Végeselem modellezés. Bevezetés

Átírás

1 Végeselem modellezés Bevezetés

2 Számítógéppel segített szerkezettervezés Szerkezetmegdás, CAD rjzolás dtbevitel módosítás Méretezés, tervezés VEM dtbevitel ellenőrzés Részletek kidolgozás AutoCAD (műszki rjzok) ArchiCAD (építészet) Komplex tervezőrendszerek: AxisVM (áltlános VEM) ConSteel (cél méretezése) Ansys Abqus Vbexpress (vslásszerkesztő) Tekl Structures (cél szerkesztése) Nemetschek (műszki rjzok + építészet + áltlános VE + vslásszerkesztés) Fem Design (műszki rjzok + áltlános VE + vslásszerkesztés)

3 Bevezetés Az utóbbi évtizedek ngy htékonyságú számítástechniki módszere z ún végeselem-módszer = finite element method VEM (FEM) Az építőmérnöki gykorlton kívül más műszki és tudományos területen is lklmzzák A végeselemek módszere bonyolult feldtok megoldását teszi lehetővé Végeselem progrmok: Axis VM Ansys (Multiphysics, Structurl Mechnics, Fluid Dynmics, Explicit Dynmics, Electromgnetics) Abqus FEM design StruSoft NGSolve PAXIS Finite Element Code for Soil nd Rock Anlys Osys GSA ConSteel Nemetschek Allpln 21222

4 A végeselem módszer A végeselem módszerben vizsgált szerkezetet véges méretű részekre osztjuk elemek A feldt típusától és dimenzió számától függően többféle elemet hsználhtunk Az elemek lkját mindig srokpontji, csomópontji htározzák meg rúd (BAR) elem: 6 szbdságfok

5 Példák

6 Egyéb lklmzási példák

7 A sttiki számítás: modelllkotás + számítás A sttiki váz megválsztás, úgy, hogy z legjobbn közelítse tényleges szerkezetet A terhek és htások figyelembevétele A sttiki váz megoldás mértékdó teherállásokr Eredmények: igénybevételek és lkváltozások A kpott eredmények kiértékelése Méretezés, ellenőrzés 7 Szükség esetén új méretfelvétel 21222

8 Modelllkotás A számítási modell meglkotását két, ellentétes kívánlom teljesítése befolyásolj: 1 modell minél jobbn helyettesítse vlóságos testet és nnk körülményeit; 2 mechniki jellemzők lehetőleg kevés időráfordítássl jó közelítéssel meghtározhtók legyenek A szerkezet vizsgált során közelítésekkel élünk = modellezünk Pl cél gerendrács modellje: áltlábn tengelyvonl geometrii és szilárdsági jellemzőkkel vló felruházás Tljr helyezett gerendrács esetén fenti modell elhnygolást jelent Elhnygolás: h gerendák tengelyvonlát ruházzuk fel geometrii és szilárdsági tuljdonságokkl, tlpfeszültség számításánál ténylegesnél ngyobb tlpfelületet vennénk számításb

9 Számítás A szerkezeti modell lehet Folytonos (kontinuum) nlitikus megoldás Nem folytonos (diszkrét) numerikus megoldás (mátrixlgebr) Sttiki szerkezetek vizsgáltár két lpvető módszer: Erőmódszer Elmozdulás módszer Sttiki modell véges méretű, illeszkedő elemekre bontás Átvágási helyeken folytonosság biztosítás folytonossági követelményeket trtlmzó egyenletrendszer

10 Végeselem módszer (VEM) Finite Element Method (FEM) A vizsgált szerkezetet véges méretű, illeszkedő elemre bontjuk Az egyes elemek tuljdonságit z nlízis eszközeivel, z elemre vontkozón htározzuk meg A kpcsolási pontokon ( csomópontokon) értelmezett prméterekkel fejezzük ki Az elemek rendszerének kpcsoltát csomóponti mennyiségek zonosságánk előírásávl biztosítjuk

11 Mtemtiki lpok MÁTRIXOK - Alpfoglmk

12 Mtemtiki lpok - Mátrixlgebr A mátrix definíciój: Az m nméretű mátrixnk m sor és n oszlop vn A = m m2 1 2 m 1n 2n n mn = [ ] ij i= 1, 2,,, n j= 1, 2,,, m

13 Mtemtiki lpok - Mátrixlgebr Például: Adott egy ismeretlenes lineáris egyenletrendszer 11 x x x = 21 x x x = 1 x x 2 + x = hol x i = ismeretlenek ij =ismeretlenek együtthtói A = együtthtó mátrix

14 Mtemtiki lpok - Mátrixlgebr Például: Adott egy ismeretlenes lineáris egyenletrendszer 9 x x 2 5 x = hol x i = ismeretlenek 7 x 1 2 x x = ij =ismeretlenek -15 x 1 + x x = együtthtói A = x-s együtthtó mátrix

15 Nevezetes mátrixok A sorok és z oszlopok felcserélésével kpott mátrix z eredeti trnszponáltj A = A T =

16 Nevezetes mátrixok Az egydimenziós mátrix neve vektor = m 1 Alphelyzetben vektor oszlopvektort jelöl, sorvektort (neki megfelelő) oszlopvektor trnszponáltjként értelmezzük 1 T = [ ] m

17 Nevezetes mátrixok Kvdrtikus (négyzetes) mátrix: h mátrix sorink és oszlopink szám megegyezik A kvdrtikus mátrix sorink ill oszlopink szám mátrix rendje Például: nxn = x-s kvdrtikus mátrix: A =

18 Nevezetes mátrixok Kvdrtikus (négyzetes) mátrix: h mátrix sorink és oszlopink szám megegyezik A kvdrtikus mátrix sorink ill oszlopink szám mátrix rendje Például: nxn = x-s kvdrtikus mátrix: A = FŐÁTÓ

19 Nevezetes mátrixok Kvdrtikus (négyzetes) mátrix: h mátrix sorink és oszlopink szám megegyezik A kvdrtikus mátrix sorink ill oszlopink szám mátrix rendje Például: nxn = x-s kvdrtikus mátrix: A = MEÉKÁTÓ

20 Nevezetes mátrixok Digonális mátrix: h kvdrtikus mátrixnk csk főátlójábn vn zérustól különböző elem Például: 2 A = A = nn = [ ] ij 21222

21 Nevezetes mátrixok Egységmátrix: h mátrix főátlójánk minden eleme 1, z összes többi zérus Ezzel szorozv szorzt mátrix z eredeti tényező-mátrixot dj vissz) [ ] = = E Például: E = [ ] 1 1 = = E

22 = Egyszerű mátrixműveletek Összedás-kivonás: műveleteket rendre megfelelő elemeken kell végrehjtni! Csk zonos méretű mátrixok vonhtók össze! A±B=C [ ij ] ± [ b ij ] = [ c ij ] b b b b = 11 + b b 21 + b b Mátrix szorzás konstnssl: konstnssl minden elem külön-külön szorzndó k D = [k d ij ] 2 Pl: 4 =

23 Egyszerű mátrixműveletek Két mátrix szorzt: A mátrix-szorzásbn tényezők nem felcserélhetők! A szorzás csk kkor értelmezhető, h z első tényező oszlopink és második tényező sorink szám megegyezik Ilyenkor szorztmátrix ij indexű eleme z első tényező i-ik soránk (mint sorvektornk) és második tényező j-ik oszlopánk (mint oszlopvektornk) skláris szorzt r A B = C c kl =Σ( kj b jl ) (m,r) (r,n) (m,n) j=

24 Egyszerű mátrixműveletek Sor és oszlopvektor szorzt: Egy sor- és egy oszlopvektor kkor szorozhtó össze, h elemszámuk megegyezik Ilyenkor (sklár)szorztuk eredménye egy SZÁM (1,n) Σ n (n,1) (1,1) i=1 T b = c hol c = Σ ( i b i ) c

25 Egyszerű mátrixműveletek Oszlop- és sorvektor szorzt: Egy oszlop- és egy sorvektor mindenképp összeszorozhtó, szorzt egy MÁTRIX, melyben sorok szám z első tényező elemszámávl, z oszlopok szám második tényező elemszámávl egyezik meg b T = C hol c i,j = i b j (m,1) (1,n) (m,n)

26 Inverzmátrix Mátrixokt osztni nem lehet inverzmátrix: A -1 Csk kvdrtikus mátrixnk vn inverze H mátrix determináns nem zérus: reguláris mátrix létezik mátrix inverze H mátrix determináns zérus: szinguláris mátrix nem létezik inverzmátrix z inverzmátrixnk z eredeti mátrixszl képzett szorzt z egységmátrix: A A -1 = A -1 A = E

27 Mátrix összedásánk és szorzásánk tuljdonsági: A mátrixok szorzás nem kommuttív! A B B A A mátrixok szorzás sszocitív, h műveletek mindkét oldlon elvégezhetők! (A B) C = A (B C ) A mátrixok szorzás disztributív: (A+B) C = A C+B C D (A+B) = DA + DB

28 ineáris egyenletrendszerek mátrixlpú megoldás: ineáris egyenletrendszerek mátrixlpú megoldás: 11 x x x = b 1 21 x x x = b 2 1 x x 2 + x = b A x = b A -1 A x = A -1 b E E x = A -1 b x = A -1 b

29 Rúdelemek modellezése A végeselem módszer lépései

30 A végeselemmódszer lépései: 1 A vizsgált trtomány elemekre osztás (geometrii finitizálás), kitüntetett pontok (csomópontok) számozás Az elemekhez lokális koordinát-rendszer válsztás, z elem csomópontjink lokális számozás 2 Az elemek k i merevségi mátrixánk előállítás lokális rendszerben, trnszformálás globális rendszerbe Az elemekre htó terhek redukálás z elem kitüntetett pontjár lokális rendszerben, trnszformálás globális rendszerbe 21222

31 A végeselemmódszer lépései: 4 A szerkezet merevségi mátrixánk (K) előállítás z elemek merevségi mátrixából megtámsztások (peremfeltételek) figyelembevételével 5 A szerkezet kitüntetett pontjir redukált teher vektoránk (q) összeállítás 6 A Kv = q lineáris egyenletrendszer megoldás 7 A szerkezet csomópontjink elmozdulási (v) ismeretében elemenként másodlgos ismeretlenek meghtározás

32 Az egyensúlyi feltételt biztosító mátrix egyenletrendszer Végeselem módszer lklmzáskor csomóponti elmozdulásokt potenciális energi szélsőérték tétele lpján htározzuk meg q terhelő erő [kn] k rugó merevsége [kn/m] e q htásár keletkező összenyomódás (elmozdulás)

33 Az egyensúlyi feltételt biztosító mátrix egyenletrendszer A rugóbn felhlmozott belső energi: A q terhelő erő helyzeti energiánk csökkenése: A teljes potenciális energifüggvény: 21222

34 Az egyensúlyi feltételt biztosító mátrix egyenletrendszer Minden folymt z energi minimális szintjének elérésére irányul: Szerkezet esetén: K e = q K v = q e = K -1 q v = K -1 q

35 1 lépés geometrii finitizálás A szerkezet jellegének megfelelő elemekre bontás! A csomópontokt elfordulás és eltolódás ellen rögzítjük A támszok kezelése szempontjából kétféleképpen vehetjük fel trtó modelljét

36 Szerkezetek számítási modelljei ) A támszcsomópontokt is besoroljuk csomópontok közé (csk befogott rúdelemek) b) A támszcsomópontok külső csomópontként kezelendők, melyek nem vesznek részt számításbn (z ide cstlkozó rudkt kényszerkpcsoltuknk megfelelően kpcsoljuk külső csomóponthoz) Hátrány: bonyolult számítási lgoritmus, Előny: csomópontok szám kevesebb ismeretlenek szám is kisebb

37 Szerkezetek számítási modelljei Mindkét modellnél betrtndó, hogy minden belső csomóponthoz leglább egy rúdnk mereven kell kpcsolódni, kkor is, h csomópontbn rudk csuklóbn tlálkoznk A csomópontr rjzolt üres négyzetek z elfordulás és eltolódás elleni rögzítést jelentik (befogás) Minden belső csomópont szerepel számításbn, z ismeretlenek ezek elmozdulás-komponensei (v) Rúdelemek modelljei: befogott-befogott, befogott-csuklós, csuklósbefogott, csuklós-csuklós Konzol: terhet cstlkozó csomópontr redukáljuk

38 A csomópontok számozás A csomópontok sorszámozás meghtározz teljes számítási folymtot A rudk számozás: célszerű z áltluk összekötött csomópontok számivl jellemezni őket Globális koordinát rendszer: xyz okális koordinát rendszer: ξη A lokális koordinátrendszer origój rúd kisebbik sorszámú végén lévő km súlypontjábn vn A ξ tengely egybeesik rúd tengelyével, és ngyobb sorszámú csp felé mutt

39 2 lépés: Az elemek k ij merevségi mátrixánk előállítás A szerkezet (elem) merevsége mindig egy elmozdulás/elmozdítás nyomán keletkező belső erőt, igénybevételt jelent ( merevség szerkezet ellenállás z elmozdítássl szemben) A merevségi mátrix két rúdvégen beiktthtó három-három elmozdulás-komponensből ébred(het)ő három-három belső dinámot trtlmzz, zz egy 6 6 méretű mátrix k ij k k k ii ij ij ij = ji jj ij k ij (négy -s méretű blokk z egyes rúdvégeken ébredő erőket dj meg, sját ill másik vég lehetséges elmozdulási htásár) A háromféle típusú trtóelem megoldás erőmódszer szerint vn végrehjtv (támszelmozd) (TS: csomóponti erők, VEM: rúdvégi e)

40 Mindkét végén befogott rúd merevségi rekciói A rúdvégek egységnyi elmozdítás során ébredő rúdvégi erők és nyomtékok: i EA/ u iη =1 η EA 12 / 6 / 2 6 / 2-12 / j ξ -EA/ i -EA/ EA -6 / 2 u jξ =1 j EA/ u jη =1-12 / 12 / -6 / 2 ϑ i =1 4 / 6 / 2 2 / u iξ =1-6 / 2 6 / 2 2 / -6 / 2 ϑ j =1 4 / 4

41 Egy síkbeli rúdelem merevségi mátrix A mindkét végén befogott rúdelem merevségi mátrix: EA EA = EA EA k ij

42 i A csuklós-befogott végű rúd merevségi rekciói A rúdvégek egységnyi elmozdítás során ébredő rúdvégi erők és nyomtékok: u iξ =1 η EA j ξ i EA u jξ =1 EA/ -EA/ -EA/ EA/ u / 2 iη =1 - / / ϑ i 1 EI EI j u jη =1 - / / - / 2 / 2 EI EI ϑ j =1 / 42 - / 2

43 A kezdőpontbn csuklós, végpontbn befogott rúdelem merevségi mátrix: EA EA 2 Egy síkbeli rúdelem merevségi mátrix = EA EA k ij

44 A befogott-csuklós végű rúd merevségi rekciói A rúdvégek egységnyi elmozdítás során ébredő rúdvégi erők és nyomtékok i u iξ =1 η EA j ξ i EA u jξ =1 EA/ -EA/ -EA/ EA/ u iη =1 / 2 ϑ i 1 / 44 / / 2 - / - / 2 - / 2 - / / j u jη =1 ϑ j =1

45 A kezdőpontbn befogott, végpontbn csuklós rúdelem merevségi mátrix: 2 EA EA Egy síkbeli rúdelem merevségi mátrix 45 = EA EA k ij

46 A mindkét végén csuklós rúdelem merevségi mátrix: EA EA Egy síkbeli rúdelem merevségi mátrix 46 = EA EA k ij

47 A szerkezet K merevségi mátrix A teljes szerkezet merevségi K mátrixát csomópontok egységnyi elmozdulásiból keletkező csomóponti erők lkotják A teljes szerkezet merevségi mátrix z egyes rúdelemek merevségi mátrixiból tevődik össze A szerkezet merevségi mátrix összeállítás előtt z egyes rúdelemek lokális merevségi mátrixit globális koordinát-rendszerbe kell trnszformálni koordináttrnszformáció 47

48 4 lépés: A szerkezet K merevségi mátrixánk előállítás A teljes szerkezet merevségi mátrix z egyes rúdelemek merevségi mátrixiból tevődik össze A főátlóbn hely és z ok zonos, tehát itt csomópontb befutó rudk számávl megegyező számú rudnkénti merevségi mátrix blokk összege dj teljes merevségi mátrix elemet (blokkot) A többi (hiper)mátrixelem esetében hely és z ok nem zonos, tehát vizsgált helyen (csomópontbn) ébredő htás egy másik csomóponti elmozdulás mitt keletkezik h z illető pontpár között nincs rúd zéruselemek h z illető pontpár között vn rúd k ij 48

49 4 lépés: A szerkezet K merevségi mátrixánk előállítás A főátlóbn lévő hipermátrix-elemek mindig leglább két blokk összegeként jelennek meg, többi elem pedig vgy zérus, vgy egyetlen blokk ( csomópontok közötti vlós kpcsolt lététől függően) K = Σk 11 k12 k 1 k 21 Σk 22 k 2 k 1 k 2 Σk k n1 k n2 k n k1n k k Σk 2n n nn 49

50 lépés: terhek csomópontr redukálás A csomópontokr htó erők következők lehetnek: közvetlen csomóponti erő közvetlen csomóponti nyomték rúdról (rudkról) csomópontr átdódó erő (ez szármzht rúd erőterheléséből, rúd kinemtiki terheléséből) rúdról (rudkról) csomópontr átdódó nyomték (ez szármzht rúd erőterheléséből, rúd kinemtiki terheléséből) 5

51 lépés: terhek csomópontr redukálás Áltlános (térbeli) esetben csomópontr működő erőhtások és csomópont elmozdulási ( csomópont elmozdulási szbdságfokánk megfelelően) htfélék lesznek: F ix, F iy, F iz, M ix, M iy, M iz, ill e ix, e iy, e iz, φ ix, φ iy, φ iz Síkbeli (pl xy síkbeli) szerkezet esetében csomóponti erők-elmozdulások következők: F ix, F iy, M iz, ill e ix, e iy, φ iz Ezek z erő- ill elmozdulás-összetevők vektorokb rendezhetők erő- és elmozdulás vektorok 51

52 lépés: terhek csomópontr redukálás A rúdelemekre közvetlenül htó terheket rúd két végpontjár koncentráljuk, kár erő, kár elmozdulás, vgy lkváltozás jellegű teherről vn szól Adott esetben rúdelem tehervektorit teljes tehervektorb vló beillesztés előtt trnszformálni kell 52

53 lépés: terhek csomópontr redukálás A csomóponti terhek vektor: q, mely z egyes csomópontokhoz trtozó q i tehervektorból tevődik össze: q1 q2 q = qi qn hol q i F = F M ix = iy iz Adott esetben rúdelem tehervektorit teljes tehervektorb vló beillesztés előtt trnszformálni kell 5

54 5 lépés: redukált tehervektor (q) összeállítás Az elmozdulás-mentesnek feltételezett csomópontokr összegzett erők és nyomtékok szolgálttják csomóponti kiegyensúlyoztln dinámok vektorát, zz tehervektort q = q 1 q2 qi qn q i = F F M ix iy iz 54 Trtók Sttikáj I

55 6 lépés: A Kv = q lineáris egyenletrendszer megoldás A tehervektor és merevségi mátrix ismeretében felírhtó mátrix feltételi egyenletrendszer: K: globális merevségi mátrix K v = q v: ismeretlen csomóponti elmozdulások q: csomópontokr redukált terhek vektor v = K -1 q (A megoldási módszerek számos változtát dolgozták már ki) A v megoldásvektor elemei z egyensúlyi állpothoz trtozó csomóponti elmozdulás-összetevők lesznek 55

56 7 lépés: Igénybevételek, rekcióerők számítás A v elmozdulások ismeretében kiszámíthtó rúdelemek S igénybevételei és rekcióerői Ez rúdelemek k ij merevségi mátrixink felhsználásávl történik: S = k ij v Ehhez dott esetben csomópontok v elmozdulás-vektorit globális rendszerből lokálisb kell trnszformálni 56