Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása"

Átírás

1 Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek. Másodfokú függvény, másodfokú egyenlet 8. másodfokú egyenlet megoldóképlete. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feldtok. gyöktényezős lk. Gyökök és együtthtók közötti összefüggés 5. Másodfokúr visszvezethető mgsbb fokú egyenletek 6 6. Másodfokú egyenlőtlenségek 7 7. Négyzetgyökös egyenletek, egyenlőtlenségek 8 8. Számított középértékek 9 9. Szélsőérték-feldtok 0. Másodfokú egyenletrendszerek III. Hsonlóság és lklmzási. Vizsgálódás térben 5. Középpontos hsonlóság 6. Hsonlósági trnszformáció 8. hsonlóság lklmzási 9 5. Hsonló síkidomok kerülete és területe, hsonló testek felszíne és térfogt 9 6. Egyéb nem egybevágósági trnszformációk 7. Kerületi és középponti szögek 8. Húrnégyszögek, lklmzások IV. Trigonometri. Távolságok meghtározás rányokkl 6. hegyesszögek szögfüggvényei, összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között 8. Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között 0. Síkgeometrii számítások 5. Térgeometrii számítások 6. Vektorok koordinátsíkon 5 7. szinusz és koszinusz szögfüggvények áltlános értelmezése 7 8. tngens és kotngens szögfüggvények áltlános értelmezése szinusz- és koszinuszfüggvény grfikonj, jellemzése 5 0. tngens- és kotngensfüggvény grfikonj, tuljdonsági 5 V. Gondolkodási módszerek, kombintorik, vlószínûségszámítás. Sktulyelv, tétel és megfordítás, egyszerű gráfelméleti foglmk 57. evezető kombintorikfeldtok, szorzási és összedási szbály 58. Vriációk 59. Permutációk, kombinációk 6 5. Vegyes feldtok kombintorik köréből 6 6. Vlószínűségi kísérletek, vlószínűség szemléletes foglm 6

2 gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése (8-9. oldl). ) 5; b) ; c) ; d) 5; e) 7; f) ; g) 70; h) ; i).. ) ; b) ; c) 5; d) ; e) 0 (Nem egész!); f) (Nem egész!); g) 0; h) ; i) kifejezés biztosn pozitív, ezért ekvivlens átlkítást végzünk, h kifejezés négyzetét négyzetgyök lá tesszük: ( ) = = ( )( ) = + = + = = = ; j) z előzőhöz hsonlón: ( ) = ( 6 0 ) = = 8 = 6.. ) bl oldl ( ) < jobb oldl ( ); b) bl oldl ( ) > jobb oldl ( 5); c) bl oldl < jobb oldl ( ).. ) Indirekt módon bizonyítv: Tegyük fel, hogy rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként! = p, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz p q q, + és p, q reltív prímek. q-vl vló beszorzás után emeljük négyzetre z egyenletet! q = p Mivel z egyenlet bl oldl többszöröse, ezért z egyenlet jobb oldlán álló p oszthtó kell, hogy legyen -ml, mi csk úgy teljesülhet, h p is oszthtó -ml, tehát p 9-cel is oszthtó. z egyenlet bl oldl is oszthtó 9-cel, zz q oszthtó -ml, tehát q is oszthtó -ml. p és q is oszthtó -ml, tehát nem reltív prímek. feltételezésünk lpján ellentmondásr jutottunk, vgyis feltételezésünk miszerint rcionális szám hmis, így csk irrcionális szám lehet. b) z előzőhöz hsonlón... c) Indirekt módon bizonyítv: Tegyük fel, hogy 0 rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként! 0 = p, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz p q q, + és p, q reltív prímek.

3 q-vl vló beszorzás után emeljük négyzetre z egyenletet! 0 q = p Mivel z egyenlet bl oldl páros, ezért z egyenlet jobb oldlán álló p páros kell, hogy legyen, mi csk úgy teljesülhet, h p is páros, tehát p -gyel is oszthtó. z egyenlet bl oldl is oszthtó -gyel, zz q oszthtó -vel, tehát q páros. p és q is páros, tehát nem reltív prímek. feltételezésünk lpján ellentmondásr jutottunk, vgyis feltételezésünk miszerint 0 rcionális szám hmis, így 0 csk irrcionális szám lehet. d) Indirekt módon bizonyítv: Tegyük fel, hogy rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként! = p, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz p q q, + és p, q reltív prímek. q-vl vló beszorzás után emeljük négyzetre z egyenletet! q = p Mivel z egyenlet bl oldl többszöröse, ezért z egyenlet jobb oldlán álló p oszthtó kell, hogy legyen -ml, mi csk úgy teljesülhet, h p is oszthtó -ml, tehát p 9-cel is oszthtó. z egyenlet bl oldl is oszthtó 9-cel, zz q oszthtó -ml, tehát q is oszthtó -ml. p és q is oszthtó -ml, tehát nem reltív prímek. feltételezésünk lpján ellentmondásr jutottunk, vgyis feltételezésünk miszerint rcionális szám hmis, így csk irrcionális szám lehet. e) Indirekt módon bizonyítv: + Tegyük fel, hogy ( ) rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként! feldt szerint nem négyzetszám, zz prímtényezős lkjábn leglább egy kitevő pártln szám. k k k = p p p n n lkbn legyen z i-edik prímtényező k i kitevője pártln kitevő! m =, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz mq, + és m, q reltív prímek, és q m >. q-vl vló beszorzás után emeljük négyzetre z egyenletet! q = m Mivel z egyenlet bl oldl többszöröse, ezért z egyenlet jobb oldlán álló m oszthtó kell, hogy legyen -vl, zz minden prímtényezőjével (így p i -vel is!). Mivel m négyzetszám, ezért prímtényezős felbontásábn minden prímhtvány kitevője páros, így p i kitevője is. Mivel bl oldlon p i kitevője pártln, ezért ez ellentmondás, vgyis feltételezésünk miszerint rcionális szám hmis, így csk irrcionális szám lehet. 5. ) Indirekt módon bizonyítv: Tegyük fel, hogy 5 rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként! 5 = p, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz p q q, + és p, q reltív prímek. Rendezve z egyenletet 5 = p+ q q kifejezéshez jutunk, melynek jobb oldl rcionális, de z előző feldt lpján 5 irrcionális szám, így ellentmondásr jutottunk. b) bizonyítás során lklmzzuk z előző feldtbn hsznált lépéseket. c) Indirekt módon bizonyítv: Tegyük fel, hogy + 5 rcionális szám, zz felírhtó két egész szám hánydosként!

4 gyökvonás + 5 = p, hol tört tovább már nem egyszerűsíthető, zz p q q, + és p, q reltív prímek. q-vl vló beszorzás után négyzetre emelve, mjd rendezve z egyenletet 5q = p 8q. Ebből 5 =, melynek bl oldl irrcionális, jobb oldl rcionális, mi ellentmondás. p 8q q. négyzetgyök lklmzási (-. oldl). ) 0; b) 0; c) 70; d) ; e) ) 7 = 7, hol {} 0 ; b) b c c c + +, hol b, c 0 ; c) x ( ) {}, hol x.. ) 7; b) ( ) 57 ; c) ; d) 7 ; e) ) ; b) ; c) 5 ; d) 6 5; e) 0 + 5; f) 7 + ; g) ; h) ) bl oldl; b) jobb oldl; c) jobb oldl. 6. ) 8 6 5; b) ) b) + 9 x {} 0, hol \ ; x + +, hol {} 0 \{} ; +, hol y \{ 5} ;

5 d) Közös nevezőre hozás után: ( b + ) ( b ) b ( b + ) b b b b ( ) ( + ) felbontv zárójeleket számlálóbn, összevonás után: b + b b + b b + \ 6. ; hol b { } = b + b, 8. Gyöktelenítsük z összeg tgjink nevezőjét! n n ( n+ ) n nevezők értéke, így kifejezés: n+ n = n +. kifejezés értéke kkor rcionális, h négyzetgyök ltt négyzetszám áll. Mivel n < 008, így z n + lehetséges értékei: ; ; 9 ; 6 ;... 96( = ), zz z n lehetséges értékei: 0; ; 8; 5;... 95, de n pozitív, tehát csk -féle értéket vehet fel n n n n ( ) + ( + ) + ( + ) ( + + ) = + = n n =, hol minden tg felírhtó két tört különbségeként: n+ n = n n+ = n + végeredményben második tg bármely n + esetén pozitív, így kifejezés értéke kisebb, mint Felírv z állítást n + >, rendezés után 00 n + > 0 000, honnn n >, zz n + > 00, tehát n +. számok n-edik gyöke (0-. oldl). ) ; b) ; c) ; d) 0,; e) 0; f) ; g) 0; h) 5.. ) ; b) b ; c) c; d) d; e) e; f) f = f ; g) g ; h) h 6 ; i) i ; j) j 5 ; k) k. 5

