I. Adatok, adatgyűjtés
|
|
- Lilla Bartané
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 I. Adatk, adatgyűjtés Adatgyűjtés adatk minőségének értékelése. Gazdasági adatkról lesz szó! Adat: rögzített ismeret. Számszerű adatkkal fgunk fglalkzni. Általában az adatk nem teljes körűek (kmplettek). Az adatgyűjtés fő kérdései:. Mi(k) a releváns ppuláció(k)?. Mik az adatfrrásk? 3. Hány embert kérdeztünk meg és hgyan válgattuk ki őket? 4. Hgyan gyűjtöttük össze az infrmációkat? 5. Kik nem válaszltak? 6. Milyen típusú adatkat gyűjtöttünk? ad.. Skaság (ppuláció) Fnts a kiválasztás precizitása. A megkérdezetteknek tudni kell, miről van szó! Ez tehát alapvető marketing prbléma! (lásd tt!) ad.. Adatfrrásk Szegmentálás, célcsprt kiválasztás Ismérvek! GIGO (szemét be, szemét ki) Eredetük szerint: Elsődleges (eredeti) adatk Másdlags (származéks) adatk ad.3. A megkérdezettek kiválasztása a.) A CENSUS (népszámlálás, összeírás) Ez nem kíván semmilyen szelekciót, hiszen mindenkire vnatkzik! b.) Véletlen kiválasztás A vizsgált skaság minden elemének azns esélye van a mintába kerülésre! Pl. véletlen szám generálás útján való kiválasztás c.) Nem véletlen kiválasztás Előzetes szűréssel a skaság egy részét kizárjuk a mintából. Kvóta minta: a skaságt többféle jellemző aznsítja. Minden jellemző alapján egy-egy részt választunk ki. (pl. nem, életkr, munka) A mintában az egyes jellemzők aránya hasnló lesz az alapskaságéhz! (Pl. férfi-nő aránya a valóságban 46 % - 54 %., akkr a mintában is ilyennek kell lennie.)
2 d.) Számsság Minél hetergénabb az alapskaság, annál nagybb minta kell! (Egy hmgén skaságból elég elemet vizsgálni!) A minta elemszámától függ a vizsgálat pntssága. e.) Kmplexebb véletlen minták Ha az alapsság rétegezhető, akkr a mintában is jelen lesznek a rétegek. Tehát minden rétegből - súlyának megfelelően - választani kell eleme(ke)t. Ha vannak rétegek, de nem tudjuk őket aznsítani, akkr először a rétegekre kell rákérdeznünk, s csak azután fghatunk a mintavételhez. (Utólags rétegezés!) Clusterezés (csprtsítás) Ha vannak (eredendően) lyan csprtk, amelyek eleve tükrözik az alapskaságt, azkból kell választani. Több lépcsős tervezés Ez a fkzats szűkítés technikája. ad.4. Kérdezés A kérdezés mikéntje igen fnts! a.) Kérdőív-tervezés Legyen világs a vizsgálat tárgya, témája! Világs és tömör kérdések! A kérdés ne tartalmazza a választ (ne is utaljn rá!) A kérdések lgikus srrendet kövessenek! A nyelvezet egyszerű, könnyen érthető legyen! A kérdés ne krlátzza a válaszadót! A kérdőív rövid és tömör legyen! A kérdés lehet: nyittt, zárt, segítő, szűkítő, szűrő, többszörös válaszadó (zártkérdés alternatív kimenetekkel) A válasz lehet: szabad, rögzített, (választással!), igen-nem, skálán elhelyezhető. b.) Interjúk A személyes varázs hatása érvényesülhet. Bizalmi viszny jöhet létre. Felszínre jöhetnek meg nem értési prblémák. Segítségadás a kérdezettnek, stb.
3 c.) Pstai kérdőívek Válaszbrítékkal küldjük ki. A válaszadás önkéntes! Személytelenség! A visszaérkezési arány (!) 0-40 %! ad.5. Kik nem válaszlnak? kk: a.) személyes érdektelenségűek b.) lakcímváltzás miatt nem találhatók c.) kifutás a határidőből d.) az együttműködést elvből megtagadók e.) a lusták ad.6. Az adatk típusa Méréselméleti prblémák! Skálák: nminális, srrendi, intervallum, arány Milyen az adat? Minőségi: csak nminális skálán mérhető. Mennyiségi: minden skálán mérhető lehet! Milyenek az értékek? Diszkrétek vagy flytnsak Az adatk megjelenítése. Az adatk táblázatba fglalása Lehetséges módjai: a.) minden érték felsrlása b.) minden különböző érték felsrlása előfrdulásuk gyakriságával együtt c.) intervallumkba srlás (gyakriságkkal együtt!). Megjelenítés - ábrák - diagramk Diszkrét adatk megjelenítése: - kördiagramk, sávdiagramk - piktgramk Flytns adatk megjelenítése: - hisztgramk 3. Grafiknk használata grafiknk készítése idősrk ábrázlása lgaritmikus grafiknk 3
4 II. Adatk elemzésének statisztikai módszerei. Statisztikai srk A statisztikai sr: statisztikai adatk valamilyen szempnt szerinti felsrlása Statisztikai srk: (a.) a keletkezés módja szerint: - csprtsító sr - összehasnlító sr b.) az ismérv fajtája szerint: - idősr - területi sr - minőségi sr - mennyiségi sr Mennyiségi srk: - gyakrisági sr: a skaság hgyan szlik meg a mennyiségi ismérv szerint /f/; - értékösszeg sr: a mennyiségi ismérvnek a gyakriságával szrztt adata /f*x/. példa: a) Minden lehetséges értéket felsrló gyakrisági és értékösszeg sr legyen a következő: Ismérvérték (x) csprtlétszám (fő) Gyakriság (f) csprtk száma (db) Értékösszeg (f*x) létszám (fő) Összesen: gyakrisági sr értékösszeg sr 4
5 Listánkat leegyszerűsíthetjük, ha nem srlunk fel minden értéket, hanem az ismertérték adatkból ún. sztáyközöket képezünk. Ebben az esetben az értékösszeg sr pnts reprdukálása nem lehetséges, de megfelelő becslést kaphatunk, ha az sztályközöket az ún. sztályközepekkel helyettesítjük, és ezen értékeket szrzzuk a gyakrisággal. b. Osztályközös gyakrisági és értékösszeg sr: csprtlétszám csprtk száma becsült sztály köz sztályközép (gyakriság) értékösszeg Összesen: az sztályközép a két határ számtani átlaga - a két értékösszeg eltérése: fő Ezen különbséget hívjuk abszlút becslési hibának. 44 Százaléksan kifejezve a relatív becslési hibát kapjuk: 00,5% 90. Visznyszámk (egyszerű visznyszámk) A visznyszám két, egymással valamilyen kapcslatban álló statisztikai adat hányadsa. Visznyszámk fajtái: megszlási, krdinációs, dinamikus, tervteljesítési és intenzitási Dinamikus visznyszám: az időbeli váltzásk jellemzői. Két különböző időszak - vagy időpnt - azns fajta adatainak egymáshz való arányát mutatja. Két fajtája van: a lánc- és bázisvisznyszám. Láncvisznyszám: az idősr adataiból egymáshz láncszerűen kapcslódó visznyszámk, ahl mindig két szmszéds adatt hasnlítunk össze, tehát ún. váltzó bázissal számlunk. l i x x i i- 5
6 . példa: Bázisvisznyszám: az idősr minden adatát ugyanazn időszak adatával sztjuk el, tehát az ún. állandó bázissal számlunk. xi b i x (Nagyn lényeges a helyes bázis kiválasztása!) Egy vállalat teljes termelési érték adatai a következők: év termelési érték előző évi termelés 994. évi termelés (mft) %-ában %-ában , ,6 3, , 6, ,4 43, , 53, ,7 63,8 Milyen összefüggések vannak a bázis- és láncvisznyszámk között?. az első tárgyidőszak lánc- és bázisvisznyszáma egyenlő: l b. az első k láncvisznyszám szrzata a k -ik bázisvisznyszámt adja: l i bk 3. bázisvisznyszámból ugyanúgy számíthatunk láncvisznyszámt, mint az eredeti abszlút számkból). 3. Középértékek Középérték: az azns jellegű számadatk közös jellemzője. A középértékkel szemben támaszttt követelmények: - közepes helyet fglaljn el: x min < K < x max - tipikus legyen, tehát álljn közel az előfrduló értékek zöméhez - egyértelműen legyen definiálva (pl. képlet frmájában). Két fő csprtja ismert a középértékeknek: - helyzeti és - számíttt k i 6
7 3.. A helyzeti középértékek Jellemzője: - nagyságát az előfrduló értékek egy része nem beflyáslja, - számításuk egyszerű; gyakran rátekintéssel megállapítható a helyzeti középérték). A helyzeti középérték fajtái: módusz és medián Módusz: a leggyakrabban előfrduló ismérvérték Meghatárzásáhz nincs szükség számítására, értéke a gyakrisági srra történő rátekintéssel megállapítható. 3. példa: A Statisztikai alapismeretek tárgyból a hallgatók az alábbi érdemjegyeket érték el: Feladatk: érdemjegy vizsga db x f f*x Összesen: Állapítsuk meg az érdemjegyek móduszát! A módusz 3, mert ezen sztályzathz tartzik a legnagybb gyakriság (38). Határzzuk meg ugyanezen gyakrisági sr számtani átlagát. x 33:4,904. Hgyan értelmezhető a fenti módusz? A hallgatók leggyakrabban közepes sztályzatt kapnak. Ezzel szemben a,904-es számtani átlagnak nincs ilyen értelmű tárgyi jelentése, hiszen,9-re nem lehet felelni. 7
8 Nézzük meg, hgy az ismételt vizsgák után hgyan alakulnak az eredmények: érdemjegy vizsga ( db ) x f f*x Összesen: Feladatk:. Határzzuk meg mst a számtani átlagt: x 357 :4 3,3 Tehát az átlag váltztt azáltal, hgy az érdemjegynek nem számítható elégtelen sztályzatkat kijavíttták. Ezzel szemben a módusz értéke nem váltztt! Megállapítás: a módusz értékét a szélső értékek nem beflyáslják. (Ugyanígy 3 lenne a módusz értéke, ha az eredeti adatk közül - mint nem értékelhetőt - az elégteleneket teljesen figyelmen kívül hagynánk.) Medián: az ismérvhalmaz azn értéke, amelynél ugyanannyi kisebb, mint nagybb érték frdul elő. 4. példa: Hgyan határzható meg a medián? Az ismérvértékeket mntn növekvő srrendbe rendezzük, s az n + srszámú tagja a medián (ha n páratlan), vagy ha "n" párs, úgy a két középső tag számtani átlaga. Határzzuk meg az. példa adatainak mediánját n 37 ; medián a - ik tag, tehát a 69. tag Tehát 68 csprtben ennél kevesebb vagy egyenlő, 68-ban pedig több vagy egyenlő a létszám. 8
9 3.. Számíttt középértékek A számíttt középértékek jellemzője, meghatárzásuk számítás útján történik, értéküket minden átlaglt érték beflyáslja. Számíttt középérték fajták: - számtani átlag, - harmnikus átlag, - mértani átlag, - négyzetes átlag. Számtani átlag: az átlaglandó ismérvértékek összegét sztjuk az ismérvek db számával. Képlete: Σ x x n 5. példa: Egy karbantartó brigád 00. február havi dlgzónkénti bruttó keresete:. Kiss Gábr 3.000,- Ft. Kvács Jenő ,- Ft 3. Balgh Antal 4.000,- Ft 4. Nagy Imre ,- Ft 5. Huzián Mihály 3.000,- Ft 6. Gyergyói Pál 3.000,- Ft 7. Tóth Kárly ,- Ft Összesen: ,- Ft A brigád átlagkeresete: Számtani átlagt alkalmazunk, ha az átlaglandó értékek összegének van tárgyi értelme. (pl. a dlgzók bruttó összkeresete) Az egyes átlaglandó értékek többször is előfrdulhatnak az értéksrban. Ezek összeadását szrzással helyettesítjük: ,- Ft/fő 7 3 x x x ,- Ft 7 Ezzel eljutttunk a súlyztt számtani átlag fgalmáhz. 9
10 A súlyztt számtani átlag képlete: Σ f ix x Σ f i i Értékét a következő két tényező beflyáslja: az átlaglandó értékek nagysága a súlyk nagysága, a súlyarányk. Harmnikus átlag: a tagk db számát elsztjuk az átlaglandó értékek reciprkainak összegével. 6. példa: Képlete: x h n i n xi Hárm kubiks brigád - az eltérő talajszerkezet miatt - 0 fm alapárk ásási munkáit az alábbi idők alatt végzi el: A brigád: B brigád: C brigád: óra 4 óra 8 óra Feladat: Határzzuk meg, mennyi ideig tart átlagsan 0 fm-nyi alapárk kiásása? (az összeadásnak nincs értelme!) _ t x _ h ,43 óra Természetesen a harmnikus átlagnak is van súlyztt frmája: x h Σ f f Σ x 0
11 7. példa: Egy iparvállalat munkaügyi adatai az alábbiak: Egység Havi béralap (Ft) Átlagbér (Ft/fő). üzemrész , ,-. üzemrész , ,- 3. üzemrész , ,- Vállalat: ,-? Feladat: Számítsuk ki a vállalati átlagbért! átlagbér Σ létszám átlagbér Σ béralap Σ létszám Σ béralap Σ átlagbér Σ Σ béralap béralap átlagbér ; a béralap ismert, a létszám nem. ; ezek után Melyek az átlaglandó értékek? Az átlagbérek! Mik a súlyk? A béralapk! Így: vállalati átlagbér ,- Ft példa: Egy vállalat két üzemegységének termelési adatai: egység beszámlási időszak termelése (Ft) tervteljesítés (%). üzemegység ,- 08. üzemegység ,- 96 Vállalat: ,-? Feladat: Határzzuk meg a vállalat tervteljesítési %-át! Magyarázzuk meg az eredményt! - az átlaglandó értékek a tervteljesítési %-k. - a súlyk a beszámlási időszaki termelési értékek.
