Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Átírás

1 Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R és k Z N-edik gyök: H gyökkitevő áros szám, k (k ozitív egész számot jelöl), kkor vlmely nem negtív vlós szám k-dik gyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek k-dik htvány. H gyökkitevő ártln szám, k (k ozitív egész számot jelöl), kkor vlmely vlós szám k-edik gyöke olyn vlós szám, melynek k-edik htvány. Azonosságok: Az lábbikbn minden áros kitevőjű gyök ltt csk nem negtív szám állht! Szorzt n-edik gyöke: Hánydos n-edik gyöke: k-dik htvány n-edik gyöke: Pozitív egész k esetén! k-dik gyök n-edik gyöke: - -

2 Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökfüggvények hozzárendelési szbállyl megdott függvények tuljdonsági:. ártln gyökkitevő esetén - függvény minden vlós számr értelmezve vn, - értékkészlete vlós számok hlmz, - szigorún monoton növekedő.. áros gyökkitevő esetén - függvény legbővebb értelmezési trtomány nem negtív számok hlmz, - értékkészlete nem negtív számok hlmz, - szigorún monoton növekedő, - minimum = 0 helyen vn, értéke

3 Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Htványozás. Definíció: Az vlós szám n-edik ( n ℵ\{0,}) htványán egy olyn n-tényezős szorztot értünk, melynek minden tényezője.. Definíció: Az vlós szám első htványán -t értjük. ( = A htványozás zonossági és bizonyításuk., R ). Definíció: Az, nullától különböző vlós szám nulldik htványán z -et értjük. ( 0 =, R \{0}) Azért ez. és. definíció, mert így érvényben mrdnk htványozás zonossági, ez ermnenci-elv. Mgj.: Az zért nullától különböző vlós szám, mert null n-edik ( n ℵ\{0,}) htvány z ismételt szorzás mitt null, h kitevő egy, kkor z n= eset definíciój mitt null, tehát lehetne null nulldik htvány null, vgy. definíció mitt, de így meg nem lenne egyértelmű. Továbbr is ermnenci-elvet vesszük figyelembe htványozás értelmezésekor negtív egész kitevő esetén:. Definíció: Az, nullától különböző vlós szám, és n ozitív egész szám, kkor z n -n-edik htványán, z l recirokánk ellentett kitevőjű htványát értjük. ( =, R n \{0} és n ℵ ) Az.,.,. és. definíciókkl teljes egész számhlmzr bevezettük htványozást. Kiterjesztés rcionális számok hlmzár: 5. Definíció: Az ozitív vlós szám, és Z, ℵ \{}. Az szám -dik htványán zt ozitív vlós számot értjük, melynek -edik htvány = Újbbn: ). ( R, R, (5. Definíció): Az ozitív vlós szám,, ℵ \{}. Az szám -dik htványán z. htványánk gyökét értjük, =. H r =, kkor r = r Mgj.: A régebbi definíció mellett z előbbi tételként bizonyíthtó. Nyilván z újbb definíció esetén tétel előlé definícióvá.. - -

4 Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály H ábrázoljuk zt függvényt, melynek hozzárendelési szbály: f :, hol Egy diszkrét ontokból álló kéhez jutunk, melyek sűrűn helyezkednek el. Ez l. = esetén, h z változó értékeit egymáshoz elég közel vesszük fel, kkor z f : Q R, f : megfelelő függvényértékei is egymáshoz közeli ontok. Ez egy szigorú monoton növekvő függvény, így h értelmezni kívánjuk l. kkor elvárjuk, hogy ( ; ) Azz elvárjuk, hogy h z f ont beilleszkedjék z eddigi ontok közé. f : Q R, Q htványt, : függvényről áttérünk z :R R f : függvényre, kkor ez is szigorú monoton növekedő legyen! f, A megközelíthető rcionális számokkl: A,7,8,7,7 tehát közrefoghtó két rcionális számml. Legyen r és olyn rcionális szám, hogy fennálljon: r < <. Az előbb láttuk -nk rcionális számokkl vló közelítését. Az r és legyenek zok rcionális számok, melyekkel z előbb megközelítettük,7,7,8,7 -t, ezért Bebizonyíthtó, hogy bloldlon álló növekedő és jobb oldlon álló csökkenő számok meghtároznk egy számot, és csk egy számot htároznk meg. Ezt számot tekinthetjük htvány értékének. (irrcionális szám) Megállodunk bbn, hogy olyn szám legyen, hogy bármely, egymáshoz közeli r, (r< <) rcionális számoknál fennálljon r. - -

5 Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Htványfüggvények f()= g()= 5 h()= 7 k A vlós számokon értelmezett f ( ) = (k ozitív egész) hozzárendelési szbállyl megdott htványfüggvények tuljdonsági: értékkészlete vlós számok hlmz, szigorún monoton nő, ártln függvény. f()= h()= g()= 6 k A vlós számokon értelmezett f ( ) = (k ozitív egész) hozzárendelési szbállyl megdott htványfüggvények tuljdonsági: értékkészlete [ 0 ; [, ] ;0[ intervllumon szigorún 0 -bn szigorún monoton nő, =0 helyen minimum vn, ennek értéke 0. áros függvény monoton csökkenő [ ; [ - 5 -

6 Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Az eonenciális függvény Az függvény jellemzése: ( > 0, illetve 0 < < esetén) Értelmezési trtomány: Értékkészlet: Zérushelye: Szélsőértéke: Menete: Korlátosság: Páros vgy ártln: Periodikus: Folytonos: Inverz függvénye: Kée: l. z függvény esetén: illetve z függvény esetén: R y = R Nincs Nincs > esetén szigorú monoton nő; 0 < < esetén szigorú monoton csökken. nem korlátos, lsó korlátj vn egyik sem nem igen vn, logritmus függvény

7 Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Logritmus A mtemtik fejlődése során egy számnk egy dott lr vontkozó kitevőjét logritmusnk nevezték el. Definíció: A b ozitív szám lú (0 < és ) logritmusánk nevezzük zt kitevőt, melyre -t emelve b-t kunk. A definíció röviden: log b = b Jelölése: log b. (0<,,0<b). A logritmus definíciójából következik, hogy bármilyen megengedett l esetén log = 0 és log =. Példák: ) log 6 =, mert = 6, b) log 8 =, mert = 8 Az c) log 9 =, mert 9 = d) log 5 =, mert 5 e) f) 5 = 5 log 8 6 =, mert 8 = ( 8) = = 6 log 8 6 =, mert 8 = ( 8) = = 6 log függvény jellemzése: ( > 0, illetve 0 < < esetén) Értelmezési trtomány: R Értékkészlet: y = log R Zérushelye: = Szélsőértéke: nincs Menete: > esetén szigorú monoton nő; 0 < < esetén szigorú monoton csökken. Korlátosság: nem korlátos Páros vgy ártln: egyik sem Periodikus: nem eriodikus Folytonos: igen Inverz függvénye: z eonenciális függvény: - 7 -

8 Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Kée: Pl. z log függvény esetén: illetve z log függvény esetén: Tetszőleges l esetén: - 8 -

9 Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Az eonenciális és logritmus függvények egymás inverzei, így közös koordinátrendszerben ábrázolv őket, egymás tükörkéei z és R függvény kéére ( y = és R). A logritmus zonossági Szorzt logritmus: log y = log log y, hol, y, > 0 és. Hánydos logritmus: log y = log log y, hol, y, > 0 és. Htvány logritmus: log k = k log, hol, > 0,. és k R Áttérés különböző lú logritmusok között: log c b log b =, hol, b, c R és és c log c - 9 -