Geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon dr. Kiss Géza, Budapest

Átírás

1 Gemetriai feladatk megldása a kmplex számsíkn dr Kiss Géza, Budapest Az előadás srán a kmplex számkkal kapcslats szkáss algebrai és gemetriai fgalmakat, tulajdnságkat ismertnek tételezzük fel Az időkeret miatt több esetben el kell tekintenünk az időigényes - bár nagyn fnts és haszns - precíz építkezéstől, hgy lehetőség maradjn a kmplex számk használatának áttekinthetőségét, eleganciáját és erejét is megmutatni Bevezető feladatk A következő Am Math Mnthly-ban közölt biznyításra Mészárs József tanár úr hívta fel a figyelmemet A tétel biznyításában szereplő módszerrel Mészárs tanár úr megldtta Oláh György tanár úr egyik kedvenc feladatát, amely hárm egymáshz csatlakzó négyzetre vnatkzik Az egész anyag lvasható a Fazekas Gimnázium matematika prtálján a szemináriumi anyagk között Tétel: (Hern-képlet) Tetszőleges hármszög területe a szkáss jelölések mellett Biznyítás: Először készítsünk ábrát! T = s ( s a)( s b)( s c) 9

2 Kistérségi tehetséggndzás A hármszögek O-nál fellépő szögei a szkáss jelölésekkel rendre 90 α, β γ 90, 90 A beírt kör sugara r, az érintőszakaszk AP = s a, BQ = s -b, CR = s - c Helyezzük el mst az OPA, OQB és ORC hármszögeket a Gauss-féle kmplex számsíkn úgy, hgy az O pnt mindegyik hármszögre legyen a középpntban és a hármszögek r hsszúságú befgója a valós tengelyre essen Így az A, B, C csúcsknak megfelelő kmplex számk A = r + ( s a) i, B = r + ( s b) i, C = r + ( s c) i A hárm kmplex szám argumentumának összege α β γ α + β + γ = 70 = 80 Szrzáskr az argumentumk összeadódnak, következésképpen a hárm szám szrzatának képzetes része nulla kell, hgy legyen ( ) ( ) ( ) A B C = r + s a i r + s b i r + s c i = ( )( ) ( )( ) ( )( ) + 3 r r s a s b r s b s c r s c s a A képzetes rész nulla: ( ) + ( ) + ( ) ( )( )( ) i r s a r s b r s c s a s b s c Átrendezve és s-sel szrzva Végül beírjuk a jól ismert T ( ) ( )( )( ) r s a s b s c s a s b s c + + = 0 ( )( )( ) r s = s s a s b s c = r s összefüggést és éppen a Hern-képlet adódik T = s ( s a)( s b)( s c) 50

3 Mst vizsgáljuk egy kicsit a húrnégyszög Feuerbach-körét Az általánsság megszrítása nélkül a húrnégyszög köré írt köre legyen egységnyi sugarú és középpntja az O pnt, csúcsai a, b, c, d A hármszögnél megismertek a + b + c + d mintájára hívjuk az s = számt a négyszög súlypntjának, az m = a + b + c + d számt a négyszög magasságpntjának, és végül az a + b + c + d e = középpntú sugarú kört a négyszög Feuerbach-körének abc, abd, acd, bcd hármszögek súlypntjai s, s, Legyenek rendre az ( ) ( ) ( ) ( ) s, s ; magasságpntjai m, m, m, m ; Feuerbach-köreiknek középpntjai e, e, b a e, e b a Mst tekintsük például az m és d c b a m d távlságát m md = a + b + c + d a b c = d = Hasnlóan m m = m m = m m = a b c A négy hármszög magasságpntjai körül írt egységkörök egy pntban metszik egymást Ez az m pnt a húrnégyszög magasságpntja Mst vizsgáljuk az e pnt távlságát az egyes hármszögek Feuerbach-köreinek középpntjától a + b + c + d a + b + c d e ed = = = Hasnlóan e ea = e eb = e ec = A négy Feuerbach-kör középpntja távlságra van az e pnttól, tehát az e középpntú sugarú kör mindegyik hármszög Feurbach-körének középpntját tartalmazza A négy hármszög Feuerbach-kö- re az e pntban metszi egymást Ez a kör jggal nevezhető tehát a négyszög Feuerbach-körének Mst tekintsük a csúcsk és s súlypnt, illetve az egyes hármszögek súlypntjainak és a súlypntnak a különbségét a + b + c + d 3d a b c d s = d =, a + b + c + d a + b + c 3d a b c s sd = = 3 d d c c 5

4 Kistérségi tehetséggndzás Látjuk, hgy d, s és s d egy egyenesen vannak és s negyedeli az sd d szakaszt Más szavakkal a csúcskat a maradék hárm pnt által meghatárztt hármszög súlypntjával összekötő szakaszk egy pntban metszik egymást és negyedelik egymást Ezt hívjuk a négyszög súlypntjának Azt is természetesen látjuk, hgy az O pnt, a súlypnt, a Feuerbach-kör középpntja és a magasságpnt egy egyenesen helyezkednek el Végül vegyük az egyes hármszögek magasságpntjainak és az átellenes csúcsknak a felezőpntjait = = e Ha az eredeti négyszöget tükrözzük a + ma a + b + c + d a Feuerbach-körének középpntjára, akkr éppen a négy hármszög magasságpntjai által meghatárztt négyszöget kapjuk A két négyszög egybevágó Ez a megldás mutatja, hgy a kmplex számk minden lyan kellemes tulajdnságt hrdznak, amiket a vektrknál már megszktunk De ennél skkal többet is mndhatunk a későbbiekben Segédeszközök Gyakran van szükségünk annak eldöntésére, hgy két adtt egyenes párhuzams-e, illetve merőleges-e egymásra Visznylag kényelmes ennek eldöntése a kmplex számsíkn akkr, ha ismerjük a szereplő egyeneseknek és egy körnek a metszéspntjait Párhuzamsság Az O középpntú kör két párhuzams húrjának végpntjai legyenek a, a, illetve b, b Az ( ab ) ív egyenlő az ( ab ) ívvel, tehát a -et ugyanaz az O középpntú frgatás viszi b -be, amely b -t a -be A két kmplex szám hányadsa ugyanaz az egységnyi hsszúságú kmplex szám kell, hgy legyen b a = aa = bb a b A biznyítás da-vissza lvasható, ez a párhuzamsság feltétele 5

5 Merőlegesség Legyen mst az ( aa ) húr merőleges a ( ) a -et kapjuk A ( a a ) húr párhuzams a ( ) a -et az O pntra, így tehát a a, = b b ez a merőlegesség feltétele b b húrra Tükrözzük b b húrral, 3 Két húr metszéspntja Legyen ( aa ) és ( ) két húrja b b az O középpntú egységkör Célunk a két húr metszéspntjának meghatárzása a végpntk segítségével Jelöljük b b a a húr felezőpntját a-val, a ( ) az ( ) húr felezőpntját b-vel, a metszéspntt s-sel Mivel az ( Oas ) hármszög derékszögű, ezért alkalmazhatjuk a Pitagrasz-tételt: s = s a + a Figyelembe véve, hgy a kmplex szám hsszának négyzete a szám és knjugáltjának szrzata s s = ( s a)( s a) + a a 53

6 Kistérségi tehetséggndzás Ebből algebrai átalakítással illetve a a = a + a miatt s s + =, a a s s + =, a + a a + a a és a egységnyi kmplex számk, tehát knjugáltjuk éppen reciprkukkal egyezik meg Ezeket behelyettesítve az 5 saa + s = a + a egyenlőség adódik Az s pnt a ( bb ) húr egyenesén is rajta van, ezért hasnló eredmény írható fel b-re is: sb b + s = b + b Az utóbbi két összefüggésből s már kifejezhető: ( + ) ( + ) a a b b b b a a s = a a b b Amennyiben az O középpntú kör nem egységnyi sugarú, akkr az egyes kmplex számkat a kör r sugarával sztva egységnyi abszlút értékű számkat kapunk és alkalmazhatjuk az előző képletet Ez egy középpnts hasnlóság O-ra vnatkzóan Az előző jelölésekkel az egységsugarú körben a metszéspnt s a a b b b b a a r r + r r r r + r r a a b + b b b a + a s ' = = a a b b r aa bb r r r r ( ) ( ) Mst r-rel szrzva látjuk, hgy az előző frmula mst is érvényes tetszőleges r sugarú körben aa ( b + b ) bb ( a + a ) s = r s ' = a a b b Különösen egyszerű a két húr metszéspntjának számlása, ha a két húr merőleges egymásra

7 Ekkr aa = bb, tehát s a + a + b + b = A két egyenletet egymással elsztva és átrendezve Köri pntnégyes Vizsgáljuk meg, hgy mi az algebrai feltétele annak, hgy négy pnt egy körön legyen Az a, b, c, d pntk egy kör pntjai az ábra szerint A kerületi szögek tételéből követke- acb = adb, és emiatt a zik, hgy ( ) ( ) b c vektrt ugyanlyan szögű frgatás viszi az a c vel párhuzams helyzetbe, mint b d t a d vel párhuzams helyzetbe Jelöljük e-vel azt az egységvektrt, amely ezt a frgatást biztsítja Ekkr ( b c) e a c, valamint ( b d ) e a d, vagyis ( b c) e = λ ( a c) és ( b d ) e = µ ( a d ) a c µ b c a c b d a c a d µ = = : = a d λ b d b c a d b c b d λ a c a d Az : kifejezést az a, b, c, d kmplex számk kettős visznyának b c b d nevezzük és (a, b, c, d)-vel jelöljük Látjuk, hgy köri pntnégyes esetén ez a kettős viszny egy valós szám Vajn igaz-e ez visszafelé is? Abból, hgy négy kmplex szám előbb definiált kettős visznya valós következik-e, hgy a négy pnt egy körön van? a c a d a c a d a c a d Ha : = k R, akkr = k Tehát b c b d b c b d b c b d Ha a k valós szám pzitív, akkr a c és b c vektrk α szöge megegyezik a d és b d vektrk β szögével, ellenkező esetben pedig 80 -ra egészíti ki azt Ha α = 0, akkr β = 0 vagy β = 80, tehát a négy pnt egy egyenesen van Ha α 0, és ha c és d az (ab) egyenes ugyanazn ldalán helyezkedik el, akkr 55

8 Kistérségi tehetséggndzás a c és a d egyirányúak, tehát α = β, a kerületi szögek tétele alapján a négy b c b d pnt egy körön van Ha az (ab) elválasztja c-t és d-t, akkr az a c és a d b c b d vektrk ellentétes irányúak, következésképpen α + β = 80, az α és β egy húrnégyszög két szemközti szöge, a négy pnt egy körön van A kettős visznynak rengeteg fnts tulajdnsága van, nagyn sk kiemelt területen alkalmazható Teljesebb kiépítése időigényes, de megtérül A későbbiekben felhasználjuk azt a tényt is, hgy a pntk srrendjét váltztatva négy pnt kettős viszny λ λ összesen hatféle értéket vehet fel Ezek λ,, λ,,, Mivel a kettős λ λ λ λ viszny nem vehet fel sem 0, sem értéket, így, ha valamelyik valós, akkr mindegyik valós 5 Hasnló hármszögek Az (xyz) és ( ' ' ') x y z azns irányítású hármszögek akkr és csak akkr hasnlók, ha az x z vektrt ugyanaz a frgatva nyújtás viszi át az y z be, mint amelyik x ' z ' t az y ' z ' be Ez azt jelenti, hgy van lyan f kmplex szám, amellyel ( x z) f = y z és ( ) x z x ' z ' = y z y ' z ' x ' z ' f = y ' z ' Ebből pedig 6 Szabálys hármszögek Ha az (abc) hármszög szabálys, akkr egyben (abc) és (bca) hármszögek hasnlóak is Használjuk az előző feltételt: a c b a = b c c a Beszrzás és rendezés után a ac a b bc ab ac + = +, azaz a + b + c = ab + bc + ca Mivel az átalakításk da-vissza elvégezhetők és az (abc) hármszög akkr és csak akkr hasnló a (bca) hármszöghöz, ha a hármszög szabálys, egy szép algebrai feltételt nyertünk hármszög szabálysságának igazlására 56

9 3 Tételek, feladatk, alkalmazásk 3 Feladat: Mutassuk meg, hgy a hármszög magasságpntjának ldalakra vnatkzó tükörképei a köré írt körön vannak Megldás: Legyen az egyszerűség kedvéért a köré írt kör középpntja ismét az O pnt, a hármszög csúcsai pedig a, b és c Állítsunk merőlegest a (bc) ldalra az a pntból és messe ez a merőleges a kört a pntban A merőlegesség feltétele alapján tudjuk, hgy bc = a a ' bc Ebből p = Ezután határzzuk meg a két merőleges húr metszéspntját a bc a + b + c t = a p + m Ha a pnt t-re vnatkzó tükörképe valóban az m pnt, akkr = t Ez teljesül, az állítás igaz 3 Feladat: Igazljuk, hgy a hármszög talppnti hármszögének ldalai merőlegesek a hármszög köré írt kör csúcskhz tartzó sugaraira Megldás: Az előző feladat alapján tudjuk, hgy a talppnti hármszög ldalai párhuzamsak ' ' ' a ' b' c ' hármszög a talppnti hármszög az ( a b c ) hármszög ldalaival Az ( ) m-ből kétszeres nagyíttt képe Elegendő tehát belátni, hgy a c-be mutató sugár a ' b' -re; a másik két sugárra ugyanez teljesül Az (Oc) sugarat merőleges ( ) tartalmazó húr másik végpntja c, így azt kell belátni, hgy ( c, c) és ( a ' b ') húrk merőlegesek Ennek teljesülését ellenőrizhetjük a merőlegesség feltételével: a ' b' = ( c) c a b bc ac a b ' ' = = c 57

10 Kistérségi tehetséggndzás 33 Feladat: Egy 60 -s szög egyik szárán elhelyezkedő A, illetve A pntnak a szög csúcsától mért távlsága p, illetve q; a másik szárn elhelyezkedő B, illetve B pntnak a csúcstól mért távlsága pedig q, illetve p Az A B szakasz felezőpntja C Biznyítsuk be, hgy az ABC hármszög szabálys Megldás: Erre a feladatra mst a frgatásknál megszktt módszer mellett algebrai megldást is adunk Az egyszerűség kedvéért legyen a szög csúcs O, és legyen az OA szögszár a valós tengelyen Ekkr a másik szár pntjai ennek a szárnak a pntjaiból 60 -s egységvektrral történő szrzással érhetők el Az egységvektr 3 e = + i Az egyes pntkhz tartzó kmplex számk: a = p, a = q, b = q e; b = p e A C pnthz tartzó kmplex szám felezőpntként adódik c = pe + q Írjuk be az eddigieket a szabálys hármszögre vnatkzó szükséges és elégséges feltételbe Ezt rendezve p + q e + p e + pq e + q = = pq e pq e q e p e pq p e e q e e pq e e ( + ) + ( + ) = ( + ), ( ) p pq q e e + ( + ) = 0 Ez valóban teljesül, mert e + = e A vektrs megldásnál AC = q + pe p = q + p ( e ), tvábbá felhasználva, hgy e = e, AC = q + p e Az AB = q e p Frgassuk el az AC -t 60 -kal pzitív irányba, ez éppen egy e-vel történő szrzás Így, mivel e hatdik egységgyök kapjuk, hgy 3 AC e = q + p e e = q e + p e = q e p = AB A két ldalvektr egymás ( ) 60 -s elfrgatttja, a hármszög szabálys 58

11 3 Feladat: Egy ABC hármszög ldalai fölé szerkesztett négyzetek középpntjai szabálys hármszöget alktnak Mit mndhatunk a hármszögről? Megldás: Legyen az eredeti hármszög (abc), négyzetközéppntk által meghatárztt pedig (xyz) Ha x az (ab) ldal fölé szerkesztett négyzet középpntja, akkr x a merőleges b x re és vele egyenlő hsszúságú ebből és ugyanígy ( x a) i = b x, b + ai x =, + i c + bi, a + y = z = ci + i + i Annak feltétele, hgy az (xyz) szabálys legyen x + y + z = xy + yz + zx Ebbe az egyenlőségbe az előbbieket behelyettesítve és ( + i) -tel szrzva: b + abi a + c + bci b + a + cai c = bc b i cai ab ca c i abi bc ab a i bci ca = Az egyszerűsítések után és i-vel sztva a + b + c = ab + bc + ca Látjuk, hgy a két egyenlőség ekvivalens Pntsan akkr lesz a négyzetközéppntk által meghatárztt hármszög szabálys, ha az eredeti is az 59

