Testépítés. Kovács Zoltán (Nyíregyházi Főiskola Debreceni Egyetem) zeus.nyf.hu/ kovacsz július 7.

Átírás

1 Testépítés Kvács Zltán (Nyíregyházi Főiskla Debreceni Egyetem) zeus.nyf.hu/ kvacsz július 7.

2 A címlapn látható csillagtest, a nagy ikzi-ddekaéder mdelljének elkészítésére a KöMaL évi nvemberi számában pályázatt írtak ki. A pályázatra 16 mdell érkezett be. A fődíj egy G játékkészlet vlt, emellett 3 darab 100 frints könyvutalvánnyal jutalmazták a legszebb mdellek elkészítőit. Az itt látható virtuális mdellt, csakúgy mint a későbbiekben szereplő többi pliédermdellt a Pv-Ray prgrammal készítettem. 1

3 Bevezetés A tankönyveket lapzgatva gyakran találkzk lyan feladatkkal, amelyek pliéderek knstrukciójával fglalkznak, a legkülönbözőbb módn variálva a témát. A kísérletezésnek, knkrét manuális tevékenységnek a szerepe a térszemlélet alakításában felbecsülhetelen, egyéb fejlesztő hatásairól nem is beszélve az ilyen feladatknak. Ezért ezeket mindig nagy örömmel fgadm. Ebben az előadásban elmndk néhány prblémát és kérdést, amely az ilyen típusú feladatkról eszembe juttt, végül magunk is megldunk egy knstrukciós prblémát. A tankönyv idézetek a Hajdú Sándr-féle tankönyvcsaládból valók. 1. Pliéder knstrukciós feladatk 1. A hatdiks tankönyv egy feladatában különböző síkidmk rajza szerepel. Az utasítás szerint mindegyikből minél többet kell készíteni és különböző testeket kell knstruálni a lapkból. 2. Még izgalmasabb az a tankönyvben feltett kérdés, hgy létezik-e lyan test a kckán kívül, amelynek lapjai egybevágó négyzetek. (1. ábra.) 1. ábra. Egybevágó négyzetekből álló knkáv pliéder. 3. A hetedikes tankönyvben. Építsünk testet: (többek között) hat darab egybevágó rmbuszból; két a ldalú egybevágó rmbuszból, egy a ldalú négyzetből és két darab a ldalú szabálys hármszögből... 2

4 Ezekben a feladatkban csak a lapk típusát adjuk meg, azk csatlakzására vnatkzó előírás nélkül. A másdik kérdés megválaszlása már felveti azt a kérdést, hgy mit tekintünk egyáltalán pliédernek. A tvábbiakban (ha mást nem mndunk) csak knvex pliéderekről lesz szó. A későbbiekben megldjuk a következő prblémákat. 1. Prbléma (KöMaL, F.2571)). Hányféle ötlapú knvex pliéder létezik? Az előbbi tankönyvpéldákhz az a kérdés illene, hgy hányféle hatlapú knvex pliéder létezik. Ezt itt időhiány miatt nem tárgyalm, de bízk benne, hgy az lvasó elég kedvet érez hzzá, hgy önállóan megválaszlja a kérdést, s abban is bízm, hgy a megldáshz itt elég útmutatást kap. 2. Prbléma (Deltahedrn-prbléma). Hány lyan knvex pliéder van, amelynek lapjai egybevágó szabálys hármszögek. A végére hagytam egy lyan prblémát, amely látszólag egy egyszerű felszínszámítási prbléma, valójában ez is pliéder-knstrukciós feladat. Ezt mst részletesebben is diszkutálm. 3. Prbléma (8. sztály). Vázld fel a 2. ábrán látható gúla egy lehetséges hálóját! Alaplapja rmbusz. Számítsd ki a felszínét! e f 2. ábra. e = 3cm; f = 4cm; = 5 cm Először a feladat környezetéből kiindulva tegyük még azt is hzzá a feladathz, hgy minden ldalél egybevágó. (A rajz szerint egyébként csak hárm.) Ha így tekintjük a feladatt, akkr első ránézésre is látszik, hgy ilyen pliéder nincs. 3

5 e f 3. ábra. A kék és zöld hármszög magassága nem egyezik meg Első bstrukció. Ugyanis az (, e, ) ldalakból és az (, f, ) ldalakból álló hármszögek magassága nem egyezik meg (3. ábra). Ha ezt rögtön nem vesszük észre, s a rajz alapján tényleg elkészítjük a pliéder hálózatát, akkr még egy súlysabb tényre is fény derül: már az előbbi hármszögek sem léteznek. Nézzük először a hálózatt: 4. ábra. Másdik bstrukció. Ha a hálózatt a térben össze akarjuk hajtani úgy, hgy knvex pliéder legyen belőle, akkr F az AD szakasz felező merőleges síkjában mzg, a H pnt pedig az BC szakasz felező merőleges síkjában. Ezek a síkk pedig párhuzams, nem egybeeső síkk. (Az 5. ábrán a síkk és a rmbusz síkjának metszésvnala a két zöld egyenes.) Ez azt jelenti, hgy F és H a térben nem egyesíthetők. (A G és E csúcsra hasnló állítás mndható el, ld. az ábra pirs egyeneseit.) A feladat megldásánál tehát szigrúan kell venni az ábrát, csak hárm ldalél egybevágó. A hálózat megszerkesztéséhez a negyedik ldalél hsszát kell megha- 4

6 F E A D B P C G H 5. ábra. tárznunk. Az előző, másdik bstrukciónál alkalmaztt gndlatmenetünk rögtön segít a feladat megldásában: A AB és BC szakaszk felező merőleges síkjai metszik egymást, azaz a G és az H csúcsk a térben egyesíthetők. Ez a pnt a gúla E csúcspntja, melynek merőleges vetülete az alaplap síkjára legyen a P pnt. P az AB és BC szakaszfelező merőleges egyenesek metszéspntja és az BD szakaszra illeszkedik. (Következésképpen a P B illetve P D távlságk könnyen meghatárzhatók.) Húzzuk be mst a gúla magasságát (6. ábra)! A BEP hármszögből a gúla E A B D e P f C 6. ábra. magassága kiszámítható majd az EP D hármszögből a hiányzó ldalél is. Ha a hálózatból pliédert akarunk készíteni és kicsit erőszaksabbak vagyunk, akkr ez mégis sikerülni fg (7. ábra). Valójában az történt, hgy az E, F, G, H 5

7 csúcsk egyesítésekr az alaplapt kissé defrmáltuk, így már nem síkbeli, hanem térbeli, trz rmbuszt kapunk. 7. ábra. Pntsabban, ha a hálózat rmbusz lapját annak rövidebbik átlójával tvább sztjuk, akkr a hálózatból már knvex pliéder kapható. (8. ábra.) 8. ábra. Az előző prblémát nagyn általáns frmában is meg lehet fgalmazni. Egy pliéder síkba kiterített lapjainak rendszere a pliéder hálózata, pntsabban lap- 6

8 gráfja, hiszen nem egyszerűen a pliéder lapjait srljuk fel, hanem azt is, hgy a lapk hgyan csatlakznak egymáshz. Számtalan feladat hangzik így: Szerkeszd meg az ábrán látható test egy lehetséges hálóját és építsd meg a testet. A feladat ebben a frmájában kiváló agytrna, ráadásul a ragasztáshz szükséges füleket is ki kell jelölni, mégis izgalmasabb a frdíttt prbléma: 4. Prbléma. Mikr lehet egy hálózatból (knvex) testet építeni, s ha igen, akkr hányat. A tvábbiakban néhány általáns elvet tárgyalunk, amely megadja (krlátzza) a knvex testek építésének kereteit. 2. Euler pliédertétele Ez első elv mindenki által jól ismert: 1. Tétel (Euler pliédertétele). Ha a knvex pliéder lapjainak számát l, éleinek számát e, csúcsainak számát pedig c jelöli, akkr teljesül, hgy l + c = e + 2. Alkalmazásként ldjuk meg az 1. prblémánkat: Hányféle ötlapú knvex pliéder létezik? Megldás. Az ilyen pliéder csak hármszögekből és négyszögekből állhat. Jelölje a hármszög lapk számát a, ekkr a négyszög lapk száma 5 a. Tvábbá Euler pliédertételének alakja mst: a 3 + (5 a) 4 = 2e. (1) c = e 3, tvábbá c 5 e 8. (c = 4 csak tetraéder lehet, azaz l = 4). Mivel minden csúcsból legalább hárm él indul: 3c 2e, azaz c 2e 3, e 3 2e 3 e 9. Az előbbi két összefüggésből: 8 e 9, azaz e = 8 vagy e = 9. 7

