Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Átírás

1 SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8.

2 Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott, Ecellel kpcsoltos fıbb témköröket, ismertnek tekintve z lpvetı tábláztkezelıi mőveleteket, mint pl. formázás, képletek bevitele, beépített függvények beszúrás. Az Ecel további lklmzási területeivel z Informtik tárgy fogllkozik. A példtár szerkezete: témkörönként rövid elméleti összefoglló, kidolgozott péld, mjd gykorlásr jánlott feldtok, melyek megoldás példtár végén megtlálhtó. Jelen példtár Dr. Molnár Sándor Informtik lpji tárgy keretében trtott elıdásir épül. A példtár hsználtát megkönnyíti Molnár Sándor, Csikós Miklósné, Lágymányosi Attil: Informtik lpji jegyzetének ismerete. Ez feldtgyőjtemény kézirt, lehetséges, hogy még trtlmz hibákt. Minden egyes, elıször jelzett hibáért pontjutlmt d szerzı. Trtlomjegyzék. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS.... MÁTRIXMŐVELETEK LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ALAPJAI FELADATOK EREDMÉNYE...

3 . FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS Az Ecel függvényt megdó mtemtiki összefüggés lpján nem tudj közvetlenül függvény görbéjét lerjzolni, de síkbeli (térbeli) pontokt dott koordinátákkl meg tud jeleníteni. A függvényábrázolás fıbb lépései: A függvény néhány pontjánk meghtározás: pontok koordinátáit trtlmzó táblázt. A pontok ábrázolás digrmvrázsló segítségével Pont (y), vgy Felület típusú digrmml, ttól függıen, hogy függvény egy-, vgy kétváltozós. Függvényábrázolás Descrtes-féle koordinátrendszerben Kidolgozott feldt Ábrázolj z f ( ) ln sin függvényt z [;5] intervllumon.-es lépésközzel! (Trigonometrikus függvény rdiánt hsznál z Ecelben.) Kidolgozás

4 Függvényábrázolás polárkoordinát rendszerben A polárkoordinát rendszerben megdott függvényt elıször át kell írni Descrtes-féle koordinát rendszerbe, mjd zt z elızıekhez hsonlón lehet ábrázolni: Kidolgozott péld Ábrázolj z r ϕ függvényt [;ϕ ] intervllumon! Kidolgozás 4

5 Kétváltozós függvény ábrázolás Kidolgozott feldt: Ábrázolj f(,y) y függvényt [-;] intervllumon! Kidolgozás Felület típusú digrm lklmzásávl: Egyenlet megoldás grfikusn Feldt: f()g() meghtározás Egy digrmon ábrázolv f() és g() függvényeket görbék metszéspontjánk leolvsásávl z egyenlet közelítı megoldás meghtározhtó. Kidolgozott péld sin,? [-4;4] intervllumon. 5

6 Kidolgozás Az egyenlet megoldás ±,4. Egyenlet megoldás Célérték-kereséssel Egyenlet megoldásár z Ecel beépített lehetısége Célérték-keresés. Fıbb lépések Az egyenlet konstnsr rendezése Az egyenlet ismeretlent trtlmzó oldlánk celláb vitele Ecel képletként, kezdeti érték felvételével Eszközök menü Célérték-keresés Csk kezdeti értékhez legközelebbi gyököt tlálj meg, többit más kezdeti értékhez trtozó Célérték-kereséssel lehet meghtározni. Érdemes ezért elıször grfikusn meghtározni gyökök számát és körülbelüli értékét. Kidolgozott péld Oldj meg ln sin, 5 egyenletet z [;5] intervllumon, Az egyenlet bl oldlánk ábrázolás megdott intervllumon gyökök szám:, gyökök közelítı helye, ;, 6 ;, 6 ld.. oldlon görbét. 6

7 A három különbözı gyökre külön-külön Célérték-keresés: Célcell: képletet trtlmzó cell (egyenlet bl oldl) Célérték: milyen értéke legyen képletnek (egyenlet jobb oldl). Mindig egy vlós szám! Módosuló cell: hol változó vn. (Az értékét trtlmzó cell, mire képletben hivtkozunk.) Eredmény módosuló cellábn olvshtó le: A8,87 A másik két kezdeti értékre is lefutttv Célérték-keresést:,596997,, Feldtok. Ábrázolj z f ( ) e függvény görbéjét [;5] intervllumon!. Ábrázolj z g( ) cos( ) e függvényt [;5] intervllumon,5-es lépésközzel!. cos( ) Ábrázolj z h ( ) függvény görbéjét [-5;5] intervllumon! 4 sin.4 Ábrázolj z r ( ϕ) sinϕ függvény görbéjét [;π ] intervllumon!.5 Ábrázolj z ( ϕ ϕ r ) sin( / ) függvény görbéjét [;π ] intervllumon.6 Ábrázolj f (, y) sin cos y függvényt [-;] intervllumon! 7

8 . MÁTRIXMŐVELETEK Összedás, kivonás Mátriok összedás, kivonás: megfelelı elemek összege (különbsége), csk zonos mérető mátriokkl végezhetı mőveletek. Kidolgozott péld A B?, h Fıbb lépések A kiindulási mátriok Ecel tábláztb, tömbbe írás, mátri minden egyes eleme külön celláb kerül. Az eredmény mátri helyének kijelölése: B5:D7 tömb. Szerkesztılécen képlet beírás: két tömb összege ( tömbök megfelelı celláink összege) A 4 B Az eredménynek több cellábn kell megjelennie (többértékő függvényt lklmztunk), ezért nem Enter-rel, hnem Ctrl Shift Enter együttes lenyomásávl zárjuk szerkesztést. (Érdemes z Enter-t utoljár lenyomni, miközben másik két billentyőt benyomv trtjuk.) Az eredmény: Mátri szorzás konstnssl Kidolgozott péld: Htározz meg B c A mátriot, h c 5! A megoldás menete z összevonáshoz hsonló: A kiindulási dtok bevitele. Az eredmény mátri helyének kijelölése: B5:D7 tömb. Szerkesztılécen képlet beírás: G*B:D Ctrl Shift Enter Az eredmény: 5 8

9 Mátriok szorzás Két mátri összeszorozhtó, h méretükre igz: z elsı mátri oszlopink szám megegyezik második mátri sorink számávl. Az eredménymátri sorink szám z elsı mátri sorink számávl, z oszlopink szám második mátri oszlopink számávl egyenlı. A fentiekbıl következik, hogy tényezık sorrendje csk speciális esetben cserélhetı fel. Mátriszorzás lépései Ecelben: A mátriok tábláztr vitele. Eredménymátri tömbjének kijelölése. Beépített függvény hsznált mszorzt(tömb;tömb) Ctrl Shift Enter Kidolgozott péld AB?, h A B Lépések: A mátriok tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, mszorzt(b:d6;g:h5), Ctrl Shift Enter Eredmény: 9

10 Mátri trnszponálás A mátri trnszponálás megfelelı sorok és oszlopok felcserélése. Kidolgozott péld Állíts elı z A mátri trnszponáltját! A Megoldás menete mátriok tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, trnszponálás(b:d5) Ctrl Shift Enter Mátri determináns Az A négyzetes mátri determináns: det A, egy vlós szám. H det A, kkor z A mátri sori, oszlopi lineárisn függetlenek, zz egyik sor (oszlop) sem állíthtó elı többi sor(ok) (oszlop(ok)) vlmelyikeinek lineáris kombinációjként. (Pl. másik két sor összegeként, különbségeként, z egyik oszlop - szorosként, stb ). H det A, kkor éppen ellenkezıleg, z A mátri sori, oszlopi lineárisn összefüggık. (Pl. egyik sor elıállíthtó másik két sor különbségének 5-szöröseként, stb ) Kidolgozott péld det A?, h A 5 7 Megoldás menete mátri tábláztb vitele után: Eredmény cellájánk kijelölése, mdeterm(tömb), Enter, mivel z eredményt egyetlen cellábn kell kiírtni.

