konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!"

Átírás

1 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n, c) lim 2 n, n n d) lim 1 n lim cos ( ) 2 n n n sin(3.9/n) lim 1 n n 3, lim n 2, n 3 n 5 n n lim n log n 2 (n) 3 e) lim n n, lim n n 10 n!, lim n n n! f) lim ( 1) n 1+2, lim n, lim n 3 + ( 1) n n 1+( 2) n ( n n g) lim a + a q + a q a q n 1), n lim (n db 7-es) n ( ) h) lim 1 n n(n+1) Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

2 2. Határérték 2. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( a) lim n 2 300n ) (, lim n 2 n + 5 ) n n b) lim ( 2) n + 3 n, lim 2 n + ( 3) n n ( n c) lim 2 n 2 n) n 3. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!?? ( ) ( ) a) lim n + 3 n + 4, lim 2n 1 n + 5 n n ( b) lim n 2 3n + 1 ) n n ( c) lim n 2 45n ) 6n + 23 n, lim n ( 5n 2 + 4n n ) Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

3 3. Határérték 4. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! a) lim n 2+5n 3 7n, 4 b) lim n 2 n n c) lim n lim 0.1n 2 3n+8 34n n 512n+99, lim n 2n 4 4n 2 1 4, lim n 5 3 n 2 4 n +2, lim n +( 3) n 2+( 3) n n n n 3 n n 10 +4n 9 5. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( 1) a) lim n n n, lim ( 1) n 9n+10 n n 2 +1, lim b) lim (cos(n) + sin(n)) ( n n 1 ), n n sin(n) sin(n) n, lim n ln(n) n 2 lim n 2n+1 ( 0.91)n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

4 4. Határérték 6. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( ) lim n n 2 ( 1 n, lim n sin( 1 n n n ) ) 7. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! a) lim n n 2 + 3n 1, n n b) (!) lim 2+n n c) lim n n log 2 (n) 3+7n, lim n lim n 7n + 4 n, n n lim n 5 n 4 n n 8 n +9 n 10 n 8. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( lim n 2 ) n ( n n, lim n ) n ( n n+3, lim 3n+5 ) n ( n 3n, lim 8n+7 ) 3n 2 n 8n 2 Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

5 5. Küszöbszám keresés 9. Az ε = 10 7 hibahatárhoz adjunk meg egy N küszöbszámot: a) n+2 lim n 3n 4, b) lim n 0.5, n lim n 2n 2 n lim 320 n 10 n 1 +9 c) A P = 10 7 korláthoz adjunk meg egy N küszöbszámot: lim (3.11) n (, lim 3n 2 + n ) n 1, lim n n n 3 n+2, lim n 2 +5 n 10 3 n. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

6 6. Vegyes (ismétlő) és érdekesebb feladatok 10. Feladat. a) lim 2+n n 3+7n, lim n b) lim n+2 n 3n2 5, lim n lim 7n+3 ( 1)n n n 2 1 n+3 ( 1)n 2n 1, ( n+1 ) 5 2n 1, lim 3n 2 4n+1 n 2n 2 +57n c) ( ) lim (ln(n + 3) ln(n + 4)) n 3 d) lim n+1 +( 2) n n+2 n n 3, lim n n n+3 n, lim e n n+1 n e) lim n 4 n 8, lim n +9 n n 4+( 1) n n 10, lim arctg ( n 3 99n ) n n (n+1) f) ( ) lim 3 (n 1) 3, (*) lim n (n+1) 2 +(n 1) 2 n 4 n 4+( 2) ( ) n n ( g) (* ) lim n 2 + n n, (*) lim 4 n 2 n) ###, (* ) n n n lim 8 1 n n 4 1 h*) lim n n ( 1 ) 1 n t ahol t R tetszőleges paraméter Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

