Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok"

Átírás

1 SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8.

2 Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott, Ecellel kpcsoltos fıbb témköröket, ismertnek tekintve z lpvetı tábláztkezelıi mőveleteket, mint pl. formázás, képletek bevitele, beépített függvények beszúrás. Az Ecel további lklmzási területeivel z Informtik tárgy fogllkozik. A példtár szerkezete: témkörönként rövid elméleti összefoglló, kidolgozott péld, mjd gykorlásr jánlott feldtok, melyek megoldás példtár végén megtlálhtó. Jelen példtár Dr. Molnár Sándor Informtik lpji tárgy keretében trtott elıdásir épül. A példtár hsználtát megkönnyíti Molnár Sándor, Csikós Miklósné, Lágymányosi Attil: Informtik lpji jegyzetének ismerete. Ez feldtgyőjtemény kézirt, lehetséges, hogy még trtlmz hibákt. Minden egyes, elıször jelzett hibáért pontjutlmt d szerzı. Trtlomjegyzék. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS.... MÁTRIXMŐVELETEK LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ALAPJAI FELADATOK EREDMÉNYE...

3 . FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS Az Ecel függvényt megdó mtemtiki összefüggés lpján nem tudj közvetlenül függvény görbéjét lerjzolni, de síkbeli (térbeli) pontokt dott koordinátákkl meg tud jeleníteni. A függvényábrázolás fıbb lépései: A függvény néhány pontjánk meghtározás: pontok koordinátáit trtlmzó táblázt. A pontok ábrázolás digrmvrázsló segítségével Pont (y), vgy Felület típusú digrmml, ttól függıen, hogy függvény egy-, vgy kétváltozós. Függvényábrázolás Descrtes-féle koordinátrendszerben Kidolgozott feldt Ábrázolj z f ( ) ln sin függvényt z [;5] intervllumon.-es lépésközzel! (Trigonometrikus függvény rdiánt hsznál z Ecelben.) Kidolgozás

4 Függvényábrázolás polárkoordinát rendszerben A polárkoordinát rendszerben megdott függvényt elıször át kell írni Descrtes-féle koordinát rendszerbe, mjd zt z elızıekhez hsonlón lehet ábrázolni: Kidolgozott péld Ábrázolj z r ϕ függvényt [;ϕ ] intervllumon! Kidolgozás 4

5 Kétváltozós függvény ábrázolás Kidolgozott feldt: Ábrázolj f(,y) y függvényt [-;] intervllumon! Kidolgozás Felület típusú digrm lklmzásávl: Egyenlet megoldás grfikusn Feldt: f()g() meghtározás Egy digrmon ábrázolv f() és g() függvényeket görbék metszéspontjánk leolvsásávl z egyenlet közelítı megoldás meghtározhtó. Kidolgozott péld sin,? [-4;4] intervllumon. 5

6 Kidolgozás Az egyenlet megoldás ±,4. Egyenlet megoldás Célérték-kereséssel Egyenlet megoldásár z Ecel beépített lehetısége Célérték-keresés. Fıbb lépések Az egyenlet konstnsr rendezése Az egyenlet ismeretlent trtlmzó oldlánk celláb vitele Ecel képletként, kezdeti érték felvételével Eszközök menü Célérték-keresés Csk kezdeti értékhez legközelebbi gyököt tlálj meg, többit más kezdeti értékhez trtozó Célérték-kereséssel lehet meghtározni. Érdemes ezért elıször grfikusn meghtározni gyökök számát és körülbelüli értékét. Kidolgozott péld Oldj meg ln sin, 5 egyenletet z [;5] intervllumon, Az egyenlet bl oldlánk ábrázolás megdott intervllumon gyökök szám:, gyökök közelítı helye, ;, 6 ;, 6 ld.. oldlon görbét. 6

7 A három különbözı gyökre külön-külön Célérték-keresés: Célcell: képletet trtlmzó cell (egyenlet bl oldl) Célérték: milyen értéke legyen képletnek (egyenlet jobb oldl). Mindig egy vlós szám! Módosuló cell: hol változó vn. (Az értékét trtlmzó cell, mire képletben hivtkozunk.) Eredmény módosuló cellábn olvshtó le: A8,87 A másik két kezdeti értékre is lefutttv Célérték-keresést:,596997,, Feldtok. Ábrázolj z f ( ) e függvény görbéjét [;5] intervllumon!. Ábrázolj z g( ) cos( ) e függvényt [;5] intervllumon,5-es lépésközzel!. cos( ) Ábrázolj z h ( ) függvény görbéjét [-5;5] intervllumon! 4 sin.4 Ábrázolj z r ( ϕ) sinϕ függvény görbéjét [;π ] intervllumon!.5 Ábrázolj z ( ϕ ϕ r ) sin( / ) függvény görbéjét [;π ] intervllumon.6 Ábrázolj f (, y) sin cos y függvényt [-;] intervllumon! 7

8 . MÁTRIXMŐVELETEK Összedás, kivonás Mátriok összedás, kivonás: megfelelı elemek összege (különbsége), csk zonos mérető mátriokkl végezhetı mőveletek. Kidolgozott péld A B?, h Fıbb lépések A kiindulási mátriok Ecel tábláztb, tömbbe írás, mátri minden egyes eleme külön celláb kerül. Az eredmény mátri helyének kijelölése: B5:D7 tömb. Szerkesztılécen képlet beírás: két tömb összege ( tömbök megfelelı celláink összege) A 4 B Az eredménynek több cellábn kell megjelennie (többértékő függvényt lklmztunk), ezért nem Enter-rel, hnem Ctrl Shift Enter együttes lenyomásávl zárjuk szerkesztést. (Érdemes z Enter-t utoljár lenyomni, miközben másik két billentyőt benyomv trtjuk.) Az eredmény: Mátri szorzás konstnssl Kidolgozott péld: Htározz meg B c A mátriot, h c 5! A megoldás menete z összevonáshoz hsonló: A kiindulási dtok bevitele. Az eredmény mátri helyének kijelölése: B5:D7 tömb. Szerkesztılécen képlet beírás: G*B:D Ctrl Shift Enter Az eredmény: 5 8

9 Mátriok szorzás Két mátri összeszorozhtó, h méretükre igz: z elsı mátri oszlopink szám megegyezik második mátri sorink számávl. Az eredménymátri sorink szám z elsı mátri sorink számávl, z oszlopink szám második mátri oszlopink számávl egyenlı. A fentiekbıl következik, hogy tényezık sorrendje csk speciális esetben cserélhetı fel. Mátriszorzás lépései Ecelben: A mátriok tábláztr vitele. Eredménymátri tömbjének kijelölése. Beépített függvény hsznált mszorzt(tömb;tömb) Ctrl Shift Enter Kidolgozott péld AB?, h A B Lépések: A mátriok tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, mszorzt(b:d6;g:h5), Ctrl Shift Enter Eredmény: 9

10 Mátri trnszponálás A mátri trnszponálás megfelelı sorok és oszlopok felcserélése. Kidolgozott péld Állíts elı z A mátri trnszponáltját! A Megoldás menete mátriok tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, trnszponálás(b:d5) Ctrl Shift Enter Mátri determináns Az A négyzetes mátri determináns: det A, egy vlós szám. H det A, kkor z A mátri sori, oszlopi lineárisn függetlenek, zz egyik sor (oszlop) sem állíthtó elı többi sor(ok) (oszlop(ok)) vlmelyikeinek lineáris kombinációjként. (Pl. másik két sor összegeként, különbségeként, z egyik oszlop - szorosként, stb ). H det A, kkor éppen ellenkezıleg, z A mátri sori, oszlopi lineárisn összefüggık. (Pl. egyik sor elıállíthtó másik két sor különbségének 5-szöröseként, stb ) Kidolgozott péld det A?, h A 5 7 Megoldás menete mátri tábláztb vitele után: Eredmény cellájánk kijelölése, mdeterm(tömb), Enter, mivel z eredményt egyetlen cellábn kell kiírtni.

11 Mátri inverze Az A mátri inverze z mátri, mellyel bármely oldlról megszorozv z eredmény egységmátri: Fontos tudnivlók * A * A A A E Csk négyzetes mátrink vn inverze, h determináns nem null. Az inverz mátri z eredeti mátriszl zonos mérető. Az egységmátri mindig négyzetes, fıátlóbn egyeseket, másutt nullákt trtlmz. (Jelen esetben mérete mátri méretével zonos.) Kidolgozott péld: A?, h A 5 7 Megoldás menete A mátri tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, inverz.mátri(tömb), Ctrl Shift Enter Eredmény: Feldtok:. Adottk következı mátriok: A 8 4 B C 4 D Végezze el z lábbik közül z elvégezhetı mőveleteket Ecel segítségével! ) A D b) B C c) d) A B e) ( B C) det( B) f) D C T A D

12 . LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK A síkbeli lineáris trnszformációk (eltolás, tükrözés, ngyítás, forgtás) megvlósíthtók egyegy lklmsn megválsztott trnszformációs mátri és síkbeli lkzt jellemzı pontjiból lkotott mátri szorztként. Az eltolás mátri mitt szükséges z-es síkbn levı síkidomokt trnszformálni. Kidolgozott péld Forgss el z ABC háromszöget fokkl, ábrázolj z eredeti és trnszformált lkztot ugynbbn koordinát-rendszerben, h A(,), B(6,), C(4,7). A háromszöget kkor tudjuk ábrázolttni, h feltüntetjük z összekötendı pontokt, ezért z A pont koordinátái kétszer szerepelnek mátribn. Az Ecel szögfüggvényei rdiánt hsználnk szögek mértékegységeként.

13 Kidolgozás

14 Az eredeti és z elforgtott háromszög: Forgtás fokkl 9 8 -,589885, 8, , ,69654, 5,59876 Adtsor Adtsor 6,,588,,866544, Feldtok. Forgss el z ABCD négyszöget z A csúcs körül, h A(;;), B(;;), C(6;4;), D(5;7;)!. Tükrözze z ABC háromszöget z AB oldl egyenesére, h A(-;;), B(;;), C(;5;) 4

15 4. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA Lineáris egyenletrendszer áltlános lkj.. n n m m nm m m m b b b n Feldt: dott ij és b i i,, n, j,,.m esetén j meghtározás b esetén. Lineáris egyenletrendszer megoldás z együtthtómátri inverzének segítségével A fenti egyenletrendszer átírhtó mátriszorzás szbályink megfelelıen z lkbn: Ab, hol A : n n oszlopvektor,... m... m z együtthtómátri : z ismeretlenek... m nm b b : z egyenletrendszer jobb oldlából képzett oszlopvektor. b n Az inhomogén egyenletrendszer ( b ) megoldhtó z lábbi lkbn, h z egyenletek lineárisn függetlenek egymástól, zz, h det A : A - *b A lineáris egyenletrendszer megoldásához szükséges mőveletek: det A érvényességének megvizsgálás A - meghtározás szükséges mátriszorzás elvégzése (sorrend fontos!) 5

16 Kidolgozott péld Oldj meg z lábbi egyenletrendszert: A már megismert mőveletekkel z Ecelben megoldás: Egyenletrendszer megoldásár z Ecel beépített lehetısége SOLVER. Lineáris egyenletrendszer megoldás Solver segítségével Az elıbbi feldt megoldás Eszlözök /Solver segítségével: (H menüben SOLVER nem jelenik meg, rá kell keresni Solver.l-r, mjd el kell indítni, vgy Eszközök/Bıvíménykezelı menüpontbn be kell jelölni Solvert. A Solver lklms szélsıéték-feldtok megoldásár, lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek megoldásár, lineáris progrmozási feldt megoldásár ld. késıbb.) Szükséges lépések: Az egyenletrendszert lkotó egyenletek konstnsr rendezése. Az ismeretlenek számár egy-egy cell kijelölése, célszerően egy tömbben, kezdeti értékek megdásávl. Pl.:. Az egyes egyenletek ismeretlen trtlmzó oldlánk egy-egy celláb vitele képlet formájábn. Solver párbeszédblk kitöltése: Célcell: egyik egyenlet bl oldl, Célérték: z elıbbi egyenlet jobb oldl (konstns!!!), Módosuló cell: Ismeretlenek tömbje, Korlátozó feltételek: többi egyenlet. 6

17 7 Kidolgozás Megoldás gomb megnyomás után Solver eredményeket z eredeti tábláztbn kérve z egyenletrendszer megoldás B5:D5 tömbben jelenik meg. (; -; ) Feldtok 4. Oldj meg z lábbi egyenletrendszereket z ismertetett módszerekkel: ) d c b d c b d c b c b b) 4 z y z y y c) w v u w u v u (B:D;B$5:D$5)

18 5. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ALAPJAI Problém: korlátozó feltételek mellett, vlmely cél szempontjából optimum elérése, zz vektor meghtározás - dott feltételek esetén (lineáris egyenlıtlenség rendszer) - vlmilyen cél teljesülésével. (Mimum, minimum, egy bizonyos érték elérése, mely z ismeretlen lineáris függvénye) Mtemtiki modell:?, h A B normál feldt c T Részletesen: m, i...n i *... n * * b n és *... n * * b m * m *... * mn n b c * c *... c n * m n n m... feltételrendszer célfüggvény További feldttípusok: Módosított normál feldt: feltételrendszerben z egyenlıtlenség mellett reláció is szerepel. Áltlános mimum, ill. minimumfeldt: feltételrendszerben < > relációk szerepelhetnek., s célfüggvénynek mimum- ill. minimum-helye kérdés. Alklmzás: termelési, keverési, drbolási, szállítási, hozzárendelési feldtok. Megjegyzés z LP feldtok megoldhtóságáról: z LP feldtnk nincs megengedett megoldás ( feltételrendszer megoldáshlmz üreshlmz), kkor z eredeti feldtnk sincs megoldás, z LP feldtnk vn ugyn megengedett megoldás, de nincs optimális megoldás, z LP feldtnk vn optimális megoldás - egyetlen optimális megoldás vn - végtelen sok optimális megoldás vn 8

19 Kidolgozott példák. Oldj meg következı LP feldtot grfikus úton! ; y ; y ; 4y 5 y Kidolgozás m Két ismeretlen lévén feltételek és célfüggvény is ábrázolhtó Descrtes-féle koordinát rendszerben. Azonos átlkításokt lklmzv z ábrázolndó feltételrendszer: és célfüggvény: ; y ; y (-)/; y 5-4 yc-*, s keressük feltételrendszert kielégítı legngyobb C értéket. (Az dott meredekségő egyenest önmgávl párhuzmosn felfelé tolv, míg feltételrendszer megoldáshlmzán vn (ld. ábr). E kétváltozós feldt lehet például z lábbi termelési feldt mtemtiki modellje: Kétféle terméket gyártunk: I. és II. z A és B nyersnygok felhsználásávl. Egy egységnyi I. termékhez egység A és 4 egység B nyersnyg szükséges, egy egységnyi II. termékhez pedig rendre, ill. egység. Hány egységet állítsunk elı z I. és II. termékekbıl, hogy mimális legyen bevétel, h nyersnygkészletek (, ill. 5 egység) nem léphetık túl és z I. ill. II. termék egységár ill.? (A pic felvevıképessége korlátln.) Nyersnyg\Termék I II Nyersnyg készlete A B 4 5 Eldási egységár 9

20 . Egy gyárbn négyféle terméket gyártnk (A, B, C, D). Minden eldott drb után várhtó hszon termékenként,, 6, 5 Ft. Egy drb termék elıállításához szükséges gépidı és megmunkáló gépek kpcitás z lábbi tábláztbn vn összefogllv. Htározz meg, hogy z egyes termékekbıl hány drbot állítsnk elı, h mimális hszonr törekszenek, de gépek kpcitását nem léphetik túl. Megmunkáló gépek Termékek Gépek A B C D kpcitás [ór/db] [ór/db] [ór/db] [ór/db] [ór] eszterg 8 mró 4 köszörő Kidolgozás Mtemtiki modell Ismeretlenek: A különbözı termékekbıl gyártndó drbszám: A, B, C, D [db]. Feltételek: - csk, vgy ettıl ngyobb drbszám állíthtó elı: A, B, C, D - drbszám egész érték lehet csk: A, B, C, D: egész - z eszterg, mró, köszörő kpcitások nem léphetık túl: Cél: A mimális bevétel: A B A C C B 8 4 [ór] D D 6 5 m [Ft] A B C D A feldt megoldásához szükséges lépések z Ecelben:. Alpdtok beírás; egy-egy cell biztosítás z ismeretleneknek, z egyenlıtlenségek bl oldlánk és célfüggvénynek (Ecel képletek, melyek hivtkozik z ismeretlen cellájár!).. Solverprméterek megdás, Solver futttás.

21 . lépés:. lépés:

22 Az A termékbıl tehát 7, B-bıl, C-bıl 9 és D termékbıl db elıállítás esetén érhetı el mimális hszon (45Ft) z dott feltételek mellett. Feldtok 5. Oldj meg grfikusn megoldott feldtot (z elsı Kidolgozott feldt) Solver segítségével! 5. Oldj meg z lábbi LP feldtot: ; y ; z y4z yz y4z 6 y6z m

23 6. FELADATOK EREDMÉNYE. Ábrázolj z f ( ) e függvény görbéjét [,5] intervllumon! f() Ábrázolj z g( ) cos( ) e függvényt [;5] intervllumon,5-es lépésközzel! g() cos( ). Ábrázolj z h ( ) függvényt [-5;5] intervllumon! 4 sin h(),5,5,5, ,5 4 6