11 Mátri inverze Az A mátri inverze z mátri, mellyel bármely oldlról megszorozv z eredmény egységmátri: Fontos tudnivlók * A * A A A E Csk négyzetes mátrink vn inverze, h determináns nem null. Az inverz mátri z eredeti mátriszl zonos mérető. Az egységmátri mindig négyzetes, fıátlóbn egyeseket, másutt nullákt trtlmz. (Jelen esetben mérete mátri méretével zonos.) Kidolgozott péld: A?, h A 5 7 Megoldás menete A mátri tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, inverz.mátri(tömb), Ctrl Shift Enter Eredmény: Feldtok:. Adottk következı mátriok: A 8 4 B C 4 D Végezze el z lábbik közül z elvégezhetı mőveleteket Ecel segítségével! ) A D b) B C c) d) A B e) ( B C) det( B) f) D C T A D

12 . LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK A síkbeli lineáris trnszformációk (eltolás, tükrözés, ngyítás, forgtás) megvlósíthtók egyegy lklmsn megválsztott trnszformációs mátri és síkbeli lkzt jellemzı pontjiból lkotott mátri szorztként. Az eltolás mátri mitt szükséges z-es síkbn levı síkidomokt trnszformálni. Kidolgozott péld Forgss el z ABC háromszöget fokkl, ábrázolj z eredeti és trnszformált lkztot ugynbbn koordinát-rendszerben, h A(,), B(6,), C(4,7). A háromszöget kkor tudjuk ábrázolttni, h feltüntetjük z összekötendı pontokt, ezért z A pont koordinátái kétszer szerepelnek mátribn. Az Ecel szögfüggvényei rdiánt hsználnk szögek mértékegységeként.

13 Kidolgozás

14 Az eredeti és z elforgtott háromszög: Forgtás fokkl 9 8 -,589885, 8, , ,69654, 5,59876 Adtsor Adtsor 6,,588,,866544, Feldtok. Forgss el z ABCD négyszöget z A csúcs körül, h A(;;), B(;;), C(6;4;), D(5;7;)!. Tükrözze z ABC háromszöget z AB oldl egyenesére, h A(-;;), B(;;), C(;5;) 4

15 4. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA Lineáris egyenletrendszer áltlános lkj.. n n m m nm m m m b b b n Feldt: dott ij és b i i,, n, j,,.m esetén j meghtározás b esetén. Lineáris egyenletrendszer megoldás z együtthtómátri inverzének segítségével A fenti egyenletrendszer átírhtó mátriszorzás szbályink megfelelıen z lkbn: Ab, hol A : n n oszlopvektor,... m... m z együtthtómátri : z ismeretlenek... m nm b b : z egyenletrendszer jobb oldlából képzett oszlopvektor. b n Az inhomogén egyenletrendszer ( b ) megoldhtó z lábbi lkbn, h z egyenletek lineárisn függetlenek egymástól, zz, h det A : A - *b A lineáris egyenletrendszer megoldásához szükséges mőveletek: det A érvényességének megvizsgálás A - meghtározás szükséges mátriszorzás elvégzése (sorrend fontos!) 5

16 Kidolgozott péld Oldj meg z lábbi egyenletrendszert: A már megismert mőveletekkel z Ecelben megoldás: Egyenletrendszer megoldásár z Ecel beépített lehetısége SOLVER. Lineáris egyenletrendszer megoldás Solver segítségével Az elıbbi feldt megoldás Eszlözök /Solver segítségével: (H menüben SOLVER nem jelenik meg, rá kell keresni Solver.l-r, mjd el kell indítni, vgy Eszközök/Bıvíménykezelı menüpontbn be kell jelölni Solvert. A Solver lklms szélsıéték-feldtok megoldásár, lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek megoldásár, lineáris progrmozási feldt megoldásár ld. késıbb.) Szükséges lépések: Az egyenletrendszert lkotó egyenletek konstnsr rendezése. Az ismeretlenek számár egy-egy cell kijelölése, célszerően egy tömbben, kezdeti értékek megdásávl. Pl.:. Az egyes egyenletek ismeretlen trtlmzó oldlánk egy-egy celláb vitele képlet formájábn. Solver párbeszédblk kitöltése: Célcell: egyik egyenlet bl oldl, Célérték: z elıbbi egyenlet jobb oldl (konstns!!!), Módosuló cell: Ismeretlenek tömbje, Korlátozó feltételek: többi egyenlet. 6

17 7 Kidolgozás Megoldás gomb megnyomás után Solver eredményeket z eredeti tábláztbn kérve z egyenletrendszer megoldás B5:D5 tömbben jelenik meg. (; -; ) Feldtok 4. Oldj meg z lábbi egyenletrendszereket z ismertetett módszerekkel: ) d c b d c b d c b c b b) 4 z y z y y c) w v u w u v u (B:D;B$5:D$5)

18 5. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ALAPJAI Problém: korlátozó feltételek mellett, vlmely cél szempontjából optimum elérése, zz vektor meghtározás - dott feltételek esetén (lineáris egyenlıtlenség rendszer) - vlmilyen cél teljesülésével. (Mimum, minimum, egy bizonyos érték elérése, mely z ismeretlen lineáris függvénye) Mtemtiki modell:?, h A B normál feldt c T Részletesen: m, i...n i *... n * * b n és *... n * * b m * m *... * mn n b c * c *... c n * m n n m... feltételrendszer célfüggvény További feldttípusok: Módosított normál feldt: feltételrendszerben z egyenlıtlenség mellett reláció is szerepel. Áltlános mimum, ill. minimumfeldt: feltételrendszerben < > relációk szerepelhetnek., s célfüggvénynek mimum- ill. minimum-helye kérdés. Alklmzás: termelési, keverési, drbolási, szállítási, hozzárendelési feldtok. Megjegyzés z LP feldtok megoldhtóságáról: z LP feldtnk nincs megengedett megoldás ( feltételrendszer megoldáshlmz üreshlmz), kkor z eredeti feldtnk sincs megoldás, z LP feldtnk vn ugyn megengedett megoldás, de nincs optimális megoldás, z LP feldtnk vn optimális megoldás - egyetlen optimális megoldás vn - végtelen sok optimális megoldás vn 8

19 Kidolgozott példák. Oldj meg következı LP feldtot grfikus úton! ; y ; y ; 4y 5 y Kidolgozás m Két ismeretlen lévén feltételek és célfüggvény is ábrázolhtó Descrtes-féle koordinát rendszerben. Azonos átlkításokt lklmzv z ábrázolndó feltételrendszer: és célfüggvény: ; y ; y (-)/; y 5-4 yc-*, s keressük feltételrendszert kielégítı legngyobb C értéket. (Az dott meredekségő egyenest önmgávl párhuzmosn felfelé tolv, míg feltételrendszer megoldáshlmzán vn (ld. ábr). E kétváltozós feldt lehet például z lábbi termelési feldt mtemtiki modellje: Kétféle terméket gyártunk: I. és II. z A és B nyersnygok felhsználásávl. Egy egységnyi I. termékhez egység A és 4 egység B nyersnyg szükséges, egy egységnyi II. termékhez pedig rendre, ill. egység. Hány egységet állítsunk elı z I. és II. termékekbıl, hogy mimális legyen bevétel, h nyersnygkészletek (, ill. 5 egység) nem léphetık túl és z I. ill. II. termék egységár ill.? (A pic felvevıképessége korlátln.) Nyersnyg\Termék I II Nyersnyg készlete A B 4 5 Eldási egységár 9

20 . Egy gyárbn négyféle terméket gyártnk (A, B, C, D). Minden eldott drb után várhtó hszon termékenként,, 6, 5 Ft. Egy drb termék elıállításához szükséges gépidı és megmunkáló gépek kpcitás z lábbi tábláztbn vn összefogllv. Htározz meg, hogy z egyes termékekbıl hány drbot állítsnk elı, h mimális hszonr törekszenek, de gépek kpcitását nem léphetik túl. Megmunkáló gépek Termékek Gépek A B C D kpcitás [ór/db] [ór/db] [ór/db] [ór/db] [ór] eszterg 8 mró 4 köszörő Kidolgozás Mtemtiki modell Ismeretlenek: A különbözı termékekbıl gyártndó drbszám: A, B, C, D [db]. Feltételek: - csk, vgy ettıl ngyobb drbszám állíthtó elı: A, B, C, D - drbszám egész érték lehet csk: A, B, C, D: egész - z eszterg, mró, köszörő kpcitások nem léphetık túl: Cél: A mimális bevétel: A B A C C B 8 4 [ór] D D 6 5 m [Ft] A B C D A feldt megoldásához szükséges lépések z Ecelben:. Alpdtok beírás; egy-egy cell biztosítás z ismeretleneknek, z egyenlıtlenségek bl oldlánk és célfüggvénynek (Ecel képletek, melyek hivtkozik z ismeretlen cellájár!).. Solverprméterek megdás, Solver futttás.

21 . lépés:. lépés:

22 Az A termékbıl tehát 7, B-bıl, C-bıl 9 és D termékbıl db elıállítás esetén érhetı el mimális hszon (45Ft) z dott feltételek mellett. Feldtok 5. Oldj meg grfikusn megoldott feldtot (z elsı Kidolgozott feldt) Solver segítségével! 5. Oldj meg z lábbi LP feldtot: ; y ; z y4z yz y4z 6 y6z m

23 6. FELADATOK EREDMÉNYE. Ábrázolj z f ( ) e függvény görbéjét [,5] intervllumon! f() Ábrázolj z g( ) cos( ) e függvényt [;5] intervllumon,5-es lépésközzel! g() cos( ). Ábrázolj z h ( ) függvényt [-5;5] intervllumon! 4 sin h(),5,5,5, ,5 4 6

24 .4 Ábrázolj z r ( ϕ) sinϕ függvény görbéjét [;π ] intervllumon! rsin(fi),5,5,5,5 - -,5 - -,5 -,5,5,5.5 Ábrázolj z ( ϕ ϕ r ) sin( / ) függvény görbéjét [;π ] intervllumon rsin(fi/)^,8,6,4, -,5 - -,5 -,,5 -,4 -,6 -,8.6 Ábrázolj f (, y) sin cos függvényt [-;] intervllumon! f(,y)sin cos,5,5 -,5 - -,5 S S S 4

25 .. Forgss el z ABCD négyszöget z A csúcs körül, h A(;;), B(;;), C(6;4;), D(5;7;)! A forgtás mátri O körül forgt, így feldt csk több lépésben oldhtó meg: Az lkzt eltolás úgy, hogy z A csúcs z origób kerüljön, mjd trnszformált lkzt elforgtás, s végül z elforgtott lkzt vissztolás, hogy z A csúcs z eredeti helyére kerüljön. 5

26 6. Tükrözze z ABC háromszöget z AB oldl egyenesére, h A(-,,), B(,,), C(,5,) Tükrözés mátrii koordinát-tengelyre tükröznek, ezért több trnszformációs lépésben oldhtó meg feldt. 4. ) d c b d c b d c b c b b) 4 z y z y y c) w v u w u v u ) b c d b) Nincs egyértelmő megoldás, mert z együtthtómátri determináns null. c) u - v w 5. Oldj meg következı LP feldtot: ; y ; y ; 4y 5; y m

27 . lépés. lépés Eredmény: A célfüggvény optimális értéke tehát: (E4),,5; y5 (B6:C6). 5. Oldj meg z lábbi LP feldtot: ; y ; z y4z yz y4z 6 y6z m Eredmény: célfüggvény m. értéke: 56,467; ; y,576; z,6; 7