Többváltozós analízis gyakorlat

Átírás

1 Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete Z. - Zly M.: Többváltozós függvények nlízise, Műszki Könyvkidó, 006. Denkinger G. - Gyurkó L.: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó, 006. Gémes Mrgit - Szentmiklóssy Zoltán: Anlízis feldtgyűjtemény I., Ismétlés. Keressük meg zokt helyeket, hol sin függvény érintője párhuzmos z ( tengellyel; (b z y = egyenessel.. Írjuk fel z f( = függvény grfikonjánk érintőjét z (, 6 pontbn! 3. Adjuk meg z lábbi függvények deriváltfüggvényeit! ( f( = (b f( = ( f( = + + (d f ( = 3 3 (e f ( = sin 5 5 (f f ( = + (g f ( = (h f ( = ( + + (i f ( = e (j f ( = ln ln (k f ( = rsin (l f ( = ros (m f ( = ln 0 4. Végezzük el z f ( = ( + e képlettel megdott függvény teljes körű vizsgáltát! 5. Számítsuk ki lim 0 tn sin htárértéket! 6. Htározzuk meg következő primitív függvényeket! ( ( + d 5 (b 7 d ( e 3 d (d 5 d 4 (e (f (g (h d os os 3 d e (e d sin os d 7. Számítsuk ki z lábbi Riemnn-integrálok értékét! (i (j (k (rsin d rtn + d d ( (b π 4 π sin d rsin d ( (d 3 3 d e 3 e 3 + d

2 . Differeniál- és integrálszámítás lklmzási. Htározzuk meg z lábbi differeniálegyenletek összes, vlmint megdott feltételeket kielégítő megoldásit! ( y ( = y( (b y ( = y( ( y ( = y(, y( = (d y ( = 4 y( (e y ( = λ y( (λ R, (f ( + e y ( = y( e y(0 = (g y ( = ( + y( (h y ( + y( = + e, y( = e (i y ( y( ( π = sin, y = (j y ( + y( = 3, y( = 5 6 (k y ( + y( = e sin, y(0 = Megoldási módszerek: I. Szétválszthtó egyenletek: y ( = f( g(y(. Átlkítv: y (/g(y( = f( olyn intervllumon, melyen nevező nem 0. Jelölje G z g, F z f egy primitív függvényét. Ekkor fenti egyenlet: (G y = F, miből G(y( = F ( +, R. Ebből szerensés esetben y ki is fejezhető. II. Lineáris egyenletek: y ( = f( y( + g(, f, g C(I.. lépés: homogén egyenlet megoldás y ( = f( y(. Ez egy szétválszthtó változójú egyenlet. ln y( = F ( +, hol F = f. Ebből y( = C e F (, C > 0.. lépés: inhomogén egyenlet megoldás y( = ( e F ( lkbn. Ebből y ( = ( e F ( + ( e F ( f( = f( ( e F ( + g(, miből ( e F ( = g(, tehát ( = g( e F (. Innen -t kifejezve nyerjük z y megoldást.. Számoljuk ki z lábbi improprius integrálokt! ( (b ( d e 3 d e d (d (e (f d d 3 d 3. Htározzuk meg z f és g függvények grfikonji áltl bezárt trtomány területét! ( f( =, g( = + (b f( = +, g( = ( f( =, g( = 0 (d f( =, g( = + 4. A következő függvények esetén htározzuk meg függvény grfikonjánk ívhosszát Γ(f = b + (f ( d képlet segítségével! ( D(f = [0, 5, f( = 5 (b D(f = [0, 4, f( = 3 5. A következő függvények grfikonját megforgtv z tengely körül, mekkor térfogtú forgástestet kpunk? Hsználjuk V (A = π b f ( d képletet! ( D(f = [0, π, f( = sin (b D(f = [,, f( = ( D(f = [0,, f( = (d D(f = [, 4, f( =

3 3. Kétváltozós függvények. Írjuk fel p, q R, p = (, 3 és q = (5, 4 pontok távolságát!. Írjuk fel z origó ill. z u = (, b R pont körüli ill. r > 0 sugrú nyílt gömböt meghtározó egyenlőtlenségeket! 3. Rjzoljuk le z lábbi hlmzokt! Htározzuk meg belső, külső és htárpontjikt! Döntsük el mindegyikről, hogy nyílt, zárt, ill. korlátos hlmz-e! ( h R : 3 < h 5}; (b (, y R : + y = } ; ( (, y R : < + y < 4 } ; (d (, y R : + y 4 } ; (e (, y R : 3 < < 5 } ; (f (, y R :, y }. 4. Számítsuk ki következő függvények helyettesítési értékét megdott p pontokbn! ( f(, y = + y, p = (, 3; (b f(, y = r tg + rsin y, p = (, Adjuk meg következő függvények helyettesítési értékét megdott görbék pontjibn! ( f(, y = + y, y =, ill. + y =, (b f(, y = y, y =, ill. y =. 6. Ábrázoljuk következő függvények szintvonlit! Készítsünk függvények grfikonjiról térbeli rjzot! ( f(, y = ( + y ; (b f(, y = + y ; ( f(, y = y; (d f(, y = + y ; (e f(, y = y ; (f f(, y =. 7. Vn-e következő kétváltozós függvényeknek htárértéke z dott pontokbn? H igen, mennyi? Hol folytonosk ezek függvények? ( f(, y = 6, p = (0, 0; (b f(, y = + y, p = (3, 5; ( f(, y =, p = (3, 0; y sin y (d f(, y =, p = (0, ;, 0 és y 0, (e f(, y =, p = (0, 0, q = (0, ; 0, = 0 vgy y = 0., 0, (f f(, y =, p = (0, 0, q = (0,, r = (, 0; 0, = 0., = y, (g f(, y =, p = (0, 0, q = (0,. 0, egyébként. 8. Legyen f(, y = y +y, h (, y (0, 0, 0, különben. Bizonyítsuk be, hogy g( = f(, 0 és h(y = f(0, y függvények folytonosk = 0-bn ill. y = 0-bn! Mutssuk meg, hogy z f(, y függvény nem folytonos (, y = (0, 0-bn! 3

4 4. Priális deriválás. Adjuk meg z lábbi függvények priális deriváltfüggvényeit! ( f(, y = (b f(, y = y ( f(, y = y + y + (d f(, y = ( 3 y + y 7 (e f(, y = y (f f(, y = sin( + y (g f(, y = e y (h f(, y = y os y (i f(, y = y ln( + y (j f(, y = sin y (k f(, y = y (l f(, y = +3y y +3y (m f(, y = + y (n f(, y = r tg y (o f(, y = rsin y y ros (p f(, y = y. Adjuk meg z lábbi függvények első- és másodrendű priális deriváltfüggvényeit! ( f(, y = 3 3 y + y + y 3 (b f(, y = y +y ( f(, y = sin os y (d f(, y = +y (e f(, y = ln +y y (f f(, y = e y Priális derivált I. Legyen f : R R, (, b intd(f. Az f függvény szerinti vgy első változó szerinti priális deriváltj létezik (, b-ben, h f(, b f(, b f( + h, b f(, b lim = lim R. h 0 h Jelölés: f(, b vgy f(, b vgy f (, b vgy f (, b stb. Itt tuljdonképpen z történik, hogy z (, b pont. koordinátáját lerögzítjük, és z így kpott f(, b egyváltozós függvényt deriváljuk -bn. II. Az f függvény y szerinti vgy második változó szerinti priális deriváltj létezik (, b-ben, h f(, y f(, b f(, b + h f(, b lim = lim R. y b y b h 0 h Jelölés: y f(, b vgy f(, b vgy f y (, b vgy f y(, b stb. Itt tuljdonképpen z történik, hogy z (, b pont. koordinátáját lerögzítjük, és z így kpott y f(, y egyváltozós függvényt deriváljuk b-ben. III. Az f függvény ill. y szerinti (vgy elsőrendű priális deriváltfüggvényei f : R R ill. y f : R R D( f = (, y intd(f : f(, y}, ( f(, y := f(, y D( y f = (, y intd(f : y f(, y}, ( y f(, y := y f(, y IV. Az f másodrendű priális deriváltjit z ill. y szerinti priális deriváltfüggvényeinek további priális deriváltjiból nyerjük: f := ( f, y f := ( y f, y f := y ( f, yy f := y ( y f 4

5 5. Kétváltozós szélsőértékszámítás. Állpítsuk meg következő függvényekről, hogy vn-e lokális szélsőértékük, és h igen, hol, és ezek mekkorák! ( f(, y = 3 3y + y 3 ; (b f(, y = 4 4y + y 4 ; ( f(, y = e +3y (8 6y + 3y ; (d f(, y = + y + y 4 ln 0 ln y; (e f(, y = ( 6 (y 4y; (f f(, y = + y y ; (g f(, y = ( + ( + y 4; (h f(, y = y + y 4; (i f(, y = y 3 4y + y; (j f(, y = (3 + y e y.. Szöveges feldtok szélsőértékszámításr (trtomány ltt itt mindig zárt hlmzt értünk. ( Htározzuk meg z = 4 y egyenletű felület z 0 része és z y-sík áltl htárolt térrészbe írhtó mimális térfogtú tégltest oldlit, h tégltest oldli párhuzmosk koordinátsíkokkl! (b Htározzuk meg z f(, y = y függvény minimumát és mimumát z és y tengelyek, vlmint z + y = egyenletű görbe áltl htárolt trtomány. síknegyedbe eső részén! ( Htározzuk meg z f(, y, z = sin sin y sin z függvény mimumát, h, y, z egy háromszög szögei! (d Htározzuk meg z f(, y = y ( 3 függvény minimumát és mimumát z -tengely, z = és z y = görbék áltl htárolt trtományon! ( b -es mátri definitsége. Legyen C = -es mátri. H det C > 0 és > 0, kkor C pozitív d definit, h det C > 0 és < 0, kkor C negtív definit. A b = (szimmetrikus mátri esetben h det C = 0, kkor C (pozitív vgy negtív szemidefinit, h det C < 0, kkor C indefinit. Tétel lokális szélsőérték létezéséről. Legyen f : R R kétszer differeniálhtó z (, b intd(f pontbn, és tegyük fel, hogy f(, b = y f(, b = 0. H z f (, b = ( f(, b y f(, b y f(, b yy f(, b ( feltételek lpján szimmetrikus mátri pozitív/negtív definit, kkor f-nek szigorú lokális minimum/mimum vn (, b-ben. H mátri indefinit, kkor f-nek nins lokális szélsőértéke (, b-ben. Tétel korlátos és zárt hlmzon értelmezett folytonos függvény bszolút szélsőértékéről. Legyen f z A korlátos és zárt hlmzon értelmezett folytonos függvény, és tegyük fel, hogy f-nek léteznek priális deriváltji inta pontjibn. Ekkor f legkisebb és legngyobb értékét vgy A-n veszi fel, vgy inta egy olyn pontjábn, hol f(, b = y f(, b = 0. 5

6 6. Ívhossz, vonlintegrál. Htározzuk meg következő görbék ívhosszát! ( g : [0, π R, g(t = (r os t, r sin t (r > 0 (körvonl (b g : [0, π R, g(t = (rt r sin t, r r os t (r > 0 (iklois ( g : [0, π R, g(t = (r os 3 t, r sin 3 t (r > 0 (sztroid (d g : [0, h R 3, g(t = (t, r os t, r sin t (h, r > 0 (svrvonl. Legyen f : [, 4 R, f( = 3 ( 3. Htározzuk meg f grfikonjánk ívhosszát! 3. Számítsuk ki z ( g f vonlintegrált, h f(, y = y +y, +y és ( g : [0, π R, g(t = (os t, sin t (b g : [0, π R, g(t = ( os t, sin t 4. Legyen g felső félsíkb eső, origó középpontú egység sugrú félkörív pozitív irányítássl, továbbá legyen f(, y = ( y,. Számítsuk ki z g f vonlintegrált! 5. Legyen g legyen f(, y = (, (,, ( + y, y pontokt összekötő egységsugrú körív negtív irányítássl, továbbá. Számítsuk ki z g f vonlintegrált! 6. Legyen g (, 0, (0, pontokt összekötő szksz (0, pont felé irányítv, továbbá legyen f(, y = (os y, os. Számítsuk ki z g f vonlintegrált! Ívhossz. Legyen g : [, b R p folytonosn differeniálhtó. Ekkor g ívhossz s(g = b g (t dt = b (g (t + + (g p(t dt. H f : [, b R folytonosn differeniálhtó, kkor f grfikonjánk ívhossz s(g = b + (f (t dt. Vonlintegrál. Legyen g : [, b R p folytonosn differeniálhtó, f : R(g R p. Ekkor f vonlintegrálj g görbe mentén g f = b f(g(t, g (t dt = b ( f (g(t g (t + + f p (g(t g p(t dt. 6

7 7. Kétdimenziós integrál. Htározzuk meg z f : R R függvények integrálját T trtományon! ( f (, y := + y, T := [, [3, 4 ; (b f (, y := ep ( + y, T := [0, [0, ; ( f (, y := +y, T := [0, [ 0, 3 ; (d f (, y := os ( + y, T := [ 0, π [ 0, π ; (e f (, y := y sin ( + y, T := [ 0, π [ 0, π ; (f f (, y := ep (y, T := [0, [0, ; (g f (, y := (++y, T := [0, [0, ( R +.. Htározzuk meg z f : R R függvények integrálját T trtományon! ( f (, y := + y, T := (, y R : [0,, y } ; (b f (, y := y 3 + y, T K := (, y R : + y = 4, y 0 }, } K := (, y R : ( + + y =, y 0 és } K 3 := (, y R : ( + y =, y 0 félkörök áltl htárolt trtomány; ( f (, y := + y +, T := (, y R : [0,, y 3 } ; (d f (, y := + y, T := (, y R : [ r, r, 0 y e + e }. Fubini tétele. Legyen f : R R, [, b és [, d korlátos és zárt intervllumok, jelölje [, b [, d megfelelő tégllpot. Tegyük fel, hogy f Riemnn-integrálhtó [, b [, d-n, és (A [, b esetén z y f(, y, y [, d ún. szekiófüggvény Riemnn-integrálhtó [, d-n, vgy (B y [, d esetén z f(, y, [, b ún. szekiófüggvény Riemnn-integrálhtó [, b-n. Ekkor z (A esetben ϕ( := d f(, ydy, [, b jelöléssel ϕ Riemnn-integrálhtó [, b-n, emellett b ( b d f(, y d dy = ϕ( d = f(, ydy d. [,b [,d A (B esetben pedig ψ(y := b f(, yd, y [, d jelöléssel ψ Riemnn-integrálhtó [, d-n, emellett d ( d b f(, y d dy = ψ(y dy = f(, yd dy. [,b [,d H z (A és (B feltételek is teljesülnek, kkor ( b d f(, y d dy = f(, ydy d = [,b [,d d ( b f(, yd dy, vgyis z és y szerinti integrálás sorrendje felserélhető, és z így kpott integrálok értékei megegyeznek függvény kétdimenziós integráljávl. Normáltrtományon vett integrál. Legyen H R y irányú vgy irányú normáltrtomány, vgyis ϕ, ϕ folytonos függvények [, b-n, és ( H = (, y [, b R : ϕ ( y ϕ (}, vgy ( H = (, y R [, b : ϕ (y ϕ (y}. Legyen f : H R folytonos függvény. Ekkor z ( esetben ( b ϕ( f(, y d dy = f(, ydy d, H ϕ ( ( esetben pedig f(, y d dy = b H ϕ (y ( ϕ(y f(, yd dy. 7