Improprius integrálás

Átírás

1 Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték (véges), kkor zt mondjuk, hogy z f() függvény improprius integrálj létezik z, intervllumon és f()d f()d H htárérték nem véges, kkor z improprius integrál nem létezik (divergens). Most z integrndus folytonos, lklmzhtjuk deníciót: d d Szükségünk vn egy primitív függvényre. Azért hogy megoldás jon átláthtó legyen, végezzük el külön htároztln integrál keresését, mjd térjünk vissz z improprius integrál meghtározásához. d Folytssuk z improprius integrálást: felhsználv: d d + c + c + d + + h Tehát htárérték létezik (véges), z improprius integrál is létezik és d

2 . Feldt: d Megoldás: Az dott intervllumon folytonos függvény improprius integrálját kell meghtározni, h létezik. Tehát d d Szükségünk vn htároztln integrálr. d Folytssuk z improprius integrál meghtározását. d felhsználv: + c + c + + d + h Tehát d. Feldt: + d Megoldás: Az dott intervllumon folytonos függvény improprius integrálját keressük, h létezik. d + + d Külön végezzük el htároztln integrál számítását. ( + ) d ( + ) Folytssuk z improprius integrálást: felhsználv: ( + ) + ( + ) d + c ( + ) d ( + ) + c ( + ) ( + ) + 6 h ( + ) ( + ) Mivel htárérték nem egy véges vlós szám, hnem, ezért z improprius integrál nem létezik (divergens).

3 . Feldt: e d Megoldás: Az integrndus folytonos z dott intervllumon, így: Felhsználv, hogy: folytssuk z integrálást: Felhsználv, mivel: kkor Tehát e e d e d e + c e d e e e + + e e ( ) e +. Feldt: e d d Megoldás: Most z lsó integrációs htár. Deníció H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint f()d htárérték létezik (véges), kkor zt mondjuk, hogy z f() függvény improprius integrálj létezik, intervllumon és f()d f()d H htárérték nem véges, kkor z improprius integrál nem létezik (divergens). Tehát d d

4 A htároztln integrál: d Folytssuk z improprius integrálást. ( ) d ( ) ( ) + c + c d felhsználv: + + h Mivel htárérték nem egy véges vlós szám, hnem, ezért z improprius integrál nem létezik (divergens). 6. Feldt: ( + ) d Megoldás: A deníció lpján: ( + d ) ( + ) d Állítsuk el htároztln igtegrált: ( + ) d ( + ) d }{{} ( } + {{ } ) d g g ( + ) + c ( + ) + c Folytssuk z improprius integrálást: ( + d ) ( + d ) ( + ( ) ) + ( + ) ( + ) + c ( + ) Felhsználv, hogy: ( + ) 7. Feldt: 6 7 d 6 7 d

5 . Feldt: d Az improprius integrál nem létezik. 9. Feldt:. Feldt: 9 ( + ) d 9 ( + ) d 9 ( + 9) d ( + 9) d. Feldt: e d. Feldt: e d e e d e d e. Feldt: 6 d ( + ) Az improprius integrál nem létezik.. Feldt: + d + d π + π π

6 . Vizsgfeldt: e d Megoldás: Most z egyik integrációs htár sem véges. Ilyen eseten feldtot visszvezetjük z el z esetekre. H f függvény integrálhtó ármely részintervllumon és c egy tetsz leges vlós szám, vlmint c f()d és c f()d improprius integrálok külön-külön léteznek, kkor c f()d f()d + f()d c El ször keressünk primitív függvényt. Alklmzzuk z lái integrálási szályt: F ( + ) f( + ) + c hol F () f() Een z eseten: + és e d e + C e + C Térjünk vissz z improprius integrál meghtározásár. A deníción szerepl c ármilyen vlós szám lehet. Legyen most c. e d e d + e d Htározzuk meg külön-külön z improprius integrálokt. Felhsználv, hogy: e d e e e d e e e e e h e Felhsználv: e d e e e d e e e h e 6

7 Mivel vizsgált improprius integrálok közül z egyik nem létezik, ezért e d sem létezik (divergens). Megjegyzés: A feldt kicsit egyszer en is megoldhtó, h felhsználjuk, hogy c f()d f()d + f()d c F (c) F () + F () F (c) F () F () feltéve, hogy két htárérték külön-külön létezik. e d e ; e e e e ; Az egyik htárérték nem véges, így keresett improprius integrál nem létezik. 6. Feldt: Megoldás: + d El ször végezzük el primitív függvény keresését. Vegyük észre, hogy számlálón vítéssel nem tudjuk kilkítni nevez deriváltját ( hiányzik). Vezessük vissz feldtot rctg deriváltjár. + d Hsználjuk fel deníciót: 7. Vizsgfeldt: }{{} g + ( ( ) d rctg + C }{{} ) g d rctg ( ) + ; rctg ( ) rctg ( ) π π π e d Megoldás: Egy folytonos függvény improprius integrálját keressük, mivel fels integrálási htár. e d g {}}{ }{{} e d e + c g 7

8 A primitív függvény segítségével htározzuk meg z improprius integrált. felhsználv:. Vizsgfeldt: e d e + e e d e e h kkor és ln d + + e Megoldás: A fels integrációs htár, egy improprius integrált keresünk. El ször djuk meg htároztln integrált. Felhsználv, hogy: ezért, h f() ln, kkor f (), tehát f n ()f ()d f n+ () n + + c n ln d (ln }{{} ) g }{{} g d ln + c ln + c Az improprius integrál: felhsználv: 9. Vizsgfeldt: ln d ln + ln ln d ln + ln ln h ln e d + e ln + ln ln Megoldás: Az lsó integrációs htár, egy improprius integrált keresünk. A primitív függvény meghtározásávl kezdjük. e + e d e + e d ln + e + c

9 felhsználv: e d + e ln + e ln + e ln + e ln ln ln h e + e Tehát. Vizsgfeldt: Megoldás: Alklmzzuk deníciót: e + e d ln ( ) d 6 ( ) d 6 ( ) d 6 A primitív függvény keresésénél lklmzzuk z lái integrálási szályt: f n ()f ()d f n+ () + c h n n + ( ) d ( ) 6 6 d ( }{{} ) 6 ( ) ( }{{} )d g g Tláltunk primitív függvényt, vizsgáljuk meg z improprius integrált. + c ( ) d 6 ( ) d 6 ( ) Tehát ( ) d 6. Vizsgfeldt: ( ) d 9

10 Megoldás: Alklmzzuk deníciót: d ( ) ( ) d Következ lépés primitív függvény el állítás: ( ) d ( ) d ( ) + c + c Folytssuk z improprius integrál kiszámolását: d ( ) ( ) d felhsználv: 6 h. Feldt: Megoldás: + d El ször végezzük el primitív függvény keresését. Az integrndus egy vlódi rcionális tört. Vegyük észre, hogy számlálón vítéssel kilkíthtó nevez deriváltj. Mivel ( + ) 6, vítsünk 6-tl. + d d 6 ln + + C Mivel + >, ezért z szolútértéket továikn elhgyhtjuk. Hsználjuk fel, hogy f()d c f()d + hol c egy tetsz leges vlós szám, legyen most c. + d + d + c f()d + d Htározzuk meg külön-külön z improprius integrálokt. d d ln( + )

11 felhsználv: 6 ln 6 ln( + ) 6 ln( + ) h + ln( + ) Mivel már z els htárérték nem véges ezért létezik (divergens).. megoldás: d improprius integrál nem + d + ; ; d + ; 6 ln( + ) 6 ln( + ) 6 ln( + ) 6 ln( + ) 6 ln( + ) Mivel htárértékek külön-külön nem végesek, z improprius integrál nem létezik.. Vizsgfeldt: + ( ) d Megoldás: Egyik integrációs htár sem véges, tehát egy improprius integrált keresünk. El ször djunk primitív függvényt. Vegyük észre, hogy ( ) ( + ) Alkítsuk z integrndust f(g())g () lkúr. + ( ) d ( + )( ) d Most már hsználhtjuk z f(g())g ()d F (g()) integrálási szályt: ( ) ( ) Az improprius integrál: + ( d ) ; ( ) felhsználv: ( ) + + h ( ) ( ) Mindkét htárérték véges, z improprius integrál létezik és értéke. ( )

12 . Vizsgfeldt:. Vizsgfeldt: e d d divergens 7 6. Vizsgfeldt: 7. Vizsgfeldt:. Vizsgfeldt: 9. Vizsgfeldt: e ln 6 d 6 e ln d 7 + d 7 π d divergens +. Vizsgfeldt: Htározz meg f()d értékét, h { f() h < < h különen f()d d. Vizsgfeldt: Htározz meg f()d értékét, h {, e, h < f() h különen f()d, e, d e, e,. Vizsgfeldt: Htározz meg f()d értékét, h { f() 6 h < < 7 h különen f()d 6 d 6,

13 . Vizsgfeldt: Htározz meg f()d improprius integrált, h { + f() h < < különen Megoldás: d + f()d + d + f()d + d + f()d + ( + ) f()d. Vizsgfeldt: Htározz meg f()d improprius integrált, h Megoldás: f()d e + { f() f()d + h e h > f()d d + + ( 7 ) e + +. Vizsgfeldt: Htározz meg f()d improprius integrált, h { h f() (+) h > e d Megoldás: Az integrndus most egy szkszosn deniált függvény.alklmozhtjuk tnult deníciót. Most legyen c. f()d f()d + f()d d + ( + ) d + d ( + ) Felhsználv, hogy : ( + ) d ( + ) d ( + ) + c + + c Mivel htárérték véges, z improprius integrál létezik és értéke.