12 Vállalati tervteljesítés % , , , ,43 % Az átlag a nagybb súlyú üzemegység felé tlódik el. A harmnikus átlagt akkr alkalmazzuk, ha az átlaglandó értékek reciprk értékei összegének tárgyi értelme van, általában visznyszámk - sebesség, teljesítmény, stb. átlagaként számítjuk. Mértani átlag: az a szám, melyet ha az átlaglandó értékek helyébe teszünk, azk szrzata váltzatlan marad. Képlete: x g n x xx3...xn ; azaz: az átlaglandó érték szrzatból n-edik gyököt vnunk. Mikr van értelme? Ha az átlaglandó értékek szrzatának tárgyi jelentése van. Ismerünk-e ilyen esetet? Igen! Láncvisznyszámk szrzata bázisvisznyszám. m f A mértani átlag súlyztt frmája: x g n x j j j Ahl: f j a j-edik adatcsprt gyakrisága n az összes elem száma x j a j-edik adatcsprt ismérvértéke Négyzetes átlag: az átlaglandó ismérvértékek négyzeteinek szummájából képzett számtani átlag négyzetgyöke. Képlete: x q Σ x, ill. súlyztt frmában: n x q Σ fx n Akkr használjuk, ha az átlaglandó értékek különböző előjelét négyzetre emeléssel kívánjuk eltüntetni. (Ugyanis: lyan esetet nem ismerünk, amikr az átlaglandó értékek négyzetösszegének tárgyi jelentése van.) Ezt a módszert a szórás mutató számításánál alkalmazzuk (lásd később!)
13 3.3. Idősrk elemzése 9. példa: Egy vállalat raktáraiban A anyag leltár szerinti készletértékei a következők szerint alakultak: Leltári időpnt készletérték ezer Ft ezer Ft ezer Ft ezer Ft Határzzuk meg az 996. I. negyedévi készletet. Milyen módszerrel tehetjük ezt, ha azt akarjuk, hgy az időbeli váltzásk jól kifizetésre jussanak? (Kérjünk hallgatói véleményeket). Számljunk először minden hónapra átlagkészletet: havi átl.: 470 ezer Ft havi átl.: 500 ezer Ft havi átl.: 480 ezer Ft Miután ezek az átlagk nagyjából egyenlő időszakkra vnatkznak, ezért - másdik lépésként - számíthatjuk a negyedéves átlagt ezek átlagából: ,33 ezer Ft - vnjuk össze a két lépést: 483, Ezzel az un. krnlógikus átlaghz jutttunk el! - hgyan számítjuk tehát a krnlógikus átlagt? Összeadjuk az első és az utlsó tag felét a többi taggal, az összeget pedig sztjuk az adatk száma, mínusz eggyel. 3
14 Képlete: Yk Y + Y +...Yn- + n Yn (Miért van a nevezőben n, és nem n-? Mert Y -val, és nem Y -gyel kezdtünk a számlálóban.) 3.4. A fejlődés intenzitásának vizsgálata Példa: adtt építőipari vállalat éves termelési értékének alakulása: termelési érték időszak ezer Ft-ban váltzás előző évben Feladat: Határzzuk meg a fejlődés (váltzás) mértékét ezer Ft. Az eltérések összege egyenlő az első és utlsó tag közötti különbséggel: D ezer Ft. A váltzás mértéke tehát igen egyszerűen számlható. 4. Szóródás számítás A középértékek egyetlen számba sűrítve jellemzik a vizsgált skaságt. Mi ennek a hátránya? Eltüntetik, kiegyenlítik a különbözőségeket, ugyanis az egyes értékeknek az átlagtól való eltérései nagyn különbözők lehetnek. Hgyan határzhatjuk meg az ismérvértékek átlagtól való eltérését? Az értékek átlag körüli szóródásának megállapításával, az ún. szóródásszámítással. A szóródás: az azns értékek különbözősége, az átlaglt értékeknek az átlagtól való eltérése. 4
15 Szóródási mutatók - szóródás terjedelme /R/ - átlags eltérés /δ/ - szórás /б/ - relatív szórás /V/ A szóródás terjedelme: a legnagybb és legkisebb érték különbözősége. Képlete: R x max x min 0. példa: Határzzuk meg az. példa adatainak terjedelme mutatóját a létszám adatkra. x 34 ; x 5 max R mit világít meg az R mutató? Hgy mekkra értékközben mzgnak - ingadznak - az ismérvértékek. - mi a hiányssága az R mutatónak? Csupán értékre támaszkdik, ezért szeszélyes, nem jellemző érték is éreztetheti hatását esetenként. Átlags (v. abszlut) eltérés: az egyes értékek és azk számtani átlaga közötti eltérések abszlút értékeinek számtani átlagát. Σ /d/ Képlete: δ, ahl d az átlagtól való eltérés értéke n. példa: Hat vállalat kllektív szerződése az esztergálys szakmunkásk személyi órabérét rendre az alábbiak szerint rögzíti: min A vállalat: 50,- Ft B vállalat: 80,- Ft C vállalat: 00,- Ft D vállalat: 30,- Ft E vállalat: 40,- Ft F vállalat: 60,- Ft Feladat: határzzuk meg a δ (delta) mutatót! 5
16 - először kiszámítjuk a számtani átlagt: δ x ,33 0, Ft Ft - a kiszámíttt adat jelentése: az egyes órabérek átlagsan 33,33 Ft-tal térnek el az órabérek átlagától. Szórás: az átlagtól való eltérések négyzetes átlaga. Képlete: б Σ d n A szórás a szóródás jelenségének egyik mutatója, mérőszáma!. példa: Számítsuk ki az iménti 6 órabér szórását. б ,4 Ft 6 Látható, hgy б > δ. Miért? Mert x q x. A 37,4 értékű szigma mutató jelentése ugyanaz, mint a 33,3 értékű deltáé! A két, azns jelentésű mutató számszerű eredményének eltérése nem kz prblémát, ha mindig ugyanazn mutatókat hasnlítjuk. Kérdés: váltzik-e a dlgzók fizetésének szórása, ha egységesen 50,- Ft-al emelik minden dlgzó órabérét? Nem! Váltzik-e a szórás, ha a fizetéseket 5 %-al emelik? Igen, 5 %-al nő. 6
17 Relatív szórás: a szórás és a számtani átlag hányadsa. Képlete: V σ x A relatív szórás mutatót különböző nagyságrendű skaságk szóródásának öszszehasnlításánál alkalmazzuk. 3. példa: Feladat: számítsuk ki a. Példában szereplő 6 személyi órabér relatív szórását! V 37,4 0 0,78 A relatív szórás 0,78 értéke azt jelenti, hgy az egyes órabérek átlagsan 7,8 %-al térnek el az átlags órabértől. 5. Összetett visznyszámk Eddig lyan visznyszámkat ismertünk meg, melyek a statisztikai vizsgálat (pl. adatgyűjtés) srán nyert két adatt hasnlítanak egymáshz valamilyen lgika szerint, és az összehasnlítás (sztás) eredményeképp egy újabb statisztikai adathz jutttunk, amely megmutatja a két adat egymáshz képest bekövetkezett váltzását. (Pl. két időszak azns jellegű adatának összevetése, vagy tény- és tervadatk visznyítása, stb.). A gyakrlatban sűrűn előfrduló igény, hgy ne csupán két-két adatt visznyítsunk, hanem több adat együttes-átlags váltzását állapítsuk meg, pl. egyik időszakról a másikra. Ilyen jellegű vizsgálatra a megismert egyszerű visznyszámk nem alkalmasak, hanem az ún. összetett visznyszámkat kell alkalmaznunk. Ezeket az összetett visznyszámkat statisztikai indexeknek nevezzük, és ezeknek is léteznek egyszerűbb fajtái, az ún. alapindexek, melyek eredeti (nem származéks, számíttt) adatkkal számlnak, és összetett fajtái az ún. standardizálásn alapuló indexek, melyek intenzitási visznyszámk, átlagk - együttes - átlags váltzásait számszerűsítik. Statisztikai index: két, vagy több, egymással közvetlenül nem összegezhető adat együttes-átlags váltzását kifejező mutatót. Az index a dinamikus visznyszám sajáts fajtája, sajátssága abban áll, hgy a benne fglalt adatk nem összegezhetők. Miért nem összegezhetők az index-számítás módszerével vizsgált adatk? az elnevezés meglehetősen elterjedt, de nem túl találó 7
18 Eltérő mennyiségi egységük miatt, pl. egy-egy termelő szervezet több különféle terméket állít elő, melyek természetes mértékegységben történő számbavétele srán a legkülönfélébb mértékegységekkel találkzunk. (Lásd később az indexszámítás módszerének bemutatására szlgáló példát.) Az indexszámítás úgy hidalja át ezt a prblémát, hgy nem az eredeti adatkkal, pl. a termelt mennyiségekkel, hanem mindig az ún. érték adatkkal, pl. az egyes termékekre vnatkzó termelési értékekkel száml. 5.. Alapindexek Az alapindexek a termelési mennyiségek, az árak és a termelési érték között teremtenek kapcslatt. A termelt mennyiségek - q - és az egyes termékek egységárai - p- összeszrzva az értéket - v - adják. Tehát termékenként kiszámljuk a q x p v adatkat, majd ezeket összegezzük. Két különböző időszak n i q i x p i adata már összehasnlítható, elsztható egymással. (A tvábbiakban az egyszerűség kedvéért a futóindexet nem jelöljük!) Az alapindexek: - árindex - vlumenindex - értékindex Árindex: A termelt termékek árai megváltzásának hatását a termelési értékre, vagyis az egyes árváltzásk együttes - átlags hatását. Úgy tekintjük tehát, mintha a vállalat két egymást követő évben valamennyi termékből azns mennyiségeket állíttt vlna elő, csupán az árak váltztak vlna meg. Az árindex számításáhz meg kell határznunk az előző évi - ún. bázisidőszaki - termelési értéket: Σ q x p Ezután kiszámítunk egy következő évi - ún. tárgyidőszaki -, feltételezett termelési értéket, ahl a mennyiségek aznsak a bázisidőszaki adatkkal, az árak visznt megváltztak: Σ q x p 8
19 Az árindex képlete ( I p ): I p Σ q Σ q x p x p Mi állapítható meg a képletből? Itt a bázisidőszaki mennyiségekkel számltunk a tárgyidőszakban is, de az a feltételezés, hgy a termelt mennyiségek nem váltztak frdítva is elképzelhető, tehát úgy, hgy mindkét időszakban a tárgyidőszaki mennyiségekkel számlunk. Ezek szerint kétféle árindex képlet létezik! - az iménti, amit az első alkalmazójáról Laspeyres, (ejtsd: laszper) frmulának nevezünk, - tvábbá a következő képlet: Σ q x p Ip, Σ q x p amelyet Paasche, (ejtsd: páse) frmulának hívunk. Hangsúlyzzuk a kétféleképp számlt, de azns jellegű index számszerű különbözőségét és némiképp eltérő jelentését! Vlumenindex: Megmutatja, hgy hgyan váltztt vlna a termelés összértéke, ha az érték két tényezője, a mennyiségek és egységárak közül csak a termelt mennyiségek váltztak vlna, és az árak az összehasnlíttt két időszakban aznsak lettek vlna. Választhatjuk váltzatlan árnak a bázisidőszak árait is, és a tárgyidőszaki árukat is, tehát itt is két képlet, frmula létezik. A vlumenindex képlete ( I q ): illetve I I q q L P Σ q Σ q Σ q Σ q x p x p x p x p Értékindex: Együtt vizsgálja a mennyiségek és árak együttes - átlags váltzásának hatását az értékre. Itt tehát mindkét tényező megváltzik. 9
20 0 Az értékindex képlete ( v I ) v x p q x p q I Σ Σ Itt értelemszerűen csak egyféle képlet létezik! Az egyes termékekre tehát fennáll a i i i p x q v összefüggés. A hárm indexre is fennáll a szrzatszerű összefüggés, de csak ha a két különböző frmulával számlt ár- és vlumenindexet szrzzuk össze.) Azaz:. v q p I I I P L, azaz Σ Σ p q p q Σ Σ p q p q p q p q Σ Σ, illetve. v q p I I I L P, azaz Σ Σ p q p q Σ Σ p q p q p q p q Σ Σ Kialakult hazai gyakrlat, hgy az árindexet tárgyidőszaki mennyiségekkel, tehát Paasche frmulával, a vlumenindexet bázisidőszaki árakkal, tehát Laspeyres frmulával számljuk.
21 4. példa: Egy vállalat egyik üzeme által előállíttt 5 termék jellemző adatai az alábbiak: termék neve mennyiség egység termelt mennyiség q q egységár p p A db B fm C m D q E m Feladatk: a.) Számítsuk ki az összes lehetséges indexet! q p q p q p q p A B C D E Összesen: I P Σ q Σ q p p ,97 (Laspeyres) I P Σ q Σ q p p ,95 (Paasche) I q Σ q Σ q p p ,47 (Laspeyres) I q Σ q Σ q p p ,76 (Paasche) I v Σ q Σ q p p ,090
22 b.) Győződjünk meg arról, hgy a krábban megállapíttt indexösszefüggés valóban fennáll-e! I v Iq Ip illetve I v Iq Ip,76 0,97,090 P L,47 0,95,090 L P c.) Mit fejez ki pl. a Laspeyres frmulával számlt vlumenindex,47-es adata? A megtermelt 5 termék termelési mennyiségének váltzása termelési érték 4,7 %-s növekedését eredményezte vlna, ha mindenütt az 980-as év árait vennénk figyelembe. 5.. Standardizálásn alapuló indexek Az alapindexek eredeti adatkkal számlnak, aznban gyakran előfrduló eset, hgy lyan adatk együttes-átlags váltzásait kell vizsgálnunk, melyek az ún. származéks adatk, pl. visznyszámk. A prbléma jbb megértéséhez tekintsük ismét a visznyszám általáns képletét! A A visznyszám általáns képlete: V B Kérdés: Hgyan vizsgálható több A/B jellegű adat együttes-átlags váltzása? Σ A I : Σ B Σ Σ A B (Nyilvánvaló, hgy itt is egyfajta indexről van szó, ezért alkalmaztuk az I jelölést.) Ez a képlet még mindig A és B jellegű, tehát eredeti adatkkal száml. Mi a helyzet aznban akkr, ha V jellegű és B jellegű adataink, tehát viszny-számaink és azk előfrdulási gyakriságai állnak rendelkezésre?
23 A V, ebből A B V, B ezt behelyettesítve: Σ B x V Σ B x I : Σ B Σ B V Ez az ún. főátlag index, más néven váltzó állmányú index, jele: I _ v A főátlag index: kifejezi az egyes visznyszám, vagy átlag jellegű adatk - pl. a vállalat egyes állmánycsprtjainak átlagbérei és az egyes csprtk létszámai - megváltzásának együttes hatását, pl. a vállalati átlagbérre, az ún. főátlagra. Lgikáját tekintve ez az index a krábban megismert értékindexnek felel meg, ti. mindkét tényező együtt váltzik. Megvizsgálhatjuk itt is a két tényező külön-külön történő váltzásának hatását a főátlagra. Ekkr a másik tényezőt mindig váltzatlannak, standardnak tekintjük, ezért nevezzük a módszert standardizálásnak. Vizsgáljuk meg először azt az esetet, mintha csak az egyes visznyszámk, v. átlagk váltztak vlna és súlyuk (előfrdulásuk száma) nem, tehát pl. megváltznának az egyes állmánycsprtk átlagbérei, de az állmánycsprtk létszámai váltzatlank maradnának. Ez az ún. részátlag, v. váltzatlan állmányú index. A részátlag index képlete: I v Σ B x V, : Σ B Σ B x V Σ B Ez esetben is létezhet kétféle képlet, de kialakult gyakrlat, hgy a tárgyidőszak súlyaival, tehát " B "-ekkel számlunk. A részátlag index kifejezi a részátlagk megváltzásának a főátlag váltzására gyakrlt hatását, vagyis megmutatja, hgy hgyan váltztt vlna a főátlag, ha ez a váltzás kizárólag a részátlagk megváltztatásából adódna. 3
24 A képlet ΣB "-el egyszerűsíthető, így " I v Σ B x V, Σ B x V Ha az egyes részátlagk (" V i "-k) nem váltznának, hanem csupán súlyuk, tehát egymáshz visznyíttt részarányaik (" B i "-k) váltznának meg, akkr az ún. összetétel index, más néven arányeltlódási index mutatja meg ezen váltzás együttes-átlags számszerű hatását a főátlagra. Az összetétel index képlete: I v,, Σ B x Σ B V Σ B x : Σ B V Az index-technika eddig megismert lgikájából egyértelműen következik, hgy miért " V "-val számlunk, és így itt sem használunk két különféle képletet! Az összetétel index kifejezi az ún. főskaság összetételében bekövetkezett váltzásnak a főátlag váltzására gyakrlt hatását, vagyis megmutatja, hgy hgyan váltztt vlna a főátlag, ha a váltzás kizárólag az összetétel megváltzásából adódna. A megismert hárm index között számszerű összefüggés: főátlag index részátlag index összetétel index azaz: I I, I,, v v v I v Σ B Σ B V Σ B Σ B V Σ B Σ B V Σ B Σ B V Σ B V Σ B Σ BV Σ B 5. példa: Tekintsük az alábbi, első ránézésre egyszerűen áttekinthető adatkat, melyek egy vállalat átlags havi béralakulását mutatják meg bázis- és tárgyidőszakra munkás-csprtnként és együttesen: 4
25 Munkás Összes munkabér (.000,- Ft) Létszám (fő) Átlags havi bér (Ft/fő) csprtk bázis tárgy bázis tárgy bázis tárgy A A B B V V Szakmunkás Segédmunkás Együtt Az adatk látszólag semmi furcsaságt sem mutatnak, aznban ha megvizsgáljuk az egyes munkáscsprtk havi átlagbérének és az együttes átlagbérének a váltzását, a következő adatkat kapjuk: a szakmunkásk átlags havi bérének váltzása: V V ,03 03,0 %, a segédmunkásk átlags havi bérének váltzása: V V ,0 0,0 %, az átlags havi bérek együttes váltzásai: V V ,038 03,8 %! Hgyan lehetséges az, hgy 3 %-s szakmunkás és %-s segédmunkás havi átlagbér emelkedés mellett a vállalati átlagbér mindkét munkáscsprténál jbban, 3,8 %-al növekedett? A kérdésre a standardizálásn alapuló indexek adnak választ, ui. a látszólags furcsaság nyilvánvaló ka az, hgy nem csak az egyes átlags havi bérek, hanem a munkásk létszáma, tehát a létszám összetétel aránya is megváltztt. 5
26 Számítsuk ki rendre a megismert indexeket! Főátlag index: I v Σ B V Σ B V : Σ B Σ B : ,8 % Részátlag index: Σ B V I,076 0,8 % v Σ B V Eszerint a vállalatnál az egyes munkáscsprtk havi átlags bére átlagsan,8 %-al növekedett. Összetétel index: I v Σ B V Σ B V,, : Σ B Σ B : ,0 % A létszámarányknak a magasabb havi átlagbérű szakmunkás csprt javára történő eltlódása önmagában,0 %-al növelte a munkásk együttes átlagbérét. A hárm index összefüggése: I I, I v,,, azaz,038,08,0 v v 6
27 III. Valószínűség, biznytalanság, elszlásk A gazdasági életben vizsgált jelenségek lehetnek: - determinisztikusak (azaz egy meghatárztt módn végbemenők), - sztchasztikusak (azaz több lehetséges kimenettel rendelkezők).. A valószínűség fgalma Néhány alapfgalm: Elemi esemény: egy végrehajttt kísérlet lehetséges eredménye! (Nem maga a kísérlet, hanem az eredmény!!) Eseménytér: ( Ω ) : a lehetséges eredmények halmaza. Műveletek eseményekkel: Legyen A és B két tetszőleges elemi esemény. Mivel A és B egy-egy halmaz, így igazak rájuk a halmazműveletek szabályai! Azaz A + B : azt jelenti, hgy a két esemény közül az egyik bekövetkezik. 6. példa: AB A : mind az A, mind a B esemény bekövetkezik. : azt jelenti, hgy A esemény nem következik be. (Kmplementer képzés). Ezért: A - B A B : azt jelenti, hgy A bekövetkezik, de B nem. A B : azt jelenti, hgy az A bekövetkezése maga után vnja a B bekövetkezését. AB O : azt jelenti, hgy A és B kizárja egymást. 300 kereső embert véletlenszerűen kiválasztunk, s feljegyezzük a következő táblázatt. Éves jövedelem 650 eft alatt eft 900 eft felett között férfi nő
28 Mi lvasható ki ebből a táblázatból? P (férfiak) 60 0, P (nők) 0, gyakriság/összes előfrdulás relatív gyakriság Ha a skaság elég nagy, vagy a próbát elég skszr ismételjük, a relatív gyakriság egy határértékhez tart, aminek a neve valószínűség. (Nagy számk törvénye!!!) Levnható következtetések: P (férfiak) + P (nők) P (férfiak) + P (nem férfiak) másként P (f) - P (nem férfi) Általában: "n" lehetséges kimenetet feltételezve, amiből az egyik biztsan bekövetkezik a P(), P(), P(3),... + P(n) eseményhalmazzal állunk szemben. Ez az ún. teljes eseményrendszer! (csak ezzel fglalkzunk!) A valószínűség a várt eredmény bekövetkezési gyakrisága elég sk próba esetén! Tehát: Várt érték valószínűség próbák száma Ennek alapján a definíciót tetszőleges E esemény valószínűségére kiterjesztve: P (E) E előfrdulásának gyakrisága az összes mért kimenet száma Néhány fnts megállapítás:.) O P (E)!.) P (Bizts esemény) 3.) Egymástól független, egymást kölcsönösen kizáró eseményeknél P () + P () P (n) Pl. kckadbás! P () + P () P (6) Valamelyik biztsan bejön! 8
29 4.) Egymást kölcsönösen ki nem záró eseményeknél! Egynél több tulajdnság együttes (vagy külön-külön) előfrdulása esetén találkzunk ezzel. Nézzük ezt a következő (7.) példán! 7. példa: Megkérdeztek 00 felnőttet, hgy érdekli-e őket a plitika. A válaszkat az alábbi táblázatba fglaltuk: 0 férfit érdekel 30 férfit nem érdekel 0 nőt érdekel 40 nőt nem érdekel Feladat: Határzzuk meg annak valószínűségét, hgy a 00-as mintából találmra választva lyan személyt kérdezünk meg aki vagy férfi, vagy nem érdekli a plitika! Ez a valószínűség: P (férfi vagy nem érdekli) P (férfi) + P (nem érdekli) - P (férfi és nem érdekli) 50 Mivel: P (férfi) 0, P (nem érdekli) 0, P (férfi és nem érdekli) 0, 3 00 így P (f + né) 0,5 + 0,7-0,3 0,9 5.) Függetlenül események: Ha két (vagy több) esemény hat egy jelenségre, de egymástól függetlenül, akkr együttes bekövetkezésük valószínűsége P (A és B) P(A) P(B) P(AB) Például: textilipar leállás! Okk: A: géptörlés! B: anyaghiány! 6.) Feltételes valószínűség 9
30 8. példa: 5 férfiból és 5 nőből álló csprtból kell egymás után személyt kiválasztanunk! Feladat: Mi a valószínűsége annak, hgy másdszrra nőt választunk, feltéve, hgy először férfit választttunk? Legyen A : férfit választttunk B : nőt választttunk A fenti kérdés frmális megfgalmazása: P (B/A)? Megldás: Ha a két esemény független lenne, akkr a P(AB) együttes bekövetkezési valószínűséget a P(AB) P(A) P(B) összefüggés adná meg. Írjuk mst P (B) helyére a P (B/A)-t, hiszen B esemény függ A eseménytől! Így mst P (AB) P (A) P (B/A), ahnnan P (B/A) P (AB) P (A) Nézzük mst a knkrét példát! Az első választáskr P (B) 0,5. Mivel ezután már csak 9 személy marad, így a másdik választás esetén, ha először A jött ki: 4 P (A) 9 5 és P (B) P (AB) Így: 5 P (B/A) ! 30
