Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Átírás

1 Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek. Másodfokú függvény, másodfokú egyenlet 8. másodfokú egyenlet megoldóképlete. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feldtok. gyöktényezős lk. Gyökök és együtthtók közötti összefüggés 5. Másodfokúr visszvezethető mgsbb fokú egyenletek 6 6. Másodfokú egyenlőtlenségek 7 7. Négyzetgyökös egyenletek, egyenlőtlenségek 8 8. Számított középértékek 9 9. Szélsőérték-feldtok 0. Másodfokú egyenletrendszerek III. Hsonlóság és lklmzási. Vizsgálódás térben 5. Középpontos hsonlóság 6. Hsonlósági trnszformáció 8. hsonlóság lklmzási 9 5. Hsonló síkidomok kerülete és területe, hsonló testek felszíne és térfogt 9 6. Egyéb nem egybevágósági trnszformációk 7. Kerületi és középponti szögek 8. Húrnégyszögek, lklmzások IV. Trigonometri. Távolságok meghtározás rányokkl 6. hegyesszögek szögfüggvényei, összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között 8. Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között 0. Síkgeometrii számítások 5. Térgeometrii számítások 6. Vektorok koordinátsíkon 5 7. szinusz és koszinusz szögfüggvények áltlános értelmezése 7 8. tngens és kotngens szögfüggvények áltlános értelmezése szinusz- és koszinuszfüggvény grfikonj, jellemzése 5 0. tngens- és kotngensfüggvény grfikonj, tuljdonsági 5 V. Gondolkodási módszerek, kombintorik, vlószínûségszámítás. Sktulyelv, tétel és megfordítás, egyszerű gráfelméleti foglmk 57. evezető kombintorikfeldtok, szorzási és összedási szbály 58. Vriációk 59. Permutációk, kombinációk 6 5. Vegyes feldtok kombintorik köréből 6 6. Vlószínűségi kísérletek, vlószínűség szemléletes foglm 6

2 gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése (8-9. oldl). ) 5; b) ; c) ; d) 5; e) 7; f) ; g) 70; h) ; i).. ) ; b) ; c) 5; d) ; e) 0 (Nem egész!); f) (Nem egész!); g) 0; h) ; i) kifejezés biztosn pozitív, ezért ekvivlens átlkítást végzünk, h kifejezés négyzetét négyzetgyök lá tesszük: ( ) = = ( )( ) = + = + = = = ; j) z előzőhöz hsonlón: ( ) = ( 6 0 ) = = 8 = 6.. ) bl oldl ( ) < jobb oldl ( ); b) bl oldl ( ) > jobb oldl ( 5); c) bl oldl < jobb oldl ( ).. ) Indirekt módon bizonyítv: Tegyük fel, hogy rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként! = p, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz p q q, + és p, q reltív prímek. q-vl vló beszorzás után emeljük négyzetre z egyenletet! q = p Mivel z egyenlet bl oldl többszöröse, ezért z egyenlet jobb oldlán álló p oszthtó kell, hogy legyen -ml, mi csk úgy teljesülhet, h p is oszthtó -ml, tehát p 9-cel is oszthtó. z egyenlet bl oldl is oszthtó 9-cel, zz q oszthtó -ml, tehát q is oszthtó -ml. p és q is oszthtó -ml, tehát nem reltív prímek. feltételezésünk lpján ellentmondásr jutottunk, vgyis feltételezésünk miszerint rcionális szám hmis, így csk irrcionális szám lehet. b) z előzőhöz hsonlón... c) Indirekt módon bizonyítv: Tegyük fel, hogy 0 rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként! 0 = p, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz p q q, + és p, q reltív prímek.

3 q-vl vló beszorzás után emeljük négyzetre z egyenletet! 0 q = p Mivel z egyenlet bl oldl páros, ezért z egyenlet jobb oldlán álló p páros kell, hogy legyen, mi csk úgy teljesülhet, h p is páros, tehát p -gyel is oszthtó. z egyenlet bl oldl is oszthtó -gyel, zz q oszthtó -vel, tehát q páros. p és q is páros, tehát nem reltív prímek. feltételezésünk lpján ellentmondásr jutottunk, vgyis feltételezésünk miszerint 0 rcionális szám hmis, így 0 csk irrcionális szám lehet. d) Indirekt módon bizonyítv: Tegyük fel, hogy rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként! = p, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz p q q, + és p, q reltív prímek. q-vl vló beszorzás után emeljük négyzetre z egyenletet! q = p Mivel z egyenlet bl oldl többszöröse, ezért z egyenlet jobb oldlán álló p oszthtó kell, hogy legyen -ml, mi csk úgy teljesülhet, h p is oszthtó -ml, tehát p 9-cel is oszthtó. z egyenlet bl oldl is oszthtó 9-cel, zz q oszthtó -ml, tehát q is oszthtó -ml. p és q is oszthtó -ml, tehát nem reltív prímek. feltételezésünk lpján ellentmondásr jutottunk, vgyis feltételezésünk miszerint rcionális szám hmis, így csk irrcionális szám lehet. e) Indirekt módon bizonyítv: + Tegyük fel, hogy ( ) rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként! feldt szerint nem négyzetszám, zz prímtényezős lkjábn leglább egy kitevő pártln szám. k k k = p p p n n lkbn legyen z i-edik prímtényező k i kitevője pártln kitevő! m =, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz mq, + és m, q reltív prímek, és q m >. q-vl vló beszorzás után emeljük négyzetre z egyenletet! q = m Mivel z egyenlet bl oldl többszöröse, ezért z egyenlet jobb oldlán álló m oszthtó kell, hogy legyen -vl, zz minden prímtényezőjével (így p i -vel is!). Mivel m négyzetszám, ezért prímtényezős felbontásábn minden prímhtvány kitevője páros, így p i kitevője is. Mivel bl oldlon p i kitevője pártln, ezért ez ellentmondás, vgyis feltételezésünk miszerint rcionális szám hmis, így csk irrcionális szám lehet. 5. ) Indirekt módon bizonyítv: Tegyük fel, hogy 5 rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként! 5 = p, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz p q q, + és p, q reltív prímek. Rendezve z egyenletet 5 = p+ q q kifejezéshez jutunk, melynek jobb oldl rcionális, de z előző feldt lpján 5 irrcionális szám, így ellentmondásr jutottunk. b) bizonyítás során lklmzzuk z előző feldtbn hsznált lépéseket. c) Indirekt módon bizonyítv: Tegyük fel, hogy + 5 rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként!

4 gyökvonás + 5 = p, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz p q q, + és p, q reltív prímek. q-vl vló beszorzás után négyzetre emelve, mjd rendezve z egyenletet 5q = p 8q. Ebből 5 =, melynek bl oldl irrcionális, jobb oldl rcionális, mi ellentmondás. p 8q q. négyzetgyök lklmzási (-. oldl). ) 0; b) 0; c) 70; d) ; e) ) 7 = 7, hol {} 0 ; b) b c c c + +, hol b, c 0 ; c) x ( ) {}, hol x.. ) 7; b) ( ) 57 ; c) ; d) 7 ; e) ) ; b) ; c) 5 ; d) 6 5; e) 0 + 5; f) 7 + ; g) ; h) ) bl oldl; b) jobb oldl; c) jobb oldl. 6. ) 8 6 5; b) ) b) + 9 x {} 0, hol \ ; x + +, hol {} 0 \{} ; +, hol y \{ 5} ;

5 d) Közös nevezőre hozás után: ( b + ) ( b ) b ( b + ) b b b b ( ) ( + ) felbontv zárójeleket számlálóbn, összevonás után: b + b b + b b + \ 6. ; hol b { } = b + b, 8. Gyöktelenítsük z összeg tgjink nevezőjét! n n ( n+ ) n nevezők értéke, így kifejezés: n+ n = n +. kifejezés értéke kkor rcionális, h négyzetgyök ltt négyzetszám áll. Mivel n < 008, így z n + lehetséges értékei: ; ; 9 ; 6 ;... 96( = ), zz z n lehetséges értékei: 0; ; 8; 5;... 95, de n pozitív, tehát csk -féle értéket vehet fel n n n n ( ) + ( + ) + ( + ) ( + + ) = + = n n =, hol minden tg felírhtó két tört különbségeként: n+ n = n n+ = n + végeredményben második tg bármely n + esetén pozitív, így kifejezés értéke kisebb, mint Felírv z állítást n + >, rendezés után 00 n + > 0 000, honnn n >, zz n + > 00, tehát n +. számok n-edik gyöke (0-. oldl). ) ; b) ; c) ; d) 0,; e) 0; f) ; g) 0; h) 5.. ) ; b) b ; c) c; d) d; e) e; f) f = f ; g) g ; h) h 6 ; i) i ; j) j 5 ; k) k. 5

6 gyökvonás. ) ; b) ; c) ; d) 5; e) ; f) ; g) ; h) Felhsználv, hogy 6+ 0 = 6+ 5, vlmint = ( 6+ 0) ( 6 0) 6+ 0 i) 5 = 5; j) 0 = ; k). = 6 0 = ; ( ) :. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás (6. oldl). ) y O x D f = ; R f = ; zérushely: x = ; monotonitási viszonyok: szigorún monoton növő; szélsőértéke: nincs; pritás: nem páros, nem pártln... ) ábr b) y O x D f = ; R f = ; zérushely: x = ; menete: szigorún monoton növő; szélsőértéke: nincs; pritás: nem páros, nem pártln... b) ábr c) D f = ; R f = ; zérushely: x = 9; y O x menete: szigorún monoton csökkenő; szélsőértéke: nincs; pritás: nem páros, nem pártln... c) ábr. 8 ) ; b) 0; c) ; d) 5; e) 6 b. 6

7 . ) jobb oldl; b) jobb oldl.. 6 ) 8; b) b ; c) 0 c 8 6 ; d) ; e) 675; f) ; g) x. 5. ) jobb oldl; b) bl oldl; c) jobb oldl. 6. ) ; b) 8 5 ; c) 5 7; ( ) + d) Felhsználv z b = b b b ( ) = ; 5 e) Felhsználv z + b = ( + b) b b ( ) = ( ) zonosságot: ( ) zonosságot: 7

8 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek. Másodfokú függvény, másodfokú egyenlet (-. oldl).. ) ( ) + ) x x ; b) x + 9 8; c) x ( ) ( ) ; f) + y x ; x 8 ; x 5 ( ) ; h) ( x + 5) +. D f = ; + R f = {} 0 ; zérushelye: x = 0; menete: h x 0, kkor szigorún monoton csökkenő, h x = 0, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = 0 helyen f ( x)= 0 értékkel, mximum nincs; pritás: páros. ; O x.. ) ábr b) y Tuljdonsági megegyeznek z előző függvényével. O x.. b) ábr 8

9 c) D f = ; y R f = {} 0 ; zérushelye: x = 0; O x menete: h x 0, kkor szigorún monoton növő, h x = 0, kkor szigorún monoton csökkenő; szélsőértéke: mximum vn x = 0 helyen f ( x)= 0 értékkel, minimum nincs; pritás: páros... c) ábr d) y O x D f = ; + R f = {} 0; zérushelye: x = ; menete: h x, kkor szigorún monoton csökkenő, h x, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = helyen f ( x)= 0 értékkel, mximum nincs; pritás: nem páros, nem pártln... d) ábr e) y O x D f = ; + R f = {} 0; zérushelye: x = ; menete: h x, kkor szigorún monoton csökkenő, h x, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = helyen f ( x)= 0 értékkel, mximum nincs; pritás: nem páros, nem pártln... e) ábr 9

10 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek f) y D f = ; R f = [ ; [ ; zérushelyei: { ; }; menete: h x 0, kkor szigorún monoton csökkenő, h x 0, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = 0 helyen f ( x)= értékkel, mximum nincs; pritás: páros. O x.. f) ábr g) y O x D f = ; R f = [ ; [ ; zérushelye: nincs; menete: h x 0, kkor szigorún monoton csökkenő, h x 0, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = 0 helyen f ( x)= értékkel, mximum nincs; pritás: páros... g) ábr h) [ [ D f = ; R f = ; ; y zérushelyei: { ; }; menete: h x, kkor szigorún monoton csökkenő, h x, kkor szigorún monoton növő; O x szélsőértéke: minimum vn x = helyen f ( x)= értékkel, mximum nincs; pritás: nem páros, nem pártln... h) ábr 0

11 i) ] ] D f = ; R f = ; ; y zérushelyei: { ; } ; menete: h x, kkor szigorún monoton növő, h x, kkor szigorún monoton csökkenő; szélsőértéke: mximum vn x = helyen f ( x)= értékkel, O x minimum nincs; pritás: nem páros, nem pártln... i) ábr j) O x [ [ D f = ; R f = ; ; y zérushelyei: { 7 ; }; menete: h x 5, kkor szigorún monoton csökkenő, h x 5, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = 5 helyen f ( x)= értékkel, mximum nincs; pritás: nem páros, nem pártln... j) ábr. ) [ ] R f = 0 ; ; y zérushelye: x = 5; menete: h < x, kkor szigorún monoton csökkenő, h 5 x, kkor szigorún monoton növő; O x szélsőértéke: minimum vn x = helyen f ( x)= értékkel, mximum vn x = 5 helyen f ( x)= 0; pritás: nem páros, nem pártln... ) ábr

12 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek b) R f = 5 ; ; y zérushelye: x = ; menete: h 5< x, kkor szigorún monoton növő, h x, kkor szigorún monoton csökkenő; szélsőértéke: minimum nincs, mximum vn x = helyen f ( x)= ; pritás: nem páros, nem pártln. O x ] ].. b) ábr c) [ [ R f = ; ; y zérushelyei: { ; }; menete: h x, kkor szigorún monoton csökkenő, h x, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = helyen f ( x)=, mximum O x nincs; pritás: nem páros, nem pártln... c) ábr d) y O x 5 R f = ; 9 ; zérushelye: x = 0; menete: szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum nincs, mximum vn x = helyen f ( x)= 9; pritás: nem páros, nem pártln... d) ábr. ) minimum: f ( 5)=, mximum: f ( 8)= 6; b) minimum: nincs, mximum: f ( 0)= 5; c) minimum: f ( 5)= 8, mximum: nincs; d) minimum: f ( )= 8, mximum: nincs.

13 5. ) x = ; b) x = 6, x = 8; c) x = 5, x = ; d) x = 6, x = 5; 5 e) x = 6, x = ; f) x =, x =5; g) x = 7, x =.. másodfokú egyenlet megoldóképlete (50. oldl). ) x = 5, x = 7; b) x =, x =; c) x =, x = ; 5 d) x = +, x = ; e) x = 5 ; f) nincs megoldás; g) nincs megoldás.. ) x =, x = ; b) x =, x = ; c) x =+ 5, x = 5; d) x =, x =.. ) x =, x = ; b) x =, x = 9; c) x = ; d) x = ) < 9 5 ; b) b< vgy < b ; c) 5 < c. ) = 6 5 ; b) nincs ilyen b; c) c = 8. ) < 7 ; b) 0 < b < 0; c) c < 59.. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feldtok ( oldl). keresett tört 7.. keret szélessége,5 cm, kép oldli 5 cm és 0 cm hosszúk.. 5 fő megy kirándulni, fejenként 800 Ft-ot kell befizetniük.

14 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek. kosztüm árát először 0%-kl emeltük. 5. keresett szám 7 vgy konvex sokszög oldlú. 7. T = 67 cm. 8. gyorsbb utó km-re, lssbb, km-re volt. 9. teherutó sebessége 75 km h, menetideje, h; személygépkocsi sebessége 00 km h, menetideje,8 h. 0. Külön-külön 6 és 0 ór ltt töltik meg medencét.. gyöktényezős lk. Gyökök és együtthtók közötti összefüggés (6-6. oldl). ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ) x x ; b) x 8 x 7 ; c) x+ x 5 ; d) ( x+ ) ( x ); e) ( x ) ( x ); f) ( x+ ) ( 5x+ 7).. ) x + 5 \{ 8 ; }; b) x + 0 \{ ; } ; x + 8 x + c) x + 5 \ ; ; d) x 7 \ 5;. x + x + 5. ) x + x 0; b) x 9x+ 8; c) x + 8x+ 77; d) x 7x+ 0; e) x + 5x z egyenlet diszkrimináns pozitív, így vnnk megoldások. b ) x 7 + x b + = = = = ; x x xx c c 5 b c 69 b) x + x = ( x+ x) xx = = ; 69 c) x x x + x 69 + = = = ; x x xx 5 0