24 .4 Ábrázolj z r ( ϕ) sinϕ függvény görbéjét [;π ] intervllumon! rsin(fi),5,5,5,5 - -,5 - -,5 -,5,5,5.5 Ábrázolj z ( ϕ ϕ r ) sin( / ) függvény görbéjét [;π ] intervllumon rsin(fi/)^,8,6,4, -,5 - -,5 -,,5 -,4 -,6 -,8.6 Ábrázolj f (, y) sin cos függvényt [-;] intervllumon! f(,y)sin cos,5,5 -,5 - -,5 S S S 4

25 .. Forgss el z ABCD négyszöget z A csúcs körül, h A(;;), B(;;), C(6;4;), D(5;7;)! A forgtás mátri O körül forgt, így feldt csk több lépésben oldhtó meg: Az lkzt eltolás úgy, hogy z A csúcs z origób kerüljön, mjd trnszformált lkzt elforgtás, s végül z elforgtott lkzt vissztolás, hogy z A csúcs z eredeti helyére kerüljön. 5

26 6. Tükrözze z ABC háromszöget z AB oldl egyenesére, h A(-,,), B(,,), C(,5,) Tükrözés mátrii koordinát-tengelyre tükröznek, ezért több trnszformációs lépésben oldhtó meg feldt. 4. ) d c b d c b d c b c b b) 4 z y z y y c) w v u w u v u ) b c d b) Nincs egyértelmő megoldás, mert z együtthtómátri determináns null. c) u - v w 5. Oldj meg következı LP feldtot: ; y ; y ; 4y 5; y m

27 . lépés. lépés Eredmény: A célfüggvény optimális értéke tehát: (E4),,5; y5 (B6:C6). 5. Oldj meg z lábbi LP feldtot: ; y ; z y4z yz y4z 6 y6z m Eredmény: célfüggvény m. értéke: 56,467; ; y,576; z,6; 7

SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar. Orova Lászlóné dr. Számítástechnika I. Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok. Gödöllő, 2004.

SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar. Orova Lászlóné dr. Számítástechnika I. Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok. Gödöllő, 2004. SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Számítástechnik I. Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllő,. SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Bevezető A Számítástechnik I. tntárgy

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! LI Definíció: mátri LI Legyen m és n pozitív egész szám. Az : m : m......... n n : mn tábláztot m n típusú mártink nevezzük, és zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop vn. ij z A mátri i-deik soránk j-edik

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Excel. Feladatok 2015.02.13. Geotechnikai numerikus módszerek 2015

Excel. Feladatok 2015.02.13. Geotechnikai numerikus módszerek 2015 05.0.3. Ecel Geotechniki numerikus módszerek 05 Feldtok Szögtámfl ellenőrzése A Ferde, terhelt térszín, szemcsés háttöltés, elcsúszás, nyomtéki ábr Sávlp süllyedésszámítás B Két tljréteg, krkterisztikus

Részletesebben

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül. 01.03.16. RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: rdnylszlo@gmil.com Mobil: +36 0 416 59 14 Definíciók: Kinemtik: A mechnikánk z része, mely testek mozgását vizsgálj

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Ellenállás mérés hídmódszerrel

Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. Lbortóriumi gykorlt Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. A gykorlt célkitűzései A Whestone-híd felépítésének tnulmányozás, ellenállások mérése 10-10 5 trtománybn, híd érzékenységének meghtározás, vlmint

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

5.2. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják.

5.2. ábra. A mágnestűk a rúdmágnes erőterében az erővonalak irányát mutatják. 8 5. Néány közelítő megoldás geometrii szemléltetése A dy dx = y2 x 2 2xy y 2 x 2 +2xy 5.1. ábr. differenciálegyenlet lpján rjzoltó iránymező. 5.2. ábr. A mágnestűk rúdmágnes erőterében z erővonlk irányát

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek.

Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek. Ismertető A középiskolában sokféle egyenlet megoldásával megismerkednek a diákok. A matematikaórán azonban csak korlátozott típusú egyenletek fordulnak elő. Nem is cél az egyenletmegoldás általános tárgyalása,

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

Környezetfüggetlen nyelvek

Környezetfüggetlen nyelvek Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz VI. ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2016. feruár 24. A reguláris nyelveket véges

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Végeselem modellezés. Bevezetés 2012.02.20.

Végeselem modellezés. Bevezetés 2012.02.20. Végeselem modellezés Bevezetés 1 21222 Számítógéppel segített szerkezettervezés Szerkezetmegdás, CAD rjzolás dtbevitel módosítás Méretezés, tervezés VEM dtbevitel ellenőrzés Részletek kidolgozás AutoCAD

Részletesebben

Excel Hivatkozások, függvények használata

Excel Hivatkozások, függvények használata Excel Hivatkozások, függvények használata 1. Fejezet Adatok, képletek, függvények Adatok táblázat celláiba írjuk, egy cellába egy adat kerül lehet szám, vagy szöveg * szám esetén a tizedes jegyek elválasztásához

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000 A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Megint a szíjhajtásról

Megint a szíjhajtásról Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK

VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK DR NAGY TAMÁS VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK Miskolc, A bemuttott kuttó munk TÁMOP-B-//KONV-- jelű projekt részeként z Európi Unió támogtásávl, z Európi Szociális Alp társfinnszírozásávl vlósul meg This reserch

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok halmaz halmaz megadása, jelölésmód üres halmaz véges halmaz végtelen halmaz halmazok egyenlısége részhalmaz, valódi részhalmaz halmazok uniója

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

3. előadás. Termelési és optimalizálási feladatok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

3. előadás. Termelési és optimalizálási feladatok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 3. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Fontos fogalmak

Részletesebben

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok z S1O1 hivtko- E42-101 Segédletek III. Excel lpok Excel lpok Áttekintés elemzésekre, A Microsoft dtbázis-kezelésre Excel egy tábláztkezelő (korlátozottn!) progrm, és dtok melyet grfikus dtbevitelre, megjelenítésére

Részletesebben

Koós Dorián 9.B INFORMATIKA

Koós Dorián 9.B INFORMATIKA 9.B INFORMATIKA Számítástechnika rövid története. Az elektronikus számítógép kifejlesztése. A Neumann-elv. Információ és adat. A jel. A jelek fajtái (analóg- és digitális jel). Jelhalmazok adatmennyisége.

Részletesebben

Geometriai transzformációk, transzformációs egyenletek és alkalmazásuk a geoinformatikában

Geometriai transzformációk, transzformációs egyenletek és alkalmazásuk a geoinformatikában Geometrii trnszformációk, trnszformációs egenletek és lklmzásuk geoinformtikán Szkdolgozt Bódis Ktlin Szeged 999 Trtlomjegzék Trtlomjegzék Bevezetés.... Feldtok...5. A Föld felszínének sík vló leképezése...5.

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz Dr Mdrs Lászlóné Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Szolnoki Főiskol Szolnok 005 Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz A kluz következő három kidványhoz készült: Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt,

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Második epochafüzet. Matematika 9. évfolyam. Tulajdonos: ...

Második epochafüzet. Matematika 9. évfolyam. Tulajdonos: ... Második epochfüzet Mtemtik 9. évfolym Tuljdonos:... Trtlomjegyzék Amit z epoch végére tudni kell... Hlmzok...3 Intervllumok...6 Tájékozódás koordinát-rendszerben...9 Függvények...3 Függvények tuljdonsági...6

Részletesebben

Kristályos szerkezetű anyagok. Kristálytan alapjai. Bravais- rácsok 1. Bravais- rácsok 2. Dr. Mészáros István Anyagtudomány tárgy előadásvázlat 2004.

Kristályos szerkezetű anyagok. Kristálytan alapjai. Bravais- rácsok 1. Bravais- rácsok 2. Dr. Mészáros István Anyagtudomány tárgy előadásvázlat 2004. Kristályos szerkezetű nygok BME, Anygtudomány és Technológi Tnszék Rácspontok, ideális rend, periodikus szerkezet Rendezettség z tomok között tuljdonságok Szimmetri, síklpok, hsdás, nizotrópi Dr. Mészáros

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon Pdáni Ktolikus Gkorlóiskol, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Cél: pontos, kitrtó

Részletesebben

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK . Lortóriumi gykorlt LMÉLTI ALAPFOGALMAK. Műveleti erősítők A műveleti erősítőket feszültség erősítésre, összehsonlításr illetve különöző mtemtiki műveletek elvégzésére hsználják (összedás, kivonás, deriválás,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Microsoft Excel. Táblázatkezelés. Dr. Dienes Beatrix

Microsoft Excel. Táblázatkezelés. Dr. Dienes Beatrix Microsoft Excel Táblázatkezelés Dr. Dienes Beatrix A táblázatkezelı feladata: Táblázatosan elrendezett adatok hatékony és látványos kezelése. Nagy adathalmazok adatbázis-kezelı Legfontosabb szolgáltatások:

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben