1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

Átírás

1 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris menniségeknek, számoknk megdott szál szerint tálázt rendezett hlmz 3 Jelölése: Négzetes mátri: oln mátri, melen sorok és oszlopok szám megegezik Oszlopmátri: 3 T Sormátri: 3 ) Műveletek mátriokkl: Mátri trnszponáltj: tükrözés főátlór mátri főátlóját z zonos indeű elemek lkotják T Mátriok összedás, kivonás: csk zonos méretű mátriok dhtók össze, ill vonhtók ki egmásól B C ; B c c B c c -gk Trni Gáor

2 Mátri szorzás (sor-oszlop komináció): B C, c, c c T T B d, d d c) Különleges mátriok: 0 Egségmátri: E 0 Tuljdonság: E E z egségmátriszl történő szorzás nem változttj meg megszorzott mátriot Szimmetrikus mátri: T megegeznek főátlór vett tükörképükkel 3 éldául: , zz, hol i, j,,3, mátri elemei ij ji T Ferdeszimmetrikus mátri:, zz, hol i, j,,3, mátri ármelik eleme megegezik főátlór vett tükörképének mínusz egszeresével Eől következik, hog főátlón csk zérus elemek lehetnek 0 5 éldául: ij ji -gk Trni Gáor

3 3 Vektorok skláris, kétszeres vektoriális és didikus szorzt: Vektor: iránított geometrii, vg fiziki menniség, mi jellemezhető iránnl, ngsággl, mértékegséggel ) Vektorok skláris szorzt: Skláris szorzás értelmezése: skláris szorzás kiszámítás mátriszorzássl: z zz z szorzás eredméne eg skláris menniség cos, hol vektorok áltl ezárt szög ) Vektorok kétszeres vektoriális szorzt:, vg c c Kiszámítás kétféleképpen lehetséges: - két vektoriális szorzásnk kijelölt sorrenden történő elvégzésével, - kifejtési szálll: c c c, ill c c c c) Vektorok didikus szorzt: Legen dott z, és c tetszőleges vektor Két vektor didikus szorztánk jelölése:, elnevezése:diád Két vektor didikus szorztát szorzás tuljdonságink megdásávl értelmezzük: - didikus szorzás és skláris szorzás sszocitív (csoportosíthtó, zz szorzások elvégzésének sorrendjét felcserélhetjük): c c, - diád skláris szorzás szempontjáól nem kommuttív (nem mindeg, hog eg diádot joról vg lról szorzunk sklárisn eg vektorrl, mert más eredmént kpunk) c c H szorzás fent leírt összefüggéseket kielégíti szorzás didikus Két vektor didikus szorztánk kiszámítás josodrású, derékszögű koordinát rendszeren z z z z z z z z -gk Trni Gáor

4 4 3 Tenzorok előállítás: ) Tenzorok értelmezése és tuljdonsági: Tenzor: homogén, lineáris vektor-vektor függvén áltl megvlósított leképezés (hozzárendelés) w f v T v v hozzárendelés w Ov T tenzor tetszőleges v vektorhoz w képvektort rendeli hozzá Ow ) Tenzor előállítás josodrtú, derékszögű descrtesi koordinát-rendszeren: Tenzor megdás: - tenzor koordinátáivl (mátriávl) és - koordinát rendszerrrel történik Tenzor koordinátáink jelölése mátri rendezve: T T T z T T T3 - T T T T z T T T 3 z Tz Tz T zz T 3 T3 T 33 - Tenzor előállítás: Legen ismert három értékpár: i f i, i j zk, j f j, i j zk, k c f k, c c i c j czk tenzor didikus előállítás: T i j c k tenzor mátri: c T c z z z c z -gk Trni Gáor

5 5 3 Tenzor előállítás: dott: r i 4 j m r O r Feldt: ) zon T tenzor mátriánk előállítás, mel z sík helvektoriól helvektoroknk koordinátrendszer O kezdőpontjár tükrözött vektorit állítj elő ) Előállítni zt z r vektort, mel z r vektor origór vett tükörképe Megoldás: ) tenzor előállítás: Síkeli eseten tenzort két értékpárj htározz meg: i i, j j két értékpáról tenzor: T i j tenzor mátri: 0 T 0 ) z origór tükrözött r képvektor meghtározás: 0 r T r r i 4 j m -gk Trni Gáor

6 6 3 Tenzor előállítás: dott: r 8i j m, 60 r r Feldt: ) zon T tenzor mátriánk előállítás, mel z sík helvektoriól helvektorok z tengel körül szöggel elforgtott vektorit állítj elő ) Előállítni zt z r vektort, melet z r vektor szöggel történő elforgtásávl kpunk Megoldás: ) tenzor előállítás: j Síkeli eseten tenzort két értékpárj htározz meg: i cos i sin j, j sin i cos j két értékpáról tenzor: T i j r i diádok kiszámítás: 0 cos 0 i 0, 0 sin sin j cos tenzor mátri: cos sin 0,5 0,866 T sin cos 0,866 0,5 ) z elforgtott r vektor meghtározás: cos sin 0,5 0,866 8, 68 r T r sin cos 0,866 0,5 7,98 r, 68i 7,98 j m -gk Trni Gáor

7 7 33 Tenzor megdás (tiszt nírás): dott: z árán jelölt egségni hosszúságú négzet m Feldt: ) dj meg nnk leképezésnek tenzorát, mel z egségni oldlú négzetet szggtott vonlll megrjzolt tégllp viszi át ) Htározz meg szimmetri pont képét Megoldás: z egségvektorok képei és tenzor kiszámítás: i i ; j j, T i j i i j j i i j j leképezés tenzor tehát: T i i j j 0 0 0, 0 (, ) 0 T 0 négzet szimmetri-középpontjánk képe: r i j m Eől tégllp szimmetri-középpontjánk képe: 0 v T r T r, 0 4 v i j m 4 -gk Trni Gáor

8 8 34 Tenzor megdás (egszerű nírás): dott: z árán jelölt egségni hosszúságú négzet Feldt: ) dj meg nnk leképezésnek tenzorát, mel z egségni oldlú négzetet szggtott vonlll megrjzolt prlelogrmmá viszi át ) Htározz meg z pont képét m Megoldás: z egségvektorok képei és tenzor kiszámítás: i i ; j i j, T i j i i ( i j) j j i i i i j j j i i ; j j 0 0 ; i j 0 leképezés tenzor tehát: T i i i j j j (, ) T 0 H r i j m(z pont), kkor r Ez eseten leképezése: v T r T r 0, zz ( ) m v i j -gk Trni Gáor

9 9 35 Vektor dott iránú összetevője dott: z és vektor ( i j k) m ; ( i 4 j k) m Feldt: Htározz meg vektornk z vektorrl párhuzmos ( ), vlmint z rr merőleges ( ) összetevőit! Megoldás: Keressük összefüggésnek megfelelő vektorokt z áráól láthtó: cos, vektor pedig e, hol e z vektor irán-egségvektor, tehát e Meghtározás: e Most már: cos e cos e e cose e hol ( ) 9, és ( 8 ) 7 Behelettesítés után tehát: i j k m Mivel, eől, zz ( i 4 j k ) i j k i j k m gk Trni Gáor

10 0 Másik megoldás: illetve Tehát vektornk z vektorrl párhuzmos, vlmint z rr merőleges összetevői:, Megjegzés:, E E Tehát: hol, illetve hol E -gk Trni Gáor