7 7. Vegyes (ismétlő) és érdekesebb feladatok 11. Feladat. a+) lim a n ahol valamely adott γ R + számra a 0 = γ és a n+1 = a n+γ/a n n 2 (Newton algoritmusa) b+ ) Osszunk fel egy egységnégyzetet 3 3 kis négyzetre és vágjuk ki a középső kis négyzetet. Majd a megmaradt 8 kis négyzet mindegyikét osszuk fel 3 3 még kisebb négyzetre és vágjuk ki mindegyik négyzet középső, még kisebb középső kis négyzetét. Az eljárást végtelernszer megismételve milyen értékhez tart a megmaradt síkidom területe? (Sierpínsky-szőnyeg) Hasonlóan készül az ún. Sierpínsky-szivacs is: egy kockát osztunk fel 3 3 ( 3 kis kockára, a ) középsőt kivesszük, s.í.t. c*) lim n + a n + b ahol a, b R tetszőleges paraméterek n ( d*) lim n 2 + βn + γ ) n 2 + δn + ε ahol β, γ, δ, ε R tetszőleges n paraméterek Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

8 Útmutatás Írja fel a kifejezést 2 hatványaként Hová tart a belső 3.9/n kifejezés? Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

9 Útmutatás Ez egy mértani sorozat... Hová tart a belső 2 n kifejezés? Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

10 Útmutatás Hová tart a belső n kifejezés? Hová tart a belső 1 n 3 kifejezés? Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

11 Útmutatás Használja az n n 1 összefüggést! Használja az n a 1 összefüggést! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

12 Útmutatás Használja a a n lim n n k =, lim n n! n an = n és lim n n! = össszefüggéseket (a > 1, k 0, )... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

13 Útmutatás Vizsgálja meg a páros és a páratlan sorszámú tagok részsorozatait! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

14 Útmutatás Írja fel a mértani sorozat összegképletét! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

15 Útmutatás Használja a 1 k (k + 1) = 1 k 1 k + 1 összefüggést! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

16 Útmutatás emeljen ki n 2 -et... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

17 Útmutatás emeljen ki 3 n -et... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

18 Útmutatás emeljen ki 2 n -et... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

19 Útmutatás bővítsen ( n n + 4 ) -el... bővítsen ( 2n 1 + n + 5 ) -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

20 Útmutatás ( bővítsen n 2 3n n 2 + 6) -el... ( bővítsen 5n 2 + 4n + n 2 + 2) -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

21 Útmutatás ( bővítsen n 2 45n + 6n + 23) -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

22 Útmutatás egyszerűsítse a törtet n -el... egyszerűsítse a törtet n -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

23 Útmutatás egyszerűsítse a törtet 4 n -el... egyszerűsítse a törtet 4 n -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

24 Útmutatás lim a n n n k egyszerűsítse a törtet n 10 -el és használja a nevezetes = határértéket... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

25 Útmutatás lim a n n n k egyszerűsítse a törtet n 10 -el és használja a nevezetes = határértéket... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

26 Útmutatás ( bővítse a zárójelet n ) n 2 -el... Használja a sin(x) lim x 0 x = 1 határértéket... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

27 Útmutatás Alkalmazza a Rendőr-elv -et! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

28 Útmutatás Használja fel az (1 + s n )n e s eredményt! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

29 Útmutatás Írja fel és oldja meg az a n A < ε egyenlőtlenséget, ahol A = lim n a n az a n sorozat (véges) határértéke! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

30 Útmutatás Írja fel és oldja meg az a n > P egyenlőtlenséget, ha a n. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

31 = n = n = n 0, ezért a sin(x) függvény folytonossága miatt sin(3.9/n) sin(0) = 0, a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

32 A q = sin(1) jelöléssel q < 1, ezért (sin(1)) n 0, a sorozat konvergens (1 radián = π/2). 2 n ( 0 ), ezért a cos(x) függvény folytonossága miatt cos 2n cos(0) = 1, a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

33 A függvény -ben vett határértéke lim n 2 n =, vagyis a sorozat divergens. ( ) 3/2 1 = 1n n 0 3/2 = 0 (az x 3/2 függvény folytonossága miatt), a 3 sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

34 ( ) 3 ( ) 3 n 1 = 1 n 3 n n 11 = 1 (az n n 1 azonosság és az x 3 függvény folytonossága miatt), a sorozat konvergens. n 2 1 (az n a 1 azonosság miatt), a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

35 3 n (az n 10 an azonosság miatt), vagyis a sorozat divergens. n k 5 n n! 0 (az an n! 0 azonosság miatt), a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

36 ( 1) n = +1 páros n esetén, ( 1) n = 1 páratlan n esetén, és mivel e két részsorozat határértéke különböző, ezért a sorozatnak nincs határértéke, a sorozat divergens. Páros n esetén 1+2 n = 1+( 2) n 1+2n 1+2 n = 1 1, páratlan n esetén n 1 + ( 2) n = 1 + 2n n = 2 n n 1 1 1, és mivel e két részsorozat határértéke különböző, ezért a sorozatnak nincs határértéke, a sorozat divergens. Páros n esetén páratlan n esetén n 3 + ( 1) n = n 4 1, n 3 + ( 1) n = n 2 1, vagyis a sorozat határértéke 1, mivel ez a két részsorozat lefedi az összes természetes számot, és határértékük megegyezik. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

37 A mértani sorozat összegképlete miatt a + a q + a q a q n 1 = a qn 1 q 1 q < 1. Az előző feladat alapján a 1 q 1 = a 1 1 q abban az esetben ha lim = n 1 1/10 = 7 9. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

38 Az 1 k (k+1) = 1 k 1 k+1 azonosság alapján n(n + 1) = n 1 n + 1 = = n mivel a szomszédos tagok kiesnek (ún. teleszkópos összeg ). Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

39 ( n 2 300n ) = n (n 300) =. ( n 2 n + 5 ) ( ) = n n 1 + n 5 =. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

40 ( 2) n + 3 n = 3 n (( 2 3 ) n + 1 ) 1 =. 2 n + ( 3) n = 3 n (( 23 ) n + ( 1) n ), ahonnan látható, hogy a páros sorszámú (n páros) tagok + -be, a páratlan sorszámú tagok -be tartanak, vagyis az eredeti sorozatnai nincs semmilyen határértéke. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

41 (2 n 2 n ) 0 =. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

42 ( ) ( n+3 n+4) ( n+3+ n+4) n + 3 n + 4 = ( n+3+ n+4) 1 n+3+ n+4 0. ( ) ( 2n 1 n+5) ( 2n 1+ n+5) 2n 1 n + 5 = ( 2n 1+ n+5) = (2n 1) (n+5) 2n 1+ n+5 = n n 6 = 2 1 n + 1+ n 5 = (n+3) (n+4) n+3+ n+4 = n 6, egyszerűsítünk n -el ( 2n 1+ n+5 alakú): 2+1 =. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

43 ( n 2 3n + 1 n 2 + 6) = (n2 3n+1) (n 2 +6) n 2 3n+1+ n 2 +6 = alakú): = 3 n 5 1 n n n 2 ( 5n 2 + 4n n 2 + 2) 5+1 =. = ( n 2 3n+1 n 2 +6) ( n 2 3n+1+ n 2 +6) ( n 2 3n+1+ n 2 +6) 3n 5 n 2 3n+1+ n 2 +6, egyszerűsítünk n 2 -el ( 3 2. =... = 4n 2 +4n 2 5n 2 +4n+ n 2 +2 = 4n+4 n n n 2 Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

44 2+5n 3 7n = n n n 2 3n+8 512n+99 = 0.1n 3+ 8 n n 512 = azaz ### 0.1n 2 3n n + 99 = 0.1n n n 512 =. 34n = 34 n n 4 4n 2 n = 0 azaz ### n 2 34n n 4 4n 2 = n + 12 n n = 0 Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

45 4 n 2 n 4 n +2 n = 1 ( 2 4 ) n 1+( 2 4 ) n 1 1 = 1. 2 n +( 3) n 1 4 n = ( 2 4 ) n +( 3 4 ) n 1 4 n 1 2+( 3) n 5 3 n 3 = 2 n +( 1) n 5 3 n = 0., a páros indexű tagok 1 -hez, a páratlan indexű tagok +1 -hez közeĺıtenek, vagyis a sorozatnak nincsen határértéke. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

46 ( 1) n n = ( 1) n 1n = korlátos 0 0. ( 1) n 9n+10 n 2 +1 = korlátos 0 0. sin(n) n = ( 1) n 1n = korlátos 0 0. sin(n) ln(n) = korlátos 0. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

47 (cos(n) + sin(n)) ( n n 1 ) = korlátos 0 0. n 2 2n+1 ( 0.91)n = korlátos 0 0. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

48 ( ) n n 2 1 n = n ( n 2 1 n)( n 2 1+n) = n 1 n 2 1+n n 2 1+n = 1 2. ) Az x = n 1 helyettesítéssel kapjuk: lim (n sin( 1 n n ) n 2 +1 = lim x 0 sin(x) x = 1. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

49 n egyrészt n 2 + 3n 1 n 2n 2 = n 2 ( n n ) 2 1, n másrészt n 2 + 3n 1 n n 2 = ( n n ) 2 1, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 1. egyrészt n 7n + 4 n n 2 4 n = n 2 n 4 n = n 2 4 4, másrészt n 7n + 4 n n 4 n = 4, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 4. egyrészt n 5 n 4 n n 5 n = 5, másrészt n 5 n 4 n n 5 n 5 n /2 = 5 n n 12 = 5 n 12 5, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 5. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

50 Mivel 2+n 3+7n 1 7 esetén:, ezért pl. az ε = 0.1 választással, megfelelően nagy n egyrészt n 2+n 3+7n n , n másrészt 2+n 3+7n n , így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 1. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

51 egyrészt n log 2 (n) n n 1, másrészt n log 2 (n) n 2 1, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 1. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

52 ( ) n ( ) n ( n 2 n = 1 n 2 = n ) n ( = ( n n+3 = ) n = ( n+3 3 n+3 ( ( 3n+5 3n ) n+3 n+3 ) n ( = 1 + 3n 5 vagy egyszerűbben: ( ( ) 3n 2 ( 8n+7 8n 2 = 1 + 8n 2 9 ) ) 3n 2 8n 2 = ( ( n n+3 ) n e 2. ) n ( ) n+3 3 = 1 + n+3 3 ) 3 n+3 e 3 1 = e 3. ) n ( ) = 3 3n 1 + 3n 5 3 e 5 = e 5/3 ( ) n ( ) n 1 + 3n 5 = 1 + 5/3 n e 5/3. ) 3n 2 = ( n 2 ) 8n 2 8n 2 3n 2 8n 2 ( e 9 ) 3/8 = e 27/8 = e Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

53 A = lim n+2 n 3n 4 = 1 3, ezért az n + 2 3n < 10 7 egyenletet kell megoldanunk. A megoldás: < n, vagyis N = , 4 = (felső egészrész). 2n 2 A = lim n n 2 +1 = 2, 2n 2 n < 10 7 melynek megoldása < n, ahonnan N = = Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

54 A = lim n n 0.5 = 0, N n < 10 7, ( 10 7 ) 2 n vagyis A = lim 10 n n 10 n 1 +9 = 102, 10n n < 10 7, log 10 ( ) < n vagyis N 12. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

55 A (3.11) n > 10 7 ( egyenlőtlenség megoldása n > log ), ahonnan N = 15. ( A 3n 2 + n ) > 10 7 egyenlőtlenség megoldása n > vagyis N Az n 1 3 n+2 > 107 egyenlőtlenség megoldása n > ahonnan N Az n n > 107 egyenlőtlenség megoldása < n ahonnan N Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

56 lim 2+n n 3+7n = 17. lim n+3 ( 1)n n 2n 1 = ± 1 2 nincs határérték. lim 7n+3 ( 1)n n n 2 1 = 0. az n paritásától (párosságától) függően, vagyis Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

57 lim n lim n n+2 3n 2 5 = 1 3. ( ) 5 n+1 2n 1 = lim 3n 2 4n+1 n 2n 2 +57n = 3 2. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

58 ( ) lim (ln(n + 3) ln(n + 4)) = lim ln n+3 n n n+4 = ln(1) = 0. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

59 3 lim n+1 +( 2) n n lim n 3 n = 3. n+2 n n+3 n = 1. lim e n n+1 = 0. n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

60 lim n 4 n n 8 n +9 n lim n 4+( 1) n = n = lim arctg ( n 3 99n ) = π n 2. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

61 ( ) n n 2 + n n = lim 0 lim n ( ) n lim = 0. n ( ) n n 2 + n n = lim 0 lim n ( ) n lim = 0. n lim n n 8 1 ( n = n 2) 3 1 lim 4 1 n ( n 2) = lim 2 1 n ( (n 2 +n) n 2 n n 2 +n+n ( (n 2 +n) n 2 n n 2 +n+n ) n = lim n ) n = lim n ( ) n n n 2 +n+n ( ) n n n 2 +n+n ( n 2 1) ( ( n 2) 2 + n ) 2+1 ( n 2 1)( n = 2+1) 3 2. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

62 ( ) lim n 1 1 t n n = 2 t minden t R esetén. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

63 lim a n = γ minden γ R + számra. n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

64 ( ( ) 2 ( ) ) ( ) 3 T = lim 1 1 n = = Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

65 ( ) lim n + a n + b = 0 minden a, b R szám esetén. n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

66 lim n esetén. ( n 2 + βn + γ n 2 + δn + ε) = β δ 2 minden β, γ, δ, ε R Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

SZTE TTIK Bolyai Intézet

SZTE TTIK Bolyai Intézet Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői

V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői V.9. NÉGYZET, VÁGOD? Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Geometriai megközelítésen keresztül a mértani sorozat tulajdonságaival, első n tagjának összegképletével való ismerkedés. Előzmények Téglalap területe,

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.? FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat PÉLDATÁR AZ ANALÍZISHEZ Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat Algoritmuselmélet Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultsága Analitikus módszerek a pénzügyekben Bevezetés az

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

5. Deriválható függvények A derivált értelmezése A derivált mértani jelentése Műveletek deriválható függvényekkel...

5. Deriválható függvények A derivált értelmezése A derivált mértani jelentése Műveletek deriválható függvényekkel... Tartalomjegyzék GEOMETRIA 1 Vektorok 1 11 Irányított szakaszok Vektorok 1 1 Műveletek vektorokkal 3 13 Kollineáris vektorok 6 14 Helyzetvektor 8 15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás 10 16 Skaláris

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

Néhány fontosabb folytonosidejű jel

Néhány fontosabb folytonosidejű jel Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Matematika példatár 1.

Matematika példatár 1. Matematika példatár 1. Halmazelmélet, sorozatok Csabina, Zoltánné Matematika példatár 1.: Halmazelmélet, sorozatok Csabina, Zoltánné Lektor: PhD. Vigné dr. Lencsés, Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 = 4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Beregszászi István Programozási példatár

Beregszászi István Programozási példatár Beregszászi István Programozási példatár 2 1. fejezet 1. laboratóriumi munka 1.1. Matematikai kifejezések Írja fel algoritmikus nyelven a megadott kifejezést megfelelő típusú változók segítségével! Figyeljen

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben