y = x gyökfüggvény értelmezési tartománya és értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza, Z + {0}. Az y = 4 x 2 függvény értelmezési tartománya a [ 2, 2] intervallum, értékkészlete a [0, 2] intervallum, azaz 4 x 2 akkor és csak akkor jól értelmezett, ha 2 x 2 különben a gyök alatt negatív kifejezés állna) és 0 4 x Definíció. Az y = fx) függvény gráfja vagy grafikonja alatt azon P x, y) pontok halmazát értjük, melyek x, y) koordinátái eleget tesznek az y = fx) egyenletnek: {x, fx) x D f )}. Néhány függvényosztály. Racionális függvények: A. A hatványfüggvények: f : R R, fx) = x n n N). B. A racionális egész függvények polinomok): P n x) = a n x n + a n x n a x + a 0 x R) Ha a n 0, akkor P n x) egy n-edfokú polinom. C. A racionális tört függvények: Polinomok hányadosa, ahol az értelmezési tartománynak nem elemei a nevező gyökei: f : R\{Λ Q } R, fx) = Pnx) Q mx), a n, b m 0). 2. Irracionális függvények: Pl: f : A R, fx) = n x. 3. Trigonometrikus függvények: Pl. sin, cos, tan, cot, arcsin, arccos 4. Az exponenciális függvény: f : R R, fx) = a x, ahol a adott pozitív valós szám. 5. A logaritmus függvény: f : 0, ) R, fx) = log a x) a > 0, a ). Az első- és másodfokú függvény előjele Elsőfokú függvények: Az f : R R, fx) = ax+b egy egyenes. A függvény a zéruspontjában vált előjelet. Másodfokú függvények: Az f : R R, fx) = ax 2 + bx + c a, b R) függvény képe a, b, c R, a 0) függvény képe parabola, melynek iránya az a együttható előjelével egyezik

9 FEJEZET. BEVEZETŐ 9 meg. A függvény a zéruspontjaiban a következőképpen vált előjelet: ha a > 0, azaz fölfele nyíló parabola esetén a gyökökön kívül pozitív, gyökök között pedig negatív előjelet vesz fel. a < 0 esetén fordítva. Vertikális/Függőleges egyenes kritérium. Az x, y)-sík egy halmaza akkor és csak akkor egy függvény grafikonja, ha minden vertikális/függőleges x = konstans egyenes a halmazt legfeljebb egy pontban metszi. [Ha az a szám eleme az értelmezési tartománynak, akkor az x = a függőleges egyenes az y = fx) grafikonját az P a, fa)) pontban metszi.] Nem minden görbe lehet egy függvény grafikonja. Az f függvénynek csak egy fx) értéke lehet minden x értelmezési tartománybeli pontban, tehát egyetlen függőleges egyenes sem metszheti többször a grafikonját. Például a kör nem lehet egy függvény grafikonja, mert több függőleges egyenes kétszer is metszené..4. A táblázatos módszer egyenlőtlenségek megoldására Egy későbbi fejezetben sorra kerülő függvényvizsgálathoz szükséges lesz előjelek könnyed -táblázatokkal történő- vizsgálata. E célból konkrét egyenlőtlenségek megoldásával folytatjuk..3. Feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán: a) x 2x + 5 < 0, b) x2 + 3x 0 x + 3 0, c) x )x + 3) x + 5) 0, d) 6 x x e) x + 3) 3 x 7) 2 2 3x) 0. Megoldások: a) Az x = 0 egyenlet megoldása x =, a 2x + 5 = 0 pedig x = 5 2 értékhez vezet. A gyökök növekvő sorrendben: 5 2 <. Ekkor: x < x < < x < x > x 0 + 2x x x+5 A megoldás tehát: x 5 2, ).

10 FEJEZET. BEVEZETŐ 0 b) Az x 2 + 3x 0 = 0 megoldásai x,2 = 5; 2, az x + 3 = 0 pedig x = 3 értékhez vezet. A gyökök növekvő sorrendben: 5 < 3 < 2. x x < < x < < x < 2 2 x > 2 x 2 + 3x x x 2 +3x 0 x A megoldás tehát: x [ 5, 3) [2, + ). c) x, 3] [, 5]. d) Nullára rendezés után a keletkező 3x x+3 3, 0]. 0 egyenlőtlenség megoldása: x e) Figyelembe véve, hogy a páratlan kitevő nem változtat az előjelen, a páros kitevő viszont nemnegatív számot eredményez, kapjuk, hogy x+3) 3 előjele megegyezik x + 3 előjelével, míg x 7) 2 pozitív az R \ {7} halmazon. A megoldás tehát: x [ 3, 2 3] {7}..5. Inverz függvény, függvény-összetétel Ha két függvény kapcsolatát leírja a y = fx) x = gy) feltétel minden megfelelő x-re és y-ra), akkor azt mondjuk, hogy a függvények egymás inverzei és azt írjuk, hogy g = f. Az f értékkészlete a g értelmezési tartománya és a g értékkészlete az f értelmezési tartománya. Néha egy függvénynek csak azután van inverze, miután leszűkítjük az értelmezési tartományát. Annak eldöntésére, hogy egy függvénynek van-e inverze, az alábbi kritériumot használjuk: Horizontális/Vízszintes Egyenes Kritérium. Egy függvénynek akkor és csak akkor van inverze, ha minden y = konstans vízszintes egyenes legfeljebb egy pontban metszi a gráfját. [Az y = b vízszintes egyenes az y = fx) gráfját a P f b), b) pontban metszi.] Ahhoz, hogy az f y) kifejezést meghatározhassuk, meg kell oldanunk az y = fx) egyenletet x-re az y függvényében..4. Feladat. Legyen fx) = x 2 x+. i) Határozza meg az f értelmezési tartományát és értékkészletét.

11 FEJEZET. BEVEZETŐ ii) Határozza meg az f értelmezési tartományát és értékkészletét. iii) Adja meg az f y) formuláját. Eredmény: f : R\{ } R\{}, f : R\{} R\{ }, f y) = 2 y y. Függvény-kompozíció/Függvény-összetétel Két függvénynek vehetjük a kompozícióját az x pontban, ha az egyiknek az x pontban felvett értéke a másik függvény értelmezési tartományában fekszik... Definíció. Ha f : B C és g : A B függvények, akkor az f g összetett függvény f kör g) a következő: f g)x) = fgx)). Az f g értelmezési tartománya megegyezik a g értelmezési tartományával és f értelmezési tartománya megegyezik a g értékkészletével.vagy tartalmazza a g értékkészletét.)) Általában az f g és g f különbözőek..5. Feladat. Legyen f és g az alábbi függvények. Határozza meg f g-t! Határozza meg g f-et! a)f : R R, fx) = 4x + 3, g : R R, gx) = 3x + 4, b)f : R R, fx) = cosx), g : R R, gx) = 3x + 4, c)f : R R, fx) = x 2 + 3, g : R R, gx) = 3x Trigonometrikus függvények, exponenciális és logaritmus függvény A trigonometrikus függvényekről sinus, cosinus, tangens, cotangens) a középiskolából már ismerik. Az sin és cos értelmezési tartománya, D f a következő: D sin = D cos = R, míg az értékkészletük, az R f az alábbi: R sin = R cos = [, +], Továbbá, a tg x = sin x x D cos x tg) és ctg x = cos x x D sin x ctg) függvényekre D tg = R \ { π + kπ, k Z}, és D 2 ctg = R \ {kπ, k Z}, R tg = R ctg = R. π. Mindegyik függvény periodikus, a sin, cos periódusa 2π, a tg, ctg periódusa sinx) = sinx + 2π), cosx) = cosx + 2π) x R) tg x) = tg x + π) x D tg ), ctg x) = ctg x + π). x D ctg ) Mindegyik függvény rendelkezik szimmetriatulajdonsággal, azaz

12 FEJEZET. BEVEZETŐ 2 - a sin függvény páratlan: sin x) = sinx), x R); - a cos függvény páros: cos x) = cosx), x R); - a tg függvény páratlan: tg x) = tg x) x D tg ); - a ctg függvény páratlan: ctg x) = ctg x) x D ctg ). Mindegyik függvénynek van zérushelye: sinx) = 0, ha x = kπ k Z); cosx) = 0, ha x = π + kπ k Z); 2 tg x) = 0, ha x = kπ k Z); ctg x) = 0, ha x = π + kπ k Z). 2 Az exponenciális függvény Az exp a x) := a x x R) függvényt aza alapú exponenciális függvénynek nevezzük. Értékkészlete mindig pozitív: exp a :, ) 0, )..2. Tétel. i) Az exp a függvény szigorúan monoton nő, ha a >, szigorúan monoton csökken, ha 0 < a <, és konstans, ha a =. ii) a x+y = a x a y x, y R), továbbá a x = a x iii) a x ) y = a xy. x, y R). x R), Definíció: A természetes alapú exponenciális függvény alatt az fx) = e x alakú függvényt értjük, ahol e 2.7. A logaritmus függvény Legyen b > 0, b. Ekkor log b x = y ekvivalens azzal, hogy b y = x. Azaz, log b x az a hatványkitevő, melyre felemelve b-t, megkapjuk az x-et. Az elsőt logaritmikus alaknak nevezzük, a másodikat pedig exponenciális alaknak. A b számot a logaritmus alapjának nevezzük. Van néhány speciális logaritmus, mely többször felbukkan. Az ln x = log e x logaritmus függvényt a természetes alapú logaritmusnak nevezzük. Ennek alapja, e ugyanaz a szám, ami a természetes alapú logaritmusban szerepel. Az lg x = log 0 x függvényt közönséges logaritmusnak is nevezzük. A logaritmus függvény értelmezési tartománya 0, ). Más szavakkal, csak pozitív számoknak vehetjük a logaritmusát. Jegyezzük meg, hogy fx) = a x és gy) = log a y egymás inverzei.

13 FEJEZET. BEVEZETŐ 3 Tulajdonságok:. log b b = 2. log b = 0 3. log b b x = x 4.b log b x = x 5. log a xy = log a x + log a y 6. log a x y = log a x log a y 7. log a x k = k log a x 8.Az alap cseréje: log b x = log a x log a b 9. x log a x = +, x 0 + log a x =, a > ) x log a x =, x 0 + log a x = +, 0 < a < ).

14 2. fejezet Valós számsorozatok 2.. A sorozat definíciója Valós sorozat alatt valós számok egy olyan a, a 2, a 3,..., a n,... halmazát értjük, melyben számít a sorrend. a n -et a sorozat n-edik tagjának nevezzük. Az n természetes számot pedig a sorozat indexeként említjük. Például az a n = n, n N ) sorozat első tagja a =, második tagja a 2 = 2, és így tovább. Felfoghatjuk ezt a sorozatot egy olyan függvényként, ami az -nek megfeleltei az -et, a 2-nek az -et, a 3-nak az -ot és általában az n természetes 2 3 számnak az n-edik tagot, az n -et. 2.. Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós függvényeket, tehát az f : N R alakú függvényeket valós számsorozatnak nevezzük. Az fn) helyett legtöbbször fn) = a n -et írunk, amelyet a sorozat általános tagjának n-edik tagjának) nevezünk, és a sorozatot az a n, n N) módon jelöljük. Esetleg még a n ) n vagy {a n } n módon.) 2.. Példa. Az a n = n, n N) sorozat első négy tagja: a n+ 0 = 0, a =, a 2 2 = 2, a 3 3 = 3,... Vegyük fel ezen értékeket a valós számegyenesen! Feladat. b n = n, n N ), c n = 3, n N) konstans- illetve állandósorozat, d n = ) n, n N) alternáló sorozat, e n = 3n +, n N), f n = 7 + n )2, n N ) egy számtani sorozat), g n = 7 2 n, n N) egy mértani sorozat), h n = )n, n n N ). Vegye fel az első 4-7 tagot és ábrázolja ezeket egy egyenesen. Különböző ábrákon.) 4

15 Megjegyzés: Megegyezés szerint tekintsük 0-t természetes számnak: N := {0,, 2, 3,...}. Ahhoz, hogy a definíciókat leegyszerűsítsük, megengedjük, hogy a sorozat első indexe tetszőleges természetes szám legyen. Ha nem 0-val kezdődik a sorozat, azt külön jelöljük, pl. n N := {, 2, 3,...} esetén az n = -el indul a sorozat. A sorrend fontos. A {, 2, 3, 4, 5,...} sorozat különbözik a {2,, 4, 3, 6, 5,...} sorozattól. A sorozatokat megadhatjuk - általános tagjának megadásával, szabállyal a n = n or a n n = ) n+ vagy - a sorozat néhány elemének felsorolásávaal: {0,, 2, 3,..., n,...} or {,,,,...} n vagy - rekurzív módon, megadva a kezdő tagot vagy kezdő tagokat, majd pedig egy szabályt, ami alapján bármelyik tag kiszámítható az őt megelőző tagból néhány tagból). Ezt a szabályt rekurziós formulának nevezzük.) Két módon szoktuk ábrázolni garafikusan. Az első mód az, hogy a sorozat első néhány értékét felrajzoljuk a valós számegyenesre. A második mód a sorozatot ábrázoló függvény grafikonja. A függvény értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, így a gráf izolált pontokból áll a síkon:, a ), 2, a 2 ), 3, a 3 ),.... A vízszintes tengelyen felvesszük az n-edik tag indexét, a függőleges tengelyen pedig az értékét, a n -et Konvergencia Néha a sorozat tagjai egy jól meghatározott értékhez közelítenek, amint az n index növekszik. Ez a helyzet az {,,,...,,...}, sorozattal is, melynek tagjai egyre közelebb és közelebb kerülnek a 0-hoz, amint n egyre nagyobb 2 3 n lesz. Vizsgáljuk az x n = n, n N ) sorozatot, vegyük fel az első néhány értékét a valós számegyenesen. Vegyük észre, hogy a sorozat értékei "minden határon túl" közelednek a 0-hoz. Ekkor azt mondjuk, hogy a sorozat határértéke 0. Ezt matematikailag úgy fejezhetjük ki, hogy akármilyen kicsi környezetét is adjuk meg a 0-nak, egy bizonyos tagtól kezdve a sorozatnak minden tagja benne lesz a tekintett környezetben. Ennek a tagnak a sorszámát küszöbindexnek nevezzük, és N-el jelöljük.) Ez egyenértékű azzal, hogy a 0 szám bármely K ε 0) környezetén kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van. Emlékezzünk vissza arra, hogy a n pontosan akkor esik az α szám ε sugarú környezetébe a n K ε α)), ha

16 6 az α-tól mért távolsága kisebb, mint ε, azaz a n α < ε. Az alábbi definícióban megadjuk annak a matematikai leírását, amikor egy sorozat konvergál/tart egy határértékhez. Ha a sorozat indexe elegendően nagy, például az n index nagyobb, mint valamely N érték, akkor az a n és az α szám közötti távolság tetszőlegesen kicsivé válik, azaz kisebbé válik, mint valamely előre kiválasztott ε > 0 szám. A sorozat a n tagja tehát tetszőlegesen közel van az α- hoz minden elegendően nagy n esetén. Másként fogalmazva, az a n -ek megközelítik α-t, amint n megközelíti a végtelent Definíció. Az a n, n N) sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan α R szám, hogy tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyan N N, hogy a n α < ε teljesül minden n N esetén. Jelölés: a n = α vagy egyszerűen csak így: a n α amint n. Állítás: Az a n, n N) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha van olyan α R szám, hogy ennek bármely környezetén kívül a sorozatnak legfeljebb véges sok tagja van Tétel. Ha a sorozat konvergens, akkor α egyértelmű. Tehát, ha L és L 2 olyan számok, hogy a n L és a n L 2, akkor L = L 2..Bizonyítás: Tegyük fel, hogy α nem egyértelmű és létezik egy β > α szám is, úgy, hogy tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyan N N, hogy a n α < ε teljesül minden n N esetén, továbbá létezik olyan N 2 N, hogy a n β < ε teljesül minden n N 2 esetén. Legyen ε := β α 2, és N := max{n, N 2 }. Ekkor a háromszög-egyenlőtlenséget alkalmazva kapjuk, hogy β α = β x N + x N α β x N + x N α < ε + ε = β α, azaz β α < β α, ami ellentmondás, tehát az indirekt feltétel nem igaz. 2.Bizonyítás: Tegyük fel, hogy α nem egyértelmű és létezik egy β > α szám is a kívánt tulajdonsággal, s legyen ε := β α 2. Ekkor a K εα) környezeten kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van, tehát a K ε β) környezetbe csak véges sok eshet. De ugyanez igaz a K ε β) környezetre is, ellentmondás. Az előbbi tétel alapján tehát van értelme az alábbi definíciónak.

17 Definíció. Ha a n, n N) konvergens sorozat, akkor a definíció alapján létező egyetlen α számot a sorozat határértékének nevezzük. Néhány sorozat nem konvergál, például az a n = ) n, n N) sorozat értékei oda-vissza ugrándoznak a - és között, de sohasem tartanak egy konkrét értékhez Definíció. A sorozatot divergensnek nevezzük, ha nem konvergens. A b n = 2n, n N) sorozat is divergál, de más okból. Amint n növekszik, úgy a sorozat tagjai nagyobbak lesznek mint bármely rögzített szám. Ezt úgy írjuk le, hogy b n =. Azt mondjuk, hogy b n = ha b n tetszőlegesen naggyá válik minden elegendően nagy n indexre. Másképp mondva, a b n -ek értékei minden határon túl növekednek, amint n tart a végtelenbe. Hasonlóan, azt mondjuk, hogy a n = ha a n tetszőlegesen nagy abszolút értékű negatív számmá válik minden elegendően nagy n indexre. Ekkor az a n -ek értékei minden határon túl csökkenő negatív számok, amint n tart a végtelenbe Definíció. Azt mondjuk, hogy a sorozat tart a + -be, ha bármely M R-hez létezik N N, úgy, hogy bármely n N esetén a n M teljesül. Jelölés: a n = +. Azt mondjuk, hogy a sorozat -hez tart, ha bármely M R-hez létezik N N, úgy, hogy bármely n N esetén a n M teljesül. Jelölés: a n = Példa. Divergens sorozatok között megkülönböztetünk ± -be tartó sorozatokat például a n = 2n +, n N),b n = n 7, n N)), és sehova sem tartó sorozatokat például c n = ) n, n N), d = {2, 4, 0, 6, 8, 0,...}, e = {,, 2, 2, 3, 3, 4, 4,...}) Tétel = 0). Ha a n = +, akkor a n = 0. Bizonyítás: Legyen ε > 0 tetszőleges kis) szám. Ekkor a feltétel miatt az M = ε nagy) számhoz létezik olyan N N küszöbindex, hogy a n > M > 0, ha n N. Ekkor a n < M esetén. = ε minden n N esetén, vagyis a n 0 < ε minden n N

18 2.4. Példa. Ha a n = 2n +, b n = n 2, c n = n, d n = 2 n, akkor teljesül a feltétel, ezért 2n+ = 0, n 2 = 0, n = 0, és = 0. 2 n 2.8. Tétel Sorozatok határértékére vonatkozó műveleti szabályok). Határátmeneti szabályok) Legyenek a n, n N) és b n, n N) konvergens sorozatok, és λ R. Ekkor az a n +b n, n N), λa n, n N), a n b n, n N) sorozatok is, illetve a b n 0 n N) és b n 0 esetén az an b n, n N) sorozat is konvergens, és a) a n + b n ) = a n + b n ; b) λa n = λ a n ; c) a n b n = a n b n ; a n d) = a n. b n b n Bizonyítás: a) Adott ε > 0 mellett léteznek olyan α, β R valós számok és N, N 2 egész számok, hogy 8 n N esetén a n α < ε 2 n N 2 esetén b n β < ε 2. Ha N := max{n, N 2 }, akkor n N maga után vonja, hogy a n + b n ) α + β) a n α + b n β < ε. Ebből következik, hogy a n + b n ) = a n + b n. A b) bizonyítása egyszerű. c) A következő azonosságot használjuk: a n b n αβ = a n b n a n β + a n β αβ = a n b n β) + a n α)β. Mivel az a n, n N) sorozat konvergens, ezért korlátos, így létezik olyan M R szám, hogy a n M bármely n N esetén. A sorozatok konvergenciáját felhasználva adott ε > 0 mellett léteznek olyan α, β R valós számok és N, N 2 egész számok, hogy n N esetén a n α < ε 2 β és n N 2 esetén b n β < ε 2M teljesül.

19 9 Ha N := max{n, N 2 }, akkor n N maga után vonja, hogy a n b n ) αβ) a n b n β + a n α β < M ε 2M + ε β = ε. 2 β Ebből következik, hogy a n b n ) = a n b n. d) Fel fogjuk használni az alábbi átalakítást: a n α b n β = a n α + α αb n = b n βb n = a n α + αβ αb n = a n α) + α β b n ). b n βb n βb n b n β b n A feltétel alapján b n 0, tehát létezik M R valósszám úgy, hogy b n 0 > M minden n N esetén teljesül, azaz b n < n N). M A konvergenciára vonatkozó feltételek miatt létezik α R, hogy tetszőleges ε > 0 számra az εm -höz létezik N 2 N küszöbindex, melyre a n α < εm n 2 N ) teljesül. Továbbá létezik β R, hogy tetszőleges ε > 0 számra az εmβ -hoz 2α létezik N 2 N küszöbindex, hogy b n β < εmβ n N 2α 2). Most a n b n α β = b n a n α + α β b n β b n < ε Tétel. Érvényes a fenti tétel akkor is, ha a n = és/vagy b n =, amennyiben a művelet értelmezett. Értelmezettek a következő műveletek: + = + ; = ; + + a = + ; + a = ; a R) +, ha α > 0, ha α > 0 α+ ) = α ) =, ha α < 0, +, ha α < 0, = + ; + ) ) =. Nem értelmezettek a " ", " ", "0 ", " 0", " ", 0 0 és a "0 0 " műveletek, ezen "határozatlansági estekben" megfelelő átalakításokat végzünk, amelyekkel visszavezetjük a határérték kiszámítását úgynevezett értelmezett műveletekre. Ezeket a módszereket a következő feladatcsoportoknál részletesen bemutatjuk Tétel. * Legyenek a n, n N) és b n, n N) konvergens sorozatok, a n = A, b n = B, és k R +, α R, β R +, c R + \ {}. Ekkor az

20 a α n, n N), β an, n N), k a n, n N), a bn n, n N) és az log c a n, n N) sorozatok is konvergensek és aα n = A α ; βan = β A ; k an = k A; abn n = A B ; log c a n = log c A. Néhány alapvető határérték könnyen kiszámítható és ezekből műveletek alkalmazásávl újabb sorozatok alkothatóak. Az így keletkező sorozatokra alkalmazzuk a 2.8 Tételt és az alábbi alaphatárértékeket. A leggyakrabban alkalmazott szabályok az alábbiak: Alaphatárértékek: a) c = c; b) n = 0, k c) q n = c R konstans) nk = + k > 0); 0, ha < q <, ha q = +, ha q >, illetve ha q akkor q n nem létezik; d) + n = e; n) n ha a n =, akkor e) n n = ; ) n = e ; + a n ) an = e és n a = a > 0, n > 0); a n f) n! g) n k n k h) n! = 0 a R); = 0 k R, a > ); an i) n! n n = 0. = 0 k R); a n ) an = e ; 20

21 2.. Tétel Rendőr-szabály). Legyenek a n, n N), b n, n N) és c n, n N) valós számsorozatok, melyekre a n b n c n teljesül valamely N indexnél nagyobb n-ekre. Ha a n, n N) és c n, n N) konvergens és határértékük azonos, akkor b n, n N) is konvergens és b n = a n = c n. A rendőr szabályt nevezik még közrefogási elvnek vagy fogó tételnek is. A rendőr-elvbeli megfogalmazás, hogy az egyenlőtlenségnek csak valamely N indexnél nagyobb n-ekre kell teljesülni, azt jelenti, hogy a tétel igaz, ha a a n b n c n egyenlőtlenség csak véges sok n-re nem teljesül. Azaz, elegendő, ha az egyenlőtlenség igaz minden elegendően nagy indexre, és a határértéket nem változtatja meg ha az első véges sok tagra nem teljesül.) 2.2. Következmény. Ha b n c n és c n = 0, akkor c n = 0. Bizonyítás: Ez az állítás egy egyszerű következménye a b n c n -el ekvivalens egyenlőtlenségnek,azaz c n b n c n és a rendőr-elvnek Példa. sin n n 2.6. Feladat. Számítsa ki: = 0, mert sin n n és n n ) n n cos n n 2 2 n 0 as n Feladat. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét: ) a) n, n d) 2 + ) 3 n ) ) 5, n N 2 N n 2 ) 2 + ) b) n, n N n e) 2 3 +, n N n ) 3 ) 4 c) 2, n N n f) n 3 7 +, n N. 2 n Megoldás: Az a), b) és c) pontokban felhasználjuk, hogy egy végtelenbe divergáló sorozat tagjainak reciprokából képzett sorozat nullához konvergál 5.Tétel), a d), e) és f) pontokban pedig a sorozatok határértékére vonatkozó műveleti szabályok, az úgynevezett határatmeneti szabályok alkalmazásával 6.Tétel): d) 30; e) 2 3 ; f)

22 Feladat. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét: a) 2n 2 + 3n + ) = b) 2n 2 3n + ) = c) 2n 2 3n + ) = d) 2 + 4n 3n 2 ) = e) 2n 5 3n 7 + 2) =. Megoldások: a) 2n 2 + 3n + ) = +, itt a "+ + = + " műveletet végeztük el. el. b) 2n 2 3n + ) =, itt a " = " műveletet végeztük c) A " " határozatlanság miatt alkalmas átalakításokkal a sorozatok határértékeire vonatkozó értelmes műveletekre vezetjük vissza. Ez esetben ki kell emelnünk a legmagasabb fokszámú tagot, és így a következőt kapjuk: 2n2 3n + ) = n ) = + 2 = +. n n 2 d), e) Feladat. Elvégezve a megfelelő átalakításokat, számítsuk ki az alábbi határértékeket: a) n + n = 2n b) = n c) n 2 + 3n + 2n 2 = d) 2n 2 + 3n 2 + 5n = e) 5n 4 3n + 2 2n 4 + n 2 + = f) n + 2n 2 + = g) 2n 5 + 6n 4 + n 3 n = h) 2n 6 + 3n 3 + n 5 n 4 + Megoldások: a) Mind a számlálóban, mind a nevezőben levő kifejezés a + be tart, ami az ún. " " határozatlansági esetet eredményezi. Ez esetben az általános eljárás, amellyel a sorozatok határértékére vonatkozó ún. értelmes műveletekre jutunk az, hogy mind a számlálóból, mind pedig a nevezőből kiemeljük az n nevezőben található legnagyobb hatványát, hogy egyszerűsítéssel eltüntessük a " " határozatlanságot, s így a következőt kapjuk: + n =. n+ n = n+ n ) = n =

23 b) Hasonlóan, a számlálóban és nevezőben is n-et kiemelve majd egyszerűsítve 2n kapjuk, hogy = 2. n n 2 + 3n + n c) = + ) + 3 n n 2 = + n n 2 = 2n 2 n d) 2; e) 5 ; f) 0; g) + ; h) A folytonos függvény fogalmával még nem foglalkoztunk, tehát a következő tételt csak a 4. fejezet után tekinthetjük Tétel Folytonos függvény-tétel sorozatokra). * Legyen a n egy valós számsorozat. Ha a n L és f az L pontban folytonos függvény, mely minden a n pontban értelmezett, akkor fa n ) fl) Definíció. * Egy a n, n N) sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezünk, ha bármely ε > 0 esetén létezik olyan N N úgynevezett küszöbindex, hogy minden n, m N esetén a n a m < ε teljesül Tétel. *[Cauchy-kritérium] Egy valós számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat Sorozatok monotonitása és korlátossága 2.6. Definíció. Azt mondjuk, hogy az a n, n N) sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K R szám, hogy a n K bármely n N esetén teljesül. Az erre alkalmas K számokat a sorozat felső korlátainak nevezzük.) alulról korlátos, ha van olyan k R szám, hogy a n k bármely n N esetén teljesül. Az erre alkalmas k számokat a sorozat alsó korlátainak nevezzük.) A sorozat korlátos, ha alulról is, felülről is korlátos.ha ez nem teljesül, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat nem korlátos. Megjegyzés: A fenti definíció ekvivalens a következő tömörebb) megfogalmazással: Az a n, n N) sorozat korlátos, ha létezik olyan K R + szám, hogy a n K bármely n N esetén teljesül Példa. Határozza meg az a n = 3n+, n n N ) sorozat korlátosságát.

24 24 Megoldás: A sorozat felülről korlátos, mert minden n N-re teljesül, hogy: 3n + n 4. Ennek belátásához szorozzuk a törtet a pozitív n-nel: 3n + 4n, rendezve: n adódik, mely minden n N esetén igaz. Hasonlóan belátható, hogy alulról is korlátos: 3n + 3 n N). n Mivel a sorozat alulról is, felülről is korlátos, ezért korlátos. 2.. Példa. Határozza meg az A b n = 2n +, n R) sorozat korlátosságát. A sorozat nem korlátos, mert minden K R + -nál létezik a sorozatnak nagyobb tagja. Tetszőlegesen választott K R + -hoz a N := [K] + jelöléssel b N = 2N + > K, a N-edik tag meghaladja K-t, így az nem lehet felső korlátja a sorozatnak. Mivel ez tetszőleges K-ra igaz, ezért a sorozat felülről nem korlátos.) 2.7. Definíció. Ha M egy felső korlátja az a n, n N) sorozatnak, de az M- nél kisebb számok közül egyik sem felső korlátja, akkor M a legkisebb felső korlátja a sorozatnak, melyet nevezünk a sorozat szuprémumának is. Jelölés: M = sup n a n. Hasonlóan értelmezhető a legnagyobb alsó korlát, azaz a sorozat infimuma, melyet m = inf n a n -el jelölünk. Jegyezzük meg, hogy ha az m szám alsó korlátja a sorozatnak, akkor bármely, az m-nél kisebb szám is alsó korlátja. Egy alulról korlátos sorozatnak végtelen sok alsó korlátja van. Ahhoz, hogy belássuk a korlátosságot, elegendő egyetlen alsó korlátot találni, és nem szükséges a legnagyobb alsó korlátot megtalálni Definíció. Azt mondjuk, hogy az a n, n N) sorozat monoton növekvő, ha a n a n+ n N) teljesül. monoton csökkenő vagy fogyó, ha a n a n+ n N). szigorúan monoton növekvő, ha a n < a n+ n N).

25 25 szigorúan monoton csökkenő, ha a n > a n+ n N). monoton, ha növekvő, csökkenő, szigorúan növekvő, vagy szigorúan csökkenő. Az alábbi észrevétel egy módszert ad a monotonitás vizsgálatára: a n a n+ n N) a n+ a n 0 minden n N estén, míg a n a n+ n N) a n+ a n 0 minden n N Tehát a monotonitás vizsgálata az a n+ a n előjelvizsgálatával zajlik: ha az a n+ a n 0 minden n-re, akkor a sorozat monoton növekvő, míg az a n+ a n 0 n N) esetén pedig monoton csökkenő, ha az a n+ a n növekvő, míg > 0 minden n-re, akkor a sorozat szigorúan monoton az a n+ a n < 0 n N) esetén pedig szigorúan monoton csökkenő. *A pozitív tagú sorozatok a n > 0 n N)) esetén a monotonitás-vizsgálatot végezhetjük az an a n+ tört -hez való viszonyításával is. Ha an a n+ bármely n N esetén teljesül, akkor monoton növekvő sorozatról van szó, ha pedig an a n+ bármely n N esetén teljesül, akkor monoton csökkenő sorozatról beszélünk.) 2.9. Állítás. Monoton növekvő sorozat estén a sorozat első tagja a sorozatnak egy alsó korlátja, míg monoton csökkenő sorozat estén egy felső korlátot ad meg az első tag Példa. Vizsgálja meg az alábbi sorozatok monotonitását: a n = n, n N ), b n = )n n, n N ). Megoldás: a)a n+ a n = = n n+) =, ami minden n N n+ n nn+) nn+) esetén negatív, tehát a sorozat szigorúan monoton csökkenő b) b n+ b n = )n+ )n = )n 2n ), ami váltakozva negatív és pozitív n+ n nn+) értékeket is felvesz, tehát a sorozat nem monoton.

26 2.20. Tétel A konvergencia szükséges feltétele). Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos is. Bizonyítás: Legyen a n, n N) egy konvergens sorozat. Ekkor létezik egy véges α = a n. Az ε = -re létezik olyan N N, hogy bármely n N esetén a n α <. Ekkor minden n N-re teljesül a háromszög-egyenlőtlenség miatt, hogy a n = a n α + α a n α + α < + α. Legyen M := max{ a 0, a,..., a N, + α } > 0. Ekkor tehát a sorozat korlátos. Megjegyzés: a n M minden n N esetén, A tétel megfordítása nem igaz: Nem minden korlátos sorozat konvergens. pl. a n = ) n, n N)) korlátos, de nem konvergens, ezért a korlátosság a konvergencia szükséges, de nem elégséges feltétele. 26 Egy növekvő és felülről korlátos sorozatnak mindig van egy legkisebb felső korlátja. Ez a valós számok halmazának tejességi axiómája). Igaz továbbá: 2.2. Tétel A növekvő sorozatok tétele). Egy növekvő sorozat akkor és csak akkor konvergál, ha felülről korlátos. Ha egy növekvő sorozat konvergál, akkor a legkisebb felső korláthoz tart. Ha viszont felülről nem korlátos, akkor a végtelenbe divergál. Hasonló eredmény áll fenn csökkenő sorozatokra. Egy csökkenő és alulról korlátos sorozat konvergál a legnagyobb alsó korláthoz. Egy alulról nemkorlátos, csökkenő sorozat divergál Tétel A csökkenő sorozatok tétele). Egy csökkenő sorozat akkor és csak akkor konvergál, ha alulról korlátos. Ha egy csökkenő sorozat konvergál, akkor határértéke a legnagyobb alsó korlát. Ha viszont alulról nem korlátos, akkor a minusz végtelenbe divergál. Ezeket az állításokat egyben is megfogalmazhatjuk Tétel Monoton sorozatok konvergenciatétele). Ha az a n, n N) sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.

27 27 Bizonyítás: Tekintsünk egy monoton növekvő sorozatot: az a n, n N)-et, mely felülről korlátos. Legyen a legkisebb felső korlátja α R. Mivel α felső korlát, ezért a n α a sorozat minden n N tagjára. Másrészt, mivel a legkisebb ilyen, ezért minden ε > 0 számra α ε nem felső korlát, tehát létezik egy nála nagyobb tagja: a N > α ε. Mivel a sorozat monoton növő, ezért minden n N esetén a n > α ε. Azt kaptuk tehát, hogy bármely ε > 0 esetén létezik olyan N N, hogy minden n N számra fennáll: α ε < a n α, ami azt jelenti, hogy a n K ε α), tehát a sorozat konvergens. Monoton csökkenő sorozatra hasonlóan járunk el. Ha tehát a sorozat korlátos és monoton, akkor konvergens. Óvatosság szükséges, ne értse félre a tételt. Azt nem mondja ki, hogy ha nem monoton, akkor divergens.ez nem is igaz) A Feladat 2.2 sorozata egy jó ellenpélda erre: az a sorozat nem monoton, de konvergens Feladat. Vizsgáljuk az alábbi sorozatok korlátosságát és monotonitását! a) a n = n n, n N b) b n = 2n + 3, n N n c) c n = n 8 4n, n N d) d n = 2n + 4 3n, n N e) e n = 2n n 2 +, n N f) f n = 2n2 + n 2 + 2, n N g) j n = )n n, n N. Megoldások: a) a n+ a n = n n + n = n nn + ) > 0 n N ), tehát a sorozat szigorúan monoton növekvő. A 0 n < n N ) egyenlőtlenség n miatt a sorozat alulról és felülről is korlátos, alsó korlátnak megfelel az a = 0, de bármely ennél kisebb szám is, felső korlát pl. az, hiszen n < mivel az n n < n igaz minden n -re. A b) és d) szig.mon csökkenő, a c) pedig szig. mon növekvő. 2n + 2 e) Mivel e n+ e n = n + ) 2 + 2n n 2 + = 2n 2 2n + 2 n 2 + 2n + 2)n 2 + ) < 0 n N ), szigorúan monoton csökkenő sorozatot kaptunk, melynek felső korlátja az első tagja, e =, alsó korlátja is van: pl. a 0, hiszen ha a számláló is, a nevező is pozitív, akkor az e n = 2n > 0. A sorozat tehát korlátos. n 2 +

28 f) A sorozat szigorúan monoton növekvő. Alsó korlátja: f 0 =, felső korlát 2 pl. 2, mert ha vizsgáljuk az f n = 2n2 + < 2 egyenlőtlenség igaz voltát, látjuk, n hogy a 2n 2 + < 2n 2 + 2) igaz, emiatt feltevésünk valóban teljesül. Tehát korlátos sorozatról beszélünk. g) A sorozat nem monoton, de korlátos: j n 2 n N ) Feladat. Alkalmazva a monoton sorozatok konvergenciatételét igazoljuk, hogy a következő sorozatok konvergensek: a) a n = 2n + 3, n N b) b n = n 8 n 4n, n N c) c n = 2n + 4 3n, n N. Útmutatás: Az a) és c)-beli sorozat monoton csökkenő, a b)-ben szereplő pedig monoton növekvő, s mindegyik korlátos, következésképpen konvergens Részsorozatok Ha egy sorozat tagjai megjelennek egy másik sorozatban a maguk sorrendjében, akkor az előbbi sorozatot az utóbbi sorozat egy részsorozatának nevezzük Definíció. Ha k : N N szigorúan monoton növekvő sorozat, akkor az a kn, n N) sorozat az a n, n N) sorozat egy részsorozata Példa. Az x n =, n n N ) sorozatnak az y n =, n 2n N ), z n =, n N ), t n 2 n =, n N) sorozatok részsorozatai. Itt a k : N N függvény 2 n rendre a kn) = 2n, kn) = n 2, kn) = 2 n volt.) Tétel. Konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens, és határértéke az eredeti sorozat határértékével egyenlő Következmény. Ha valamely sorozat rendelkezik két olyan részsorozattal, melyek határértéke különbözik, akkor a sorozat divergens Tétel Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel*). Minden korlátos valós számsorozatnak létezik konvergens részsorozata.

29 2.6. Feladat. Az alábbi sorozatok közül melyek az n, n N ) sorozat részsorozatai? a) b), 2, 3, 4,... ) 2, 4, ) 6,... c) 2,, 4, 3, 6, ) 5,... d),, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 4, 5 ), Feladat. Igazoljuk, hogy a ) n, n N) sorozat divergens. Útmutatás: A páros és páraatlan tagokból álló részsorozatok, a 2n, n N) és a 2n+, n N) különböző határértékkel rendelkeznek, ezért az eredeti sorozat divergens Határértékszámítási gyakorlatok, feladatok sorozatokkal Feladat* A határérték ε-os értelmezését felhasználva bizonyítsuk be, hogy ) a) = 3 b) n 2n 3n + = 2 3 c) 4n + 3n 2 = 4 3 d) 2n 4n = 2 e) n = 0 2n 2 + f) = n + + n 2 g) = + n és minden esetben az ε = 0, 0-re adjuk meg a megfelelő küszöbszámot. Megoldás: a) Legyen ε > 0 tetszőleges. A definíció alapján be kell látnunk, hogy létezik olyan N természetes szám küszöbindex), hogy bármely N-nél nagyobb indexű tagra a n 3 < ε. Keressünk tehát egy olyan küszöbindexet, melynél nagyobb indexű tagokra fennáll, hogy: n 3 < ε. Az N küszöbindex keresése a gyakorlatban úgy történik, hogy a fenti egyenlőtlenséget megoldjuk n-re nézve. A fenti egyenlőtlenség ekvivalens a következőkkel: 2 n < ε n > 2 ε,

30 tehát létezik olyan N N küszöbindex N =. [ 2 ] + ), hogy a sorozat N-edik ε tagjától kezdve minden tagja ε-nál kisebb távolságra van a 3-tól. Pl. ε = 0, 0- re N = 20, azaz a sorozat tagjai a 20-ik tagtól kezdve a 3-nak 0, 0 sugarú környezetében vannak. b) Legyen ε > 0 tetszőleges. A definíció alapján keresendő egy olyan N természetes szám, az ún. küszöbindex, hogy bármely n N-re a n 2 < ε, azaz 3 2n bármely n N-re 3n + 2 < ε. 3 A fenti egyenlőtlenséget a következő ekvivalens formákba írjuk át: 2 33n + ) < ε 2 33n + ) < ε 9n + 3 > 2 ε 2 ε n > 3. 9 [ 2 ] ε Tehát ha N = 3 +, és n N, akkor teljesül, hogy an < ε, így létezik olyan N küszöbindex, hogy a sorozat N-edik tagjától kezdve minden tagja ε-nál kisebb távolságra van a 2-tól. Ezért a sorozat konvergens és tart a 2 -hoz. Pl. 3 3 ε = 0, 0-re N = 22, azaz a sorozat tagjai a 22. tagtól kezdve legfeljebb 0, 0 távolságra lehetnek a 2-tól. 3 c) N = ε + 6 +, d) N = [ ] [ ] 4ε +, e) N = ε 9 2 +, ami az ε = 0, 0-re N = 0. f) Azt a tényt, hogy a sorozat -hez tart, a definíció alapján látjuk be: igazoljuk, hogy minden M R-hez létezik N N, úgy, hogy bármely N-nél nagyobb indexű tagra a n < M. Legyen M R tetszőleges. Itt M tetszőlegesen kicsi negatív szám lehet, pl ) 2n 2 + < M n + A fenti egyenlőtlenség ekvivalens az alábbiakkal: 2n 2 Mn + M < 0 n + 2n 2 Mn + M < 0. 30

31 A 2n 2 Mn + M = 0 egyenlet gyökei n,2 = M± M 2 +8 M). Mivel a 4 másodfokú kifejezés előjele gyökökön kívül megegyezik az n 2 -es tag előjelével, ezért 2n 2 Mn + M < 0, ha Figyelembe véve, hogy n N, ezért n, n ] [n 2, + ). n > M M M) M < 0 esetén), tehát 4 [ M M 2 ] + 8 M) N = +. 4 Például M = 00 választással kapjuk, hogy az N = 5. tagtól kezdve a sorozat értékei 00-nál kisebbek. g) Azt, hogy a sorozat + -hez tart, a definíció alapján úgy látjuk be, hogy megmutatjuk, hogy minden M R-hez létezik N N úgy, hogy bármely N-nél nagyobb indexű tagra a n > M. A c) ] pontban látottakhoz hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy N = +. [ M+ M Feladat* Igazoljuk, hogy az alábbi sorozatok divergensek: a) ) n, n N) b) n ), n N Útmutatás: a) A páros és páratlan tagokból álló részsorozatok a 2n, n N) és a 2n+, n N)) határértéke különbözik, tehát a sorozatok divergensek. b) a 2n a n = > = n =, így az n+ n+2 2n 2n 2n 2n 2n 2 a 2n a n > miatt nem teljesül a Cauchy-kritérium, tehát a sorozat divergens. 2

32 Feladat. Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! ) a) 2 + 0, n 05)n 3, n N ) n ) 2 h) a b) 5 ), n N n = 5 3n + 7 n n + 2, n N n c) 2 + ) ) n ) i) a, n N n = 2n n n 3 n n + 7 5, n N n n 2 j) a n = 2 3n + 5 n 4 7 n + 2, n N n d) 5 3 n n + 2) = e) 2 3 n 7 n ) = f) 2 n 2 3 n n ) = g) 3 n n 7 5 n ) = k) a n = 2 3n + 7 n 4 5 n + 2 n, n N l) a n = 2 3n 7 n 4 7 n + 2 n, n N Megoldások: a) Mivel az és a 0, 05 számok abszolút értéke -nél kisebb, ezért 2 ) n n-edik hatványuk a 0-hoz tart, s így + 0, 05) n 3 = 2 n 2) + ) 0, 05) n 3 = 3. b) A 2 < miatt 2 ) n 3 3 = 0, s így 5 2 n ) 3) = 5. c) 2 0 = 0. d)+ + = + e) Most a " " határozatlanságot úgy szüntetjük meg, hogy kiemeljük a legnagyobb alapú tagot: 2 3 n 7 n ) = 7 n 3 n ) 2 7) = ) =. f) +, g) h) A " " határozatlanságot látva mind a számlálóban, mind a nevezőben kiemeljük a nevező legnagyobb alapú tagját, hogy egyszerűsítéssel eltüntessük a " " határozatlanságot: 2 7 < teljesül. 5 3 n + 7 n 2 7 n + 2 n = 5 3 n 7) ) 2 n =, hiszen 3 < és i) A számlálót is, nevezőt is 5 n -el osztva, a következőt kapjuk: 2 n n n 2 ) n 3 n n = ) n n 3 ) n n = 5) j) 2 3 n +5 n 4 7 n +2 n = 2 3 7) n + 5 7) n ) n = 0 4 = 0. k) 2 3 n +7 n 4 5 n +2 n = 2 3 5) n + 7 5) n ) n = + 4 = +. l) 4.

33 Feladat. Számítsuk ki! a) 2 n + 3 n + 4 n ) b) 2 n 3 n 5 n ) 2 n + 3 n c) 4 n + 5 n d) 2 n + 5 n 3 n+ + 5 n+ e) 2 n + 3 n + 5 n 3 n + 5 n 2 n + 3 n f) 3 n + 4 n g) 2 3 n + 5 n 5 n 2 n h) 2 5 n 3 2 n 4 3 n 5 2 n i) 3 4 n 5 n+ 2 n 4 3 n Eredmények: a) +, b), c) 0, d), e) 5, f) 0, g), h) +, i) Feladat. A sorozatok határértékeivel végzett műveleti szabályokat alkalmazva számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! a) 2 + ) ) 3, n N n ) n b) 2 n n + ), n N 2n ) 4 + c), n N) 3 n ) 5 32n2 + d) n 2 7, n 3 e) a n = 2 3n 2 n+ n 2 +3, n N f) a n = lg 0n3 n 3 +, n N 2n2 + g) a n = 8n 2 + 3, n N ) π 2n h) a n =, n N n + i) a n = 5 n 2, n N j) a n = 7 n 3, n N Megoldások: a) n) = 2 3 = 8. b) Gondoljunk a határérték és a műveletek kapcsolatára: n 2 n n + ) = 2n + c) 5 d) 3 n 32n 2 + n n ) 4 = 0. = 3n 2 n + e) Mivel a n n 2 n+ n 2 +3 = 2 3 = 8. n n + ) = 0 = n 2 7 n 2 = 5 32 = 2. = 3 határérték létezik és véges, ezért 2 3n 2 n+ n 2 +3 =

34 0n 3 f) Mivel a = 0 határérték létezik és véges, ezért n 3 + lg 0n3 n 3 + = lg 0n 3 ) = lg 0 =. n 3 + g) ; h) 2 2π ; i) 5 n 2 = 5n = +. j) 7 n 3 = 3 = = 0. 7 n 2.2. Feladat. Számítsuk ki a következő sorozatok határértékét! a) a n = n + 2 n, n N b) a n = n 2 + n + n 2, n c) a n = n n + n), n N d) a n = n 2 + 2n + 3 n, n N e) a n = n n2 + n), n Megoldás: a) A típusú határozatlanság azon esetében, amikor a b határértékét keressük, a a+ b-vel, az ún. konjugálttal való bővítéssel vezetjük vissza értelmezett műveletekre. Így tehát a a b) a+ b) = a b azonosság miatt a számlálóban eltűnik a gyökös kifejezés, a nevezőben keletkező a + b már + = + határértékű lesz. 34 n ) n + 2 n) n n) + 2 n = n n) n + 2 n 2 = = 0. n n n n = b) Hasonlóan, a konjugálttal való bővítéssel: n2 + n + n n 2 ) 2 + n + n 2 ) = n2 + n + + n 2 = n + 2 = n2 + n + + n 2 = = + n + n n = n 2. 2 n + 2 ) n n n n 2 n 2 ) =

35 35 n + n c) n n + n) = n = n + + n n = ) = = n n + 2. n d) n2 + 2n + 3 n ) n2 = + 2n + 3 ) n 2 n 2 + 2n + 3 n 2 = n2 + 2n n = 2 = n n n 2 e) = = =. n n 2 + n) = n2 + + n 2 nn2 + n 2 ) = n n + n + n) n n2 + 3 ) n n n n 2 ) = n2 + + n n n2 + n) n n) = n2 + + n 2 = n = n + + n) = +. n Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket! a) 3n2 + n + b) 9n n 2n 2 3 n ) c) n 2 + n 4 + 3n 2 + ) d) n 2 2n + ) e) 3n 2 n 2 + 2n 5 ) f) 3 2n n 3 2n ) g) 3 n n 2 2n 3 2 ) h) n 2 n 4 + ) = i) 3 n3 n 3 + ) 3 j) n2 3 n 3 + 3n + 5 ) k) n 2n2 + 3n + ) Megoldások: a) 3n2 + n + = n = + 3 = +. n n 2 b) 9n n 2n 2 3 n ) = n 2 9 n 2 3 n n) = + 2) =. c) n 2 + n 4 + 3n 2 + ) ) = n n + n = + 2 = A d) és e) pontokban hasonlóan kapjuk, hogy n 2 2n + ) = + és 3n 2 n 2 + 2n 5 ) = +. f) 2n 3 n 3 2n ) = n ) 3 n n = + 2 ) = +. 3

36 g) 3 n n 2 2n 3 2 ) = n 3 n ) 2 3 n n = 3 = + 3 2) =. h) n 2 n 4 + ) n4 n = 4 + ) n 4 + n 4 + ) n4 + = n 4 + n4 + n 4 + = 0. = i) 3 n3 n 3 + ) =. n 3 j) 3 n2 3 n 3 + 3n + 5 ) = = + ) =. k) n 2n2 + 3n + ) = n n 3 n 3 36 n + n 2 ) = + ) ) = n n n n 3 ) = n + n 2 ) = Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: vegyes feladatok) a) a n = n n, n N b) a n = 2n n 2 +, n N c) a n = 2n2 + n 2 + 2, n N g) a n = 2 ) n ) 3 0, 3) n, n N 2 h) a n = n 8 n 7 + n 4, n N i) a n = 3n 2 3n + 5, n N j) a n = 4n + 6 2n + 5, n N k) a n = n + 2 n 2 n), n N l) a n = 2n+ + 3 n 2 n + 3 n+, n N m) a n = 3n + 5 n+ 3 n+ + 5 n, n N d) a n = 2n5 3n 2 +, n N 4n e) a n = 2n n + 5 n2 + 2n + 3, n N ) n ) n 2 5 f) a n = + 3), n N 5 2 n) a n = 2n 3 n 2 +, n N o) a n = + 3n n 7, n N p) n + n n, n N q) n + 3 n 2 n, n N r) a n = lg 2n + 5 n + 4, n N n2 6n + 25 s), n N 3n + 2 Eredmények: a) b) 0 c) 2 d) e) 8 f) + g) + h) + i) 0 j) + k) 0 l) m) 5 n) + o) p) q) + r) lg 2 s), az e)-ben közös nevezőre hozással.

37 Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: vegyes feladatok) ) n ) n 3 a) n + 4 b) 4 [0, 3) n ] c) 3 7 ) n n 2 d) n 2 + 2n 3) e) n 2 2n + ) ) f) n2 + n + g) 2n 2 + 3n 2 4n 3n 2 + h) 3n 5n 2 + ) i) 2n 2 n 2 n + ) j) n n2 n + 2 ) Eredmények: a) 0, b) 4, c) 4, d) +, e) +, f) +, g) 2, h), 3 i) +, j) Feladat. Számítsuk ki az alábbi általános taggal rendelkező sorozatok határértékét! a) a n = n 45 b) a n = n 5, c) n 3n 2 d) n 5n 2 + 4n + 6 e) 6n 5n 3 + f) 2n 2n + 3 g) 2n 2n + 3 5n 4 h) n 2 n + 3 n i) n 8 3 n n n. Megoldások és útmutatások: Az a) és b) pontokban használva az n a = a > 0, n > 0) alaphatárértéket, kapjuk, hogy a keresett határérték. c) n 3n 2 = n 3 n n) 2. d) A sorozat elemeit alulról és felülről olyan sorozatokkal becsüljük, melyek határértéke megegyezik: < n 5n 2 < n 5n 2 + 4n + 6 < n 5n 2 + 4n 2 + 6n 2 = n 5n 2, így a rendőr-tétel értelmében a vizsgált sorozat határértéke is. e) Hasonlóan: < 6n 5n 3 + < n 5n 3 + < n 5n 3 + n 3 = n 6 n n) 3, így a rendőr-tétel értelmében a vizsgált sorozat határértéke is. Hasonlóan az f) és g) esetben lesz az eredmény. h) 3 = n 3 n < n 2 n + 3 n < n 3 n + 3 n = n 2 3 n = 3 n 2 3 = 3, így a rendőr tétel miatt n 2 n + 3 n = 3. i) 7 n 2 = n 2 7 n < n 8 3 n n n < n 8 7 n n n = 7 n 4 7, így a rendőr tétel miatt n 8 3 n n n = 7.

38 2.26. Feladat. A rendőr-elv alkalmazásával határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: Eredmények: a) ; b) ; c) 3. a) a n = n n + 3, n N ) b) a n = n 4n 9 + 5n + 204, n N ) c) a n = n 5 3 n n, n N ) Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: ) n n + a) ) n 4 n 3n 2 ) n h) n 3n + 5 b) ) n + n 2 5n 3 c) + ) n i) 5n + 3 2n ) ) 3 n 2n n + 3 j) + d) n + n + 5 ) 5n k) n ln + ) 2n + 2n e) 2n 3 f) + 2 ) n l) + n ) n 2 n g) ) n+ 2n + 3 2n + 5 m) + ) n 2 n Megoldások: Ha az alap az -hez tart, a kitevő pedig a + -hez, akkor az ún. " " típusú határozatlansági esettel van dolgunk. Ilyenkor mindig a következő alaphatárértékek valamelyikét használjuk:, vagy ezek általánosításait: a ) an a n =. e ) n = + n n) = e. e a n 38 + n n) = e ; n n) = ) = + esetén + an a n = e; s a) n+ n b) A sorozatok határértékeivel végzett műveleti szabályok között szereplő abn n n = a n ) bn n n+) = n+ n+ c) + 2n) n = + 2n d) n+3 2n n+5) = n+5 2 n+5 = 4 e) = e 4. alapján eljárva: ) n [ = n n+) = n+ ) 2n 2 = [ + 2n ) 2n = n+5 2 ) 2n ] 2 ) 2n = ) n+ ] n n+ = e 2 = e. [ n+5 2 ) n+5 2 = e. ] 2 n+5 2n =

39 39 e) e 0 f) e 2 g) e h) e ) 7 3 i) e 6 5 ) [ j) + 3 n n+ = + n+ 3 ) n+ ] 3 n+ n 3 = e 3. k) n ln + 2n) = ln n. + 2n) Felhasználva az ln függvény folytonosságát, a és ln felcserélhető, tehát a határérték = ln [ ) ] ln + 2n 2 2n l) + m) + n = lne 2 ) = 2. ) [ n ) ] n = + n 2 n = e 0 =. 2 n 2 ) n 2 [ = + n ] n n) = e + = n) n = Feladat. Számítsuk ki! a) + 7 ) n+ n b) 3 ) n n c) + ) n 2 n d) + ) 3n n e) + n ) n 2 f) + n n 2 + ) 2n n + g) n + 2 h) i) n 3 + n n + 2 3n + 5 ) n 3 ) 5n ) n+ Eredmények: a) e 7, b) e 3, c) e + = +, d) e 3, e) e 0 =, f) e, g) e 2, h) e 3, i) e Feladat. *Számítsuk ki az alábbi határértékeket: a) b) 3 2 n 2 + n c) 4 3 n d) ) n 2 2 n n + 2 4n ) ) + 2 ) n n 5 ) n e) f) g) 2n + n 2 n + 4 2n 2 2 n ) n+3 n ) 2n n+2 ) 2n+ 3n 2 Megoldások: a) ) n 2 2 n 3 = ) n 2 n 3 = ) n n = 0 = 0. b) A határérték és a műveletek kapcsolata miatt: 2 n = 6. ) ) 3+ 2 n + 2 n 5) =

40 n c) 4 3 = 2 4 = 2. n ) n n + 2 d) = 0, mert az alap egy -hez tartó sorozat, ezért a rendőrelv segítségével látható, hogy kisebb és nagyobb, mint egy -nél kisebb 4 4n alapú, tehát 0-hoz tartó sorozat. 0 < ) n n + 2 < 4n ) n n 2) 2 A fenti megoldás helyett követhetjük az alábbi módszert: a számlálóból n-et, a nevezőből pedig 4n-et kiemelve, ) n n + 2 n ) n + 2 n = 4n 4n = 0 e 2 e 4 = 0. 4n ) n ) n = 4 ) n + 2 n ) n [ ) ] 4n 4 4n e) 2n+ ) n+3 n = 2 = 2. n 2 f) Mivel az alap egy 0-hoz, a kitevő pedig 2-höz tartó sorozat, ezért n+4 ) 2n 2n 2 g) 2 n n+2 = 0 2 = 0. ) 2n+ 3n 2 ) 2 = n 6 = n Feladat. *Számítsuk ki az alábbi határértékeket: = a) b) c) d) 2n n + 3 3n 2 2n + n 2 3n + 2 n 2 3n + 5 3n 2 n + 3 n 2n + ) 3n 2 2n+ 2 5n ) n 3 n ) 2n 3 4n ) 2n 3 n 2 3n+4 e) n n n 5n n 3 ) 5n + 2 ) 2n 2 n n + f) 3n 2 ) 2n+4 n n g) 2n Eredmények: a) 2 = 0, b) = 3, c) 3 )0 =, d) 2 )+ = 0, e) =, f) + + = +, g) 2 ) 2 = Feladat. Adjuk meg az alábbi sorozatok határértékét! 3 n+ a) n + )! b) n! 5 n+3.

41 4 Megoldások: a) 3 n+ n+)! = 3n n! 3 n+ = 0 0 = 0. b) 5 n+3 n! = = 0.

42 3. fejezet Függvények határértéke A függvények határértékei lehetővé teszik, hogy megértsük a viselkedését. A függvény deriváltja, ami egy hányadosfüggvény határértéke, megadja egy görbéhez húzott érintő iránytangensét. A derivált, amit az 5. Fejezetben vizsgálunk, a függvényértékek változásának módját méri. Kísérleti biológusok például tudni szeretnék populációk növekedési rátáját ellenőrzött laboratoriumi feltételek mellett. 3.. Érintő egyenesek és változási sebességek - Motiváció Ebben a részben megvizsgálunk néhány feladatot, melyek a határérték vizsgálatára ösztönöznek és ezáltal meggyőző módon bevezetjük a határérték témakörét. Érintő egyenesek Az f függvényhez az x = a pontban húzott érintő egyenes alatt -intuitív módon- egy olyan egyenest értünk, mely a függvény gráfját éppen érinti azaz csak egy közös pontja van a függvény gráfjával: a vizsgált a pont) és "párhuzamos" a gráffal abban a pontban abban az értelemben, hogy mindkettő azonos irányba tart abban a pontban). Ennek az intuitív fogalomnak, hogy az érintő "érinti" a görbét létezik egy explicitebb, korrektebb megadása ha metsző húrok sorozatát tekintjük, melyek a függvény görbéjének két A és B pontján mennek keresztül. Az A pontban felvett érintő iránytangense az A-t közelítő B pontok esetén kapott határérték. Az érintő egyenes létezése és egyértelműsége egy fajta matematikai simasági tulajdonságtól függ, amit "differenciálhatóság"nak nevezünk és az 5. 42

43 Fejezetben fogjuk vizsgálni. Például, ha két körív találkozik egy csúcsban, akkor nincs egy egyértelműen meghatározható érintő a csúcsban, mert a metsző húrok sorozatának határértéke függ attól, hogy mely irányból közelíti a csúcsot a mozgó B pont. Példa: Írja fel az fx) = x 2 függvény x = pontbeli érintőegyenesének egyenletét! Ahhoz, hogy felírjuk az egyenes egyenletét, vagy két egyenesen fekvő pontra vagy egy egyenesre illeszkedő pontra és az egyenes meredekségére van szükségünk. Mivel egy érintő egyenest keresünk, ezért már van egy, az egyenesre illeszkedő pontunk. Az érintő egyenes és a függvény gráfja találkozik az x = -ben, tehát a P =, f)) =, ) pont az egyenesen van. Az érintő egyenes egyenletéhez még szükségünk van a meredekségére. Bost becssléssel adjuk meg ezt a meredekséget. Választunk egy másik pontot a függvény gráfján, legyen az Q x, fx )). húzzuk meg a metsző húrt, ami összeköti P -t és Q -et. Ennek meredeksége: m P Q = fx ) f). x Ez egy konkrét szám, például ha x = 0, akkor m P Q = 02 2 =. Amint a Q 0 egyre közelebb és közelebb mozdul P -hez, a P Q 2, P Q 3,... húrok egyre közelebb kerülnek az érintőhöz és és a közelítő meredekségek azaz a metsző húrok meredekségei) egyre inkább megközelítik a tényleges meredekséget azaz az érintő meredekségét). Ha az x-eket az jobboldaláról tekintjük és nagyon közel visszük az -hez, akkor az érintő meredeksége közelíti a 2-t. Hasonlóan, ha az x-eket az baloldaláról tekintjük és nagyon közel visszük az -hez, akkor az érintő meredeksége ismét nagyon megközelíti a 2-t. Tehát megbecsülhetjük az érintő meredekségét: 2. Ez csak egy megközelítés volt, de hamarosan képesek leszünk ezt ténylegesen kiszámolni. Jegyezzük meg, hogy olyasmivel foglalkoztunk, ami az x = -ben történik és mégsem tudtuk behelyettesíteni az x = -et a meredekség képletébe. Ennek ellenére meg tudtuk határozni azt az információt az x = -ben, melyet vizsgáltunk egyszerűen abból, hogy azzal foglalkoztunk, hogy mi történik az x = körül. Jegyezzük meg továbbá, hogy általában nem szabad feltennünk, hogy ami a pont egyik oldalán zajlik, az igaz lesz a másik oldalra is. Mindig tekintenünk kell a pont mindkét oldalát. 43

44 A közelítéses módszer tehát az f függvény x = a pontbeli érintőegyenesének meghatározására a következő. van az érintő-egyenesen. 44 Előszöris, tudjuk, hogy a P a, fa)) pont rajta Továbbá, tekintünk egy második pontot a függvény gráfján, legyen ez Qx, fx)) és számítsuk ki a P -t és Q-t összekötő egyenes meredekségét: fx) fa) m P Q =. x a Amikor az x azon érékeit tekintjük, melyek egyre közelítenek az a-hoz az a mindkét oldalán levő x-eket vizsgálva), az értékek ezen listája segítségével becsüljük az érintő meredekségét, m-et. Ekkor az a, fa)))-ra illeszkedő az érintő egyenes egyenlete: y = fa) + mx a). A változás sebessége, mértéke, a változási ráta Tekintsük az f függvényt, mely valamely mennyiséget képvisel jelöl), amint az x változik. Például az fx) jelölhet egy tartályban levő vízmennyiséget x perc eltelte után. Vagy fx) lehet egy autó által megtett távolság x óra eltelte után. Mindkét példában x időt jelölt, de x nem csak idő lehet. Meg fogjuk határozni, hogy milyen gyorsan változik f valamely x = a pontban. Ezt az f pillanatnyi változási sebességének vagy egyszerűen csak változási sebességnek nevezzük az x = a pontban. Becsléssel határozzuk meg a változás sebességét. Habár még nem tudjuk kiszámolni a pillanatnyi változási sebességet ebben a pontban, de meg tudjuk határozni az átlagos változást. Ahhoz, hogy megkapjuk f átlagos változási sebességét az a pontban, választunk egy másik pontot, legyen az x majd kiszámoljuk: változás fx)-ben fx) fa) Átlagos változási sebesség = =. változás x-ben x a Majd pedig ahhoz, hogy közelítsük, megbecsüljük az a pontbeli pillanatnyi változási sebességet, az a-hoz egyre közeledő x értékeket választunk, de az a mindkét oldaláról,) és kiszámoljuk az átlagos változási sebességet ezeken az egyre kisebb és kisebb intervallumokon. Ebből megbecsülhetjük közelítéssel megállapíthatjuk) a pillanatnyi változási sebességet. Példa: Tegyük fel, hogy egy léggömbben a levegő mennyisége t óra eltelte után V t) = t 3 6t Becsüljük meg a térfogat pillanatnyi változási sebességét 5 óra eltelte után. A térfogat átlagos változása Átlagos változási sebesség = V x) V 5). x 5

45 A térfogat t = 5 időpontbeli pillanatnyi változási sebesség becsléséhez olyan t értékeket kell válasszunk, melyek egyre közelebb és közelebb kerülnek az 5-höz. Az 5.0-re ez 5.090, az re pedig re lesz az átlagos változási sebesség. ebben a ponban a pillanatnyi változási sebességet: A 4.9-re 4., míg a Így becsülni tudjuk Óvatosnak kell lennünk, hiszen valószínűleg nem lesz 5cm 3 -rel több levegő a léggömbben minden óra eltelte után minden időpontban. A térfogat változási sebessége általában nem konstans, nem változatlan. Például, a t = 4-ben a pillanatnyi változási sebesség 0 cm 3 /hr, míg a t = 3-ban ugyanez -9 cm 3 /hr.) A sebesség kiszámítása A sebesség kiszámítása egy speciális esete a pillanatnyi változási sebesség kiszámításának. helyzetét a t időpontban. Egy tárgy helyzetét leíró függvény, f adott: ez leírja a tárgy Majd ahhoz, hogy kiszámítsuk a tárgy pillanatnyi sebességét, emlékezzünk, hogy a sebesség a helyzet változásának mértéke. Másképp mondva, ahhoz, hogy megbecsüljük a pillanatnyi sebességet, előbb ki kell számolnunk az átlagos sebességet, Átlagos sebesség = a helyzet változása eltelt idő = ft) fa), t a majd a t értékekkel egyre inkább megközelítjük a-t és az így kapott átlagos sebességértékekkel megbecsüljük a pillanatnyi sebességet. Ezen kérdések mindegyikében ugyanazt a képletet és ugyanazt az eljárást használtuk. Pontosabban, tekintettük a fx) fa) differenciahányados-függvény x a értékeit, amint x egyre közelebb és közelebb került az a ponthoz. Mindezen témákban ugyanaz volt a helyzet, és ezzel az 5. Fejezetben foglalkozunk. Most már világos, hogy szükségünk van ennek a kérdésnek a pontos leírására: mi történik a függvénnyel, amikor x egyre inkább megközelít egy pontot? 3.2. Környezet, torlódási pont Emlékeztető: Az a R véges pont ɛ > 0 sugarú környezete a következő véges intervallum K ɛ a) = {x R : x a < ɛ} = a ɛ, a + ɛ),

46 46 a + M sugarú környezete a következő végtelen intervallum: K M + ) = {x R : x > M} = M, + ), a -nek a M sugarú környezete: K M ) = {x R : x < M} =, M). 3.. Definíció Torlódási pont). Az a R {+, } pont a H R halmaz torlódási pontja, ha az a pont bármely környezete végtelen sok H-beli pontot tartalmaz. A definíció azt jelenti, hogy a-t meg tudom közelíteni H-beli elemek sorozatával. Példa: A H =, 2] {5} torlódási pontjainak halmaza H = [, 2]. Az 5 nem torlódási pont, mert van olyan környezete, amely nem tartalmaz H-beli elemeket. A ilyen pontokat izolált pontoknak nevezzük Definíció Zárt halmaz). Egy H R halmaz zárt, ha tartalmazza az összes torlódási pontját. Példa: A H = [2, 5] zárt, a H 2 = 2, 5] nem zárt, mert 2 torlódási pontja, de nem eleme a halmaznak A függvény határértékének definíciója Foglalkozzunk a határérték fogalmával. Ahhoz, hogy megválaszoljuk a változási sebesség kérdéseit, olyan x-eket tekintettünk, melyek egyre jobban megközelítettek egy α pontot és ezekben számoltuk ki egy függvény értékeit. Azt vizsgáltuk, hogy a függvényértékek mihez közelítenek. Ezt a folyamatot nevezzük a határértékszámításnak. A függvény határértékét nem az értelmezési tartományon, hanem az értelmezési tartomány torlódási pontjaiban vizsgáljuk. Tekintsünk néhány példát! Legyen fx) =, f : R \ {0} R. x. Mi történik az fx) függvényértékekkel, ha x egyre közelebb kerül az a = 2 értékhez? Ha x egyre közelebb kerül az a = 2-höz, akkor az fx) egyre közelebb

47 kerül az A = -hez. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az f függvény a = 2 helyen vett 2 hatérértéke a A =, ezt a következőképpen jelöljük: 2 x 2 fx) = Mi történik az fx) függvényértékekkel, ha x egyre közelebb kerül az a = + -hez? Ha x egyre közelebb kerül az a = + -hez, akkor az fx) egyre közelebb kerül az A = 0-hoz. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek a = + -ben a hatérértéke a A = 0, és ezt a következő képpen jelöljük: x + fx) = 0. hez? 3. Mi történik az fx) függvényértékekkel, ha x egyre közelebb kerül az a = 0- Ha x egyre közelebb kerül az a = 0-hoz és x > 0, akkor az fx) egyre közelebb kerül az A = + -hez. Ha x egyre közelebb kerül az a = 0-hoz és x < 0, akkor az fx) egyre közelebb kerül a B = -hez. 47 A függvényértékek nem egyetlen jól meghatározott értéket közelítenek meg, miközben x tart a = 0-hoz. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a függvénynek nincs határértéke a 0-ban. Azt mondjuk, hogy az f határértéke L amint x megközelíti az α pontot és azt írjuk, hogy x α fx) = L, ha az fx) tetszőlegesen közel kerül L-hez minden olyan x-re, mely elegendően közel kerül az α ponthoz, mindkét oldalról, anélkül, hogy x felvenné az α értéket. Ez azt jelenti, hogy ha az x elegendően megközelíti α-t, akkor az fx) el olyan közel juthatunk az L-hez, amennyire csak akarjuk. Amint x közelebb és közelebb kerül α-hoz mindkét oldalról), akkor fx)-nek közelebb és közelebb kell kerülni L-hez. Vagyis, ha x tart az α-hoz, akkor fx) tart az L-hez. Adjuk meg az x a fx) = L pontos definícióját környezetek segítségével Definíció A határérték környezetes definíciója). Legyen f : H R, és α a H értelmezési halmaz torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek az α-ban a határértéke L, ha ɛ > 0, δ > 0 úgy, hogy ha x K δ α) \ {α}, akkor fx) K ɛ L).Jelölés: fx) = L. x α Egy alternatív jelölés: fx) L amint x α. Az első mondat f : H R, és a a H torlódási pontja) egy speciális esete de a legfontosabb esete) így is megfogalmazható: Legyen f egy α pontot tartalmazó intervallumon értelmezett függvény, legfeljebb kihagyható az α az értelmezési tartományból. A sorozatok fogalmát használva ez azt jelenti, hogy az f : H R függvénynek határértéke van az α H pontban és a határérték L, ha tekintjük az x-ek

48 48 akármilyen sorozatát, melyek α-hoz tartanak és tagjai elemei H-nak úgy hogy x α, akkor a megfelelő fx) értékek megközelítik az L-et Tétel Átviteli elv). Legyen f : H R, és legyen α a H értelmezési halmaz torlódási pontja. f-nek az α-ban létezik határértéke, ha létezik A, úgy hogy bármely x n, n N) sorozatra, melyre x n H, x n α, és x n = α igazak, teljesül, hogy fx n ) = L. A határérték speciális esetei A.Véges pontban tekintett véges határérték: α, L véges számok, akkor a definíció egyenértékű a következővel: x α fx) = L, ha ɛ > 0, δ > 0 úgy hogy ha 0 < x α < δ, akkor fx) L < ɛ. B. Véges pontban végtelen határértékek: Ha L {± }, α R, azaz olyan határértékeket írunk most le, melyek értéke végtelen vagy minusz végtelen. Azt mondjuk, hogy x α fx) = ha fx) tetszőlegesen naggyá tehető mindazon x-ekre, melyek elegendően közel vannak α-hoz, mindkét oldalról, anélkül, hogy x = α-t felvennénk. Azt mondjuk, hogy x α fx) = ha fx) tetszőlegesen nagy abszolút értékű negatív számmá tehető mindazon x-ekre, melyek elegendően közel vannak α-hoz, mindkét oldalról, anélkül, hogy x = α-t felvennénk. Ekkor az általános definíció a következő könnyebb alakot ölti: x α fx) =, ha minden M > 0-hez létezik valamely δ > 0 szám úgy, hogy 0 < x α < δ esetén igaz fx) > M. x α fx) =, ha minden N < 0 számra van olyan δ > 0 szám, hogy 0 < x α < δ számokra teljesül fx) < N. C. Véges határérték a végetelenben Ha α {± }, L R, akkor az általános definíció a következő egyszerűbb alakot ölti: x fx) = L, ha tetszőleges ɛ > 0 számhoz létezik olyan M > 0 szám, hogy fx) L < ɛ valahányszor x > M. x fx) = L, ha bármely ɛ > 0számra van olyan N < 0 szám, hogy fx) L < ɛ ha x < N. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek van vízszintes/horizontális aszimptotája az y = L-ben, ha az alábbiak valamelyike igaz. fx) = L x + fx) = L. x

49 D. Végtelen határértékek a végtelenben Ha α {± }, L {± }, akkor az általános definíció a következő egyszerűbb alakot ölti: x fx) = +, ha bármely N > 0-hoz létezik valamely M > 0 szám úgy, hogy fx) > N valahányszor x > M. x fx) = +, ha tetszőleges N > 0 számra létezik olyan M < 0 szám, hogy fx) > N ha x < M. Feladat: Írja fel hasonlóan, tehát egyenlőtlenséggel a következők definícióját: x fx) =, x fx) =. A határérték nem foglalkozik azzal, hogy a függvény mit vesz fel az α pontban. A határértéket csak az érinti, hogy mi történik az α pont körül. Például, ha fx) = x2 +4x 2, akkor a függvény nem is létezik x = 2-ben, de határértéke x 2 2x létezik a 2-ben: x 2 fx) = 4. A határérték tehát nem függ attól, hogy mi a függvényérték az adott pontban, csak attól, hogy mi történik a pont körül. Valóban, számolhatjuk a határértéket olyan α pontban is, amelyben a függvény maga nem értelmezett. Nemlétező határértékek 3.. Példa. Becsüljük meg a következő határértéket: x 0 cos π x). Ha tekintjük valamely 0.00 számnál kisebb pontokban a függvény értékét, akkor teljesen különböző számokat kaphatunk. Emlékezzünk a határérték definíciójának feltételére, mely szerint a függvényértékek egyetlen L értéket közelítenek meg, amint x közelebb és közelebb kerül a vizsgált x = α ponthoz. De ebben a feladatban, amint közeledünk a 0-hoz, a függvény erősen kileng, vadul oszcillálni kezd és a kilengések sebessége egyre csak növekszik amint a 0-hoz közeledünk. Ez a függvény nem állapodik meg egy jól meghatározott értéknél a 0-hoz közeledve, így a határérték nem létezik Példa. Becsüljük meg a következő határértéket: 0 if t < 0 Ht), where Ht) = t 0 if t 0. Megoldás:: Ezt a függvényt lépcsősfüggvénynek nevezzük. Amint a 0-t jobbról közelítjük, úgy a függvényértékek az -hez közelednek. Valójában konstans, de a határérték terminológiájában ez úgy is kifejezjető, hogy -hez közeledik. 49

50 50 Amint viszont a 0-t balról közelítjük, úgy a függvényértékek a 0-hoz közelednek. Tehát ez a határérték sem lézetik. De itt más a helyzet, mint az előbbi példában. Itt mindkét oldalon egy jól meghatározott értékhez közelített a függvényünk, a probléma csak az volt, hogy ezek a számok nem egyeztek meg. Ez az egyoldali határértékek témáját vetíti elő. Amint a fentiekből kitűnt, nem minden határérték létezik. A legtöbb kalkulus órán határértékeket számolunk, melyek léteznek, de ne következtessünk hibásan, a határértékek nem mindig léteznek Egyoldali határértékek Láttuk, hogy x 0 H nem azért nem létezett, hogy a függvényértékek ne közelítenének meg egy jól meghatározott számot amint az x értékekkel tartunk 0-ba, hanem azért mert két különböző számot kaptunk a 0 két oldalán. Egyoldali határértékek esetén pontosan ez történik: hogy a vizsgált pontnak csak az egyik oldalát nézzük. A határérték definíciójából következik, hogy ha létezik x n, y n H, amelyre x n a, y n a és x n = y n = a továbbá fx n ) fy n ), akkor a függvénynek nincs határértéke a-ban. A 3. bevezető példában már észrevettük, hogy a x 0 nem létezik. Valóban, ha x n = 0 és x n > 0, akkor fx n ) = +, ha x pedig y n = 0 és y n < 0, akkor fy n ) =. Azt mondjuk, hogy x α+ fx) = L, ha az fx) tetszőlegesen közel kerül az L számhoz minden, az α-hoz elegendően közeli x-re, mely x > α anélkül, hogy x felvenné α-t Definíció Jobboldali határérték). Legyen f : H R, továbbá a a H a, + ) halmaz torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek az a-ban létezik jobboldali határértéke, ha létezik L, úgy hogy bármely x n, n N) sorozatra, melyre x n H, x n > a, és x n = a igazak, teljesül, hogy fx n ) = L. Jelölés: x a + fx) = L. Azt mondjuk, hogy x α fx) = L, ha az fx) tetszőlegesen közel kerül az L számhoz minden, az α-hoz elegendően közeli x-re, mely x < α anélkül, hogy x felvenné α-t.

51 3.6. Definíció Baloldali határérték). Legyen f : H R, továbbá a a H, a) halmaz torlódási pontja. 5 Azt mondjuk, hogy az f-nek az a-ban létezik baloldali határértéke, ha létezik L, úgy hogy bármely x n H amelyre x n < a és x n = a esetén fx n ) = L. Jelölés fx) = L. x a Az egyoldali határértékek és a határértékek közötti kapcsolat: Adott f függvényre, ha x α+ fx) = x α fx) = L, akkor a határérték is létezik és x α fx) = L. Hasonlóan, ha x α fx) = L, akkor x α+ fx) = x α fx) = L. határérték nem létezik. Viszont ha a két egyoldali határérték különböző, akkor a Az egyoldali határértékek és a határértékek közötti kapcsolat tehát így összegezhető: 3.7. Tétel. A függvénynek az a belső pontban akkor és csak akkor van határértéke, ha az a-ban létezik a jobb- és baloldali hatértéke, és azok egyenlőek. x a fx), fx) = A x a x a+ fx) és x a fx) = x a+ fx) = A. Az előző példákban: A H jobboldali határértéke: x 0+ Hx) = és baloldali határértéke: x 0 Hx) = 0. Ebben a példában léteznek az egyoldali határértékek, de a határérték nem létezik. A x 0 cos π x) esetén az egyoldali határértékek sem léteztek. A függőleges aszimptota egy olyan függőleges vonal, amelynek x koordinátájában a függvény egyoldali határértékei a plusz vagy minusz végtelenbe tartanak csak az egyik vagy mindkét oldalon) Definíció. Azt mondjuk, hogy az f-nek létezik függőleges aszimptotája az α pontban, ha az alábbi határértékek valamelyike teljesül: fx) = ± x α + fx) = ± x α fx) = ±. x α

52 Feladat. Számítsuk ki a következő határértékeket: 5x 5x 5x x x) 3 x 3 3 x) 3 x 3 3 x). 3 Alkalmazzuk az 0 + = + és 0 = szabályokat.) Adjuk meg a függőleges aszimptotát, ha van Műveletek függvény-határértékekkel Nemsokára hozzákezdhetünk a határértékek tényleges kiszámításához. De előtte szükséges átnéznünk néhány tulajdonságot, melyeket alkalmazni fogunk. Számos határérték nem csupán egy alaphatárérték Tétel. Tegyük fel, hogy az f, g : H R függvényeknek az értelmezési halmaz a torlódási pontjában létezik határértékük, és legyen fx) = A, x a gx) = B. x a Ekkor az f + g, fg, és ha értelmezett, akkor az f -nek is van határértéke az a g pontban, és fx) + gx)) = fx) + gx) = A + B, ha A + B, x a x a x a fx) gx)) = fx) gx) = A B, ha A B 0, x a x a x a x a fx) gx) = x a fx) x a gx) = A B, ha B 0, A B, A B 0 0. A tétel a sorozatoknál tanult műveleti szabályok és az átviteli elv következménye. i) azt jelenti, hogy a multiplikatív konstanst konstans-szorzót) kiemelhetjük a határértékből. ii) szerint függvények összegének vagy különbségének határértéke a különkülön vett határértékek összege vagy különbsége. Ez nem csak két függvényre igaz, hanem véges sokra is. iii) Függvények szorzatának határértéke az egyes részek határértékeinek szorzata. Ez is működik tetszőleges számú véges sok függvényre. iv) Figyelnünk kell arra, hogy a nevező határértéke ne lehessen nulla. El kell kerülnünk a 0-val való osztást.

53 3.0. Következmény. Tegyük fel, hogy x α fx) létezik és k egy egész szám. Ekkor: ) k x α fx))k = fx). x α Ez általánosan is igaz: k tetszőleges valós szám lehet pozitív, negatív, nulla, tört, racionális, irracionális, stb.). 3.. Tétel. Tegyük fel, hogy x α fx) létezik és k R. Ekkor: ) k x α fx))k = fx). x α 3.4. Feladat. Számítsa ki a következő határértékeket: a) 7x 3 3x ) x + b) 2x 5 4x 2 + 5e ) 2x2 7 f) x 4 5x x 5x 4 + 6x + 3x 2 2x + g) c) x + 2x 2 x + 2 4x 3 + 9x 5x 4 + 6x + 3x 2 2x + h) d) x 2x 2 x 2 4x 3 + 9x 5x 4 + 6x + 2x2 7 i). e) x 2 4x 6 x + 4 5x Útmutatás: Alkalmazzuk a műveleti szabályokat. Munka közben észrevehetjük a következő szabályokat: x ± c x k = 0 c Rconstant, k Q +) If a k 0, then a kx k + a k x k a x + a 0 ) = a kx k. x ± x ± Az a) és b)-ben alakú határozatlansági eset van, ezért ki kell emelnünk az x legnagyobb hatványát a polinomból. A kiemelés azt jelenti, hogy az első tényezőnk x 4, míg a második tényezőt úgy kapjuk, hogy az eredeti polinomot elosztjuk x 4 -el.) Az c) és d)-ben alakú határozatlansági eset van. Előbb megkeressük a NE- VEZŐ legnagyobb x hatványát és ezt emeljük ki mind a számlálóban, mind a nevezőben. Majd osztva a legnagyobb hatvánnyal és tekintjük a megmaradt tagok határértékét. Az e) és f)-ben ugyanúgy járunk el, mint a c)-ben, de ki kell emelnünk x-et mind a számlálóban, mind a nevezőben. Hogy ezt megtegyük a számlálóban, ahhoz 53

54 54 egy x 2 -et kell kiemelnünk a gyökjel alól, és így a gyökvonás során x lesz belőle. Ne feledje, hogy x 2 = x. g) Figyeljen arra, hogy 4 =. h) 4 = +. i) Tétel. Ha fx) gx) minden x [a, b] kivéve esetleg x = c) és a c b, akkor fx) gx). x c x c 3.3. Tétel Szendvics tétel, Rendőr elv). Tegyük fel, hogy fx) hx) gx) minden x [a, b] kivéve esetleg x = c) és x c fx) = x c gx) = L valamely c [a, b]-re. Ekkor hx) = L. x c 3.6. Nevezetes függvényhatárértékek 0. x a x = a. Ellenőrizze!. fx) = c, f : R R, ahol c egy konstans. A konstansfüggvény határértéke a konstans maga. c = c. x a 2. Páros kitevős hatványfüggvény: fx) = x 2k, f : R R, k N, esetén x a x2k = a 2k, x + x2k = +, x x2k = +. esetén 3. Páratlan kitevős hatványfüggvény: fx) = x 2k+, f : R R, k N, x a x2k+ = a 2k+, x + x2k+ = +, x x2k+ =. 4. fx) = x 2k, f : R R, k N, esetén x a x =, a 0, 2k a 2k x = 0, x 2k x 0 = +. x2k 5. fx) = x 2k+, f : R R, k N, esetén x a x =, a 0, 2k+ a 2k+ =, x 0 x 2k+ x x 0 + x 2k+ = 0 = +. x2k+

55 55 6. Polinomok határértéke 6.. Polinomok határértéke véges a helyen egyenlő a polinom a helyen vett behelyettesítési értékével. Valóban: tekintsük a következő polinomot: P x) = a k x k + a k x k a x + a 0, ahol a 0, a,..., a k R, k N, a k 0. A határértékszámítási műveletek alapján az összeg határértéke egyenlő a tagok határértékeinek összegével, azaz: a kx k + a k x k a x + a 0 ) = a k a k + a k a k a a + a 0 = P a). x a 3.4. Tétel. Ha px) egy polinom, akkor x a P x) = P a). Például: x 2 x 3 3x 2 x + 4) = = Polinomok határértéke végtelenben 3.5. Példa. a kx k + a k x k a x + a 0 ) = x + = x + xk a k + a k x a x k + a 0 x k ) = a k + ), a kx k + a k x k a x + a 0 ) = x = x xk a k + a k x a x k + a 0 x k ) = a k ) k. x x3 + 2x 2 + 3x + ) = x x3 + 2 x + 3 x + 2 x ) = 3 )3 =. 7. Racionális függvények határértéke Tekintsük a P x) = a k x k + a k x k a x + a 0, a 0, a,..., a k R, k N, a k 0, Qx) = b m x m + b m x m b x + b 0, b 0, b,..., b m R, k N, b m 0 polinomokat. Ekkor az f : R \ {x R : Qx) = 0} R fx) = P x) Qx) = a kx k + a k x k a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0 függvényt racionális törtfüggvénynek nevezzük. 7.. Racionális törtfüggvény határértéke olyan véges a-ban, amelyre a nevező nem nulla Qa) 0 ): egyenlő a behelyettesítési értékkel. P x) x a Qx) = P a) Qa).

56 Példa. x 2 3x x 2 x + 2 = = 2 4 = Racionális törtfüggvény határértéke olyan véges a-ban, amelyre 0 a nevező nulla, a számláló pedig nem nulla, azaz Qa) = 0, P a) 0. Ilyenkor általában jobb- és baloldali határértéket számítunk, ezek értékei + vagy : Alkalmazzuk a 0 + = + and 0 = szabályokat Feladat. x x + 3 x 2 =? Ha a jobboldali határértéket számítjuk, akkor figyelembe véve, hogy x, x > esetén x 2 > 0 teljesül, ezért: x + 3 x + x 2 = 4 = Ha a baloldali határértéket számítjuk, akkor figyelembe véve, hogy x, x < esetén x 2 < 0, ezért x + 3 x x 2 = 4 =. 0 Mivel a jobb- és baloldali határértékek nem egyenlőek, ezért a fenti határérték nem létezik Feladat. x x + 3 x 2 2x + =? Ha a jobboldali határértéket számítjuk, akkor figyelembe véve, hogy x 2 2x+ = x ) 2 > 0, ha x, x >, x + 3 x + x ) = 4 = Ha a baloldali határértéket számítjuk, akkor figyelembe véve, hogy x 2 2x + = x ) 2 > 0, ha x, x <, x + 3 x x ) = 4 = Mivel a jobb- és baloldali határértékek egyenlőek, ezért a fenti határérték létezik és egyenlő + -vel.

57 7.3. " 0 " Racionális törtfüggvény határértéke olyan véges a-ban, amelyre 0 a nevező és a számláló is nulla, azaz Qa) = P a) = 0. Ilyenkor a " 0" határo- 0 zatlansági esettel állunk szemben, amelyet a következő átalakítással szüntetünk meg: mind a számláló, mind a nevező osztható x a) valamely hatványával, számlálót és a nevezőt szorzattá alakítjuk és elvégezzük az egyszerűsítéseket. Ezzel a 7. vagy a 7.2 eset valamelyikére vezettük vissza a határérték kiszámítását. Emlékeztetőül megjegyezzük, hogy a ax 2 + bx + c másodfokú függvényt a gyökei segítségével tudjuk szorzattá alakítani: ax 2 + bx + c = ax x )x x 2 ) Példa. Számítsa ki a következő határértéket: x 2 x 2 2x x 2 +4x 2. Megoldás: A " 0 " határozatlansági estet ismerjük fel. Mind a számlálót, mind a 0 nevezőt szorzattá alakítjuk, majd egyszerűsítünk x 2)-vel: x 2 57 x 2 2x = x 2 +4x 2 xx 2) x x 2 = x 2)x+6) x 2 = 2 =. Eközben kaptunk egy új racionális x függvényt, mely már nem tartalmazott határozatlanságot, és behelyettesíthettük x = 2-t Feladat. x x 2 x 2 2x + = x )x + ) x + = x x ) 2 x x. Megoldás: Ez utóbbi tört számlálója 2-höz, nevezője 0-hoz tart, tehát megvizsgáljuk a jobb- és baloldali határértékeket: x + x + x = 2 = +, 0 + x + x x = 2 =. 0 Mivel a jobb- és baloldali határértékek nem egyenlőek, ezért a határérték nem létezik Racionális törtfüggvény határértéke -ben. Mivel a számlálóban és a nevezőben szereplő polinomok határértéke a -ben végtelen, ezért a " " határozatlansági esettel állunk szemben, amelyet úgy szüntetünk meg, hogy mind a számlálóban, mind a nevezőben leosztunk a nevezőben szereplő legmagasabb x hatvánnyal: 3.. Példa. x x 3 3x + 2 2x 2 + x + 3 = x x 3 x + 2 x x + 3 x 2 = 2 = +.

58 58 8. Irracionális kifejezések határértéke. Konjugálttal való bővítés 8. Irracionális függvények határértéke véges a pontban, feltéve, hogy az a értékkel való behelyettesítés értelmezett és nem lép fel határozatlansági eset, akkor a határérték egyszerűen csak a behelyettesítési érték. 8.2 Irracionális függvények határértéke véges a pontban, ahol a " 0 0 " határozatlansági eset lép fel. El akarjuk tüntetni a határozatlanságot. A négyzetgyököt felismerve megpróbáljuk racionalizálni és megnézzük, hogy segítette. A racionalizálás azon múlik, hogy a b)a + b) = a 2 b 2, thus also u v) u + v) = u v. Tehát racionalizálással, szorzattá alakítással és egyszerűsítéssel eltüntethetjük azon gyököket, melyek gondot okoztak Példa. x 4 x 2 x 3 64 = x 4 x 2) x + 2) x + 2)x 4)x 2 + 4x + 6) = = x 4 x 4) x + 2)x 4)x 2 + 4x + 6) = x 4 x + 2)x 2 + 4x + 6) = 2 + 2) ) = Irracionális kifejezések haatárértéke, melyekben " " lép fel. Itt is racionalizálással eltüntethetjük azon gyököket, melyek gondot okoztak Példa. x 2 2x + 3 x 2 + ) = x x 2 2x + 3 x 2 + ) x 2 2x x 2 + ) x x2 2x x 2 + x 2 2x + 3) x 2 + )) x x2 2x x 2 + = x x x 2 + 2) x x x x x x 2 x + x 2 ) = x 2 + 2) x ) = + x 2 = 2x + 2 x ) + x x 2 x 2 + x 2 ) = x 2 + 2) x ) = + x 2 x x x ) =.

59 59 9. Trigonometrikus függvények határértéke Egyszerűen igazolható, hogy periodikus függvénynek nem létezik határértéke a -ben, ezért egyik trigonometrikus függvénynek sem létezik határértéke a plusz/mínusz végtelenben. Az fx) = sin x esetén például legyen x n := 2nπ, n N), és y n := π 2 + 2nπ, n N) Két + -be tartó számsorozat x n = y n = + ). A függvényértékek sorozata ekkor két különböző konstans-sorozat, fx n ) = 0, n n + n + N), fy n ) =, n N), ezért nyilván határértékeik különböznek, így az átviteli elv következtében valóban nem létezik a határértéke a sinus függvénynek a + -ben. A következő tétel a véges helyen vett határértékekkel foglalkozik Tétel. A sinus és cosinus függvényeknek minden véges pontban megegyezik a határértéke a helyettesítési értékkel, azaz sin x = sin α, x α cos x = cos α x α α R). A tangens és a cotangens függvény határértékeire vonatkozik a következő: 3.6. Tétel. A tangens és cotangens függvények határértéke értelmezési tartományuk minden pontjában megegyezik a helyettesítési értékkel, azaz továbbá tg x = tg α α x α ctg x = ctg α x α R \ {π + kπ, k Z}), 2 α R \ {kπ, k Z}), tg x =, x α+ ctg x = +, x α+ tg x = + α x α ctg x = x α {π + kπ, k Z}), 2 α {kπ, k Z}). 0. A sin x x R\{0}) függvény határértéke x Az fx) := sin x x R\{0}) függvény határértéke értelmezési tartományának x minden pontjában megegyezik a a helyettesítési értékkel, azaz sin x x α x = sin α α R \ {0}), α sin x x 0 x =, sin x x ± x = 0.

60 60. Az exponenciális függvény határértéke 3.7. Tétel. Az exponenciális függvény határértéke értelmezési tartományának minden pontjában megegyezik a helyettesítési értékkel, azaz x α ax = a α a > 0, α R), továbbá x + ax = +, x + ax = 0, x + ax =, x ax = 0 a > ), x ax = + 0 < a < ), x ax = a = ) Feladat. Számítsa ki az alábbi határértékeket: a) f) 2e 7x 4e 2x + 3e 8x) x + e3 4x+7x2 x b) x e3 4x 7x2 c) x + e3 4x+7x2 d) e x x + e) 2e 7x 4e 2x + 3e 8x) x + g) x + 4 3x 4 2 x + 3) h) x + i) x j) x + 2e 5x 3e 2x + 4e 2x 5e 3x 2e 3x 2e 5x 3e 2x + 4e 2x 5e 3x 2e 3x 4 3 x x 5 5 x 2 6. x Útmutatás: Az a),b),c), d)-ben alkalmazza, hogy e + = és e = 0. Az e), f), g) -ben kiemeljük a legnagyobb alapú exponenciális függvényt. A h), i) és j)-ben kiemeljük a nevező legnagyobb alapú exponenciális függvényét mind a számlálóban, mind a nevezőben. 2. A + x) x függvény határértéke + x = e; x ± x) x ± + ) gx) = e where gx) =. gx) x ± 3. A logaritmus függvények határértéke, log b x, lnx). - értelmezési tartománybeli pontban megegyezik a függvényértékkel. Vigyázzon

61 arra, hogy csak pozitív számoknak veheti a logaritmusát és nem veheti a nullának vagy negatív számoknak. - ln x = x + - log b x = b > ) x + - log b x = 0 < b < ) x + - ln x = x log b x = b > ) x log b x = + 0 < b < ). x Feladat. Számítsa ki az alábbi határértékeket: a) ln3 4x + x + 7x2 ) ) b) ln x x 2 2x 3.7. Feladatok függvények határértékével 3.6. Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: 2x 7 4x a) x 3x 9 + x 3 4 5x 3 2x b) x 3x 2 7 4x 5 3x c) x 2x 5 + x d) + 5 ) 2x+3 x 7x e) x ) 5x 2x + 2x 3 f) x x + 5 x 2 ) g) x x2 + 2x x 2 x 2 h) x 2 7 x 4 x x x 4. Eredmények: a) 0; b) + ; c) 2; d) e 0 7 ; e) e 0 ; f) 0; g) 32 ; h) 2 3. ) 3.7. Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: a) x 3x7 4x 2 + 2) b) x2 + 2x + x) x 4x 5 3x c) x 2x 5 + x 5x 3 2x d) x 3x 2 7 ) 5x 2x + e). x 2x 3 Eredmények: a) ; b) ; c) 2; d) ; e) e 0.

62 Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: a) x x 3 3x + 2) b) x 2 5x 3 2x + 3x 2 7 c) x 4x 2 2x + 8 x 2 + 2x 3 d) x 2 2x 2 + 6x 20 x 2 9x + 4 3x 2 + 6x 9 e) x 3 x 2 + 5x + 6 f) x 3 x + 3 g) x x 2 h) x i) x 2 x ) 2 2x + 2x. Eredmények: a) 0; b) 37; c) ; d) 4; e) 6 ; f), g), i) nem létezik, de a jobboldali határértéke +, míg a baloldali határértéke ; h) Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: Eredmények: a) 3 5 ; b) 4 6. sin 3x a) x 0 5x sin 4x b) x 0 sin 6x Feladat. A rendőr-tétel segítségével számítsa ki a következő határértéket: ) a) x 2 cos x 0 x

63 4. fejezet Függvények folytonossága 4.. Definíció A folytonosság környezetes definíciója). Legyen f : H R és α H. Azt mondjuk, hogy az f függvény folytonos az α-ban, ha ɛ > 0, δ > 0 úgy, hogy ha x K δ α) H, akkor fx) K ɛ fα)) Definíció A folytonosság definíciója egyenlőtlenséggel). Legyen f : H R és α H. Azt mondjuk, hogy az f függvény folytonos az α pontban, ha bármely ɛ > 0-hoz létezik valamely δ > 0 szám úgy, hogy fx) fα) < ɛ valahányszor 0 < x α < δ. Vessük össze ezt a definíciót a határérték definíciójával! Láthatjuk, hogy az f függvény az értelmezési tartomány pontjaiban akkor és csak akkor folytonos, ha ott létezik határértéke és az egyenlő a behelyettesítési értékkel. α H H, akkor f akkor és csak akkor folytonos, ha x α fx) és x α fx) = fα). Azaz, ha Jegyezzük meg, hogy ez a definíció feltételezi, hogy mind fα), mind pedig fx) létezik. Ha ezek közül bármelyik nem létezik, akkor a függvény nem x α folytonos α-ban Definíció. Egy függvényt folytonosnak nevezünk egy [a, b] intervallumon, ha folytonos az intervallum minden pontjában. Ha f az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy f folytonos Definíció. Ha f : H R valamely a H pontban nem folytonos, akkor azt mondjuk, hogy f-nek az a helyen szakadása van. Ekkor az a pontot az f függvény szakadási helyének nevezzük. 63

64 FEJEZET 4. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA 64 A szakadási helyek osztályozása: Elsőfajú szakadási helyek: Ugrás: fx), fx), de fx) fx)), A jobb és baloldali x a + x a x a + x a határérték nem egyenlő, ezért a függvény nem folyonos a tekintett pontban. Ugrás akkor fordul elő, ha a függvény gráfja megtörik. Megszüntethető szakadási hely fx), fx), és fx) = fx)). x a + x a x a + x a A jobb-és baloldali határérték létezik és egyenlő, ezért a határérték is létezik, de az nem egyenlő a behelyettesítési értékkel. Megszüntethető szakadási hely akkor fordul elő, amikor a függvény gráfján van egy lyuk. Másodfajú szakadási helyek: ahol nem létezik az egyoldali határértékek valamelyike. Jegyezzük meg intuitívan, hogy egy függvény akkor folytonos egy intervallumon, ha gráfját megrajzolhatjuk anélkül, hogy fel kellene emelnünk a ceruzánkat közben. Azaz, ha nincsenek lyukak és törések rajta. Számos függvény esetén könnyű meghatározni a szakadási helyeit. Egy függvény nem folytonos egy olyan ponban, ahol nullával való osztás áll elő a függvényben vagy a 0 logatitmusa Tétel. Műveletek folytonos függvényekkel) Ha f, g : H R folytonos valamely α H pontban, λ R egy konstans, akkor f + g, λf, fg is folytonos α-ban. Ha továbbá gα) 0, akkor f g is folytonos az α-ban Tétel. Folytonos függvények összetétele/ kompozíciója is folytonos Tétel. Ha f folytonos a b-ben és x a gx) = b, akkor 4.. Példa. x 0 e sin x = e 0 =. ) f gx)) = f gx). x a x a

65 5. fejezet Differenciálszámítás 5.. Bevezető fogalmak 5.. Definíció. Azt mondjuk, hogy az a H belső pontja a H R halmaznak, ha létezik K r a) környezet, úgy hogy K r a) H. Azaz a-nak létezik egy olyan környezete, mely "teljesen H-ban van".) Példa: H = 2, 3] {5} esetén minden a 2, 3) belső pont, de a 2,3,5 nem belső pontok.. ábra) 5.2. Definíció. A H halmazt nyíltnak nevezzük, ha minden pontja belső pont. A differenciahányados fogalma: Tekintsük az f : H R függvényt, legyen a H belső pont. Ekkor adott x H-ra az Aa, fa)) és Bx, fx)) két pont az f függvény grafikus képén. 2. ábra) Az AB húr iránytangense: tan θ = BB AB 5.3. Definíció. A = fx) fa) x a. D a x) := fx) fa), x H \ {a}) x a az f függvény a pontbeli differenciahányadosa. 65

66 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 66 Geometriai jelentés: Az f függvény a pontbeli differenciahányadosa az AB húr iránytangense. Ha a függvény "jó tulajdonságú", akkor közelítve x-et a-hoz x a), az AB húr az A ponthoz tartozó érintőt közelíti meg. Ekkor θ ϕ, amiből tan θ tan ϕ adódik. Ekkor x a fx) fa) x a = tan ϕ A differenciálhányados, a derivált fogalma 5.4. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : H R függvény differenciálható deriválható) az a H belső pontban, ha létezik x a fx) fa) x a és véges. Ekkor az f a) = df fx) fa) a) := dx x a x a számot az f függvény a pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : H R függvény grafikonjának az Aa, fa)) pontban van érintője, ha differenciálható. Ekkor f a) az érintő iránytangense. Az érintő egyenlete: y fa) = f a) x a). 3. ábra) Ha f : H R az út-idő függvény, akkor f a) a mozgás a pontbeli pillanatnyi sebessége. A differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata 5.6. Tétel. Ha az f : H R függvény differenciálható az a H-ban, akkor f folytonos a-ban. Bizonyítás: Az f függvény a H pontbeli differenciálhatósága azt jelenti, hogy létezik a fx) fa) x a x a = f a) véges szám.

67 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 67 Ekkor fx) fa) fx) fa)) = x a) = f a) x a) = 0. x a x a x a x a Ezért létezik a fx) = fx) fa) + fa)) = fx) fa)) + fa) = x a x a x a fa), tehát f folytonos a-ban. Megjegyzés: A fordított állítás azonban nem igaz. Ha f folytonos a-ban, abból még nem következik, hogy deriválható is a-ban, hiszen léteznek olyan függvények, amelyek folytonosak a-ban, de nem differenciálhatók abban a pontban. Például fx) = x az a = 0-ban folytonos, de nem differenciálható. 4. ábra) x = 0 = f0), tehát folytonos. Azonban a differenciahányadost vizsgálva x a az a = 0-ban: x fx) fa) D 0 fx) = = x 0, ha x > 0, x a x 0 = x x, ha x < 0, x amint x 0, tehát a vizsgált határérték nem létezik, mivel a differenciahányados különböző értékekhez tart az a = 0 pont jobb- és baloldali környezetében. Egyoldali deriváltak* fx) fa) 5.7. Definíció. Baloldali derivált: Ha és véges, akkor azt mondjuk, hogy f balról differenciálható a-ban és x a x a az f a) = f ba) := x a fx) fa) x a számot az f függvény a pontbeli baloldali differenciálhányadosának vagy baloldali deriváltjának) nevezzük. fx) fa) 5.8. Definíció. Jobboldali derivált: Ha x a x a + mondjuk, hogy f jobbról differenciálható a-ban és az f +a) = f ja) := x a + fx) fa) x a és véges, akkor azt számot az f függvény a pontbeli jobboldali differenciálhányadosának vagy jobboldali deriváltjának) nevezzük.

68 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Tétel. Az f : H R függvény akkor és csak akkor deriválható az a H belső pontban, ha ) f +a), f a) és 2) f +a) = f a). A derivált függvény 5.0. Definíció. Tekintsünk egy H R nyílt halmazt és egy f : H R függvényt, mely minden a H-ban differenciálható. Ekkor az x f x), x H megfeleltetéssel értelmezett függvényt az f derivált függvényének vagy deriváltjának nevezzük és f -vel jelöljük Elemi függvények deriváltjai Az alábbi deriváltakat a definíció alapján vezetjük le.. fx) = c, ahol c R adott szám. A konstans függvény deriváltja 0. f a) = x a fx) fa) x a 2. fx) = x függvény deriváltja. f fx) fa) a) = x a x a ami azt jelenti, hogy f a) =, a R. Az érintő iránytangense f a) = ϕ = π fx) = x 2 x R) függvény deriváltja: = x a c c x a = 0. = x a x a x a =, f a) = x a fx) fa) x a x 2 a 2 = x a x a ami azt jelenti, hogy f a) = 2a, a R. = x a)x + a) x a x a x 2 ) = 2x x R). = x a x + a) = 2a,

69 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS fx) = x 3 x R) függvény deriváltja: f fx) fa) a) = x a x a x a)x 2 + xa + a 2 ) = x a x a ami azt jelenti, hogy f a) = 3a 2, a R. x 3 a 3 = x a x a = = x a x 2 + xa + a 2 ) = 3a 2, x 3 ) = 3x 2 x R). 5. fx) = x n x R) függvény deriváltja, ahol n N adott szám: f a) = x a fx) fa) x a x n a n = x a x a = = x a x a)x n + x n 2 a a n ) x a = x a x n + x n 2 a + x n 3 a xa n 2 + a n ) = na n, ami azt jelenti, hogy f a) = na n, a R, n N. = x n ) = nx n x R). 6. fx) = x, x [0, + )) függvény deriváltja az a [0, + ) pontban: f fx) fa) a) = x a x a x a = x a = = x a x a x a x a) x + a) = x a 2, ha a 0, a > 0, a +, ha a = 0, x a) x + a) = x a x a) x + a) x + a = = Tehát fx) = x = x 2 deriválható, ha a > 0, és f a) = 2, a > 0), az a a = 0-ban pedig nem deriválható. x) = x 2 ) = 2 x = 2 x 2 x > 0).

70 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS n x) = x n ) = n x n x D f, x 0). x α ) = α x α x > 0, α R). 9. fx) = e x x R) függvény deriváltja: azaz f a) = e a, a R. f a) = x a fx) fa) x a = x a e a e x a ) x a e x e a = x a x a = = e a, e x ) = e x x R). 0. fx) = sin x x R) függvény deriváltja: f fx) fa) a) = x a x a 2 sin x a = x a cos x+a 2 2 x a = x a sin x sin a x a = sin x a 2 x a x a 2 = cos x + a 2 = cos a, azaz f a) = cos a, a R. sin x) = cos x x R).. cos x) = sin x x R) Deriválási szabályok 5.. Tétel Az összeg, szorzat, hányados függvény deriváltja). Tegyük fel, hogy az f, g : H R függvények deriválhatóak az a H belső pontban. Ekkor

71 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 7 f + g, f g, és ga) 0 esetén f g is deriválható a-ban és ) f + g) a) = f a) + g a) 2) f g) a) = f a) ga) + fa) g a) ) f 3) a) = f a) ga) fa) g a). g g 2 a) fx) fa) Bizonyítás: Tudjuk, hogy x a x a végesek. = f gx) ga) a), x a x a ) Az f + g függvény a pontbeli differenciahányadosa: D a f + g) = x a = g a), és f + g)x) f + g)a) fx) fa) gx) ga) = +, ezért x a x a x a ) fx) fa) gx) ga) = + = x a x a x a f + g)x) f + g)a) x a fx) fa) gx) ga) = + x a x a x a x a f + g) a) = f a) + g a) = f a) + g a). 2) Az f g függvény a-beli differenciahányadosa: f g)x) f g)a) D a f g) = = x a fx)gx) fa)gx) + fa)gx) fa)ga) = = x a fx) fa) gx) ga) = gx) + fa). x a x a Mivel g differenciálható az a pontban, ezért folytonos is az a-ban, tehát gx) = x a ga). Így f g)x) f g)a) x a x a = ga)f a) + fa)g a). f g) a) = f a) ga) + fa) g a) fx) fa) = gx) + fa) x a x a ) gx) ga) = x a 3) x a gx) ga) x a = g a) ga) gx) = x a x a, ha ga) 0 g 2 a) g ) a) = g a), ha ga) 0) g 2 a) gx)ga) =

72 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 72 Most a 2) pontban belátott szorzat deriválási szabályát alkalmazzuk: ) f a) = f ) ) a) = f a) g g ga) + fa) a) = g = f a) ga) fa)g a) g 2 a) = f a) ga) fa) g a). g 2 a) Példák: ) fx) = x sin x, x R) f x) = x sin x) = x 2 ) + 3) + sin x) = = 2x cos x, x R) ahol a függvények összegének és konstansszorosának deriválási szabályait alkalmaztuk. 2) fx) = x e x, x [0, + ) ) f x) = x 2 e x ) = x 2 ) e x + x 2 e x ) = = 2 x 2 e x + x 2 e x = 2 x ex + x e x. x [0, + ) ) Itt a függvények szorzatának deriválási szabályát alkalmaztuk. 3) fx) = tgx = sin x cos x, cos x 0, azaz x π ) 2 + kπ, k Z ) sin x f x) = = sin x) cos x sin x cos x) = cos x cos 2 x cos x cos x sin x sin x = = cos2 x + sin 2 x = cos 2 x cos 2 x = cos 2 x = + tg2 x. x π ) 2 + kπ, k Z Itt a függvények hányadosának deriválási szabályát használtuk. Hasonlóan adódik, hogy ctgx) = sin 2 x = + ctg2 x), x kπ, k Z) Közvetett összetett) függvény deriváltja Legyen f : H K, g : K R, ekkor a g f : H R g f)x) = gfx)) közvetett függvény differenciálhatóságára vonatkozik a következő tétel.

73 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Tétel. Ha ) f differenciálható az a H pontban, és 2) g differenciálható a b = fa) K pontban, akkor g f differenciálható a-ban és g f) a) = g fa)) f a). fx) fa) Bizonyítás: A feltételek alapján: = f gy) gb) a), = x a x a y b y b g b) és végesek. Ekkor a g f differenciahányadosa az a-ban: g f) x) g f) a) x a = g fx)) g fa)) fx) fa) fx) fa). x a Most az y = fx) és b = fa) választással élünk. Abból, hogy f differenciálható a-ban, következik, hogy folytonos is az a pontban, ezért ha x a, akkor y = fx) fa) = b. Így: g f) x) g f) a) x a x a gy) gb) fx) fa) = y b y b x a x a g fx)) g fa)) fx) fa) = x a fx) fa) x a = = g b) f a) = g fa)) f a). Alkalmazás: ) Legyen most a külső függvény egy hatványfüggvény, azaz gy) = y n valamely n N-re. Ekkor g y) = ny n, s gfx)) = fx)) n. Tehát fx)) n ) = n fx)) n f x). Például: x 2 + 2x) 2009) = 2009 x 2 + 2x) 2008 x 2 + 2x) = = 2009 x 2 + 2x) x + 2). x R. Így 2) Tekintsük a gy) = e y külső függvényt. Ekkor g y) = e y, és gfx)) = e fx). e fx) ) = e fx) f x). Például: e sin x ) = e sin x sin x) = e sin x cos x. x R)

74 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 74 3) Tekintsük a gy) = sin y külső függvényt. Ekkor g y) = cos y, s gfx)) = sin fx). Ekkor sin fx)) = [cos fx)] f x) = f x) cos fx). Például: sin6x + 3)) = 6x + 3) cos6x + 3) = 6 cos6x + 3). x R) Megjegyzés: Az f és g függvények szerepe nem fölcserélhető. ) cos x 2 = cosx 2 ) ) = sinx 2 ) x 2 ) = 2x sinx 2 ). x R) De cos 2 x ) ) = cos x) 2 = 2 cos x cos x) = 2 cos x sin x = sin 2x). x R) Az inverz függvény deriváltja 5.3. Definíció. Egy f : A B függvényt injektívnek nevezünk, ha A különböző elemeinek különböző képelemek felelnek meg, azaz ha bármely x x 2 esetén fx ) x 2 ) teljesül. Ekvivalens megfogalmazásban: bármely y B elemhez legfeljebb egy x A elem tartozik, melyre fx) = y teljesül. ha fx ) = x 2 ), akkor x = x 2 is igaz.) Egy f : A B függvényt szürjektívnek nevezünk, ha B minden eleme képpont, vagyis y B-hez x A, hogy fx) = y. Egy függvényt bijektívnek vagy kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, ha injektív és szürjektív is. Példák. f : R R, fx) = x 2, és g : [0, ) R, gx) = x Definíció. Az f : A B bijektív függvény esetén bármely y B-hez hozzárendeljük azt az x A elemet, melyre fx) = y. Ezt az f -el jelölt függvényt az f inverzének nevezzük. Röviden: f : B A, f y) = x fx) = y. Például g : [, ) [0, ), gx) = x ) 2 esetén g : [0, ) [, ), g x) = x +.

75 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Tétel. Legyen f : α, β) δ, γ) egy bijektív és folytonos függvény. Ha f differenciálható az a α, β) pontban és f a) 0, akkor az f inverz függvény differenciálható a b = fa)-ban és f ) b) = f a). Bizonyítás: Az inverz függvény értelmezése alapján: f : δ, γ) α, β) és bármely y δ, γ) értékhez y x, amelyre fx) = y, azaz f y) = x). f y) f b) y b y b = y b x a fx) fa) = y b fx) fa) x a Mivel f folytonos az a-ban, ezért f folytonos a b-ben, tehát az y = fx) fa) = b adja, hogy x a. Itt tulajdonképpen y b ekvivalens azzal, hogy x a.) határérték véges. Tehát a y b f y) f b) y b = x a fx) fa) x a = f a). Alkalmazás: ) Az f : R 0, + ), fx) = e x egy folytonos és bijektív függvény, ezért invertálható, és alkalmazható a tétel. f : 0, + ) R, f x) = lnx) Teljesül az f deriváltjának kiszámításához szükséges feltétel: f a) = e a 0. Legyen b = fa) = e a. Ekkor f ) b) = f a) = e a = b. Tehát ln x) = x. 2) Adott a R + \ {} esetén f : R 0, + ), fx) = a x függvény folytonos és bijektív, ezért invertálható, és alkalmazható a tétel. f : 0, + ) R, f x) = log a x). Továbbá f x) = a x lna) 0. Ekkor

76 FEJEZET 5. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 76 log a x) = x lna), x > 0. 3) A fentiekből és a közvetett függvény deriválási szabályából adódik, hogy ln fx)) = fx) f x), ha fx) > 0. Például: ln ) ) + 2x = + 2x = + 2x = = + 2x 2 + 2x + 2x) = 2 + 2x) 2 = + 2x), + 2x > 0, azaz x > 2.

77 6. fejezet A differenciálszámítás alkalmazásai 6.. L Hospital szabály x A, határértékek a és 0 határozatlansági esetekhez vezetnek, amelyeket elemi átalakításokkal nem tudunk meghatározni. A x e x x 0 L Hospital x 0 ln x) szabály bizonyos feltételek mellett az ilyen típusú határértékek kiszámítását is lehetővé teszi. 6.. Tétel. Legyen I R intervallum. Ha az a I véges vagy végtelen pont esetén teljesül, hogy 0) gx) 0 x I \ {a}), ) f, g deriválható I \ {a}-n, 2) g x) 0, x I \ {a}) f g : I \ {a} R 3) x a fx) = x a gx) = 0 vagy x a fx) = x a gx) =, 4) létezik x a f x) g x) = L, akkor létezik x Példa: ) x e x a tétel feltételeit, fx) x a gx) és fx) x a gx) = L. =, ahol az fx) = x, gx) = ex függvények teljesítik x f x) g x) = x x így x e = 0. x x) = e x ) x e = x = 0, 77

78 FEJEZET 6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI 78 További feladatok: ) x 0 ln x) x 2) x 2 ln x 2 x 2 = lnx 2 3) x x = 4) x 0 sin x x = = 5 x 7 x 5) x 0 x x 2 6) x 2 = x = 2x 3 4x + 5 7) x 7x 3 + 5x 3 = 8) x 5x ln4x = 6.2. Az elsőrendű derivált és a monotonitás kapcsolata 6.2. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : α, β) R függvény növekvő az α, β) intervallumon, ha x, x 2 α, β), x < x 2 esetén teljesül, hogy fx ) fx 2 ). Az f : α, β) R függvény csökkenő az α, β)-n, ha x, x 2 α, β), x < x 2 esetén teljesül, hogy fx ) fx 2 ). Továbbá szigorúan monoton növekvő illetve csökkenő függvényekről beszélünk a szigorú egyenlőtlenségek teljesülése esetén. Vagyis ha x < x 2 esetén fx ) < fx 2 ) illetve fx ) > fx 2 ) teljesül.). ábra) 6.3. Tétel. Legyen f : α, β) R differenciálható függvény az α, β)-n. Ekkor i) ha f növekvő az α, β)-n, akkor f x) 0 x α, β)), ii) ha f csökkenő az α, β)-n, akkor f x) 0 x α, β)). A tétel egyfajta megfordítása a következő: 6.4. Tétel. Legyen f : α, β) R differenciálható függvény az α, β)-n. Ekkor i) ha f x) > 0 x α, β)), akkor f szigorúan növekvő az α, β)-n, ii) ha f x) < 0 x α, β)), akkor f szigorúan csökkenő az α, β)-n.

79 FEJEZET 6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI 79 Az elsőrendű derivált szerepe a lokális szélsőértékhelyek meghatározásában Lokális tulajdonságról akkor beszélünk, ha a függvénynek a pont egy környezetében felvett értékeit vizsgáljuk. 2. ábra) 6.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : α, β) R függvénynek az a α, β) pontban lokális maximuma van, ha K r a ) környezet úgy, hogy x K r a ) esetén fx) fa ), illetve a 2 α, β) pontban lokális minimuma van, ha K r a 2 ) környezet úgy, hogy x K r a 2 ) esetén fx) fa 2 ). Ekkor fa ), illetve fa 2 ) a lokális maximum értéke, illetve minimum értéke, a és a 2 pedig lokális szélsőértékhelyek. Hogyan keressük meg a lokális szélsőértékpontokat? Az a, a 2 pontokhoz tartozó érintők ha léteznek,) párhuzamosak az Ox tengellyel, ami azt jelenti, hogy iránytangenseik 0-val egyenlőek Tétel A lokális szélsőérték szükséges feltétele). Ha az f : α, β) R differenciálható függvénynek az a α, β)-ban lokális szélsőértéke van, akkor f a) = 0. A fenti tétel alapján a helyi szélsőértékeket az elsőrendű derivált zérushelyei között keressük. De az elsőrendű deriváltnak nem minden zérushelye lesz szükségképpen lokális szélsőértékpont. Példa erre az fx) = x 3 függvény, melyre f x) = 3x 2, f 0) = 0, az a = 0 zérushelye tehát a derivált függvénynek, de f-nek nincs helyi szélsőértéke, mert f szigorúan növekvő R-en. Tehát az f a) = 0 feltétel szükséges, de nem elégséges ahhoz, hogy f-nek a-ban lokális szélsőértéke legyen.

80 FEJEZET 6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Tétel A lokális szélsőérték egy elégséges feltétele). Ha az f : α, β) R differenciálható függvényre az a α, β)-ban f a) = 0 teljesül, és az f függvény az a-ban előjelet vált, akkor a lokális szélsőértékhelye f-nek. x α < x < a a a < x < β f + 0 f lok.max. illetve x α < x < a a a < x < β f 0 + f lok.min. Példa: Vizsgáljuk meg az alábbi függvények szélsőértékeit: a) fx) = x 3 3x 2 + 3x + 2 b) fx) = x 3 6x 2 + 9x 7. a) f x) = 3x 2 6x + 3 = 3x ) 2 Megoldva a 3x ) 2 = 0 egyenletet, az a = lehetséges szélsőértékhely adódik. x < x < < x < + f f A táblázatból látható, hogy f nem vált előjelet a = -ben, így az nem lokális szélsőértékhely. b) f x) = 3x 2 2x + 9 = 3x 2 4x + 3) Megoldva a 3x 2 4x + 3) = 0 egyenletet, az a =, a 2 = 3 lehetséges szélsőértékhelyek adódnak. x < x < < x < < x < + f f lok.max. lok.min. A táblázatból látható, hogy f előjelet vált a = -ben és a 2 = 3-ban is, így azok lokális szélsőértékhelyei f-nek.

81 FEJEZET 6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Többször differencálható függvények 6.8. Definíció. Ha az f : H R függvény differencálható és az f derivált függvény is differencálható az a H pontban, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer differenciálható a-ban. Az f a) := f ) a) számot az f függvény a pontbeli második deriváltjának nevezzük. Továbbá Taylor polinom f n+) a) := f n) ) a) n N) Definíció. Legyen f olyan függvény, melynek az a számot belső pontként tartalmazó intervallumon minden k {, 2,..., N} esetén létezik k-adik deriváltja. Legyen n olyan, hogy 0 n N. Ekkor az f által generált n-edrendű Taylor polinom az x = a helyen a következő: T n fx) := fa)+f a)x a)+ f a) 2! x a) 2 + f a) 3! x a) f n) a) x a) n n! 6.. Feladat. Adjuk meg az fx) = e x függvény x = 0 helyen generált 5-ödrendű Taylor polinomját! 6.2. Feladat. Adjuk meg az fx) = cos x függvény x = 0 helyen generált 8- adrendű Taylor polinomját! 6.0. Tétel Taylor tétele). Ha f az első n deriváltjával, f, f,..., f n) függvényekkel együtt folytonos az [a, b] zárt intervallumon és f n) differenciálható az a, b) nyílt intervallumon, akkor létezik olyan c szám a és b között, hogy fb) = fa) + f a)b a) + f a) 2! b a) f n) a) b a) n + n! + f n+) c) n + )! b a)n Tétel A Taylor formula). Ha f akárhányszor differenciálható az a pontot tartalmazó I intervallumon, akkor minden n N és x I esetén: fx) = fa) + f a)x a) + f a) 2! x a) f n) a) x a) n + R n x), n! ahol R n x) := f n+) c) x a) n+ valamely c-re az x és a között. n+)!

82 FEJEZET 6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI 82 Az R n x) függvényt az f-nek a T n fx) polinommal való közelítés hibájának vagy n-edik Lagrange-féle maradéktagnak nevezzük Tétel A maradéktag becslésének tétele). Ha létezik egy M konstans, mellyel minden x és a közötti t esetén f n+) t) M teljesül, akkor a Taylor tételében szereplő maradéktagra teljesül az egyenlőtlenség: R n x) M x a n+. n + )! 6.4. Konvex és konkáv függvények 6.3. Definíció. Legyen I R egy intervallum. Az f : I R függvényt konvexnek nevezzük, ha minden x, y, I-re és minden λ [0, ]-re fλx + λ)y) λfx) + λ)fy). Ha minden x, y, I-re és minden λ [0, ]-re akkor f-et konkávnak nevezzük. fλx + λ)y) λfx) + λ)fy), Konvex függvény esetén a {x, fx)) : x x, x 2 )} görbe nincs az x, fx )) és x 2, fx 2 )) által meghatározott szakasz felett. Továbbá konkáv függvény esetén a {x, fx)) : x x, x 2 )} görbe nincs az x, fx )) és x 2, fx 2 )) által meghatározott szakasz alatt. 3. ábra) 6.4. Tétel. Tegyük fel, hogy f : I R kétszer differenciálható az I intervallumon. Az f függvény akkor és csak akkor konvex, ha minden x I pontban f x) 0. Az f függvény akkor és csak akkor konkáv, ha minden x I pontban f x) 0. Ha f kétszer differenciálható függvény és f x) > 0 x I), akkor f szigorúan konvex, illetve ha f x) < 0 x I), akkor f szigorúan konkáv.)

83 FEJEZET 6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Definíció. Azt mondjuk, hogy az a I inflexiós pontja f-nek, ha ott megváltozik a függvény görbülete, azaz K r a) I környezet, hogy az f függvény konvex a K r a), a) halmazon és konkáv a K r a) a, + ) halmazon, vagy fordítva Tétel Az inflexiós pont létezésének szükséges feltétele). Tegyük fel, hogy f : I R kétszer folytonosan differenciálható az I intervallumon. Ha f-nek az a I pont inflexiós pontja, akkor f a) = Tétel Az inflexiós pont létezésének egy elégséges feltétele). Tegyük fel, hogy f : I R kétszer folytonosan differenciálható az I intervallumon. Ha f a) = 0 és az f függvény előjelet vált a-ban, akkor a inflexiós pontja f-nek. Függvénydiszkusszió, függvényvizsgálat - konkrét feladatokkal az előadáson.

84 7. fejezet Integrálszámítás 7.. Határozatlan integrál Az előző két fejezetben egy adott f függvény esetén megállapítottuk annak f deriváltját. Most megfordítjuk az eljárást és azt kérdezzük, hogy mely függvényt kell deriváljuk, hogy az adott f függvényt kapjuk. Durván szólva, az integrálás a deriválás megfordítása, már ha létezik a szóbanforgó függvény. Például, a F x) = x 2 x R) függvény deriváltja F x) = 2x x R). Tehát, mely függvényt kell deriválnunk, hogy megkapjuk a fx) = 2x függvényt? Valójában nem csupán az F x) = x 2 x R) jó, de az F 2 x) = x 2 + 5, F 3 x) = x 2 7 x R), és természetesen bármely F x) = x 2 + c x R) alakú függvény is, ahol c egy konstans, ezek mind az fx) = 2x x R)-et adják deriválással. Vegyük észre, hogy végtelen sok függvény deriváltja f és ezek egy konstansban térnek el egymástól. 7.. Definíció. Legyen I R egy intervallum és f : I R egy adott függvény. Az F : I R függvényt a f függvény primitív függvényének vagy antideriváltjának nevezzük, ha i) F differenciálható I-n és ii) F x) = fx) x I). Láthatjuk, hogy ha F egy primitív függvény, akkor az f összes primitív függvényeinek halmaza a következő: {F + c c R} Definíció. Legyen f : I R egy olyan függvény, melynek van primitív függvénye, legyen ennek jele F. Ekkor az f határozatlan integrálja az összes 84

85 FEJEZET 7. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 85 primitív függvényeinek halmaza. Jelölése: fx)x. = F x) + c, ahol c R tetszőleges konstans. Itt az szimbólumot integráljelnek, a f függvényt integrandusnak, x-et az integrálás változójának, c-t az integrálási konstansnak nevezzük. Gyakran a határozott és határozatlan integrál helyett csak integrálról beszélünk, de mindig kiderül az összefüggésből, hogy melyikre gondolunk. Az integrál keresését integrálásnak nevezzük és azt mondjuk, hogy integráljuk fx)-et. Ha ki kell térnünk arra, hogy mi a változó, akkor azt mondjuk, hogy integráljuk f-et az x változó szerint. Ne hagyjuk el a x. jelet a számolások során! A x., ṭ,... jelek tükrözik, hogy mely változó szerint integrálunk. Most szeretnénk több információval rendelkezni azon függvényekről, melyek integrálhatóak. Mivel a természettudományok nagyon gyakran folytonos függvényekkel foglalkoznak, megnyugtató lehet a következő tétel Tétel. Minden intervallumon értelmezett folytonos függvénynek van primitív függvénye vagyis határozatlan integrálja is) Tétel A határozatlan integrál és műveletek). Ha az f, g : I R függvényeknek van primitív függvénye és λ R egy valós szám, akkor az f + g és λf függvényeknek is van primitív függvénye és λfx)x. = λ fx)x. ; fx) + gx)x. = fx)x. + gx)x.. Az első szabály azt jelenti, hogy egy multiplikatív konstanst kiemelhetünk az integrálból. A második szabály szerint egy összeg vagy különbség) integrálja a külön-külön vett integrálok összege különbsége). Ez a szabály tetszőlegesen sok függvényre is igaz. A fenti tétel ekvivalens a következővel: 7.5. Tétel. Ha f és g függvényeknek van primitív függvénye, α és β konstansok, akkor αfx) + βgx)-nek is van primitív függvénye és αfx) + βgx)) dx = α fx) dx + β gx) dx.

86 FEJEZET 7. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 86 Szorzat és hányados integráljára viszont nincsen általános szabály. A leggyakrabban előforduló integrálok listája k dx = kx + C, x a dx = xa+ a + + C for a ), e x dx = e x + C, a x dx = ax ln a + C sin x dx = cos x + C, cos x dx = sin x + C x 2 + a dx = 2 a arctan x a + C x 2 a dx = a arctanh x a = 2a ln a x a + x + C 2 a arccoth x a = 2a ln x a x + a + C arcsin x dx = x arcsin x + x 2 + C, for x + arccos x dx = x arccos x x 2 + C, for x + arctan x dx = x arctan x 2 ln + x2 + C, for all real x for x < a ) for x > a ) arccot x dx = x arccot x + 2 ln + x2 + C, for all real x sinh x dx = cosh x + C, cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln cosh x + C, coth x dx = ln sinh x + C, for x Feladat. Számítsuk ki a következő integrálokat: 3x 5 2x 2 7 dx x 3 7 x dx x x + 7 x dx 4 8e x 9 2 x + 3 cos x dx dx 3x 8 7x 4 2x x 3 5x x dx x dx dx = ln x + C x dx

87 FEJEZET 7. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Helyettesítéses integrálás határozatlan integrálra A helyettesítéses integrálás egy integrálszámítási módszer. Az összetett függvény deriváltjáról szóló F ϕ) x) = F ϕx))ϕ x) = fϕx))ϕ x) szabály megfelelője Tétel. Legyen I R egy intevallum és ϕ : [a, b] I egy differenciálható függvény. Tegyük fel, hogy f : I R egy folytonos függvény. Ekkor F ϕx)) + c = fϕx))ϕ x) dx. A t = ϕx) helyettesítéssel kapjuk, hogy dt dx = ϕ x) és ezért, dt = ϕ x)dx, ami a dt helyettesítéséhez szükséges. A formulát arra használjuk, hogy egy integrált átalakítsunk egy másik integrállá, mely egyszerűbben kiszámítható. formulát használhatjuk jobbról balra és balról jobbra is attól függően, hogy melyiktől egyszerűsödik a számítás Példa. számítsuk ki: x cosx 2 + ) dx. A u = ϕx) = x 2 + helyettesítéssel kapjuk, hogy du = 2xdx és ezért xdx = 2 du. x cosx 2 + ) dx = 2 cosu) du = 2 sinu) + C = 2 sinx2 + ) + C ahol C egy tetszőleges konstans. Az x változóra való visszatérés elengedhetetlen a határozatlan integrálnál. A 7.3. Parciális integrálás határozatlan integrál esetén 7.7. Tétel. Ha f, g differenciálható függvények, az f g-nek van primitív függvénye, akkor az f g -nak is van primitív függvénye és fx)g x) dx = fx)gx) f x) gx)dx.

88 FEJEZET 7. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Határozott integrál A határozott integrál egy számot rendel függvényekhez, mely leírja a területet, térfogatot és más fogalmakat. Az x változó egy adott f függvényének az [a, b] intervallumon tekintett határozott integrálja, a b fx) dx szám megadja az xy a sík azon részének előjeles területét, melyet az f gráfja, az Ox tengely és a x = a és x = b függőleges egyenesek határolnak. hozzáadódik, míg az x-tengely alatti kivonódik az egészből. Ebben az x-tengely feletti terület 7.8. Definíció. A Riemann integrált a Riemann összegek segítségével értelmezzük: Legyen [a, b] egy zárt intervallum; ekkor az [a, b] egy felosztása alatt a τ = x i ) i=...n valós számok olyan halmazát értjük, melyre a = x 0 < x < x 2 < < x n < x n = b. Vagyis egy I zárt intervallum egy felosztása valós számok egy szigorúan növekvő sorozata, melyek az I intervallumba esnek és) melynek kezdőpontja az I kezdőpontja és utolsó tagja az I végpontja. Minden [x i, x i+ ] alakú intervallumot a τ felosztás egy részintervallumának nevezzük. a = x 0 t x t 2 x 2 x n t n x n = b. Minden [x i, x i ] részintervallumon tekintünk egy tetszőleges, ám kijelölt pontot: t i [x i, x i ]. Egy f függvény előbbi felosztásához tartozó Riemann összege alatt a n ft i ) i i= összeget értjük, ahol az összeg minden tagja egy téglalap területe, melynek magassága a részintervaallum kijelölt pontjában felvett függvényérték és szélessége megegyezik a részintervallum szélességével. Azaz, minden tag egy ft i ) magasságú és x i+ x i szélességű téglalap előjeles területe. A Riemann összeg az összes téglalap előjeles területeinek összege.

89 FEJEZET 7. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 89 A felosztás normája vagy finomsága) alatt ezen részintervallumok legnagyobbikának szélességét értjük, azaz max x i x i ) : i =,..., n. Legyen i = x i x i az i-edik részintervallum szélessége; ekkor a felosztás finomsága a legnagyobb részintervallum szélessége, max i=...n i.) Egy f függvény [a, b] intervallum fölötti Riemann integrálja az S szám, ha: bármely ε > 0 létezik δ > 0 úgy hogy az [a, b] intervallum minden olyan felosztására, melyek finomsága kisebb, mint δ, teljesül hogy n S ft i ) i < ε. i= Tehát a Riemann integral a Riemann összegek határértéke, amint a felosztás finomodik. Ha a határérték létezik, akkor a függvényt integrálhatónak nevezzük Riemann integrálhatónak). Ekkor a Riemann összeg tetszőlegesen közelivé tehető a Riemenn integrálhoz ha a felosztást elegendően finomítjuk. Az jel az integrálást jelöli. A dx szimbólum jelöli, hogy az integrálási változó x. Az integrálandó fx) függvényt integrandusnak nevezzük. Az a és b pontokat az integrálás határainak nevezzük, az integrált pedig haatározott integrálnak is nevezzük. Azt mondjuk, hogy az integrál az [a, b] intervallum feletti Tétel. Ha f és g Riemann-integrálható az [a, b]-n és α, β valós számok, akkor b αfx) + βgx)) dx = α b fx) dx + β b a a a gx) dx. Az alábbi, a kalkulus második alaptétele összeköti a határozatlan integrál primitív függvény) fogalmát a határozott integrál fogalmával. Csak a második alaptételt, a Newton-Leibnitz szabályt kell megtanulni, alkalmazni is kell tudni.) 7.0. Tétel A kalkulus első alaptétele). Legyen f egy folytonos valós függvény az [a, b] intervallumon értelmezve. Legyen F értelmezett minden x [a, b]-re az alábbi módon: F x) = x a ft) dt. Ekkor, F folytonos az [a, b]-n, differenciálható az a, b)nyílt intervaallumon és F x) = fx) x a, b)).

90 FEJEZET 7. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Tétel A kalkulus második alaptétele/ Newton-Leibnitz szabály). Ha f egy folytonos valós függvény az [a, b] zárt intervallumon értelmezve, melynek létezik primitív függvénye, F, akkor b a fx) dx = F b) F a) = [F x)] b a. Itt a F b) F a) = [F x)] b a jelöléssel éltünk. Ez a tétel sok integrál explicit kiszámítását teszi lehetővé. Például: 0 x /2 dx, az fx) = x 2 gyökfüggvény egy primitív függvénye F x) = 2x 3 2. Ekkor a határozott 3 integrál 0 x /2 dx = [F x)] 0 = F ) F 0) = 2 3 )3/ )3/2 = Definíció Az integrálás határainak felcserélése). Ha a > b, akkor legyen b fx) dx = a a b fx) dx. Ebből, ha a = b, kapjuk, hogy: 7.3. Tétel Nulla hosszúságú intevaallumon vett integrál). Ha a egy valós szám, akkor a a fx) dx = Tétel Az integrál intevallum feletti additivitása). Ha c [a, b], akkor b fx) dx = c fx) dx + b a a c fx) dx. Ebből adódik, hogy c a fx) dx = = b a b fx) dx fx) dx + b c c a b már igaz az a, b, és c minden ciklikus permutációjára.) fx) dx fx) dx

91 FEJEZET 7. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Helyettesítéses integrálás a határozott integrál esetén 7.5. Tétel. Legyen I R egy intervallum, ϕ : [a, b] I egy differenciálható függvény és f : I R egy folytonos függvény. Ekkor ϕb) ϕa) ft) dt = b a fϕx))ϕ x) dx. Azaz, a t = ϕx) helyettesítés eredményeképpen dt dx = ϕ x), ezért dt = ϕ x)dx, ami szükséges a dt helyettesítéshez. A formulát arra használjuk, hogy egy integrált egy olyan integrállá alakítjuk, melyet könnyebb kiszámolni. A formulát alkalmazhatjuk jobbról balra is, vagy balról jobbra is attól függően, hogy melyik egyszerűsíti le az adott integrált Példa. Számítsuk ki: 2 0 x cosx 2 + ) dx. Az u = ϕx) = x 2 + helyettesítéssel kapjuk, hogy du = 2xdx, ezért xdx = 2 du. Így x=2 x=0 x cosx 2 + ) dx = 2 u=5 u= cosu) du = sin5) sin)). 2 Az x = 0 alsó határból u = = lett, az x = 2 felső határt pedig u = = 5-re kellett cserélni, ezért az x változóra való visszatérés szükségtelen Parciális integrálás határozott integrál esetén 7.6. Tétel. Ha f, g differenciálható függvények, az f g függvény integrálható az [a, b] intervallumon, akkor f g is integrálható az [a, b]-n és b fx)g x) dx = [fx)gx)] b a b a a f x) gx)dx.

92 FEJEZET 7. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Improprius integrálok A Riemann integrál feltételezi, hogy az integrandus léteziuk és véges egy zárt és véges intervallumon. Az improprius integrál akkor lép fel, ha ezen feltételek valamelyike nem teljesül. Ezen integrálok akkor definiálhatók egyre bővülő intervallumrendszeren vett Riemann integrálok sorozatának határértékeként, amennyiben ez a határérték létezik. Ha az integrálási intervallum nem korlátos, például a felső határa +, akkor az improprius integrál az a határérték, amikor a végpont tart a végtelenbe. a M fx) dx = fx) dx. M a Ha az integrandus csak egy félig nyílt intervallumon értelmezett vagy véges, például a, b]-n, akkor ismét egy határérték nyújthatja az eredményt, amennyiben az létezik: b a b fx) dx = fx) dx ɛ 0 a+ɛ 7.8. Az integrálszámítás alkalmazásai Az átlagos függvényérték: 7.7. Definíció. Egy f függvény középértéke vagy átlagos függvényértéke egy a, b) intervallum fölött: f = b a b a fx) dx Tétel Az integrálszámítás első középértéktétele). Ha egy f függvény folytonos a zárt [a, b] intervallumon, melyre a < b, és differenciálható a nyílt a, b) intervallumon, akkor létezik c a, b) úgy hogy: f c) = fb) fa). b a 7.9. Következmény. Ha f folytonos, akkor létezik olyan c a, b) pont, hogy b a fx) dx = fc)b a).

93 FEJEZET 7. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 93 Az fc) számot az f függvény [a, b] feletti középértékének nevezzük. Görbék által közrezárt terület Az f és g függvények [a, b] feletti részei által bezárt tartomány területét akarjuk kiszámolni. Feltesszük, hogy fx) gx) x [a, b]). Az f és g által az [a, b] fölött közrezárt területet megadó formula: A = b a fx) gx) dx Példa. Határozzuk meg az y = x 2 és y = x által közrezárt területet! 7.5. Példa. Határozzuk meg az y = 2x és y = 4x + 6 által közrezárt területet! 7.6. Példa. Határozzuk meg az y = 2x 2 + 0, y = 4x + 6, x = 2, és x = 5 által közrezárt területet! Egy forgástest térfogata Előbb határozzuk meg, hogy mit értünk forgástest alatt. Hogy forgástestet kapjunk, tekintünk egy f függvényt az [a, b] intervallumon. Majd a függvény gráfját megforgatjuk egy adott tengely körül, így forgástest jön létre. Most forgassuk meg a görbét az x-tengely körül. Ez megadja a következő 3 dimenziós alakzatot. Az x tengely körüli forgatás által kapott forgástest térfogatát megadó formula: V = π b a f 2 x) dx. A forgatási tengely lehetett volna bármely függőleges vagy vízszintes tengely, de akkor más képlet szolgál a térfogat kiszámítására. )

94 FEJEZET 7. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Példa. Határozzuk meg egy forgástest térfogatát melyet y = x 2 4x+5, x =, x = 4, és az x-tengely által meghatározott alakzat x tengely körüli elforgatásával kapunk. Munka Ebben a részben egy erő által egy mozgó tárgyra gyakorolt munka mennyiségét vizsgáljuk. Bevezető fizikában szerepel egy állandó F erő egy d távolságra elmizdított tárgyhoz szükséges munkája. Ebben az esetben a munka: W = F d. Viszont a legtöbb erő nem állandó és attól függ, hogy hol hat az erő. Tehát legyen az erő az x pontban F x). Ekkor az erő által végzett munka, melyet a tárgy x = a-ból x = b-be való mozgatásához végez, W = b a F x)dx. Ívhossz Legyen f : [a, b] R n egy folytonosan differenciálható függvény. Az f gráfjának, görbéjének a hosszát a [a, b] egy felosztása által keletkező szakaszok hosszai összegének határértékeként defináljuk, amint a szakaszok száma tart a végtelenbe. Ez azt jelenti, hogy Lf) = N N ft i) ft i ) ahol t i = a + ib a)/n = a + i t minden i = 0,,..., N. i= Az ívhosszt tehát egy integrál adja meg: N N ft i) ft i ) = i= N N i= ft i ) ft i ) t b t = f t) dt. a