31 . Valószínűség-fák A valószínűség-fák illusztrálják az eseménysrkat! 9. példa: Legyen két dlg együttes előfrdulását reprezentáló adatsrunk az alábbi.) Kimenetek: A, B vagy C; valószínűségük: 0,3; 0,; 0,5.) Kimenetek: X, Y ; : 0,6 és 0,4 Feladat: Rajzljuk fel a valószínűség-fát! Ha az események kölcsönösen kizáróak, akkr: P (A+B+C) és P (X+Y) A 0,3 B 0, C 0,5 X 0,6 Y 0,4 X 0,6 Y 0,4 X 0,6 Y 0,4 P(AX)0,3x0,60,8 P(AY)0,3x0,40, P(BX)0,x0,60, P(BY)0,x0,40,08 P(CX)0,5x0,60,30 P(CY)0,5x0,40,0,00 Alkalmazhatjuk ezt nyitó példánkra is! (Házi feladat!) ( P (A), P (B), PCC), P (x), PLY) ) 3
32 3. Várható érték és döntési fák 0. példa: Pénzérmét dbunk fel 00-szr! Ha fej, nyerünk 00 Ft-t, ha írás, vesztünk 00-at! Az elemi események legyenek: A: nyerünk, B: veszítünk. Mit várhatunk a játéktól!? Átlagsan az várható, hgy 50-szer nyerünk és 50-szer veszítünk, hiszen P(A) P(B) 0,5 Azaz a várható eredmény: Ft Ez lesz ennek a srzatnak a várható értéke (VÉ) vagy várható pénzértéke (VPÉ). Ha ábrázljuk a játékt: 00 A (Bnylultabb esetekben így keletkezik a döntési fa!) B példa (órai bemutatással!): Új terméket fejlesztettünk ki. A tervezése.000 eft-ba került. A termék piacra dbásának költsége várhatóan.500 eft lesz, míg az esetleges piackutatás 500 eft-ba fg kerülni. A termék lehet nagyn sikeres, sikeres és sikertelen, aminek az eredménye 0.000, és eft lehet. Az egyes variációkhz az alábbi táblázat szlgáltat tvábbi infrmációkat a (kckázatk) esélyek tekintetében! 3
33 Kimenet Nincs Piackutatás Sikeres piackutatás van Sikertelen piackutatás van Nagy siker 0, 0,6 0, (Közepes) siker 0,5 0, 0,3 Bukás 0,3 0, 0,6 Az előző termékeken szerzett tapasztalatk alapján 40 % esély van a sikeres piackutatásra! Feladat: Oldjuk meg a prblémát döntési fa segítségével! 4. Bayes tétele Amint azt krábban láttuk az egymástól nem független események bekövetkezési valószínűsége erősen függ a megelőző eseményektől. A tétel azt mndja ki, hgy egy skszr ismétlődő döntési flyamatban a már bekövetkezett események visszahatnak az a'priri valószínűségekre! Képletben megfgalmazva: P (A j /X) n P (X/A i j ) P (A P (X/A ) P (A ) Szemléltessük mindezt egy példán keresztül! i j ) i. példa: Egy vállalat alapanyag beszerzéséről az alábbi infrmációk állnak rendelkezésünkre. A szállítók 70 %-a pntsan betartja a szállítási szerződést, míg 30 %-uk nem. A két legfntsabb nyersanyag aránya az első csprtnál %, míg a másdiknál %. Szemléltesse mindezt egy valószínűségi-fa, melyben A: pnts, B: a hibás szállítást, X és Y pedig a két alapvető nyersanyagt reprezentálja. 33
34 A X 0,6 P(AX)0,8 0,3 Y 0,4 P(AY)0, B X 0,5 P(BX)0,35 0,7 Y 0,5 P(BY)0,35 Ha mst tudjuk (!), hgy a X következett be (azaz egy beérkező szállítmányban X jelű anyagt kaptunk), akkr ez vagy A vagy B eseményen keresztül történt. Próbáljuk meg megtalálni ezek valószínűségeit! Mivel mst a két lehetséges kmbináció (A és X, B és X) egymást kizáró lesz, ez a két valószínűség együttesen fgja kiadni X bekövetkezési valószínűségét, azaz P(X/A vagy B) P(A és X) + P(B és X) 0,8 + 0,35 0,53. Ha A következett be először, akkr P (X/A) 0,6 és P (A) 0,3, amiből P (AX) P (A) P (X/A) 0,8 vagyis megadható a frdíttt eset is, azaz: P (A/X) X valószínűségea - n keresztül X valószínűségebármely eseményen keresztül P (AX) P (AX) + P (BX) Nagyn fnts a srrend!! 34
35 P (X/A) P(A) P (A) P (X/A) + P (X/B) P (B) 0,8 0,53 0,3396 Ezt felhasználva: 0.35 P (B/X) 0,6604 0,53 Így megkülönböztethetővé válnak az előzetes (a priri) és az utólags (a' psteriri) valószínűségek. A esetében ezek: Pe 0,3 Pp 0,3396 (a kimenet visszahatásának köszönhetően). 5. Markv lánck (fakultatív rész!) A Markv lánc kmbinálja a valószínűségi elemeket a mátrixs megjelenítéssel. Feltételezi, hgy a valószínűségek hsszabb távn fixek maradnak, míg az a rendszer, amelyet mdelleznek úgy képes átalakulni egyik állaptból a másikba, hgy közben a rögzített értékeket tranziens valószínűségekként használja. Tekintsünk például az alábbi tranziens mátrixt: P E E 0,8 0,3 0, 0,7 E E Ez azt jelenti, hgy ha a rendszer az E -el jelölt állaptban van, akkr annak valószínűsége, hgy E -be megy át 0,. Ugyanúgy: ha a rendszer E állaptban van, akkr az E -be való átmenet valószínűsége 0,3, míg annak esélye, hgy E - ben marad 0,7. Ez a mátrix egy irányíttt gráffal is szemléltethető. Az időről-időre történő átalakuláskat szemlélteti az alábbi ábra: E 0,8 E 0,8 E 0, 0,3 0, 0,3 E 0,7 E 0,7 E Első periódus Másdik periódus 35
36 Annak a valószínűsége, hgy két perióduss befejeződése után az: E -ből induló rendszer E -ben lesz: P (E E E P (E E -ből kiindulva E -ben lesz: P (E E ) + E E ) 0,8 0,8 + 0, 0,3 0, 7 E P (E E -ből kiindulva E -ben lesz: P (E E ) + E E ) 0, 0,7 + 0,8 0, 0, 3 E P (E E -ből kiindulva E -ben lesz: P (E E ) + E E ) 0,7 0,3 + 0,3 0,8 0, 45 E P (E ) + E E ) 0,7 0,7 + 0,3 0, 0, 55 Így két periódus után a tranziens mátrix a következő lesz: P' E E E 0,7 0,45 E 0,3 0,55 Ez a mátrix pedig nem más, mint P mátrix négyzete, P. ' 4 Ugyanígy: négy periódus után P P. A rendszerállaptk a gyakrlatban skfélék lehetnek. Pl. - a vállalkzás prfitt termel ( E ) vagy veszteséges ( - a piackutatás sikeres ( E ) vagy sikertelen ( E ) stb. Eddig a valószínűség alapfgalmait tárgyaltuk. (Egy esemény valószínűségét, vagy események egyidejű előfrdulását, vagy egymásutánságát.) Az üzleti életben ezt bővíteni kell. A használats mdellek egy része a valószínűségi váltzókhz és elszláskhz kötődik. E ) 36
37 6. Valószínűségi váltzók, elszlásk Valószínűségi váltzóknak egy az elemi események Ω halmazán értelmezett függvényt nevezünk. A valószínűségi váltzó létének feltétele, hgy ugyanazt a kísérletet skszr hajtsuk végre! A valószínűségi váltzó a kísérlet (vizsgálat) jellegétől függően felvehet - diszkrét (egész szám, pl. kckadbás eredménye) és - flytns értékeket (csak a mérés pntssága szab határt, pl. tömegmérés, hsszmérés, stb.) A skszr ismételt kísérlet eredményei valamilyen elszlási képet mutatnak, s kijelölnek valamilyen halmazt. Jelöljük ezt a halmazt E-vel. Tekintsük ezután annak valószínűségét, hgy kísérletünk eredménye, azaz a valószínűségi váltzó e halmazba esik. P(v E). Ezen valószínűségek megadása aznban nehézkes, ezért célszerű egy lyan egyszerűbb, új fgalmat bevezetni, amelyből ezek a keresett valószínűségek mind származtathatók. Legyen x a számegyenes egy rögzített pntja és tekintsük az F (x) P (v x) valószínűségét. Ha mst x-et - -től + -ig futtatjuk (azaz elképzelünk bármilyen lehetséges eredményt!), akkr egy függvényt kapunk. Ezt az F (x) függvényt fgjuk a v valószínűségi váltzó elszlásfüggvényének nevezni: Az elszlásfüggvény tulajdnságai: a.) F (x) F (x ), ha x x b.) lim F (x) 0 és lim F (x) x - x c.) F (x) minden x pntban balról flytns. lim F (x n ) F(x) ha x x és lim x n x n - n Lássuk mst, hgy hgyan származtathatók a P (v E) valószínűségek ebből a függvényből. Mivel P(v < a) + P(a v < b) P(v < b), ha a < b 37
38 F(x) definíciójából következik, hgy P(a v < b) F(b) - F(a) Ezt ábrán bemutatva: F(b) F(x) P(a v < b) P(b) - P(a) F(a) a b x 7. Az elszlásk sztályzása. Diszkrét eset, ha v lehetséges értékei egy véges vagy végtelen x 3, x, x... x... srzatt alktnak. Ekkr az F (x) elszlás függvény helyett szívesebben használjuk az egyedi valószínűségeket, azaz p P(v x ), ahl k k k,, 3... ugyanis, ha v x k és x k E -nek, akkr bármely x k értékét veszi is fel v, az benne lesz az E halmazban, s így teljesül a P(v E) Σ P(v xk) egyenlőség! k. Flytns esetről van szó akkr, ha van lyan f (x) 0 függvény, hgy a számegyenes minden (a,b) intervalluma esetén F (b) - F(a) P (a v b) a Az f (x) függvényt a v valószínűségi váltzó sűrűségfüggvényének nevezzük. b f (x) dx 38
39 3. Kevert eset: ez ritkán frdul elő, tehát nem tárgyalják. 8. A valószínűségi váltzók jellemzői. A várható érték Az a szám, amelyhez a kísérletek egymás után végtelen skszr való végrehajtása srán nyert számértékek számtani átlaga knvergál. Jelölése: M (v) Diszkrét esetben: M (v) Flytns esetben: M (v) μ x i p i i x f (x) dx. Szórás A v - M (v) valószínűségi váltzó négyzetének várható értékéből vnt pzitív négyzetgyök. Jele: D (v) σ Definíció szerint tehát: D (v) M [(v - M(v)) ] 9. Fntsabb elszlásk 9.. Egyenletes elszlás Ilyen elszlást mutat a teljesen véletlenszerűen választtt természetes egész számk halmaza. Itt minden elemnek egyfrma az előfrdulási gyakrisága. Ha pl. 0-0 között választunk véletlenszerűen, akkr minden egyes számnak /0 esélye lesz a kiválasztásra. Itt nem állapítható meg egy pregnáns várható érték, hiszen minden elem egyfrmán valószínűen frdulhat elő. 9.. A binmiális elszlás Diszkrét elszlás. A váltzónak két alternatív ismérve létezik. Jelöljük az egyik lehetséges eredményt S-sel (pl. selejtes termék) és legyen ennek a valószínűsége: P (S) p. Ekkr az alternatív esemény valószínűsége (pl. jó termék): P (J) - p q. 39
40 Ha egy kísérlet eredménye, x valószínűségi váltzó binmiális elszlást követ, akkr annak valószínűsége, hgy 'n' kísérlet esetén (pl. az n elemű mintában) az x valószínűségi váltzó pntsan k értékét vegye fel (k 0,,..., n; pl. az n elemű mintában k selejtes legyen): P (x k) Elszlásfüggvénye: F (k) n! k n-k pk p q, ahl k 0,,...n (n - k)!k! k P (x k) i A binmiális elszlás jellemzői: n! (n - i)! i p q i! n-i Várható értéke: μ n p Szórása: σ n p q A binmiális elszlás jól közelíthető Pissn-elszlással (p 0, alatt, vagy p 0,9 felett, illetve, ha n >> k és n p állandó), vagy nrmális elszlással (ha p közel esik 0,5-höz, vagy n eléggé nagy, illetve np 5), amelyek számítástechnikailag skkal könnyebben kezelhetők. 3. példa Egy flyamats munkarendben dlgzó üzem alkatrészellátása egy adtt napn 80 %-s valószínűséggel zavartalan. Egy hetet vizsgálva mi annak a valószínűsége, hgy a) pntsan négy napn lesz zavartalan a termelés? b) Legalább öt napn lesz zavartalan a termelés? Megldás: A prbléma megldására a binmiális elszlást használjuk. Ennek megfelelően: q 0,8 és p 0, (a zavar valószínűsége), n 7 a) k 7-4 3, aminek felhasználásával 7! 3 4 p3 0, 0,8 0,753 4!3! 40
41 b) A legalább öt nap zavartalan termelés egyenértékű a legfeljebb két nap prblémás időszakkal, így k 0,,, amit felhasználva: 9.3. A Pissn-elszlás P(x ) p 0 + p + p 0, , ,753 0,850 Diszkrét elszlás. Ha egy x valószínűségi váltzó Pissn-elszlást követ, akkr annak valószínűsége, hgy x értéke pntsan k legyen (k 0,,,..., n): λ -λ P (x k) pk e, k 0,,, k! k..., n ahl λ : az elszlás paramétere, egy pzitív állandó, ami nem más, mint maga μ. A Pissn-elszlás elszlásfüggvénye: k- i λ -λ A Pissn-elszlás jellemzői: F(k) P(x k) i i! e Várható értéke: μ n p λ Szórása: σ λ A Pissn-elszlás λ > 5 esetén jól közelíthető a vele egyenlő várhatóértékű és szórású nrmális elszlással. 4. példa Egy frgalmas pstahivatalban egy év alatt 090 címzés nélküli levelet adtak fel. Mi annak a valószínűsége, hgy egy nap kettőnél több címzés nélküli levelet adnak fel? Megldás: A prbléma Pissn-elszlást mutat. Így: λ 090/365 3 címzetlen levél/nap, aminek felhasználásával: P ( x > ) ( p0 + p + p ) (0, , ,40) 0,5768 4
42 9.4. A nrmális elszlás A gyakrlat számára legfntsabb elszlástípus. Flytns elszlás! Az elszlás függvénye: σ Π F(x) σ Π x e Egy x valószínűségi váltzó nrmális elszlást követ, ha sűrűségfüggvénye: (x-μ) - σ f(x) e (x- μ) σ dx ahl μ az elszlás várható értéke, σ az elszlás szórása. A gyakrlati számításk egyszerűsítésére az ún. standard nrmális elszlással dlgzunk. Ennek paraméterei: μ 0 és σ, így sűrűségfüggvénye: φ (z) elszlásfüggvénye: Π e z - Φ (z) Π z e z - dz x - μ Látható, hgy a standardizálást a z való segítségével végeztük. σ A nrmális elszlás igen nagy gyakrlati jelentőségű. Az elméleti és gyakrlati munka srán igen skszr találkzunk nrmális vagy jó közelítéssel nrmális elszlással, amit a már említett közpnti határelszlás tétele indkl. Skszr használható a binmiális és Pissn-elszlásk közelítésére. 5. példa Autmata palacktöltő exprt knyakt tölt. A megrendelő kikötése szerint az 50 ml űrtartalm alatti palackk aránya legfeljebb 3 % lehet. 4
43 Egy N db-s tétel paramétereit minta alapján meghatárzták: _ x 53,4 ml. A töltőgép σ 6 ml szórással tölti a kérdéses knyakfajtát. Egy palack knyak ára 800,- Ft Határzzuk meg: - az ptimális töltési szintet, - a jelenlegi tétel esetén az esetleges túltöltés frint értékét! Megldás: Tudjuk, hgy a töltési űrtartalm valószínűségi váltzóként fgható fel, és elszlása nrmális elszlás. A nrmális elszlású valószínűségi váltzóra érvényes, hgy P(v < x) Φ( z ), ahl x - μ z σ Az az infrmáció, hgy az 50 ml űrtartalm alatti palackk aránya legfeljebb 3 % lehet, azt jelenti, hgy adtt szórás mellett az 50 ml űrtartalm alatti palackk valószínűsége 0,03! Az 50-es érték pedig az adtt x érték! Írjuk ezt fel képlettel: P ( v < 50 ) 0,03 vagyis Φ(z) 0,03 Ebből kiszámítható az ptimális töltési érték, mert a x - μ z - ból kapjuk : μ x z σ σ Ha μ > x, akkr értéke negatív, így a Φ ( - z ) - Φ ( + z) egyenletet alkalmazva táblázatból (.sz. táblázat) kaphatjuk meg z értékét. Példánkban Φ(- z ) - 0,03 0,97, amihez a táblázatból kilvasva és helyes előjellel értelmezve a z -,88 tartzik. Ezt az értéket helyettesítsük a μ x - z б egyenletbe; így megkapjuk az ptimális töltési szintet, vagyis μ 50 +,88 6 5,3 ml. A jelenlegi tétel átlaga x 53,4 ml, a túltöltés tehát 53,4 5,3, ml palacknként. 43
44 Ez palack esetén 0.000,.000 ml. Ez a mennyiség ptimális töltés esetén.000 : 5,3 45 db palacknak felel meg. A veszteség tehát á. 800,- Ft-tal számlva: A váltzók kmbinálása ,- Ft Ha x és y két független, nrmális elszlású véletlen váltzó μ és μ értékkel és σ és σ varianciával, akkr várható X + Y - ra : és μ μ + μ és σ σ + σ X Y - ra : μ μ μ és σ σ + σ 9.5. A közpnti határelszlás tétele Ha egy statisztikai skaságból k-szr veszünk n elemű mintát, akkr a mintaátlagból képzett statisztikai skaság nrmális elszlást követ, és n növelésével határértékként közelíti az alapskaság μ várható értékét!! Minél nagybb a minta elemszáma, annál kisebb lesz a szórás. Ez azt jelenti, hgy a mintaátlagk a következő elsztást mutatják: σ x N( μ, ) n ahl n a minta elemszáma. ( σ a standard hiba!) n 50 elemû minta 0 elemû minta alapskaság μ 44
45 0. Knfidencia intervallumk A statisztikai vizsgálatk kényes pntja a mintavétel. Vizsgálatainkban fel fgjuk tételezni, hgy mintáink egyszerű véletlen mintavétellel keletkeztek. A mintavételezés mindig infrmációvesztéssel jár, azaz a mintából levnt következtetések biznytalansága nagybb, mintha ugyanazt a teljes alapskaságból vnnánk le. Ezért egy új fgalmat kell bevezetnünk, a statisztikai következtetés fgalmát. Hárm bázisfaktr fg hatni eredményeinkre. Ezek:. A minta nagysága. A váltzéknyság a releváns ppulációban 3. Az eredményben elérni kívánt megbízhatósági szint A minta elemszámainak növelésével csökken a biznytalanság, de nem egyenes arányban! Milyen biztnság az elfgadható? (90, 95, 99 %?) 0.. Következtetések az alapskaság átlagára, knfidencia intervallumk Jelölésünkben a következő elveket fgjuk követni: Alapskaság Minta átlag μ x variancia σ s elemszám N n Mivel az alapskaságból vett minták átlaga nem egyezik meg μ-vel, úgy ezeket valószínűségi váltzóként fgjuk fel, s a belőlük képzett skaság átlagával közelítjük μ-t. Ez aznban nem pnts; a közelítésnek van biznys hibája. Ez azt jelenti, hgy a μ egy lyan intervallumba esik, amelynek nagysága x ± mintavétel hibája. Ezzel gyakrlatilag egy intervallum becslést készítettünk n-re! Ha mintánk elég nagy ( n 30), akkr a mintaátlagk elszlása nrmális elsztást követ μ átlaggal és szórással. σ n 45
46 A nrmális elszlás táblázatából megállapítható, hgy a váltzók 95 %-a az átlag körüli ±,96σ intervallumba esik! Alkalmazva ezt esetünkre a következő frmulát kapjuk σ σ P ( x -,96 μ x +,96 ) 0, 95 n n Amint az látható, a minta elemszámának növelése szűkíti a becslési intervallumt! Újrarendezve fenti képletünket megkapjuk az alapskaság átlagára (μ) vnatkzó 95 %-s knfidencia intervallumt. μ x ±,96 σ n 6. példa: Egy bankfiókban találmra kiválasztttak 00 számlát és azt találták, hgy azk átlagban frintról szóltak. Ha tudjuk, hgy a befizetések szórása Ft, határzzuk meg az átlag 95 %-s knfidencia intervallumát. Megldás: n 00 x Ft σ Ft Ebből: 7000 μ m, ± 0 vagy másként 3.98 < μ < Mindössze 5 % a valószínűsége annak, hgy napi befizetési átlag ezen határkn kívül lesz! Ha σ nem ismert, közelítsük azt a minta szórásával (s)!!. Knfidencia intervallum (nagyszámú statisztikai adat feldlgzása révén) Az adatgyűjtés srán adataink rendezetlen frmában kerülnek birtkunkba. Az adatk nagyság szerinti srba rendezésével sem tudunk aznban lényegesen javítani a halmaz áttekinthetőségén. Az áttekinthetőséget az adatk sztályzásával tehetjük megfelelőbbé. Az adathalmaz valamennyi értékét magába fglaló teljes értékköz felsztását azns 46
47 nagyságú rész-értékközökre, és az adatknak ezen belüli csprtsítását sztályba srlásnak nevezzük. A rész értékközt sztályköznek nevezzük. Az sztályköz középső értékét (rendszerint számtani átlagát) sztályközépnek nevezzük. Az sztályközt határló két érték az alsó, illetve felső sztályhatár. Osztályba srlás esetén az sztályközön belüli közönség értékű adatkat egyetlen érték, az sztályközép jellemzi. Az sztályközök számának és az sztályhatárk megfelelő megállapításával adataink egyértelműen sztályba srlhatók és ezután megszámlálhatjuk, hgy egyegy sztályközbe hány adat esik. Gyakriságnak ( f i ) nevezzük az sztályközben lévő adatk számát. Az egyes sztályközökbe eső adatk gyakriságainak megállapításával tulajdnképpen azt is megkapjuk, hgy az egyes sztályközök között adathalmazunk hgyan szlik meg, vagyis ismerjük adathalmazunk gyakrisági elszlását. Lehetséges, hgy az egyes sztályközök gyakriságának aránya érdekel bennünket. Ekkr a relatív gyakriságkat ( g i ) kell megállapítanunk. A gyakriságt az adathalmaz elemszámával (n) sztva kapjuk a relatív gyakriságt. Gyakran kíváncsiak vagyunk arra, hgy egy adtt értéknél kisebb érték milyen gyakrisággal frdul elő. A kumulált gyakriságk előállításával kapunk erre választ. A kumulálást úgy végezzük, hgy az eredeti gyakriságkat rendre halmzva összeadjuk. Megemlítjük, hgy kevés adatt nem érdemes sztályba srlni. Általában 5-0 adatnál kevesebbet nem srlunk sztályba. Célszerűen 0-5 sztályközt érdemes kialakítani. A statisztikai jellemzőket flytns elszlás esetén az alábbi módn számítjuk: A számtani átlag ( x ): ahl x A + f i n x, i h (vagy x Σ fixi ) n A a legnagybb gyakriságú sztály sztályközepe,, xi A xi, h x az egyes sztályk sztályközepe, i 47
MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja
MATEMATIKA C. évflyam 5. mdul Ismétlés a tudás anyja Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási
Részletesebben1. Az ajánlatkérő neve, címe, telefon- és telefaxszáma; elektronikus levelezési címe
és útfelújítás építési beruházás kivitelezői feladatainak ellátása AJÁNLATTÉTELI FELHÍVÁS - módsításkkal egységes szerkezetben II.- - Huszártelep területi és társadalmi reintegrációja (ÉAOP-5.1.1/B-09-2f-2012-0002-Szciális
RészletesebbenZÁRÓ VEZETŐI JELENTÉS TEVÉKENYSÉGELEMZÉS ÉS MUNKAKÖRI LEÍRÁSOK KÉSZÍTÉSE SZÁMÍTÓGÉPES ADAT- BÁZIS TÁMOGATÁSÁVAL
TEVÉKENYSÉGELEMZÉS ÉS MUNKAKÖRI LEÍRÁSOK KÉSZÍTÉSE SZÁMÍTÓGÉPES ADAT- BÁZIS TÁMOGATÁSÁVAL Kerekegyháza Várs Önkrmányzata részére ÁROP szervezetfejlesztési prjekt 2010. 04. 30. 2 / 34 Tartalmjegyzék 1.
RészletesebbenJELENTÉS. az önkormányzatok 1993. évi normatív állami hozzájárulás igénybevételének és elszámolásának ellenőrzési tapasztalatairól. 1994. július 212.
JELENTÉS az önkrmányzatk 1993. évi nrmatív állami hzzájárulás igénybevételének és elszámlásának ellenőrzési tapasztalatairól 1994. július 212. Állami Számvevőszék V-1006-52/1994. Témaszám: 221 Jelentés
RészletesebbenVerzió 1.2 2009.11.27. CompLex Officium Felhasználói kézikönyv
Verzió 1.2 2009.11.27. CmpLex Officium Felhasználói kézikönyv CmpLex Officium felhasználói kézikönyv Tartalmjegyzék 1 Bevezetés... 3 1.1 Rendszerkövetelmények... 3 1.2 Fgalmtár... 3 2 Officium lehetőségek...
RészletesebbenINFORMATIKAI STRATÉGIA
EREDMÉNYEK INFORMATIZÁLÁSÁNAK ELŐKÉSZÍTÉSE (ÁROP 3.d) VESZPRÉM MEGYEI JOGÚ VÁROS POLGÁRMESTERI HIVATALA 8200 Veszprém, Óvárs tér 9. INFORMATIKAI STRATÉGIA Készítette: Indikátrk, amelyek teljesítéséhez
RészletesebbenA fogyasztói tudatosság növelése. az elektronikus hírközlési piacon
A fgyasztói tudatsság növelése az elektrnikus hírközlési piacn A Nemzeti Hírközlési Hatóság szakmai tájékztató anyaga 2008. szeptember A fgyasztók körébe meghatárzás szerint valamennyien beletartzunk,
RészletesebbenKristályszerkezetek és vizsgálatuk
Kristályszerkezetek és vizsgálatuk Az anyagk tulajdnságait atmjaik fajtája, kémiai kötésük jellege és kristályszerkezete együttesen határzza meg. A fentiekre a szén egy tipikus példa. A tiszta szén gyémánt
RészletesebbenLUDA SZILVIA. sikerül egységnyi anyagból nagyobb értéket létrehozni, gyorsabban nő a GDP, mint az anyagfelhasználás.
A GAZDASÁGI NÖVEKEDÉS ÉS A PAPÍRFELHASZNÁLÁS ALAKULÁSA NÉHÁNY OECD ORSZÁG PÉLDÁJÁN KERESZTÜL Bevezetés LUDA SZILVIA A tanulmány az ök-hatéknyság fgalmának értelmezését bemutatva, felhívja a figyelmet annak
RészletesebbenHidrosztatikai problémák
Hidrsztatikai prblémák 11 hidrsztatikai nymással kapcslats gndlatmenetek Szájával lefelé frdíttt, vízzel telt mérőhengert kiemelünk egy nagybb kád vízből Kössünk rugós erőmérőt a mérőhengerre, s annál
RészletesebbenA PUBLIC RELATIONS TEVÉKENYSÉG ESZKÖZEI
A PUBLIC RELATIONS TEVÉKENYSÉG ESZKÖZEI A klasszikus értelemben vett médián kívül száms eszköz szlgálja az üzenetek célba juttatását. Az infrmáció-, és tudásalapú társadalm megváltztatja az infrmáció áramlás
RészletesebbenPrototípus, termék-, technológia- és szolgáltatásfejlesztés
Tanácsadás Pályázatírás Támgatás lehívása Utókövetés Prttípus, termék-, technlógia- és szlgáltatásfejlesztés Gazdaságfejlesztési és Innvációs Operatív Prgram KÓDSZÁM GINOP-2.1.7-15 A pályázati kiírás a
RészletesebbenMINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV Jóváhagyta Ellenőrizte Készítette Név Aláírás Dátum TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK... 1. MINŐSÉG POLITIKA...4 2. AZ ISKOLA BEMUTATÁSA 5 2.1. LEÍRÁS 5 2.2. SZERVEZETI FELÉPÍTÉS.5
RészletesebbenFOGYATÉKOS ÉS EGÉSZSÉGKÁROSODOTT FIATALOK PÁLYAORIENTÁCIÓJÁNAK HELYZETE. Elemző tanulmány
FOGYATÉKOS ÉS EGÉSZSÉGKÁROSODOTT FIATALOK PÁLYAORIENTÁCIÓJÁNAK HELYZETE Elemző tanulmány Készült a JÖVŐFORMÁLÓ Pályaválasztást támgató rendszer kialakítása fgyatéks és egészségkársdtt fiatalk számára című
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk
MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási
RészletesebbenA felülvizsgálatok során feltárt hibákat a döntések tartalmához igazodó sorrendben csoportosítottuk.
1 Jegyző helyi környezet- illetve természetvédelemmel kapcslats hatáskörében hztt I. fkú szakhatósági állásfglalásk és eljárásk felülvizsgálatának tapasztalatairól Cél meghatárzása: - a hatóságk közötti
RészletesebbenVÍZGYŰRŰS VÁKUUMSZIVATTYÚ MÉRÉSE
Áramlástechnikai Géek VÍZGYŰRŰS VÁKUUMSZIVATTYÚ MÉRÉSE A vákuumszivattyúk lyan géek, amelyek egy zárt térből gázt távlítanak el, és ezzel részleges vákuumt hznak létre.. A mérés célja Meghatárzandók egy
RészletesebbenKerékpárosokra vonatkozó legfontosabb ismeretek 3. rész Oldal 1
ı 15. Irányjelzés A kerékpársnak is, jeleznie kell minden irányváltztatási szándékát, mégpedig balra kanyardva bal, jbbra kanyardva jbb kézzel. Az irányjelzést az irányváltztatás előtt megfelelő távlságban
RészletesebbenMINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV Jóváhagyta Ellenőrizte Készítette Név Aláírás Dátum TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 2 1. MINŐSÉG POLITIKA...4 2. AZ ISKOLA BEMUTATÁSA 5 2.1. LEÍRÁS 5 2.2. SZERVEZETI FELÉPÍTÉS.5
RészletesebbenNők szolgálata. Tehát úgy teremtette Isten a férfit és a nőt, hogy személyükben egyenlőek, de sorrendiségükben és szerepükben eltérőek legyenek.
Nők szlgálata A nők szlgálatának a kérdése az elmúlt évtizedekben sk vitára adtt kt. Egyes közösségekben egyáltalán nem engedik a nők szlgálatát, míg más közösségekben, főleg a XX. század női egyenjgúsági
Részletesebben10XONE Szoftver és szolgáltatási szerződés Általános Szerződési Feltételek (ÁSzF) 3.3. 10XONE V3.3 SZERZŐDÉS
10XONE Sftware and Services Agreement General Terms and Cnditins V3.3 Szftver és Szlgáltatási Szerződés Általáns Szerződési Feltételek V3.3 Jelen Szftver és Szlgáltatási szerződés (tvábbiakban Szerződés
RészletesebbenTestépítés. Kovács Zoltán (Nyíregyházi Főiskola Debreceni Egyetem) zeus.nyf.hu/ kovacsz. 2004. július 7.
Testépítés Kvács Zltán (Nyíregyházi Főiskla Debreceni Egyetem) zeus.nyf.hu/ kvacsz 2004. július 7. A címlapn látható csillagtest, a nagy ikzi-ddekaéder mdelljének elkészítésére a KöMaL 1981. évi nvemberi
RészletesebbenVállalatok K+F+I tevékenységének támogatása
Tanácsadás Pályázatírás Támgatás lehívása Utókövetés Vállalatk K+F+I tevékenységének támgatása Gazdaságfejlesztési és Innvációs Operatív Prgram KÓDSZÁM GINOP-2.1.1-15 A vissza nem térítendő támgatás célja
RészletesebbenFelhívás. Csoportos tehetségsegítő tevékenységek megvalósítására. a TÁMOP-3.4.5-12-2012-0001 azonosítószámú Tehetséghidak Program
Felhívás Csprts tehetségsegítő tevékenységek megvalósítására a TÁMOP-3.4.5-12-2012-0001 aznsítószámú című kiemelt prjekt keretében A Tehetséghidak Prjektirda a TÁMOP-3.4.5-12-2012-0001 aznsító számú 1
RészletesebbenSARKÍTOTT FÉNNYEL A VIKINGEK NYOMÁBAN AZ ÉSZAKI-SARKVIDÉKEN A polarimetrikus viking navigáció légköroptikai feltételeinek kísérleti vizsgálata
neutrncsillagk száma 8 7 6 5 4 3 2 1 ( dm/ dt ) 10 = 1 0 0 200 400 600 800 1000 1 n (s ) 10. ábra. A milliszekundums neutrncsillagk frekvencia szerinti elszlásának összehasnlítása Glendenning és Weber
RészletesebbenA HÁLÓ KÖZÖSSÉG MISSZIÓJA A KÁRPÁT-MEDENCÉBEN
A HÁLÓ KÖZÖSSÉG MISSZIÓJA A KÁRPÁT-MEDENCÉBEN (meghirdetett cím) Szeibert András előadása Tkajban, 2013. augusztus 16-án, 15:00-kr a Bkr tábrban Az alábbi írás az tt elhangzttakkal 90%-ban azns, mert egyrészt
RészletesebbenA KÓS KÁROLY ÁLTALÁNOS ISKOLA PEDAGÓGIAI PROGRAMJA
A KÓS KÁROLY ÁLTALÁNOS ISKOLA PEDAGÓGIAI PROGRAMJA Tartalmjegyzék 1. Az iskla nevelési prgramja... 5 1.1. A nevelő-ktató munka pedagógiai alapelvei, céljai, feladatai, eszközei, eljárásai... 5 1.1.1. Az
RészletesebbenGAZDASÁGI STATISZTIKA
GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK
RészletesebbenA felmenők és az oldalrokonok törvényes öröklése: a parentéláris öröklés
A felmenők és az ldalrknk törvényes öröklése: a parentéláris öröklés A Ptk. a felmenő egyenes ági rknk törvényes öröklési jgát krlátlanul elismeri. Az ldalrknk törvényes öröklési jgát a nagyszülői leszármazók
RészletesebbenAz Alsózsolcai 2. sz. Óvoda önértékelése
Alsózslcai 2. sz. Óvda Az Alsózslcai 2. sz. Óvda önértékelése Beszámló a 2015/2016 nevelési évünk működéséről Bevezető: Az önértékelés célja, hgy segítséget adjn az intézmény pedagógiai-szakmai munkájának
RészletesebbenTájékoztató a 2015. évi pedagógiai-szakmai ellenőrzés (tanfelügyelet) és pedagógusminősítések szakértői feladataival kapcsolatban
Tájékztató a 2015. évi pedagógiai-szakmai ellenőrzés (tanfelügyelet) és pedagógusminősítések szakértői feladataival kapcslatban Budapest, 2015. szeptember 21. 1 A 2015. év szeptemberében megkezdődött minősítésekkel
Részletesebben5CG. számú előterjesztés
Budapest Fővárs X. kerület Kőbányai Önkrmányzat Plgármestere 5CG. számú előterjesztés Bizalmas az előterjesztés 2. mellékletének 2. és 211. melléklete! Előterjesztés a Képviselő-testület részére a Körösi
RészletesebbenIV. rész. Az élettársi kapcsolat
IV. rész Az élettársi kapcslat Napjaink egyik leggyakrabban vitattt jgintézménye úgy tűnik kimzdult az évtizedeken át tartó jgi szabályzatlanságból, sőt az újnnan megjelenő jgszabályk és az azk által generált
RészletesebbenHALÁSZTELKI TÜNDÉRKERT ÓVODA
HALÁSZTELKI TÜNDÉRKERT ÓVODA PEDAGÓGIAI PROGRAM TARTALOM Intézményünk pedagógiai prgramjának elkészítésénél figyelembe vett dkumentumk:... 5 1.AZ INTÉZMÉNY ÁLTALÁNOS JELLEMZŐI... 5 1.1. Az óvda alaptevékenysége:...
RészletesebbenÖnköltség-számítási számítási szabályzat
Önköltség-számítási számítási szabályzat 2015 15. S z a b á l y z a t Oldal: 2/23. Besztás Név Készítette Ellenőrizte Jóváhagyta mb. Szenátus nevében: kancellár gazdasági igazgató rektr Papiné Szentgyörgyvölgyi
RészletesebbenAdatbenyújtási kézikönyv
Adatbenyújtási kézikönyv 22. rész Az engedélyezési kérelem elkészítése és benyújtása Annankatu 18, P Bx 400, FI-00121 Helsinki, Finland (Finnrszág) Tel.: +358 9 686180 Fax: +358 9 68618210 echa.eurpa.eu
RészletesebbenNormatív Határozat. Felelős: dr. Kelemen Márk polgármester Határidő: azonnal
/2014. (XI.26.) sz. NORMATÍV Kth.: A stratégiai dkumentumk tartalmáról és szerkezetéről valamint a mutatószámk kialakításának módszertanáról szóló szabályzat elfgadása Nrmatív Határzat 1./ Kerekegyháza
RészletesebbenA SZŐKE TISZA pusztulása és a jogi felelősség kérdése
3. számú melléklet A SZŐKE TISZA pusztulása és a jgi felelősség kérdése Furcsa mód épp a laikus civil közösség hivatkztt internetes közösségi ldalain kmmentelők részéről vetődött fel több alkalmmal is
RészletesebbenÁltalános előírások. Az előírások hatálya 1..
Nemesszalók Község Önkrmányzata Képviselő-testületének 6/2008.(XI.13.) számú rendelete Nemesszalók község Helyi Építési Szabályzatának, valamint Szabályzási Tervének jóváhagyásáról Nemesszalók Község Önkrmányzatának
RészletesebbenKözlemény. Módosított pont. dokumentum neve Pályázati útmutató és Pályázati felhívás. B1 Jogi forma (a szöveg kiegészítése)
Közlemény A Nemzeti Fejlesztési Ügynökség felhívja a tisztelt pályázók figyelmét, hgy a TIOP-1.2.1/08/1 Agóra -multifunkcinális közösségi közpntk és területi közművelődési tanácsadó szlgálat infrastrukturális
RészletesebbenA végsebesség az egyes sebességfokozatokban elért gyorsulás és időtartam szorzatainak összege: 5
XVI. TORNYAI SÁNDOR ORSZÁGOS FIZIKAI FELADATMEGOLDÓ VERSENY A REFORMÁTUS KÖZÉPISKOLÁK SZÁMÁRA Hódmezővásárhely, 0. március 30-3. 9. évflyam. feladat: Adatk: l = 00 m, c = 6 m/s, v = m/s Vizsgáljuk a T
RészletesebbenVelem községi Önkormányzat 2010. évi költségvetési koncepciója
E L Ő T E R J E S Z T É S Velem községi Önkrmányzat Képviselő-testületének 2009. nvember 27-ei testületi ülésére Tárgy: Előterjesztő: Összeállíttta: Melléklet: Velem községi Önkrmányzat 2010. évi költségvetési
RészletesebbenMélyhúzás lemezanyagai és minősítési módszereik. Oktatási segédlet.
ÓBUDAI EGYETEM Bánki Dnát Gépész és Biztnságtechnikai Mérnöki Kar Anyagtudmányi- és Gyártástechnlógiai Intézet Mélyhúzás lemezanyagai és minősítési módszereik Oktatási segédlet. Összeállíttta: dr. Hrváth
Részletesebben3. prioritás: A minıségi oktatás és hozzáférés biztosítása mindenkinek
TÁRSADALMI MEGÚJULÁS OPERATÍV PROGRAM 3. priritás: A minıségi ktatás és hzzáférés biztsítása mindenkinek Akcióterv 2007-2008. 2008. július 1. A priritás bemutatása 1.1. A priritás tartalma Priritás száma
RészletesebbenÁltalános előírások. Az előírások hatálya. Jelen építési szabályzat hatálya Vinár község (továbbiakban település) igazgatási területére terjed ki.
Vinár Község Önkrmányzata Képviselőtestületének 8/2010. (VIII.23.) önkrmányzati rendelete Vinár község Helyi Építési Szabályzatának, valamint Szabályzási Tervének jóváhagyásáról Vinár Község Önkrmányzata
RészletesebbenK e m e n e s h ő g y é s z k ö z s é g h e l y i é p í t é s i s z a b á l y z a t a ( T e r v e z e t )
Kemeneshőgyész Község Önkrmányzata Képviselőtestületének /2010. (..) számú rendelete Kemeneshőgyész község Helyi Építési Szabályzatának, valamint Szabályzási Tervének jóváhagyásáról Kemeneshőgyész Község
RészletesebbenJelen módosításra az Alapító a 3. számú végzésre tekintettel az 1999. december 3 -án hozott közgyűlési határozata alapján került sor.
Készítette: dr. Trnyai Magdlna ügyvéd Amely a Magyar Bőrgyógyászk "Fekete Zltán" Alapítványa 1991. február 28-án létrehztt és 1998. május 29-én módsíttt egységes szerkezetű Alapító Okiratára vnatkzik,
RészletesebbenBevezetés. 1.) Bemutatkozás
2007. december 19. Bevezetés A minségirányítási prgram az intézmény minségirányítási rendszerét rögzíti, amely az intézmény vezetése, tanáraink, a pedagógiai munkát segít munkatársaink és partnereink számára
RészletesebbenKÖZBESZERZÉSI SZABÁLYZAT
NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM KÖZBESZERZÉSI SZABÁLYZAT SOPRON 2016 Hatálys: 2016. 03. 02.-től TARTALOMJEGYZÉK A KÖZBESZERZÉSI SZABÁLYZAT CÉLJA ÉS HATÁLYA... 3 A KÖZBESZERZÉS TÁRGYA... 3 A KÖZBESZERZÉSI
Részletesebben11. Matematikai statisztika
11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó
RészletesebbenTurisztikai attrakciók és szolgáltatások fejlesztése c. konstrukciójához. Kódszám: DDOP-2.1.1/D-12, KDOP-2.1.1/D-12, NYDOP-2.1.1/F-12 DAOP-2.1.
PÁLYÁZATI FELHÍVÁS a Dél-Alföldi Operatív Prgram Dél-Dunántúli Operatív Prgram Észak-Alföldi Operatív Prgram Észak-Magyarrszági Operatív Prgram Közép-Dunántúli Operatív Prgram Nyugat-Dunántúli Operatív
RészletesebbenElektromágneses terek (VIHVA204, BSc kurzus) Szóbeli vizsgakérdések
Elektrmágneses terek (VIHVA204, BSc kurzus) Szóbeli vizsgakérdések 1. Ismertesse az elektrmágneses tér frrásmennyiségeit és a köztük lévő kapcslatt! 2. Ismertesse az elektrmágneses tér intenzitásvektrait
RészletesebbenDáka Község Helyi Építési Szabályzata
Dáka Község Helyi Építési Szabályzata 1 Dáka Község Önkrmányzat Képviselő-testületének 11/2008. ( XII.17.) rendelete Dáka község Helyi Építési Szabályzatáról, valamint Szabályzási Tervéről Dáka Község
RészletesebbenFELHÍVÁS. A felhívás címe: Felzárkóztató egészségügyi ápolói szakképzési programok. A felhívás kódszáma: EFOP-3.8.1-14
EFOP_3.8.1-14 FELHÍVÁS Az egészségügyi ellátórendszerben dlgzó, OKJ előtti szakképesítéssel rendelkezők számára az OKJ-s szakképesítés megszerzése támgatásának megvalósítására A felhívás címe: Felzárkóztató
RészletesebbenÚTMUTATÓ A PROJEKTMENEDZSMENT TÁMOGATÓ RENDSZER
ÚTMUTATÓ A PROJEKTMENEDZSMENT TÁMOGATÓ RENDSZER TERVEZÉSÉHEZ BUDAPEST FŐVÁROS XI. KERÜLET ÚJBUDA ÖNKORMÁNYZATA RÉSZÉRE Intézményi akkreditációs lajstrmszám: 01-0789-04 OM aznsítószám: FI33842 Tartalmjegyzék
RészletesebbenLiPo akkumulátorok kezelése: LiPo akkumulátorok előnyei a NiMh-val szemben:
LiP akkumulátrk kezelése: LiP akkumulátrk előnyei a NiMh-val szemben: Azns teljesítménynél lényegesen kisebb súly Megfelelő kezelés esetén hsszabb élettartam Kiegyensúlyzttabb feszültséggörbe (értsd: míg
Részletesebben3. A MAGÁNSZEMÉLYEK ÉS GAZDÁLKODÓ SZERVEZETEK TŰZVÉDELMI FELADATAI
3. A MAGÁNSZEMÉLYEK ÉS GAZDÁLKODÓ SZERVEZETEK TŰZVÉDELMI FELADATAI Segédanyag az OMKT Kft.- n flyó Tűzvédelmi előadó szakképzéshez. Budapest, 2011. nvember Szerkesztő: Duruc József 3.1. A magánszemélyek
RészletesebbenBevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I.
Statisztika I. 1. előadás: A statisztika alapfogalmai Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem A kurzusról A kurzus célja
RészletesebbenE-közigazgatási költség-hatékonysági módszertanok és benchmarking/monitoring rendszer kidolgozása
E-közigazgatási költség-hatéknysági módszertank és benchmarking/mnitring rendszer kidlgzása B. Javaslat az elektrnikus közigazgatási szlgáltatásk fejlettségének érdemi mérésére alkalmas értékelési szempntrendszerre
RészletesebbenA nyilvános tér, művészet és társadalom viszonyrendszere
Oktató: Fleischer Tamás Kurzus: Várs, közlekedés, társadalm A nyilváns tér, művészet és társadalm visznyrendszere Árvay Orslya Szcilógia III. Dlgzatmmal a 2003. március 3-i, A vársi köztérről, a vársi
RészletesebbenVezetéstechnikai tréningprogram
A Nemzeti Fejlesztési Minisztérium, a 2014-2016. évi Közúti Közlekedésbiztnsági Akcióprgram és Intézkedési Terv keretében pályázatt hirdet Vezetéstechnikai tréningprgram címen C kategória 1. TARTALOM 2.
RészletesebbenPEDAGÓGIAI PROGRAM Némann Valéria Általános Iskola 5932 Gádoros, Iskola u. 4. 2004.
PEDAGÓGIAI PROGRAM Némann Valéria Általáns Iskla 5932 Gádrs, Iskla u. 4. 2004. 2 TARTALOMJEGYZÉK NEVELÉSI PROGRAM I. Pedagógiai alapelvek...3 II. Az isklában flyó nevelő és ktató munka céljai feladatai,
RészletesebbenBILIÁRD TIPPEK Sorozat I. RÉSZ: Játszd a biliárd 8-as játékot a VERSENYSZABÁLYOK szerint!
BILIÁRD TIPPEK Srzat I. RÉSZ: Játszd a biliárd 8-as játékt a VERSENYSZABÁLYOK szerint! Ezt a srzatt azért indítttuk, hgy Nektek, a biliárd iránt érdeklıdıknek segíthessünk a játék jbb megismerésében és
RészletesebbenKitöltési útmutató. A. Általános rész. KITÖLTÉSI ÚTMUTATÓ az 1665. számú adatlaphoz
Kitöltési útmutató KITÖLTÉSI ÚTMUTATÓ az 1665. számú adatlaphz A. Általáns rész Az adatszlgáltatók köre és az adatszlgáltatás tárgya (a többször módsíttt 2001. CI. (a felnőttképzésről szóló) tv. - a tvábbiakban:
RészletesebbenA 2016-os tervekről is röviden egypár szót ejtenék
XIII. évflyam 1. szám www.hmkigazda.cm Terjeszti: belterületen a Dbber Lapterjesztő Kft., külterületen a Magyar Psta 016. Január Szerkesztő: Hrváth Péter Nymdai munkák: Lapcm Lapkiadó és Nymdaipari Kft.
RészletesebbenA Makói Oktatási Központ, Szakképző Iskola és Kollégium Szervezeti és Működési Szabályzata
A Makói Oktatási Közpnt, Szakképző Iskla és Kllégium 1 A Szervezeti és Működési Szabályzat célja...4 2 A szervezeti és működési szabályzat jgszabályi alapjai, hatálya...4 3 A Szervezeti és Működési Szabályzat
RészletesebbenPéldák. Ismert a római számok halmaza, amely intuitív szintaxissal rendelkezik, hiszen pl.
A 10. óra vázlata: Példák Ismert a római számk halmaza, amely intuitív szintaxissal rendelkezik, hiszen pl. IIV-t VX-et vagy IIII-t nem fgadjuk el római számnak (habár v.ö. tarkk-kártya vagy némely óra
RészletesebbenEGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ
EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ MODELLEZÉS Brodszky Valentin, Jelics-Popa Nóra, Péntek Márta BCE Közszolgálati Tanszék A tananyag a TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0003 "Képzés- és tartalomfejlesztés a Budapesti
RészletesebbenKELEBIA KÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÖZFOGLALKOZTATÁSI TERVE 2010.
KELEBIA KÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÖZFOGLALKOZTATÁSI TERVE 2010. A közfglalkztatási terv célja A közfglalkztatási terv elkészítésének célja a szciális igazgatásról és szciális ellátáskról szóló törvény (1993.
RészletesebbenMEGVALÓSÍTHATÓSÁGI TANULMÁNY
1 MEGVALÓSÍTHATÓSÁGI TANULMÁNY A Magyarrszág-Hrvátrszág Határn Átnyúló Együttmûködési Prgram 2007-2013 (HUHR CBC Prgram) keretében megvalósuló JOINT INDUSTRIAL PARK elnevezésû, HUHR/1001/2.1.4/0004 számú
RészletesebbenAz állattenyésztési ágazat fejlesztése - trágyatárolók építése
Tanácsadás Pályázatírás Támgatás lehívása Utókövetés Az állattenyésztési ágazat fejlesztése - trágyatárlók építése Vidékfejlesztési Prgram KÓDSZÁM VP-5-4.1.1.6-15 A vissza nem térítendő tőketámgatás célja,
RészletesebbenDr. Fóriánné Horváth Margit A bankári biztosítékok
Dr. Fóriánné Hrváth Margit A bankári biztsítékk A garanciaintézmények kezességvállalása a pénzügyi válságban Biztsítékk helye szerepe a hitelezésben A bankk a kölcsönügyleteik mögé állíttt biztsítékkkal
RészletesebbenVENDÉGLŐS PINCÉR SZAKÁCS CUKRÁSZ SZAKMAI PROGRAMJA 2012.
Kereskedelmi és Vendéglátói Szakképző Iskla és Kllégium 9700 Szmbathely, Nagykar u. 1-3. Pf. 154. Számlaszám: Raiffeisen Bank Zrt. 12094507-01197635-00100009 Telefn: 94-312-375; 94-506-094 Telefax: 94-315-686
RészletesebbenKomputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
RészletesebbenPanini A150.676 V3/0211
Panini A150.676 V3/0211 H 1. Általáns infrmáció 184 1.1 Használati útmutatóval kapcslats infrmációk 184 1.2 A szimbólumk magyarázata 184 1.3 A gyártó felelőssége és a garancia 185 1.4 Szerzői jg védelme
RészletesebbenA KÖNYVKIADÁS KOLLÉGIUMÁNAK MEGHÍVÁSOS PÁLYÁZATI FELHÍVÁSA. A Könyvkiadás Kollégiuma meghívásos pályázatot hirdet, amelyre meghívja a :
A KÖNYVKIADÁS KOLLÉGIUMÁNAK MEGHÍVÁSOS PÁLYÁZATI FELHÍVÁSA A Könyvkiadás Kllégiuma meghíváss pályázatt hirdet, amelyre meghívja a : Könyvtárellátó Kiemelkedően Közhasznú Nnprfit Kft.-t (tvábbiakban KELLÓ).
RészletesebbenElektrokémiai fémleválasztás. Alapok: elektródok és csoportosításuk
Elektrkéma fémleválasztás Alapk: elektródk és csprtsításuk Péter László Elektrkéma fémleválasztás Elektródk és csprtsításuk - 1 Elektrkéma reakcó, elektród Mely reakcókat nevezzük elektrkéma reakcóknak?
RészletesebbenA Közép-Nyírségi Agroipari Park megvalósíthatósági tanulmányterve
A Közép-Nyírségi Agripari Park megvalósíthatósági tanulmányterve Készült: A Közép Nyírségi Önkrmányzati Többcélú Kistérségi Társulás megbízásából a Prminent Kmmunikációs Bt. által Nyíregyháza, 2008. augusztus
RészletesebbenP E D A G Ó G I A I P R O G R A M
P E D A G Ó G I A I P R O G R A M Az én tanításm nem arra van ítélve, hgy könyvtárak prában penészedjék, hanem hgy győztesen hassn a gyakrlati életben. (Semmelweis Ignác) Semmelweis Ignác Humán Szakképző
RészletesebbenWindows felhasználói felület
Windws felhasználói felület Az felhasználó és a perációs rendszer közötti kapcslatt az úgynevezett héj (shell) valósítja meg. A grafikus felületű perációs rendszereknél, mint a Windws ennek megjelenési
RészletesebbenEtikai kódex Erkölcsi szabály és normagyűjtemény
A erkölcsi szabály és nrmagyűjtemény PROFORM Kft. 2012 évi kiadás Jelen dkumentum érvényessége kiterjed a PROFORM Kft. által végzett Kereskedelmi, tervezési, fejlesztési, értékesítési illetve ezekkel összefüggő
RészletesebbenFoglalkoztatás és a foglalkoztatási formák kérdőiv 2014
Fglalkztatás és a fglalkztatási frmák kérdőiv 2014 Tisztelt Hölgyem, Uram! A Kmárm-Esztergm Megyei Kereskedelmi és Iparkamara (KEMKI), a Nemzeti Agrárgazdasági Kamarával Kmárm-Esztergm megyei Igazgatósága
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenPÁLYÁZATI FELHÍVÁS a Környezet és Energia Operatív Program KEOP-1.2.0/09-11. Szennyvízelvezetés és tisztítás megvalósítása. című konstrukcióhoz
PÁLYÁZATI FELHÍVÁS a örnyezet és Energia Operatív Prgram EOP-1.2.0/09-11 Szennyvízelvezetés és tisztítás megvalósítása című knstrukcióhz érvényes: 2011. február 10-től 1 Tartalm A. A TÁMOGATÁS CÉLJA ÉS
RészletesebbenValószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
Részletesebben30. A hidegháború. Előzmény:
30. A hideghábrú Előzmény: II. világhábrú (1939-1945) szövetséges hatalmak tengelyhatalmak A világhábrú alatt az Egyesült Államk (USA) és a Szvjetunió (SZU) még együttműködik, mindkettő tagja a szövetséges
RészletesebbenMUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:
Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma
RészletesebbenKiadói díjbeszedésű hírlapok előfizetői állományának adatcseréje
Magyar Psta Zrt. Hírlap Igazgatóság Budapest, XIII. Dunavirág u. 2-6. Pstacím: 1540 Budapest Telefn: (06-1) 487-1100 Fax: (06-1) 355-7584 Kiadói díjbeszedésű hírlapk előfizetői állmányának adatcseréje
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenALAPSZABÁLY. Általános Rendelkezések
ALAPSZABÁLY Általáns Rendelkezések AZ EGYESÜLET NEVE: Pestszentimrei Nagycsaláds Egyesület AZ EGYESÜLET RÖVID NEVE: PNE. AZ EGYESÜLET SZÉKHELYE: Budapest XVIII. Kerület, Slymász u. 3 AZ EGYESÜLET LEVELEZÉSI
RészletesebbenNYELVI ATTITŰD ÉS NYELVHASZNÁLAT A MATYÓ MEZŐKÖVESDEN
Misklci Egyetem Bölcsészettudmányi Kar Magyar Nyelvtudmányi Intézeti Tanszék NYELVI ATTITŰD ÉS NYELVHASZNÁLAT A MATYÓ MEZŐKÖVESDEN SZAKDOLGOZAT MAGYAR ALAPSZAK (BA) Készítette: Herbák Andrea magyar nyelv
RészletesebbenL E V E G Ő M U N K A C S O P O R T
L E V E G Ő M U N K A C S O P O R T S T R A T É G I A 2 0 1 2 15 Budapest, 2012. május 24. IFUA Nnprfit Partner Közhasznú Nnprfit Kft. H-1119 Budapest Fehérvári út 79. A prjekt megvalósulását az IFUA Hrváth
RészletesebbenSZABÁLYZAT ÉRTÉKESÍTÉS ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEK ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEK
Az Oktatási Hivatal (székhely: 1055 Budapest, Szalay u. 10-14., adószám: 15329729-2-41, államháztartási nyilvántartási száma: 229726, értesítési cím: 1055 Budapest, Szalay utca 10-14., képviseli: Dr. Maruzsa
Részletesebben2. Hatványozás, gyökvonás
2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője
RészletesebbenCsapata erősítésére keres gyakornokot a Kultúra.hu. Jelentkezni fényképes önéletrajzzal a takacs.erzsbet@kortarsmedia.hu címre várjuk.
Csapata erősítésére keres gyakrnkt a Kultúra.hu Téged keresünk, ha életed az újságírás, ha kultúrafgyasztó vagy miközben pedig tárlatról tárlatra jársz, és kedvenc íród könyveit keresed a plcn, a kultúra
RészletesebbenVESZPRÉM MEGYEI ÖNKORMÁNYZAT KÖZGYŰLÉSE HATÁROZAT
VESZPRÉM MEGYEI ÖNKORMÁNYZAT KÖZGYŰLÉSE HATÁROZAT Szám: 56/2013. (XII. 19.) MÖK határzat Tárgy: A Veszprém Megyei Önkrmányzat 2014-2017. évekre vnatkzó stratégiai ellenőrzési tervének és a 2014. évi belső
RészletesebbenMODERN, BIZTONSÁGOS BUDAPESTET!
PÁRBESZÉD A VÁROSSAL A VÁROSÉRT MODERN, BIZTONSÁGOS BUDAPESTET! VITAINDÍTÓ Tartalm Helyzet...3 Budapest mára leállt...3 Budapestet újra kell indítani...4 Élhető mindennapk javuló élet és környezet mindenek
RészletesebbenEsztergom Város integrált településfejlesztési stratégiája
Esztergm Várs integrált településfejlesztési stratégiája II. STRATÉGIA KDOP-6.2.1/K-13-2014-0002 Közép-Dunántúli Operatív Prgram Fenntartható településfejlesztés a kis- és középvárskban Integrált Településfejlesztési
Részletesebbencato II. rész: Protokollok és Terápiatervek
cat Felhasználói kézikönyv II. rész: Prtkllk és Terápiatervek 2.0.3.2 verzió 2008 Cat Sftware Slutins GmbH www.cat.eu Frgalmazza: Premier G. Med Onk Kft. 1026 Budapest, Hidász u. 1 +36 1 391-4030 2008
Részletesebben10. Valószínűségszámítás
. Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás
Részletesebben