2. modul Csak permanensen!

Átírás

1 MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné

2 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok ismeretének elmélyítése, zok készség szinten lklmzás. A htvány foglmánk kiterjesztése rcionális kitevőkre. Az dott témkörben szerzett tnóri ismeretek rendszerezése, elmélyítése. fogllkozás. évfolym Tágbb környezetben: Csillgászt és mikrofizik. Szűkebb környezetben: Algebri kifejezések zonos átlkítás. Htványfüggvény, gyökfüggvény foglm, értelmezési trtomány, értékkészlete. Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldás. Ajánlott megelőző tevékenységek: Htványozás zonossági. A htvány foglmánk kiterjesztése vlós kitevőre. Számok normállkj. Vlószínűségszámítási lpismeretek. A képességfejlesztés fókuszi Ajánlott követő tevékenységek: Eponenciális függvények, zok tuljdonsági. Eponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek megoldás. Az eponenciális függvények lklmzás kuttómunkábn. Számolás, számlálás, számítás: A szám foglmánk elmélyítése. A számok különböző lkj. Műveleti tuljdonságok. Rendszerezés, kombintív gondolkodás: Az dott témkörben tnult ismeretek lklmzási lehetőségének felismerése különböző szövegkörnyezetben. Igz hmis állítások kiválsztás. A kretív gondolkodási mód fejlesztése.

3 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó AJÁNLÁS A htvány foglmánk mélyebb ismerete nélkül nehezen birkóznk meg tnulók logritmus foglmávl. Ez fogllkozás segít elmélyíteni pozitív számok különböző kitevőjű htványánk foglmát, és z erre érvényes öt zonosság lklmzásr érett ismeretét. A modulbn mindezt elsősorbn feldtok önálló megoldásán keresztül érjük el. A feldtnyg végigkíséri tnulókt htványfoglom kilkulásánk egyes lépésein, míg végül, ismereteik lpján önállón rendszerezik zokt. A htványfüggvények kpcsán előkerül z inverz függvény foglm is. Az egyes fogllkozások nyg bővebb nnál, mint mennyi belefér egy 5 perces fogllkozásb. Így jobbn nyílik lehetőség differenciálásr is, illetve jobbn figyelembe vehető csoport felkészültsége, előképzettsége. Bátrn válogssunk feldtok között! A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE:. fogllkozás: Látómezőnkben z öt zonosság. fogllkozás: Teremtsünk rendet!

4 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjtemény I. Látómezőnkben z öt zonosság Pozitív egész kitevőjű htványokkl végzett műveletek kiszámítás fejben definíció lklmzásávl. Htványok összehsonlítás. A htványozás zonosságink tudtos lklmzás egész kitevőjű htványok esetében. A ngyon ngy és ngyon kicsi számok lklmzás több más tudományterületen. A htvány foglmánk előkészítése z zonosságok tudtos lklmzásán keresztül. Értelmes memóri, deduktív következtetés, rendszerezés Feldtlp:.,.,. feldt Tnulási és műveletvégzési sebesség, nlógiák felismerése Feldtlp:., 5., 6. feldt Szövegértés, számolási képesség Feldtlp: 7.,. feldt Deduktív következtetés, nlógiák felismerése Feldtlp: 9., és., 5. feldti 5 Egyszerű eponenciális egyenletek megoldás. Számolás, deduktív gondolkodás, mennyiségi következtetés Feldtlp:. feldt II. Teremtsünk rendet! A törtkitevőjű htvány foglmánk tudtosítás hmis igz állítások felismerésével. Értelmes memóri, metkogníció Feldtlp:.,. feldt A törtkitevőjű htvány és gyök közötti eltérések. Számolási képesség, deduktív következtetés, problémérzékenység Feldtlp:.,., 5. feldt Összefoglló táblázt készíttetése. Rendszerezés Modul leírás (tnári példány)

5 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 5 Néhány htványfüggvény ábrázolás, tuljdonságik felismerése, egyenlőtlenségek önálló létrehozás, megoldás. Inverz függvény párok keresése, felismerése. Kombintív gondolkodás, metkogníció, számolás, deduktív gondolkodás Feldtlp: 6. feldt

6 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 6 I. LÁTÓMEZŐNKBEN AZ ÖT AZONOSSÁG Módszertni megjegyzés: Ezen fogllkozáson fő cél htványozás zonosságink biztos lklmzás. H vn csoportbn olyn tnuló, ki még mindig nem ismeri jól z zonosságokt, hgyjuk, hogy z első három feldtot pozitív egész kitevőjű htvány definíciójánk lklmzásávl oldj meg. Az első feldtot igyekezzenek tnulók vlóbn fejben megoldni. Az első három feldtot egyszerre tűzzük ki. Csk kkor célszerű megoldásokt egyeztetni, h tnulók zöme mindegyik részfeldtr dott megoldást.. Próbáld fejben kiszámolni z lábbi kifejezések tízes számrendszerbeli lkját! 9 6 ) 0 6 b) 5 c) 7 9 e) 9 6 f) g) 7 9 d) h) ) 9 b) 0, c) d) e) f) g) 0, 75 h) ( + ) +. Melyik ngyobb? Döntésedet indokold! ) 6 vgy b) vgy c) d) vgy 0 90 vgy e) + vgy

7 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 7 ) 6 0 > 0 b) és 7 9, és mivel htványfüggvények pozitív egészszámok hlmzán szigorún növők, így < 7. c) 6 5 5, és mivel pártln kitevőjű htványfüggvények szigorún növők, így 6 < 5. d) , és mivel htványfüggvények pozitív egészszámok hlmzán szigorún növők, így > 9 9. e) < +. 0, és 0 0 6, így Melyik szám. htványávl egyezik meg kifejezés? Tehát z 5-nek -edik htványávl egyenlő kifejezés.. A htványozás zonosságit számozzuk következőképpen: I. n k n+ k II. n k n k III. n n n b ( b) IV. b n n n V. ( b ) n k nk Az lábbikbn egy-egy kifejezést átlkítottunk htványzonosságok felhsználásávl. Döntsd el, hogy z egyes esetekben mely zonosságokt hsználtunk fel, és z lklmzott zonosság sorszámát írd z egyenlet mellé! (A kitevők egész számokt jelölnek. ) (V.) b) (I.) c) 6 (III.) d) (V., I.) e) 6 (V., II.) f) 9 (II., I.) g) + + (V., I.) h) (V., II.) i) + + (I. vgy II.) j) 50 5 (III., V., I.)

8 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 5. Melyik szám 50-edik htványávl egyezik meg ( ) kifejezés? ( ) egyenlő. 50. Tehát kifejezés -nek z 50. htványávl Mivel egyenlő? Módszertni megjegyzés: A következő két feldt megoldás során bíztssuk tnulókt, hogy normállkkl számoljnk! 7. Egy puk kisfiánk szemléltetni szeretné Nprendszert. A Npot egy kb. 0 cm átmérőjű nrnccsl modellezi. H ugynilyen ránybn kicsinyítené Földet is, kkor mekkor átmérőjű tárgyt kellene válsztni? Mekkor sugrú körpályán kellene mozgtni Földet Np körül, h Np Föld távolságot is ugynilyen ránybn szeretné kicsinyíteni? (A közepes Np Föld távolság:, egyenlítőjének átmérője:,9 0 km, Földé:,756 0 km. km. A Np A kicsinyítés rány: 0,9 0.,756 0 A modellben Föld átmérője:,9 0 gombostűfejjel modellezhető Föld. 7 0,9 0 0 (m) 0,9 (mm), tehát például A modellben Np Föld távolság:,96 0,9 0 0,07 0 0,7 (m).. Az rny tomjánk átmérője kb. 0 cm. ) Hányszor érné körbe Földet z egyenlítő mentén z z rnyfonl, melyet mol mennyiségű rny tomjink szoros, egysoros egymás után illesztésével hoznánk létre? (A Föld sugr kb. 67 km.)

9 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 9 b) H szorosn egymás mellé tekernénk z mol mennyiségű rny tomjiból készített rnyfonlt z egyenlítő köré, milyen széles rnyszlghoz jutnánk? ) A Föld egyenlítőjének hossz kb. 0 0 cm. Az egyenlítő egyszeri körbetekeréséhez 0 6, tomból készített rnyfonl, 0 (db) rnytom szükséges. A db 6,5 0 -szor tekerhető z egyenlítő köré. b) Mivel fonl szélessége tomnyi, zz kb. 0 cm, és kb. 6,5 0 szor tekerhetnénk körbe, így szlg szélessége kb., mm széles lenne. Módszertni megjegyzés: H nincs elég idő, ne oldssuk meg 9.-. feldtok mindegyikét, hnem tnár csoport ismeretében válsszon közülük egyet-kettőt! A többit otthoni megoldásr jvsolhtj. 9. H és b, kkor mivel egyenlő 6 9 b ( ) ( ) 6? 0. H és b, kkor mivel egyenlő ? b ( ) ( ) ( ) ( ). H, kkor mivel egyenlő ( )( + )? + ( ) ( ) + ( ) + ( )( ). H y és 5, kkor mivel egyenlő y + ( y )? y y y + ( ) + ( ) y 5 [ ] + ( 5) Módszertni megjegyzés: Az előző feldtok megoldás után tlán már könnyebben meg tudják oldni tnulók z lábbi eponenciális egyenleteket. Itt még ne nevezzük így ezeket z egyenleteket!

10 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 0 Az egyenletek gyökének ellenőrzését nem írtuk le, és nem tettünk rá utlást sem. Hívjuk fel tnulók figyelmét rr, hogy kpott gyököt (gyököket) behelyettesítéssel ellenőrizzék, így vn esélyük rr, hogy z egyenlet átlkítás során vétett számolási hibát észrevegyék. A tnárok sem egységesek bbn tekintetben, hogy z egyenlet megoldás során lklmzott függvény melyik tuljdonságár hivtkozv jussnk z eredeti egyenlettel zonos megoldáshlmzú egyenlethez. Pl.. Az ekvivlenciát indokolhtjuk következőképpen: Mert -es lpú eponenciális függvény kölcsönösen egyértelműen képezi le vlós számok hlmzát pozitív számok hlmzár. De indokolhtjuk így is: Mert -es lpú eponenciális függvény szigorún monoton vlós számok hlmzán. Másik péld: log. Indokolhtunk -es lpú logritmus függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésével, vgy szigorún monoton tuljdonságávl, de -es lpú eponenciális függvény ugynezen tuljdonságivl és logritmus definíciójávl is, hiszen log log, így. log, és mivel -es lpú logritmus definíciój szerint Ebben z nygbn z ilyen esetekben z indoklást nem írjuk le, végezze tnár z eddigi tnári gykorlt szerint.. Milyen egész számr igz z egyenlőség?. 6 ; b c ; b c

11 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó Módszertni megjegyzés: A következő két feldt segít előkészíteni htvány foglmánk kiterjesztését tört kitevőre.. A -nek hánydik htványávl egyenlő 00? pozitív számot jelöl. ( ) nek 50. htványávl egyenlő , és ( ), így kifejezés - 5. Az 5 ötödik gyöke mivel egyenlő? ( 5 5 ) (5 ) Mivel (5 ) (5 ) (5 ), továbbá ( ) , és pártln kitevőjű htványfüggvények hozzárendelése kölcsönösen egyértelmű, így z 5 ( 5 5 ) 5 ) kifejezés ötödik htvány 5 -nel egyenlő. (

12 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó II. TEREMTSÜNK RENDET! Módszertni megjegyzés: A htvány foglmánk kiterjesztése törtkitevőre nem könnyű nygrész tnulók számár. Ez fogllkozás tnulói ismeretek elmélyítését célozz meg feldtokon keresztül. Célszerű biztosítni diákok számár mennyire lehet z önálló munk lehetőségét. Így feldtok megoldás során minden tnuló lemérheti, hogy ebben témkörben mennyire biztosk már z ismeretei. Módszertni megjegyzés: Mielőtt feldtokt kitűznénk, érdemes tnulókkl végiggondolttni, hogy milyen számnk milyen kitevőjű htványát értelmezték már. A fogllkozásr szánt első négy feldtot egyszerre djuk fel, és csk miután minden tnuló kilkított vlmilyen véleményt, kkor célszerű együtt megbeszélni megoldást. 6. Az lábbi állítás mindegyike vlós számok htványir vontkozik. Melyik állítás hmis? A: Negtív számnk értelmezzük negtív egész kitevőjű htványát. B: Negtív szám nulldik htvány pozitív. C: Negtív számnk értelmezzük kitevőjű htványát. D: Negtív számnk negtív pártln kitevőjű htvány is negtív. A C állítás hmis. 7. Melyik állítás hmis? H egy vlós szám... A: megegyezik ( )-edik htványávl, kkor szám bszolútértéke. B: nulldik htvány, kkor szám nem egyenlő nullávl. C: pozitív kitevőjű htvány null, kkor szám csk null lehet. D: páros kitevőjű htvány pozitív, kkor szám is pozitív. A D válsz hmis.. Hány olyn egész szám vn, melyre z f ( ) ( 5) kifejezés értelmezhető? Negtív számnk csk egész kitevőjű htvány értelmezett, ezért zok z egész számok megoldások, melyekre kifejezés értéke egész. Ez,,,, - és esetén áll fenn. A kifejezés tehát 6 egész számr értelmezhető.

13 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 9. Döntsd el, hogy z lábbi kifejezések közül melyeket nem értelmezzük! Amelyeket értelmeztük, nnk dd meg tízes számrendszerbeli lkját! ( ),, ( ),,, 0, 7, 0 π ( ) 0,5 ; ; ( ) 0, 5 ; kifejezést nem értelmezzük; ; 0, 7 kifejezést nem értelmezzük; π 0. Módszertni megjegyzés: A 0. feldt megoldás után lehetőség nyílik nnk tisztázásár is, hogy pl. lehető legbővebb hlmzon értelmezett f ( ) és g ( ) függvények nem zonosk. Célszerű két függvényt ábrázolttni, mjd után z lábbi két egyenletet megoldtni: 0 és 0. Az -r, illetve -re másodfokú egyenletek megoldás és ( ). Az első egyenletnek csk egy megoldás vn,, míg másodiknk kettő: és ( ). 0. Az lábbi öt egyenlet közül válszd ki zokt, melyek minden pozitív vlós számr teljesülnek! Döntésedet indokold! ) b) ( ) c) d) ( ) e) 5 5 ) egyenlet teljesül minden pozitív vlós -re, hiszen mind két oldlon álló kifejezés értéke pozitív, és két kifejezés hrmdik htvány egymássl egyenlő. b) ( ) A törtkitevőjű htvány lpj negtív minden pozitív -re. Mivel negtív lpú törtkitevőjű htványt nem értelmezzük, z egyenlet nem teljesül egyetlen pozitív számr sem.

14 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó c) Az egyenlet nem teljesül minden pozitív számr, hiszen pl. esetén 9 6. Pozitív számok közül csk z és megoldás z egyenletnek. d) e) ( ) egyenlet teljesül minden pozitív vlós -re, hiszen ilyen számokr mindkét kifejezés értelmezve vn, és htvány htványozásár vontkozó zonosság szerint két kifejezés értéke megegyezik. 5 5 A jobb oldli kifejezést csk, vgy nnál ngyobb egész számokr értelmeztük, így z egyenlet nem teljesül minden pozitív számr. Módszertni megjegyzés: Ezen öt feldt megoldás után terveztessünk tnulókkl egy olyn tábláztot, melyből könnyen kiolvshtó, hogy vlós számoknk milyen kitevőjű htványát értelmeztük, és melyikét hogyn. A legjobbn sikerült tábláztot készíttessük el csinos formábn is, és sokszorosítsuk tnulók számár, vgy vetítsük ki projektorrl! Összefoglló táblázt: ( Egy lehetséges megoldás) > 0 neg. irrc. szám Kettő s közelí - tésse p q ( p ; q) q p q q p n + n Z 0 n n n + n Z... n drb p q ( p ; q) q p n q q p poz. irrc. szám Kettő s közelí - tésse ,, h n ps h n prl,, h n ps h n prl < 0 n n n... n drb

15 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 5 Módszertni megjegyzés: H nem mrdt idő. feldt megoldásár, djuk fel otthoni munkár, és következő fogllkozást megoldás megbeszélésével kezdhetjük.. Öt kárty mindegyikére egy-egy kifejezést vgy relációjelet írtunk. A kártyák következők: A kártyákt két dobozb helyezzük el. Az. dobozb kifejezéseket,. dobozb relációjeleket. Először z. dobozból húzunk egy kártyát, lerkjuk z sztlr, mjd. dobozból egy kártyát, és z előbbi mellé, jobbr helyezzük. Végül ismét z. dobozból húzunk egy kártyát, és zt relációjeles kárty után rkjuk. ) Hány különböző egyenletet, illetve egyenlőtlenséget kphtunk így? b) Oldd meg z így kphtó egyenleteket vlós számok hlmzán! c) Oldd meg vlós számok hlmzán következő egyenlőtlenségeket: I) > ; II) d) Vázold egy koordinát-rendszerben z függvények grfikonját [,5;,5] > ; III) f ( ), intervllumon! <. g ( ) és h ( ) e) Vázold d) feldtbn már felvett koordinát-rendszerben z lábbi függvényeket is! j ( ), hol 0; ; k ( ), hol ; ; m ( ), hol 0;5 6. Válszd ki z f, g, h, j, k és m függvények közül z inverzpárokt! f) Írj fel olyn egyenlőtlenséget z e) feldtbn megdott függvények kifejezéseinek felhsználásávl, melynek megoldáshlmz: i) [ 0 ;]; ii) ] 0 ;]; iii) { } [ ;+ [ 0. Módszertni megjegyzés: Hívjuk fel tnulók figyelmét rr, hogy d) kérdésbeli függvények ábrázoláskor vegyék figyelembe c) ltti egyenlőtlenségek megoldását!

16 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 6 Az f) feldt második és hrmdik kérdése már nehezebb. Segítő kérdés lehet pl.: Milyen művelet nem végezhető el nullávl? Vgy egy másik segítség: A nullávl bármilyen számot megszorzunk, szorzt null lesz. ) egyenletet és 6 egyenlőtlenséget kphtunk. b) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 vgy 0 ( )( + ) 0 vgy 0 vgy vgy c) I) > 0 > ( ) II) A 0 nem megoldás z egyenlőtlenségnek. H 0, kkor > 0 egyenlőtlenség csk úgy teljesülhet, h 0 > és 0 > és 0, így z Az I) egyenlőtlenség megoldás: A null kivételével minden -nél kisebb vlós szám. > 0 > ( ) III) < 0 0 < vgy 0 < < 0 < 0 0 < < vgy < A II) egyenlőtlenség megoldás: Minden nullánál ngyobb és -nél kisebb vlós szám. < 0 < ( ) A null nem megoldás z egyenlőtlenségnek. H 0, kkor > 0 egyenlőtlenség csk úgy teljesülhet, h 0 < és 0, így z

17 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 7 < és 0 < vgy < d) A III) egyenlőtlenség megoldás: Minden -nél kisebb vgy -nél ngyobb vlós szám.

18 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó e) Inverz függvények: csk g és k. f) i) egyenlőtlenségek közül bármelyik. ii) Pl. 0 iii) Pl. ( ) 0