6 gyökvonás. ) ; b) ; c) ; d) 5; e) ; f) ; g) ; h) Felhsználv, hogy 6+ 0 = 6+ 5, vlmint = ( 6+ 0) ( 6 0) 6+ 0 i) 5 = 5; j) 0 = ; k). = 6 0 = ; ( ) :. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás (6. oldl). ) y O x D f = ; R f = ; zérushely: x = ; monotonitási viszonyok: szigorún monoton növő; szélsőértéke: nincs; pritás: nem páros, nem pártln... ) ábr b) y O x D f = ; R f = ; zérushely: x = ; menete: szigorún monoton növő; szélsőértéke: nincs; pritás: nem páros, nem pártln... b) ábr c) D f = ; R f = ; zérushely: x = 9; y O x menete: szigorún monoton csökkenő; szélsőértéke: nincs; pritás: nem páros, nem pártln... c) ábr. 8 ) ; b) 0; c) ; d) 5; e) 6 b. 6

7 . ) jobb oldl; b) jobb oldl.. 6 ) 8; b) b ; c) 0 c 8 6 ; d) ; e) 675; f) ; g) x. 5. ) jobb oldl; b) bl oldl; c) jobb oldl. 6. ) ; b) 8 5 ; c) 5 7; ( ) + d) Felhsználv z b = b b b ( ) = ; 5 e) Felhsználv z + b = ( + b) b b ( ) = ( ) zonosságot: ( ) zonosságot: 7

8 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek. Másodfokú függvény, másodfokú egyenlet (-. oldl).. ) ( ) + ) x x ; b) x + 9 8; c) x ( ) ( ) ; f) + y x ; x 8 ; x 5 ( ) ; h) ( x + 5) +. D f = ; + R f = {} 0 ; zérushelye: x = 0; menete: h x 0, kkor szigorún monoton csökkenő, h x = 0, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = 0 helyen f ( x)= 0 értékkel, mximum nincs; pritás: páros. ; O x.. ) ábr b) y Tuljdonsági megegyeznek z előző függvényével. O x.. b) ábr 8

9 c) D f = ; y R f = {} 0 ; zérushelye: x = 0; O x menete: h x 0, kkor szigorún monoton növő, h x = 0, kkor szigorún monoton csökkenő; szélsőértéke: mximum vn x = 0 helyen f ( x)= 0 értékkel, minimum nincs; pritás: páros... c) ábr d) y O x D f = ; + R f = {} 0; zérushelye: x = ; menete: h x, kkor szigorún monoton csökkenő, h x, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = helyen f ( x)= 0 értékkel, mximum nincs; pritás: nem páros, nem pártln... d) ábr e) y O x D f = ; + R f = {} 0; zérushelye: x = ; menete: h x, kkor szigorún monoton csökkenő, h x, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = helyen f ( x)= 0 értékkel, mximum nincs; pritás: nem páros, nem pártln... e) ábr 9

10 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek f) y D f = ; R f = [ ; [ ; zérushelyei: { ; }; menete: h x 0, kkor szigorún monoton csökkenő, h x 0, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = 0 helyen f ( x)= értékkel, mximum nincs; pritás: páros. O x.. f) ábr g) y O x D f = ; R f = [ ; [ ; zérushelye: nincs; menete: h x 0, kkor szigorún monoton csökkenő, h x 0, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = 0 helyen f ( x)= értékkel, mximum nincs; pritás: páros... g) ábr h) [ [ D f = ; R f = ; ; y zérushelyei: { ; }; menete: h x, kkor szigorún monoton csökkenő, h x, kkor szigorún monoton növő; O x szélsőértéke: minimum vn x = helyen f ( x)= értékkel, mximum nincs; pritás: nem páros, nem pártln... h) ábr 0

11 i) ] ] D f = ; R f = ; ; y zérushelyei: { ; } ; menete: h x, kkor szigorún monoton növő, h x, kkor szigorún monoton csökkenő; szélsőértéke: mximum vn x = helyen f ( x)= értékkel, O x minimum nincs; pritás: nem páros, nem pártln... i) ábr j) O x [ [ D f = ; R f = ; ; y zérushelyei: { 7 ; }; menete: h x 5, kkor szigorún monoton csökkenő, h x 5, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = 5 helyen f ( x)= értékkel, mximum nincs; pritás: nem páros, nem pártln... j) ábr. ) [ ] R f = 0 ; ; y zérushelye: x = 5; menete: h < x, kkor szigorún monoton csökkenő, h 5 x, kkor szigorún monoton növő; O x szélsőértéke: minimum vn x = helyen f ( x)= értékkel, mximum vn x = 5 helyen f ( x)= 0; pritás: nem páros, nem pártln... ) ábr

12 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek b) R f = 5 ; ; y zérushelye: x = ; menete: h 5< x, kkor szigorún monoton növő, h x, kkor szigorún monoton csökkenő; szélsőértéke: minimum nincs, mximum vn x = helyen f ( x)= ; pritás: nem páros, nem pártln. O x ] ].. b) ábr c) [ [ R f = ; ; y zérushelyei: { ; }; menete: h x, kkor szigorún monoton csökkenő, h x, kkor szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum vn x = helyen f ( x)=, mximum O x nincs; pritás: nem páros, nem pártln... c) ábr d) y O x 5 R f = ; 9 ; zérushelye: x = 0; menete: szigorún monoton növő; szélsőértéke: minimum nincs, mximum vn x = helyen f ( x)= 9; pritás: nem páros, nem pártln... d) ábr. ) minimum: f ( 5)=, mximum: f ( 8)= 6; b) minimum: nincs, mximum: f ( 0)= 5; c) minimum: f ( 5)= 8, mximum: nincs; d) minimum: f ( )= 8, mximum: nincs.

13 5. ) x = ; b) x = 6, x = 8; c) x = 5, x = ; d) x = 6, x = 5; 5 e) x = 6, x = ; f) x =, x =5; g) x = 7, x =.. másodfokú egyenlet megoldóképlete (50. oldl). ) x = 5, x = 7; b) x =, x =; c) x =, x = ; 5 d) x = +, x = ; e) x = 5 ; f) nincs megoldás; g) nincs megoldás.. ) x =, x = ; b) x =, x = ; c) x =+ 5, x = 5; d) x =, x =.. ) x =, x = ; b) x =, x = 9; c) x = ; d) x = ) < 9 5 ; b) b< vgy < b ; c) 5 < c. ) = 6 5 ; b) nincs ilyen b; c) c = 8. ) < 7 ; b) 0 < b < 0; c) c < 59.. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feldtok ( oldl). keresett tört 7.. keret szélessége,5 cm, kép oldli 5 cm és 0 cm hosszúk.. 5 fő megy kirándulni, fejenként 800 Ft-ot kell befizetniük.

14 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek. kosztüm árát először 0%-kl emeltük. 5. keresett szám 7 vgy konvex sokszög oldlú. 7. T = 67 cm. 8. gyorsbb utó km-re, lssbb, km-re volt. 9. teherutó sebessége 75 km h, menetideje, h; személygépkocsi sebessége 00 km h, menetideje,8 h. 0. Külön-külön 6 és 0 ór ltt töltik meg medencét.. gyöktényezős lk. Gyökök és együtthtók közötti összefüggés (6-6. oldl). ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ) x x ; b) x 8 x 7 ; c) x+ x 5 ; d) ( x+ ) ( x ); e) ( x ) ( x ); f) ( x+ ) ( 5x+ 7).. ) x + 5 \{ 8 ; }; b) x + 0 \{ ; } ; x + 8 x + c) x + 5 \ ; ; d) x 7 \ 5;. x + x + 5. ) x + x 0; b) x 9x+ 8; c) x + 8x+ 77; d) x 7x+ 0; e) x + 5x z egyenlet diszkrimináns pozitív, így vnnk megoldások. b ) x 7 + x b + = = = = ; x x xx c c 5 b c 69 b) x + x = ( x+ x) xx = = ; 69 c) x x x + x 69 + = = = ; x x xx 5 0

15 d) Legyen x > x! 7 89 x x = ( x x) ( x+ x)= x + x xx ( x+ x)= ; e) Legyen x > x! x x = ( x x) ( x + xx + x )= x + x xx ( x + x + xx)= 5. 6x + x = ) feldt b) pontj lpján: b c () b c 0 és ( ) = 5 feltételeknek kell teljesülnie. 9 () p és ( ) p =, zz p = bc 7. xx + xx = xx ( x + x ), zz = 8, honnn p = 0 (visszhelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy ekkor létezik z egyenletnek megoldás). 8. ) szükséges és elegendő feltétel, hogy teljesüljenek z lábbi állítások: c b () b c 0 és ( ) > 0 és ( ) > 0 () p 8 vgy 8 p és ( ) 0< p 0 < p 8. és ( ) p < b) szükséges és elegendő feltétel, hogy teljesüljenek z lábbi állítások: c b () b c 0 és ( ) > 0 és ( ) < 0 () p 8 vgy 8 p és ( ) 0< p 8 p. és ( ) < p 5

16 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek 5. Másodfokúr visszvezethető mgsbb fokú egyenletek (67. oldl). ) x =+, x =, x =+ 9, x = 9; b) x =+, x =, x =+ 5, x = 5; c) x =, x = ; d) x = 5, x = ; e) x =+, x = ; 5 f) x = 5, x =.. ) x = 6, x = 0; b) x =, x = ; ( ) + + =. c) Felbontv zárójeleket x + x x x 5 9 ( ) Új ismeretlen bevezetésével y:= x + x másodfokú egyenletet kpunk: y + y = 9, melynek gyökei y =, y =. Visszhelyettesítve: x + x = és x + x =. Ezen egyenletek megoldási: x = +, x =, illetve x = 5, x =. d) y:= x + 5x bevezetésével: ( y+ ) y = 0, melynek gyökei y =, y =, így 5 x + 5x = és x + 5x =, melyek megoldási x, = ± 5, illetve x, = ±. e) z előzőekhez hsonlón y:= x + 6x+ 7 bevezetésével y =, y = dódik, honnn visszhelyettesítés után x = 5, x =, x = + 5, x = 5. y 5 y: = x 6x = y 5, y ( y) ( y+ 5) y( y+ 5)= 5( y), y y + 5 melynek gyökei y =, y = 0 jó megoldások. Visszhelyettesítés után z eredeti egyenlet megoldási: x = 0, x = 6, x = + 7, x = 7. g) két szélső, illetve két középső zárójel összeszorzás után ( x + 5x 6) ( x + 5x+ 6) 60 = 0, melyből y:= x + 5x 6 helyettesítéssel végül csk két megoldást kpunk: x = 7, x =.. ) x -tel vló leosztás (x = 0 nem megoldás!) és kiemelés után: x + x 0 x + x =. Vezessünk be egy új ismeretlent! y: = x+ ( y ) y = 0, melynek megoldási: x 5 5 y =, y = = x+ = x + x x. 5 5 eszorozv x-szel z egyenleteket, megoldások: x =, x =, x = +, x = ; 6

17 b) z előzőhöz hsonlón dódnk gyökök: x =, x = ; c) x =, x =, x =, x =. 6. Másodfokú egyenlőtlenségek (7. oldl).. ) x< vgy < x; b) x ; c) x vgy x; d) < x < ; e) x \{ 6} ; f) x = 5 ; g) nincs megoldás; h) x ; i) x =. ) x 5 ; b) nincs megoldás; c) x > ) < x< 6 vgy 8< x; b) x< vgy < x< 5; c) x 7 {} ; \ ; 5 d) 5< x vgy < x 5; e) < x < ; f) x< 6 vgy 5< x< + 6 vgy 6< x; g) x< 0 0 vgy < x< vgy < x. 5. ) Két különböző megoldást kkor kpunk, h diszkrimináns pozitív, zz ( p 5) ( p )> 0, honnn p < vgy < p, és p 0, zz p feltételeknek kell teljesülni, mert különben elsőfokú egyenletet kpunk, melynek nem lehet két különböző megoldás. 5. b) z előző feldthoz hsonlón p + p+ 85 > 0 egyenlőtlenséget kpjuk, melyből p < 7 vgy 5 < p. ) grfikus előjelvizsgáltr gondolv z egyenlőtlenség csk kkor teljesülhet minden x-re, h bl oldli kifejezés grfikonj egy lefelé nyitott prbol, melynek nincsenek zérushelyei, zz m < 0és D < 0. két feltételből kpott megoldáshlmz metszete: m < 0. b) grfikus előjelvizsgáltr gondolv z egyenlőtlenség csk kkor teljesülhet minden x-re, h 7

18 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek bl oldli kifejezés grfikonj egy felfelé nyitott prbol, melynek nincsenek zérushelyei, zz m + < 0 és D < 0. két feltételből kpott megoldáshlmz metszete: < m < fentiekhez hsonlón q < 0 és D 0 feltételeknek kell teljesülniük, melyekből q 7 dódik Négyzetgyökös egyenletek, egyenlőtlenségek ( oldl).. ) x = 6; b) x = 76 ; c) x = 8; d) x = ; 5 e) x = 6; f) x = ; g) x =, x =; h) x = 8. ) x = ; b) x = 9; c) x = 9 ; d) x = ; e) x = ) x = 7, x = 7; b) x = 5, x = 9; c) x =, x = ; d) x = 8.. ) x = ; b) x = 7; c) x = ; d) x = ; e) x =. 5. ) 9 x; b) x ; c) x < 7 ; d) x ; e) x < ; 5 f) < x; g) 5 < x vgy x = ; h) 6< x és x 5; i) x = ) Négyzetre emelve z egyenlet két oldlát: x+ 5 + x + x + x 5 = 6, átrendezés és osztás után: x + x 5 = 7 x, újbb négyzetre emeléssel x + x 5= 9 x+ x, honnn x = (ellenőrizve jó megoldás). b) z előzőhöz hsonlón, kétszeri négyzetre emeléssel 9x 6x 95= 0 egyenletet kpjuk, melyből csk z x = 5 jó megoldás. c) Négyzetre emelve két oldlt, mjd rendezve z egyenletet: x + 7x 6 = x+, osztás és újbb négyzetre emelés után: x 5x = 0, melynek jó megoldás csk z x = d) x =, x =7; 8

19 e) x =, x = ; f) x =, x =. 7. ) lphlmz: x. H x <, kkor z egyenlőtlenség minden x-re teljesül, mit z lphlmz és vizsgált trtomány megenged, zz x <. H x, kkor négyzetre emelés ekvivlens átlkítás (mert mindkét oldl értéke nemnegtív): x+ > x + 6x+ 9, melynek z lphlmzb és vizsgált trtományb is beleeső megoldási: x <. Összefogllv megoldásokt ( részmegoldások uniój): x <. b) Csk olyn x-ekre lehet megoldás z egyenlőtlenségnek, melyekre bl oldl értéke nemnegtív, zz h x 5, továbbá jobb oldl is értelmezve vn, zz 7 x. Négyzetre emelve (ekvivlens!) és rendezve z egyenlőtlenséget: x x+ 0, melynek mindkét feltételnek eleget tevő megoldási 7 x. c) z előzőkhöz hsonló gondoltmenettel < x dódik. d) x ; e) x < Számított középértékek ( oldl). ) = 7, G = 5; b) = 5, G = ; c) =, G = 86; 6 97 d) =, G = ; e) =, G = , ( ). z átfogó hossz 6, 97 cm. ( ) 5. z átfogó hossz 8, 8 cm. 9

20 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek x( 6 x) x -szel háromszög befogóit! háromszög területe: T( x)=, melynek mximális értéke számtni és mértni közép közti összefüggés lpján: b b b + + b. 6. Jelöljük x-szel és ( 6 ) ( ) x x T = + 6 mx = 8 = 6, és T x x = 6 x, zz háromszög egyenlő szárú, melynek befogói 8 cm hosszúságúk. ( ) függvény kkor veszi fel mximumát, h 7. -vl és b-vel jelölve befogókt háromszög területének felírásából b = 6. háromszög befogóink összegét ( + b) lulról becsüljük z + b b egyenlőtlenség lpján: + b b = 6 =, hol z egyenlőség = b esetén teljesül, zz 6 cm befogójú, egyenlő szárú derékszögű háromszögben legkisebb befogók összege f ( x)= x + + x értéke f ( x)=. x = esetén teljesül, zz minimum helye x =+, x =, x 0. Q( 9; 5)= 5 5 és H ( 95 ; )= ; 7 Q( ; 8)= és H ( ; 8)= ; 5 Q( ; )= és H ( ; )= ; Q 5 9 ; 5 = 50 H 5 0 ; 5 = 6 Q ; 7 = 58 H 8 ; 7 =. sebességek átlg: ( 70; 90) = 80. z átlgsebességg kiszámítás: összes út s átlgsebesség = = = = H ( 70;90)= 78, 75. összes idõ s s km z eltérés: ( 70; 90) H( 70; 90)=, 5 h

21 . ) + b ( + b) b b 0 ( b) 0; poz. neg. b) b b b ( + b) b b( + b + b ) 0 b + b ( ) ; c) b b + + ( + b+ b ) ( + b ) 0 b ( ) ; d) + b b + b b b. = b.. háromszög befogóit -vl, illetve ( )-vl jelölve z átfogó hossz + négyzetes és számtni közép közti reláció lpján lulról becsülhető: ( ) ( ), mi ( ), hol z egyenlőség = esetén teljesül, tehát z = cm befogójú, egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogój legrövidebb. ( ) 9. Szélsőérték-feldtok (9-9. oldl). ) = 5 m s és b = 0 m s ; b) t = 6 s múlv; c) d (m) O t (s) 9.. c) ábr d) s-nál 5 m mgsn.

22 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek. ) T :[ 00 ; ] ; T( )= 0 ; b) T :[ 00 ; ] ; T( b)= 0b b ; c) T mx = 00 m.. H -vl és b-vel jelöljük füves terület oldlit, kkor prk oldlink hossz burkolttl együtt + és b +. burkolt területe -vl és b-vel kifejezve: ( + ) ( b+ ) b = 00, honnn + b = 96 Tfüves = ( 96 ). számtni és mértni közepek közti reláció lpján: T + ( 96 ) füves = 8, terület kkor mximális, h = 96, zz füves terület 8 m 8 m-es ábr 0 Thulldék = ( 0 )= = ( 5) + 5 = min. = 5 cm. minimális hulldék: T min = 5 cm. (Másik megoldás: kivonndót felülről becsülhetjük számtni és mértni középre vontkozó egyenlőtlenség segítségével...) 0 b b ábr leeső háromszögek egyikének befogój, másikánk b, mi kifejezhető -vl:

23 b = 0. ( ) T = + 0 hulldék 5 5 = cm = cm. ( ) = + = = = min. T min = 5 cm, zz két esetben ugynnnyi hulldék keletkezett. 6. -vl és 0 -vl jelölve szksz két drbjánk hosszát rájuk emelt négyzetek területösszege: + ( ) ( 0 ) Tössz ( )= + ( 0 ) Tmin = 00 cm, h = 0 cm. 7. z előző jelölésekkel: T ( )= T + T = össz szb. Δ szb.htszög honnn = 0 7 és 0 7 cm. ( 0 ) = = , 7 0 esetén lesz területösszeg minimális, zz szksz két részének hossz 7 cm 8. gyökök létezésének feltétele: ( p) ( p + ) 0. másodfokú egyenlőtlenségnek megoldási: p 5 8 vgy 5+ 8 p. gyökök négyzetösszege: b c x + x = ( x+ x) xx = p p p = ( ) ( + )= = ( ), mely kifejezés p = -nél venné fel minimumát, de fenti feltétel szerint gyökök négyzetösszege csk z 5 8( 0, 9) -nál kisebb, vgy 5+ 8( 0, 9) -nál ngyobb p értékek esetén értelmezett. Előbbi trtományon négyzetösszeg függvény szigorún monoton csökkenő, utóbbin szigorún monoton növő minimumát 5 8 vgy 5+ 8 helyen veszi fel. Például behelyettesítéssel eldönthető, hogy p = 5 8 esetén lesz gyökök négyzetösszege minimális. 0. Másodfokú egyenletrendszerek (96. oldl). ) x = és y = 5; b) x = 8 és y = 5 vgy x = 8 és y = 5;

24 Másodfokú egyenletek, egyenlôtlenségek, egyenletrendszerek c) x = és y = vgy x = és y =. keresett tört 7.. rombusz átlói 8 és 0 cm hosszúk.. ) x = 6, és y =, vgy x = és y = ; b) x = és y = 5 vgy x = és y = ; c) x = y = + és vgy x = és y = ) Kivonv másodikból z első egyenletet egy elsőfokú kétismeretlenes egyenletet kpunk, melyből kifejezve z x-et behelyettesítjük zt z első egyenletbe: ( + y) ( + y)+ y y = 5, így megoldások x = és y = vgy x = és y =. b) második egyenlet kétszereséből z első egyenletet kivonv, mjd kpott elsőfokú egyenletből y-t kifejezve, és z első egyenletbe visszhelyettesítve dódik megoldás: x = és y =.

25 . Vizsgálódás térben (0. oldl). szélességi körök közül csk z egyenlítő, hosszúsági körök közül mind főkör.. 7 cm testátló 7 dm, mi közelítőleg 60, 6, illetve 7,5%-kl ngyobb lpátlóknál. 5. ) Henger, melynek mgsság tégllp forgástengelyre eső oldl, lpkörének sugr tégllp másik oldl; b) henger, melynek mgsság tégllp középvonlávl párhuzmos oldl, lpkörének átmérője tégllp másik oldl; c) kettős kúp, zz két egybevágó, egybeeső lplpú forgáskúp, melyek mgsság négyzet átlójánk fele, lplpjuk átmérője négyzet átlój; d) csonkkúp, mely lp- és fedőkörének átmérője trpéz egy-egy lpj, mgsság trpéz mgsság; e) egy henger és két kúp, melyek z lplpjikkl illeszkednek henger egy-egy lplpjár, hol henger és kúpok lpköreinek sugr trpéz mgsság, henger mgsság trpéz rövidebb lpj, kúpok mgsság trpéz lpji különbségének fele; f) egy henger, melyből kivágtunk egy-egy, z lplpjir illeszkedő kúpot, hol henger mgsság trpéz hosszbb lpj, két egybevágó kúp mgsság trpéz lpji különbségének fele, és henger, vlmint kúpok lpkörének sugr trpéz mgsság; g) körrel egyenlő sugrú gömb. 6. kock térfogt 5-szörösére nő. 7. z élek nem közös végpontji áltl meghtározott háromszög minden oldl kock egy-egy lpátlój, mivel kock lpátlói egyenlő hosszúságúk, ezért vizsgált háromszög szbályos. 8. legrövidebb út hossz 0 egység. (Háromféleképp is ki lehet teríteni tégltest oldlit egy síkb, három eset közül z ábrán láthtóbn lesz legrövidebb z út.) 5

26 Hsonlóság és lklmzási ábr. Középpontos hsonlóság (09. oldl). C C.. ábr. kpott képháromszög oldli z eredeti háromszög középvonli. C S.. ábr C. z egyik körön egy tetszőleges P pontot kiválsztv, mjd megfelelő szöget másik kör középpontjáb másolv (egyállású és fordított állású szögként is) megkpjuk P pont képeit pozitív és negtív hsonlósági rányr is. Ezután képpontokt összekötve P-vel kimetsszük körök középpontjit összekötő egyenesből hsonlóság centrumát ( C és C ). 6

27 P P C K C K P... ábr r -gyel és r -vel jelölve körök sugrit, h KK 0 és r r, kkor két hsonlósági középpontot, h KK 0 és r = r, kkor egy hsonlósági középpontot, h KK =, kkor egy hsonlósági középpontot kpunk. 0 ) z egyes pontok képét egy M pontból induló félegyenes segítségével kphtjuk meg. M C C.. ) ábr b) C C M.. b) ábr FC 5. FS = bármely C esetén FS FC = = állndó, mi megfelel egy F középpontú, rányú középpontos kicsinyítésnek mivel C csúcsok egy O középpontú körvonlr illeszkednek (k), k így kicsinyítéssel kpott S súlypontok is egy körvonlr illeszkednek ( k, melynek középpontj z FO szksz F-hez közelebbi hrmdoló pontj, sugr pedig z eredeti kör sugránk hrmd). k körvonl minden pontj lehet vlmely háromszög súlypontj, hiszen ennek pontnk z F középpontú rányú ngyításávl éppen k körre illeszkedő pontot kpunk. 7

28 Hsonlóság és lklmzási O C O S F.5. ábr. Hsonlósági trnszformáció (. oldl). derékszög szögfelezője áltl levágott háromszögek mindkét hegyesszöge 5 -os, így hsonlók z eredeti háromszöghöz. 6 -os szárszögű egyenlő szárú háromszög rendelkezik még ezzel tuljdonsággl.. x = 5, y =, 5, v = 5, z =.. ) igz; b) hmis; c) igz; d) igz; e) hmis.. Jelölje, b, f z egyik,, b, f másik tégllp oldlit és átlóját! b b f = = = λ = b b f + b + b b = ( λ ) + ( λ ) + b megfelelő oldlk és átlók rány is egyenlő, tehát két tégllp hsonló. = λ ( + b ) = λ + b 5. lecke. példájánk b) pontj lpján megfelelő kis háromszögek és z eredeti háromszög hsonlóságából dódnk tlpponti háromszög szögei: 80 α, 80 β, 80 γ. Tompszögű háromszögben: R M C g Q b P.5. ábr RCQ =γ (mert csúcsszögek) MRCQ húrnégyszögben RMQ = 80 γ ; QM és RM hsonló, derékszögű háromszögekben RC = QC = 90 RMQ = γ 90 ; z első részhez hsonló gondoltmenettel (PR, QP, MRQ, M lpján) tlpponti PQR szögei: α = α β = β γ = γ 80. 8

29 . hsonlóság lklmzási (8. oldl). két háromszög hsonlóság kétszögük egyenlőségéből éből következik (90, szárszög fele). r =,8 cm. 65. R = cm, 0 cm. 8. kerületük -szorosár, -szorosár, illetve λ-szorosár változik; területük 9-szeresére, 9 -szeresére, illetve λ -szeresére változik.. E C szögfelezőtétel szerint C E =, ezt átrendezve: CE E C =. CE 5. Hsonló síkidomok kerülete és területe, hsonló testek felszíne és térfogt (5. oldl). ) b) c) d) λ K T 9 9 6,,, 9

30 Hsonlóság és lklmzási. ) b) c) d) λ 9 V ,,,. fele; :.. C P Q R T T PQ C PQC = =, mely szksz z előző feldt lpján megszerkeszthető. PQ-t felmérjük -ból -re, mjd kpott R ponton keresztül C-vel párhuzmost szerkesztünk (szögmá- solássl), és C-ből így kimetszett Q ponton keresztül párhuzmost szerkesztünk -vel (szögmásolássl). 5. ) : ; b) : 6; c) : 6; d) : 6; e) : ; f) : 6; g) : 6; h) : ; i) :. 0

31 6. Egyéb nem egybevágósági trnszformációk (Kiegészítő nyg) (-. oldl). z nem igz, hogy kpott szksz háromszög egyik oldlánál sem hosszbb, de z igen, hogy leghosszbb oldlnál nem hosszbb. Ugynis egy szksz merőleges vetülete mindig legfeljebb olyn hosszú, mint mg szksz. (H párhuzmos merőleges ffinitás tengelyével, kkor egyenlő hosszúk, h pedig nem párhuzmos, kkor rövidebb merőleges vetület. Így háromszög vlmelyik oldlánál biztosn rövidebb merőleges vetület.) C P C 6.. ábr. z inverz trnszformáció tengelye e, rány.. definíció és z előző feldt lpján beláthtó feldt állítás.. Először mutssuk meg, hogy minden prlelogrmmához tlálhtó olyn merőleges ffinitás, melynél prlelogrmm képe tégllp lesz! H prlelogrmm derékszögű (zz eleve tégllp), kkor z identikus trnszformáció megfelel. H prlelogrmm nem derékszögű, kkor vegyünk fel egy olyn e egyenest prlelogrmm egyik hegyesszögű csúcsán át (), mely prlelogrmm egyik szemközti oldlát nnk belső pontjábn metszi. (Ez z egyenes nem párhuzmos prlelogrmm egyik oldlávl és átlójávl sem.) λ = speciális eset z identikus trnszformációt állítj elő. Kezdjük el növelni ezután λ értékét! Ekkor csúccsl szomszédos két csúcs ( és C) egyre távolbb kerül z e egyenestől. Elég ngy λ esetén elérhető, hogy C és is 5 -nál ngyobb szöget zárjon be z e egyenessel. Ekkor z C szög már tompszög lesz. Jelöljünk egy ilyen rányszámot λ -vel! Tehát λ növelése közben kellett lennie z ] ; λ [ intervllumbn egy olyn λ 0 értéknek, melyik esetén z C szög derékszög. Mivel párhuzmosok merőleges ffinitássl kpott képe is párhuzmos lesz, így λ 0 rányszám mellett prlelogrmm képe egy derékszögű prlelogrmm lesz, vgyis tégllp. kkor most oldjuk meg négyzetre! fent leírtknk megfelelően vegyünk fel egy e egyenest, mjd rendeljük hozzá zt λ 0 rányszámot, melynél prlelogrmm merőleges ffin képe tégllp lesz! Ez λ 0 tehát minden e egyenesnél létezik. Kezdjük el most forgtni z e egyenest egyenestől C egyenesig! ( két htáregyenessel nem eshet egybe z e, mert kkor semmilyen λ esetén nem érhető el, hogy -nél derékszög legyen.) egyeneshez tetszőlegesen közel fölvehetjük z e-t. Minél közelebb veszszük fel, nnál ngyobb lesz z e-hez rendelt λ 0 értéke. (λ 0 értékét tetszőleges értéknél ngyobbr növelhetjük, h e-t közelítjük -hoz.) Így elérhető, hogy C > legyen. És ugynígy: h z e egyenest C-hez közelítjük, kkor elérhető, hogy C < legyen. míg z e-t egyenestől

32 Hsonlóság és lklmzási C egyenesig mozgtjuk, C : rány egy -nél ngyobb számtól egy -nél kisebb számb vált át (eközben folytonosn változik). Tehát közben vlhol föl kellett vennie z értéket. Ekkor nemcsk derékszögű prlelogrmm, hnem egyenlő oldlú is, vgyis négyzet. 5. x ) x x; b) x. 6. Középpontos hsonlóságot kpunk, melynek középpontj tengelyek metszéspontj, rány merőleges ffinitások közös rány. 7. befogótétel lpján mindkét esetben beláthtó, hogy z így kpott P -re OP OP = r, tehát helyes szerkesztés. 7. Kerületi és középponti szögek (Kiegészítő nyg) (9. oldl) ábr. ) ; b) 5 ; c) 60 ; d) 90 ; e) 5 ; f) 69,5.

33 . 90 O O O H α < 90 :, h α > 90 : 7.. I. ábr 7.. II. ábr O. z ), b) és d) esetekben megszerkesztjük (z lpon fekvő szögei segítségével) z O -et, mjd tükrözzük O-t -re, végül O-ból és O -ből O sugárrl megrjzoljuk megfelelő köríveket. 90 -os látószögkörív z szksz Thlész-köre z érintő látószögkörív érintési pontj. 6. kép Szegeden láthtó Mór Ferenc Múzeumbn. Jvsoljuk, hogy tnulmányi kirándulás keretében látogssák meg helyszínt. 7. z ékszerüzletet szemléltető szksz házkt érintő látószögkörívének házkt érintő pontjáb. kör középpontj rjt vn z ékszerüzletet jelző szksz felezőmerőlegesén, mi állndó távolságr vn tér szomszédos oldlától. Keressük meg felezőmerőlegesnek zt pontját, mely ilyen messze vn -tól! 8. Húrnégyszögek, lklmzások (Kiegészítő nyg) (-. oldl). Áltlános trpéz; nem speciális derékszögű trpéz; áltlános prlelogrmm; nem speciális rombusz; deltoid, melynek legfeljebb derékszöge vn.

34 Hsonlóság és lklmzási. C T M T Hegyesszögű háromszögben lévő húrnégyszögek: bármely két csúcs és belőlük kiinduló mgsságvonlk tlppontji, illetve bármely csúcs, vele szomszédos mgsság tlppontj és mgsságpont lkott négyszög (- drb): T T, CT T C, CT T C, T CMT, T MT C. Tompszögű háromszögben ugynezek pontok lkotják húrnégyszögeket, csk egyes esetekben pontok más sorrendben követik egymást. 8.. ábr T C. Q D b b C α + β = 80 α + β = 90 PΔ -ben kétíves szög is β ngyságú, így P és CQ egyállású, tehát P CQ. (Egybeesés deltoid esetén jön létre.) P 8.. ábr. 80 M C tükrözés mitt CMM egy prlelogrmm kétíves szög is 80 α ngyságú húrnégyszögek tételének megfordítás szerint M C húrnégyszög, így M illeszkedik z C körülírt körére. (Hsonlón beláthtó többi felezőpontr tükrözés esetén.) F M 8.. ábr 5. két háromszög hsonlóság két szögük egyenlőségéből következik (PE = PE, hiszen z E ívhez trtozó kerületi szögek). E 6. két háromszög hsonlóságából felírhtó megfelelő oldlk rányánk egyenlősége, melyből következik feldt állítás. O P 7. z előző feldt lpján bármely szelő szeletei hosszánk szorzt z érintőszksz hosszánk négyzete, mi dott külső pont esetén állndó és 8.6 ábr

35 8. m Húzzunk z dott oldlll párhuzmost mgsság távolságbn! Szerkesszük meg z dott oldlr z dott szögű látószögkörívet (lásd előző lecke. feldt)! látószögkörív és párhuzmos metszéspontj háromszög hrmdik csúcs. 90 m 8.8. ábr 9. C F-fel jelölve z ív és szögfelező metszéspontját z CF és CF egyenlőségéből következik, hogy hozzájuk, mint kerületi szögekhez trtozó F és F ívek egyenlők. F 5

36 Trigonometri. Távolságok meghtározás rányokkl (5. oldl). háromszög belső szögfelezőjére vontkozó tétel és z. ábr szerint: DC C =. C C + Mivel C =, C = és =, ezért DC = egyenlőséget kpjuk. honnn + ( ) ( ( )) = ( ) DC =. Pitgorsz tétele szerint: D = ( ) + 6. Tehát minden 5 -os szöget trtlmzó derékszögű háromszögben szöggel szemközti befogó, szög melletti befogó és z átfogó rány ( ): : ( ). 5 -os szöget trtlmzó derékszögű háromszög. 60 D 90 C. ábr 5 5. z előző feldt eredménye és z.. ábr lpján h 0 = 6, honnn h = 0 ( ) m. 5 C 0 m C h.. ábr. Készítsünk ábrát z dtok feltüntetésével szöveg lpján! Szemléltesse felhőkrcolót C szksz, z ismerős lábát z pont! szöveg lpján C = 90 m, -nél levő depressziószög 80. Jelöljük b-vel keresett távolságot! (.. ) ábr) feldt most már következő: z C derékszögű háromszögben dott egy hegyesszög és z egyik befogó. Mekkor másik befogó? Kicsinyítsük z C derékszögű háromszöget! Ekkor kpott PQR háromszög (.. b) ábr) és z C háromszög hsonlók, megfelelő oldlik rány megegyezik, zz b ( m ) cm ( m) = 6, ( ). Innen b 6 m. zt 90 9( cm) mondhtjuk tehát, hogy ismerősünk z épület ljától körülbelül 6 m távol vn. 6

37 80 0 Q 90 m 0 9cm 90 C b R b 6, P.. b) ábr. Készítsünk ábrát z dtok feltüntetésével szöveg lpján! Szemléltesse z ntennát C szksz, vízszintes tljon levő rögzítési pontokt z és D pontok! szöveg lpján z -nál levő szög 60, z D = m. Jelöljük x-szel keresett távolságot! (.. ábr) z CΔ szögei 0, 60 és 90 -osk, korábbi tnulmányinkból tudjuk, hogy z oldlink rány C : C : = : :. Így C = m, C = m. lklmzzuk Pitgorsz tételét DCΔ-re: x = ( ) + 8, honnn x = 7 m 6, 50 m. Tehát 7 m hosszú drótkötélre vn szükség. x C 8 m D m D.. ábr 7

38 Trigonometri. hegyesszögek szögfüggvényei, összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között (6-6. oldl). α 56, 9 87 ' 8 5' ' sinα 0,88 0,999 0,87 0, cosα 0,55 0,00 0,979 0, tgα,50,8978 0,6 0, ctgα 0,66 0,00,97 6, tgα 5 7 0,0078,89 6 α 60 6,98 0,5 89,5 5 67,79. ctgα 7 0,089 5,6 α,7 78,6 8,89,75 5,85. sinα 0,78 0,89 6 α 0,70 0 7, 6,8,57 5. cosα 8 7 0,878 0,0089 0,6 5 α 5 8,56 89,9 7,7 5,07 8

39 6. ) ; b) 6 + ; c) + ; d). 7. Készítsünk ábrát z dtok feltüntetésével szöveg lpján! Szemléltesse dombot C szksz, dombtetőre vezető utt z szksz! szöveg lpján z -nál levő szög, z = 70 m. Jelöljük x-szel keresett távolságot! (.7. ábr) z ábr és hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciój lpján: x = 70 sin 9, 70 m. z út emelkedése: 00 tg, 6% -os. 70 m x 90 C.7. ábr 8. Készítsünk ábrát (.8. ábr)! z DCΔ szögei 0, 60 és 90 -osk, korábbi tnulmányinkból tudjuk, hogy z oldlink rány CD : C : D = : :. Innen CD ( ) Így D = = = = és D =. Mivel minden 5 -os szöget trtlmzó derékszögű háromszögben szöggel szemközti befogó, ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) szög melletti befogó és z átfogó rány : :, ezért EC : C = :. Így EC = ( ) és ED = CD EC =. ( ) ( ) megoldás: EC = ( ), ED =, D =. 5 D E 90 C ábr 9. Készítsünk ábrát z dtok feltüntetésével szöveg lpján! Szemléltesse világítótornyot C szksz, hjót z pont! szöveg lpján z -nál levő szög 66 ' = 66,, C = 5 m. Jelöljük x-szel keresett távolságot! (.9. ábr) 5 z ábr és hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciój lpján: x = 66 66, 7 m. tg, 9

40 Trigonometri 6,6 5 m 90 C x 6,6.9. ábr 0. Készítsünk ábrát z dtok feltüntetésével szöveg lpján! Szemléltesse z emlékművet C sz- ksz, lejtőt z C szksz! szöveg lpján C = ' = 5,, DC = 8' =, és z C = 50 m. Jelöljük x-szel keresett távolságot! (.0. ábr) z ábr és hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciój lpján: D = 50 cos, 6, 7 m, CD = 50 sin, 6, 7 m és D = D tg 5, 8 66, 9 m. Innen z emlékmű mgsság: x = D CD 6, m. x C 50 m,5 90, D.0. ábr. Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között (70. oldl) 0. ) sin α 075, 5 c) cosα tgα ctgα tg α 0, 5 5 ctgα sinα cosα ( > 0) ( > 0) ( > 0) ( > 0) b) ( > ) ( > ) ( > ) ( > ) cos α 05, sinα tgα ctgα ( > 0) ( > 0) ( > 0) ( > 0)

41 d) ctg α 5 0, ( > 5, ) tg α > 5, sinα > 5, cosα ( > 5, ) ( ) ( ). ) ( sinα cosα) + ( sinα + cosα) = sin α + cos α = ( sin α + cos α)= ; b) sin α + cos α = ( sin α + cos α) sin α cos α = sin α cos α; sinα sinα sinα cos α c) tgα = + = + ; cosα cosα sin α cosα sinα sinα cos α tgα d) cosα cosα sinα cosα = = = = sinα cos α. + tg α sin α sin α cos α + sin α + + cos α cos α cos α. ) sin 0 cos50 + cos 60 cos70 + cos 0 + sin 0 = = cos 70 sin 0 + cos sin 0 = ; b) ( cos6 )( + sin 5 )+ cos5 cos6 ctg6 = 6 = ( cos6 )( + cos6 )+ sin 6 cos cos 6 sin 6 = ; c) (tg ctg ) cos (tg tg ) cos ( sin = = ) cos 7 ; cos 7 + = d). ) sin α = ; = = =. b) cos α = ;

42 Trigonometri () () () c C 90 () () () b C 90 c () ().. ) ábr.. b) ábr c) tg α = ; d) ctg α = 05, ; () () (5) (6) (6) (5) () () () 90 C b () () 90 C b ().. c) ábr.. d) ábr e) sin α = 0 < α < 5 ; 5 ( ) f) cos α = ( 0 < α < 5 ); C 90 (6) b () (5) () 90 (5) F F () c 7 c 5 () () ().. e) ábr.. f) ábr g) tg( 90 α) = ctg α =, 5. (6) () 7 () C (6) () () () 90 C (5) b 5 ()

43 . Síkgeometrii számítások ( oldl). Készítsünk ábrát át (.. ábr)! befogó tétel lpján = 9x 5x, innen x =. z átfogó: c = 5x = 5 cm, Pitgorsz tétele szerint = 5 = 6 honnn háromszög szögei: α 5,, β 6, 87, γ = 90. b C 90 x > 0 mitt = x, cm, cosα = 0. T 9x 90 T c 5x T 6x b.. ábr. ) z KF derékszögű háromszögre lklmzzuk Pitgorsz tételét: F = 5 cm. Innen P = P F = cm, PE = P P = cm 5, 0 cm. b) PK = r + PE összefüggésből PK = r + PE = 0 cm; c) sinα = összefüggésből α 0 5 0,... c) ábr r cm K KF cm E 90 P r cm 90 F P x. ) t, 0 cm ; b) t 6, 06 dm ; c) t 05, m.. ) t 9, 0 cm ; b) t =, 98 dm 55, 9 dm ; c) t 8, m ; d) t 6, 77 cm. 5. ) R 66, cm; b) R 0, dm; c) R 87, m. 6. I. eset: ) f = cos 5 8, 0cm, e = sin 96, 59 cm; 5 t b) Ekkor vásárolt mennyiség: = 59 cm. 09, E f 90 D e.6. I. ábr C 0

44 Trigonometri II. eset: ) f ' = sin 5, 9cm, e' =, cos cm; t ' b) Ekkor vásárolt mennyiség: ' = 86, 05 cm. 09, f F D e II. ábr C 0 7. ),5%; b) 8,70%; c) 9,07%; d) 95,9%. 5. Térgeometrii számítások ( oldl). ) α 5, 7 ; b) 90.. cos α = α 70, 5. D 6 90 T C E 5.. ábr. ) z x + 80 = h és z x + 0 = h egyenletekből ( x > 0, h > 0) álló egyenletrendszer megoldás: h = 0 6 m 8, 99 m, x = 0 m 8, 8 m. torony mgsság 0 6 m. h b) tgα = = α = 60. x

45 C h x 0 m 90 5 F T h 0 m h ábr. ) 9, ; b) 5 ; c) 69,0 ; d) 5, Vektorok koordinátsíkon (87. oldl). C = b, CD = b, C =, D = b, K =, HD = ( b + ). D C K b H 6.. ábr. 5 ; y b ; c cos 0 ;sin0 O x 6.. ábr. = p, b= r, c = q, d = m, e= n. 5

46 Trigonometri. ) 5; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ) b c 7 + ( ; ), + b c = 090; b) ( 5; ), = ; C ( 6; 8), C = 0; C + ( ; 8), C + = O = O = OC = OD = OE = OF = OG = OH =. sin, 5 = + O ; 0, O ;, OC 0; +, OD + + ;, + OE ; 0, OF OH + + ;. + + ;, OG 0; +, E D y C,5 5 5 O x F G H 6

47 7. szinusz és koszinusz szögfüggvények áltlános értelmezése (9-95. oldl). sin 05 = sin 5 = 0, 707, cos 05 = cos 5 = 0, 707; sin9 = sin = sin 5 0, 777, cos9 = cos = cos 5 0, 69; sin = sin = sin 6 0, 890, cos = cos = cos 6 0, 50; sin0 = sin 70 0, 997, cos0 = cos 70 0, 0; sin 57 = sin 77 0, 97, cos 57 = cos 77 0, 50; sin 850 = sin0 = sin 0 = 0, 5, cos 850 = cos0 = cos 0 = 0, 8660; sin ( 5 )= sin 5 = 0, 707 cos( 5 )= cos 5 = 0, 707; sin( 90 ) = sin0 = sin 50 0, 7660, cos( 90 ) = cos0 = cos 50 0, 68; sin( 876 ) = sin0 = sin 0, 067, cos( 876 ) = cos0 = cos 0, 95. ) kl, Z; sinα 0,60 0,79, 99 + k60 ; 7, 0 + l k60 6, 0 + k60 6, 80 + l k l60 sinα 0, , 9 + k60 ; 79, 7 + l60 k k k l60 0,5 0 + k l60 b) kl, Z. cosα 0,65 0,879 0, 87 + k60 8, 8 + k k60 ; k60 9, + l60, 5 + l l60 5, 8 + k60 8, 9 + l60 cosα 0, , 8 + k60 ; 70, 7 + l k k k l60,5 7

48 Trigonometri. sin ( 80 α)= sin α; cos90 + sin80 = cos( α) cos α; sin ( 80 + α)= sin ( α ); cos( 80 α)= cos ( 80 + α) ; sin α + cos α = sin50 cos 0.. ) 6 cm 5, 56 cm ; b) 66, dm ; c) 8, 96 mm ; d) 65, 75 m. 5. z = Rsinα összefüggés lpján: R 5,55 cm cm 5, dm,68 dm 7 7,9 dm,96 cm ,87,, 9,8 78, ) I. eset: háromszög hegyesszögű R sin γ R sin β R sin α tc = to + toc + toc = + +. C R R b g O R 7.6. ) I. ábr II. eset: háromszög derékszögű R sin β R sin α tc = toc + toc = + és sin γ = sin80 = 0, így R R R t = sin γ + sin β + sin α C. 8

49 C R R b O g R 7.6. ) II. ábr III. eset: háromszög tompszögű R sin( α + β) R sin β R sin α tc = to + toc + toc = + + és sin ( α + β)= sin γ R R R lpján t = sin γ + sin β + sin α C. C R b O g R R bc sinα b) t = és sinα = bc bc sinα összefüggések lpján: t R bc = = = ; R R bc sinα c) t =, b = R sinβ és c = R sinγ összefüggések lpján: bc sinα Rsin β Rsinγ sinα t = = = R sinα sin β sin γ; d) t = R sinα sin β sinγ és R = összefüggések lpján: sinα sin β sinγ t = R sinα sin β sinγ = sinα sin β sinγ =. sin α sinα 9

50 Trigonometri 8. tngens és kotngens szögfüggvények áltlános értelmezése (98. oldl) tgα,966,775,5 0,98 0,5 ctgα 0 0,5095 0,60 0,09 0,89,60. ) k ; tgα 0,60 0,79 0,005 8, 95 + k 80 87, 8 + k k 80 7, 87 + k 80 0, 9 + k 80 tgα 0 0,5 k k 80 5, + k 80 b) k. ctgα -0, 0,879 5, 7 + k k 80 8, 68 + k k 80 5, 0 + k 80 ctgα 0,05 0,5 89, 8 + k k 80 6, 05 + k 80. tg( 80 α)= tg( α ); ctg90 + tg80 = ctg ( α )+ ctgα; tg( 80 + α)= tgα; ( tg ctg ( 80 α)= ctgα; sin cos 0 ctg 5 )( ctg α tg 5 ) α =. 50

51 . (rdián) 6 (fok) cosα tgα 0 (rdián) (fok) sinα 0 ctgα 0 9. szinusz- és koszinuszfüggvény grfikonj, jellemzése (09. oldl). y sin x y y cos x y cos x 5 5 x y sin x 5

52 Trigonometri Értelmezési trtomány f ( x)= = sin x g( x)= cosx h( x)= sin x i( x)= cos x+ [ ; ] ; [ 60 ; ] [ ; ] ; ; Periódus Nem periodikus Nem periodikus Zérushely k 5 + k 6 + l, 6 hol l 0 ;; ;; 5678 ; ; ; ; [ ] 5 + k, + k Értékkészlet Mximumhely Mximum k Minimumhely Minimum k 5 + k l, hol 0 ;; ;; l { } 0 + k + l, hol 0 ;; ;; l { } 6 + k + k Szigorún monoton nő k + k ; k 6 + l, 6 l 0 ;; ;; 5678 ; ; ; ; ; + + k ; k Szigorún monoton fogy k 5 + k ; 6 + k 6 + l, 6 l 0 ;; ;; 5678 ; ; ; ; [ ; ] 5 + k ; + k Pritás Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln 5

53 . ) f ( x)= x x = cos sin ; b) g( x)= cos x = sin x+ ; 6 c) h( x)= x x = + cos sin.. 5 ) f 6 = ; f = ; b) g 5 6 = ; g =.. ) igz; b) igz; c) hmis; d) hmis; e) hmis; f) igz; g) hmis ) x = + k, k ; b) + k x + k, k ; 6 6 c) 7 + k x + k, k ; d) 7 + k x + k, k ; 5 e) x = + k, k ; x = + l, l ; f) + k x + k, k tngens- és kotngensfüggvény grfikonj, tuljdonsági (6. oldl). ) b) y y tg x y y ctg x O x O x 0.. ) ábr 0.. b) ábr 5

54 Trigonometri c) y y x tg d) y y ctg x O x O x Értelmezési trtomány f ( x)= tg x g( x)= ctg x h( x)= tg x 5 + k, \ 6 k k \, k + k, \ k i( x)= ctg x+ \, + k k let Periódus Zérushely k, 96 + k + k 0, 97 + k k 6 Szélsőérték nincs nincs nincs nincs Szigorún monoton nő k Szigorún monoton fogy k Pritás + k ; k 6 Nem páros, nem pártln k ; + k + + k ; k Pártln + k ; + k Nem páros, nem pártln Nem páros, nem pártln. 5 ) f 6 0 =, f = ; b) g 5 6 = 9 g = 0. 5

55 . ) x = + k k, ; b) + k < x< + k, k ; c) + k < x< + k, k ; d) + k x + k, k ) + + k, k l, l ; b) l l, ; c) + k, k d) + k, k { + l, l }; e) l l 6, ; f) l l k k +,,. 5. ) i; b) h; c) h; d) h. 6. izonyítás: ctg α α cos + α + tg α α = = sin =. cosα sin + 7. ), b) C E C ív C sin tg D 0.7. ) és b) ábr z ábr lpján: t < CΔ tckörcikk és t < Ckörcikk t, így sinα α EΔ < α és < tg α. Innen sinα < α és z α < tgα egyenlőtlenségek dódnk. 55

56 Trigonometri α + β sinα + sin β c) I. eset: α = β sin = sinα =. II. eset: α β. Feltehető, hogy β > α. Készítsünk ábrát! α + β hegyesszögek szinuszánk definíciój lpján: FH = sin, = sinα és CD = sin β. sinα + sin β z EG z DC trpéz középvonl, így EG =. Mivel OE < OF FH < EG, ezért fentiek mitt, bármely αβ, hegyesszögre sinα + sin β sin α + β dódik. ( szinuszfüggvény grfikonj 0; on konkáv.) OD α β O b D sinb E OF sinα sinβ C c) ábr F G H O sin α β sin α + β tgα + tg β d) I. eset: α = β tg = tgα =. α β. Feltehető, hogy β > α. Készítsünk ábrát! + hegyesszögek tngensének definíciój lpján: C = tg α β, = tgα és D = tgβ. tgα + tg β Legyen F D szksz felezőpontj, ekkor F =. Mivel O < OD, ezért belső szögfelezőre vontkozó tétel szerint C < CD. Így C < F, honnn fentiek mitt bármely, b hegyesszögre tgα + tg β tg α + β dódik. ( tngensfüggvény grfikonj 0; -on konvex.) D tgβ tgα tgβ F C tg α β tgα D D F F C C α β O b 0.7. d) ábr O 56

57 . Sktulyelv, tétel és megfordítás, egyszerű gráfelméleti foglmk (-5. oldl). ) 5; b) 9; c) ; d) 7; e) ; f).. ) ; b) 6; c) 6.. z osztály 7 fős.. z osztály fős. 5. Igz. 6. n-féle osztási mrdék lehetséges: 0; ; ; ; n, így n + db egész szám közt biztosn vn két zonos osztási mrdékú különbségük oszthtó lesz n-nel. ( ) szám közt 7. Mivel 5-féle 5-ös osztási mrdék lehetséges (,, 0, +, +), ezért = 5 + biztosn vn 5 db zonos mrdékú, így m-mel jelölve mrdékot z öt szám összege: ( 5+ m)+ ( 5b+ m)+ ( 5c+ m)+ ( 5d + m)+ ( 5e+ m)= 5( + b+ c+ d + e)+ 5m, zz oszthtó 5-tel es osztási mrdékokt -féle sktulyáb sorolhtjuk (,,, 0, +, +, +), és z egyikben biztosn vn két szám z ötből h sktulyán belül zonos mrdékuk, kkor különbségük, h ellentétes előjelű, kkor z összegük lesz oszthtó 7-tel. 9. négyzetszámok 5-ös osztási mrdék -féle lehet ( 0, +, ), melyből következik z állítás ábr. Nem. 57

58 Gondolkodási módszerek, kombintorik, vlószínûségszámítás. Indirekt: tegyük fel, hogy minden csúcs fokszám különböző ( 0; ; ; ; ; n ), mi ellentmondásr vezet 0 n.. ( ) ) Igz; megford.: H egy négyszög átlói felezik egymást, kkor z tégllp (hmis). b) Hmis; megford.: H egy háromszög egyenlő szárú, kkor z egyik súlyvonl merőleges z egyik oldlár (igz). c) Igz; megford.: H egy háromszög egyik oldl fele egy másik oldlánk, kkor háromszög belső szögeinek rány : : (hmis). d) Hmis; megford.: H egy négyszögnek vn köré írhtó köre, kkor két szögének összege 80 (igz). e) Igz; megford.: H egy négyszög oldli egyenlők, kkor z átlói merőlegesen felezik egymást (igz). f) Igz; megford.: H két pozitív egész szám közül z egyik oszthtó 9-cel, kkor két szám legkisebb közös többszöröse 5 (hmis).. Mivel egy cm oldlú, zz 6 cm területű négyzetbe legfeljebb 8 cm területű háromszög írhtó, és bármely pillntbn vn olyn cm oldlú négyzet, melyben vn hngy, ezért z áltluk meghtározott háromszög területe nem lehet ngyobb 8 cm -nél = 00 +, így ngy négyzetet 00 db 0 cm-es oldlú kis négyzetre vágv biztosn vn olyn kis négyzet, melyben vn leglább pont. Egy ilyen kis négyzet lefedhető egy 0 57 cm területű körrel, melyből következik feldt állítás.. evezető kombintorikfeldtok, szorzási és összedási szbály (9-0. oldl)... ) 0; b) ; 0.. ) 6; b) 0; c). 58

59 5. ) 6; b) 6; c) 9; d) 7; e) ) 6; b) 5; c) 5; d) ) 7; b) 8; c) 8; d) ; Összesen 5 munkhely vn, melyek mindegyike lklmzht fiúkt, pedig lányokt is. fiúk mindegyike 5-féle helyen válllht munkát, két lány pedig z első esetben --féle helyen, második esetben -, illetve -féle helyen. Így z első esetben 5 = 5-féleképpen, második esetben 5 = 750-féleképpen helyezkedhetnek el. 0. ) ; b) 0; c) 95 6 ; d) ; e) ; f) egyszerűsítés után: n n n n Vriációk (5. oldl). )! 7! ; b) 5..! 8!....! 8!, illetve! 8!! 0! ) 6 5 ; b) esetben se -s, se -es nincs z öt dobás közt 6 esetben lesz -es vgy -s dobások közt; c) Se -es, se 5-ös esetben lesz -es vgy 5-ös 6 esetben lesz; nincs -es esetben vn -es 6 5 esetben; 5 5 hsonlón: vn 5-ös 6 5 esetben, így szit-formul lpján ( ) ( )= 550 esetben lesz -es és 5-ös dobások közt. 59

60 Gondolkodási módszerek, kombintorik, vlószínûségszámítás = ) 5! = 0; b)! = 96; c) ! = 7096; d) = 670; e) = ) z egyes helyiértéken minden lehetséges számjegy = -szer fordul elő z egyesek összértéke: ( )= 5. tízes helyiértéken is minden lehetséges számjegy -szer fordul elő tízesek összértéke: ( ) 0 = 5 0. Hsonlón százsok összértéke: ( ) 00 = 5 00, z ezreseké: ( ) 000 = 5 000, tízezreseké: ( ) = z ötjegyű számok összege: 5 ( )= b) z előzőhöz hsonló gondoltmenettel (ügyelve rr, hogy 0 nem állht elöl): z egyesek összértéke: 8 0, tízesek összértéke: 8 0 0, százsok összértéke: , z ezresek összértéke: , tízezresek összértéke: z ötjegyű számok összege: = c) z összes képezhető 5-jegyű szám összege fenti gondoltmenettel: = csk pártln számjegyeket trtlmzó 5-jegyű számok összege ) lpján páros számjegyet trtlmzó 5-jegyű számok összege: = d) feldtnk ez része már inkább versenyszintű, több odfigyelést igénylő problém. Nézzük z összeszámlálást! Először htározzuk meg z utolsó két számjegyből álló kétjegyű számok összegét! lehetséges végződések: 0, 08, 0, 0, 60, 80, vlmint, 6,, 8,, 6, 8, 5, 56, 6, 68, 7, 76, 8, 9, 96. zon kétjegyű számok mindegyike, melyek számjegyei között vn 0, = 6 drb számbn szerepel. Ezek összege ( ) 6 = 5. zon kétjegyű számok mindegyike, melyek számjegyei között nincs 0, 7 7 6= 9drb számbn szerepel. Ezek öszszege ( ) 9 = = 566 Ezek után fogllkozzunk z első három számjegyből álló számok összegével. Nézzük meg, hogy zokbn számokbn, melyek utolsó két számjegye nem trtlmz 0-t, hányszor szerepelnek z egyes számjegyek z első helyen! Kezdjük z -sel! z egyes csk zokbn számokbn szerepelhet z első helyen, melyek utolsó két számjegye között nem szerepel. Ilyen végződés db vn. Mind esetben második helyre 7, hrmdik helyre 6 számjegy közül válszthtunk, így z -es z első helyen 7 6-szor szerepel. Így ezek összege Hsonlón lehet megnézni többi számjegyet is. Így tízezresek összege ebben z esetben ( ) + 9 ( + 6) + ( + 8) [ ] = 60

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Fiziki példtár 2 FIZ2 modul Fizik feldtgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása A ezeték legméle pontjánk megtározás Elődó: Htiois Alen E 58. Vándorgűlés Szeged,. szeptemer 5. Vízszintes és ferde felfüggesztés - ezeték legméle pontj m / > < B Trtlom. Lángöre és prol függének A C m

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia A profik válsztás pic egyetlen profi minőségű htszögkulcs Trtlom I. 1. Kohászt II. 2. Egyedi Protnium cél 3. Első osztályú korrózióvédelem 10 23 A szbványoknk vló 100%os megfelelés 26 Nincsenek rossz törések,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Matematikai feladatlap Test z matematiky

Matematikai feladatlap Test z matematiky Keresztnév: Vezetéknév: Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. roèník ZŠ T9-01 Kedves tnulók, mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt 0 feldtot trtlmz. Minden helyes válszt 1

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája,

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái

Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK. Célkitűzés: A hálózati egyenirányító és stabilizáló alapkapcsolások és jellemzőinek megismerése, illetőleg mérése.

26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK. Célkitűzés: A hálózati egyenirányító és stabilizáló alapkapcsolások és jellemzőinek megismerése, illetőleg mérése. 26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK Célkiűzés: A hálózi egyenirányíó és silizáló lpkpcsolások és jellemzőinek megismerése, illeőleg mérése. I. Elmélei áekinés Az elekronikus készülékek működeéséhez legöször egyenfeszülségre

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

finanszírozza más városnak, tehát ezt máshonnan finanszírozni nem lehet.

finanszírozza más városnak, tehát ezt máshonnan finanszírozni nem lehet. 19 finnszírozz más városnk, tehát ezt máshonnn finnszírozni lehet. Amennyiben z mortizációs költség szükségessé váló krbntrtási munkár elég, s melynek forrás csk ez, bbn z esetben z önkormányzt fizeti

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2016. jnuár 16. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben