Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Átírás

1 Anlízis elődások Vjd István 9. február 6.

2 Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,

3 Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn, függvény nem korlátos I-n,

4 Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn, függvény nem korlátos I-n, I végtelen intervllum.

5 Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn, függvény nem korlátos I-n, I végtelen intervllum. A fenti esetekben függvénynek nem létezik Riemnn-integrálj, de bizonyos esetekben ilyenkor is beszélhetünk függvény ún. improprius integráljáról.

6 Véges sok pontbn nem értelmezett függvény improprius integrálj Tétel: H egy f vlós-vlós függvény integrálhtó z [, b] intervllumon, kkor értékét z intervllum véges sok pontjábn megváltozttv olyn g függvényt kpunk, mely ugyncsk integrálhtó [, b]-n és g = f.

7 Véges sok pontbn nem értelmezett függvény improprius integrálj Tétel: H egy f vlós-vlós függvény integrálhtó z [, b] intervllumon, kkor értékét z intervllum véges sok pontjábn megváltozttv olyn g függvényt kpunk, mely ugyncsk integrálhtó [, b]-n és g = f. Definíció: Tegyük fel, hogy z f vlós-vlós függvény z x < x <...<x n pontok kivételével értelmezett z [, b] intervllum minden pontjábn és ott korlátos. Tekintsünk egy olyn ϕ függvényt, mely értelmezett [, b]-n és z x < x <...<x n pontok kivételével x [, b] eseténϕ (x) = f (x). Hϕintegrálhtó [, b]-n, kkor integrálját z f függvény [, b] intervllum vett improprius integráljánk nevezzük.

8 Véges sok pontbn nem értelmezett függvény improprius integrálj Tétel: H egy f vlós-vlós függvény integrálhtó z [, b] intervllumon, kkor értékét z intervllum véges sok pontjábn megváltozttv olyn g függvényt kpunk, mely ugyncsk integrálhtó [, b]-n és g = f. Definíció: Tegyük fel, hogy z f vlós-vlós függvény z x < x <...<x n pontok kivételével értelmezett z [, b] intervllum minden pontjábn és ott korlátos. Tekintsünk egy olyn ϕ függvényt, mely értelmezett [, b]-n és z x < x <...<x n pontok kivételével x [, b] eseténϕ (x) = f (x). Hϕintegrálhtó [, b]-n, kkor integrálját z f függvény [, b] intervllum vett improprius integráljánk nevezzük. Megjegyzés: A fenti tétel szerintϕx < x <...<x n -ben felvett értékei nem befolyásolják z improprius integrál értékét.

9 Integrálás végtelen intervllumon Definíció: Legyen z f vlós-vlós függvény értelmezett z [, [ intervllumon ( R) és integrálhtó minden [, ω] intervllumon (<ω R). H lim mondjuk, hogy z htárérték, zz ω ω f htárérték létezik és véges, kkor zt f improprius integrál konvergens és értéke ez f = lim ω ω f

10 Integrálás végtelen intervllumon Definíció: Legyen z f vlós-vlós függvény értelmezett z [, [ intervllumon ( R) és integrálhtó minden [, ω] intervllumon (<ω R). H lim mondjuk, hogy z htárérték, zz ω ω Megjegyzés: H z divergensnek nevezzük. f htárérték létezik és véges, kkor zt f improprius integrál konvergens és értéke ez f = lim ω ω f f improprius integrál nem konvergens, kkor

11 Integrálás végtelen intervllumon H z f függvény csk pozitív értékeket vesz fel, kkor végtelen intervllumon értelmezett improprius integrálnk hsonló szemléletes értelmezést (görbe ltti terület) tuljdoníthtunk, mint Riemnn-integrálnk, de görbe ltti rész ekkor egy nem korlátos síkidom lesz y f x

12 Integrálás végtelen intervllumon Tétel: H z lim x f (x) =. f improprius integrál konvergens, kkor Megjegyzés: A tételt szokás úgy emlegetni, hogy végtelen intervllumon vett improprius integrál konvergenciájánk szükséges feltétele.

13 Integrálás végtelen intervllumon Péld: Számítsuk ki z Megoldás: dx = lim x ω ω dx improprius integrál értékét! x dx = lim x ω [ ] ω = lim ( ω ) x + = ω Tehát z improprius integrál konvergens és értéke.

14 Integrálás végtelen intervllumon Péld: Számítsuk ki z Megoldás: dx improprius integrál értékét! x ω dx = lim dx = lim x ω x ω [ln x ]ω = lim (lnω ln ) = ω Tehát z improprius integrál divergens és értéke.

15 Integrálás végtelen intervllumon Péld: Számítsuk ki z sin x dx improprius integrál értékét, h lehetséges! Megoldás: ω sin x dx = lim sin x dx = ω = lim ( cos x + cos ) = lim ( cos x + ) ω ω Az eredmény tehát egy htárérték lenne, de lim ω ( cos x + ) htárérték nem létezik. Tehát fenti improprius integrál divergens és nincs értéke.

16 Integrálás végtelen intervllumon Az improprius integrál kkor is értelmezhető, h másfjt végtelen intervllumot válsztunk. Definíció: Legyen z f vlós-vlós függvény értelmezett z ], b] intervllumon (b R) és integrálhtó minden [ω, b] intervllumon (b>ω R). H mondjuk, hogy z htárérték, zz lim ω ω f htárérték létezik és véges, kkor zt f improprius integrál konvergens és értéke ez f = lim f ω ω

17 Integrálás végtelen intervllumon Az improprius integrál kkor is értelmezhető, h másfjt végtelen intervllumot válsztunk. Definíció: Legyen z f vlós-vlós függvény értelmezett z ], b] intervllumon (b R) és integrálhtó minden [ω, b] intervllumon (b>ω R). H mondjuk, hogy z htárérték, zz lim ω ω Megjegyzés: H z f htárérték létezik és véges, kkor zt f improprius integrál konvergens és értéke ez kkor divergensnek nevezzük. f = lim f ω ω f improprius integrál nem konvergens,

18 Integrálás végtelen intervllumon Péld: Számítsuk ki z lehetséges)! e x dx improprius integrál értékét (h e x dx = lim e x dx = lim ω ω [ex ] ω = ( lim e e ω) = ω ω

19 Integrálás végtelen intervllumon Definíció: H z (c R), kkor z c f és f improprius integrálok konvergensek c f improprius integrál is konvergens és értéke z előző két improprius integrál értékének összege, zz: c f = f + f c Megjegyzés: H z f improprius integrál nem konvergens, kkor divergensnek nevezzük.

20 Integrálás végtelen intervllumon Megjegyzés: Az előző definíció egyértelműen htározz meg z improprius integrál értékét, ugynis bebizonyíthtó következő tétel: c Tétel: H egy c Rszámr teljesül, hogy z f és f improprius integrálok konvergensek, kkor tetszőleges c R(c c) esetén c z f és f improprius integrálok is konvergensek és c c f + c f = c f + c f c

21 Integrálás végtelen intervllumon Péld: Számítsuk ki z (h lehetséges)! hiszen + x dx = dx improprius integrál értékét + x + x dx + + x dx =π +π =π dx = lim dx = lim + x α + x α [rctg x] α = α lim (rctg rctgα) =π α β dx = lim dx = lim + x β + x [rctg β x]β = lim (rctgβ rctg ) =π β

22 Nem korlátos függvények improprius integrálj Definíció: Legyen z f vlós-vlós függvény értelmezett z ], b] intervllumon. H f nem korlátos z pont környezetében, de integrálhtó minden [ +ε, b] intervllumon, hol <ε<b, továbbá lim ε + +ε f htárérték létezik és véges, kkor zt mondjuk, hogy f z [, b] intervllumon impropriusn integrálhtó és improprius integráljánk értéke: f = lim ε + +ε Megjegyzés: Itt is mondhtjuk, hogy z f f improprius integrál konvergens, h tétel feltételei teljesülnek, ellenkező esetben z improprius integrál divergens.

23 Nem korlátos függvények improprius integrálj Péld: Htározzuk meg z lehetséges)! Megoldás: dx = lim x ε + ε dx = lim x dx improprius integrál értékét (h x [ln x] ε + ε = lim (ln lnε) = ε + Tehát z improprius integrál divergens, értéke.

24 Nem korlátos függvények improprius integrálj Péld: Htározzuk meg z (h lehetséges)! Megoldás: x dx improprius integrál értékét dx = lim x ε + ε [ ] dx = lim x = ( x ε + ε lim ) ε = ε + Tehát z improprius integrál konvergens, értéke.

25 Nem korlátos függvények improprius integrálj Definíció: Legyen z f vlós-vlós függvény értelmezett z [, b[ intervllumon. H f nem korlátos z b pont környezetében, de integrálhtó minden [, b ε] intervllumon, hol <ε<b, b ε továbbá lim f htárérték létezik és véges, kkor zt ε + mondjuk, hogy f z [, b] intervllumon impropriusn integrálhtó és improprius integráljánk értéke: f = lim ε + b ε Megjegyzés: Itt is mondhtjuk, hogy z f f improprius integrál konvergens, h tétel feltételei teljesülnek, ellenkező esetben z improprius integrál divergens.

26 Nem korlátos függvények improprius integrálj Definíció: Legyen z f vlós-vlós függvény értelmezett z ], b[ intervllumon és tegyük fel, hogy sem, sem b környezetében nem korlátos. H f impropriusn integrálhtó z [, c] és [c, b] intervllumokon ( < c < b), kkor impropriusn integrálhtó z [, b] intervllumon is és f = c f + Megjegyzés: Itt is mondhtjuk, hogy z c f f improprius integrál konvergens, h tétel feltételei teljesülnek, ellenkező esetben z improprius integrál divergens.

27 Nem korlátos függvények improprius integrálj Péld: Htározzuk meg z értékét (h lehetséges)! Megoldás: dx improprius integrál x dx = x dx + x x dx =π +π =π Tehát z improprius integrál konvergens, értéke π.

28 Nem korlátos függvények improprius integrálj Péld: Htározzuk meg z értékét (h lehetséges)! Megoldás: dx improprius integrál x dx = x dx + x x dx =π +π =π Tehát z improprius integrál konvergens, értéke π. dx = lim x ε + +ε dx = lim [rcsin x x] ε + +ε = lim ( rcsin( +ε)) =π ε +

29 Nem korlátos függvények improprius integrálj Péld: Htározzuk meg z értékét (h lehetséges)! Megoldás: dx improprius integrál x dx = x dx + x x dx =π +π =π Tehát z improprius integrál konvergens, értéke π. ε dx = lim x ε + x dx = lim [rcsin x] ε ε + = lim (rcsin( ε) ) =π ε +

30 Nem korlátos függvények improprius integrálj Definíció: Legyen z f vlós-vlós függvény értelmezett z [, b]\{c} hlmzon (< c< b). H f nem korlátos z c pont környezetében, de impropriusn integrálhtó z [, c] és [c, b] intervllumokon, kkor impropriusn integrálhtó z [, b] intervllumon is és c f = f + f Megjegyzés: Itt is mondhtjuk, hogy z c f improprius integrál konvergens, h tétel feltételei teljesülnek, ellenkező esetben z improprius integrál divergens.

31 Nem korlátos függvények improprius integrálj Péld: Htározzuk meg z (h lehetséges)! Megoldás: 3 dx improprius integrál értékét x 3 dx = x 3 dx + x 3 x dx = = 6 Tehát z improprius integrál konvergens, értéke 6.

32 Nem korlátos függvények improprius integrálj Péld: Htározzuk meg z (h lehetséges)! Megoldás: 3 dx improprius integrál értékét x 3 dx = x 3 dx + x 3 x dx = = 6 Tehát z improprius integrál konvergens, értéke 6. 3 dx = lim x ε + ε [ 3 dx = lim ] 3 ε 3 x = ( lim ) 3 3 ε 3 3 = 3 x ε + ε +

33 Nem korlátos függvények improprius integrálj Péld: Htározzuk meg z (h lehetséges)! Megoldás: 3 dx improprius integrál értékét x 3 dx = x 3 dx + x 3 x dx = = 6 Tehát z improprius integrál konvergens, értéke 6. 3 dx = lim x ε + ε [ 3 dx = lim ] 3 3 x = ( x ε + ε lim ε ) = 3 ε +