12 Kistérségi tehetséggndzás 35 Feladat: Igazljuk, hgy tetszőleges négyszög csúcsaiból képzett hármszögek Feuerbach-körei egy közös pntn mennek át (Az előző tanévben KÖMAL feladat vlt) Megldás: Legyenek a négyszög ldalainak felezőpntjai a, b, c és d, átlóinak felezőpntjai e és f - az ábra szerint Az O pntt úgy válasszuk meg, hgy az (abe) és (adf) körök a-tól különböző közös pntja legyen (Az O egybe is eshet a-val!) Elegendő megmutatni, hgy a fenti két kör közös O pntján pl a (bcf) kör is átmegy A (cde) körre a biznyítás ugyanúgy menne A feltétel algebrailag azt jelenti, hgy az (, e; a, b) és (, d; f, a) kettős visznyk valósak, a biznyítandó pedig az, hgy (, c; f, b) is valós A feltétel részletesebben: a e a (, e; a, b) = : = λ (valós), b e b f d f (, d; f, a) = : = µ (valós) a d a Szrzzuk össze a két egyenlőséget: ( e a)( d f ) ( )( ) f : = λµ b e b d a De tudjuk, hgy d f = e b, mivel közös alapú hármszögek középvnalvektrai Ugyanezen kból e a = c f és d a = c b 60

13 Egyszerűsítés után ezeket behelyettesítve ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f e a d f f e a f c f : = : = : =, ;, b e b d a b d a b c b ( c f b) Ez a négy pnt is egy körön van A nehézséget még valamennyi gyakrlás után is az kzza, hgy elegánsan, áttekinthető algebrai művelettel származtassuk a keresett kettős visznyt Látjuk, hgy nem kizárólag a bevezetőben tárgyalt húrnégyszögek négy Feuerbach-köre metszi egymást egy pntban, ez az állítás tetszőleges négyszögre igaz Ekkr aznban a Feuerbach-körök sugara különböző, a négy középpnt nincs egy körön 36 Tétel: (Newtn tétele) Az érintőnégyszögbe írt kör középpntja rajta van az átlók felezőpntjait összekötő egyenesen Biznyítás: Helyezzük el az abcd négyszöget úgy, hgy beírt körének középpntja az O pnt legyen Jelölje a beírt kör érintési pntjait az (ab), (bc), (cd), (da) ldalakn rendre x, y, z és u Mivel az x vektr merőleges b x -re és y merőleges b y -ra, tvábbá x = y és b x = y b, ezért b x = λix, és y b = λiy, mivel az x vektrt ugyanaz a 90 -s frgatva nyújtás viszi át b x -be, mint amilyen y-t y b -be Ebből a két b x x egyenletből = y b y Mst ki tudjuk fejezni b-t az x és y xy segítségével b = x + y yz zu ux Hasnlóan kapjuk, hgy c =, d =, a = y + z z + u u + x Legyen mst az (ac) és (bd) átlók felezőpntja e és f Azt kell belátnunk, hgy e és f vektrk egymás számszrsai, vagyis hányadsuk valós 6

14 Kistérségi tehetséggndzás Mivel a + c b + d e = és f =, ux yz + e a + c u + x y + z ( x + y)( z + u) x + y z + y = = = = :, f b + d xy zu ( u + x)( y + z) z + u z + u + x + y z + u ez visznt éppen az x, z, -y, -u köri pntnégyes kettősvisznya, ami valós szám 37 Lemma: Adtt négy kör C, C, C3, C a kmplex síkn úgy, hgy C metszéspntjai z, w ; C 3 metszéspntjai z, w ; C 3 metszéspntjai z3, w 3; és végül C metszéspntjai z, w A z, z, z 3 és z pntk akkr és csak akkr helyezkednek el egy körön, ha w, w, w 3 és w pntk is egy körön vannak 6

15 Biznyítás: Feltevésünk szerint a következő kettős visznyk mind valósak: Következésképpen z z z w, ;, :, w z w w ( z w z w ) = z z z w, ;, :, w z w w 3 ( z w z w ) = z z z w, ;, :, w z w w ( z w z w ) = z z z w, ;, : w z w w ( z w z w ) = ( z, w ; z, w ) ( z3, w ; z, w3 ) = ( z, w3 ; z3, w ) ( z, w ; z, w ) ( z z )( z3 z )( w w )( w w3 )( w3 z3 )( w z )( z w )( z w ) ( z z )( z z )( w w )( w w )( w z )( w z )( z w )( z w ) Az egyszerűsítés után pedig ( z z )( z3 z )( w w )( w w3 ) ( z z )( z z )( w w )( w w ) 3 3 Mst két-két előjelet megváltztatva a képlet átírható ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) = ( z z z z ) ( w w w w ) z z z3 z w w w3 w z z z z w w w3 w = : : = z3 z z z w3 w w w z3 z z3 z w3 w w w, ;,, ;, 3 3 Vagyis ( z, z ; z, z ) pntsan akkr lesz valós, ha (, ;, ) beláttuk 3 w w w w Ezzel az állítást 3 = 38 Cliffrd-tétel: A síkn n darab egyenest általáns helyzetűnek nevezünk, ha semelyik kettő nem párhuzams és semelyik hárm közülük nem metszi egymást egy pntban Két általáns helyzetű egyenes metszéspntját nevezhetjük a két egyenes Cliffrd-féle pntjának Hárm általáns helyzetű egyenesnek hárm Cliffrd-féle pntja van és ezek körülírt köre, a hárm egyenes Cliffrd-köre Mst 63

16 Kistérségi tehetséggndzás vegyünk négy általáns helyzetű egyenest a síkn: C, C, C3, C Legyen a C j és C k egyenesek (egyik) metszéspntja z jk (a másik ), a z jk, zkm, z jm pntk köré írt köre pedig C jkm Alkalmazzuk az előző lemmát a C3, C, C, C 3 körök -re Ekkr a következőket figyelhetjük meg: C 3 metszéspntjai z3, z ; C metszéspntjai, z ; C 3 metszéspntjai z3, z ; C 3 3 metszéspntjai z3, z 3, ahl z 3 az új metszéspntja a C 3 3 köröknek (, a másik z 3 ) Mivel z3,, z3, z3 kllineárisak, ezért aznnal következtethetünk, hgy z, z, z, z 3 egy körön vannak A jelölések alapján azt is tudjuk, hgy z, z, z köré írt köre C Ezek szerint C, C3, C 3 körök metszik egymást a z 3 pntban 6

17 Másrészt, ugyanez elmndható a C3, C, C, C 3 körökre más szerepsztással is Mivel z,, z, z3 kllineárisak (mind a C egyenesen vannak), ezért z3, z, z3, z 3 egy körön vannak A z3, z, z 3 köré írt kör C 3 Ezek szerint C3, C3, C 3 körök is a z 3 pntban metszik egymást A négy kör a z 3 pntban metszi egymást Ezt a pntt hívjuk a négy egyenes Cliffrd-féle pntjának Ezután már nem érdemes megállni! Mst vegyünk öt általáns helyzetű egyenest Bármelyik négynek van Cliffrd-féle pntja Belátható, hgy az így nyerhető öt Cliffrd-féle pnt egy körön van Sőt! Hat általáns helyzetű egyenesnek hat Cliffrd-féle köre van Ezek úgy keletkeznek, hgy egy-egy pntt elhagyunk és a maradék öt pntnak vesszük a Cliffrd-körét Belátható, hgy ez a hat kör egy pntban metszi egymást, stb Kaptunk egy végtelen tétellánclatt, az ún Cliffrd-féle tétellánct Felhasznált irdalm:, Reiman István: Gemetriai feladatk megldása a kmplex számsíkn, Középisklai szakköri füzet, Tankönyvkiadó, 97, Reiman István: Gemetria és határterületei, Szalay Könyvkiadó, 999 3, IM Jaglm: Cmplex Numbers in Gemetry, Academic Press, 968, Edvards, MD:,,A prf f Hern s Frmula, Am Math Mnthly XII 007 5, 6, Liang-shin Hahn: Cmplex Numbers and Gemetry, The Mathematical Assciatin f Amerika, 99 65