9 Behelyettesítve az (1) egyenletbe: e = 8, a 3 + (5 a) 4 = 16, a = 4, b = 1, ez a test (típusa szerint) négyszög alapú gúla; e = 9, a 3 + (5 a) 4 = 18, a = 2, b = 3, ez a test (típusa szerint) hármszög alapú hasáb. 3. A knvex krlátzás, Descartes tétele Egy kiválaszttt csúcshz tartzó élszögek összege knvex pliéder esetében 2π-től kisebb. A tvábbiakban ezt a tényt a knvex krlátzás elvének nevezzük. A knvex krlátzás elvéből rögtön kijön, hgy ha egy knvex pliéder csak egybevágó négyzetekből áll, akkr minden csúcsa harmadfkú, s egy harmadfkú csúcsból kiindulva már csak a kckát lehet felépíteni. (Lásd a hatdiks tanköny példáját.) Tekintsünk egy másik közvetlen alkalmazást: hasnlóságtól eltekintve legfeljebb öt szabálys test létezik. Mivel egy csúcs fkszáma legalább hárm, ezért hatszögekből (és ettől nagybb ldalszámú szabálys skszögekből) a szabálys test már nem állhat: 3 2π/3 2π. Ha a test szabálys hármszögekből áll, akkr a csúcsk fkszáma 3, 4 vagy 5 lehet: 3 π/3 < 2π, 4 π/3 < 2π, 5 π/3 < 2π, 6 π/3 2π. (Tetraéder, ktaéder, ikzaéder.) Hasnlóan, 3 π/2 < 2π, 4 π/2 2π, tehát ha a szabálys test négyzetekből áll, akkr minden csúcs harmadfkú. (Kcka.) Végezetül 3 3π/5 < 2π, 4 3π/5 2π, tehát ha a szabálys test szabálys ötszögekből áll, akkr minden csúcs harmadfkú. (Ddekaéder.) 2π és egy kiválaszttt csúcshz tartzó élszögek összegének különbségét nevezzük a csúcs defektusának. Egyszerűen biznyítható, nevezetes tény, hgy a knvex pliéder csúcsdefektusainak összege mindig 4π. A tvábbiakban ezt az állítást mint Descartes pliédertételét említjük. 8

10 Biznyítás. Jelölje a pliédert alktó knvex i-szögek számát n i. (Tehát a pliédert alktó hármszögek száma n 3, a pliédert alktó knvex négyszögek száma n 4, stb.) A csúcsdefektusk összegét melyet az alábbi srban D jelöl) kiszámíthatjuk az alábbi módn: D = c 2π i (i 2) π n i, ahl c jelöli a pliéder csúcsai számát. Flytatva: [ D = π 2c n i i + 2 i i n i ] = = π [2c 2e + 2l] = 4π, a szkáss jelölésekkel, Euler pliédertételét alkalmazva. 4. Pliéderek merevségéről Vajn a pliéder hálózata egyértelműen meghatárzza-e a testet. Nyilvánvalóan nem, az alábbi két test ugyanabból a hálózatból készült: 9. ábra. Megjegyzem, ha a hálózatn az élek csatlakzási rendszerét nem adjuk meg (nevezzük ezt egyszerűen hálónak), akkr könnyű lyan hálót knstruálni, amelyből két knvex test is felépíthető (10. ábra). 9

11 10. ábra. A háló két élének az aránya az aranymetszés aránya. A hálóból két knvex pliéder készíthető, ehhez instrukciót a csúcsk színezése ad. Másik kérdés, hgy a hálózatból knstruált (összeragaszttt) testek vajn merevek-e: ha hárm csúcsukat a térben rögzítjük, akkr a többi mzghat-e. A tapasztalatai alapján erre valószínűleg mindenki azt mndja, hgy a csúcsk nem mzghatnak, tehát a pliéder merev. Pedig ez a merevség a síkbeli pliédereknél, vagyis a skszögeknél egyáltalán nem teljesül: az egyetlen merev skszög a hármszög. (Az ldalak egybevágóságából a szögek egybevágósága már négyszögnél sem következik.) Cauchy ( ) francia matematikus 1813-ban biznyíttta, hgy a knvex pliéderek merevek. Sőt az is igaz, hgy adtt hálózatból legfeljebb egy knvex pliéder állítható össze. 10

12 Arra is választ lehet adni, hgy mikr lehet egyáltalán egy hálózatból knvex pliédert ragasztani. Két szükséges feltétel nyilvánvaló: teljesülnie kell Euler pliédertételének, valamint az élszögekre vnatkzóan a knvex krlátzás elvének. A. D. Alekszandrv 1939-ben bebiznyíttta, hgy ez a két feltételel elégséges is, ha a lapk tvábbi lapkra bntását is megengedjük. (Az alaplap felsztásával ezért tudtunk az eredeti hálózatból is pliédert knstruálni a 3. prblémában.) Megjegyezzük, hgy knstrukciót lehet adni nem merev knkáv pliéderre. (Egy ilyen test hálózata megtalálható például a KöMaL 1979, 8 9. száma hátsó brítóján, javaslm tvábbá ugyanitt Csirmaz László ide vnatkzó cikkét: Mzghat-e valaki, akit síklapkkal határlt páncélba öltöztettünk?) 5. Knvex hármszögtestek A tetraéder, az ktaéder és az ikzaéder lapjai szabálys hármszögek. Ebben a fejezetben azzal a kérdéssel fglalkzunk, hgy hány lyan knvex pliéder létezik, mely lapjai (egybevágó) szabálys hármszögek. Példákat nagyn könnyü találni ilyen testekre: két szabálys tetraéder egy-egy lapjuknál összeragasztva; két szabálys ötszög alapú gúla szintén az alaplapknál összeragasztva. (Az ldallapk egybevágó szabálys hármszögek, az összeragaszttt lapkat természetesen töröljük.) 2. Tétel. Hasnlósági transzfrmációtól eltekintve pntsan nylc lyan knvex pliéder van, mely lapjai egybevágó szabálys hármszögek. Biznyítás. A knvex krlátzás elve alapján egy csúcsban 3, 4 vagy 5 szabálys hármszög találkzhat, azaz a csúcsk fkszáma 3, 4 vagy 5. A harmadfkú csúcsk számáét jelölje a, a negyedfkú csúcsk számát jelölje b, az ötödfkú csúcsk számát pedig c. A harmadfkú csúcs defektusa π, a negyedfkú csúcs defektusa 2π/3, míg az ötödfkú csúcs defektusa π/3. Írjuk fel a pliéderre Descartes pliédertételét: azaz πa πb + 1 πc = 4π, 3 a b c = 4. 11

13 Ennek az egyenletnek a nemnegatív egészek körében csak véges sk megldása van: a b c Az utlsó srban a + jelzi, hgy a test létezik, az 1, 2, 3 számkkal jelölt esetek pedig különböző bstrukciós elvek miatt nem léteznek. Az első bstrukciós elv az, hgy harmadfkú csúcs szmszédságában nem lehet ötödfkú csúcs. (Az egyes számmal jelölt esetek.) Ragasszunk össze egy-egy lapjuknál egy azns élhsszúságú ktaédert és tetraédert. (11. ábra.) Így egy szmszéds harmadfkú (kék) és ötödfkú (pirs) 11. ábra. Az első bstrukciós elv. csúcst kapunk, aznban a tetraéder és az ktaéder lapszögének az összege π, ami azt jelenti, hgy ennek a testnek rmbusz lapja is van. A tetraéderhez csatlakzó egy-egy hármszöglapt tehát ki kell mzdítani a rmbusz síkjából. (A pirs tengelyek körül kell frgatni.) Aznban ha a két sárga csúcs egyikét benymjuk, akkr a másik kifelé mzg, mert a köztük lévő távlság nem váltzhat. (A fekete rúd merev.) Ez pedig knkáv lapszöggel járna, ami nem lehetséges. A másdik bstrukciós elv az, hgy nem létezhet lyan knvex hármszögtest, melynek egyetlen harmadfkú csúcsa van. (2-es szám a táblázatban.) Tegyük fel, hgy csak egyetlen harmadfkó csúcs van. Az előzőek miatt ez azt jelenti, hgy minden szmszéds csúcs negyedfkú. A harmadfkú csúcshz tartzó lapkhz tegyünk hzzá egy-egy hármszöget (12. ábra). A szmszéds lapk megfelelő éleinek egyesítésekr a pirssal jelölt csúcsk egybeesnek, ami a kettős hármszög-piramist adja, de ennek két harmadfkú csúcsa van. 12

14 12. ábra. A másdik bstrukciós elv. A (0, 1, 10) eset maradt hátra. Ha csak egy negyedfkú csúcs van, s az összes többi ötödfkú, akkr a pliédert a negyedfkú csúcsból kiindulva egyértelműen fel lehet építeni (úgyanúgy, mint az előbb a kettős hármszög-piramist), s az eredmény a (0, 2, 8) lenne, tehát még egy negyedfkú csúcs létezése adódna. A megmaradó esetek knstrukciója az a, b, c értéknek megfelelően már lehetséges. A következő hárm ábra az eddig még nem szereplő hárm esetet mutatja: 13. ábra. 13

15 14. ábra. 15. ábra. 14

16 Hivatkzásk [1] Bérczi Tamás. Knvex hármszögtestek. Középisklai Matematikai Lapk, 67(3 4): , [2] Csirmaz László. Mzghat-e valaki, akit síklapkkal határlt páncélba öltöztettünk? Középisklai Matematikai Lapk, 59(3 4), [3] Rbin Hartshrne. Gemetry: Euclid and Beynd. Springer, [4] Lakats Imre. Biznyításk és cáflatk. Gndlat,