konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
|
|
|
- Irma Kiss
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n, c) lim 2 n, n n d) lim 1 n lim cos ( ) 2 n n n sin(3.9/n) lim 1 n n 3, lim n 2, n 3 n 5 n n lim n log n 2 (n) 3 e) lim n n, lim n n 10 n!, lim n n n! f) lim ( 1) n 1+2, lim n, lim n 3 + ( 1) n n 1+( 2) n ( n n g) lim a + a q + a q a q n 1), n lim (n db 7-es) n ( ) h) lim 1 n n(n+1) Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
2 2. Határérték 2. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( a) lim n 2 300n ) (, lim n 2 n + 5 ) n n b) lim ( 2) n + 3 n, lim 2 n + ( 3) n n ( n c) lim 2 n 2 n) n 3. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!?? ( ) ( ) a) lim n + 3 n + 4, lim 2n 1 n + 5 n n ( b) lim n 2 3n + 1 ) n n ( c) lim n 2 45n ) 6n + 23 n, lim n ( 5n 2 + 4n n ) Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
3 3. Határérték 4. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! a) lim n 2+5n 3 7n, 4 b) lim n 2 n n c) lim n lim 0.1n 2 3n+8 34n n 512n+99, lim n 2n 4 4n 2 1 4, lim n 5 3 n 2 4 n +2, lim n +( 3) n 2+( 3) n n n n 3 n n 10 +4n 9 5. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( 1) a) lim n n n, lim ( 1) n 9n+10 n n 2 +1, lim b) lim (cos(n) + sin(n)) ( n n 1 ), n n sin(n) sin(n) n, lim n ln(n) n 2 lim n 2n+1 ( 0.91)n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
4 4. Határérték 6. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( ) lim n n 2 ( 1 n, lim n sin( 1 n n n ) ) 7. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! a) lim n n 2 + 3n 1, n n b) (!) lim 2+n n c) lim n n log 2 (n) 3+7n, lim n lim n 7n + 4 n, n n lim n 5 n 4 n n 8 n +9 n 10 n 8. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( lim n 2 ) n ( n n, lim n ) n ( n n+3, lim 3n+5 ) n ( n 3n, lim 8n+7 ) 3n 2 n 8n 2 Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
5 5. Küszöbszám keresés 9. Az ε = 10 7 hibahatárhoz adjunk meg egy N küszöbszámot: a) n+2 lim n 3n 4, b) lim n 0.5, n lim n 2n 2 n lim 320 n 10 n 1 +9 c) A P = 10 7 korláthoz adjunk meg egy N küszöbszámot: lim (3.11) n (, lim 3n 2 + n ) n 1, lim n n n 3 n+2, lim n 2 +5 n 10 3 n. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
6 6. Vegyes (ismétlő) és érdekesebb feladatok 10. Feladat. a) lim 2+n n 3+7n, lim n b) lim n+2 n 3n2 5, lim n lim 7n+3 ( 1)n n n 2 1 n+3 ( 1)n 2n 1, ( n+1 ) 5 2n 1, lim 3n 2 4n+1 n 2n 2 +57n c) ( ) lim (ln(n + 3) ln(n + 4)) n 3 d) lim n+1 +( 2) n n+2 n n 3, lim n n n+3 n, lim e n n+1 n e) lim n 4 n 8, lim n +9 n n 4+( 1) n n 10, lim arctg ( n 3 99n ) n n (n+1) f) ( ) lim 3 (n 1) 3, (*) lim n (n+1) 2 +(n 1) 2 n 4 n 4+( 2) ( ) n n ( g) (* ) lim n 2 + n n, (*) lim 4 n 2 n) ###, (* ) n n n lim 8 1 n n 4 1 h*) lim n n ( 1 ) 1 n t ahol t R tetszőleges paraméter Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
7 7. Vegyes (ismétlő) és érdekesebb feladatok 11. Feladat. a+) lim a n ahol valamely adott γ R + számra a 0 = γ és a n+1 = a n+γ/a n n 2 (Newton algoritmusa) b+ ) Osszunk fel egy egységnégyzetet 3 3 kis négyzetre és vágjuk ki a középső kis négyzetet. Majd a megmaradt 8 kis négyzet mindegyikét osszuk fel 3 3 még kisebb négyzetre és vágjuk ki mindegyik négyzet középső, még kisebb középső kis négyzetét. Az eljárást végtelernszer megismételve milyen értékhez tart a megmaradt síkidom területe? (Sierpínsky-szőnyeg) Hasonlóan készül az ún. Sierpínsky-szivacs is: egy kockát osztunk fel 3 3 ( 3 kis kockára, a ) középsőt kivesszük, s.í.t. c*) lim n + a n + b ahol a, b R tetszőleges paraméterek n ( d*) lim n 2 + βn + γ ) n 2 + δn + ε ahol β, γ, δ, ε R tetszőleges n paraméterek Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
8 Útmutatás Írja fel a kifejezést 2 hatványaként Hová tart a belső 3.9/n kifejezés? Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
9 Útmutatás Ez egy mértani sorozat... Hová tart a belső 2 n kifejezés? Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
10 Útmutatás Hová tart a belső n kifejezés? Hová tart a belső 1 n 3 kifejezés? Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
11 Útmutatás Használja az n n 1 összefüggést! Használja az n a 1 összefüggést! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
12 Útmutatás Használja a a n lim n n k =, lim n n! n an = n és lim n n! = össszefüggéseket (a > 1, k 0, )... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
13 Útmutatás Vizsgálja meg a páros és a páratlan sorszámú tagok részsorozatait! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
14 Útmutatás Írja fel a mértani sorozat összegképletét! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
15 Útmutatás Használja a 1 k (k + 1) = 1 k 1 k + 1 összefüggést! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
16 Útmutatás emeljen ki n 2 -et... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
17 Útmutatás emeljen ki 3 n -et... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
18 Útmutatás emeljen ki 2 n -et... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
19 Útmutatás bővítsen ( n n + 4 ) -el... bővítsen ( 2n 1 + n + 5 ) -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
20 Útmutatás ( bővítsen n 2 3n n 2 + 6) -el... ( bővítsen 5n 2 + 4n + n 2 + 2) -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
21 Útmutatás ( bővítsen n 2 45n + 6n + 23) -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
22 Útmutatás egyszerűsítse a törtet n -el... egyszerűsítse a törtet n -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
23 Útmutatás egyszerűsítse a törtet 4 n -el... egyszerűsítse a törtet 4 n -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
24 Útmutatás lim a n n n k egyszerűsítse a törtet n 10 -el és használja a nevezetes = határértéket... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
25 Útmutatás lim a n n n k egyszerűsítse a törtet n 10 -el és használja a nevezetes = határértéket... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
26 Útmutatás ( bővítse a zárójelet n ) n 2 -el... Használja a sin(x) lim x 0 x = 1 határértéket... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
27 Útmutatás Alkalmazza a Rendőr-elv -et! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
28 Útmutatás Használja fel az (1 + s n )n e s eredményt! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
29 Útmutatás Írja fel és oldja meg az a n A < ε egyenlőtlenséget, ahol A = lim n a n az a n sorozat (véges) határértéke! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
30 Útmutatás Írja fel és oldja meg az a n > P egyenlőtlenséget, ha a n. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
31 = n = n = n 0, ezért a sin(x) függvény folytonossága miatt sin(3.9/n) sin(0) = 0, a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
32 A q = sin(1) jelöléssel q < 1, ezért (sin(1)) n 0, a sorozat konvergens (1 radián = π/2). 2 n ( 0 ), ezért a cos(x) függvény folytonossága miatt cos 2n cos(0) = 1, a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
33 A függvény -ben vett határértéke lim n 2 n =, vagyis a sorozat divergens. ( ) 3/2 1 = 1n n 0 3/2 = 0 (az x 3/2 függvény folytonossága miatt), a 3 sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
34 ( ) 3 ( ) 3 n 1 = 1 n 3 n n 11 = 1 (az n n 1 azonosság és az x 3 függvény folytonossága miatt), a sorozat konvergens. n 2 1 (az n a 1 azonosság miatt), a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
35 3 n (az n 10 an azonosság miatt), vagyis a sorozat divergens. n k 5 n n! 0 (az an n! 0 azonosság miatt), a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
36 ( 1) n = +1 páros n esetén, ( 1) n = 1 páratlan n esetén, és mivel e két részsorozat határértéke különböző, ezért a sorozatnak nincs határértéke, a sorozat divergens. Páros n esetén 1+2 n = 1+( 2) n 1+2n 1+2 n = 1 1, páratlan n esetén n 1 + ( 2) n = 1 + 2n n = 2 n n 1 1 1, és mivel e két részsorozat határértéke különböző, ezért a sorozatnak nincs határértéke, a sorozat divergens. Páros n esetén páratlan n esetén n 3 + ( 1) n = n 4 1, n 3 + ( 1) n = n 2 1, vagyis a sorozat határértéke 1, mivel ez a két részsorozat lefedi az összes természetes számot, és határértékük megegyezik. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
37 A mértani sorozat összegképlete miatt a + a q + a q a q n 1 = a qn 1 q 1 q < 1. Az előző feladat alapján a 1 q 1 = a 1 1 q abban az esetben ha lim = n 1 1/10 = 7 9. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
38 Az 1 k (k+1) = 1 k 1 k+1 azonosság alapján n(n + 1) = n 1 n + 1 = = n mivel a szomszédos tagok kiesnek (ún. teleszkópos összeg ). Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
39 ( n 2 300n ) = n (n 300) =. ( n 2 n + 5 ) ( ) = n n 1 + n 5 =. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
40 ( 2) n + 3 n = 3 n (( 2 3 ) n + 1 ) 1 =. 2 n + ( 3) n = 3 n (( 23 ) n + ( 1) n ), ahonnan látható, hogy a páros sorszámú (n páros) tagok + -be, a páratlan sorszámú tagok -be tartanak, vagyis az eredeti sorozatnai nincs semmilyen határértéke. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
41 (2 n 2 n ) 0 =. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
42 ( ) ( n+3 n+4) ( n+3+ n+4) n + 3 n + 4 = ( n+3+ n+4) 1 n+3+ n+4 0. ( ) ( 2n 1 n+5) ( 2n 1+ n+5) 2n 1 n + 5 = ( 2n 1+ n+5) = (2n 1) (n+5) 2n 1+ n+5 = n n 6 = 2 1 n + 1+ n 5 = (n+3) (n+4) n+3+ n+4 = n 6, egyszerűsítünk n -el ( 2n 1+ n+5 alakú): 2+1 =. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
43 ( n 2 3n + 1 n 2 + 6) = (n2 3n+1) (n 2 +6) n 2 3n+1+ n 2 +6 = alakú): = 3 n 5 1 n n n 2 ( 5n 2 + 4n n 2 + 2) 5+1 =. = ( n 2 3n+1 n 2 +6) ( n 2 3n+1+ n 2 +6) ( n 2 3n+1+ n 2 +6) 3n 5 n 2 3n+1+ n 2 +6, egyszerűsítünk n 2 -el ( 3 2. =... = 4n 2 +4n 2 5n 2 +4n+ n 2 +2 = 4n+4 n n n 2 Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
44 2+5n 3 7n = n n n 2 3n+8 512n+99 = 0.1n 3+ 8 n n 512 = azaz ### 0.1n 2 3n n + 99 = 0.1n n n 512 =. 34n = 34 n n 4 4n 2 n = 0 azaz ### n 2 34n n 4 4n 2 = n + 12 n n = 0 Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
45 4 n 2 n 4 n +2 n = 1 ( 2 4 ) n 1+( 2 4 ) n 1 1 = 1. 2 n +( 3) n 1 4 n = ( 2 4 ) n +( 3 4 ) n 1 4 n 1 2+( 3) n 5 3 n 3 = 2 n +( 1) n 5 3 n = 0., a páros indexű tagok 1 -hez, a páratlan indexű tagok +1 -hez közeĺıtenek, vagyis a sorozatnak nincsen határértéke. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
46 ( 1) n n = ( 1) n 1n = korlátos 0 0. ( 1) n 9n+10 n 2 +1 = korlátos 0 0. sin(n) n = ( 1) n 1n = korlátos 0 0. sin(n) ln(n) = korlátos 0. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
47 (cos(n) + sin(n)) ( n n 1 ) = korlátos 0 0. n 2 2n+1 ( 0.91)n = korlátos 0 0. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
48 ( ) n n 2 1 n = n ( n 2 1 n)( n 2 1+n) = n 1 n 2 1+n n 2 1+n = 1 2. ) Az x = n 1 helyettesítéssel kapjuk: lim (n sin( 1 n n ) n 2 +1 = lim x 0 sin(x) x = 1. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
49 n egyrészt n 2 + 3n 1 n 2n 2 = n 2 ( n n ) 2 1, n másrészt n 2 + 3n 1 n n 2 = ( n n ) 2 1, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 1. egyrészt n 7n + 4 n n 2 4 n = n 2 n 4 n = n 2 4 4, másrészt n 7n + 4 n n 4 n = 4, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 4. egyrészt n 5 n 4 n n 5 n = 5, másrészt n 5 n 4 n n 5 n 5 n /2 = 5 n n 12 = 5 n 12 5, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 5. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
50 Mivel 2+n 3+7n 1 7 esetén:, ezért pl. az ε = 0.1 választással, megfelelően nagy n egyrészt n 2+n 3+7n n , n másrészt 2+n 3+7n n , így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 1. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
51 egyrészt n log 2 (n) n n 1, másrészt n log 2 (n) n 2 1, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 1. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
52 ( ) n ( ) n ( n 2 n = 1 n 2 = n ) n ( = ( n n+3 = ) n = ( n+3 3 n+3 ( ( 3n+5 3n ) n+3 n+3 ) n ( = 1 + 3n 5 vagy egyszerűbben: ( ( ) 3n 2 ( 8n+7 8n 2 = 1 + 8n 2 9 ) ) 3n 2 8n 2 = ( ( n n+3 ) n e 2. ) n ( ) n+3 3 = 1 + n+3 3 ) 3 n+3 e 3 1 = e 3. ) n ( ) = 3 3n 1 + 3n 5 3 e 5 = e 5/3 ( ) n ( ) n 1 + 3n 5 = 1 + 5/3 n e 5/3. ) 3n 2 = ( n 2 ) 8n 2 8n 2 3n 2 8n 2 ( e 9 ) 3/8 = e 27/8 = e Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
53 A = lim n+2 n 3n 4 = 1 3, ezért az n + 2 3n < 10 7 egyenletet kell megoldanunk. A megoldás: < n, vagyis N = , 4 = (felső egészrész). 2n 2 A = lim n n 2 +1 = 2, 2n 2 n < 10 7 melynek megoldása < n, ahonnan N = = Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
54 A = lim n n 0.5 = 0, N n < 10 7, ( 10 7 ) 2 n vagyis A = lim 10 n n 10 n 1 +9 = 102, 10n n < 10 7, log 10 ( ) < n vagyis N 12. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
55 A (3.11) n > 10 7 ( egyenlőtlenség megoldása n > log ), ahonnan N = 15. ( A 3n 2 + n ) > 10 7 egyenlőtlenség megoldása n > vagyis N Az n 1 3 n+2 > 107 egyenlőtlenség megoldása n > ahonnan N Az n n > 107 egyenlőtlenség megoldása < n ahonnan N Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
56 lim 2+n n 3+7n = 17. lim n+3 ( 1)n n 2n 1 = ± 1 2 nincs határérték. lim 7n+3 ( 1)n n n 2 1 = 0. az n paritásától (párosságától) függően, vagyis Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
57 lim n lim n n+2 3n 2 5 = 1 3. ( ) 5 n+1 2n 1 = lim 3n 2 4n+1 n 2n 2 +57n = 3 2. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
58 ( ) lim (ln(n + 3) ln(n + 4)) = lim ln n+3 n n n+4 = ln(1) = 0. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
59 3 lim n+1 +( 2) n n lim n 3 n = 3. n+2 n n+3 n = 1. lim e n n+1 = 0. n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
60 lim n 4 n n 8 n +9 n lim n 4+( 1) n = n = lim arctg ( n 3 99n ) = π n 2. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
61 ( ) n n 2 + n n = lim 0 lim n ( ) n lim = 0. n ( ) n n 2 + n n = lim 0 lim n ( ) n lim = 0. n lim n n 8 1 ( n = n 2) 3 1 lim 4 1 n ( n 2) = lim 2 1 n ( (n 2 +n) n 2 n n 2 +n+n ( (n 2 +n) n 2 n n 2 +n+n ) n = lim n ) n = lim n ( ) n n n 2 +n+n ( ) n n n 2 +n+n ( n 2 1) ( ( n 2) 2 + n ) 2+1 ( n 2 1)( n = 2+1) 3 2. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
62 ( ) lim n 1 1 t n n = 2 t minden t R esetén. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
63 lim a n = γ minden γ R + számra. n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
64 ( ( ) 2 ( ) ) ( ) 3 T = lim 1 1 n = = Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
65 ( ) lim n + a n + b = 0 minden a, b R szám esetén. n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
66 lim n esetén. ( n 2 + βn + γ n 2 + δn + ε) = β δ 2 minden β, γ, δ, ε R Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok október / 66
Sorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
SZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Differenciál és integrálszámítás diszkréten
Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten
Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 07/8 ősz 8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás). Számoljuk ki a következő határértékeket: y + 3 a) y
I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való
11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
Függvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n
SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
Sorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
Analízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
A végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.
A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium 203. 04. 23. Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj 2 Pólya György: Ha a tudomány
Függvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,
Analízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma
16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete
I. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
Hatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma
16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Matematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Analízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21
NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
A gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet
Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................
Határozatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
Egyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
Feladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!
f(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői
V.9. NÉGYZET, VÁGOD? Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Geometriai megközelítésen keresztül a mértani sorozat tulajdonságaival, első n tagjának összegképletével való ismerkedés. Előzmények Téglalap területe,
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
Metrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.
FELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
Egészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)
Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
Szögfüggvények értékei megoldás
Szögfüggvények értékei megoldás 1. Számítsd ki az alábbi szögfüggvények értékeit! (a) cos 585 (f) cos ( 00 ) (k) sin ( 50 ) (p) sin (u) cos 11 (b) cos 00 (g) cos 90 (l) sin 510 (q) sin 8 (v) cos 9 (c)
egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
![Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.](/thumbs/102/154127337.jpg "Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.")
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 1. Bevezetés, függvények, sorozatok, határérték Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, a biomatematika célja 2 Függvénytani alapfogalmak
Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
462 Trigonometrikus egyenetek II. rész
Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 #
Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.
Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Fourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log
1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet
I. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási