2. modul Csak permanensen!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2. modul Csak permanensen!"

Átírás

1 MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné

2 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok ismeretének elmélyítése, zok készség szinten lklmzás. A htvány foglmánk kiterjesztése rcionális kitevőkre. Az dott témkörben szerzett tnóri ismeretek rendszerezése, elmélyítése. fogllkozás. évfolym Tágbb környezetben: Csillgászt és mikrofizik. Szűkebb környezetben: Algebri kifejezések zonos átlkítás. Htványfüggvény, gyökfüggvény foglm, értelmezési trtomány, értékkészlete. Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldás. Ajánlott megelőző tevékenységek: Htványozás zonossági. A htvány foglmánk kiterjesztése vlós kitevőre. Számok normállkj. Vlószínűségszámítási lpismeretek. A képességfejlesztés fókuszi Ajánlott követő tevékenységek: Eponenciális függvények, zok tuljdonsági. Eponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek megoldás. Az eponenciális függvények lklmzás kuttómunkábn. Számolás, számlálás, számítás: A szám foglmánk elmélyítése. A számok különböző lkj. Műveleti tuljdonságok. Rendszerezés, kombintív gondolkodás: Az dott témkörben tnult ismeretek lklmzási lehetőségének felismerése különböző szövegkörnyezetben. Igz hmis állítások kiválsztás. A kretív gondolkodási mód fejlesztése.

3 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó AJÁNLÁS A htvány foglmánk mélyebb ismerete nélkül nehezen birkóznk meg tnulók logritmus foglmávl. Ez fogllkozás segít elmélyíteni pozitív számok különböző kitevőjű htványánk foglmát, és z erre érvényes öt zonosság lklmzásr érett ismeretét. A modulbn mindezt elsősorbn feldtok önálló megoldásán keresztül érjük el. A feldtnyg végigkíséri tnulókt htványfoglom kilkulásánk egyes lépésein, míg végül, ismereteik lpján önállón rendszerezik zokt. A htványfüggvények kpcsán előkerül z inverz függvény foglm is. Az egyes fogllkozások nyg bővebb nnál, mint mennyi belefér egy 5 perces fogllkozásb. Így jobbn nyílik lehetőség differenciálásr is, illetve jobbn figyelembe vehető csoport felkészültsége, előképzettsége. Bátrn válogssunk feldtok között! A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE:. fogllkozás: Látómezőnkben z öt zonosság. fogllkozás: Teremtsünk rendet!

4 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjtemény I. Látómezőnkben z öt zonosság Pozitív egész kitevőjű htványokkl végzett műveletek kiszámítás fejben definíció lklmzásávl. Htványok összehsonlítás. A htványozás zonosságink tudtos lklmzás egész kitevőjű htványok esetében. A ngyon ngy és ngyon kicsi számok lklmzás több más tudományterületen. A htvány foglmánk előkészítése z zonosságok tudtos lklmzásán keresztül. Értelmes memóri, deduktív következtetés, rendszerezés Feldtlp:.,.,. feldt Tnulási és műveletvégzési sebesség, nlógiák felismerése Feldtlp:., 5., 6. feldt Szövegértés, számolási képesség Feldtlp: 7.,. feldt Deduktív következtetés, nlógiák felismerése Feldtlp: 9., és., 5. feldti 5 Egyszerű eponenciális egyenletek megoldás. Számolás, deduktív gondolkodás, mennyiségi következtetés Feldtlp:. feldt II. Teremtsünk rendet! A törtkitevőjű htvány foglmánk tudtosítás hmis igz állítások felismerésével. Értelmes memóri, metkogníció Feldtlp:.,. feldt A törtkitevőjű htvány és gyök közötti eltérések. Számolási képesség, deduktív következtetés, problémérzékenység Feldtlp:.,., 5. feldt Összefoglló táblázt készíttetése. Rendszerezés Modul leírás (tnári példány)

5 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 5 Néhány htványfüggvény ábrázolás, tuljdonságik felismerése, egyenlőtlenségek önálló létrehozás, megoldás. Inverz függvény párok keresése, felismerése. Kombintív gondolkodás, metkogníció, számolás, deduktív gondolkodás Feldtlp: 6. feldt

6 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 6 I. LÁTÓMEZŐNKBEN AZ ÖT AZONOSSÁG Módszertni megjegyzés: Ezen fogllkozáson fő cél htványozás zonosságink biztos lklmzás. H vn csoportbn olyn tnuló, ki még mindig nem ismeri jól z zonosságokt, hgyjuk, hogy z első három feldtot pozitív egész kitevőjű htvány definíciójánk lklmzásávl oldj meg. Az első feldtot igyekezzenek tnulók vlóbn fejben megoldni. Az első három feldtot egyszerre tűzzük ki. Csk kkor célszerű megoldásokt egyeztetni, h tnulók zöme mindegyik részfeldtr dott megoldást.. Próbáld fejben kiszámolni z lábbi kifejezések tízes számrendszerbeli lkját! 9 6 ) 0 6 b) 5 c) 7 9 e) 9 6 f) g) 7 9 d) h) ) 9 b) 0, c) d) e) f) g) 0, 75 h) ( + ) +. Melyik ngyobb? Döntésedet indokold! ) 6 vgy b) vgy c) d) vgy 0 90 vgy e) + vgy

7 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 7 ) 6 0 > 0 b) és 7 9, és mivel htványfüggvények pozitív egészszámok hlmzán szigorún növők, így < 7. c) 6 5 5, és mivel pártln kitevőjű htványfüggvények szigorún növők, így 6 < 5. d) , és mivel htványfüggvények pozitív egészszámok hlmzán szigorún növők, így > 9 9. e) < +. 0, és 0 0 6, így Melyik szám. htványávl egyezik meg kifejezés? Tehát z 5-nek -edik htványávl egyenlő kifejezés.. A htványozás zonosságit számozzuk következőképpen: I. n k n+ k II. n k n k III. n n n b ( b) IV. b n n n V. ( b ) n k nk Az lábbikbn egy-egy kifejezést átlkítottunk htványzonosságok felhsználásávl. Döntsd el, hogy z egyes esetekben mely zonosságokt hsználtunk fel, és z lklmzott zonosság sorszámát írd z egyenlet mellé! (A kitevők egész számokt jelölnek. ) (V.) b) (I.) c) 6 (III.) d) (V., I.) e) 6 (V., II.) f) 9 (II., I.) g) + + (V., I.) h) (V., II.) i) + + (I. vgy II.) j) 50 5 (III., V., I.)

8 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 5. Melyik szám 50-edik htványávl egyezik meg ( ) kifejezés? ( ) egyenlő. 50. Tehát kifejezés -nek z 50. htványávl Mivel egyenlő? Módszertni megjegyzés: A következő két feldt megoldás során bíztssuk tnulókt, hogy normállkkl számoljnk! 7. Egy puk kisfiánk szemléltetni szeretné Nprendszert. A Npot egy kb. 0 cm átmérőjű nrnccsl modellezi. H ugynilyen ránybn kicsinyítené Földet is, kkor mekkor átmérőjű tárgyt kellene válsztni? Mekkor sugrú körpályán kellene mozgtni Földet Np körül, h Np Föld távolságot is ugynilyen ránybn szeretné kicsinyíteni? (A közepes Np Föld távolság:, egyenlítőjének átmérője:,9 0 km, Földé:,756 0 km. km. A Np A kicsinyítés rány: 0,9 0.,756 0 A modellben Föld átmérője:,9 0 gombostűfejjel modellezhető Föld. 7 0,9 0 0 (m) 0,9 (mm), tehát például A modellben Np Föld távolság:,96 0,9 0 0,07 0 0,7 (m).. Az rny tomjánk átmérője kb. 0 cm. ) Hányszor érné körbe Földet z egyenlítő mentén z z rnyfonl, melyet mol mennyiségű rny tomjink szoros, egysoros egymás után illesztésével hoznánk létre? (A Föld sugr kb. 67 km.)

9 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 9 b) H szorosn egymás mellé tekernénk z mol mennyiségű rny tomjiból készített rnyfonlt z egyenlítő köré, milyen széles rnyszlghoz jutnánk? ) A Föld egyenlítőjének hossz kb. 0 0 cm. Az egyenlítő egyszeri körbetekeréséhez 0 6, tomból készített rnyfonl, 0 (db) rnytom szükséges. A db 6,5 0 -szor tekerhető z egyenlítő köré. b) Mivel fonl szélessége tomnyi, zz kb. 0 cm, és kb. 6,5 0 szor tekerhetnénk körbe, így szlg szélessége kb., mm széles lenne. Módszertni megjegyzés: H nincs elég idő, ne oldssuk meg 9.-. feldtok mindegyikét, hnem tnár csoport ismeretében válsszon közülük egyet-kettőt! A többit otthoni megoldásr jvsolhtj. 9. H és b, kkor mivel egyenlő 6 9 b ( ) ( ) 6? 0. H és b, kkor mivel egyenlő ? b ( ) ( ) ( ) ( ). H, kkor mivel egyenlő ( )( + )? + ( ) ( ) + ( ) + ( )( ). H y és 5, kkor mivel egyenlő y + ( y )? y y y + ( ) + ( ) y 5 [ ] + ( 5) Módszertni megjegyzés: Az előző feldtok megoldás után tlán már könnyebben meg tudják oldni tnulók z lábbi eponenciális egyenleteket. Itt még ne nevezzük így ezeket z egyenleteket!

10 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 0 Az egyenletek gyökének ellenőrzését nem írtuk le, és nem tettünk rá utlást sem. Hívjuk fel tnulók figyelmét rr, hogy kpott gyököt (gyököket) behelyettesítéssel ellenőrizzék, így vn esélyük rr, hogy z egyenlet átlkítás során vétett számolási hibát észrevegyék. A tnárok sem egységesek bbn tekintetben, hogy z egyenlet megoldás során lklmzott függvény melyik tuljdonságár hivtkozv jussnk z eredeti egyenlettel zonos megoldáshlmzú egyenlethez. Pl.. Az ekvivlenciát indokolhtjuk következőképpen: Mert -es lpú eponenciális függvény kölcsönösen egyértelműen képezi le vlós számok hlmzát pozitív számok hlmzár. De indokolhtjuk így is: Mert -es lpú eponenciális függvény szigorún monoton vlós számok hlmzán. Másik péld: log. Indokolhtunk -es lpú logritmus függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésével, vgy szigorún monoton tuljdonságávl, de -es lpú eponenciális függvény ugynezen tuljdonságivl és logritmus definíciójávl is, hiszen log log, így. log, és mivel -es lpú logritmus definíciój szerint Ebben z nygbn z ilyen esetekben z indoklást nem írjuk le, végezze tnár z eddigi tnári gykorlt szerint.. Milyen egész számr igz z egyenlőség?. 6 ; b c ; b c

11 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó Módszertni megjegyzés: A következő két feldt segít előkészíteni htvány foglmánk kiterjesztését tört kitevőre.. A -nek hánydik htványávl egyenlő 00? pozitív számot jelöl. ( ) nek 50. htványávl egyenlő , és ( ), így kifejezés - 5. Az 5 ötödik gyöke mivel egyenlő? ( 5 5 ) (5 ) Mivel (5 ) (5 ) (5 ), továbbá ( ) , és pártln kitevőjű htványfüggvények hozzárendelése kölcsönösen egyértelmű, így z 5 ( 5 5 ) 5 ) kifejezés ötödik htvány 5 -nel egyenlő. (

12 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó II. TEREMTSÜNK RENDET! Módszertni megjegyzés: A htvány foglmánk kiterjesztése törtkitevőre nem könnyű nygrész tnulók számár. Ez fogllkozás tnulói ismeretek elmélyítését célozz meg feldtokon keresztül. Célszerű biztosítni diákok számár mennyire lehet z önálló munk lehetőségét. Így feldtok megoldás során minden tnuló lemérheti, hogy ebben témkörben mennyire biztosk már z ismeretei. Módszertni megjegyzés: Mielőtt feldtokt kitűznénk, érdemes tnulókkl végiggondolttni, hogy milyen számnk milyen kitevőjű htványát értelmezték már. A fogllkozásr szánt első négy feldtot egyszerre djuk fel, és csk miután minden tnuló kilkított vlmilyen véleményt, kkor célszerű együtt megbeszélni megoldást. 6. Az lábbi állítás mindegyike vlós számok htványir vontkozik. Melyik állítás hmis? A: Negtív számnk értelmezzük negtív egész kitevőjű htványát. B: Negtív szám nulldik htvány pozitív. C: Negtív számnk értelmezzük kitevőjű htványát. D: Negtív számnk negtív pártln kitevőjű htvány is negtív. A C állítás hmis. 7. Melyik állítás hmis? H egy vlós szám... A: megegyezik ( )-edik htványávl, kkor szám bszolútértéke. B: nulldik htvány, kkor szám nem egyenlő nullávl. C: pozitív kitevőjű htvány null, kkor szám csk null lehet. D: páros kitevőjű htvány pozitív, kkor szám is pozitív. A D válsz hmis.. Hány olyn egész szám vn, melyre z f ( ) ( 5) kifejezés értelmezhető? Negtív számnk csk egész kitevőjű htvány értelmezett, ezért zok z egész számok megoldások, melyekre kifejezés értéke egész. Ez,,,, - és esetén áll fenn. A kifejezés tehát 6 egész számr értelmezhető.

13 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 9. Döntsd el, hogy z lábbi kifejezések közül melyeket nem értelmezzük! Amelyeket értelmeztük, nnk dd meg tízes számrendszerbeli lkját! ( ),, ( ),,, 0, 7, 0 π ( ) 0,5 ; ; ( ) 0, 5 ; kifejezést nem értelmezzük; ; 0, 7 kifejezést nem értelmezzük; π 0. Módszertni megjegyzés: A 0. feldt megoldás után lehetőség nyílik nnk tisztázásár is, hogy pl. lehető legbővebb hlmzon értelmezett f ( ) és g ( ) függvények nem zonosk. Célszerű két függvényt ábrázolttni, mjd után z lábbi két egyenletet megoldtni: 0 és 0. Az -r, illetve -re másodfokú egyenletek megoldás és ( ). Az első egyenletnek csk egy megoldás vn,, míg másodiknk kettő: és ( ). 0. Az lábbi öt egyenlet közül válszd ki zokt, melyek minden pozitív vlós számr teljesülnek! Döntésedet indokold! ) b) ( ) c) d) ( ) e) 5 5 ) egyenlet teljesül minden pozitív vlós -re, hiszen mind két oldlon álló kifejezés értéke pozitív, és két kifejezés hrmdik htvány egymássl egyenlő. b) ( ) A törtkitevőjű htvány lpj negtív minden pozitív -re. Mivel negtív lpú törtkitevőjű htványt nem értelmezzük, z egyenlet nem teljesül egyetlen pozitív számr sem.

14 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó c) Az egyenlet nem teljesül minden pozitív számr, hiszen pl. esetén 9 6. Pozitív számok közül csk z és megoldás z egyenletnek. d) e) ( ) egyenlet teljesül minden pozitív vlós -re, hiszen ilyen számokr mindkét kifejezés értelmezve vn, és htvány htványozásár vontkozó zonosság szerint két kifejezés értéke megegyezik. 5 5 A jobb oldli kifejezést csk, vgy nnál ngyobb egész számokr értelmeztük, így z egyenlet nem teljesül minden pozitív számr. Módszertni megjegyzés: Ezen öt feldt megoldás után terveztessünk tnulókkl egy olyn tábláztot, melyből könnyen kiolvshtó, hogy vlós számoknk milyen kitevőjű htványát értelmeztük, és melyikét hogyn. A legjobbn sikerült tábláztot készíttessük el csinos formábn is, és sokszorosítsuk tnulók számár, vgy vetítsük ki projektorrl! Összefoglló táblázt: ( Egy lehetséges megoldás) > 0 neg. irrc. szám Kettő s közelí - tésse p q ( p ; q) q p q q p n + n Z 0 n n n + n Z... n drb p q ( p ; q) q p n q q p poz. irrc. szám Kettő s közelí - tésse ,, h n ps h n prl,, h n ps h n prl < 0 n n n... n drb

15 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 5 Módszertni megjegyzés: H nem mrdt idő. feldt megoldásár, djuk fel otthoni munkár, és következő fogllkozást megoldás megbeszélésével kezdhetjük.. Öt kárty mindegyikére egy-egy kifejezést vgy relációjelet írtunk. A kártyák következők: A kártyákt két dobozb helyezzük el. Az. dobozb kifejezéseket,. dobozb relációjeleket. Először z. dobozból húzunk egy kártyát, lerkjuk z sztlr, mjd. dobozból egy kártyát, és z előbbi mellé, jobbr helyezzük. Végül ismét z. dobozból húzunk egy kártyát, és zt relációjeles kárty után rkjuk. ) Hány különböző egyenletet, illetve egyenlőtlenséget kphtunk így? b) Oldd meg z így kphtó egyenleteket vlós számok hlmzán! c) Oldd meg vlós számok hlmzán következő egyenlőtlenségeket: I) > ; II) d) Vázold egy koordinát-rendszerben z függvények grfikonját [,5;,5] > ; III) f ( ), intervllumon! <. g ( ) és h ( ) e) Vázold d) feldtbn már felvett koordinát-rendszerben z lábbi függvényeket is! j ( ), hol 0; ; k ( ), hol ; ; m ( ), hol 0;5 6. Válszd ki z f, g, h, j, k és m függvények közül z inverzpárokt! f) Írj fel olyn egyenlőtlenséget z e) feldtbn megdott függvények kifejezéseinek felhsználásávl, melynek megoldáshlmz: i) [ 0 ;]; ii) ] 0 ;]; iii) { } [ ;+ [ 0. Módszertni megjegyzés: Hívjuk fel tnulók figyelmét rr, hogy d) kérdésbeli függvények ábrázoláskor vegyék figyelembe c) ltti egyenlőtlenségek megoldását!

16 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 6 Az f) feldt második és hrmdik kérdése már nehezebb. Segítő kérdés lehet pl.: Milyen művelet nem végezhető el nullávl? Vgy egy másik segítség: A nullávl bármilyen számot megszorzunk, szorzt null lesz. ) egyenletet és 6 egyenlőtlenséget kphtunk. b) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 vgy 0 ( )( + ) 0 vgy 0 vgy vgy c) I) > 0 > ( ) II) A 0 nem megoldás z egyenlőtlenségnek. H 0, kkor > 0 egyenlőtlenség csk úgy teljesülhet, h 0 > és 0 > és 0, így z Az I) egyenlőtlenség megoldás: A null kivételével minden -nél kisebb vlós szám. > 0 > ( ) III) < 0 0 < vgy 0 < < 0 < 0 0 < < vgy < A II) egyenlőtlenség megoldás: Minden nullánál ngyobb és -nél kisebb vlós szám. < 0 < ( ) A null nem megoldás z egyenlőtlenségnek. H 0, kkor > 0 egyenlőtlenség csk úgy teljesülhet, h 0 < és 0, így z

17 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó 7 < és 0 < vgy < d) A III) egyenlőtlenség megoldás: Minden -nél kisebb vgy -nél ngyobb vlós szám.

18 Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó e) Inverz függvények: csk g és k. f) i) egyenlőtlenségek közül bármelyik. ii) Pl. 0 iii) Pl. ( ) 0

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr.

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 11. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul: Az abszolútérték-függvény és más nemlineáris függvények

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2007. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

MATEMATIKA A 11. évfolyam

MATEMATIKA A 11. évfolyam MATEMATIKA A. évfolym A ritmus. modul Készítette: Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes Mtemtik A. évfolym. modul: A ritmus Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul: Egyenes arányosság és a lineáris függvények Tanári útmutató 2 A

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY MATEMATIK A 9. évfolyam 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2010. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2011. jnuár 27. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 13. modul SZÖVEGES FELADATOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 13. modul SZÖVEGES FELADATOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 13. modul SZÖVEGES FELADATOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 13. modul: SZÖVEGES FELADATOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz Dr Mdrs Lászlóné Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Szolnoki Főiskol Szolnok 005 Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz A kluz következő három kidványhoz készült: Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

A motiválás lehetőségei az algebra tanításában A motiválás lehetőségei z lgebr tnításábn Szkdolgozt Készítette: Sár Csenge Mtemtik Bsc, tnári szkirány Témvezető: Somfi Zsuzs ELTE TTK Mtemtiktnítási és Módszertni Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 17. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2017. jnuár 21. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 2008. jnuár 31. MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2008. jnuár 31. 15:00 ór M 2 feldtlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Matematika tanmenetjavaslat. 4. osztály. Készítette: Csekné Szabó Katalin

Matematika tanmenetjavaslat. 4. osztály. Készítette: Csekné Szabó Katalin Mtemtik tnmenetjvslt 4. osztály Készítette: Csekné Szbó Ktlin Hónp, ór Tém, tnnyg módszertni jvsltok tneszközök Projektmunkjvsltok témkörhöz Szept. 1. ór A 3. osztályos ismeretek ismétlése Szervezési feldtok:

Részletesebben

0774. MODUL ALGEBRA. Azonosság, egyenlet, szöveges feladatok gyakorlása KÉSZÍTETTE: HARSÁNYI ZSUZSA

0774. MODUL ALGEBRA. Azonosság, egyenlet, szöveges feladatok gyakorlása KÉSZÍTETTE: HARSÁNYI ZSUZSA 0774. MODUL ALGEBRA Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok gykorlás KÉSZÍTETTE: HARSÁNYI ZSUZSA 0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 1 MODULLEÍRÁS A modul célj Időkeret Ajánlott

Részletesebben

5. modul Hatványozás, oszthatóság, normálalak

5. modul Hatványozás, oszthatóság, normálalak Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym. modul Htványozás, oszthtóság, normállk Készítette: Csákvári Ágnes Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym. modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó A modul célj A htványozás

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 27. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS MATEMATIKA A 9. szakiskolai évfolyam 4. modul: EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Tanári útmutató

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 3. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben