9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

Átírás

1 . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h < <, kkor f függvén szigorún monoton csökkenő. H >,, >, > vlós számok és n egész szám, kkor, + n n H >,, b>, b, > vlós számok, kkor H > b, kkor z f( ) kkor z f( ) b b b függvén szigorún monoton növekvő, míg h < <, függvén szigorún monoton csökkenő. Az eponenciális (illetve ritmus) függvén szigorún monoton növekedése (csökkenése) mitt z b (illetve b ) egenletnek legfeljebb eg megoldás vn.

2 Kidolgozott feldtok +. Oldj meg egenletet vlós számok hlmzán! + H és >,, kkor. Íg kkor teljesülhet, h +. Ennek gökei dják z egenlet megoldásit:,.. Oldj meg 8 egenletet vlós számok hlmzán! 8,.. Oldj meg egenletet vlós számok hlmzán! 7 Mivel, íg z egenlet 7 77+, zz lkbn írhtó. Innen. Oldj meg egenletet vlós számok hlmzán! zz, íg , ( + ) ( + + ), 7 7,,. Oldj meg z + egenletet vlós számok hlmzán! + ( ) +. Legen t, ekkor z egenletünk z t + t lkot ölti. Ennek gökei: t, t. Mivel t >, ezért t nem d megoldást. H t, kkor,.. Oldj meg + egenletet vlós számok hlmzán! Osszunk t - nel (oszthtunk, hiszen ): +. Legen, most z egenlet t +, zz t +t lkot ölti. t

3 t + t ( t) ( t+ ), íg ennek megoldási: t, t. Mivel t >, ezért csk t lehetséges., h. 7. Oldj meg z 7 egenletet vlós számok hlmzán! Vegük mindkét oldl -es lpú ritmusát. ( ) lg ( ) lg 7 ( 7 ) ( 7) lg 7+ lg lg lg7,. lg+ lg7 lg lg7, zz 8. Oldj meg + 8 egenletet vlós számok hlmzán! Legen Ezt megoldv kpjuk:, ezzel helettesítéssel z egenlet z + 8 lkot ölti. vg, íg megoldások,. +. Oldj meg z ( ) egenletet vlós számok hlmzán! több esetben teljesül. H, kkor tetszőleges vlós szám lehet. esetén, h tetszőleges páros szám lehet. H, kkor esetén teljesül z összefüggés. H,, kkor z egenlet teljesül., ± H, kkor ±, ekkor kitevő nem páros egész szám, tehát ez nem megoldás. H +,,, kkor htvánlp nem null, tehát ez z egenletnek megoldás. Az egenlet gökei:,,,.. Oldj meg ( ) + ( + ) egenletet vlós számok hlmzán! Vegük észre, hog ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) Ezért ( + ). Az ( ) ismeretlen bevezetésével z + ( )., zz z + egenletet kpjuk. Ennek megoldási,. Felhsznál- juk, hog +, íg z egenlet megoldási,.. Oldj meg z egenletet vlós számok hlmzán! +

4 Vizsgáljuk meg, milen számokr értelmezhető z egenletben szereplő kifejezés! Az értelmezési trtomán >,, zz >,. ( ) ±, zz,. Mivel z > feltételt z nem teljesíti, csk megoldás.. Oldj meg lg( + ) lg( + ) egenletet vlós számok hlmzán! Az egenletben szereplő kifejezések kkor értelmezhetők, h + >, zz >, és ekkor egenlőség zonosság. Az egenlet megoldás minden oln vlós szám, melre >.. Oldj meg lg ( + ) + lg( ) lg7 egenletet vlós számok hlmzán! Az lg( + ) + lg( ) kifejezés értelmezési trtománáb trtozó számok: + >, >, zz >. Az lg + lg lg zonosságot lklmzv [( + )( ) ] lg 7 egenletet nerjük, zz ( + )( ) 7 lg. Ennek gökei és. Az hmis gök, mert nem trtozik z értelmezési trtománb, csk megoldás. Megjegzés: Az egenletek megoldásához hozzátrtozik kpott gökök helességének ellenőrzése, ugnis z egenletek átlkítás közben (például lg + lg lg zonosság lklmzáskor) bővülhet megoldáshlmz. Ez történt most is.. Oldj meg z + 8 egenletet vlós számok hlmzán! Az értelmezési trtománb z > számok trtoznk. Térjünk át zonos lpr! 8, ezt felhsználv +, zz egen- 8 lethez jutunk. 8 megoldás.. Oldj meg + egenletet vlós számok hlmzán! Alklmzzuk + b zonosságot! + b zz +. Legen. Az + egenlet megoldási + +,

5 ,, innen,. Ezek megoldások, mert teljesítik z értelmezési trtománr fenn álló,, >, > feltételeket.. Oldj meg lg + lg egenletet vlós számok hlmzán! Az értelmezési trtománb z > számok trtoznk. Az lg + lg egenlet lg -re nézve másodfokú egenlet, z + egenlet megoldási és, zz és,. 7. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) ( 7) b) ( + ) 8 + ) Vizsgáljuk z értelmezési trtománt! ( 7) ( 7) >, zz > 8 ( 7) ( 7) mitt > 7, és ( 7). Az értelmezési trtománb z > 8 számok trtoznk. mitt 7 b) + + mitt egenletünk bl oldl, zz 8 ( + ). Innen 8 ( + ), ebből ( + ) 8, zz ( + ), íg +, 7. Ez vlóbn megoldás. (Most gorsbb kpott megoldás ellenőrzése, mint ( ) 8 + kifejezés értelmezési trtománánk megállpítás.) 8. Oldj meg z lábbi egenlőtlenségeket vlós számok hlmzán! ) b) ) Értelmezési trtomán: >. A ritmus lpj -nél ngobb, íg ritmusfüggvén szigorún növekszik. Ezért, h, kkor. b) Értelmezési trtomán: > és >, zz <, tehát z egenlőtlenség megoldásit < < feltételt kielégítő vlós számok körében keressük. Tekintettel rr, h < <, kkor z f( ) függvén szigorún monoton csökkenő, íg h

6 , kkor, zz véve megoldás <. 8. Az értelmezési trtománt figelembe 8. Oldj meg ( + ) egenlőtlenséget vlós számok hlmzán!, > A ritmus értelmezése mitt < +. ( + ) >,,, mivel ritmus lpj -nél kisebb, íg + <. A két egenlőtlenség közös megoldás: < < és < <+.. Oldj meg z lg egenletrendszert vlós számok hlmzán! A kifejezések értelmezési trtomán: >, >. Az egenletek mindkét oldlánk -es lpú ritmusát vesszük: lg + lg + lg, lg lg lg. Ennek gökei: lg, lg lg ;, vg lg lg, lg ;,.. Oldj meg lg lg egenletet vlós számok hlmzán! lg + lg A kifejezések értelmezési trtomán: >, >. Legen lg, b lg, ekkor z egenletrendszer z b + b lkot ölti. Innen kpjuk b +b egenletet, ennek gökei: b, b. H b,, kkor z,,,., H b,, kkor. Ajánlott feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) b) c). Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ),

7 + + b) c) d) + e) + + f) 7+ g) + +. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) 8 + b) + 7. Oldj meg + +, egenletet vlós számok hlmzán!. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) ( + ) b) +. Oldj meg ( ) + ( + ) egenletet vlós számok hlmzán! 7. Oldj meg z lábbi egenletrendszereket vlós számok hlmzán! ) 7 b) 7 8. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! lg ) b) lg c) ( ) ( + + ) ( + ). Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) ( + ) + b) ( lg) lg( + + ) c) + lg ( + ) lg + lg d) lg lg lg( lg) e) 7

8 . Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) ( ) ( ) b) + c) + ( ) ( ) d) + + e) f) + ( + ) h) + + g) ( ). Oldj meg z lábbi egenletrendszereket vlós számok hlmzán! ) + b) + lg lg+ lg c) lg lg+ lg lg ( + ) lg( ) d) ( ) ( + ) e) + f) Oldj meg z lábbi egenlőtlenségeket vlós számok hlmzán! + ) ( ) Az jánlott feldtok megoldási + b) ( ). Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) b) c) ) + oldl: , tehát , ezért z egenlet +, és z egenlet jobb lkot ölti. Innen 8

9 b) -t érdemes közös kitevőnek válsztni: zz +. megoldás. (hiszen >, innen ( 7+ + ) ( + + ) ), íg oszthtunk vele:,, c) + -et válsszuk közös kitevőnek:, 7, tehát + 8, +, +, megoldás:,.. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ), + + b) c) d) + e) + f) g) ) Szorozzuk z egenletet -tel:. Legen lkot ölti, ennek megoldási:,. Mivel >, íg csk z eset lehetséges,., ekkor z egenletünk + b) Legen, ekkor z egenlet lkbn írhtó, melnek gökei +,. H, kkor. Mivel t > minden vlós t számr, íg + egenlet nem d megoldást. c) + 8, d). e),. f). g) Értelmezési trtomán:. vezetünk be: egenlet megoldási:, -vl oszthtunk: +, ennek megoldási:, +, +, +,,, ekkor z egenletünk: +, +,. H, kkor,. H egenletből nem kpunk megoldást... Új ismeretlent. A másodfokú, kkor,

10 . Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) 8 + b) + 7 ) Osszuk z egenletet -vl: 8. Legen egenlet íg írhtó: 8, ennek gökei:,. A ; b)., ekkor z megoldás egenletnek nincs megoldás. A vizsgált egenlet megoldás:.. Oldj meg + +, egenletet vlós számok hlmzán! Útmuttás.,, megoldás:,.. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) ( + ) b) + ) ( + ), h htván lpj ; h htván lpj és kitevő páros szám; h kitevő és z lp nem null. Ennek megfelelően gökök,,. b) Három esetet kell vizsgálni szerint, hog htván lpj pozitív, null, vg negtív. H >, kkor vg, vg kitevők egenlők:. H, kkor ez megoldás is. H <, kkor z + kitevő egész szám, zz ( k) k k egész, hol k pozitív egész szám. +k ( k), vgis ( k ), mel pozitív egészek közül k esetén teljesül, zz. Az egenlet gökei:,,,.. Oldj meg ( ) + ( + ) egenletet vlós számok hlmzán! Útmuttás: Vegük észre, hog ( ) ( + ). Megoldások:,.

11 7. Oldj meg z lábbi egenletrendszereket vlós számok hlmzán! ) 7 b) 7 ),. b),. 8. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! lg ) b) lg c) ( ) ( + + ) ( + ) ) Értelmezési trtomán: >. Vegük mindkét oldl -es lpú ritmusát. lg lg lg, zz lg lg, tehát lg és, vg lg és,. b) Vegük mindkét oldl lpú ritmusát.. c),.. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) ( + ) + b) ( lg) lg( + + ) c) + lg ( + ) lg + lg d) lg lg lg( lg) e) ) ( + ) + ( + ) ( + ) +,, ennek gökei:. Az nem megoldás z eredeti egenletnek, mert ritmusfüggvént csk pozitív számokr értelmezzük, teljesülni kell z > feltételnek. Az egenletnek eg megoldás vn,. b). c). d) Értelmezési trtomán: bl oldlon álló kifejezés mitt > és lg >, zz > ; jobb oldlon álló kifejezés mitt lg >, > zz megoldásit z, < < ; tehát z egenlet, < < feltételt kielégítő vlós számok körében keressük.

12 , innen lg,, vg lg, Ekkor lglg lg( lg), lg lg,. Ez utóbbi nem trtozik z értelmezési trtománb, íg z egenletnek eg megoldás vn:. e).. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán! ) ( ) ( ) b) + c) + ( ) ( ) d) + + e) f) + ( + ) h) + + g) ( ) ) ( ) ( ) ( ), zz ( ) [ ( ) ]. Vg ( ), vg ( ) ennek nincs megoldás. Második esetben. Első esetben,, ennek gökei, ±. Mivel ritmus lpj pozitív: >, íg + nem megoldás z eredeti egenletnek, csk z megoldás. b) + +, zz ±. Mivel ritmus lpj pozitív szám (és ), ezért csk megoldás. c) Értelmezési trtomán: >. H,, zz, kkor oszthtunk jobb oldlon álló kifejezéssel: +, zz +,,. H, kkor mindkét oldlon áll, tehát is megoldás. d) Értelmezési trtomán: >,,,. Térjünk át -es lpú ritmusr: + +, zz + +. Legen + +

13 , egenletünk + + lkot ölti. Ennek megoldási + +,. Az eredeti egenlet gökei:,. 8 e),. 8 + f). g) Értelmezési trtomán: >. ( ) ( ),. h) H, zz h, kkor oszthtunk vele, és íg kpjuk z + + egenletet, zz + +,. H, kkor, és ez megoldás z egenletnek. Az egenlet megoldási:,.. Oldj meg z lábbi egenletrendszereket vlós számok hlmzán! ) + b) + lg lg+ lg c) lg lg+ lg lg ( + ) lg( ) d) ( ) ( + ) e) + f) ), 8. b), 8. c),.

14 d) Az egenletrendszerből következik z + egenletrendszer. A két egenlet összege +, innen Ezt beírv z egenletbe:.. Átrendezés után: Ennek gökei: és. Továbbá: és A ritmus értelmezése mitt > kell legen, ám < hmis gök. számpár z eredeti egenletrendszernek megoldás. Az ( ),., számpár, tehát z ( ) + Az eredeti egenletrendszer egetlen megoldás:,. e) Legen, ekkor +,,. H, úg hsználv oldjuk meg z + egenletet.,,,. f),,,,,. 7 7, és ezt. Oldj meg z lábbi egenlőtlenségeket vlós számok hlmzán! + ) ( ) + b) ( ) + ) ( ). Mivel ritmus lpj -nél kisebb, z egenlőtlenség irán megfordul. Továbbá csk + pozitív számnk vn ritmus, íg: <. Legen, íg z előző egenlőtlenség < lkot ölti. < (), ennek < < megoldás., zz ( )( ). Ebből vg. Az < egenlőtlenség megoldás: < vg <. <, h ; vg <, h <. b) vg <.

15 Ellenőrző feldtok. Oldj meg z lábbi eponenciális egenleteket vlós számok hlmzán! ) b) + + c) + 8 d) Oldj meg z lábbi ritmusos egenleteket vlós számok hlmzán! ) + b) + ( + ) [ ] c) d) + e) lg + lg( ) f) lg lg. Oldj meg z lábbi egenlőtlenségeket vlós számok hlmzán! ) < b) < c) < d) e) ( ( ) > <. Oldj meg z lábbi egenletrendszereket vlós számok hlmzán! ) 77 b) 7 c) 8 + Az ellenőrző feldtok megoldási. ) ; b) ; c), ; d),.. ) ; b) ; c) ; d), ; e) lg lg( ), íg egenletünk lg( ) + lg( ) lg( ) + lg( ), és lg( ) lkbn is írhtó, zz egenlet megoldás. f) lg, lg ±, íg, vg,. A megoldások:,,,.. ) ; b) 8< < 8, ; c) < < ; d) < <,, ; e) < < vg < <.. ), ; b), ; c),.