17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek.

Átírás

1 17. tétel: Egybevágósági transzfrmációk. Szimmetrikus skszögek. Gemetriai transzfrmáció: Olyan függvény, melynek értelmezési tartmánya és értékkészlete is egy-egy pnthalmaz (vagyis pntkhz rendel pntkat). Egy adtt pnt képét vesszıvel jelöljük. Identitás: Minden pnt képe önmaga. P = P. Tengelyes tükrözés: Adtt egy t egyenes (a tengely) a síkn. Egy adtt síkbeli P pnt képe az a P, melyre - ha P t, akkr P = P, azaz a tengely pntjainak képe önmaga; - ha P t, akkr P P szakasz felezımerılegese épp t tengely. Középpnts tükrözés: Adtt egy O pnt (középpnt) a síkn. Egy adtt síkbeli P pnt képe az a P, melyre - ha P= O, akkr P = P= O, azaz a középpnt képe önmaga; - ha P O, akkr P P szakasz felezıpntja épp O középpnt. Pnt körüli frgatás: Adtt egy O pnt (középpnt) a síkn és egy α irányíttt szög. Egy adtt síkbeli P pnt képe az a P, melyre - ha P= O, akkr P = P= O, azaz a középpnt képe önmaga; - ha P O, akkr PO = P O és P OPp= α. Párhuzams eltlás: Adtt egy v vektr a síkn. Egy adtt síkbeli P pnt képe az a P, melyre P P = v.

2 Középpnts hasnlóság: Adtt a síkn egy O középpnt és egy λ R \{ 0 } arány. A sík tetszıleges P pntjának legyen képe az a P síkbeli pnt, melyre - ha P= O, akkr P = P= O, azaz a középpnt képe önmaga; - ha P O, akkr P az a pnt OP egyenesén, OP melyre = λ, és ha λ < 0, akkr O OP elválasztja P-t és P -t, ha λ > 0, akkr nem. λ > 1 0 < λ< 1 1 <λ< 0 λ < 1 Transzfrmációk szrzata: Két transzfrmáció szrzata a két függvény kmpzíciója (egymásutánja). Jele: f g. Transzfrmáció inverze: Ha egy f : D f R transzfrmáció bijektív (vagyis kölcsönösen egyértelmő), akkr inverze f az a g : R f Df transzfrmáció, melyre f g= identitás. Jele: f 1 = g. Transzfrmáció fix pntja: Olyan pnt, melynek képe a transzfrmációnál önmaga. Invariáns alakzat: Olyan alakzat, melynek képe a transzfrmációnál önmaga (nem feltétlenül minden pntja fixpnt). Fix alakzat: Olyan alakzat, melynek minden pntja fixpnt. (Természetesen ez invariáns is.) Egybevágósági (távlságtartó) transzfrmáció: Olyan transzfrmáció, melynél bármely két pnt képeinek távlsága megegyezik az eredeti pntk távlságával, azaz P Q = PQ minden P-re és Q-ra. A sík egybevágósági transzfrmációi: a tengelyes tükrözés, a pnt körüli frgatás és a párhuzams eltlás, valamint ezek tetszıleges szrzatai. Minden síkbeli egybevágósági transzfrmáció alakzat- és szögtartó is, illetve van inverze. Két alakzat egybevágó, ha létezik lyan egybevágósági transzfrmáció, amelyik az egyik alakzatt a másik alakzatba viszi. (A hármszögekre ennél egyszerőbb feltételeket is mndhatunk, ezek a hármszög-egybevágósági alapesetek.)

3 Hármszög-egybevágóság alapesetei: Két hármszög akkr és csak akkr egybevágó, ha az alábbi esetek valamelyike teljesül: (1) megfelelı ldalaik hssza párnként egyenlı; () két-két ldalhsszuk és az ezek által közrefgtt szögek nagysága egyenlı; (3) egy ldaluk és két-két szögük párnként egyenlı nagyságú (4) két-két ldalhsszuk megegyezik és a nagybbikkal szemközt levı szögek nagysága egyenlı; Szimmetrikus skszögek: Egy (síkbeli vagy térbeli) alakzat knvex, ha bármely két pntjával együtt a két pntt összekötı szakasz pntjai is az alakzathz tartzik. Egy (síkbeli vagy térbeli) alakzat knkáv, ha nem knvex, azaz van lyan az alakzat két pntját összekötı szakasz, amelyik nem tartzik teljes egészében az alakzathz. Középpntsan szimmetrikus alakzat: Egy skszög középpntsan szimmetrikus, ha van lyan középpnts tükrözés, amelyre nézve az alakzat invariáns, azaz képe önmaga. Tengelyesen szimmetrikus alakzat: Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van lyan tengelyes tükrözés, amelyre nézve az alakzat invariáns, azaz képe önmaga. Frgásszimmetrikus alakzat: Egy alakzat frgásszimmetrikus, ha van lyan pnt és egy szög ( α 360 k ), amelyre nézve az alakzat invariáns, azaz képe önmaga. Szimmetrikus négyszögek: Tengelyesen szimmetrikus négyszögek: Deltid: Olyan négyszög, melynek két-két szmszéds ldala egyenlı hsszú. Az átlóik merılegesen felezik egymást. Legalább egyik átlója egyben szimmetriatengely is. Szimmetrikus trapéz: Olyan knvex négyszög, melynek van párhuzams ldalpárja (alapk), az egy szárn fekvı szögek összege 180, és az egy alapn fekvı szögek egyenlık. A trapéz az alapk felezıpntjai által meghatárztt tengelyre szimmetrikus.

4 Középpntsan szimmetrikus négyszögek: Paralelgramma: Olyan knvex négyszög, melynek szemközti ldalai párhuzamsak. Szemközti ldalai és szögei egyenlık, átlói felezik egymást. Az egy ldaln fekvı szögei egymást 180 -ra egészítik ki. Speciális trapéz. Középpntsan szimmetrikus, szimmetriaközéppntja az átlók metszéspntja. Frgásszimmetrikus is ugyanerre a középpntra α= 180 -s frgatással. Tengelyesen és középpntsan szimmetrikus: Rmbusz: Olyan knvex négyszög, melynek ldalai egyenlık. Mindkét átlója szimmetriatengely. Speciális deltid, paralelgramma. Tengelyesen (az átlóira) és középpntsan szimmetrikus (az átlók metszéspntjára) illetve frgásszimmetrikus is. Téglalap: Olyan knvex négyszög, melynek minden szöge derékszög. Átlói egyenlık. Speciális trapéz, paralelgramma. Középvnalai szimmetriatengelyek, az átlók metszéspntja szimmetriaközéppnt. Négyzet: Olyan knvex négyszög, melynek minden szöge, ldala egyenlı. (Szabálys négyszög.) Speciális trapéz, paralelgramma, téglalap, deltid és rmbusz. Átlói, középvnalai szimmetriatengelyek, az átlók metszéspntja szimmetriaközéppnt (és frgásközéppnt is α= 90 -s frgatással). Frgásszimmetrikus négyszögek: Frgásszimmetrikus négyszögek a középpntsan szimmetrikus négyszögek. Egy n ldalú knvex skszög átlóinak száma: n ( n 3) Biznyítás: Egy n ldalú knvex skszög egy csúcsából önmagába és a két szmszéds csúcsba nem húzható átló, ezért bármelyik csúcsába n 3 átló húzható. Mindegyik csúcst figyelembe véve ez n ( n 3) átlót jelentene, visznt mivel mindegyik átlót mindkét végpntjánál számltuk, ezért valójában az átlók száma ennek a fele. Egy n ldalú knvex skszög belsı szögeinek összege: ( n ) 180. Biznyítás: Az n ldalú knvex skszög egy csúcsából n 3 átló húzható. Ez az n 3 átló a skszöget n darab hármszögre bntja. Ezen hármszögek belsı szögeit összeadva a skszög belsı szögeinek összegét kapjuk.

5 Egy skszög külsı szöge az egyik belsı szögének mellékszöge. Bármely knvex skszög külsı szögeinek összege 360. Biznyítás: A skszög minden szögének és a hzzá tartzó külsı szögnek összege 180. Az n ldalú skszög esetében ezek összege n 180 fk. Az elızı tétel szerint ebbıl a belsı szögek összege ( n ) 180 fk. külsıszög- = n 180 n 180 = n n+ 180 = 180 = 360 összeg ( ) ( ) Szabálys skszögek: Egy skszög szabálys, ha belsı szögei egyenlıek és ldalai ugyanakkrák. 360 A szabálys n-szög a körülírt kör középpntjára nézve fkban frgásszimmetrikus. n Minden szabálys skszög tengelyesen szimmetrikus is. Ha a szabálys skszög párs ldalszámú, akkr a szimmetriatengelyét úgy kaphatjuk meg, hgy a szemközti csúcskat összekötjük, vagy úgy, hgy a szemközti ldalak ldalfelezıit. Minden párs ldalszámú szabálys skszög középpntsan szimmetrikus is. Páratlan ldalszámú szabálys skszög szimmetriatengelyei egy csúcst kötnek össze a szemközti ldal felezıpntjaival. Az n-ldalú szabálys skszög közpnti és külsı szöge: 360 β = (mert a külsı és közpnti szögei egyenlıek). n Az n-ldalú szabálys skszög egy belsı szöge: ( n ) 180 α = (mert a belsı szögei egyenlıek). n Ha összekötjük a középpntt a szabálys n-szög csúcsaival, akkr n db egybevágó egyenlı szárú hármszöget kapunk (amelyeknek egyenlı szára a skszög köréírható körének sugara (R), alapja a skszög ldala (a), az alaphz tartzó magassága pedig a skszög beírható körének sugara (r).

6 A szabálys skszög köréírható körének sugara: a a R = = csα sin β. ( ) A szabálys skszög beírható körének sugara: tgα a a r= =. tgβ ( ) A hármszögek területe (így a skszög területe is) többféleképp kiszámlható: a r R sinβ Tskszög = n T> = n = n Alkalmazásk: transzfrmációval megldható szerkesztési feladatknál fényvisszaverıdés törvénye (tengelyes tükrözés) mzgásk leírása természetes szimmetriák: a méhek szabálys hatszögekbıl alkttt lépet készítenek, mert az a legnagybb ldalszámú szabálys skszög, amelybıl a sík hézagmentesen kirakható és amely alkalmazásával a legkisebb viaszszükséglettel lehet a legnagybb tárló térfgatt biztsítani (ugyanis a legnagybb a terület/kerület arány) mlekulák térszerkezete: például a kén-trixid síkhármszög szerkezető, a kötésszögek mind 10 -sak, vagy a benzlgyőrő szabálys hatszög alakú. π közelítése: a π-t a kör területének minél többldalú szabálys skszögekkel való közelítésével lehet kiszámlni kör területének meghatárzása sík parkettázása szerkeszthetıség: egy szabálys skszög akkr és csak akkr szerkesztı (euklidészi módn), ha az ldalainak száma n k p, ahl p= + 1 alakú prímszám (Fermat prím) és n tetszıleges pzitív egész. (Mint például a 3, 5, 17, eddig nem is ismerünk többet ) szabálys testek: véges számú szabálys test van, ezek lapjai szabálys skszögekbıl állnak, ilyen a tetraéder (4 szabálys hármszög), a kcka, az ktaéder (8 darab szabálys hármszög), a pentagn-ddekaéder (1 darab ötszög), ikzaéder (0 darab szabálys hármszög) speciális dbókckák különbözı játékkhz