Matematika emelt szintû érettségi témakörök Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Átírás

1 Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 06 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Mozik Kidó Szeged, 06

2 Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött feldt megoldását várják el vizsgázóktól. tétel címéen megjelölt témát logikusn, rányosn felépített, szd elõdásn, önállón kell kifejteni. Ehhez felkészülési idõ ltt célszerû vázltot készíteni. Een tervezze meg címen megjelölt témkör(ök)höz trtozó ismeretnyg rövid áttekintését, dolgozz ki zokt részeket, melyeket részletesen kifejt, oldj meg feldtot. vizsgázó vázltát felelete közen hsználhtj. feleleten feltétlenül szerepelniük kell z lái részleteknek: egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szerinti definíció pontos kimondás; egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szerinti tétel pontos kimondás és izonyítás; kitûzött feldt megoldás; tém mtemtikán elüli vgy zon kívüli lklmzás (tö lklmzás felsorolás, vgy egy részletese kifejtése). H tételhez trtozó kitûzött feldt izonyítást igényel, kkor ennek megoldás nem helyettesíti témkörhöz trtozó tétel kimondását és izonyítását. Vizsgázónként szükséges segédeszköz tételsorn szereplõ feldtokhoz kpcsolódó összefüggéseket trtlmzó, tételcímekkel együtt nyilvánosságr hozott képlettár, továá szöveges dtok tárolásár és megjelenítésére nem lklms zseszámológép. tételt vizsgázónk önállón kell kifejtenie. Közekérdezni csk kkor lehet, h teljesen helytelenül indult el, vgy nyilvánvló, hogy elkdt. Értékelés szóeli vizsgán elérhetõ pontszám 35. z értékelés központi értékelési útmuttó lpján történik. z értékelési szempontok: felelet trtlmi összetétele, felépítésének szerkezete feleleten szereplõ, témához illõ definíció helyes kimondás feleleten szereplõ, témához illõ tétel helyes kimondás és izonyítás kitûzött feldt helyes megoldás H felelõ feldtot csk vizsgázttó segítségével tudj elkezdeni, kkor mimum 5 pont dhtó. lklmzások ismertetése Egy odillõ lklmzás megemlítése pont, ennek részletezése, vgy továi -3 lényegesen eltérõ lklmzás említése továi 3 pont. Mtemtiki nyelvhsznált, kommunikációs készség 0 pont pont 6 pont 8 pont 4 pont 5 pont

3 Mtemtik emelt szintû szóeli vizsg témkörei (tételek) 06.. Hlmzok, hlmzmûveletek. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Vlós számok hlmz és részhlmzi. Véges és végtelen hlmzok számosság. Számelméleti lpfoglmk és tételek mtemtiki logik elemei. Logiki mûveletek. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltétel Htványozás, htványfoglom kiterjesztése, htványozás zonossági. z n-edik gyök foglm. négyzetgyök zonossági. Htványfüggvények és négyzetgyökfüggvény logritmus foglm és zonossági. z eponenciális és logritmusfüggvény Egyenletmegoldási módszerek, ekvivlenci, gyökvesztés, hmis gyök. Másodfokú és másodfokúr visszvezethetõ egyenletek dtsokság, leíró sttisztik jellemzõi, digrmok. Nevezetes közepek Számsoroztok és tuljdonságik (korlátosság, monotonitás, konvergenci). Nevezetes számsoroztok, végtelen mértni sor Függvények lokális és gloális tuljdonsági. differenciálszámítás és lklmzási hsonlóság foglm és lklmzási háromszögekre vontkozó tételek izonyításán Derékszögû háromszögek. hegyesszögek szögfüggvényei. szögfüggvények áltlánosítás Háromszögek nevezetes vonli, pontji és körei Összefüggések z áltlános háromszögek oldli között, szögei között, oldli és szögei között Húrnégyszögek, érintõnégyszögek, szimmetrikus négyszögek Egyevágósági trnszformációk. Konve sokszögek tuljdonsági, szimmetrikus sokszögek kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometrii tárgylásn). Kerületi szög, középponti szög, látószög Vektorok, vektormûveletek. Vektorfelontási tétel. Vektorok koordinátái. Skláris szorzt Szkszok és egyenesek koordinátsíkon. lineáris függvények grfikonj és z egyenes kör és prol koordinátsíkon. Kör és egyenes, prol és egyenes kölcsönös helyzete. Másodfokú egyenlõtlenségek grfikus megoldás Térelemek távolság és szöge. Téreli lkztok. Felszín- és térfogtszámítás terület foglm. Területszámítás elemi úton és z integrálszámítás felhsználásávl.. 4. Komintorik. inomiális tétel. Gráfok vlószínûség-számítás elemei. vlószínûség kiszámításánk komintorikus modellje. Nevezetes eloszlások (inomiális, hipergeometrikus) izonyítási módszerek és emuttásuk tételek izonyításán

4 . Hlmzok, hlmzmûveletek. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren. Vázlt: I. Hlmzok, részhlmzok n elemû hlmz részhlmzink szám II. Hlmzmûveletek (komplementer, unió, metszet, különség, Descrtes-szorzt), mûveletek tuljdonsági III. Nevezetes ponthlmzok: kör (göm), párhuzmos egyenespár (hengerfelület), szkszfelezõ merõleges egyenes (sík), középpárhuzmos, szögfelezõ, prol IV. Egyé ponthlmzok: ellipszis, hiperol, 3 ponttól, illetve 3 egyenestõl egyenlõ távolágr lévõ pontok, látókörív V. lklmzások evezetés: hlmzelmélet mtemtikán elül viszonylg új területnek számít, precíz kidolgozásár csk XIX. százd végén került sor. hhoz, hogy hlmzelmélet önálló tudományággá váljon, nnk felismerése kellett, hogy mtemtik minden ág különözõ hlmzokkl fogllkozik. Kidolgozás: I. Hlmzok, részhlmzok hlmz és hlmz eleme lpfoglom, ezeket kifejezéseket nem definiáljuk. De hlmz megdásánk szigorú követelménye vn: egy hlmzt úgy kell megdnunk, hogy minden szó jöhetõ dologról egyértelmûen eldönthetõ legyen, hogy z dott hlmzhoz trtozik vgy sem. hlmzokt nyomttott ngyetûvel, hlmz elemeit kisetûvel jelöljük következõ módon: = {; ; c}, een z eseten Œ, œ. Hlmz megdási módji: Elemeinek felsorolásávl: = {0; ; 4; 6} z elemeit egyértelmûen meghtározó utsítássl: = {egyjegyû pártln számok} Szimólumokkl: = {Ω = 0}, = {Ω > 9} Venn-digrmml: DEFINÍCIÓ: Két hlmz egyenlõ, h ugynzokt z elemeket trtlmzzák. DEFINÍCIÓ: z elem nélküli hlmzt üres hlmznk nevezzük. Jele: { } vgy. DEFINÍCIÓ: z hlmz részhlmz hlmznk, h minden eleme hlmznk is eleme. Jele: Õ. 4

5 DEFINÍCIÓ: z hlmz vlódi részhlmz hlmznk, h részhlmz -nek, de nem egyenlõ vele. Jele: Ã. Tuljdonságok: z üres hlmz minden hlmznk részhlmz: Õ. Minden hlmz önmg részhlmz: Õ. H Õ és Õ, kkor =. H Õ és Õ C, kkor Õ C. TÉTEL: z n elemû hlmz összes részhlmzink szám: n (n ŒN). IZONYÍTÁS I.: izonyítást teljes indukcióvl végezzük, melynek lényege, hogy elõször elátjuk egy konkrét n esetére z állítást, mjd zt muttjuk meg, h z állítás igz egy tetszõleges n-re, kkor igz z õt követõ (n + )-re is, zz izonyítjuk z állítás öröklõdését. z üres hlmznk egyetlen részhlmz vn: önmg ( 0 = ). Egy egyelemû hlmznk részhlmz vn: z üres hlmz és önmg ( = ). Egy kételemû hlmznk 4 részhlmz vn: z üres hlmz, egyelemû hlmz és önmg ( = 4). Tegyük fel, hogy egy k elemû hlmznk k d részhlmz vn. izonyítni kell, hogy ez öröklõdik, vgyis egy (k + ) elemû hlmznk k + d részhlmz vn. Tekintsük z elõi k elemû hlmzt. Ekkor h z eddigi elemek mellé egy (k + )-edik elemet teszünk hlmz, kkor ezzel megkétszerezzük lehetséges részhlmzok számát, hiszen z új elemet vgy kiválsztjuk z eddigi részhlmzok, vgy nem. Vgyis (k + ) elemû hlmz részhlmzink szám k = k +, mit izonyítni kívántunk. IZONYÍTÁS II.: z n elemû hlmznk n 0 d 0 elemû, n d elemû, n d elemû, n n d n - elemû, n n d n elemû részhlmz vn, mert n elemõl k d-ot kiválsztni n k -féleképpen lehet. Így z összes részhlmzok szám: n + n + n n + n 0 n n. n Vizsgáljuk meg -t: n n n 0 0 ( ) n n n n n n... n n = + = n n n, mi egyenlõ n + n + n n + n -nel inomiális tétel mitt. 0 n n II. Hlmzmûveletek DEFINÍCIÓ: zt hlmzt, melynek vizsgált hlmzok részhlmzi, lphlmznk vgy univerzumnk nevezzük. Jele: U vgy H. DEFINÍCIÓ: Egy hlmz komplementer hlmzánk z lphlmz zon elemeinek hlmzát nevezzük, melyek z hlmznk nem elemei. Jele:. (Fontos tuljdonság: =.) DEFINÍCIÓ: Két vgy tö hlmz uniój vgy egyesítése mindzon elemek hlmz, melyek leglá z egyik hlmznk elemei. Jele:». 5

6 DEFINÍCIÓ: Két vgy tö hlmz metszete vgy közös része pontosn zoknk z elemeknek hlmz, melyek mindegyik hlmznk elemei. Jele: «. DEFINÍCIÓ: Két hlmz diszjunkt, h nincs közös elemük, vgyis metszetük üres hlmz. «=. DEFINÍCIÓ: z és hlmz különsége z hlmz mindzon elemeinek hlmz, melyek hlmznk nem elemei. Jele: \. DEFINÍCIÓ: z és hlmz Descrtes-féle szorzt z hlmz, melynek elemei z összes olyn rendezett (; ) pár, melynél Œ és Œ. Jele:. U U U U Komplementer hlmz Két hlmz uniój Két hlmz metszete U U Diszjunkt hlmzok és hlmz \ különsége Hlmzmûveletek tuljdonsági Kommuttív (felcserélhetõ) sszocitív (csoportosíthtó) Disztriutív (széttgolhtó)» =» «= «(» )» C =» (» C) ( «) «C = «( «C)» ( «C) = (» ) «(» C) «(» C) = ( «)» ( «C) De-Morgn zonosságok = és = Továi zonosságok» =» =» = U» U = U = «= «= «= «U = III. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyek sík egy dott O pontjától dott r távolságr vnnk, egy O középpontú, r sugrú kör. DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz téren, melyek tér dott O pontjától dott r távolságr vnnk, egy O középpontú, r sugrú göm. DEFINÍCIÓ: dott egyenestõl dott távolságr lévõ pontok hlmz síkon z egyenessel párhuzmos egyenespár. 6

7 DEFINÍCIÓ: dott egyenestõl dott távolságr lévõ pontok hlmz téren olyn hengerfelület, melynek tengelye z dott egyenes. DEFINÍCIÓ: Két ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkn szksz felezõ-merõleges egyenese. P F Q DEFINÍCIÓ: Két ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz téren szksz felezõmerõleges síkj. F DEFINÍCIÓ: Két párhuzmos egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkn olyn egyenes, mely két dott egyenessel párhuzmos és távolságukt felezi (középpárhuzmos). DEFINÍCIÓ: Két metszõ egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz z áltluk ezárt szögek szögfelezõ egyenesei. Két ilyen egyenes vn, ezek merõlegesek egymásr. e f DEFINÍCIÓ: Egy egyenestõl és egy rjt kívül lévõ ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon: prol. z dott pont prol fókuszpontj, z dott egyenes prol vezéregyenese (direktrie), pont és z egyenes távolság prol prmétere. t P d p F T IV. Egyé ponthlmzok DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyeknek sík két különözõ dott pontjától mért távolságösszege z dott pontok távolságánál ngyo állndó: ellipszis. 7

8 két dott pont (F és F ) z ellipszis fókuszpontji. z dott távolság z ellipszis ngytengelye, z F F szksz felezõmerõlegesének z ellipszis trtományá esõ szksz z ellipszis kistengelye. DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyeknek sík két különözõ dott pontjától mért távolságkülönségének szolút értéke két dott pont távolságánál kise állndó: hiperol. két dott pont (F és F ) hiperol fókuszpontji, z dott távolság hiperol fõtengelye. TÉTEL: Három dott ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon egy pont (h 3 pont nem esik egy egyenesre), vgy üres hlmz (h 3 pont egy egyenesre esik). C K C TÉTEL: háromszög három oldlfelezõ merõlegese egy pontn metszi egymást. IZONYÍTÁS: Tekintsük z C háromszög és C oldlánk oldlfelezõ merõlegesét. Ezek z egyenesek metszik egymást, mert háromszög oldli nem lehetnek párhuzmosk egymássl. Jelöljük két oldlfelezõ merõleges metszéspontját M-mel. Ekkor M pont egyenlõ távolságr vn és csúcsoktól (mert M illeszkedik szkszfelezõ merõlegesére), illetve és C csúcsoktól (mert M illeszkedik C szkszfelezõ merõlegesére). Eõl következik, hogy M egyenlõ távolságr vn és C csúcsoktól, tehát M-n áthld C oldlfelezõ merõlegese. Tehát három oldlfelezõ merõleges egy pontn metszi egymást. C M f C f TÉTEL: háromszög oldlfelezõ merõlegeseinek metszéspontj háromszög köré írt kör középpontj. IZONYÍTÁS: z elõi izonyítás szerint M egyenlõ távolságr vn -tól, -tõl és C-tõl. Legyen ez távolság M = M = MC = r. Ekkor, és C pontok r távolságr vnnk M-tõl, zz illeszkednek egy M középpontú, r sugrú körre. háromszög köré írt kör középpontj hegyesszögû háromszög esetén háromszögön elül, derékszögû háromszög esetén z átfogó felezõpontjá, tompszögû háromszög esetén háromszögön kívülre esik. 8

9 O O O TÉTEL: Három dott ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz téren egy olyn egyenes, mely áthld három pont, mint háromszög köré írhtó kör középpontján, és merõleges 3 pont síkjár (h 3 pont nem esik egy egyenese), vgy üres hlmz (h 3 pont egy egyenese esik). TÉTEL: Három egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon: H 3 egyenes párhuzmos, kkor üres hlmz. H egyenes párhuzmos (e ª f), egy pedig metszi õket (g), kkor párhuzmos egyenes középpárhuzmosán két olyn pont, melyek illeszkednek két metszõ egyenes (pl. e és g) szögfelezõire. g e M M f H 3 egyenes 3 különözõ pontn metszi egymást, kkor szögfelezõ egyeneseik metszéspontji. 4 ilyen pont vn, z egyik háromszög eírt körének, 3 pedig háromszög hozzáírt köreinek középpontj. O O O O 3 H 3 egyenes egy pontn metszi egymást, kkor egyetlen pont, 3 egyenes metszéspontj. f g M e 9

10 DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyekõl egy dott szksz dott szögen (0º < < 80º) látszik két, szksz egyenesére szimmetrikusn elhelyezkedõ körív (látókörívek). O O O O O = 90º 0 < < 90º 90º< < 80º V. lklmzások iológián rendszertn, kémián periódusos rendszereli csoportosítás is hlmzelméleti foglmk. Mûveletek: melyik csoport melyiknek részhlmz? Vércsoport szerint z emerek különözõ hlmzok sorolhtók. Mûveletek: ki kinek dht vért? Európ országi hivtlos nyelvük lpján hlmzok sorolhtók. Mûveletek: melyik országn hivtlos nyelv z ngol vgy német? z érettségin nem kötelezõ tárgyk válsztás szerint is hlmzok sorolhtók vizsgázók. Mûveletek: ki vizsgázik kémiáól és iológiáól is? függvényekkel kpcsoltn is hsználjuk hlmzokt (értelmezési trtomány, értékkészlet). Egyenletek értelmezési trtományánk vizsgáltkor számhlmzok metszetét képezzük. Koordinát-geometrián kör, prol, z ellipszis és hiperol egyenletének felíráskor z dott göre definícióját hsználjuk fel. Látókörívek: egy tégllp egyik oldl szomszédos oldl mely pontjáól látszik legngyo szögen (színház, sportpály). Szerkesztési feldtokn: háromszög szerkesztése egy oldl, vele szemközti szög és z oldlhoz trtozó mgsság ismeretéen, vgy dott. egy pont és egy egyenes, szerkesszük meg z egyenest érintõ, ponton áthldó, dott sugrú köröket. Prolntennák. Két tny közös postládát kp z országút mentén. Hov helyezzék, hogy mindkét tnyától egyenlõ távolságr legyen? F P út 0

11 . Vlós számok hlmz és részhlmzi. Véges és végtelen hlmzok számosság. Számelméleti lpfoglmk és tételek. Vázlt: I. Számhlmzok: természetes, egész, rcionális, irrcionális, vlós számok, ezek zártság II. Mûveleti tuljdonságok: kommuttivitás, sszocitivitás, disztriutivitás III. Hlmzok számosság: véges, végtelen (megszámlálhtón illetve nem megszámlálhtón végtelen) hlmzok IV. Számelméleti lpfoglmk: osztó, töszörös, oszthtóság foglm, tuljdonsági, oszthtósági szályok Prímszám, összetett szám, számelmélet lptétele, osztók szám Legngyo közös osztó, legkise közös töszörös V. lklmzások evezetés: számfoglom kilkulás ngyon hosszú folymt eredménye. fejlõdés kori szkszán is szükség volt z emer számár fontos dolgok megszámlálásár. számlálás igénye lkított ki pozitív egész számok foglmát. mtemtik fejlõdését kuttók szerint ezután hosszú idõ telt el null felfedezéséig. Kidolgozás: I. Számhlmzok DEFINÍCIÓ: természetes számok hlmz (N) pozitív egész számokól és 0-ól áll. természetes számok hlmz zárt z összedásr és szorzásr nézve, zz ármely két természetes szám összege és szorzt természetes szám. Ugynkkor kivonás és z osztás már nem végezhetõ el ezen hlmzon elül, ezek mûveletek kimuttnk hlmzól. Pl. 3 - = 5 egyenlet megoldás. DEFINÍCIÓ: z egész számok hlmz (Z) természetes számokól és zok ellentettjeiõl áll. z egész számok hlmz z összedáson és szorzáson kívül kivonásr nézve is zárt, ugynkkor z osztás kimuttht hlmzól. Pl. + 3 = 4 egyenlet megoldás. DEFINÍCIÓ: rcionális számok hlmz (Q) zokól számokól áll, melyek felírhtók két egész szám hánydosként, zz lkn, hol, ŒZ, π 0. z hánydos következõ lkokn fordulht elõ (, ŒZ, π 0, és tört végsõkig leegyszerûsített, zz és legngyo közös osztój.): egész szám, h osztój -nk. véges tizedes tört, h prímtényezõs felontásán és z 5 számokon kívül nincs más prímszám. végtelen szkszos tizedes tört, h prímtényezõs felontásán és z 5 számokon kívül más prímszám is vn.

12 Tehát rcionális számok következõ lkúk: közönséges törtek, egészek, véges vgy végtelen szkszos tizedes törtek. rcionális számok hlmz mind 4 lpmûveletre zárt (osztásr, h z osztó nem 0), de itt is tlálunk olyn egyenletet, melynek nincs megoldás ezen hlmzon. Pl.: - 3 = 0. DEFINÍCIÓ: zokt számokt, melyek nem írhtók fel két egész szám hánydosként, irrcionális számoknk (Q*) nevezzük. TÉTEL: irrcionális szám. IZONYÍTÁS: izonyítást indirekt módon végezzük, lényege, hogy izonyítndó állítás tgdásáról eizonyítjuk, hogy z hmis. Ez zt jelenti, hogy izonyítndó állítás igz. Tegyük fel hogy rcionális szám, zz felírhtó lkn, hol, ŒZ, π 0, (; ) =. Ekkor z egyenlet jo oldlán szereplõ ( ) szám prímtényezõs felontásán mindenféleképpen páros kitevõn (kár nulldikon) szerepel, míg l oldlon levõ szám ( ) prímtényezõs felontásán kitevõje pártln (legkevese ). Ez zonn lehetetlen, hiszen számelmélet lptétele szerint egy pozitív egész számnk nincs két lényegesen különözõ felontás. Tehát nem igz z indirekt feltevésünk, vgyis igz z eredeti állítás: irrcionális. + = 0 Q *, z irrcionális számok hlmz nem zárt 4 lpmûveletre ( ( )) = Q *, : = Q *. z irrcionális számok tizedes tört lkj végtelen nem szkszos tizedes tört. DEFINÍCIÓ: rcionális és z irrcionális számok hlmz diszjunkt hlmzok (Q «Q* = ), két hlmz egyesítése vlós számok hlmz: R = Q» Q*. vlós számok hlmz zárt 4 lpmûveletre. vlós számok és részhlmzi: Q R Q* 3 0 Z N N + 0, ,3 /3 p II. Mûveleti tuljdonságok:,, c ŒR esetén. z összedás és szorzás kommuttív (felcserélhetõ) + = + és =. z összedás és szorzás sszocitív (csoportosíthtó) ( + ) + c = + ( + c) és ( ) c = ( c) 3. szorzás z összedásr nézve disztriutív (széttgolhtó) ( + ) c = c + c

13 III. Hlmzok számosság DEFINÍCIÓ: Egy hlmz számosság z hlmz elemeinek számát jelenti. Jele: ΩΩ. Egy hlmz számosság lehet véges vgy végtelen. DEFINÍCIÓ: Egy hlmz véges hlmz, h elemeinek számát egy természetes számml megdhtjuk. Ellenkezõ eseten, zz h hlmz elemeinek számát nem dhtjuk meg természetes számml, kkor végtelen hlmzról eszélünk. DEFINÍCIÓ: végtelen hlmzok között tlálhtunk olyt, melynek elemei sor rendezhetõk, tehát megdhtó z.,., 3., 4., eleme. pozitív természetes számokkl megegyezõ számosságú hlmzokt megszámlálhtón végtelen hlmzoknk nevezzük. megszámlálhtóság és sor rendezhetõség egy végtelen hlmznál ugynzt jelenti. Minden olyn hlmz megszámlálhtón végtelen számosságú, melynek elemei és természetes számok között kölcsönösen egyértelmû megfeleltetés létesíthetõ. Megszámlálhtón végtelen számosságúk: egész számok, páros számok, négyzetszámok, rcionális számok. DEFINÍCIÓ: vlós számok számosságávl megegyezõ számosságú hlmzokt nem megszámlálhtón végtelen vgy kontinuum számosságú hlmzoknk nevezzük. Pl.: irrcionális számok hlmz, számegyenes pontjink hlmz, intervllum pontjink hlmz. TÉTEL: Számosság és hlmzmûveletek kpcsolt (logiki szit):, és C véges hlmzok számosságár érvényesek következõk: Ω» Ω = ΩΩ + ΩΩ - Ω «Ω Ω Ω = ΩUΩ - Ω» Ω Ω»» CΩ = ΩΩ + ΩΩ + ΩCΩ - Ω «Ω - Ω «CΩ - Ω «CΩ + Ω ««CΩ IV. Számelmélet DEFINÍCIÓ: Egy egész szám osztój egy egész számnk, h tlálhtó olyn c egész szám, melyre c =. Jelölés: Ω. (Természetesen cω is igz). Een z eseten zt is mondhtjuk, hogy oszthtó -vl és c-vel. Ekkor zt is mondhtjuk, hogy töszöröse -nk. 0 szerepe számelméleten: 0 minden egész számnk töszöröse (0-szoros), zz 0 minden nemnull egész számml oszthtó. 0 nem osztój egyetlen nemnull egész számnk sem, ugynis h 0 osztój lenne -nk, kkor létezne egy olyn egész szám, melyre 0 = π 0 lenne, ez pedig lehetetlen. Oszthtóság tuljdonsági: H,, c ŒZ, kkor Ω, Ω és Ω0, h π 0 Ω és Ω fi = Ω és Ωc fi Ωc Ω fi Ω c Ω és Ωc fi Ω ± c Ω és Ω + c fi Ωc (, ) = és Ωc és Ωc fi Ωc 3

14 Oszthtósági szályok: Egy n egész szám oszthtó -vel, h n páros, vgyis utolsó jegye Œ{0; ; 4; 6; 8}. 3-ml, h számjegyek összege oszthtó 3-ml. 4-gyel, h két utolsó jegyõl képzett szám oszthtó 4-gyel. 5-tel, h utolsó jegye Œ{0; 5}. 6-tl, h -vel és 3-ml oszthtó. 8-cl, h három utolsó jegyõl képzett szám oszthtó 8-cl. 9-cel, h számjegyek összege oszthtó 9-cel. 0-zel, h utolsó jegye 0. DEFINÍCIÓ: zokt pozitív egész számokt, melyeknek pontosn két pozitív osztój vn, prímszámoknk nevezzük. Pl.: ; 3; 5; 7; z nem prímszám. DEFINÍCIÓ: zokt z -nél ngyo számokt, melyek nem prímszámok, összetett számoknk nevezzük. z összetett számoknk -nél tö pozitív osztój vn. Pl.: 4; 6; 8; 9; 0; TÉTEL: számelmélet lptétele: ármely összetett szám felírhtó prímszámok szorztként, és ez felontás tényezõk sorrendjétõl eltekintve egyértelmû. 3 k Knonikus lk: n= p α p α p α p α, hol p, p, p 3,..., p k különözõ prímek,,, 3 3,..., k nemnegtív egész számok. Ekkor z n szám prímosztói: p, p, p 3,..., p k. k TÉTEL: Meghtározhtó z n szám osztóink szám következõ módon: fenti n számnk ( + ) ( + ) ( 3 + )... ( k + ) dr pozitív osztój vn. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö pozitív egész szám legngyo közös osztój közös osztók közül legngyo. Jele: (; ). Elõállítás: felírjuk számok prímtényezõs lkját, vesszük közös prímtényezõket (melyek z összes felontásn szerepelnek), ezeket hozzájuk trtozó legkise kitevõvel vesszük és összeszorozzuk. DEFINÍCIÓ: H két pozitív egész szám legngyo közös osztój, kkor két szám reltív prím. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö pozitív egész szám legkise közös töszöröse közös töszörösök közül legkise. Jele: [; ]. Elõállítás: felírjuk számok prímtényezõs lkját, vesszük z összes prímtényezõt, ezeket hozzájuk trtozó legngyo kitevõvel vesszük és összeszorozzuk. Összefüggés két pozitív egész szám legngyo közös osztój és legkise közös töszöröse között: (; ) [; ] =. V. lklmzások: Rcionális számok: rányok, rányosság, hsonlóság Irrcionális számok: szályos háromszög mgsság 3 kerülete (rp), területe (r p). Legngyo közös osztó: törtek egyszerûsítése Legkise közös töszörös: törtek közös nevezõre hozás Kifejezések legõve értelmezési trtományánk meghtározás, pl. Függvény értékkészletének megállpítás, négyzet átlój ( ) + +., kör 4

15 Kétismeretlenes egyenlet megoldás természetes számok hlmzán (oszthtóság felhsználásávl) pl.: 3+ y= y 3 = y y 3 = y( ) y= 3 = = 3+ 6 N Ω6 Ez következõ eseteken lehetséges: y táláztn szerepel z összes megoldás, z 5 megjelölt számpár felel meg feltételnek. 5

16 3. mtemtiki logik elemei. Logiki mûveletek. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltétel. Vázlt: I. mtemtiki logik foglm II. Logiki mûveletek (tgdás, diszjunkció, konjunkció, implikáció, ekvivlenci), mûveletek tuljdonsági III. Állítás és megfordítás Szükséges és elégséges feltétel IV. lklmzások evezetés: z ókori filozófi vetette fel zokt kérdéseket, melyek vizsgált logik kilkulásához vezetett. görög logosz szó jelentése gondolt, igzság, görög logiké szó érvelést, következtetést jelent. logik segíti definíciók, állítások pontos megfoglmzását, fontos szerepe vn prolémák megfoglmzásán, tudományos, lkotó kommunikáción. Kidolgozás: I. mtemtiki logik foglm mtemtiki logik gondolkodás mtemtiki formán kifejezhetõ, mtemtiki eszközökkel vizsgálhtó összefüggéseinek, törvényeinek feltárásávl fogllkozik. Fõ feldt következtetések helyességének vizsgált. II. Logiki mûveletek DEFINÍCIÓ: z állítás (vgy kijelentés) olyn kijelentõ mondt, melyrõl egyértelmûen el lehet dönteni, hogy igz vgy hmis. DEFINÍCIÓ: z igz és hmis kijelentés logiki értéke. H z állítás igz, állítás hmis, kkor úgy is mondhtjuk, hogy z logiki értéke igz, logiki értéke hmis. Jelekkel: ΩΩ = i és ΩΩ = h. z igz értéket szokták -gyel, hmis értéket 0-vl jelölni. DEFINÍCIÓ: kijelentéseket összekpcsolhtjuk. zokt kijelentéseket, melyeket más kijelentésekõl lehet elõállítni, összetett kijelentéseknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: H z összetett kijelentések logiki értéke csk z õt lkotó állítások logiki értékétõl és z elõállítás módjától függ, kkor logiki mûveletekrõl eszélünk. logiki mûveleteket igzságtál segítségével végezhetjük el. DEFINÍCIÓ: z állítás tgdás egyváltozós mûvelet. Egy kijelentés negációj (tgdás) z kijelentés, mely kkor igz, h hmis és kkor hmis, h igz. Jele: vgy ÿ. TÉTEL: Egy állítás tgdásánk tgdás mg z állítás (kettõs tgdás törvénye). Jele: =. 6

17 TÉTEL: Egy állítás és tgdás nem lehet egyszerre igz (ellentmondásmentesség elve). TÉTEL: Egy állítás és tgdás nem lehet egyszerre hmis ( hrmdik kizárásánk elve). DEFINÍCIÓ: Két, -tól és -tõl függõ állítás kkor egyenlõ, h és minden lehetséges logiki értékére két állítás igzságértéke egyenlõ. logiki mûveletek eredménye csk tgok logiki értékétõl függ. DEFINÍCIÓ: Állítások diszjunkciój: logiki vgy : Két kijelentés diszjunkciój pontosn kkor igz, h leglá z egyik kijelentés igz, különen hmis. Jele:. DEFINÍCIÓ: Állítások konjunkciój: logiki és : Két kijelentés konjunkciój pontosn kkor igz, h mindkét kijelentés igz, különen hmis. Jele: Ÿ. Logiki mûveletek tuljdonsági: Tuljdonság Diszjunkció Konjunkció Kommuttív (felcserélhetõ) sszocitív (csoportosíthtó) Disztriutív (széttgolhtó) De-Morgn zonosságok Továi zonosságok = Ÿ = Ÿ ( ) C = ( C) ( Ÿ ) Ÿ C = Ÿ ( Ÿ C) ( Ÿ C) = ( ) Ÿ ( C) Ÿ ( C) = ( Ÿ ) ( Ÿ C) = = i = = és = Ÿ = Ÿ = h DEFINÍCIÓ: Állítások implikációj: h, kkor kpcsoltnk megfelelõ logiki mûveletet implikációnk (következtetésnek) nevezzük. z implikáció logiki értéke pontosn kkor hmis, h igz és hmis, különen z implikáció igz. z állítást feltételnek, -t következménynek nevezzük. következtetés csk kkor hmis, h feltétel igz, de következmény hmis. Hmis állításól ármi következhet. Jele: Æ. DEFINÍCIÓ: Állítások ekvivlenciáj: z kkor és csk kkor kpcsoltnk megfelelõ logiki mûveletet ekvivlenciánk (következtetésnek) nevezzük. z ekvivlenci logiki értéke pontosn kkor igz, h és logiki értéke zonos, különen hmis. H z igz, kkor zt mondjuk, hogy és állítások ekvivlensek egymássl. Jele:. Igzságtálávl: Æ i i i i i i i h h i h h h i i h i h h h i h h i 7

18 TÉTEL: Tetszõleges és kijelentésekre Æ =. IZONYÍTÁS: Igzságtálázttl: Æ i i h i i i h h h h h i i i i h h i i i negyedik oszlop igzságértékei megegyeznek z implikáció igzságértékeivel, tehát z egyenlõség és minden lehetséges logiki értékére fennáll, zz zonosság. TÉTEL: Tetszõleges és kijelentésekre = ( Æ ) Ÿ ( Æ ) IZONYÍTÁS: Igzságtálázttl: Æ Æ ( Æ ) Ÿ ( Æ ) i i i i i i i h h i h h h i i h h h h h i i i i z ötödik oszlop igzságértékei megegyeznek z ekvivlenci igzságértékeivel, tehát z egyenlõség és minden lehetséges logiki értékére fennáll, zz zonosság. III. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltétel z állításokt gykrn H igz, kkor igz ( fi ) formán foglmzzuk meg. Tehát egy állítás igzságáól következik egy állítás igzság (vgyis, h z Æ implikáció igz), zt mondjuk, hogy z állításól következik állítás, vgy zt, hogy állítás állításnk elégséges feltétele (hiszen állítás igzságánk izonyításához elég z állítás igzságát izonyítni). Ilyenkor állítás z állításnk szükséges feltétele (hiszen z állítás nem lehet igz, h állítás nem igz). H ilyen eseten z állítás igzságáól állítás igzságár következtetünk, z helyes következtetés. H zt krjuk kimuttni, hogy z állításól nem következik állítás, elég egyetlen példát muttni olyn esetre, mikor igz és hmis. H ilyen eseten állításól állításr következtetünk, z nem helyes, vgyis helytelen következtetés. H z állításól következik állítás, és fordítv is: állításól következik z állítás, kkor zt mondjuk, hogy z állításnk állítás szükséges és elégséges feltétele. Jele: ( kkor és csk kkor igz, mikor ). Ez zt jelenti, hogy és egyszerre igz, vgyis ekvivlensek (egyenértékûek). Egy tétel feltételeinek és feltételei következményeinek felcserélésével kpjuk tétel megfordítását. Így fenti tétel megfordítás: H igz, kkor igz. ( fi ) H tétel és megfordítás is igz, kkor két tétel ekvivlens. ( ) Erre péld Thlész-tétel: 8

19 TÉTEL: Thlész-tétel: h egy kör átmérõjének két végpontját összekötjük kör ármely más pontjávl, kkor derékszögû háromszöget kpunk. IZONYÍTÁS: O középpontú kör, átmérõ, C tetszõleges pont körvonlon. C O O = OC = r fi OC háromszög egyenlõ szárú fi OC = OC =. OC = O = r fi OC háromszög egyenlõ szárú fi OC = CO =. z C háromszög elsõ szögeinek összege 80º fi + = 80º fi + = 90º fi C = 90º. TÉTEL: Thlész-tétel megfordítás: h egy háromszög derékszögû, kkor köré írhtó körének középpontj z átfogó felezõpontj. IZONYÍTÁS: C derékszögû háromszöget tükrözzük z átfogó F felezõpontjár. tükrözés tuljdonsági mitt C = C és C = C és C = C szögei 90º-osk. tégllp átlói egyenlõk és felezik egymást fi F = F = FC fi F z C háromszög köré írt kör középpontjávl egyenlõ. C F C TÉTEL: Thlész-tétel és megfordítás összefogllv: sík zon pontjink hlmz, melyekõl egy megdott szksz derékszögen látszik, szkszhoz, mint átmérõhöz trtozó kör, elhgyv elõle szksz végpontjit. IV. lklmzások: Mtemtiki definíciók, tételek pontos kimondás, tételek izonyítás Tétel megfordításánk kimondás izonyítási módszerek kidolgozás (direkt, indirekt, sktuly elv, teljes indukció) Komintorik, vlószínûségszámítás hsználj logiki mûveleteket és zok tuljdonságit. utomták tervezése prolémák részekre ontásávl. mtemtiki mûveletek és hlmzmûveletek párhuzm állíthtók. Egyenletek, egyenlõtlenségek megoldás során sokszor végzünk logiki mûveleteket (ekvivlens átlkítások). 9

20 4. Htványozás, htványfoglom kiterjesztése, htványozás zonossági. z n-edik gyök foglm. négyzetgyök zonossági. Htványfüggvények és négyzetgyökfüggvény. Vázlt: I. Pozitív egész kitevõjû htványok, htványozás zonossági II. Permnenci-elv III. Negtív egész, törtkitevõs, irrcionális kitevõjû htvány IV. z n-edik gyök foglm (n ŒN +, n π ). V. négyzetgyök zonossági VI. Htványfüggvények és zok tuljdonsági VII. Négyzetgyökfüggvény és tuljdonsági VIII. lklmzások evezetés: htványozást ugynz z igény hívt létre, mint szorzást. szorzás z ismételt összedást jelenti, htványozást zonos számok szorzásár vezették e, késõ kiterjesztették értelmezését. gyökvonás mûvelete htványkitevõ és htvány ismeretéen z lp kiszámolását teszi lehetõvé. Kíni mtemtikusok már z idõszámításunk kezdetén ismerték négyzetgyök és kögyök foglmát. mi jelölésrendszere XVI. százdn lkult ki. Kidolgozás: I. Pozitív egész kitevõjû htványok DEFINÍCIÓ: H tetszõleges vlós szám és n -nél ngyo természetes szám, kkor n htvány zt z n tényezõs szorztot jelenti, melynek minden tényezõje. H n =, kkor =. z számot htvány lpjánk, z n számot htvány kitevõjének nevezzük, ez utói megmuttj, hogy htványlpot hányszor kell szorzótényezõül venni. htványozás zonossági pozitív egész kitevõ esetén: (, ŒR, m, n ŒN + ) TÉTEL: zonos lpú htványokt úgy is szorozhtunk, hogy közös lpot kitevõk összegére emeljük: m n = m + n IZONYÍTÁS: = ( ) ( ) = = + m n m n htv. def. szorzás htv. def. md nd sszoc. m+ nd TÉTEL: zonos lpú htványokt úgy is oszthtunk, hogy közös lpot kitevõk különségére emeljük: m = m n, h π 0, m > n. n 0.

21 IZONYÍTÁS: md m nd m = = = n htv. def. egysze- htv. def. rûsítés n d m n. TÉTEL: Szorztot tényezõként is htványozhtunk: ( ) n = n n Tétel visszfele olvsv: zonos kitevõjû htványokt úgy is szorozhtunk, hogy z lpok szorztát közös kitevõre emeljük. IZONYÍTÁS: ( ) = ( ) ( ) ( ) = = n htv. def. szorzás szorzás n d sszoc. kommut. = = n n. htv. def. n d n d TÉTEL: Törtet úgy is htványozhtunk, hogy számlálót és nevezõt külön-külön htványozzuk és kpott htványoknk kívánt sorrenden hánydosát vesszük. ( ) n n n =, h π 0. Tétel visszfele olvsv: zonos kitevõjû htványokt úgy is oszthtunk, hogy z lpok hánydosát közös kitevõre emeljük. IZONYÍTÁS: n ( ) ( ) ( ) ( ) n d = = = htv. def. törtek htv. def. szorzás n d n d n n. TÉTEL: Htványt úgy is htványozhtunk, hogy z lpot kitevõk szorztár emeljük: ( n ) m = n m. IZONYÍTÁS: ( n) m = ( n) ( n) ( n) = = m. htv. def. n. htv. def. szorzás m d nd nd nd sszoc. m d = = mn. htv. def. mn d II. Permnenci-elv htványozás foglmát kiterjesztjük minden egész kitevõre, mjd egész kitevõrõl rcionális kitevõre, mjd rcionálisról irrcionális kitevõre úgy, hogy z elõi, pozitív egész kitevõre teljesülõ zonosságok továr is teljesüljenek. foglom értelmezésének kiterjesztése esetén ezt z igényt nevezzük permnenci-elvnek.

22 III. htványozás kiterjesztése. zonosság segítségével htványozás foglm kiõvíthetõ z egész számokr következõ módon: DEFINÍCIÓ: Tetszõleges π 0 vlós számr 0 =. Minden nullától különözõ vlós számnk nulldik htvány t nem értelmezzük (nem lehet úgy értelmezni, hogy összhngn legyen htványozás értelmezéseivel: 0 0 = 0 kellene, mert 0 minden pozitív egész kitevõ htvány = kellene, mert minden egyé szám nulldik htvány.) izonyíthtó, hogy ezzel z értelmezéssel htványozás zonossági érvényen mrdnk. Pl. 0 n = 0 + n = n 0 n n n = = DEFINÍCIÓ: Tetszõleges π 0 vlós szám és n pozitív egész szám esetén n =. Minden 0-tól n különözõ vlós szám negtív egész kitevõjû htvány szám megfelelõ pozitív kitevõjû htványánk reciprok (vgy szám reciprokánk megfelelõ pozitív kitevõjû htvány). izonyíthtó, hogy ezzel z értelmezéssel htványozás zonossági érvényen mrdnk. Pl. n n = n+ n = 0 = n n n = n = = n n n m Ezzel két definícióvl. zonosság igz minden n, m ŒZ-re: H n = m, kkor m m = =. n m H m < n, kkor m dr -vl egyszerûsítünk, számlálón, nevezõen pedig n - m dr szorzótényezõ mrd, mi htvány definíciój mitt. lklmzv negtív egész kitevõjû htvány definícióját = = m n. n m ( m n) htványozás foglmát ezután rcionális kitevõre terjesztjük ki: DEFINÍCIÓ: z pozitív vlós szám p -dik htvány z pozitív vlós szám, melynek q-dik q htvány p, zz ( p ) q q = p. p q definícióól következik: q = p. z lp csk pozitív szám lehet, mert például ( ) = ( ) = 4 = = értelmes, 4 ( ) = ( ) = nem értelmezhetõ, pedig két htvány értékének (zonos lp, zonos kitevõ) meg kell egyeznie. izonyíthtó, hogy ezzel z értelmezéssel htványozás zonossági érvényen mrdnk.

23 Pl. n ( ) n = n = n k ( n ) ( ) k k n k n n k k = = htványozást kiterjeszthetjük tetszõleges vlós kitevõre. Ehhez z irrcionális kitevõt kell értelmeznünk. z értelmezés zon lpul, hogy ármely irrcionális szám tetszõlegesen közelíthetõ két oldlról rcionális számokkl. Így h pl.: htványt szeretnénk meghtározni, kkor ehhez értékét közelítjük nál kise, illetve nál ngyo rcionális számokkl, mjd közelítõ értékekre, mint kitevõre emeljük -t. izonyíthtó, hogy értéke létezik, és ily módon tetszõlegesen közelíthetõ (rendõr elv). DEFINÍCIÓ: z pozitív vlós szám irrcionális kitevõjû htvány, zz jelentse z r sorozt htárértékét, hol r egy rcionális számsorozt tgjit jelöli és r Æ. Képlettel: lim r = α. r α IV. z n-edik gyök foglm gyökvonás htványozás egyik fordított mûvelete: z vlós szám n-edik gyöke (n ŒZ +, n π ) z n = egyenlet megoldás. z szám n-edik gyökének jelölése: n, h n ŒN +. gyökvonás értelmezésénél különséget kell tenni páros és pártln gyökkitevõ között (hiszen páros n-re és negtív -r z n = egyenletnek nincs megoldás, mivel vlós számok páros kitevõjû htvány nem lehet negtív. Tehát páros n-re és negtív -r z szám n-edik gyöke nem értelmezhetõ.) DEFINÍCIÓ: Egy vlós szám (k + )-edik (k ŒN + ) gyökén zt vlós számot értjük, melynek (k + )-edik htvány. Képlettel: ( ) k+ k+ =, hol k ŒZ +. DEFINÍCIÓ: Egy nemnegtív vlós szám k-dik (k ŒN + ) gyökén zt nemnegtív vlós számot értjük, melynek k-dik htvány. Képlettel: ( ) k k =, hol 0, k 0, k ŒZ +. DEFINÍCIÓ: Egy nemnegtív vlós szám négyzetgyökén zt nemnegtív vlós számot értjük, melynek négyzete. Képlettel: ( ) =, hol 0, 0. páros és pártln gyökkitevõre vontkozó definíciók közötti különségõl dódón: ( k ) k =ΩΩ és ( ) k+ k+ =, pl. 6 ( 5) 6 = 5, de 5 ( 5) 5 = 5. V. négyzetgyök zonossági TÉTEL: =, h, nemnegtív vlós számok. Szorzt négyzetgyöke egyenlõ tényezõk négyzetgyökének szorztávl. Tehát szorztól tényezõnként vonhtunk gyököt. IZONYÍTÁS: Vizsgáljuk mindkét oldl négyzetét: 3

24 négyzetgyök definíciój mitt. ( ) =, ( ) ( ) ( ) = =, szorzt htványánk zonosság és négyzetgyök definíciój mitt. két oldl négyzete egyenlõ. H mindkét oldl értelmes, vgyis nemnegtív, kkor htványozás zonosságáól következik két oldl egyenlõsége., h, nemnegtív vlós számok, π 0. Tört négyzetgyöke egyenlõ számláló és nevezõ négyzetgyökének hánydosávl. TÉTEL: = =, h k egész, > 0 vlós szám. htványozás és gyökvonás sorrendje felcserélhetõ egymássl pozitív lp esetén. Figyelni kell rr, hogy négyzetre emelés és négyzetgyökvonás sorrendje nem cserélhetõ fel, h z lp negtív. Így áltlánosn: =. TÉTEL: k ( ) k VI. Htványfüggvények és zok tuljdonsági DEFINÍCIÓ: z f: R Æ R, f() = n függvényt, hol n ŒN +, htványfüggvénynek nevezzük. htványfüggvények értelmezhetõek n = 0 esetre is, de ettõl most eltekintünk. htványfüggvény vizsgáltát két részre kell ontnunk szerint, hogy n páros-e vgy pártln. Jellemzés: függvény f: R Æ R, f() = k g: R Æ R, g() = k + árázolás: y y= k y y= + k értelmezési trtomány: vlós számok hlmz: R vlós számok hlmz: R értékkészlete: monotonitás: nemnegtív vlós számok hlmz: R 0 + h < 0, kkor szigorún monoton csökken, h > 0, kkor szigorún monoton nõ szélsõértéke: szolút minimum vn z = 0 helyen, minimum értéke f() = 0. vlós számok hlmz: R szigorún monoton nõ nincs görülete: lulról konve h < 0, kkor lulról konkáv, h > 0, kkor lulról konve 4

25 zérushelye: = 0 = 0 pritás: páros: f(-) = f() pártln, vgyis g(-) = -g() korlátosság: invertálhtóság: lulról korlátos, felülrõl nem korlátos. invertálhtó, h 0: inverze z f - : R 0 + Æ R, f - () = k függvény nem korlátos invertálhtó: inverze z g - : R Æ R, g - () = k + függvény Görület szempontjáól külön kell venni z n = esetet: ekkor függvény se nem konve, se nem konkáv. htványfüggvények folytonosk, minden pontn deriválhtók, minden korlátos intervllumon integrálhtók. VII. Négyzetgyökfüggvény és tuljdonsági DEFINÍCIÓ: z f: R 0 + Æ R, f() = Jellemzés: függvényeket négyzetgyökfüggvényeknek nevezzük. függvény f: R 0 + Æ R, f() = árázolás: y y= értelmezési trtomány: + nemnegtív vlós számok hlmz: R 0 értékkészlete: + nemnegtív vlós számok hlmz: R 0 monotonitás: szigorún monoton nõ szélsõértéke: szolút minimum vn z = 0 helyen, minimum értéke f() = 0. görülete: lulról konkáv zérushelye: = 0 pritás: nincs: nem páros, nem pártln korlátosság: lulról korlátos, felülrõl nem korlátos invertálhtóság: invertálhtó: inverze z f - + : R 0 Æ R, f - () = függvény gyökfüggvények folytonosk, differenciálhtók, integrálhtók. 5

26 Példák négyzetgyökfüggvényre: f( ) = + f( ) = + + y y f( ) = + = ( ) + f( ) = = ( ) y y VIII. lklmzások: Htványozás: Prímtényezõs felontásn pozitív egész kitevõjû htványok, legngyo közös osztó, legkise közös töszörös, osztók szám Normállkn: egyszerû kicsi és ngy számokkl vló mûveletek elvégzése számrendszerek felépítése htványozáson lpul Mértni sorozt: n, S n kiszámolás Ismétléses vriációk szám: n k Hsonló testek felszínének, térfogtánk rány Kmtos kmt számítás Négyzetes úttörvény: s= t Rdioktív omlás Mértékegységváltás inomiális eloszlás Nevezetes zonosságok Gyökvonás: Mgs fokú egyenletek megoldás Pitgorsz-tétel (négyzetre emelés, gyökvonás) Mértni közép (gyökvonás) Mgsság-, illetve efogótétel (négyzetre emelés, gyökvonás) Kock élének, vgy göm sugránk kiszámolás térfogtól 6

27 l hosszúságú fonáling lengésideje: T = π h mgsságól szdon esõ test seessége: v= gh Kmtos kmtnál kmttényezõ kiszámítás Hrmonikus rezgõmozgás körfrekvenciájánk kiszámítás l g 7

28 5. logritmus foglm és zonossági. z eponenciális és logritmusfüggvény. Vázlt: I. logritmus definíciój II. logritmus zonossági III. Eponenciális függvény, tuljdonsági IV. Logritmusfüggvény, tuljdonsági V. lklmzások evezetés: XVIII. százdn kereskedelem, hjózás, z építészet és csillgászt fejlõdése új prolémákt vetett fel mtemtikusok számár: z zonos lpú htványokkl végzett szorzás és osztás kitevõkkel elvégezhetõ összedásr és kivonásr vezethetõ vissz. Így mûveletek leegyszerûsödnek. logritmuskeresés mûvelete során htványkitevõt keressük z lp és htványérték ismeretéen. Kidolgozás: I. Logritmus definíciój z = ( > 0, > 0, π ) egyenlet megoldáskor z kitevõt keressük. Ennek z egyenletnek z egyetlen megoldás = log. DEFINÍCIÓ: logritmus htványozás egyik fordított mûvelete: log ( lpú logritmus ) z z egyetlen vlós kitevõ, melyre -t emelve -t kpunk: log =, ( > 0, > 0, π ), vgyis log = c egyenértékû zzl, hogy c =. ( kitevõt fejezzük ki htványlp és htványérték ismeretéen.) Elnevezések: = logritmus lpj, = htványérték. logritmus lpját zért válsztjuk pozitív számnk, mert negtív lp esetén törtkitevõs htvány nem értelmezhetõ. h z lp 0 lenne, kkor htványérték ármilyen (0-tól különözõ) kitevõre 0, így kitevõkeresés nem egyértelmû. h z lp lenne, htványérték kitevõ ármely értékére, így sem egyértelmû kitevõkeresés. H logritmus lpj 0, kkor jelölés: log 0 = lg. H logritmus lpj e, kkor természetes lpú logritmusról eszélünk, így jelölés: log e = ln. II. Logritmus zonossági TÉTEL: Szorzt logritmus egyenlõ tényezõk logritmusánk összegével: log ( y) = log + log y, hol, y > 0, > 0, π. IZONYÍTÁS: logritmus definíciój lpján: = log és y= log y, illetve y= log ( y ) 8

29 Nézzük z állítás l oldlát: y = = = + y, log ( ) log ( log log y ) log log + log y log log z zonos lpú htványok szorzás és logritmus definíciój mitt. Így izonyítndó állítás igz. TÉTEL: Tört logritmus megegyezik számláló és nevezõ logritmusánk különségével: log = log log y y, hol, y > 0, > 0, π. TÉTEL: Htvány logritmus z lp logritmusánk és kitevõnek szorzt: log k = k log, hol > 0, > 0, π, k ŒR. TÉTEL: Áttérés más lpú logritmusr: logc log =, hol,, c > 0,, c π. log IZONYÍTÁS: logritmus definíciój lpján: = log. Írjuk fel: log = log log c c = log logc, logritmus definíciój és htvány logritmus mitt. Kptuk: log c = log log c /: log c π 0 feltételek mitt. logc Így: log =. Ez izonyítndó állítás. log III. Eponenciális függvény: c c DEFINÍCIÓ: z f: R Æ R, f() = ( > 0) függvényt eponenciális függvénynek nevezzük. z = esetén z eponenciális függvény konstns: f() = =. Jellemzés: függvény f: R Æ R, f() =, 0 < < eseten árázolás: y= 0< < y g: R Æ R, g() =, < eseten y y= > értelmezési trtomány: vlós számok hlmz: R vlós számok hlmz: R értékkészlete: pozitív vlós számok hlmz: R + pozitív vlós számok hlmz: R + monotonitás: szigorún monoton csökken szigorún monoton nõ szélsõértéke: nincs nincs görülete: lulról konve lulról konve 9

30 zérushelye: nincs nincs pritás: nincs: nem páros, nem pártln nincs: nem páros, nem pártln korlátosság: invertálhtóság: lulról korlátos, felülrõl nem korlátos invertálhtó: inverze z f - : R + Æ R, f - () = log függvény z eponenciális függvény folytonos, differenciálhtó, integrálhtó. IV. Logritmusfüggvény lulról korlátos, felülrõl nem korlátos invertálhtó: inverze z g - : R + Æ R, g - () = log függvény DEFINÍCIÓ: z f: R + Æ R, f() = log, ( > 0, π ) függvényt logritmusfüggvénynek nevezzük. Jellemzés: függvény f: R Æ R, f() = log, 0 < < eseten árázolás: y g: R Æ R, g() = log, < eseten y y=log > y=log 0< < értelmezési trtomány: pozitív vlós számok hlmz: R + pozitív vlós számok hlmz: R + értékkészlete: vlós számok hlmz: R vlós számok hlmz: R monotonitás: szigorún monoton csökken szigorún monoton nõ szélsõértéke: nincs nincs görülete: lulról konve lulról konkáv zérushelye: = = pritás: nincs: nem páros, nem pártln nincs: nem páros, nem pártln korlátosság: nem korlátos nem korlátos invertálhtóság: invertálhtó: inverze z f - : R Æ R, f - () = (0 < < ) függvény logritmusfüggvény folytonos, differenciálhtó, integrálhtó. invertálhtó: inverze z g - : R Æ R, g - () = ( < ) függvény 30

31 Kpcsolt z eponenciális és logritmusfüggvények között: 0 < < < y y= y= 0< < y y= y= > y=log > y=log 0< < z eponenciális függvény π esetén invertálhtó, inverze z f - : R + Æ R, f - () = log ; > 0, π logritmusfüggvény. logritmusfüggvény invertálhtó, inverze z f - : R Æ R, f - () = ; > 0, π eponenciális függvény. Kiegészítés: DEFINÍCIÓ: z f függvény inverze g függvény, h z f értelmezési trtományánk minden elemére igz, hogy f() eleme g értelmezési trtományánk és g(f()) =. z inverz függvény jelölése: g = f -. H z f és g függvények egymásnk inverzei, kkor z f értelmezési trtomány g értékkészlete, z f értékkészlete g értelmezési trtomány. H két függvény egymásnk inverzei, kkor grfikonjik egymásnk tükörképei z y = egyenletû egyenesre. V. lklmzások: = 3 egyenlet megoldás logritmussl mtemtiki mûveletek visszvezetése egyszerû mûveletek elvégzésére (szorzás helyett összedás, htványozás helyett szorzás) kmtos kmtszámításnál z lptõke, z n-edik év végi tõke, és kmttényezõ ismeretéen z n meghtározás: n t 0 0 n n t lg lg lg n lg n t lg n t n lg n t t = t q = q = q = n q n= t0 t0 t0 lgq számolás gépe nem férõ ngy számokkl, pl.: 00 = 85 lg = 00 lg85 0 lg30 = 3, 300 = 03, = 03 00, =,68 03 grvitációs erõtéren rometrikus mgsságformulán levegõ sûrûsége mgssággl eponenciálisn csökken Richter-skál (földrengések méretét htározz meg) logritmus lpú ph érték: z oldtok szd oónium-ion koncentrációjánk negtív 0-es lpú logritmus: ph = -lg[h 3 O + ] eponenciális függvény írj le: rdioktív izotópok omlását, z oldódás folymtát, kondenzátor feltöltõdésének és kisülésének folymtát. 3

32 6. Egyenletmegoldási módszerek, ekvivlenci, gyökvesztés, hmis gyök. Másodfokú és másodfokúr visszvezethetõ egyenletek. Vázlt: I. Egyenlet, egyenlet gyökének foglm II. Egyenlet-megoldási módszerek III. Ekvivlenci IV. Gyökvesztés V. Hmis gyök VI. Másodfokú egyenletek, megoldásuk VII. Új ismeretlennel másodfokúr vezetõ egyenletek VIII. lklmzások evezetés: z ókori Mezopotámiáól Kr.e. 000-õl szármzó ékírásos tálákon tlálhtó jelek lpján tudjuk, hogy z kkori írástudók már meg tudtk oldni egyenleteket és egyenletrendszereket. legrégei írásos emléken, Rhind-ppíruszon láthtjuk nyomit gykorltól eredõ lgeri ismereteknek. Kidolgozás: I. Egyenlet DEFINÍCIÓ: z egyenlet ármely két egyenlõségjellel összekötött kifejezés. kifejezésen szereplõ változók z ismeretlenek. z egyenlet olyn változótól függõ állítás (nyitott mondt), melynek z lphlmz számhlmz. DEFINÍCIÓ: z lphlmz z ismeretlenek zon értékeinek hlmz, hol z egyenletet vizsgáljuk, hol megoldásokt keressük. DEFINÍCIÓ: z egyenlet értelmezési trtomány z lphlmznk z legõve részhlmz, hol z egyenleten szereplõ kifejezések értelmezhetõek. DEFINÍCIÓ: z egyenletet igzzá tevõ értékek z egyenlet megoldási vgy gyökei. DEFINÍCIÓ: z lphlmz zon elemeinek hlmz, melyekre z egyenlet igz, vgyis z egyenlet megoldásink (vgy gyökeinek) hlmz z egyenlet megoldáshlmz (vgy igzsághlmz). DEFINÍCIÓ: z zonosság olyn egyenlet, melynek megoldáshlmz megegyezik z egyenlet értelmezési trtományávl. 3

33 II. Egyenlet-megoldási módszerek:. Mérlegelv: z egyenlet két oldlánk egyform változttásánk módszere. mérlegelv szerint egy egyenlet gyökeinek hlmz nem változik, h z egyenlet mindkét oldlához ugynzt számot hozzádjuk, vgy mindkét oldláól kivonjuk; z egyenlet mindkét oldlát ugynzzl 0-tól különözõ számml szorozzuk, osztjuk.. Grfikus megoldás: z egyenlet két oldlán álló kifejezést, mint függvényt árázoljuk. Ilyenkor két grfikon közös pontjink szcisszái dják megoldást. Hátrány: ponttln lehet leolvsás. 3. Szorzttá lkítás: onyolultnk tûnõ vgy túl mgsfokú egyenlet megoldáskor kiemeléssel vgy megfelelõ csoportosítás utáni kiemeléssel szorzttá lkítjuk z egyik oldlt úgy, hogy másik oldl 0 legyen. Egy szorzt kkor és csk kkor 0, h leglá z egyik tényezõje 0. Ezzel egyszerû, vgy lcsony fokú egyenlethez jutunk. Pl.: ( - )( + 4) + ( - )(3 - ) = 0 fi ( - )( ) = Értelmezési trtomány vizsgált: izonyos eseteken z értelmezési trtomány egyetlen szám, vgy üres hlmz. H egy szám, kkor ellenõrizzük, hogy vlón megoldás-e, h üres hlmz, kkor nincs megoldás. = 0 fi D f = {} fi ellenõrzés fi = z egyetlen megoldás. = fi D f = {} fi nincs megoldás. 5. Értékkészlet vizsgált: onyolultnk tûnõ vgy tö ismeretlent trtlmzó egyenlet megoldáskor lklmzhtjuk, h z egyenlet trtlmz pl. négyzetre emelést, négyzetgyökvonást, szolút értéket, eponenciális kifejezést, szinuszt, koszinuszt. 3 + ( y+ 4) + z+ 4 = 0 = 3, y= 4, z=. 3-4 = -, de 3-4 > 0 π - fi nincs megoldás + =, de + 0 fi nincs megoldás sin sin + + sin 4sin + 4 = 4 sin + sin = 4 sin [,0] sin = sin + negtív sin + sin + = 4 sin = sin [ 3, ] sin = sin + negtív 6. Új ismeretlen evezetése: onyolultnk tûnõ egyenlet megoldását visszvezetjük egy már ismert egyenlettípus megoldásár. Pl.: III. Ekvivlenci (egyenértékûség) tg 4-5tg + 4 = 0 fi := tg fi = 0 DEFINÍCIÓ: Két egyenlet ekvivlens, h lphlmzuk és megoldáshlmzuk is zonos. DEFINÍCIÓ: Ekvivlens átlkítás z olyn átlkítás, mit egyenletek megoldás közen végzünk és ezzel z átlkítássl z eredetivel ekvivlens egyenletet kpunk. Ekvivlens átlkítás például z egyenlet mérlegelvvel történõ megoldás. Nem ekvivlens átlkítás például változót trtlmzó kifejezéssel osztni z egyenlet mindkét oldlát, vgy négyzetre emelni z egyenlet mindkét oldlát. 33

34 z egyenletek megoldás során nem mindig vn lehetõségünk ekvivlens átlkításokt végezni. H lehet, ilyen eseteken vgy értelmezési trtomány, vgy értékkészlet vizsgálttl próálunk feltételeket felállítni. De még így is elõfordulht, hogy olyn átlkítást végzünk, mely során z új egyenletnek szûke z értelmezési trtomány, mint z eredetinek, ekkor gyökvesztés állht fenn; z új egyenletnek õve z értelmezési trtomány, mint z eredetinek, ekkor gyöknyerés állht fenn. IV. Gyökvesztés Gyökvesztés következhet e, h változót trtlmzó kifejezéssel osztjuk z egyenlet mindkét oldlát, vgy olyn átlkítást végzünk, mely szûkíti z értelmezési trtományt. Pl. hiás megoldás: helyes megoldás: 3+ + = = 0 : ( + + ) = = 0 = 0 = vgy + + = 0 = Pl. hiás megoldás: lg( + ) = lg5 Df = R { } lg( + ) = lg5 Df = ], [ lg( + ) = lg5 + = 5 = 3 V. Hmis gyök helyes megoldás: lg( + ) = lg5 Df = R { } lg( + ) = lg5 ( + ) = 5 + = 5 = 3 vgy + = 5 = 7 Hmis gyököt kpunk, h z egyenlet mindkét oldlát négyzetre emeljük, vgy mindkét oldlt z ismeretlent trtlmzó kifejezéssel szorozzuk, vgy olyn átlkítást végzünk, mi õvíti z értelmezési trtományt. Pl. 7 = /(). Eredeti feltétel: 7-0 fi 7 fi D f = ]-, 7]. gyöknyerés kiküszöölhetõ közülsõ feltétellel: - 0 fi fi D fúj = ]-, ]. 7 - = ( - ) fi = 0 fi = 3 œd fúj, = - ŒD fúj Pl. + = + / fi = fi =. gyöknyerés ekkor is kiküszöölhetõ, h z eredeti egyenletre írunk D f -et. Pl = + 8. Eredeti feltételek: fi -6; + 0 fi -; fi -4; fi D f = [-; [. H z egyenletet elõször rendezzük úgy, hogy mindkét oldl nemnegtív legyen, négyzetre emeljük mindkét oldlt, rendezzük úgy, hogy gyökös kifejezés z egyik oldlr kerüljön, töi tg másik oldlr, mjd négyzetre emelés elõtt közülsõ feltételt írunk, hogy gyöknyerést kiküszööljük: 34

35 + 6 = / négyzetre emelés + 6 = /rendezés 4= közülsõ feltétel írás: jo oldl nemnegtív, l oldlnk is nnk kell lennie, mivel egyenlõk, zz fi - fi D fúj = {-}. Een z eseten nem is kell elvégezni négyzetre emelést, hiszen csk egy szám felel meg z értelmezésnek, h vn megoldás, kkor csk ez z egy szám lehet. Ennek ellenõrzésével eldönthetõ, hogy ez vlón megoldás-e. kár gyökvesztés, kár hmis gyök elkerülhetõ, h z egyenlet megoldás során mindig figyelünk z értelmezési trtomány változásár, h lehet, z értékkészletet is vizsgáljuk, mert így szûkíteni lehet z lphlmzt. VI. Másodfokú egyismeretlenes egyenlet DEFINÍCIÓ: Másodfokú egyismeretlenes egyenlet + + c = 0 lkr hozhtó, hol,, c ŒR, π 0. Megoldás lehetséges megoldóképlettel, szorzttá lkítássl, teljes négyzetté lkítássl, Viète-formulávl. Pl. + 3 = 0 vgy = 0 TÉTEL: z + + c = 0 ( π 0) egyenlet megoldóképlete: - 4c 0., = ± 4c, hol IZONYÍTÁS: c = 0 / c = 0 / 4 teljes négyzetté lkítássl: ( + ) - + 4c = 0 / + - 4c - 4c - + 4c( + ) = - 4c / c Mivel l oldlon négyzetszám vn, mi nem lehet negtív, így - 4c sem lehet z. (H - 4c < 0, kkor nincs megoldás). H - 4c 0, kkor vonjunk mindkét oldlól gyököt, figyelve, hogy elkerüljük gyökvesztést: + = 4 c + =± 4c = ± 4c 4c, = ± DEFINÍCIÓ: z + + c = 0 ( π 0) másodfokú egyenlet diszkrimináns D = - 4c. H D > 0, kkor z egyenletnek két különözõ vlós gyöke vn: 4c, = ±. H D = 0, kkor z egyenletnek két egymássl egyenlõ gyöke, vgyis vlódi gyöke vn: =, ezt kétszeres gyöknek is nevezzük, mert =. H D < 0, kkor z egyenletnek nincs vlós gyöke. 35