Függvények, 7 8. évfolyam

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Függvények, 7 8. évfolyam"

Átírás

1 Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8.

2 TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok Geometrii trnszformáiók Geometrii trnszformáiók (teszt) Lineáris függvén Lineáris függvén (teszt) Aszolútérték függvén Aszolútérték függvén (teszt) Másodfokú függvén Másodfokú függvén (teszt) Rionális törtfüggvén Rionális függvén (teszt) Négzetgök függvén Négzetgök függvén (teszt) Előjel, törtrész, egészrész Előjel, törtrész, egészrész (teszt) Függvéntrnszformáiók Függvéntrnszformáiók (teszt) Összetett függvének Összetett függvének (teszt) Tuljdonságok, műveletek Tuljdonságok, műveletek (teszt) Grfikus megoldás Grfikus megoldás (teszt) Függvénkpsoltok Függvénkpsoltok (teszt) Veges feldtok Lineáris progrmozás Megoldások Grfikonok Geometrii trnszformáiók Geometrii trnszformáiók (teszt) Lineáris függvén Lineáris függvén (teszt) Aszolútérték függvén Aszolútérték függvén (teszt) Másodfokú függvén Másodfokú függvén (teszt) Rionális törtfüggvén Rionális függvén (teszt) Négzetgök függvén Négzetgök függvén (teszt) Előjel, törtrész, egészrész Előjel, törtrész, egészrész (teszt) Függvéntrnszformáiók Függvéntrnszformáiók (teszt) Összetett függvének Összetett függvének (teszt) Tuljdonságok, műveletek Tuljdonságok, műveletek (teszt) Grfikus megoldás Grfikus megoldás (teszt) Függvénkpsoltok Függvénkpsoltok (teszt) Veges feldtok Lineáris progrmozás Segítő lökések Grfikonok Geometrii trnszformáiók Geometrii trnszformáiók (teszt) Lineáris függvén Lineáris függvén (teszt) Aszolútérték függvén Aszolútérték függvén (teszt) Másodfokú függvén Másodfokú függvén (teszt) Rionális törtfüggvén Rionális függvén (teszt) Négzetgök függvén

3 TARTALOMJEGYZÉK 5 6 TARTALOMJEGYZÉK 13. Négzetgök függvén (teszt) Előjel, törtrész, egészrész Előjel, törtrész, egészrész (teszt) Függvéntrnszformáiók Függvéntrnszformáiók (teszt) Összetett függvének Összetett függvének (teszt) Tuljdonságok, műveletek Tuljdonságok, műveletek (teszt) Grfikus megoldás Grfikus megoldás (teszt) Függvénkpsoltok Függvénkpsoltok (teszt) Veges feldtok Lineáris progrmozás

4 8 1. FEJEZET. GRAFIKONOK 1. FEJEZET Grfikonok A fejezeten sttisztiki dtokt KSH kidvániól válogttuk Árázoljuk derékszögű koordinát rendszeren z lái függvéneket! Rendeljük minden egjegű pozitív egész számhoz ) mgát számot; ) szám felét; ) szám háromszorosát; d) szám ellentettjét; e) szám szolút-értékét; f) szám reiprokát; g) szám négzetgökét; h) szám osztóink számát; i) szám pozitív osztóink számát; j) 0-t, h szám prím, egéként 1-et; k) zt számot, hán etűől áll szám neve. 1.. Eg kórházi eteg testhőmérsékletét kétóránként megmérték, kpott értékeket z lái táláztn láthtjuk. idő (ór) testhőmérséklet ( C) 38,5 38, ,1 38,5 38, 38,1 38 grfikon; kördigrm; pont-; terület-; pere-; sugár-; felület-; uorék-; árfolm-; henger-; kúp-; pirmis-digrmok. ) Eg-eg emenő dtsorrl próáljuk ki z összes árázolási lehetőséget! ) Elemezünk néhán semegét : 3D-oszlop; vonl térhtássl; 100%-ig hlmozott terület; tort; rontott pere st. ) Adjunk meg oln dtokt, melek szemléltetésekor vlmelik módszer lénegesen előnöse másiknál! d) Eges szemléltetési módokkl können mnipulálhtjuk kpott dtokt. Melik digrmml vn erre lehetőség, és hogn? 1.. Az lái táláztn Budpest jellemző hőmérsékleti dtit tüntettük fel. Hőmérséklet, C közepes 13,9 11,9 11,3 11 mimum 36,9 37,3 33,6 35,1 minimum -10,0-1,5-9,8-10,9 ingdozás ) Töltsük ki tálázt utolsó sorát! ) Elemezzük számdtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? ) Árázoljuk vonldigrmon eg-eg év dtit! d) Árázoljuk vonldigrmon nég év eg-eg hőmérsékleti jellemzőjét! 1.5. Az lái táláztn mgrországi népesség korsoportok szerinti eloszlását tüntettük fel (ktuális év jnuár 1-i dtok). Elemezzük számdtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? Szemléltessük z dtokt például vonldigrmml! (Alklmzhtunk különöző árázolási módokt.) 1.3. Összefüggő dtok szemléltetésére z OpenOffie.org Cl vg Mirosoft Eel progrm segítségével töféle digrm-típust, ezeken elül pedig különféle ltípusokt is lklmzhtunk. E progrmok pl. következő digrm-lehetőségeket kínálják fel: oszlopdigrm (ezen elül lehetséges ltípusok: soportosított, hlmozott és 100 sávdigrm; 7

5 FEJEZET. GRAFIKONOK Korsoport, eől férfi, eől nő, év ezer fő ezer fő ezer fő ezer fő ezer fő ) Hsonlítsuk össze néhán zonos korsoportn 000., 005. és 006. évi dtokt! ) Árázoljuk mindhárom éven népesség ngságát korsoportok függvénéen! (Alklmzhtunk különöző szemléltetési módokt.) ) Árázoljuk ugnzon grfikonon férfik és nők számát 006-n, korsoportonként! d) Hogn esülhetjük meg három dtsor lpján vlmel korsoport lélekszámánk természetes fogását? Érdekességképpen mellékeljük Mgrországr evándorló, illetve Mgrországról kivándorló külföldiek számát korsoportok szerint. A Mgrországr evándorló külföldiek szám korsoportok szerint: Korsoport, év A Mgrországról kivándorló külföldiek szám korsoportok szerint: Korsoport, év Az lái tálázt z ktuális év jnuár 1-i dtit trtlmzz. Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? Területi egség Népesség, 003., Népesség, 006., Terület, ezer fő ezer fő km Bás-Kiskun mege Békés mege Fejér mege Hjdú-Bihr mege Heves mege Komárom-Esztergom mege Pest mege Somog mege Vs mege ) Válsszunk ki felsoroltk közül néhán megét, s árázoljuk ezek népességét és területét! (Alklmzzunk soportosított oszlopdigrmot megék területének ngság szerint sökkenő sorrendjéen.) ) Árázoljuk z eges megéket népesség-terület grfikonon! ) Mekkor z eges megék népsűrűsége? (Az előző grfikonon közvetlenül összehsonlíthtjuk két mege népsűrűségét. Hogn?) 1.7. Az lái táláztn különöző típusú okttási intézméneket elvégzett diákok számát tüntettük fel. Milen tendeniák figelhetők meg tálázt dti lpján? Végzettség (ezer fő) évfolm 119,3 116, ,3 gimnáziumi érettségi 38,7 8,3 5, szkközépiskoli érettségi 50,9 6,5,7 3, felsőfokú oklevél 7, 5,8 53,5 57, ) Hán tnuló szerzett középiskoli érettségi izonítvánt z eges éveken? ) Az összes megszerzett középiskoli érettségi izonítván hán százlék volt gimnáziumi érettségi? ) Árázoljuk z érettségi izonítvánt szerzett diákok számát z eges éveken! (Alklmzhtunk különöző szemléltetési módokt.)

6 d) Htározzuk meg z lp-, közép- és felsőfokú végzettséget szerzett diákok százlékos ránát z összes végzettséget szerző diák számához képest! (Az dtok szemléltetésére lklmzhtunk például kördigrmot.) 1.8. Az lái táláztn középiskoli okttássl, neveléssel kpsoltos dtokt tüntettük fel. Elemezzük z dtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? fer /00 máj.0 jún.05 iskolák szám összes tnuló (nppli + esti tgozt, 1000 fő) 516,1 531, ,1 tnulók szám (nppli, 1000 fő) 0,9 38,1 38,7 1,1 osztálok szám (nppli) ) Hán esti tgoztos tnuló járt középiskoli képzésre z eges éveken? ) Átlgosn hán tnulór jut eg pedgógus? ) Átlgosn hán tnulór jut eg osztálterem? d) Menni volt z átlgos osztállétszám z eges éveken? e) Árázoljuk z ) - d) szármzttott dtokt z eges éveken! (Alklmzhtunk különöző szemléltetési módokt.) 1.9. Az lái táláztn z eges intézmének hllgtóink számát tüntettük fel (ezer fő). Intézmén fer.01 ápr.03 máj.0 jún.05 Óvod 3,3 37, ,6 Áltlános iskol ,6 861,9 Szkiskol ,8 135,3 135 Középiskol 516,1 531, ,1 Felsőfokú iskol 39,3 09,1 1,5, Összesen ) Töltsük ki tálázt utolsó sorát, pl. z OpenOffie.org Cl vg Mirosoft Eel progrmot hsználv! ) Szemléltessük z eges intézmének hllgtói számánk időeli változását! (Alklmzzunk különöző árázolási módokt!) ) Elemezzük z dtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? András eg táláztot tlált régi ppírji között. A táláztn Mgrországon kidott szépirodlmi könvek számát tüntették fel, művek műfj szerint soportosítv. Sjnos, tálázt eges ellái írt számok már elmosódtk, olvshttlnná váltk, ennek ellenére András sikerrel válszolt z lái kérdésekre. Mik voltk válszi? FEJEZET. GRAFIKONOK Műfj Példánszám (00, ezer dr) Verses mű, ntológi Regén, eleszélés Színmű Egé széppróz Összesen: 19 ) Hán művet dtk ki összesen 001-en? ) Hán regén, illetve eleszélés jelent meg 00-en? ) Hán százlékkl változott 001 és 00 között kidott verses művek, illetve ntológiák szám? d) 00-en z összes kidott műnek hán százlék volt regén? e) A nég műfji ktegóri közül meliknek volt legmgs művenkénti átlgos példánszám 00-en? Az lái táláztn mel, z előző feldtn szereplővel ellentéten, már nem hiános Mgrországon kidott szépirodlmi könvek számát tüntettük fel, műfjuk szerint soportosítv. Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? Művek szám példánszám (005-en, ezer d) Verses mű, ntológi Regén, eleszélés Színmű Egé széppróz ) Hán szépirodlmi művet dtk ki összesen z eges éveken? ) A kidott művek hán százlék volt színmű z eges éveken? ) Menni volt z eges művek átlgos példánszám 005-en? d) A tálázt lpján szemléltessük kidott szépirodlmi könvek számánk időeli változását! (Alklmzhtunk különöző árázolási módokt.) 1.1. Az lái tálázt 00-en és 005-en legngo példánszámn megjelent tíz országos npilpot trtlmzz. Elemezzük z dtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? Országos npilp (átlgos megjelenési példánszám, ezer d)

7 Sjtótermék Metro Blikk Népszdság Nemzeti Sport Mgr Nemzet 9 93 Mi Np 87 9 Népszv Mgr Hírlp 31 Epressz 30 8 Világgzdság ) Készítsünk tálázt lpján normál oszlopdigrmot 00-es év öt legngo npilpj példánszámánk feltüntetésével! ) Készítsük el két évre vontkozón hlmozott, mjd 100%-ig hlmozott oszlopdigrmokt is! ) Készítsük el megfelelő kördigrmokt z öt legngo npilp példánszámánk feltüntetésével! Az lái táláztn 1990-en, 001-en és 00-en Mgrországon kidott szépirodlmi könvek számát tüntettük fel, szerzők állmpolgárság szerint soportosítv. Elemezzük z dtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? Állmpolgárság példánszám (005, ezer d) meriki (USA) ngol seh frni lengel mgr német olsz orosz összesen ) A felsorolt 9 országon kívüli szerzőktől hán mű jelent meg z eges éveken? ) Hán százlékkl részesedtek z eges nemzetiséges szerzői 005-en teljes példánszámól? ) Menni volt z meriki, ngol st. szerzők műveinek átlgos példánszám 005-en? FEJEZET. GRAFIKONOK d) Árázoljuk mgr szerzők szépirodlmi műveinek lkulását három éven! (Szemléltethetünk különöző árázolási módokkl.) 1.1. Közös koordinátrendszeren megrjzoltuk eg glogos, eg koogó és eg kerékpáros út-idő grfikonját (lásd z 1. árát, hol z eges pontok koordinátái: A(0; 0), B(6; ), C(; 0), D(; 0), E(; 36)). Elemezzük grfikont! (Mi jellemzi z indulási időket és megtett útszkszokt, mekkorák seességek?) Az A és B városokt összekötő úton hld eg glogos, eg koogó és eg kerékpáros. Az út-idő grfikonon árázoltuk mozgásukt (lásd z 1. árát), ezek: z AFGH és BDE töröttvonlk, vlmint z IC szksz. Jellemezzük mozgásokt, s próáljuk meghtározni z eges tlálkozási időpontokt! Pisti fürödni ment. Az 1. grfikonon fürdőkádn lévő vízszint mgsságát tüntettük fel, z eltelt idő függvénéen. Mi történhetett z eges időszkokn? Az 1. út-idő grfikonon három test mozgását árázoltuk. Elemezzük grfikont! (Mi jellemzi z indulási időket és megtett útszkszokt, mekkorák seességek?) Az 1 árán három függvén grfikonj láthtó. Mi függvének értelmezési trtomán és értékkészlete? Az f függvén képe derékszögű koordinát rendszeren z AB és CD szkszokól áll, A( 5; 8), B(; 7), C(3; 3), D(6; 11). Htározzuk meg függvén értelmezési trtománát és értékkészletét, h ) A( 5; 3), B(; 1), C(1; 0), D(6; 11); s (km) A C E B D ár. t (ór)

8 FEJEZET. GRAFIKONOK ) A( 5; 3), B(; 7), C(3; 3), D(6; 6); ) A( 5; 3), B(; 5), C(0; ), D(6; 7) Mel pontn metszik derékszögű koordinát rendszer tengelét z lái függvének göréi? ) () = 5; + 3, [; ]; ) () = 3 6; d) d() = ; e) e() = ( + ) 3, {, 1, 0, 1, }; f) f() = 3 ; g) g() = 3. ) () = Mel pontn metszik derékszögű koordinát rendszer tengelét z lái függvének göréi? ) () = 5; ) () = 3 +, [ 1; 1]; ) () = , [ 1; 1]; d) () = 9; e) d() = 3 ; f) e() = ; g) f() = +. h (m) C D E F G H 10 s (km) 50 0 B D 5 A B I 0 t (per) F G C H E ár. A I ár. t (ór)

9 FEJEZET. GRAFIKONOK s (km) 00 B D F 100 A C E ár. t (ór) ár.

10 0. FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK Htározzuk meg P (10; ) pont képét ezeknél trnszformáióknál! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!. FEJEZET Geometrii trnszformáiók.1. Adott P (; 1) pont. Hjtsuk végre P ponttl z lái trnszformáiókt, s djuk meg P képének koordinátáit! ) Tengeles tükrözés z tengelre; ) tengeles tükrözés z tengelre; ) középpontos tükrözés z origór; d) középpontos tükrözés Q(; 6) pontr. Oldjuk meg feldtot P helett z R(; 6) ponttl is!.. Adott P ( 5; ) pont. Hjtsuk végre P ponttl z lái trnszformáiókt, s djuk meg P képének koordinátáit! ) λ = ránú ngítás z origóól; ) λ = 1 ránú kisinítés z origóól; ) λ = 3 ránú ngítás z origóól; d) λ = ránú ngítás C( 1; ) pontól; e) λ = 1 ránú kisinítés C( 1; ) pontól. Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.3. Adott P (8; 5) pont. Toljuk el P -t ) (3; 0); ) (0; ); ) (1; ); d) ( 100; 11) vektorrl, s djuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.. Adott P (10; ) pont. Hjtsuk végre P ponton zt merőleges ffinitást, melnek tengele z tengel, rán pedig ) λ = ) λ = 1 ) λ =. Adjuk meg P pont képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.5. Alklmzzunk oln merőleges ffinitást, melnek tengele z tengel, rán pedig ) λ = ; ) λ = 1 ; ) λ =..6. Adott P ( 5; ) pont. Vetítsük merőlegesen P -t z ) ; ) tengelre, s djuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.7. Adott P (5; ) pont. Forgssuk el P -t z origó körül ) 90 -kl; ) 90 -kl; ) 180 -kl s djuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.8. Adott P (5; ) pont. Forgssuk el P -t O(10; 6) pont körül ) 90 -kl; ) 90 -kl; ) 180 -kl s djuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.9. Adott P (8; 0) pont. Forgssuk el P -t z origó körül ) 60 -kl; ) 10 -kl; ) 0 -kl; d) 5 -kl; e) 135 -kl s djuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(0; 1) ponttl is!.10. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z A(; ) pontot. Az A pont tengelre vontkozó tükörképe legen B, B pont tengelre vontkozó tükörképe pedig C. Ezután változtssuk z A pont helzetét (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el)! ) Hogn változik B pont két koordinátáj? ) Hogn változik C pont két koordinátáj? ) Milen sejtést foglmzhtunk meg C koordinátáink változás lpján? d) Próáljuk igzolni sejtést!.11. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z A(; ) és C(3; 0) pontokt. Az A pontot tükrözzük z origór, íg kpjuk B pontot; mjd B-t tükrözzük C-re, ekkor keletkezik D pont. Ezután változtssuk z A pont helzetét (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el)! ) Hogn változik D pont két koordinátáj? ) Milen sejtést foglmzhtunk meg D koordinátáink változás lpján? ) Ezután változtssuk C pont helzetét z tengelen. Hogn változik D pont két koordinátáj? Ez lpján milen új sejtést foglmzhtunk meg? 19

11 .1. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel P ( 3; 5) pontot, és z ár szerinti és egeneseket. (Az egenes merőleges z tengelre, és átmeg z A(0; ) ponton; egenes merőleges z tengelre, és B(1; 0) ponton hld át.) Az és egenesek metszéspontj C pont. A P pontot z egenesre tükrözve kpjuk Q pontot; mjd Q-t tükrözve -re, keletkezik z R pont. Ezután változtssuk P pont helzetét (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el)! ) Htározzuk meg Q és R kezdeti koordinátáit! (Tehát mikor P koordinátái ( 3; 5).) ) Hogn változik P mozgtáskor z R pont két koordinátáj? ) Milen sejtést foglmzhtunk meg R koordinátáink változás lpján? d) Ezután változtssuk z egenes helzetét, például z A pont mozgtásávl 1. FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK z tengelen. Hogn változnk Q, R pontok koordinátái? e) Végül változtssuk egenes helzetét, például B pont mozgtásávl z tengelen. Hogn változnk ekkor Q, R pontok koordinátái? f) Foglmzzunk meg sejtéseket fenti mozgtások lpján, s próálkozzunk meg ezek igzolásávl!.13. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z A(; ) és B(3; 0) pontokt. Alklmzzunk λ = 0,5 ránú origó entrumú középpontos hsonlóságot (ekkor z A pont képe C), mjd λ = ránú B entrumú középpontos hsonlóságot (ekkor C képe D). Ezután változtssuk z A pont helzetét (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el)! ) Htározzuk meg C és D pontok kezdeti koordinátáit! (Tehát mikor A B A P C 6 Q A B C 6 R ár ár. A D C 6 B A D B 6 C ár ár.

12 koordinátái (; ).) ) Hogn változnk A mozgtáskor C és D koordinátái? ) Ezután változtssuk B pont helzetét z tengelen. Hogn változnk C, D pontok koordinátái? d) Foglmzzunk meg sejtéseket fenti mozgtások s D koordinátáink változás lpján, és próálkozzunk meg ezek igzolásávl!.1. Adott két pont, A(8; 3) és B(; 7). Htározzuk meg z AB szksz ) hosszát; ) F felezőpontjánk koordinátáit; ) z A végpontjához közelei H hrmdoló pontjánk koordinátáit! d) Oldjuk meg z -) feldtokt A és B helett z A (; ) és B (8; 1) pontokkl is!.15. Hjtsuk végre z 1. árán láthtó ABCD négzettel z lái geometrii trnszformáiókt, s djuk meg keletkezett súsok koordinátáit. A trnszformáiók: ) Tengeles tükrözés z tengelre; ) középpontos tükrözés z origór; ) középpontos tükrözés (; 3) pontr; d) eltolás ( 1; 3) vektorrl; e) λ = 1 ránú merőleges ffinitás, melnek tengele z tengel; f) λ = ránú merőleges ffinitás, melnek tengele z tengel; g) forgtás 90 -kl z origó körül; 3. FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK h) forgtás 90 -kl (; 3) pont körül. i) Oldjuk meg z -h) feldtokt ABCD helett z EF GH négzettel, melnek súsi: E( 3; ), F(3; ), G(5; ), H( 1; )..16. Adott z O(3; ) középpontú kör, melnek sugr 5 egség hosszú. Hjtsuk végre körrel z lái geometrii trnszformáiókt, s htározzuk meg keletkezett körök középpontjánk koordinátáit, vlmint körök sugrink hosszát! A trnszformáiók: ) Tengeles tükrözés z tengelre; ) középpontos tükrözés z origór; ) középpontos tükrözés (; 3) pontr; d) eltolás z (1; ) vektorrl; e) λ = 1 ránú merőleges ffinitás, melnek tengele z tengel; f) λ = 3 ránú merőleges ffinitás, melnek tengele z tengel; g) forgtás 90 -kl z origó körül; h) forgtás 90 -kl (; 3) pont körül..17. Htározzuk meg derékszögű koordinát-rendszeren zon P (; ) pontok hlmzát, melek koordinátáir teljesülnek z láik: ) = 1; ) ; ) 0; d) + = 0; e) + = 0; f) = 0; g) > 0 és + = 1; h) + ; i) + = ; j) = 1 vg = 1. Tükrözzük ponthlmzokt először z, mjd z tengelre, végül z origór (ez három különöző feldt). Az íg kpott ponthlmzokt (lkztokt, göréket) djuk meg egenlettel vg egenlőtlenség segítségével! B 6 C A 6 D ár.

13 6 3. FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK (TESZT) () λ = 0,5 ránú kisinítés z origóól trnszformáió eredméne B pont; 3. FEJEZET Geometrii trnszformáiók (teszt) 3.1. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (0; 7) pont. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) Tengeles tükrözés z tengelre trnszformáió eredméne z X pont; () tengeles tükrözés z tengelre trnszformáió eredméne z Y pont; (3) középpontos tükrözés z origór trnszformáió eredméne Q pont; () középpontos tükrözés C(; 11) pontr trnszformáió eredméne z R pont. Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik heles z állítások közül? A) X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(0; 1) B) C) D) E) Egik sem. X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(8; 15) X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(8; 1) X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(8; 15) 3.. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (0; 8) pont. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) λ = ránú ngítás z origóól trnszformáió eredméne z A pont; (3) λ = ránú ngítás Q(7; ) pontól trnszformáió eredméne C pont; () λ = 1 3 ránú kisinítés z R(; ) pontól trnszformáió eredméne D pont. Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik hmis z állítások közül? A) A(0; 16) B) B(10; ) C) C(61; 7) D) D( 8; 0) E) Egik sem (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (0; 8) pont. A P pontot eltoljuk (6; 0) vektorrl; z íg kpott A pontot eltoljuk (0; 3) vektorrl; végül z íg kpott B pontot eltoljuk z (5; 9) vektorrl, s kpjuk C pontot. Az lái állítások pontok koordinátáir vontkoznk. Melik igz z állítások közül? A) Az A tükörképe z tengelre (1; 8) pont. B) B( 1; 10) C) C( 9; ) D) B tükörképe z tengelre (1; 10) pont. E) Egik sem. 3.. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (0; 8) pont. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) λ = ránú merőleges nújtás (ffinitás) z tengelre trnszformáió eredméne z A pont; () λ = 0,5 ránú merőleges zsugorítás (ffinitás) z tengelre trnszformáió eredméne B pont; (3) λ = 0, ránú merőleges zsugorítás (ffinitás) z tengelre trnszformáió eredméne C pont; () λ = 1 ránú merőleges ffinitás elő z tengelre, mjd P pont képére λ = 1 ránú merőleges ffinitás lklmzás z tengelre is trnszformáió eredméne D pont. Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik hmis z állítások közül? A) A(0; 16) B) Az AB távolság 1 egség. C) C(; 8) D) P középpontos tükörképe z origór D. E) Egik sem. 5

14 3.5. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P ( 13; 7) pont. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) Merőleges vetítés z tengelre, mjd eltolás v(1; 3) vektorrl trnszformáiók szorztánk z eredméne z A pont. () Eltolás v(1; 3) vektorrl, mjd merőleges vetítés z tengelre trnszformáiók szorztánk z eredméne B pont. (3) Merőleges vetítés z tengelre, mjd eltolás v(1; 3) vektorrl trnszformáiók szorztánk z eredméne C pont. () Merőleges vetítés z tengelre, mjd tükrözés z tengelre trnszformáió eredméne D pont. Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik hmis z állítások közül? A) A( 1; 3) B) C(1; 10) C) D(0; 0), függetlenül P kezdeti helzetétől. D) A és B megegezik. E) A merőleges vetítés nem kölsönösen egértelmű trnszformáió (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (1; 7) pont. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) Forgtás z O origó körül 90 -kl trnszformáió eredméne z A pont. () Forgtás z O origó körül 180 -kl trnszformáió eredméne B pont. (3) Forgtás z O origó körül 70 -kl trnszformáió eredméne C pont. Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik hmis z állítások közül? A) A(7; 1) B) B( 1; 7) C) C z A pontnk O-r vontkozó középpontos tükörképe, függetlenül P kezdeti helzetétől. D) A P pont origó körüli, 90 -os elforgtottj megegezik C-vel. E) Egik sem (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dottk P (8; 3) és Q(; 5) pontok. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) Forgtás Q pont körül 90 -kl trnszformáió eredméne z A pont. () Forgtás Q pont körül 180 -kl trnszformáió eredméne B pont. (3) Forgtás Q pont körül 70 -kl - trnszformáió eredméne C pont FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK (TESZT) Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik hmis z állítások közül? A) A(; 11) B) B(; 7) C) C(0; 1) D) C z A pontnk Q-r vontkozó középpontos tükörképe, függetlenül P kezdeti helzetétől. E) Egik sem (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (10; 0) pont. Forgssuk el P -t z origó körül 60 -kl. Mik z íg kpott P pont koordinátái? A) P (10; 5) B) P (5; 10) C) P (5; 10 3) D) P (5; 5 3) E) P (5; 5 3) 3.9. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (0; 10) pont. Forgssuk el P -t z origó körül 135 -kl. Mik z íg kpott P pont koordinátái? A) ( 10 ; 10 ) B) (10 ; 10 ) C) ( 5 ; 5 ) D) ( 5 ; 10 ) E) Egik sem (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (1; 6) pont. Forgssuk el P -t z origó körül 0 -kl. Mik z íg kpott P pont koordinátái? A) (; 1) B) (6 3; ) C) (6 + 3; 3 + ) D) ( 3 3; 6 3) E) Egik sem (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P ( 10; 6) pont. Tükrözzük P -t z A(0; 3) pontr, képe P ; mjd P pontot tükrözzük B(0; 3) pontr, íg kpjuk P pontot. Az lái állítások közül hán hmis? (1) A P pont koordinátái (10; 0). () A P pont koordinátái ( 10; ). (3) A P P P háromszög egenlő szárú. () A P pont P pont tengelre vontkozó tengeles tükörképe, függetlenül P kezdeti helzetétől. (5) A P pont P pont vektorrl eltolt képe, függetlenül P kezdeti helzetétől. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 3.1. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P ( 1; 6) pont. Alklmzzunk λ = 1 3 ránú középpontos hsonlóságot z A(0; 3) entrumml (ekkor P pont képe P ); mjd lklmzzunk µ = 3 ránú középpontos hsonlóságot B(0; 3) középponttl, ekkor P képe P. Az lái állítások közül hán igz?

15 FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK (TESZT) (1) A P pont koordinátái (; ). () A P pont koordinátái ( 1; 18). (3) A P P P és AP B háromszögek hsonlók, megfelelő oldlk rán 1 : 3. () A P pont P pont AB vektorrl eltolt képe, függetlenül P kezdeti helzetétől. (5) H λµ = 1, kkor két trnszformáió eredméne egevágósági (távolságtrtó) leképezés, függetlenül z A és B pontok kezdeti helzetétől. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott két pont, A(1; 8) és B(; 16). Az lái állítások közül melek igzk? (1) Az AB szksz hossz 0 egség. () Az AB szksz F felezőpontjánk koordinátái (3; ). (3) Az AF szksz hossz 10 egség. () Az AB szksz A végpontjához közelei H hrmdolópontjánk koordinátái (6; 0). (5) A HB szksz hossz 0 egség (M) A derékszögű koordinát-rendszer P (; ) pontjin három hlmzt definiálunk: A = P (; ); < 0; B = P (; ); > 0; C = P (; ); =. Az lái állítások között hán hmis állítás vn? (1) Egik ponthlmz sem korlátos. () A B. (3) C B. () A C hlmz képe két egenes. (5) Vn oln egenes koordinát-rendszeren, melnek nins közös pontj A-vl. (6) Bármel z, tengelekkel nem párhuzmos egenesnek vn közös pontj B-vel. (7) Bármel z, tengelekkel nem párhuzmos egenesnek vn közös pontj C-vel. (8) A B (B komplementer hlmz) z tengel. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) A) () és () B) (), () és (5) C) Csk (5) hmis. D) (1), () és (3) E) Csk () hmis (M) Az O(; 9) középpontú, 5 egség sugrú k kört tükrözzük C(1; 6) pontr, íg kpjuk k kört. Az lái állítások között hán igz állítás vn? (1) Az A(; 6) pont rjt vn k körön. () A k kör középpontj (; 3). (3) A B(7; 7) pont rjt vn k körön. () A k és k körök területe megegezik. (5) A k kör átmeg z origón. A) 1 B) C) 3 D) E) 5

16 3. FEJEZET. LINEÁRIS FÜGGVÉNY. FEJEZET Lineáris függvén Ahol külön nem jelezzük, ott függvének értelmezési trtomán vlós számok lehető legőve részhlmz... A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z A(0; ) pontot, mjd ezen keresztül z 1 meredekségű e egenest (ez z egenes z tengelt B pontn metszi). Ezután változtssuk z A pont helzetét z tengelen (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el) úg, hog rjt átmenő e egenes meredeksége ne változzzék! Mi jellemzi z íg kpott egeneseket? Hogn mozog B pont?.5. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z = + egenletű egenest, hol =. Ezután értékét változtssuk rendre = 1; = ; = = 5-re. (Ezt mi Geoger progrmn, eg súszk segítségével végezzük el.) Mi jellemzi z íg kpott egeneseket?.6. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel = m + 1 egenletű egenest, hol m = 0,5. Ezután változtssuk m értékét! Legen rendre.1. Vázoljuk z lái függvének grfikonját! ) () = 0; ) () = 3; ) () = +,5; d) d() = 1 3 3; e) e() = + 5; f) f() = g) Hogn helezkednek el z )-f) feldtrészeken kpott függvéngörékhez képest z A 1 (; 1), A (6; 3), A 3 (; 1), A (10000; 0000), A 5 ( 10000; 0000) pontok? (Melik pont vn z dott göre felett, göre ltt, vg esetleg rjt görén?) h) A P (3; ) pont második koordinátáját nem ismerjük. Mit állíthtunk -ról, h P pont rjt vn z )-f) feldtrészeken dott függvén grfikonján? Adjunk válszt külön-külön mind ht esetre! Mel értékekre lesz P göre felett, illetve göre ltt z ) - f) eseteken? i) Oldjuk meg h) feldtrészt P helett Q(; ) pontr is! j) Oldjuk meg h)-i) feldtokt, h most P, Q pontok első koordinátáit nem ismerjük. Legen például P (; 5) és Q(; )! B A ár... Árázoljuk z f() = m függvén grfikonját, h ) m =, ) m = 1, ) m = 0,5, d) m =. Mi kpott függvéngörék közös jellemzője?.3. Árázoljuk z f() = + függvén grfikonját, h ) m =, ) m = 0, ) m = 0,7, d) m = 3. Mi kpott függvéngörék közös jellemzője? ár. 31

17 ) m = 0,5, ) m = 1, ) m = 1,5, d) m =! (Ezt mi Geoger progrmn, eg súszk segítségével végezzük el.) Mi jellemzi z íg kpott egeneseket?.7. Árázoljuk derékszögű koordinát-rendszeren h() = ( ) lkú függvéneket, hol rendre ) = 1, ) = 0, ) = 1, d) =! (Ezt mi Geoger progrmn, eg súszk segítségével végezzük el.) ) Mi jellemzi z íg kpott egeneseket? ) Milen sejtést foglmzhtunk meg z egenesek illeszkedésével kpsoltn? ) Igz-e sejtés tetszőleges vlós szám esetén? m = FEJEZET. LINEÁRIS FÜGGVÉNY.8. Vázoljuk z lái függvének grfikonját! Mi függvének értékkészlete? ) [ 5; ], () = 3. ) [; { 3[, () = , h 0; ) () = 0, h < 0. { d) d() = 3 1 3, h 5 < 8;, h 8 < 11. { 1 e) e() = 3 3, h < 5;, h 5 < 8. f) f : + 3, h { 1; 0; 1; ; 3; }..9. Vázoljuk z lái függvének grfikonját! Mi függvének értékkészlete? ) () =, ) () =, ) () = ++ +, ( [ 3; ]), d) d() = +9 (+) 5, e) e() = 3+ ( 1) (1 )..10. Mi z 1. árán láthtó d függvének hozzárendelési szál? Az és menniségek egenesen ránosk egmássl. Melik grfikon árázolhtj ezt függvénkpsoltot? Menni z ránossági ténező z eges eseteken? d ár. 6 = ár ár.

18 .1. Adjunk meg oln képleteket, melek segítségével Celsius-hőmérő, Fhrenheithőmérő és Réumur-hőmérő értékeit átválthtjuk! A Celsius-skálán 0 C jelöli víz fgáspontját, 100 C forráspontját; ugnezen értékek Fhrenheit-skálán 3 F, ill. F; ugnezen értékek Réumur-skálán 0 R, ill. 80 R; továá mindhárom skál lineáris eosztású. Egenesen ránosk Celsius-, Fhrenheit-, illetve Réumur-fokn mért értékek?.13. Htározzuk meg, hog milen hőmérsékletnél lesz Fhrenheit-fokn mért hőmérséklet mérőszám ) 10-szer; ) 5-ször; ) -szer kkor, mint Celsius-fokn mért hőmérséklet mérőszám. A kpott eredmének lpján először esüljük meg, mjd számítsuk is ki, hog milen hőmérsékletnél lesz Fhrenheit-fokn és Celsius-fokn mért hőmérséklet mérőszám egenlő. Milen érdekességet tpsztlunk?.1. Közös koordinátrendszeren megrjzoltuk z eg helről induló, egenletes seességgel hldó kerékpár, motorkerékpár és személgépkosi út-idő grfikonját. Jellemezzük göréket! ) Melik göre melik járműhöz trtozik? ) Mekkor z eges járművek átlgseessége? ) Mi járművek indulási sorrendje? d e FEJEZET. LINEÁRIS FÜGGVÉNY d) Mikor tlálkoztk egmássl z eges járművek?.15. Eg r sugrú köre írt szálos háromszög kerülete k. ) Hogn függ r-től k értéke? Htározzuk meg függvénkpsoltot! ) Egenes ránosság-e kpott függvén? Oldjuk meg feldtot háromszög helett z r sugrú köre írt szálos n- szöggel, h ) n = ; ) n = 6; d) n = 8; e) n = Az f függvén képe derékszögű koordinát rendszeren z A és B ponton átmenő egenes, A(; ), B(; 8). ) Adjuk meg függvén hozzárendelési szálát! ) Mel pontn metszi z egenes z és meliken z tengelt?.17. Írjunk fel először s = At, mjd s = At + B lkú lineáris út-idő kpsoltot z lái, két mérési dtpárt trtlmzó tálázt lpján, s mgrázzuk meg kpott eredmént: t(s) 1 s(m) Vn-e oln f() = + lkú függvén, melre teljesül, hog ) f(0) = 3 és f() = 5; ) f( 1) = 5 és f() = 5; ) függvéngöre áthld z A(; 1), B(9; 6) pontokon; d) függvéngöre áthld z A(; 1), B(9; 6), C(1; 8) pontokon? e) Változtssuk meg d) feldtn C második koordinátáját úg, hog z f() függvéngöre áthldjon mindhárom ponton! f) Mel pontn metszik z íg kpott görék z tengelt? 6 s (km) t (ór).1.1. ár ár.

19 .19. Az országút mentén fekvő A és B városok távolság 10 km. Reggel 8 órkor elindul A-ól B-felé eg kerékpáros v 1 = 15 km/h átlgseességgel, 9 órkor B-ől A-felé eg másik kerékpáros, v = 30 km/h átlgseességgel. ) Árázoljuk két kerékpáros mozgását út - idő grfikonon! ) Mikor tlálkoznk kerékpárosok? ) Oldjuk meg z előző feldtokt kkor is, h kerékpáros A-ól nem B város felé, hnem zzl ellentétes iránn indul el!.0. Az f függvén képe derékszögű koordinát rendszeren z AB szkszól áll, A( 5; ), B(; 16). Adjuk meg függvén hozzárendelési szálát!.1. Az 1. árán f() = + 1 függvén grfikonj láthtó z = 1.5 eseten. Változtssuk értékét! Rjzoljuk meg közös koordinátrendszeren z lái értékeknek megfelelő eseteket! ) =,5; ) = 0,5; ) = 0,5; d) = 1,5. (Hsználhtjuk Geoger progrmot is.) ) Milen sejtést foglmzhtunk meg z egenesek illeszkedésével kpsoltn? ) Igz-e sejtés tetszőleges vlós szám esetén?.. Vegük fel derékszögű koordinát-rendszeren z A(3; ) pontot, vlmint z O origón és z A ponton átmenő egenest. Szerkesszünk z origón merőlegest -r, íg kpjuk egenest; ezen pedig úg vegük fel B pontot, hog OA = OB teljesüljön (1. ár). (A B pont két lehetséges helzetéől mi zt válsztottuk, mikor z AOB iránított szög 90.) Ezután változtssuk z A pont helzetét! (A szerkesztést Geoger progrm segítségével végezzük el.) FEJEZET. LINEÁRIS FÜGGVÉNY ) Hogn módosul z és egenesek egenlete, vlmint B pont két koordinátáj? ) Milen sejtést foglmzhtunk meg z és egenesek meredekségével kpsoltn?.3. Melik igz és melik hmis z lái állítások közül derékszögű koordinátrendszeren? ) H két egenes párhuzmos, kkor meredekségük megegezik. ) H és egenesen rános menniségek, kkor két menniség közötti függvénkpsolt képe eg egenes. ) H z és menniségek közötti függvénkpsolt képe eg egenes, kkor és egenesen rános menniségek. d) Az f() = m + függvénkpsolt képe minden m és esetén egenes. e) Minden egenes egenlete = m + lkú. f) Bármel egenesnek vn meredeksége. g) H két merőleges egenes meredeksége m 1 és m, kkor m 1 m = 1. h) H z m 1 és z m meredekségű egenes merőleges egmásr, kkor m 1 m = = 1... Mekkor szöget zárnk e z, illetve z tengellel z lái egenesek? ) = ; ) = + ; ) = ; d) = 1 3 1; e) = 3 + 1,5. B A 6 = ár...1. ár.

20 39 0. FEJEZET. LINEÁRIS FÜGGVÉNY.5. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z A(0; 3) és B(; 3) pontokt, mjd vegük fel z A és B pontot összekötő e egenest. ) Htározzuk meg z e egenes egenletét! ) Változtssuk koordinát-rendszeren B pont helzetét (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el). Htározzuk meg z íg kpott egenes egenletét! ) Változtssuk z A pont helzetét z tengelen, s htározzuk meg z ekkor kpott egenesek egenletét is! d) Most A és B koordinát-rendszer tetszőleges ráspontji lehetnek. Adjuk meg z A és B pontot összekötő egenes egenletét, s miközen pontok helzetét változttjuk, elemezzük z egenes egenletének változását!.6. Árázoljuk z lái ponthlmzokt derékszögű koordinát-rendszeren: ) = 3, h ; ) = 3, h ; ) + < 1; d) ( )( 1) = 0; e) ( 1) + ( 1) = 0; f) 1 1 = 0; g) e B A ár.

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 011. márius 1. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

Függvények évfolyam. Szerkesztette: Orosz Gyula december 12.

Függvények évfolyam. Szerkesztette: Orosz Gyula december 12. Függvének 7 8. évfolam Szerkesztette: Orosz Gula 016. december 1. Technikai munkák (MatKönv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló Bernát,

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon Pdáni Ktolikus Gkorlóiskol, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Cél: pontos, kitrtó

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Függvények tanulmányozása 211

Függvények tanulmányozása 211 Függvének tnulmánozás KÚPSZELETEK A KÖR A kör értelmezését mint mértni helet már z áltlános iskoláól ismeritek. A foglmk rögzítése céljáól felelevenítjük ezt z értelmezést: Értelmezés. Az O ponttól r távolságr

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

Geometriai transzformációk, transzformációs egyenletek és alkalmazásuk a geoinformatikában

Geometriai transzformációk, transzformációs egyenletek és alkalmazásuk a geoinformatikában Geometrii trnszformációk, trnszformációs egenletek és lklmzásuk geoinformtikán Szkdolgozt Bódis Ktlin Szeged 999 Trtlomjegzék Trtlomjegzék Bevezetés.... Feldtok...5. A Föld felszínének sík vló leképezése...5.

Részletesebben

( x) XI. fejezet. Határozott integrál, terület és térfogat számítás. Elméleti áttekintés. A határozott integrál definícióját ld. a jegyzetben.

( x) XI. fejezet. Határozott integrál, terület és térfogat számítás. Elméleti áttekintés. A határozott integrál definícióját ld. a jegyzetben. Htározott integrál, terület és térogt számítás XI. ejezet Htározott integrál, terület és térogt számítás Elméleti áttekintés A htározott integrál deinícióját ld. jegzeten. Newton-Leiniz tétel: ( ) d [

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

VIII. Függvények tanulmányozása

VIII. Függvények tanulmányozása 5 Függvének tnulmánozás VIII. Függvének tnulmánozás 8.. A monotonitás vizsgált, egenlőtlenségek Tekintsük z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvént. A de- f ( ) f ( ) rivált értelmezésében szereplő

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolyamosok számára. M 1 feladatlap. Név:...

FELVÉTELI FELADATOK 8. évfolyamosok számára. M 1 feladatlap. Név:... 2005. jnuár-feruár FEVÉTEI FEADATOK 8. évfolymosok számár M 1 feltlp Név:... Születési év: hó: np: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást feltlpon végezz! Mellékszámításokr

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

9. évfolyam Hány darab ötjegyű kettes számrendszerbeli szám van?

9. évfolyam Hány darab ötjegyű kettes számrendszerbeli szám van? 9. évfolym 00. Ktink vn egy supsz áj. A ához már kpott kétféle klpot, három különöző lúzt, vlmint három különöző szoknyát. Hányféleképpen öltöztetheti fel előlük áját Kti, h egy szoknyát, egy lúzt és egy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 26. 11:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Matematikai feladatlap T9-2013

Matematikai feladatlap T9-2013 Keresztnév: Vezetéknév: TESZTFORM Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. roèník ZŠ ZONOSÍTÓ SZÁM T9-57 Kedves tnulók, mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt feldtot trtlmz.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2007. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet! HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

Mértani helyek 289. III. Mértani helyek

Mértani helyek 289. III. Mértani helyek értni helek 89 III. értni helek 3.. Lineáris feltételekkel dott mértni helek Gkrn tlálkoztok oln feldttl, melekben eg közös tuljdonsággl rendelkező pontok hlmzát kell meghtározni. ár z áltlános iskolából

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

Második epochafüzet. Matematika 9. évfolyam. Tulajdonos: ...

Második epochafüzet. Matematika 9. évfolyam. Tulajdonos: ... Második epochfüzet Mtemtik 9. évfolym Tuljdonos:... Trtlomjegyzék Amit z epoch végére tudni kell... Hlmzok...3 Intervllumok...6 Tájékozódás koordinát-rendszerben...9 Függvények...3 Függvények tuljdonsági...6

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK

1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK Gkorlt 08 echnik II. Szilárdságtn 0 08 Segédlet KÜLPONTOS HÚZÁS-NYOÁS Trtlom. ALKALAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK.... GYAKORLATOK PÉLDÁI.... TOVÁBBI FELADATOK..... Külpontos húzás-nomás..... Hjlítás és húzás... 9

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Matematikai feladatlap T9-2016

Matematikai feladatlap T9-2016 Keresztnév: Vezetéknév: TESZTFORM Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. ročník ZŠ ZONOSÍTÓ SZÁM T9-016 1455 Kedves Tnulók! mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt 0 feldtot

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2007. feruár 1. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2007. feruár 1. 15:00 ór M 2 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

4. Az a) és c) egyenlő, mindkettő a {12; 13} halmaz, valamint a b) és d) egyenlő mindkettő a {11; 12; 13; 14; 16; 17; 18} halmaz.

4. Az a) és c) egyenlő, mindkettő a {12; 13} halmaz, valamint a b) és d) egyenlő mindkettő a {11; 12; 13; 14; 16; 17; 18} halmaz. Megoldások hlmzok feldtink eredménei. Számhlmzok. ) 48 0 c) 70 3. 8 6. 0; ; ; 6; 3 7. ; 3; 9; 30; 73; 893 3. Műveletek rcionális számokkl. ) 3 0 c) 5 3. ) z első: 4, második:,48. második ngo z első:,35,

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 18. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

4. előadás: A vetületek általános elmélete

4. előadás: A vetületek általános elmélete 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009 Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

FELVÉTELI FELADATOK 8. osztályosok számára M 1 feladatlap

FELVÉTELI FELADATOK 8. osztályosok számára M 1 feladatlap 200. jnuár-fruár FELVÉTELI FELADATOK 8. osztályosok számár M 1 fltlp Név:... Szültési év: hó: np: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn próálkozást fltlpon végzz! Mllékszámításokr z utolsó, ürs

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára . évfolym AMt feltlp MATEMATIKA FELADATLAP. évfolymosok számár 0. jnuár. :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 24. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása A ezeték legméle pontjánk megtározás Elődó: Htiois Alen E 58. Vándorgűlés Szeged,. szeptemer 5. Vízszintes és ferde felfüggesztés - ezeték legméle pontj m / > < B Trtlom. Lángöre és prol függének A C m

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben