Numerikus integrálás. Szakdolgozat. Írta: Pásztor Nikolett Matematika BSc - matematikai elemz szakirány

Átírás

1 Szkdolgozt Numerikus integrálás Írt: Pásztor Nikolett Mtemtik BSc - mtemtiki elemz szkirány Témvezet : Kurics Tmás, egyetemi tnársegéd Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kr Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr 010

2 Trtlomjegyzék 1. Bevezetés 1.1. Motiváció A htározott integál Hogyn közelítünk? Interpolációs kvdrtúrképletek 4 3. Newton-Cotes formulák Egyszer kvdrtúrképletek A középpont szbály vgy érint formul Trpézformul Simpson-formul A kvdrtúrképletek pontosság Mgsbbrend Newton-Cotes formulák Összetett kvdrtúrképletek Példák Guss-féle kvdrtúr Guss-Csebisev kvdrtúr Guss-Legendre kvdrtúr Összefogllás 7 1

3 1. fejezet Bevezetés 1.1. Motiváció Az integrálszámítássl többféle mtemtiki szinten is fogllkozunk. Ebben dolgoztbn numerikus integrálási módszereket fogjuk tnulmányozni. Erre miért vn szükségünk? Az lklmzásokbn gykrn tlálkozhtunk olyn feldttl, mikor egy-egy htározott integrált kell kiszámítni. Ezen számítások zonbn nem mindig egyszer ek. Ugynis nem minden integrál fejezhet ki ismert függvény segítségével, nem áll rendelkezésünkre mindig szép képlet. A másik eset pedig h ugyn ismert függvény megoldáshoz, de z túl bonyolult, hogy kiszámítsuk. Ilyen esetekben megoldást közelít integrálási módszerek jelentik, melyekkel htározott integrálok értékét közelít leg meg tudjuk htározni. A dolgoztbn bemuttok néhány numerikus integrálási módszert, és zt is, hogy ezek módszerek mennyire pontosk. De el ször ismerkedjünk meg htározott integrál foglmávl. 1.. A htározott integál 1. Deníció. Legyen dott egy f függvény, mely z [, b] zárt intervllum minden pontjábn értelmezett. Ennek z f függvénynek z -tól b-ig vett htározott integrálj z I := f(x) dx = lim n n x i f(x i ), i=1

4 z ún. Riemnn-féle közelít összegek htárértéke, hol x i z [, b] intervllum i. részintervllumánk hossz, zz: x i = x i x i. Az f(x i ) pedig ennek z i. részintervllumnk egy tetsz leges pontjához trtozó függvényérték, hol: x i [x i, x i ]. Az x i pontok pedig z [, b] intervllumnk egy n-t l függ felosztását képezik: = x 0 < x 1 < < x n = b. H felírt htárérték létezik, kkor z f(x) függvény integrálhtó z [, b] intervllumbn. Ez htározott integrál könnyen kiszámíthtó, h ismert z f primitív függvénye, vgyis: F = f ismert. Ekkor Newton-Leibniz-féle formul lklmzhtó: f(x)dx = F (b) F () = [F ] b. De mi vn kkor h nincs primitív függvénye z dott függvénynek? Ekkor ugyebár nem tudjuk lklmzni Newton-Leibniz-formulát, tehát más módszert kell keresnünk z integrál kiszámításár. Egy ilyen módszer numerikus integrálás, mellyel közelít leg ki tudjuk számolni z integrál értékét. A kérdés pedig z, hogy ezt hogyn tehetjük meg, vgyis zt hogy hogyn közelítünk? 1.3. Hogyn közelítünk? Jelöljük htározott integrált következ képpen: I(f) := f(x)dx. Ekkor I(f) közelítését így htározzuk meg: I n (f) = n c i f(x i ), hol x i [, b]. i=0 Itt c i -ket súlyoknk nevezzük, z x i -ket pedig lppontoknk hívjuk.. Deníció. Az I n (f) = I n (f, c 0, x 0,..., c n, x n )-et kvdrtúrképletnek nevezzük. Tehát továbbikbn zt módszert lklmzzuk, hogy I(f)-et I n (f)-fel közelítjük. Mivel ezek módszerek csk közelít pontosságot dnk, zt is meg kell vizsgálnunk, h f elég sokszor dierenciálhtó, kkor mennyi lehet legfeljebb z eltérés I(f) és I n (f) között. 3

5 . fejezet Interpolációs kvdrtúrképletek A htározott integrál közelít kiszámítás: n f(x)dx c k f(x k ), hol c k súlyok ismeretlen együtthtók. (.1) k=0 A feldt tehát c k együtthtók meghtározás. Ötlet: Helyettesítsük f-et z x i [, b] lppontokr (i = 0,..., n) támszkodó Lgrngeféle interpolációs polinomml, mjd zt integráljuk. Tehát: f(x) dx L n,f (x) dx. Lgrnge-féle interpolációs polinomok: Adottk z (x 0,..., x n ) és z (f 0,..., f n ) értékek. A Lgrnge-féle interpolációs polinom L n,f (x) = n f k l k (x), hol l k (x) = k=0 k=0 k=0 n j=0 j k x x j x k x j. Ezután integráljuk Lgrnge-féle interpolációs polinomot z [, b] intervllumon: n n n x x j L n,f (x) dx = f k l k (x) dx = f k dx. x k x j Tehát következ t kptuk Lgrnge-interpolációs polinom integráljár: n n f k k=0 j=0 j k 4 j=0 j k x x j x k x j dx. (.)

6 A (.1) és (.) lpján következ t kpjuk c k együtthtór: c k = l k (x) dx = n j=0 j k x x j x k x j dx (.3) 3. Deníció. Azokt (.1) típusú numerikus integráló formulákt, melyekre z együtthtókt (.3) lpján számoljuk, interpolációs integráló formulánk nevezzük. Tehát ismerünk egy eljárást, mivel ki tudjuk számítni htározott integrál közelít értékét. Mivel z lppontok ismertek, ezekb l ki tudjuk számítni súlyokt Lgrngeféle interpoláció segítségével. Nézzük ennek módszernek hibáját! Ismerjük Lgrnge-interpoláció hibképletét, ezért felírhtjuk z interpolációs kvdrtúrképlet hibáját. A Lgrnge-interpoláció hibáj következ, h f C n+1 [, b]: Ezt hibképletet most integráljuk: f(x)dx f(x) L n,f (x) = f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! Ebb l hibár következ t kpjuk: L n,f (x)dx = ω n+1 (x). f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! ω n+1 (x) dx. e n (x) M n+1 (n + 1)! ω n+1 (x) dx, hol M n+1 := mx f (n+1). [,b] 1. Következmény. Az interpolációs kvdrtúrképletek, h n + 1 pontr támszkodnk, kkor z n-edfokú polinomokr pontosk. 4. Deníció. Ekvidisztáns felosztás esetén, zz h x k x k = h állndó, ezeket formulákt Newton-Cotes típusú kvdrtúráknk nevezzük. 5

7 3. fejezet Newton-Cotes formulák Newton-Cotes típusú formulák zok, melyekben felosztás ekvidisztáns, zz: x k = x 0 + k h, hol h = b n és k = 0, 1,..., n. 5. Deníció. A Newton-Cotes kvdrtúrformulát zártnk nevezzük, h és b is osztópont, zz = x 0, b = x n és ekkor x k = + k h, (k = 0,..., n),és nyíltnk hívjuk, h z és b nem lppontok, x k = + (k + 1) h, (k = 0,..., n) és h = b n Egyszer kvdrtúrképletek A középpont szbály vgy érint formul Ez formul nyílt formul, tehát és b nem osztópont, és egy osztópont lesz, z intervllum középpontj: x 0 = +b. Ahogy z el z fejezetben tárgyltuk, Lgrnge-interpolációs polinomml közelítsünk (ez egy egytényez s összeg, mivel egy osztópont vn): f(x) f(x 0 ) l 0 (x) dx }{{} c 0 = c 0 1 dx = [x] b = b (3.1) Ez zért igz, mert (3.1)-es képletben z l 0 (x) 0-tényez s szorzt (mivel csk egy osztópont vn) és ennek értéke 1, minek integrálját NewtonLeibniz-formulávl könnyen 6

8 3.1. ábr. Érint formul. kiszámolhtunk, és így kijön c 0 értéke. Így már mindent ismerünk, tehát felírhtjuk z érint formulát: ( ) + b E(f) := f (b ) Trpézformul Ez formul zárt formul, és két lppontj vn, mi zártság mitt z intervllum két széle: és b. Mint zt tudjuk htározott integrál egy dott intervllumon egy dott függvény görbe ltti területét számolj ki. Ezt formulát zért nevezzük trpézformulánk, mert z f(x) integrálját egy trpéz területével közelítjük. 3.. ábr. Trpézformul 7

9 Feldt: Fektessünk z (, f()) és (b, f(b)) pontokr Lgrnge-interpolációs polinomot: f(x) 1 c i f(x i ), hol c 0 = l 0 (x)dx és c 1 = i=0 l 1 (x)dx. Ezután kiszámoljuk ezeket c 0, c 1 súlyokt, hol l 0 (x)-r l és l 1 (x)-r l következ t tudjuk: Ezután már ki tudjuk számolni c 0 -et és c 1 -t. c 0 = l 0 (x) = x x x 1 x = x b b, l 1 (x) = x x 1 x x 1 = x b. l 0 (x)dx = x b b dx = 1 [ ] x b b bx = 1 ( ) b b b + b = = 1 ( b) = 1 ( b) ( b) = 1 (b ) c 1 = l 1 (x)dx = = 1 x b dx = 1 [ ] x b b x = 1 ( ) b b b + = (b ) = 1 (b ) (b ) A trpézformul következ lesz: Simpson-formul T (f) = b (f() + f(b)) Ez formul zárt formul és 3 lppontj vn. A zártság mitt z intervllum két széle is lppont lesz. Az lppontok tehát következ k lesznek: x 0 =, x 1 = + b és x = b. A formulát következ lkbn keressük: ( ) + b S(f) = c 0 f() + c 1 f + c f(b). 8

10 3.3. ábr. Simpson-formul. A c 0, c 1 és c súlyokt pedig úgy számoljuk ki mint z el z fejezetben, 3 lppontr Lgrnge-interpolációs polinomot fektetünk, és így súlyok következ k lesznek: c 0 = l 0 (x)dx, c 1 = l 1 (x)dx és c = l (x)dx. Mivel ismerjük következ ket: l 0 (x), l 1 (x) és l (x), ezért ki tudjuk számolni súlyokt: c 0 = l 0 (x)dx = ( ) x +b (x b) ( b)( +b) dx = 1 b ( b) (x 3bx x + b + b )dx = [ ] 1 x 3 b = ( b) 3 3bx x + bx + b x Tehát kiszámoljuk htározott integrált Newton-Leibniz formulávl és egyszer sítés után következ t kpjuk: c 0 = 1 ( b) b3 3b + 3 b 3 6 = ( b)3 6( b) = b 6 A c 1 és c súlyokt ugynígy számoljuk ki, és következ eredményeket kpjuk: c 1 = (x b)(x ) ( +b )( +b b) dx = 1 (b ) (x bx x + b)dx = 4(b ) 6 c = (x )(x +b) (b )(b +b) dx = 1 (b ) (x 3x bx + b + )dx = b 6 9

11 Most hogy már mindent ismerünk, felírhtjuk Simpson-formulát: S(f) = b ( ) 4(b ) + b f() + f + b f(b) = = b ( ( ) ) + b f() + 4 f + f(b) 6 Megjegyzés: A Simpson-formulát el állíthtjuk trpézformul és z érint formul kombinálásávl következ képpen: 3 érint formul és 1 3 trpéz-szbály: S(f) = ( ) + b 3 (b ) f b (f() + f(b)) = = 4 6 (b ) f ( + b ) + b A kvdrtúrképletek pontosság (f() + f(b)). Mivel közelít módszerekr l beszélünk, érdemes megvizsgálni, hogy ezekkel formulákkl számolv milyen egyszer függvények esetén kpjuk meg z integrál pontos értékét? A következ állítások igzk z eddig felsorolt formulákr: Csk konstns és lineáris függvény esetén pontos középpont szbály és trpézformul. A Simpson-formul pedig pontos legfeljebb hrmdfokú polinomokr. Ezeket könnyen ellen rizhetjük következ módon: ) Középpont szbály: Legyen f(x) = c 0 + c 1 x + c x. Ekkor ennek z integrálj, I(f) következ lesz: f(x)dx = [ c 0 x + c 1 x + c ] b [ 3 x3 = (b ) c 0 + c 1 (b + ) + c ] 3 (b + b + ). A középponti szbály szerint pedig ennek z integrálj: ( ( ) ) + b + b E(f) = (b ) c 0 + c 1 + c. Tehát z eltérés következ képpen lkul: I(f) E(f) = (b ) c 1 (b b + ) = c (b )

12 Itt mind c 0, mind c 1 kiesik, tehát ez nem befolyásolj különbséget. Csk c -t l függ z eltérés. Ez lpján csk kkor 0 z eltérés, h c = 0, tehát h polinom legfeljebb els fokú. Ezzel ellen riztük középpont szbály pontosságát, mi tehát csk kkor pontos, h függvény konstns, vgy lineáris. b) Trpéz szbály: Hsonlón számoljuk ki mint középpont szbály esetében. Legyen f(x) = c 0 + c 1 x + c x. Ekkor I(f) ugynz mint z el bb, tehát csk trpéz szbályt kell felírnunk erre függvényre: Ekkor különbség: T (f) = b [c 0 + c 1 + c + c 0 + c 1 b + c b ] I(f) T (f) = (b ) c 6 ( b + b ) = c (b ) 3 6 Ez is csk kkor 0, h c = 0. Tehát trpéz szbály kkor pontos, h függvény konstns, vgy lineáris. c) Simpson-formul: Erre formulár z [1]-es könyvben tlálhtó gondoltmenet szerint írjuk fel formul pontosságánk ellen rzését. Elöször nézzük meg mit kpunk kkor, h z el z f-fel számolunk: S(f) = b ( ( ) ) + b f() + 4 f + f(b) = 6 = b 6 (6c 0 + 3( + b)c 1 + c ( + ( + b) + c b )) = I(f) Ezzel tehát igzoltuk, hogy Simpson-képlet pontos másodfokú polinomokr. Ezután vegyünk egy speciális p 3 (x) := (x )(x +b )(x b) hrmdfokú polinomot. Ezzel számolv Simpson-képlet következ : S(p 3 ) = b 6 (f() + f ( ) + b + f(b)) = 0 6 Tehát Simpson-képlet lppontjibn ez hrmdfokú polinom elt nik: S(p 3 ) = 0. Ezután nézzük z S(f + αp 3 )-t, hol α tetsz leges vlós szám. Itt lklmzzuk következ tuljdonságokt: Az I integrálok és z I n kvdrtúrképlet is dditív és homogén: 11

13 - h f = f 1 + f függvények, kkor I n (f) = I n (f 1 ) + I n (f ), - és h f = αf 1, hol α konstns, kkor I n (f) = αi n (f 1 ). Tehát ezeket lklmzv: S(f + αp 3 ) = S(f) + S(αp 3 ) = S(f). Ugynkkor szimmetri mitt I(p 3 ) = 0 is igz, vgyis I(f + αp 3 ) = I(f) = S(f). Bármely hrmdfokú polinom felírhtó f + αp 3 lkbn, hol f egy tetsz leges másodfokú polinom. Így beláttuk, hogy Simpson-formul legfeljebb hrmdfokú polinomokr pontos. Mind három formulár felírhtjuk hibképletét (ld. [3]). 1. Tétel. Legyen f : [, b] R kétszer folytonosn dierenciálhtó. Ekkor z érint formul hibképlete következ : f(x) dx E(f) = (b )3 4 f (ξ), hol ξ [, b].. Tétel. Legyen f : [, b] R kétszer folytonosn dierenciálhtó. Ekkor trpézformul hibképlete következ : (b )3 f(x) dx T (f) = f (ξ), hol ξ [, b] Tétel. Legyen f : [, b] R négyszer folytonosn dierenciálhtó. Ekkor Simpsonformul hibképlete következ : (b )5 f(x) dx S(f) = f (4) (ξ), hol ξ [, b]

14 Mgsbbrend Newton-Cotes formulák Ebben fejezetben felsoroljuk további Newton-Cotes típusú formulákt. Írjuk fel nyílt és zárt típusú formulákt. Legyenek z = x 1 < x <... < x n < x n = b z lppontok, z f 1, f,..., f n hozzájuk trtozó függvényértékek. Vlmint legyen h := b n. Nyílt Newton-Cotes formulák: Mivel nyílt formul, ezért z intervllum két széle nem lesz osztópont. ezeket formulákt hibtggl együtt: Írjuk fel - 1 lppont: ez volt z érint formul: E(f) = (b ) f ( ) +b + (b ) 3 f (ξ). 4 - lppont: - 3 lppont: f(x) dx = 3 h (f 1 + f ) h3 f (ξ). f(x) dx = 4 3 h (f 1 f + f 3 ) h5 f (4) (ξ). - 4 lppont: - 5 lppont: - 6 lppont: f(x) dx = 5 4 h (11f 1 + f + f f 4 ) h5 f (4) (ξ). f(x) dx = 6 0 h (11f 1 14f + 6f 3 14f f 5 ) h7 f (6) (ξ). 7 f(x) dx = 1440 h (611f 1 453f + 56f f 4 453f f 6 ) h7 f (6) (ξ). - 7 lppont: f(x) dx = h (460f 1 954f + 196f 3 459f f 5 954f f 7 ) h9 f (8) (ξ). 13

15 Zárt Newton-Cotes formulák: Mivel zárt formul, ezért z intervllum két széle is lppont lesz. Írjuk fel ezeket formulákt is, úgy mint nyílt formulákt: - lppont: ez trpézszbály: T (f) = h - 3 lppont: ez Simpson-szbály: S(f) = h ( ( ) + b 6 f() + 4f - 4 lppont: ezt úgy hívjuk, hogy Simpson 3 8 szbály: (f() + f(b)) (b )3 1 f (ξ). ) (b )5 + f(b) f (4). 880 f(x) dx = 3 8 h (f 1 + 3f + 3f 3 + f 4 ) 3 80 h5 f (4) (ξ). - 5 lppont: ezt úgy hívjuk, hogy Boole-szbály: - 6 lppont: - 7 lppont: - 8 lppont: f(x) dx = 45 h (7f 1 + 3f + 1f 3 + 3f 4 + 7f 5 ) h7 f (6) (ξ). f(x) dx = 5 88 h (19f f + 50f f f f 6 ) h7 f (6) (ξ). f(x) dx = h (41f f + 7f 3 + 7f 4 + 7f f 6 + f(x) dx = + 41f 7 ) h9 f (8) (ξ) h (751f f + 133f f f f f f 8 ) h9 f (8) (ξ). 14

16 3.. Összetett kvdrtúrképletek Az eddig látott lcsonybbrend formulák pontosságát úgy lehet jvítni, hogy nem z [, b] intervllumr, hnem ennek z intervllumnk részintervllumir lklmzzuk z egyszer formulákt. Feltehetjük zt kérdést, hogy miért nem hsználjuk mgsbbrend Newton-Cotes formulákt, melyek sok osztópontr vnnk felírv? Ezzel több problém is vn. Az egyik ilyen problém z, hogy mgsfokú polinomml vló interpoláció oszcillál z intervllum szélén. Ezért jobb, h szkszonkénti polinomiális interpolációvl dolgozunk. Osszuk fel z [, b] intervllumot m egyenl részre, z intervllumok hossz pedig legyen h := b m. Az lppontok következ ek: = x 0 < x 1 <... < x m < x m = b. Ezután minden részintervllumr lklmzzuk z el z fejezetben levezetett egyszer formulákt, és így megkpjuk z összetett formulákt. ) Összetett érint formul: Az érint formulát lklmzzuk z összes részintervllumr. Az érint formulát ismerjük z [, b] intervllumr, mikor egy osztópont vn, z intervllum felez pontj: E(f) = f( +b ) (b ). Most ezt írjuk fel minden intervllumr, jelöljük ezt z összetett formulát E m (f)-vel: ( ) ( ) ( ) x0 + x 1 x1 + x xm + x m E m (f) = h f + h f h f = m ( ) xi + x i = h f i=1 b) Összetett trpézformul: A trpézszbályt írjuk fel z összes részintervllumr. Már láttuk z [, b] intervllumr felírv, mikor két osztópont z intervllum két széle volt, és b: T (f) = b (f() + f(b)). Most ezt írjuk fel minden részintervllumr, és jelöljük ezt z összetett formulát T m (f)-vel: T m (f) = h [f(x 0) + f(x 1 )] + h [f(x 1) + f(x )] h [f(x m) + f(x m )] = ( ) = h f(x 0 ) + c) Összetett Simpson-formul: m i=1 f(x i ) + f(x m ) Az egyszer Simpson-formulát 3 lppontr írtuk fel, mik:, b és +b. A formul 15

17 pedig következ volt: S(f) = b 6 (f() + 4 f( +b ) + f(b)). Most ezt formulát kell felírni minden egyes részintervllumr. Az intervllumot m részre kell felosztni, de ebben z esetben feltesszük zt hogy m páros, mivel itt Simpson-formulát nem egy részintervllumr írjuk fel, hnem kett re. Tehát z intervllumokt kettessével vesszük és így írjuk fel formulát. Így nem h lesz z dott intervllumunk hossz, hnem h. Tehát z összetett formul következ lesz, mit S m (f)-vel jelölünk: S m (f) = h 6 (f(x 0) + 4 f(x 1 ) + f(x )) + h 6 (f(x ) + 4 f(x 3 ) + f(x 4 )) +... = ( ) = h 3 f(x 0 ) + f(x m ) + 4 f(x i ) + f(x i ). i pártln i páros Ugynúgy mint z egyszer formuláknál, itt is felírhtjuk hibképleteket. Hibképletek: Összett érint formul hibképlete: f(x) dx E m (f) = (b )3 4m f (ξ), hol ξ [, b]. Összett trpézformul hibképlete: (b )3 f(x) dx T m (f) = f (ξ), 1m hol ξ [, b]. Összett Simpson-formul hibképlete: (b )5 f(x) dx S m (f) = 180m f (4) (ξ), 4 hol ξ [, b]. 16

18 3.3. Példák Ebben z lfejezetben oldjunk meg néhány példát z eddig levezett formulák segítségével. 1. Számoljuk ki következ integrált: I := 1 + x dx trpézszbály, Simpson-szbály, Boole-szbály és összetett Simpson-formul segítségével ábr. 1. péld. Megoldás: ) Trpézszbály: Az lppontok: x 0 = és x 1 = 1. Az ezekhez trtozó fügyvényértékek: f(x 0 ) = 1 és f(x 1 ) = x dx b (f(x 0 ) + f(x 1 )) = ( ) = 4 3 b) Simpson-szbály: 1, Alppontok: x 0 =, x 1 = 0 és x = 1. Fügvényértékek: f(x 0 ) = 1, f(x 1 ) = 1 és f(x ) = x dx b (f(x 0 ) + 4f(x 1 ) + f(x )) = 6 = 6 ( ) = 0 1,

19 c) Boole-szbály: Alppontok: x 0 =, x 1 = 1, x = 0, x 3 = 1 és x 4 = 1. Fügvényértékek: f(x 0 ) = 1, f(x 1 ) = 3, f(x 0) = 1, f(x 3) = 5 és f(x 4) = 1 3. Vlmint h = x h dx 45 (7f(x 0) + 3f(x 1 ) + 1f(x ) + 3f(x 3 ) + 7f(x 4 )) = = 1 ( ) = 3 = 1 ( ) = 74 1, d) Összetett Simpson-szbály: Ebben feldtbn osszuk fel [, 1] intervllumot 6 egyenl részre és így h = 1 3. Így z lppontok következ ek lesznek: x 0 =, x 1 = 3, x = 1 3, x 3 = 0, x 4 = 1 3, x 5 = 3 és x 6 = 1. A függvényértékek: f(x 0 ) = 1, f(x 1 ) = 3 4, f(x ) = 3 5, f(x 3) = 1, f(x 4) = 3 7, f(x 5 ) = 3 8 és f(x 6) = x dx h 3 (f 0 + f (f 1 + f 3 + f 5 ) + (f + f 4 )) = 1 ( 3 = ( ) ( )) = 7 = 1 ( ) = 35 = = 077 1, Kiszámoltuk közelít értékeket, most nézzük meg mi z integrál pontos értéke: I := 1 + x dx = [ln( + x)]1 = ln(3) ln(1) = ln(3) 1, Láthtjuk, hogy ehhez z értékhez z összetett Simpson-formulávl kiszámított érték vn legközelebb. Ezután Boole-szbállyl számított érték következik. Tehát észrevehetjük, hogy sok lppont esetén kpunk jobb megoldást.. Számoljuk ki Simpson 3 szbállyl, vlmint összetett Simpson-szbállyl következ 8 integrált: I := x 1 + x dx.

20 3.5. ábr.. péld. Megoldás: ) Simpson 3 8 szbály: Ez szbály 4 lppontr vn és h = 1. Az lppontok tehát: x 0 = 0, x 1 = 1, x = és x 3 = 3. A függvényértékek pedig: f 0 = 0,f 1 =, f = és f 3 = x 1 + x dx 3 8 h (f 0 + 3f 1 + 3f + f 3 ) = = 3 8 ( ) 5, 3140 b) Összetett Simpson-szbály: Összetett szbály esetén el bb állpítsuk meg, hány részintervllumr osszuk fel [0, 3] intervllumot. Osszuk fel most 6 egyenl részre ezt z intervllumot, így h = 1. Az lppontok: x 0 = 0, x 1 = 1, x = 1, x 3 = 3, x 4 =, x 5 = 5 és x 6 = 3. Függvényértékek: f 0 = 0; f 1 = 0, 8164; f = = 1, 414; f 3 = 1, 8973; 19

21 f 4 = 4 3 =, 676; f 3 5 =, 676 és f 6 = x 1 + x dx h 3 (f 0 + f (f 1 + f 3 + f 5 ) + (f + f 4 )) = = 1 (3 + 4 (0, , , 676) (1, 414 +, 3094)) = = 1 ( , 447) 5, Most, hogy kiszámoltuk, nézzük meg z integrál pontos értékét: 3 [ x 4 dx = x 3 1 ] 3 + x ( + x) = 16 5, Láthtjuk, hogy z összetett szbállyl számított közelít érték közelebb vn pontos értékhez, mint z egyszer formulávl számolt érték. 3. Tekintsük z f(x) = x függvényt. H összetett érint formulávl krjuk kiszámolni [0, 1] intervllumon ennek közelítését, kkor hány részintervllumr osszuk fel, hogy hib kisebb legyen mint en? Megoldás: Az összetett érint formul hibáj következ volt: f(x) dx E m (f) = (b )3 4m f (ξ), hol ξ [, b] Ennek kell kisebbnek lennie, mint Azz (b ) 3 f (ξ) 4m < Tudjuk, hogy f (ξ) = (x ) =. Ezért egyszer sítés után következ t kpjuk: 1 1m < 10 4 m 9. Tehát [0, 1] intervllumot leglább 9 részre kell felosztni, hogy hib kisebb legyen, mint

22 4. fejezet Guss-féle kvdrtúr Az eddig levezetett formulák csk összetett lkbn és mgs pontszám esetén dtk pontos eredményt, ekkor viszont már kerekítési hibák észrevehet vé válhtnk. Tehát kérdés következ : hogyn lehetne z lppontok számánk ránylg kis szám mellett kvdrtúr pontosságát növelni? A Guss-kvdrtúrák lényege z, hogy mi mgunk válsszuk meg nem csk súlyokt, hnem z lppontokt is, hol függvényt megszeretnénk közelíteni. A Guss-kvdrtúr pontos értéket d n 1 vgy ennél lcsonybb fokú polinomok esetén z x i lppontok és c i súlyok megfelel megválsztás esetén (i = 1,..., n). Ez kétszer mgsbb fok lesz, mint Newton-Cotes formulák esetén. Azonbn mgsbb fok kkor jelent ngyobb pontosságot, mikor z integrálndó függvény sim és jól meg lehet közelíteni egy polinomml. Tehát feldt következ : mi válsszuk meg z lppontokt is. Ahhoz, hogy megvlósítsuk ezt fokú pontosságot, z lppontoknk és súlyoknk következ feltételt kell kielégítenie: n c k (x k ) i = k=1 x i dx, hol i = 0,..., n 1. Ebben fejezetben ezeket Guss-kvdrtúrákt fogjuk egy kicsit jobbn megvizsgálni. Hldjunk egy kicsit áltlánosbbn. Legyen Q(f) := w(x)f(x) dx, (4.1) hol w egy súlyfüggvény. Feltesszük, hogy w : (, b) R folytonos és pozitív, vlmint létezik w(x) dx. Fontos esetek következ k: 1

23 ) w(x) = 1, mit Guss-Legendre kvdrtúránk hívunk. b) w(x) = 1 x. c) w(x) = 1 1 x, mit Guss-Csebisev kvdrtúránk hívunk. Ahol z integrálr feltesszük, hogy [, b] = [, 1]. 6. Deníció. Az n w(x)f(x) dx c k f(x k ) (4.) k=1 kvdrtúr formulát n különböz lpponttl Guss-kvdrtúr formulánk nevezzük, h z integrál minden p P n polinom esetén pontos, zz h minden p P n -re. n c k p(x k ) = k=1 w(x)p(x) dx 4. Tétel. (ld. [5]) Az n lpponttl rendelkez (x 1,..., x n ) interpolációs tipusú kvdrtúrformul minden legfeljebb (n 1)-edfokú polinomr pontos h z lppontokkl lkotott q(x) := (x x 1 ) (x x n ) n-edfokú polinom ortogonális minden legfeljebb (n 1) -edfokú polinomr w(x) súlyfüggvényre nézve. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy kvdrtúrformul pontos minden legfeljebb (n 1)-edfokú polinomr. Legyen R(x) legfeljebb (n 1)-edfokú polinom. Azt kell belátni, hogy q(x) ortogonális R-re w(x) súlyfüggvényre nézve. Az f(x) = q(x) R(x) egy (n 1)-edfokú polinom. Tehát erre (4.) pontos, zz: w(x)f(x) dx = w(x)q(x)r(x) dx = k=1 n c k w(x k )R(x k ) = 0. Tegyük fel, hogy q(x) ortogonális minden legfeljebb (n 1)-edfokú polinomr. Legyen f(x) legfeljebb (n 1)-edfokú polinom. Ekkor f következ képpen írhtó fel: f(x) = q(x)r(x) + r(x),

24 hol R(x) és r(x) legfeljebb (n)-edfokú polinom. Így felírhtjuk ezt következ képpen: w(x)f(x) dx = w(x)q(x)r(x) dx + }{{} 0 w(x)r(x) dx = n c k f(x k ). k=1 5. Tétel. (ld. [3]) A Guss-kvdrtúr formul súlyi mind pozitívk. 6. Tétel. (ld. [3]) Legyen f C n [, b]. Ekkor Guss-kvdrtúr hibáj következ : w(x)f(x) dx n k=1 c k f(x k ) = f n (ξ) (n)! w(x)[q(x)] dx, hol ξ [, b]. 1. Lemm. Létezik polinomoknk egy q n sorozt, hogy q n = 1 és q n (x) = x n + r n (x), n = 1,..., hol r n P n és q n kielégíti z ortogonlitási feltételt: w(x)q n (x)q m (x) dx = 0, n m Guss-Csebisev kvdrtúr Tekintsük zt Guss-kvdrtúrát, hol súlyfüggvény következ : w(x) = 1, x [, 1]. 1 x A Csebisev-polinom [, 1] intervllumon T n (x) := cos(n rccos x). Nyilvánvlón T 0 (x) = 1 és T 1 (x) = x. A cos(n + 1)t + cos(n 1)t = cos(nt) ddíciós képlet lpján levezethetjük T n+1 (x) + T n (x) = xt n (x), n = 1,,... rekurzív formulát. Ezért létezik T n P n, hogy T n (x) = n x n +..., n = 1,,... 3

25 Helyettesítsük be z lábbikb x = cos(t)-t: T n (x)t m (x) 1 x dx = π 0 π, n = m = 0, cos(nt) cos(mt) dx = π, n = m > 0, 0, n m. Ezért z 1. lemm lpján: q n = 1 n T n. A T n = 0-nk vn megoldás, ezért kvdrtúr lppontji Csebisev-polinom gyökei lesznek, zz ( ) k + 1 x k = cos n π, k = 0,..., n 1. A súlyokt pedig könnyen kiszámolhtjuk n c k T m (x k ) = k=0 T m (x) 1 x dx, m = 0,..., n 1. pontosság feltételb l. T m (x)-et behelyettesítve kpjuk, hogy n ( ) { (k + 1)m π, m = 0, c k cos π = n 0, m = 1,..., n 1, k=0 melynek megoldás megdj c k = π, k = 0,..., n 1. n súlyt. Tehát minden megvn, hogy felírjuk Guss-Csebisev kvdrtúrát n = 1,... esetén: f(x) 1 x dx π n n ( f cos k + 1 ) n π. k=0 4.. Guss-Legendre kvdrtúr Most nézzük zt z esetet, mikor súlyfüggvény. Az w(x) = 1, x [, 1] L n (x) := 1 d n n n! dx n (x 1) n z n-edik Legendre-polinom. Amelyr l tudjuk, hogy L n P n. H m < n, kkor prciális integrálássl z x m dn dx n (x 1) n dx = 0 4

26 összefüggést kpjuk, mivel (x 1) n értéke végpontokbn 0. Ezért érvényes hogy, Nézzük meg z n = 1 és n = eseteket. L n (x)l m (x)dx = 0, n m. Az els Guss-Legendre kvdrtúr lppontj z x 1 = 0. A súlyokt pedig megkpjuk z c 1 = 1 dx = pontosság feltételb l. Így z els Guss-Legendre kvdrtúr z f(x) dx = f(0) lesz. Ez pedig tégllpszbály [, 1] intervllumr. A második Guss-Legendre kvdrtúrát következ képpen kpjuk meg: c 1 + c = c 1 x 1 + c x = 1 dx = x dx = 0 Ezt z egyenletrendszert megoldv jutunk z x 1 = 1 3, és x = 1 3 lppontokhoz, és z c 1 = 1 és c = 1 súlyokhoz. Ezért felírhtjuk második Guss-Legendre formulát: ( ) ( ) 1 f(x) dx f 3 + f. 3 Ennek hibáj: hol ξ [, 1]. f(x) dx f ( ) ( ) f = f (4) (ξ), 5

27 Azonbn Guss-Legendre kvdrtúr nemcsk [, 1] intervllumr lklmzhtó, hnem tetsz leges [, b] intervllumr is. Ekkor Legyen Ekkor f(x) dx = b g(t) := f x = b t + + b. ( b t + + b ). g(t) dt b n c k f k=1 ( b t + + b ). Így tehát ezzel képlettel tetsz leges intervllumon is lklmzhtjuk Guss-Legendre kvdrtúrát. 6

28 5. fejezet Összefogllás A dolgoztbn numerikus integrálás lpjivl próbáltm megismertetni z olvsókt. Azt, hogy ez miért is hsznos számunkr, és hogy milyen módszereket hsználhtunk z integrálok közelít kiszámításár. Ezeknek módszereknek egy részét írtm le, mutttm be ket. A bemuttást z interpolációs kvdrtúrákkl kezdtem. Ez formul n lppont esetén z (n 1)-edfokú polinomok osztályán pontos. Ezután Newton-Cotes formulák következtek, ezek nyílt és zárt változti. A cél z volt hogy csökkentsük hibát. Ezután ezt még jobbn szerettük voln csökkenteni, ezért bemutttm z összetett formulákt, mik sok részintervllum esetén pontosbbk mint z egyszer formulák. De még mindig nem elég htékonyk ezek formulák, ugynis z egyszer formulák mgs lppontszám esetén dnk pontosbb eredményt, z összetett formulák pedig sok részintervllumnál. Erre mutttm néhány példát is. Tehát más módszereket kell keresni, és egy ilyen Guss-kvdrtúr, minek fok kétszer ngyobb lesz mint Newton-Cotes formuláké, kis llppontszám mellett. Én ezeket z egyszer eseteket mutttm be részletesen. 7

29 Irodlomjegyzék [1] Stoyn Gisbert: Numerikus mtemtik mérnököknek és progrmozóknk, Typotex Kidó, Budpest, 007 [] Peter Henrici: Numerikus nlízis, M szki könyvkidó, Budpest, 1985 [3] Riner Kress: Numericl nlysis, Springer, 1998 [4] Stoyn Gisbert, Tkó Glin: Numerikus módszerek I., Typotex Kidó, Budpest, 005 [5] http : // iles/numnl.pdf [6] http : //hu.wikipedi.org/wiki/guss kvdrt%c3%bar [7] http : //mthworld.wolf rm.com/n ewton CotesF ormuls.html [8] Frgó István: Alklmzott nlízis I. el dásjegyzet, ELTE, 008 8