Emelt szintő érettségi tételek. 3. tétel: Nevezetes ponthalmazok síkban és térben

Átírás

1 . tétel: Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Ponthlmzok: Sík vgy tér részhlmzi, áltlán utsításokkl djuk meg: A P x; y R x + y = B= R Nevezetes ponthlmzok: = { ( ) } vgy { PO= r, r>. Két pont szkszfelezı merılegese ( síkon) Olyn egyenes, mely merılegesen felezi két pontot összekötı szkszt. A szkszfelezı merıleges zon pontok hlmz síkon, melyek szksz két végpontjától egyenlı távolságr vnnk. Biz.: Ez két állítást jelent:. A szkszfelezı merıleges minden pontj rendelkezik ezzel tuljdonsággl. Legyen szkszfelezı merıleges tetszıleges pontj C. o Ekkor AF = BF (F felezıpont), AFC p = BFCp = 9 és CF közös oldl AFC -nek illetve BFC -nek, így két háromszög egyevágó. Tehát CA = CB.. Minden ilyen tuljd-ú pont szkszfelezı merılegesen vn. Legyen egy D pont olyn tuljdonságú síkon, hogy DA = DB. Kössük össze D pontot AB szksz F felezıpontjávl. Ekkor z AFD és BFD egyevágó, mert minden oldluk megegyezik. Így AFD p = BFDp és együtt egyenesszöget lkotnk, tehát mindkettı o 9 és így DF merıleges AB-re.. Szögfelezı(k) Olyn egyenes, melyek egy dott szög ngyságát felezi. Egy szögnek külsı és elsı szögfelezıje is vn. A külsı és elsı szögfelezık merılegesek egymásr. o α β o Biz: mivel α +β= 8, ezért + = 9. A szögfelezı egyenes(ek) zon pontok hlmz síkon, melyek szög két szárától egyenlı távolságr vnnk. Biz: egyevágósági lpesetekkel, mint szkszfelezı merılegesnél.. Kör Azon pontok hlmz síkon, melyek egy dott ponttól (középpont), dott egyenlı távolságr (sugár) vnnk. kör= R PO= zárt körlp = { R PO nyílt körlp= { R PO< r ; r>

2 4. Ellipszis Azon pontok hlmz síkon, melyeknek két dott ponttól (fókuszpontok) mért távolságösszege ( két fókuszpont távolságánál ngyo) állndó. ellipszis = R PF + PF = d ; d> F F Szerkeszteni csk pontjit lehet (rjzolni cérnávl és két rjzszöggel): fölvéve d-t, tetszıleges módon két részre ontv, és két résszel fókuszpontokól körívezve körívek metszéspontjiként z ellipszis pontjit kpjuk Az ellipszis középpontj (O) szimmetricentrum. Az ellipszis tengelyesen szimmetrikus lkzt, - egyik szimmetritengelye fókuszpontokon átmenı egyenes (ennek z ellipszise esı része z ellipszis ngytengelye, ez épp d szksz) - másik szimmetritengelye fókuszpontok felezımerılegese (ennek z ellipszise esı része z ellipszis kistengelye ) A fókuszpontok távolság lineáris excentricitás, ezt c-vel jelöljük. Ezen három szksz közt érvényes: c + = Az ellipszis egyenlete, h dott középpontj O (u;v), kis- () és ngytengelye () ( x u) ( y v) + = (és persze tengelyei párhuzmosk koordináttengelyekkel) 5. Hiperol Azon pontok hlmz síkon, melyeknek két dott ponttól (fókuszpontok) mért távolságkülönsége ( két fókuszpont távolságánál kise) állndó. hiperol = { R PF PF = d ; d< F F } Szerkeszteni csk pontjit lehet: fölvéve d-t és tetszıleges módon meghosszítv, és rámért, illetve teljes résszel körívezve fókuszpontokól körívek metszéspontjiként hiperol pontjit kpjuk. A hiperol tengelyesen szimmetrikus lkzt: - egyik szimmetritengelye fókuszpontokon átmenı egyenes (ennek hiperolá esı része hiperol vlós tengelye: ) - másik szimmetritengelye fókuszpontok felezımerılegese (ennek z árán jelölt része képzetes tengely: ) A fókuszpontok távolságát c-vel jelöljük.

3 A képzetes tengely felét, -t megkphtjuk z lái összefüggésıl: + = c A hiperol göréje egyenesekhez simul, ezek z szimptoták. A hiperol egyenlete, h dott kp-j O (u;v), vlós () és képzetes tengelye () ( x u) ( y v) =, z szimptoták meredeksége pedig (természetesen h hiperol vlós tengelye párhuzmos z x tengellyel) m = ± 6. A prol Azon pontok hlmz síkon, melyek egy dott egyenestıl (vezéregyenes) és egy dott, rjt nem lévı ponttól (fókuszpont) egyenlı távolságr vnnk. prol= { R d( P;F) = d( P;v) } Szerkeszteni csk pontjit lehet: tetszıleges távolságn vezéregyenessel húzott párhuzmos és fókuszpontól ugynekkor távolsággl húzott körív metszéspontjiként prol pontjit kpjuk. A fókuszpont és vezéregyenes távolság prol prmétere (p). A prol tengelyesen szimmetrikus lkzt, tengelye fókuszponton áthldó, vezéregyenesre merıleges egyenes. Ennek metszéspontj prolávl prol tengelypontj (T). A koordinátsíkon egy függıleges tengelyő, T(u;v) tengelypontú, p prméterő prol egyenlete: p p fókuszpont: F u;v+, vezéregyenes: v : y= v, prol: y v= ( x u) p 7. Kúpszeletek: Az elıi három síkgöre megkphtó forgáskúp megfelelı síkmetszeteiként is:

4 8. A kúpszeletek tengely(ek) körüli forgtásávl keletkezı testek: forgásproloid forgásellipszoid kétköpenyő forgáshiperoloid egyköpenyő forgáshiperoloid 9. Göm Azon pontok hlmz téren, melyek egy dott ponttól (középpont), dott egyenlı távolságr (sugár) vnnk. göm= R PO= zárt gömtest = { R PO nyílt gömtest= { R PO<. Henger Azon pontok hlmz téren, melyek egy dott szksztól dott egyenlı távolságr henger= R d(p;t) = vnnk. Tehát:. Szkszfelezı sík: Két dott ponttól egyenlı távolságr lévı pontok hlmz téren.. Szögfelezı sík(ok) Két dott, metszı síktól egyenlı távolságr lévı pontok hlmz téren.. Alklmzások: - proltükör, ntenn - hjítás pályáj prol - Kepler-törvények - mőhold és rkét pályák (ellipszis, hiperol) - hngronást tlj szintjén hiperol lkn lehet észlelni (kúpszelet) - forgó folydékfelszín lkj forgásproloid - sík- és térgeometrii feldtokn lklmzhtók - függvények árázolás (egy- és kétváltozós)

5 - hulláminterferenci erısítési és gyengítési pontji hiperolát lkotnk