15 d) Legyen x > x! 7 89 x x = ( x x) ( x+ x)= x + x xx ( x+ x)= ; e) Legyen x > x! x x = ( x x) ( x + xx + x )= x + x xx ( x + x + xx)= 5. 6x + x = ) feldt b) pontj lpján: b c () b c 0 és ( ) = 5 feltételeknek kell teljesülnie. 9 () p és ( ) p =, zz p = bc 7. xx + xx = xx ( x + x ), zz = 8, honnn p = 0 (visszhelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy ekkor létezik z egyenletnek megoldás). 8. ) szükséges és elegendő feltétel, hogy teljesüljenek z lábbi állítások: c b () b c 0 és ( ) > 0 és ( ) > 0 () p 8 vgy 8 p és ( ) 0< p 0 < p 8. és ( ) p < b) szükséges és elegendő feltétel, hogy teljesüljenek z lábbi állítások: c b () b c 0 és ( ) > 0 és ( ) < 0 () p 8 vgy 8 p és ( ) 0< p 8 p. és ( ) < p 5

16 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek 5. Másodfokúr visszvezethető mgsbb fokú egyenletek (67. oldl). ) x =+, x =, x =+ 9, x = 9; b) x =+, x =, x =+ 5, x = 5; c) x =, x = ; d) x = 5, x = ; e) x =+, x = ; 5 f) x = 5, x =.. ) x = 6, x = 0; b) x =, x = ; ( ) + + =. c) Felbontv zárójeleket x + x x x 5 9 ( ) Új ismeretlen bevezetésével y:= x + x másodfokú egyenletet kpunk: y + y = 9, melynek gyökei y =, y =. Visszhelyettesítve: x + x = és x + x =. Ezen egyenletek megoldási: x = +, x =, illetve x = 5, x =. d) y:= x + 5x bevezetésével: ( y+ ) y = 0, melynek gyökei y =, y =, így 5 x + 5x = és x + 5x =, melyek megoldási x, = ± 5, illetve x, = ±. e) z előzőekhez hsonlón y:= x + 6x+ 7 bevezetésével y =, y = dódik, honnn visszhelyettesítés után x = 5, x =, x = + 5, x = 5. y 5 y: = x 6x = y 5, y ( y) ( y+ 5) y( y+ 5)= 5( y), y y + 5 melynek gyökei y =, y = 0 jó megoldások. Visszhelyettesítés után z eredeti egyenlet megoldási: x = 0, x = 6, x = + 7, x = 7. g) két szélső, illetve két középső zárójel összeszorzás után ( x + 5x 6) ( x + 5x+ 6) 60 = 0, melyből y:= x + 5x 6 helyettesítéssel végül csk két megoldást kpunk: x = 7, x =.. ) x -tel vló leosztás (x = 0 nem megoldás!) és kiemelés után: x + x 0 x + x =. Vezessünk be egy új ismeretlent! y: = x+ ( y ) y = 0, melynek megoldási: x 5 5 y =, y = = x+ = x + x x. 5 5 eszorozv x-szel z egyenleteket, megoldások: x =, x =, x = +, x = ; 6

17 b) z előzőhöz hsonlón dódnk gyökök: x =, x = ; c) x =, x =, x =, x =. 6. Másodfokú egyenlőtlenségek (7. oldl).. ) x< vgy < x; b) x ; c) x vgy x; d) < x < ; e) x \{ 6} ; f) x = 5 ; g) nincs megoldás; h) x ; i) x =. ) x 5 ; b) nincs megoldás; c) x > ) < x< 6 vgy 8< x; b) x< vgy < x< 5; c) x 7 {} ; \ ; 5 d) 5< x vgy < x 5; e) < x < ; f) x< 6 vgy 5< x< + 6 vgy 6< x; g) x< 0 0 vgy < x< vgy < x. 5. ) Két különböző megoldást kkor kpunk, h diszkrimináns pozitív, zz ( p 5) ( p )> 0, honnn p < vgy < p, és p 0, zz p feltételeknek kell teljesülni, mert különben elsőfokú egyenletet kpunk, melynek nem lehet két különböző megoldás. 5. b) z előző feldthoz hsonlón p + p+ 85 > 0 egyenlőtlenséget kpjuk, melyből p < 7 vgy 5 < p. ) grfikus előjelvizsgáltr gondolv z egyenlőtlenség csk kkor teljesülhet minden x-re, h bl oldli kifejezés grfikonj egy lefelé nyitott prbol, melynek nincsenek zérushelyei, zz m < 0és D < 0. két feltételből kpott megoldáshlmz metszete: m < 0. b) grfikus előjelvizsgáltr gondolv z egyenlőtlenség csk kkor teljesülhet minden x-re, h 7

18 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek bl oldli kifejezés grfikonj egy felfelé nyitott prbol, melynek nincsenek zérushelyei, zz m + < 0 és D < 0. két feltételből kpott megoldáshlmz metszete: < m < fentiekhez hsonlón q < 0 és D 0 feltételeknek kell teljesülniük, melyekből q 7 dódik Négyzetgyökös egyenletek, egyenlőtlenségek ( oldl).. ) x = 6; b) x = 76 ; c) x = 8; d) x = ; 5 e) x = 6; f) x = ; g) x =, x =; h) x = 8. ) x = ; b) x = 9; c) x = 9 ; d) x = ; e) x = ) x = 7, x = 7; b) x = 5, x = 9; c) x =, x = ; d) x = 8.. ) x = ; b) x = 7; c) x = ; d) x = ; e) x =. 5. ) 9 x; b) x ; c) x < 7 ; d) x ; e) x < ; 5 f) < x; g) 5 < x vgy x = ; h) 6< x és x 5; i) x = ) Négyzetre emelve z egyenlet két oldlát: x+ 5 + x + x + x 5 = 6, átrendezés és osztás után: x + x 5 = 7 x, újbb négyzetre emeléssel x + x 5= 9 x+ x, honnn x = (ellenőrizve jó megoldás). b) z előzőhöz hsonlón, kétszeri négyzetre emeléssel 9x 6x 95= 0 egyenletet kpjuk, melyből csk z x = 5 jó megoldás. c) Négyzetre emelve két oldlt, mjd rendezve z egyenletet: x + 7x 6 = x+, osztás és újbb négyzetre emelés után: x 5x = 0, melynek jó megoldás csk z x = d) x =, x =7; 8

19 e) x =, x = ; f) x =, x =. 7. ) lphlmz: x. H x <, kkor z egyenlőtlenség minden x-re teljesül, mit z lphlmz és vizsgált trtomány megenged, zz x <. H x, kkor négyzetre emelés ekvivlens átlkítás (mert mindkét oldl értéke nemnegtív): x+ > x + 6x+ 9, melynek z lphlmzb és vizsgált trtományb is beleeső megoldási: x <. Összefogllv megoldásokt ( részmegoldások uniój): x <. b) Csk olyn x-ekre lehet megoldás z egyenlőtlenségnek, melyekre bl oldl értéke nemnegtív, zz h x 5, továbbá jobb oldl is értelmezve vn, zz 7 x. Négyzetre emelve (ekvivlens!) és rendezve z egyenlőtlenséget: x x+ 0, melynek mindkét feltételnek eleget tevő megoldási 7 x. c) z előzőkhöz hsonló gondoltmenettel < x dódik. d) x ; e) x < Számított középértékek ( oldl). ) = 7, G = 5; b) = 5, G = ; c) =, G = 86; 6 97 d) =, G = ; e) =, G = , ( ). z átfogó hossz 6, 97 cm. ( ) 5. z átfogó hossz 8, 8 cm. 9

20 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek x( 6 x) x -szel háromszög befogóit! háromszög területe: T( x)=, melynek mximális értéke számtni és mértni közép közti összefüggés lpján: b b b + + b. 6. Jelöljük x-szel és ( 6 ) ( ) x x T = + 6 mx = 8 = 6, és T x x = 6 x, zz háromszög egyenlő szárú, melynek befogói 8 cm hosszúságúk. ( ) függvény kkor veszi fel mximumát, h 7. -vl és b-vel jelölve befogókt háromszög területének felírásából b = 6. háromszög befogóink összegét ( + b) lulról becsüljük z + b b egyenlőtlenség lpján: + b b = 6 =, hol z egyenlőség = b esetén teljesül, zz 6 cm befogójú, egyenlő szárú derékszögű háromszögben legkisebb befogók összege f ( x)= x + + x értéke f ( x)=. x = esetén teljesül, zz minimum helye x =+, x =, x 0. Q( 9; 5)= 5 5 és H ( 95 ; )= ; 7 Q( ; 8)= és H ( ; 8)= ; 5 Q( ; )= és H ( ; )= ; Q 5 9 ; 5 = 50 H 5 0 ; 5 = 6 Q ; 7 = 58 H 8 ; 7 =. sebességek átlg: ( 70; 90) = 80. z átlgsebességg kiszámítás: összes út s átlgsebesség = = = = H ( 70;90)= 78, 75. összes idõ s s km z eltérés: ( 70; 90) H( 70; 90)=, 5 h

21 . ) + b ( + b) b b 0 ( b) 0; poz. neg. b) b b b ( + b) b b( + b + b ) 0 b + b ( ) ; c) b b + + ( + b+ b ) ( + b ) 0 b ( ) ; d) + b b + b b b. = b.. háromszög befogóit -vl, illetve ( )-vl jelölve z átfogó hossz + négyzetes és számtni közép közti reláció lpján lulról becsülhető: ( ) ( ), mi ( ), hol z egyenlőség = esetén teljesül, tehát z = cm befogójú, egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogój legrövidebb. ( ) 9. Szélsőérték-feldtok (9-9. oldl). ) = 5 m s és b = 0 m s ; b) t = 6 s múlv; c) d (m) O t (s) 9.. c) ábr d) s-nál 5 m mgsn.

22 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek. ) T :[ 00 ; ] ; T( )= 0 ; b) T :[ 00 ; ] ; T( b)= 0b b ; c) T mx = 00 m.. H -vl és b-vel jelöljük füves terület oldlit, kkor prk oldlink hossz burkolttl együtt + és b +. burkolt területe -vl és b-vel kifejezve: ( + ) ( b+ ) b = 00, honnn + b = 96 Tfüves = ( 96 ). számtni és mértni közepek közti reláció lpján: T + ( 96 ) füves = 8, terület kkor mximális, h = 96, zz füves terület 8 m 8 m-es ábr 0 Thulldék = ( 0 )= = ( 5) + 5 = min. = 5 cm. minimális hulldék: T min = 5 cm. (Másik megoldás: kivonndót felülről becsülhetjük számtni és mértni középre vontkozó egyenlőtlenség segítségével...) 0 b b ábr leeső háromszögek egyikének befogój, másikánk b, mi kifejezhető -vl:

23 b = 0. ( ) T = + 0 hulldék 5 5 = cm = cm. ( ) = + = = = min. T min = 5 cm, zz két esetben ugynnnyi hulldék keletkezett. 6. -vl és 0 -vl jelölve szksz két drbjánk hosszát rájuk emelt négyzetek területösszege: + ( ) ( 0 ) Tössz ( )= + ( 0 ) Tmin = 00 cm, h = 0 cm. 7. z előző jelölésekkel: T ( )= T + T = össz szb. Δ szb.htszög honnn = 0 7 és 0 7 cm. ( 0 ) = = , 7 0 esetén lesz területösszeg minimális, zz szksz két részének hossz 7 cm 8. gyökök létezésének feltétele: ( p) ( p + ) 0. másodfokú egyenlőtlenségnek megoldási: p 5 8 vgy 5+ 8 p. gyökök négyzetösszege: b c x + x = ( x+ x) xx = p p p = ( ) ( + )= = ( ), mely kifejezés p = -nél venné fel minimumát, de fenti feltétel szerint gyökök négyzetösszege csk z 5 8( 0, 9) -nál kisebb, vgy 5+ 8( 0, 9) -nál ngyobb p értékek esetén értelmezett. Előbbi trtományon négyzetösszeg függvény szigorún monoton csökkenő, utóbbin szigorún monoton növő minimumát 5 8 vgy 5+ 8 helyen veszi fel. Például behelyettesítéssel eldönthető, hogy p = 5 8 esetén lesz gyökök négyzetösszege minimális. 0. Másodfokú egyenletrendszerek (96. oldl). ) x = és y = 5; b) x = 8 és y = 5 vgy x = 8 és y = 5;

24 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek c) x = és y = vgy x = és y =. keresett tört 7.. rombusz átlói 8 és 0 cm hosszúk.. ) x = 6, és y =, vgy x = és y = ; b) x = és y = 5 vgy x = és y = ; c) x = y = + és vgy x = és y = ) Kivonv másodikból z első egyenletet egy elsőfokú kétismeretlenes egyenletet kpunk, melyből kifejezve z x-et behelyettesítjük zt z első egyenletbe: ( + y) ( + y)+ y y = 5, így megoldások x = és y = vgy x = és y =. b) második egyenlet kétszereséből z első egyenletet kivonv, mjd kpott elsőfokú egyenletből y-t kifejezve, és z első egyenletbe visszhelyettesítve dódik megoldás: x = és y =.

25 . Vizsgálódás térben (0. oldl). szélességi körök közül csk z egyenlítő, hosszúsági körök közül mind főkör.. 7 cm testátló 7 dm, mi közelítőleg 60, 6, illetve 7,5%-kl ngyobb lpátlóknál. 5. ) Henger, melynek mgsság tégllp forgástengelyre eső oldl, lpkörének sugr tégllp másik oldl; b) henger, melynek mgsság tégllp középvonlávl párhuzmos oldl, lpkörének átmérője tégllp másik oldl; c) kettős kúp, zz két egybevágó, egybeeső lplpú forgáskúp, melyek mgsság négyzet átlójánk fele, lplpjuk átmérője négyzet átlój; d) csonkkúp, mely lp- és fedőkörének átmérője trpéz egy-egy lpj, mgsság trpéz mgsság; e) egy henger és két kúp, melyek z lplpjikkl illeszkednek henger egy-egy lplpjár, hol henger és kúpok lpköreinek sugr trpéz mgsság, henger mgsság trpéz rövidebb lpj, kúpok mgsság trpéz lpji különbségének fele; f) egy henger, melyből kivágtunk egy-egy, z lplpjir illeszkedő kúpot, hol henger mgsság trpéz hosszbb lpj, két egybevágó kúp mgsság trpéz lpji különbségének fele, és henger, vlmint kúpok lpkörének sugr trpéz mgsság; g) körrel egyenlő sugrú gömb. 6. kock térfogt 5-szörösére nő. 7. z élek nem közös végpontji áltl meghtározott háromszög minden oldl kock egy-egy lpátlój, mivel kock lpátlói egyenlő hosszúságúk, ezért vizsgált háromszög szbályos. 8. legrövidebb út hossz 0 egység. (Háromféleképp is ki lehet teríteni tégltest oldlit egy síkb, három eset közül z ábrán láthtóbn lesz legrövidebb z út.) 5

26 Hsonlóság és lklmzási ábr. Középpontos hsonlóság (09. oldl). C C.. ábr. kpott képháromszög oldli z eredeti háromszög középvonli. C S.. ábr C. z egyik körön egy tetszőleges P pontot kiválsztv, mjd megfelelő szöget másik kör középpontjáb másolv (egyállású és fordított állású szögként is) megkpjuk P pont képeit pozitív és negtív hsonlósági rányr is. Ezután képpontokt összekötve P-vel kimetsszük körök középpontjit összekötő egyenesből hsonlóság centrumát ( C és C ). 6

27 P P C K C K P... ábr r -gyel és r -vel jelölve körök sugrit, h KK 0 és r r, kkor két hsonlósági középpontot, h KK 0 és r = r, kkor egy hsonlósági középpontot, h KK =, kkor egy hsonlósági középpontot kpunk. 0 ) z egyes pontok képét egy M pontból induló félegyenes segítségével kphtjuk meg. M C C.. ) ábr b) C C M.. b) ábr FC 5. FS = bármely C esetén FS FC = = állndó, mi megfelel egy F középpontú, rányú középpontos kicsinyítésnek mivel C csúcsok egy O középpontú körvonlr illeszkednek (k), k így kicsinyítéssel kpott S súlypontok is egy körvonlr illeszkednek ( k, melynek középpontj z FO szksz F-hez közelebbi hrmdoló pontj, sugr pedig z eredeti kör sugránk hrmd). k körvonl minden pontj lehet vlmely háromszög súlypontj, hiszen ennek pontnk z F középpontú rányú ngyításávl éppen k körre illeszkedő pontot kpunk. 7

28 Hsonlóság és lklmzási O C O S F.5. ábr. Hsonlósági trnszformáció (. oldl). derékszög szögfelezője áltl levágott háromszögek mindkét hegyesszöge 5 -os, így hsonlók z eredeti háromszöghöz. 6 -os szárszögű egyenlő szárú háromszög rendelkezik még ezzel tuljdonsággl.. x = 5, y =, 5, v = 5, z =.. ) igz; b) hmis; c) igz; d) igz; e) hmis.. Jelölje, b, f z egyik,, b, f másik tégllp oldlit és átlóját! b b f = = = λ = b b f + b + b b = ( λ ) + ( λ ) + b megfelelő oldlk és átlók rány is egyenlő, tehát két tégllp hsonló. = λ ( + b ) = λ + b 5. lecke. példájánk b) pontj lpján megfelelő kis háromszögek és z eredeti háromszög hsonlóságából dódnk tlpponti háromszög szögei: 80 α, 80 β, 80 γ. Tompszögű háromszögben: R M C g Q b P.5. ábr RCQ =γ (mert csúcsszögek) MRCQ húrnégyszögben RMQ = 80 γ ; QM és RM hsonló, derékszögű háromszögekben RC = QC = 90 RMQ = γ 90 ; z első részhez hsonló gondoltmenettel (PR, QP, MRQ, M lpján) tlpponti PQR szögei: α = α β = β γ = γ 80. 8

29 . hsonlóság lklmzási (8. oldl). két háromszög hsonlóság kétszögük egyenlőségéből éből következik (90, szárszög fele). r =,8 cm. 65. R = cm, 0 cm. 8. kerületük -szorosár, -szorosár, illetve λ-szorosár változik; területük 9-szeresére, 9 -szeresére, illetve λ -szeresére változik.. E C szögfelezőtétel szerint C E =, ezt átrendezve: CE E C =. CE 5. Hsonló síkidomok kerülete és területe, hsonló testek felszíne és térfogt (5. oldl). ) b) c) d) λ K T 9 9 6,,, 9

30 Hsonlóság és lklmzási. ) b) c) d) λ 9 V ,,,. fele; :.. C P Q R T T PQ C PQC = =, mely szksz z előző feldt lpján megszerkeszthető. PQ-t felmérjük -ból -re, mjd kpott R ponton keresztül C-vel párhuzmost szerkesztünk (szögmá- solássl), és C-ből így kimetszett Q ponton keresztül párhuzmost szerkesztünk -vel (szögmásolássl). 5. ) : ; b) : 6; c) : 6; d) : 6; e) : ; f) : 6; g) : 6; h) : ; i) :. 0

31 6. Egyéb nem egybevágósági trnszformációk (Kiegészítő nyg) (-. oldl). z nem igz, hogy kpott szksz háromszög egyik oldlánál sem hosszbb, de z igen, hogy leghosszbb oldlnál nem hosszbb. Ugynis egy szksz merőleges vetülete mindig legfeljebb olyn hosszú, mint mg szksz. (H párhuzmos merőleges ffinitás tengelyével, kkor egyenlő hosszúk, h pedig nem párhuzmos, kkor rövidebb merőleges vetület. Így háromszög vlmelyik oldlánál biztosn rövidebb merőleges vetület.) C P C 6.. ábr. z inverz trnszformáció tengelye e, rány.. definíció és z előző feldt lpján beláthtó feldt állítás.. Először mutssuk meg, hogy minden prlelogrmmához tlálhtó olyn merőleges ffinitás, melynél prlelogrmm képe tégllp lesz! H prlelogrmm derékszögű (zz eleve tégllp), kkor z identikus trnszformáció megfelel. H prlelogrmm nem derékszögű, kkor vegyünk fel egy olyn e egyenest prlelogrmm egyik hegyesszögű csúcsán át (), mely prlelogrmm egyik szemközti oldlát nnk belső pontjábn metszi. (Ez z egyenes nem párhuzmos prlelogrmm egyik oldlávl és átlójávl sem.) λ = speciális eset z identikus trnszformációt állítj elő. Kezdjük el növelni ezután λ értékét! Ekkor csúccsl szomszédos két csúcs ( és C) egyre távolbb kerül z e egyenestől. Elég ngy λ esetén elérhető, hogy C és is 5 -nál ngyobb szöget zárjon be z e egyenessel. Ekkor z C szög már tompszög lesz. Jelöljünk egy ilyen rányszámot λ -vel! Tehát λ növelése közben kellett lennie z ] ; λ [ intervllumbn egy olyn λ 0 értéknek, melyik esetén z C szög derékszög. Mivel párhuzmosok merőleges ffinitássl kpott képe is párhuzmos lesz, így λ 0 rányszám mellett prlelogrmm képe egy derékszögű prlelogrmm lesz, vgyis tégllp. kkor most oldjuk meg négyzetre! fent leírtknk megfelelően vegyünk fel egy e egyenest, mjd rendeljük hozzá zt λ 0 rányszámot, melynél prlelogrmm merőleges ffin képe tégllp lesz! Ez λ 0 tehát minden e egyenesnél létezik. Kezdjük el most forgtni z e egyenest egyenestől C egyenesig! ( két htáregyenessel nem eshet egybe z e, mert kkor semmilyen λ esetén nem érhető el, hogy -nél derékszög legyen.) egyeneshez tetszőlegesen közel fölvehetjük z e-t. Minél közelebb veszszük fel, nnál ngyobb lesz z e-hez rendelt λ 0 értéke. (λ 0 értékét tetszőleges értéknél ngyobbr növelhetjük, h e-t közelítjük -hoz.) Így elérhető, hogy C > legyen. És ugynígy: h z e egyenest C-hez közelítjük, kkor elérhető, hogy C < legyen. míg z e-t egyenestől

32 Hsonlóság és lklmzási C egyenesig mozgtjuk, C : rány egy -nél ngyobb számtól egy -nél kisebb számb vált át (eközben folytonosn változik). Tehát közben vlhol föl kellett vennie z értéket. Ekkor nemcsk derékszögű prlelogrmm, hnem egyenlő oldlú is, vgyis négyzet. 5. x ) x x; b) x. 6. Középpontos hsonlóságot kpunk, melynek középpontj tengelyek metszéspontj, rány merőleges ffinitások közös rány. 7. befogótétel lpján mindkét esetben beláthtó, hogy z így kpott P -re OP OP = r, tehát helyes szerkesztés. 7. Kerületi és középponti szögek (Kiegészítő nyg) (9. oldl) ábr. ) ; b) 5 ; c) 60 ; d) 90 ; e) 5 ; f) 69,5.

33 . 90 O O O H α < 90 :, h α > 90 : 7.. I. ábr 7.. II. ábr O. z ), b) és d) esetekben megszerkesztjük (z lpon fekvő szögei segítségével) z O -et, mjd tükrözzük O-t -re, végül O-ból és O -ből O sugárrl megrjzoljuk megfelelő köríveket. 90 -os látószögkörív z szksz Thlész-köre z érintő látószögkörív érintési pontj. 6. kép Szegeden láthtó Mór Ferenc Múzeumbn. Jvsoljuk, hogy tnulmányi kirándulás keretében látogssák meg helyszínt. 7. z ékszerüzletet szemléltető szksz házkt érintő látószögkörívének házkt érintő pontjáb. kör középpontj rjt vn z ékszerüzletet jelző szksz felezőmerőlegesén, mi állndó távolságr vn tér szomszédos oldlától. Keressük meg felezőmerőlegesnek zt pontját, mely ilyen messze vn -tól! 8. Húrnégyszögek, lklmzások (Kiegészítő nyg) (-. oldl). Áltlános trpéz; nem speciális derékszögű trpéz; áltlános prlelogrmm; nem speciális rombusz; deltoid, melynek legfeljebb derékszöge vn.

34 Hsonlóság és lklmzási. C T M T Hegyesszögű háromszögben lévő húrnégyszögek: bármely két csúcs és belőlük kiinduló mgsságvonlk tlppontji, illetve bármely csúcs, vele szomszédos mgsság tlppontj és mgsságpont lkott négyszög (- drb): T T, CT T C, CT T C, T CMT, T MT C. Tompszögű háromszögben ugynezek pontok lkotják húrnégyszögeket, csk egyes esetekben pontok más sorrendben követik egymást. 8.. ábr T C. Q D b b C α + β = 80 α + β = 90 PΔ -ben kétíves szög is β ngyságú, így P és CQ egyállású, tehát P CQ. (Egybeesés deltoid esetén jön létre.) P 8.. ábr. 80 M C tükrözés mitt CMM egy prlelogrmm kétíves szög is 80 α ngyságú húrnégyszögek tételének megfordítás szerint M C húrnégyszög, így M illeszkedik z C körülírt körére. (Hsonlón beláthtó többi felezőpontr tükrözés esetén.) F M 8.. ábr 5. két háromszög hsonlóság két szögük egyenlőségéből következik (PE = PE, hiszen z E ívhez trtozó kerületi szögek). E 6. két háromszög hsonlóságából felírhtó megfelelő oldlk rányánk egyenlősége, melyből következik feldt állítás. O P 7. z előző feldt lpján bármely szelő szeletei hosszánk szorzt z érintőszksz hosszánk négyzete, mi dott külső pont esetén állndó és 8.6 ábr

35 8. m Húzzunk z dott oldlll párhuzmost mgsság távolságbn! Szerkesszük meg z dott oldlr z dott szögű látószögkörívet (lásd előző lecke. feldt)! látószögkörív és párhuzmos metszéspontj háromszög hrmdik csúcs. 90 m 8.8. ábr 9. C F-fel jelölve z ív és szögfelező metszéspontját z CF és CF egyenlőségéből következik, hogy hozzájuk, mint kerületi szögekhez trtozó F és F ívek egyenlők. F 5

36 Trigonometri. Távolságok meghtározás rányokkl (5. oldl). háromszög belső szögfelezőjére vontkozó tétel és z. ábr szerint: DC C =. C C + Mivel C =, C = és =, ezért DC = egyenlőséget kpjuk. honnn + ( ) ( ( )) = ( ) DC =. Pitgorsz tétele szerint: D = ( ) + 6. Tehát minden 5 -os szöget trtlmzó derékszögű háromszögben szöggel szemközti befogó, szög melletti befogó és z átfogó rány ( ): : ( ). 5 -os szöget trtlmzó derékszögű háromszög. 60 D 90 C. ábr 5 5. z előző feldt eredménye és z.. ábr lpján h 0 = 6, honnn h = 0 ( ) m. 5 C 0 m C h.. ábr. Készítsünk ábrát z dtok feltüntetésével szöveg lpján! Szemléltesse felhőkrcolót C szksz, z ismerős lábát z pont! szöveg lpján C = 90 m, -nél levő depressziószög 80. Jelöljük b-vel keresett távolságot! (.. ) ábr) feldt most már következő: z C derékszögű háromszögben dott egy hegyesszög és z egyik befogó. Mekkor másik befogó? Kicsinyítsük z C derékszögű háromszöget! Ekkor kpott PQR háromszög (.. b) ábr) és z C háromszög hsonlók, megfelelő oldlik rány megegyezik, zz b ( m ) cm ( m) = 6, ( ). Innen b 6 m. zt 90 9( cm) mondhtjuk tehát, hogy ismerősünk z épület ljától körülbelül 6 m távol vn. 6

37 80 0 Q 90 m 0 9cm 90 C b R b 6, P.. b) ábr. Készítsünk ábrát z dtok feltüntetésével szöveg lpján! Szemléltesse z ntennát C szksz, vízszintes tljon levő rögzítési pontokt z és D pontok! szöveg lpján z -nál levő szög 60, z D = m. Jelöljük x-szel keresett távolságot! (.. ábr) z CΔ szögei 0, 60 és 90 -osk, korábbi tnulmányinkból tudjuk, hogy z oldlink rány C : C : = : :. Így C = m, C = m. lklmzzuk Pitgorsz tételét DCΔ-re: x = ( ) + 8, honnn x = 7 m 6, 50 m. Tehát 7 m hosszú drótkötélre vn szükség. x C 8 m D m D.. ábr 7

38 Trigonometri. hegyesszögek szögfüggvényei, összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között (6-6. oldl). α 56, 9 87 ' 8 5' ' sinα 0,88 0,999 0,87 0, cosα 0,55 0,00 0,979 0, tgα,50,8978 0,6 0, ctgα 0,66 0,00,97 6, tgα 5 7 0,0078,89 6 α 60 6,98 0,5 89,5 5 67,79. ctgα 7 0,089 5,6 α,7 78,6 8,89,75 5,85. sinα 0,78 0,89 6 α 0,70 0 7, 6,8,57 5. cosα 8 7 0,878 0,0089 0,6 5 α 5 8,56 89,9 7,7 5,07 8

39 6. ) ; b) 6 + ; c) + ; d). 7. Készítsünk ábrát z dtok feltüntetésével szöveg lpján! Szemléltesse dombot C szksz, dombtetőre vezető utt z szksz! szöveg lpján z -nál levő szög, z = 70 m. Jelöljük x-szel keresett távolságot! (.7. ábr) z ábr és hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciój lpján: x = 70 sin 9, 70 m. z út emelkedése: 00 tg, 6% -os. 70 m x 90 C.7. ábr 8. Készítsünk ábrát (.8. ábr)! z DCΔ szögei 0, 60 és 90 -osk, korábbi tnulmányinkból tudjuk, hogy z oldlink rány CD : C : D = : :. Innen CD ( ) Így D = = = = és D =. Mivel minden 5 -os szöget trtlmzó derékszögű háromszögben szöggel szemközti befogó, ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) szög melletti befogó és z átfogó rány : :, ezért EC : C = :. Így EC = ( ) és ED = CD EC =. ( ) ( ) megoldás: EC = ( ), ED =, D =. 5 D E 90 C ábr 9. Készítsünk ábrát z dtok feltüntetésével szöveg lpján! Szemléltesse világítótornyot C szksz, hjót z pont! szöveg lpján z -nál levő szög 66 ' = 66,, C = 5 m. Jelöljük x-szel keresett távolságot! (.9. ábr) 5 z ábr és hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciój lpján: x = 66 66, 7 m. tg, 9

40 Trigonometri 6,6 5 m 90 C x 6,6.9. ábr 0. Készítsünk ábrát z dtok feltüntetésével szöveg lpján! Szemléltesse z emlékművet C sz- ksz, lejtőt z C szksz! szöveg lpján C = ' = 5,, DC = 8' =, és z C = 50 m. Jelöljük x-szel keresett távolságot! (.0. ábr) z ábr és hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciój lpján: D = 50 cos, 6, 7 m, CD = 50 sin, 6, 7 m és D = D tg 5, 8 66, 9 m. Innen z emlékmű mgsság: x = D CD 6, m. x C 50 m,5 90, D.0. ábr. Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között (70. oldl) 0. ) sin α 075, 5 c) cosα tgα ctgα tg α 0, 5 5 ctgα sinα cosα ( > 0) ( > 0) ( > 0) ( > 0) b) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) cos α 05, sinα tgα ctgα ( > 0) ( > 0) ( > 0) ( > 0)

41 d) ctg α 5 0, ( > 5, ) tg α > 5, sinα > 5, cosα ( > 5, ) ( ) ( ). ) ( sinα cosα) + ( sinα + cosα) = sin α + cos α = ( sin α + cos α)= ; b) sin α + cos α = ( sin α + cos α) sin α cos α = sin α cos α; sinα sinα sinα cos α c) tgα = + = + ; cosα cosα sin α cosα sinα sinα cos α tgα d) cosα cosα sinα cosα = = = = sinα cos α. + tg α sin α sin α cos α + sin α + + cos α cos α cos α. ) sin 0 cos50 + cos 60 cos70 + cos 0 + sin 0 = = cos 70 sin 0 + cos sin 0 = ; b) ( cos6 )( + sin 5 )+ cos5 cos6 ctg6 = 6 = ( cos6 )( + cos6 )+ sin 6 cos cos 6 sin 6 = ; c) (tg ctg ) cos (tg tg ) cos ( sin = = ) cos 7 ; cos 7 + = d). ) sin α = ; = = =. b) cos α = ;

42 Trigonometri () () () c C 90 () () () b C 90 c () ().. ) ábr.. b) ábr c) tg α = ; d) ctg α = 05, ; () () (5) (6) (6) (5) () () () 90 C b () () 90 C b ().. c) ábr.. d) ábr e) sin α = 0 < α < 5 ; 5 ( ) f) cos α = ( 0 < α < 5 ); C 90 (6) b () (5) () 90 (5) F F () c 7 c 5 () () ().. e) ábr.. f) ábr g) tg( 90 α) = ctg α =, 5. (6) () 7 () C (6) () () () 90 C (5) b 5 ()

43 . Síkgeometrii számítások ( oldl). Készítsünk ábrát át (.. ábr)! befogó tétel lpján = 9x 5x, innen x =. z átfogó: c = 5x = 5 cm, Pitgorsz tétele szerint = 5 = 6 honnn háromszög szögei: α 5,, β 6, 87, γ = 90. b C 90 x > 0 mitt = x, cm, cosα = 0. T 9x 90 T c 5x T 6x b.. ábr. ) z KF derékszögű háromszögre lklmzzuk Pitgorsz tételét: F = 5 cm. Innen P = P F = cm, PE = P P = cm 5, 0 cm. b) PK = r + PE összefüggésből PK = r + PE = 0 cm; c) sinα = összefüggésből α 0 5 0,... c) ábr r cm K KF cm E 90 P r cm 90 F P x. ) t, 0 cm ; b) t 6, 06 dm ; c) t 05, m.. ) t 9, 0 cm ; b) t =, 98 dm 55, 9 dm ; c) t 8, m ; d) t 6, 77 cm. 5. ) R 66, cm; b) R 0, dm; c) R 87, m. 6. I. eset: ) f = cos 5 8, 0cm, e = sin 96, 59 cm; 5 t b) Ekkor vásárolt mennyiség: = 59 cm. 09, E f 90 D e.6. I. ábr C 0

44 Trigonometri II. eset: ) f ' = sin 5, 9cm, e' =, cos cm; t ' b) Ekkor vásárolt mennyiség: ' = 86, 05 cm. 09, f F D e II. ábr C 0 7. ),5%; b) 8,70%; c) 9,07%; d) 95,9%. 5. Térgeometrii számítások ( oldl). ) α 5, 7 ; b) 90.. cos α = α 70, 5. D 6 90 T C E 5.. ábr. ) z x + 80 = h és z x + 0 = h egyenletekből ( x > 0, h > 0) álló egyenletrendszer megoldás: h = 0 6 m 8, 99 m, x = 0 m 8, 8 m. torony mgsság 0 6 m. h b) tgα = = α = 60. x

45 C h x 0 m 90 5 F T h 0 m h ábr. ) 9, ; b) 5 ; c) 69,0 ; d) 5, Vektorok koordinátsíkon (87. oldl). C = b, CD = b, C =, D = b, K =, HD = ( b + ). D C K b H 6.. ábr. 5 ; y b ; c cos 0 ;sin0 O x 6.. ábr. = p, b= r, c = q, d = m, e= n. 5

46 Trigonometri. ) 5; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ) b c 7 + ( ; ), + b c = 090; b) ( 5; ), = ; C ( 6; 8), C = 0; C + ( ; 8), C + = O = O = OC = OD = OE = OF = OG = OH =. sin, 5 = + O ; 0, O ;, OC 0; +, OD + + ;, + OE ; 0, OF OH + + ;. + + ;, OG 0; +, E D y C,5 5 5 O x F G H 6

47 7. szinusz és koszinusz szögfüggvények áltlános értelmezése (9-95. oldl). sin 05 = sin 5 = 0, 707, cos 05 = cos 5 = 0, 707; sin9 = sin = sin 5 0, 777, cos9 = cos = cos 5 0, 69; sin = sin = sin 6 0, 890, cos = cos = cos 6 0, 50; sin0 = sin 70 0, 997, cos0 = cos 70 0, 0; sin 57 = sin 77 0, 97, cos 57 = cos 77 0, 50; sin 850 = sin0 = sin 0 = 0, 5, cos 850 = cos0 = cos 0 = 0, 8660; sin ( 5 )= sin 5 = 0, 707 cos( 5 )= cos 5 = 0, 707; sin( 90 ) = sin0 = sin 50 0, 7660, cos( 90 ) = cos0 = cos 50 0, 68; sin( 876 ) = sin0 = sin 0, 067, cos( 876 ) = cos0 = cos 0, 95. ) kl, Z; sinα 0,60 0,79, 99 + k60 ; 7, 0 + l k60 6, 0 + k60 6, 80 + l k l60 sinα 0, , 9 + k60 ; 79, 7 + l60 k k k l60 0,5 0 + k l60 b) kl, Z. cosα 0,65 0,879 0, 87 + k60 8, 8 + k k60 ; k60 9, + l60, 5 + l l60 5, 8 + k60 8, 9 + l60 cosα 0, , 8 + k60 ; 70, 7 + l k k k l60,5 7

48 Trigonometri. sin ( 80 α)= sin α; cos90 + sin80 = cos( α) cos α; sin ( 80 + α)= sin ( α ); cos( 80 α)= cos ( 80 + α) ; sin α + cos α = sin50 cos 0.. ) 6 cm 5, 56 cm ; b) 66, dm ; c) 8, 96 mm ; d) 65, 75 m. 5. z = Rsinα összefüggés lpján: R 5,55 cm cm 5, dm,68 dm 7 7,9 dm,96 cm ,87,, 9,8 78, ) I. eset: háromszög hegyesszögű R sin γ R sin β R sin α tc = to + toc + toc = + +. C R R b g O R 7.6. ) I. ábr II. eset: háromszög derékszögű R sin β R sin α tc = toc + toc = + és sin γ = sin80 = 0, így R R R t = sin γ + sin β + sin α C. 8

49 C R R b O g R 7.6. ) II. ábr III. eset: háromszög tompszögű R sin( α + β) R sin β R sin α tc = to + toc + toc = + + és sin ( α + β)= sin γ R R R lpján t = sin γ + sin β + sin α C. C R b O g R R bc sinα b) t = és sinα = bc bc sinα összefüggések lpján: t R bc = = = ; R R bc sinα c) t =, b = R sinβ és c = R sinγ összefüggések lpján: bc sinα Rsin β Rsinγ sinα t = = = R sinα sin β sin γ; d) t = R sinα sin β sinγ és R = összefüggések lpján: sinα sin β sinγ t = R sinα sin β sinγ = sinα sin β sinγ =. sin α sinα 9

50 Trigonometri 8. tngens és kotngens szögfüggvények áltlános értelmezése (98. oldl) tgα,966,775,5 0,98 0,5 ctgα 0 0,5095 0,60 0,09 0,89,60. ) k ; tgα 0,60 0,79 0,005 8, 95 + k 80 87, 8 + k k 80 7, 87 + k 80 0, 9 + k 80 tgα 0 0,5 k k 80 5, + k 80 b) k. ctgα -0, 0,879 5, 7 + k k 80 8, 68 + k k 80 5, 0 + k 80 ctgα 0,05 0,5 89, 8 + k k 80 6, 05 + k 80. tg( 80 α)= tg( α ); ctg90 + tg80 = ctg ( α )+ ctgα; tg( 80 + α)= tgα; ( tg ctg ( 80 α)= ctgα; sin cos 0 ctg 5 )( ctg α tg 5 ) α =. 50

51 . (rdián) 6 (fok) cosα tgα 0 (rdián) (fok) sinα 0 ctgα 0 9. szinusz- és koszinuszfüggvény grfikonj, jellemzése (09. oldl). y sin x y y cos x y cos x 5 5 x y sin x 5

52 Trigonometri Értelmezési trtomány f ( x)= = sin x g( x)= cosx h( x)= sin x i( x)= cos x+ [ ; ] ; [ 60 ; ] [ ; ] ; ; Periódus Nem periodikus Nem periodikus Zérushely k 5 + k 6 + l, 6 hol l 0 ;; ;; 5678 ; ; ; ; [ ] 5 + k, + k Értékkészlet Mximumhely Mximum k Minimumhely Minimum k 5 + k l, hol 0 ;; ;; l { } 0 + k + l, hol 0 ;; ;; l { } 6 + k + k Szigorún monoton nő k + k ; k 6 + l, 6 l 0 ;; ;; 5678 ; ; ; ; ; + + k ; k Szigorún monoton fogy k 5 + k ; 6 + k 6 + l, 6 l 0 ;; ;; 5678 ; ; ; ; [ ; ] 5 + k ; + k Pritás Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln 5

53 . ) f ( x)= x x = cos sin ; b) g( x)= cos x = sin x+ ; 6 c) h( x)= x x = + cos sin.. 5 ) f 6 = ; f = ; b) g 5 6 = ; g =.. ) igz; b) igz; c) hmis; d) hmis; e) hmis; f) igz; g) hmis ) x = + k, k ; b) + k x + k, k ; 6 6 c) 7 + k x + k, k ; d) 7 + k x + k, k ; 5 e) x = + k, k ; x = + l, l ; f) + k x + k, k tngens- és kotngensfüggvény grfikonj, tuljdonsági (6. oldl). ) b) y y tg x y y ctg x O x O x 0.. ) ábr 0.. b) ábr 5

54 Trigonometri c) y y x tg d) y y ctg x O x O x Értelmezési trtomány f ( x)= tg x g( x)= ctg x h( x)= tg x 5 + k, \ 6 k k \, k + k, \ k i( x)= ctg x+ \, + k k let Periódus Zérushely k, 96 + k + k 0, 97 + k k 6 Szélsőérték nincs nincs nincs nincs Szigorún monoton nő k Szigorún monoton fogy k Pritás + k ; k 6 Nem páros, nem pártln k ; + k + + k ; k Pártln + k ; + k Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln. 5 ) f 6 0 =, f = ; b) g 5 6 = 9 g = 0. 5

55 . ) x = + k k, ; b) + k < x< + k, k ; c) + k < x< + k, k ; d) + k x + k, k ) + + k, k l, l ; b) l l, ; c) + k, k d) + k, k { + l, l }; e) l l 6, ; f) l l k k +,,. 5. ) i; b) h; c) h; d) h. 6. izonyítás: ctg α α cos + α + tg α α = = sin =. cosα sin + 7. ), b) C E C ív C sin tg D 0.7. ) és b) ábr z ábr lpján: t < CΔ tckörcikk és t < Ckörcikk t, így sinα α EΔ < α és < tg α. Innen sinα < α és z α < tgα egyenlőtlenségek dódnk. 55

56 Trigonometri α + β sinα + sin β c) I. eset: α = β sin = sinα =. II. eset: α β. Feltehető, hogy β > α. Készítsünk ábrát! α + β hegyesszögek szinuszánk definíciój lpján: FH = sin, = sinα és CD = sin β. sinα + sin β z EG z DC trpéz középvonl, így EG =. Mivel OE < OF FH < EG, ezért fentiek mitt, bármely αβ, hegyesszögre sinα + sin β sin α + β dódik. ( szinuszfüggvény grfikonj 0; on konkáv.) OD α β O b D sinb E OF sinα sinβ C c) ábr F G H O sin α β sin α + β tgα + tg β d) I. eset: α = β tg = tgα =. α β. Feltehető, hogy β > α. Készítsünk ábrát! + hegyesszögek tngensének definíciój lpján: C = tg α β, = tgα és D = tgβ. tgα + tg β Legyen F D szksz felezőpontj, ekkor F =. Mivel O < OD, ezért belső szögfelezőre vontkozó tétel szerint C < CD. Így C < F, honnn fentiek mitt bármely, b hegyesszögre tgα + tg β tg α + β dódik. ( tngensfüggvény grfikonj 0; -on konvex.) D tgβ tgα tgβ F C tg α β tgα D D F F C C α β O b 0.7. d) ábr O 56

57 . Sktulyelv, tétel és megfordítás, egyszerű gráfelméleti foglmk (-5. oldl). ) 5; b) 9; c) ; d) 7; e) ; f).. ) ; b) 6; c) 6.. z osztály 7 fős.. z osztály fős. 5. Igz. 6. n-féle osztási mrdék lehetséges: 0; ; ; ; n, így n + db egész szám közt biztosn vn két zonos osztási mrdékú különbségük oszthtó lesz n-nel. ( ) szám közt 7. Mivel 5-féle 5-ös osztási mrdék lehetséges (,, 0, +, +), ezért = 5 + biztosn vn 5 db zonos mrdékú, így m-mel jelölve mrdékot z öt szám összege: ( 5+ m)+ ( 5b+ m)+ ( 5c+ m)+ ( 5d + m)+ ( 5e+ m)= 5( + b+ c+ d + e)+ 5m, zz oszthtó 5-tel es osztási mrdékokt -féle sktulyáb sorolhtjuk (,,, 0, +, +, +), és z egyikben biztosn vn két szám z ötből h sktulyán belül zonos mrdékuk, kkor különbségük, h ellentétes előjelű, kkor z összegük lesz oszthtó 7-tel. 9. négyzetszámok 5-ös osztási mrdék -féle lehet ( 0, +, ), melyből következik z állítás ábr. Nem. 57

58 Gondolkodási módszerek, kombintorik, vlószínûségszámítás. Indirekt: tegyük fel, hogy minden csúcs fokszám különböző ( 0; ; ; ; ; n ), mi ellentmondásr vezet 0 n.. ( ) ) Igz; megford.: H egy négyszög átlói felezik egymást, kkor z tégllp (hmis). b) Hmis; megford.: H egy háromszög egyenlő szárú, kkor z egyik súlyvonl merőleges z egyik oldlár (igz). c) Igz; megford.: H egy háromszög egyik oldl fele egy másik oldlánk, kkor háromszög belső szögeinek rány : : (hmis). d) Hmis; megford.: H egy négyszögnek vn köré írhtó köre, kkor két szögének összege 80 (igz). e) Igz; megford.: H egy négyszög oldli egyenlők, kkor z átlói merőlegesen felezik egymást (igz). f) Igz; megford.: H két pozitív egész szám közül z egyik oszthtó 9-cel, kkor két szám legkisebb közös többszöröse 5 (hmis).. Mivel egy cm oldlú, zz 6 cm területű négyzetbe legfeljebb 8 cm területű háromszög írhtó, és bármely pillntbn vn olyn cm oldlú négyzet, melyben vn hngy, ezért z áltluk meghtározott háromszög területe nem lehet ngyobb 8 cm -nél = 00 +, így ngy négyzetet 00 db 0 cm-es oldlú kis négyzetre vágv biztosn vn olyn kis négyzet, melyben vn leglább pont. Egy ilyen kis négyzet lefedhető egy 0 57 cm területű körrel, melyből következik feldt állítás.. evezető kombintorikfeldtok, szorzási és összedási szbály (9-0. oldl)... ) 0; b) ; 0.. ) 6; b) 0; c). 58

59 5. ) 6; b) 6; c) 9; d) 7; e) ) 6; b) 5; c) 5; d) ) 7; b) 8; c) 8; d) ; Összesen 5 munkhely vn, melyek mindegyike lklmzht fiúkt, pedig lányokt is. fiúk mindegyike 5-féle helyen válllht munkát, két lány pedig z első esetben --féle helyen, második esetben -, illetve -féle helyen. Így z első esetben 5 = 5-féleképpen, második esetben 5 = 750-féleképpen helyezkedhetnek el. 0. ) ; b) 0; c) 95 6 ; d) ; e) ; f) egyszerűsítés után: n n n n Vriációk (5. oldl). )! 7! ; b) 5..! 8!....! 8!, illetve! 8!! 0! ) 6 5 ; b) esetben se -s, se -es nincs z öt dobás közt 6 esetben lesz -es vgy -s dobások közt; c) Se -es, se 5-ös esetben lesz -es vgy 5-ös 6 esetben lesz; nincs -es esetben vn -es 6 5 esetben; 5 5 hsonlón: vn 5-ös 6 5 esetben, így szit-formul lpján ( ) ( )= 550 esetben lesz -es és 5-ös dobások közt. 59

60 Gondolkodási módszerek, kombintorik, vlószínûségszámítás = ) 5! = 0; b)! = 96; c) ! = 7096; d) = 670; e) = ) z egyes helyiértéken minden lehetséges számjegy = -szer fordul elő z egyesek összértéke: ( )= 5. tízes helyiértéken is minden lehetséges számjegy -szer fordul elő tízesek összértéke: ( ) 0 = 5 0. Hsonlón százsok összértéke: ( ) 00 = 5 00, z ezreseké: ( ) 000 = 5 000, tízezreseké: ( ) = z ötjegyű számok összege: 5 ( )= b) z előzőhöz hsonló gondoltmenettel (ügyelve rr, hogy 0 nem állht elöl): z egyesek összértéke: 8 0, tízesek összértéke: 8 0 0, százsok összértéke: , z ezresek összértéke: , tízezresek összértéke: z ötjegyű számok összege: = c) z összes képezhető 5-jegyű szám összege fenti gondoltmenettel: = csk pártln számjegyeket trtlmzó 5-jegyű számok összege ) lpján páros számjegyet trtlmzó 5-jegyű számok összege: = d) feldtnk ez része már inkább versenyszintű, több odfigyelést igénylő problém. Nézzük z összeszámlálást! Először htározzuk meg z utolsó két számjegyből álló kétjegyű számok összegét! lehetséges végződések: 0, 08, 0, 0, 60, 80, vlmint, 6,, 8,, 6, 8, 5, 56, 6, 68, 7, 76, 8, 9, 96. zon kétjegyű számok mindegyike, melyek számjegyei között vn 0, = 6 drb számbn szerepel. Ezek összege ( ) 6 = 5. zon kétjegyű számok mindegyike, melyek számjegyei között nincs 0, 7 7 6= 9drb számbn szerepel. Ezek öszszege ( ) 9 = = 566 Ezek után fogllkozzunk z első három számjegyből álló számok összegével. Nézzük meg, hogy zokbn számokbn, melyek utolsó két számjegye nem trtlmz 0-t, hányszor szerepelnek z egyes számjegyek z első helyen! Kezdjük z -sel! z egyes csk zokbn számokbn szerepelhet z első helyen, melyek utolsó két számjegye között nem szerepel. Ilyen végződés db vn. Mind esetben második helyre 7, hrmdik helyre 6 számjegy közül válszthtunk, így z -es z első helyen 7 6-szor szerepel. Így ezek összege Hsonlón lehet megnézni többi számjegyet is. Így tízezresek összege ebben z esetben ( ) + 9 ( + 6) + ( + 8) [ ] = 60