GAZDASÁGI STATISZTIKA

Átírás

1 GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1

2 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 2

3 A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE A STATISZTIKAI ADATOK KELETKEZÉSE ADATGYŰJTÉS SOKASÁGOK LEÍRÁSÁNAK ESZKÖZEI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 3

4 A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE MI A STATISZTIKA? A STATISZTIKA TEVÉKENYSÉGEI A STATISZTIKA MÓDSZERTANA A STATISZTIKA SZEREPE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 4

5 TUDOMÁNYOS ESZKÖZKÉNT MI A STATISZTIKA? a környezetet hűen leíró számok és adatok összessége MATEMATIKAI ELMÉLETKÉNT a véletlen tömegjelenségek számszerű jellemzése FORMAI SZEMPONTBÓL általában táblázat vagy számított adat MÓDSZERTANI SZEMPONTBÓL adatok gyűjtésének, ábrázolásának és elemzésének módszertana GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 5

6 A STATISZTIKA TEVÉKENYSÉGEI ADATOK GYŰJTÉSE kikérdezés megfigyelés kísérlet ADATOK FELDOLGOZÁSA ábrázolás csoportosítás egyszerű számtani műveletek EREDMÉNY ELEMZÉSE mennyiségi minőségi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 6

7 A STATISZTIKA MÓDSZERTANA LEÍRÓ STATISZTIKA adatgyűjtés a teljes sokaságra adatfeldolgozás a teljes sokaságra eredményelemzés a teljes sokaságra STATISZTIKAI KÖVETKEZTETÉS adatgyűjtés egy részsokaságra adatfeldolgozás egy részsokaságra eredményelemzés a teljes sokaságra GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 7

8 PÉLDA: RÉSZLEGES ÉS TELJES NÉPSZÁMLÁLÁS ADATOK GYŰJTÉSE egyéni kikérdezés ADATOK FELDOLGOZÁSA lakosság száma megoszlás kor, nem stb. szerint EREDMÉNY ELEMZÉSE megoszlások közötti kapcsolatok adatok időbeli alakulása demográfiai, szociológiai változások GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 8

9 A STATISZTIKA SZEREPE MEGISMERÉSI FOLYAMAT a valóság számszerű leírása jelenségek időbeli előrebecslése PÉLDA: ÖKOLÓGIA DEMOGRÁFIA DÖNTÉSI FOLYAMAT helyzetfelmérés döntési változatok hatásbecslése PÉLDA: BERUHÁZÁS ÁTSZERVEZÉS GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 9

10 A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKAI ADATOK KELETKEZÉSE STATISZTIKAI EGYSÉG ÉS SOKASÁG STATISZTIKAI SOKASÁGOK TÍPUSAI ISMÉRVEK ÉS ISMÉRVVÁLTOZATOK ISMÉRVEK OSZTÁLYOZÁSA MÉRÉS, MÉRÉSI SKÁLA MÉRÉSI SKÁLÁK TÍPUSAI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 10

11 STATISZTIKAI EGYSÉG ÉS SOKASÁG STATISZTIKAI EGYSÉG PÉLDA: NÉPSZÁMLÁLÁS EGYES EMBER megfigyelés tárgyát képező egyed statisztikai információ hordozója lehet élőlény, tárgy, képzett egység STATISZTIKAI SOKASÁG megfigyelt egyedek összessége PÉLDA: NÉPSZÁMLÁLÁS LAKOSSÁG GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 11

12 STATISZTIKAI SOKASÁGOK TÍPUSAI EGYSÉGEK JELLEGE SZERINT diszkrét: az egységek világosan elkülönülnek folytonos: az egységek megválasztása önkényes pl. égitestek, molekulák pl. pénz, nyersanyag EGYSÉGEK SZÁMA SZERINT IDŐBELISÉG SZERINT véges: a megfigyelt egységek száma véges végtelen: a megfigyelhető egységek száma korlátlan álló:időpontra vonatkozik állapotot fejez ki mozgó: időszakra vonatkozik, változást fejez ki pl. népesség, esős napok száma pl. fizikai vagy kémiai kísérlet pl. lakosság egy adott időpontban pl. születések száma egy évben GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 12

13 ISMÉRVEK ÉS ISMÉRVVÁLTOZATOK STATISZTIKAI ISMÉRV az egyedek megfigyelt tulajdonsága pl. autó típusa, színe, súlya ISMÉRV- VÁLTOZATOK az ismérv lehetséges kimenetelei (értékei) pl. autó új, megkímélt, lestrapált ALTERNATÍV ISMÉRV a lehetséges értékek száma kettő pl. férfi-nő, 60 év alatt vagy felett GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 13

14 ISMÉRVEK OSZTÁLYOZÁSA EGYSÉGEK VISZONYA SZERINT közös: a sokaság egységei egyformák megkülönböztető: a sokaság csoportosítható pl. férfiak neme pl. autók típusai MÉRHETŐSÉG SZERINT mennyiségi: mértékegységgel mérhető minőségi: nincs mértékegység pl. életkor, testmagasság pl. szépség, színészi tehetség INFORMÁCIÓ TÍPUSA SZERINT térbeli, időbeli, színbeli stb. információ pl. születési hely és idő, bőrszín GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 14

15 MÉRÉS, MÉRÉSI SKÁLA MÉRÉS számok hozzárendelése dolgokhoz, jelenségekhez, tulajdonságokhoz stb MÉRÉSI SKÁLA a lehetséges mérési értékek halmaza az összehasonlítási szabállyal együtt MÉRÉSI SKÁLÁK BESOROLÁSA a mérési értékek összehasonlítási szabálya szerint GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 15

16 MÉRÉSI SKÁLÁK TÍPUSAI NÉVLEGES (NOMINÁLIS) hozzárendelés:tisztán kód főleg minőségi, földrajzi pl. autórendszám, irányítószám SORRENDI (ORDINÁLIS) hozzárendelés: sorrend arány érdektelen pl. osztályzat, versenyhelyezés KÜLÖNBSÉGI (INTERVALLUM) hozzárendelés: különbség fontos, nullpont önkényes pl. hőmérséklet, hegy magassága ARÁNY hozzárendelés: nullpont és arány is fontos pl. hosszúság, súly, költség GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 16

17 A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI ADATGYŰJTÉS STATISZTIKAI ADAT ÉS TÍPUSAI AZ ADATSZOLGÁLTATÁS KÖVETELMÉNYEI ÉS KITERJEDÉSE RÉSZLEGES ADATFELVÉTEL AZ ADATGYŰJTÉS TECHNIKAI ELEMEI HIBA ÉS HIBAKORLÁT GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 17

18 STATISZTIKAI ADAT ÉS TÍPUSAI STATISZTIKAI ADAT sokaság jellemzése számmal és azonosítóval pl. évi jövedelem, ország területe ALAPADAT mérés vagy számlálás eredménye pl. termelés, létszám SZÁRMAZTATOTT ADAT több alapadatból számításssal keletkezik pl. lakosságszám évi változása STATISZTIKAI MUTATÓSZÁM ismétlődő jelenség statisztikai jellemzése pl. GDP/fő, termelékenység GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 18

19 AZ ADATSZOLGÁLTATÁS KÖVETELMÉNYEI ÉS KITERJEDÉSE KÖVETELMÉNYEK adatok pontossága gyorsaság gazdaságosság KITERJEDÉS teljes körű részleges GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 19

20 RÉSZLEGES ADATFELVÉTEL REPREZENTATÍV ADATFELVÉTEL a minta hűen tükrözi az alapsokaságot pl. részleges népszámlálás MONOGRÁFIA egy vagy néhány kiemelt egyed részletes vizsgálata pl. két szélsőséges eset elemzése EGYÉB RÉSZLEGES ADATGYŰJTÉS nem reprezentatív módon kiválasztott minta pl. kikérdezés találomra GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 20

21 AZ ADATGYŰJTÉS TECHNIKAI ELEMEI ADATOK FORRÁSA ADATGYŰJTÉS ESZKÖZEI KÉRDŐÍV KITÖLTÉSE megfigyelési egység: rá vonatkozik az adat számbavételi egység: ő szolgáltatja az adatot egyéni kérdőív: egyetlen megfigyelési egységről lajstrom: több megfigyelési egységről önszámlálás: az adatszolgáltató tölti ki kikérdezés: a kérdezőbiztos tölti ki pl. autó pl. autó üzemeltetője pl. népszámlálási kérdőív pl. aláírásgyűjtő lista pl. lakcímbejelentő lap pl. forgalomfelmérés GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 21

22 HIBA ÉS HIBAKORLÁT - I. VALÓSÁGOS ADAT A: a vizsgált mennyiség tényleges értéke MÉRT ADAT Â: a vizsgált mennyiség mért értéke ABSZOLÚT HIBA a = A  a valóságos és a mért adat eltérése ABSZOLÚT HIBAKORLÁT â: a maximumának becsült értéke; feltehetően  â A Â+â GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 22

23 HIBA ÉS HIBAKORLÁT - II. SZIGNIFIKÁNS SZÁMJEGYEK a mért érték megbízható kerekítésének számjegyei UTOLSÓ KIÍRT SZÁMJEGY mért érték kerekítésének utolsó számjegye; ha helyiértéke 10 s, akkor â = 10 s /2 RELATÍV HIBA α = a / A abszolút hiba és valóságos adat hányadosa RELATÍV HIBAKORLÁT!α = â / Â ; abszolút hibakorlát és mért kerekített adat hányadosa GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 23

24 PÉLDA: RÉSZLEGES NÉPSZÁMLÁLÁS VALÓSÁGOS ADAT: A = MÉRT ADAT: Â = ABSZOLÚT HIBA: a = = 355 SZIGNIFIKÁNS SZÁMJEGYEK: UTOLSÓ KIÍRT SZÁMJEGY HELYIÉRTÉKE: ABSZOLÚT HIBAKORLÁT: â = 1000 / 2 = 500 RELATÍV HIBA: α = 355 / = % RELATÍV HIBAKORLÁT:!α = 500 / = % GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 24

25 A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI SOKASÁGOK LEÍRÁSÁNAK ESZKÖZEI CSOPORTOSÍTÁS ÖSSZEHASONLÍTÁS VISZONYSZÁMOK ÁTLAGOK SÚLYOZOTT ÁTLAGOK ÁTLAGOK TULAJDONSÁGAI A SZÁMTANI ÁTLAG TULAJDONSÁGAI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 25

26 CSOPORTOSÍTÁS CSOPORTOSÍTÁS a sokaság átfedésmentes és teljes felosztása megkülönböztető ismérv szerint NÓMENKLATÚRA CSOPORTOSÍTÓ SOR STATISZTIKAI TÁBLA NEM FŐ Fiú 12 Lány 18 Összesen 30 szabványos, ismételten felhasznált osztályozási rendszer egyetlen ismérv szerinti osztályozás; lehet minőségi, mennyiségi, területi, időbeli több ismérv szerinti, kombinált osztályozás PÉLDA: egy osztály nemek szerinti megoszlása nómenklatúra: fiú lány csoportosító sor: minőségi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 26

27 ÖSSZEHASONLÍTÁS ÖSSZEHASONLÍTÁS SZÁZALÉKPONT EZRELÉKPONT ÖSSZEHASONLÍTÓ SOR LEÍRÓ SOR két vagy több statisztikai adat egymáshoz való viszonyítása adatok százalékban (ezrelékben) kifejezett különbségének mértékegysége több egyed egyetlen ismérv szerinti értékei egyetlen egyed több ismérv szerinti értékei ORSZÁG GDP/FŐ Ausztria Portugália 7890 Románia 1120 PÉLDA: 1 főre jutó GDP 1993-ban USD-ban néhány európai országban összehasonlító sor: területi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 27

28 VISZONYSZÁM MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁM KOORDINÁCIÓS VISZONYSZÁM DINAMIKUS VISZONYSZÁM INTENZITÁSI VISZONYSZÁM VISZONYSZÁMOK összefüggő adatok hányadosa; viszonyítás tárgya / alapja azonos típusú adatok; részsokaság adata / teljes sokaság adata azonos típusú adatok; egyik részsokaság adata / másik részsokaság adata azonos típusú adatok; tárgyidő adata / bázisidő adata különböző típusú adatok hányadosa pl. GDP / fő; viszonyítás tárgya: GDP alapja: ország lakossága pl. férfiak aránya a népességen belül pl. ezer nőre jutó férfiak száma pl. változás aránya; létszám:időpontok között GDP:időszakok között pl. népsűrűség: ország lakossága / területe GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 28

29 ÁTLAG (KÖZÉPÉRTÉK) SZÁMTANI ÁTLAG HARMONIKUS ÁTLAG MÉRTANI ÁTLAG ÁTLAGOK azonos fajtájú X 1, X 2,... X N adatok jellemző értékének közelítésére szolgál X 1 + X X N N N 1/X 1 +1/X /X N N X 1 X 2... X N pl. :2, 6, 4 (2+6+4) / 3 = 4 3 / (1/2+1/6+1/4) = =3 / (6/12+2/12+3/12) = =36/11 = = = 3 48 = 3.63 NÉGYZETES ÁTLAG (X X X N 2 )/N ( ) / 3 = = ( ) / 3 = = 56/3 = 4.32 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 29

30 SÚLYOK SÚLYOZOTT ÁTLAGOK Y 1, Y 2,... Y k a megfigyelt ismérv különböző értékei f 1, f 2,... f k a megfigyelt gyakoriságok, Σf i =N g 1 = f 1 /N,... g k = f k /N megoszlási viszonyszámok, Σg i =1 SZÁMTANI ÁTLAG, Y HARMONIKUS ÁTLAG, X h f 1 Y 1 + f 2 Y f k Y k N = g 1 Y 1 + g 2 Y g k Y k N 1 = f 1 /Y 1 + f 2 /Y f k /Y k g 1 /Y 1 + g 2 /Y g k /Y k MÉRTANI ÁTLAG, X g NÉGYZETES ÁTLAG N Y 1 f 1 Y 2 f 2... Y k f k f 1 Y 1 + f 2 Y f k Y k N = Y 1 g 1 Y 2 g 2... Y k g k = g 1 Y 1 + g 2 Y g k Y k GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 30

31 ÁTLAGOK TULAJDONSÁGAI X X X X X X min h g q Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha minden ismérvérték egyenlő. max Súlyozott átlag akkor kerül közelebb X min illetve X max értékéhez, ha a kisebb illetve nagyobb ismérvértékek súlya megnő. X q = X N X N 1/ 2 X = X N X N 11 / X h = X N X N 1/( 1) A mértani átlagot nem lehet hasonló alakra hozni. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 31

32 A SZÁMTANI ÁTLAG TULAJDONSÁGAI N ( X X) = 0 i= 1 i Az átlagtól való eltérések összege 0. N i= 1 X i Ha minden ismérvértéket az átlaggal helyettesítünk, az összeg nem változik. N i= 1 ( X A) i 2 = NX akkor minimális, amikor A= X. A négyzetes eltérésösszegek között a számtani átlagé a legkisebb. Ha Y i = BX i +A, i=1,2,...n, akkor Y BX A = +. Az ismérvértékek mindegyikét B számmal megszorozva és/vagy A számmal növelve (csökkentve) az átlag is így változik. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 32

33 STATISZTIKAI SOROK MENNYISÉGI ISMÉRVBŐL KÉPZETT SOROK AZ ELOSZLÁSOK SZÁMSZERŰ JELLEMZÉSE IDŐSORELEMZÉS GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 33

34 STATISZTIKAI SOROK MENNYISÉGI ISMÉRVBŐL KÉPZETT SOROK MENNYISÉGI ISMÉRV GYAKORISÁG GYAKORISÁGI SOR ÉRTÉKÖSSZEGSOR GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 34

35 MENNYISÉGI ISMÉRV TÍPUSOK diszkrét: véges vagy megszámlálhatő számú érték folytonos: intervallumon belül bármilyen érték pl. lakás szobaszáma pl. lakás alapterülete RANGSOR mennyiségi ismérv értékeinek növő sorozata pl. 2,3,4,5,6,7,8,9 személyes autó GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 35

36 PÉLDA EREDETI ADATOK RANGSOR GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 36

37 ISMÉRV OSZTÁLYA (C i ) OSZTÁLYKÖZ GYAKORISÁG (f i ) RELATÍV GYAKORISÁG (g i ) KUMULÁLT GYAKORISÁG (f i ) GYAKORISÁG ismérv értéke vagy értékintervalluma értékintervallumból álló osztály; nyitott, ha nincs alsó vagy felső határa mennyiségi ismérv szerinti osztályba (osztályközbe) hány egyed tartozik gyakoriság / sokaság összlétszáma (megoszlási viszonyszám) az osztályköz felső határánál nem nagyobb ismérvértékek előfordulási száma LEFELÉ KUMULÁLT GYAK. (f i ) az osztályköz alsó határánál nem kisebb ismérvértékek előfordulási száma GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 37

38 GYAKORISÁGI SOR GYAKORISÁGI SOR mennyiségi ismérv alapján készült csoportosító sor GYAKORISÁGI ELOSZLÁS GYAKORISÁGI MEGOSZLÁS ismérvosztályok egyetlen értékből állnak az ismérvosztályok között van osztályköz is OSZTÁLYKÖZÖK KIALAKÍTÁSA Feltétel: ismérvértékek nem sűrűsödnek egyes részintervallumokon Módszer: osztályközök száma: k = [log N / log 2] (legkisebb egész szám, amelyre 2 k >N) osztályközök hossza: h = (x max - x min ) / k Szélsőségesen egyenlőtlenül eloszló ismérvértékek esete: osztályközhatárok megadásával egyenletesen szétosztjuk az ismérvértékeket GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 38

39 OSZTÁLYKÖZÖK KIALAKÍTÁSA PÉLDA (folyt.) sokaság létszáma osztályközök száma osztályközök hossza N = = 64 > 50 > 32 = 2 5 k = 6 x max = 40 x min = 10 h = xmax xmin = h 6 = 5 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 39

40 PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság Rel. gyak Rel. gyak. % f i g i 100 g i Összesen: GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 40

41 PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság f i Kumulált gyakoriság f i Kumulált rel. gyak. % 100 g i Összesen: 50 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 41

42 PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság f i Lefelé kumulált gyakoriság f i Lefelé kumulált rel. gyak. % 100 g i Összesen: 50 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 42

43 ÉRTÉKÖSSZEG ÉRTÉKÖSSZEGSOR mennyiségi ismérv alapján egy osztályba tartozó egyedek ismérvértékeinek összege ÉRTÉKÖSSZEGSOR a mennyiségi ismérv szerinti osztályokhoz az osztály értékösszegét rendeljük OSZTÁLYKÖZÉP az osztályköz alsó és felső határának számtani átlaga RELATÍV ÉRTÉKÖSSZEG RELATÍV ÉRTÉKÖSSZEGSOR osztály értékösszege / sokaság teljes értékösszege a relatív értékösszegek hozzárendelése az egyes osztályokhoz GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 43

44 PÉLDA (folyt.) Osztály Osztályközép X i Értékösszeg S i Rel. értékösszeg % 100 Z i Összesen: GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 44

45 GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA -I. BOT-ÁBRA diszkrét ismérv értékeire felmérjük a gyakoriságokat GYAKORISÁGI HISZTOGRAM osztályközös gyakorisági sor intervallumaira hézagmentesen téglalapok; magasság: az egységnyi intervallumhosszra jutó gyakoriság, f i /h i GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 45

46 GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA-II. SŰRŰSÉG- HISZTOGRAM osztályközös gyak. sor intervallumaira hézagmentesen téglalapok; magasság: az egységnyi intervallumhosszra jutó relatív gyakoriság, g i /h i 0,6 0,4 0,2 0, GYAKORISÁGI POLIGON osztályközös gyak. sor intervallumain az osztályközepeknél az egységnyi intervallumhosszra jutó gyakoriságot felmérjük, majd összekötjük a pontokat ,0 0,5 1,5 3,0 4,5 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 46

47 GYAKORISÁGI HISZTOGRAM PÉLDA (folyt.) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 47

48 PÉLDA (folyt.) GYAKORISÁGI POLIGON ,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 48

49 STATISZTIKAI SOROK AZ ELOSZLÁSOK SZÁMSZERŰ JELLEMZÉSE AZ ELOSZLÁSOK MUTATÓSZÁMAI MÓDUSZ MEDIÁN KVANTILISEK SZÓRÓDÁS SZÓRÓDÁSI MUTATÓK A SZÓRÁS TULAJDONSÁGAI EGYMÓDUSZÚ ELOSZLÁSOK ASZIMMETRIÁJA AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI A KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 49

50 AZ ELOSZLÁSOK MUTATÓSZÁMAI HELYZET- MUTATÓK középértékek (átlag, módusz, medián) kvantilisek (kvartilis, decilis, stb) SZÓRÓDÁSI MUTATÓK szóródás terjedelme átlagos eltérés, átlagos különbség szórás, relatív szórás ASZIMMETRIA- MUTATÓK Pearson-féle mutató F mutató GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 50

51 MÓDUSZ (Mo) FOGALMA MÓDUSZ a sokaság tipikus értéke; rendszerint különbözik az átlagtól ELOSZLÁS MÓDUSZA a leggyakoribb ismérvérték NYERS MÓDUSZ a gyakorisági poligon maximumhelye TÖBBMÓDUSZÚ ELOSZLÁS MODÁLIS OSZTÁLYKÖZ a gyakorisági poligonnak több maximumhelye is van az osztályköz alsó határánál nem kisebb ismérvértékek előfordulási száma GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 51

52 PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság Összesen: 50 MODÁLIS OSZTÁLYKÖZ: NYERS MÓDUSZ.: 17.5 MÓDUSZ BECSLÉSE Mo = = GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 52

53 MEDIÁN (Me) FOGALMA MEDIÁN a mennyiségi ismérv azon értéke, amelynél ugyanannyi kisebb mint nagyobb érték van GEOMETRIAI JELENTÉS KISZÁMÍTÁS RANGSORBÓL KISZÁMÍTÁS GYAK. SORBÓL MINIMUM- TULAJDONSÁG az x-tengelyre a mediánban állított merőleges felezi a hisztogram területét ha N páratlan, akkor Me a sor középső tagja, ha páros, a két középső tag átlaga Me a legkisebb X i érték, amelynek kumulált gyakorisága f i N/2 Σ X i -A akkor a a legkisebb, ha A = Me GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 53

54 PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság Kumulált gyakoriság Összesen: 50 MEDIÁNT TARTALMAZÓ OSZTÁLYKÖZ: MEDIÁN BECSLÉSE: Me = = GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 54

55 KVANTILIS (Q q ) FOGALMA TERCILISEK KVANTILISEK 0 < q < 1 esetén a q-adrendű kvantilis az az X i ismérvérték a rangsorban, melyre g i = q Q 1/3 = T 1, Q 2/3 = T 2 KVARTILISEK Q 1/4 = Q 1, Q 1/2 = Q 2 = Me, Q 3/4 = Q 3 DECILISEK Q 1/10 = D 1, Q 2/10 = D 2,... Q 9/10 = D 9 PERCENTILISEK Q 1/100 = P 1, Q 2/100 = P 2,... Q 99/100 = P 99 Q j/k KVANTILIS KISZÁMÍTÁSA j ( f i 1 k N f j / k) N fi i ; Qj/ k = ai + f i 1 h ; a i az i-1. osztályköz vége i GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 55

56 PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság Kumulált gyakoriság Összesen: 50 KVARTILISEK 1 5 < 50 = 125. < 21; tehát i = 2, a i = 15; Q = = < 50 = < 42; tehát i = 4, a i = 25; Q 3 = = GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 56

57 SZÓRÓDÁS SZÓRÓDÁS FOGALMA SZÓRÓDÁS MÉRÉSE MINIMUM- TULAJDONSÁG azonos fajta számszerű adatok (pl. mennyiségi ismérv értékei) különbözősége ismérvértékeknek valamelyik középértéktől (többnyire számtani középtől) való eltérése szóródás hiánya esetén a mérőszám értéke 0, egyébként pozitív Gyakorisági poligon, 3 változó azonos ismérvértékekkel, különböző szóródással GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 57

58 SZÓRÓDÁSI MUTATÓK SZÓRÓDÁS TERJEDELME: legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége R = Xmax Xmin ÁTLAGOS ELTÉRÉS: számtani átlagtól való eltérések átlaga X δ = i X N SZÓRÁS: számtani átlagtól való eltérések négyzetes átlaga ( X) Xi σ = N ÁTLAGOS KÜLÖNBSÉG: ismérvértékek páronkénti eltéréseinek átlaga Xi X j G = 2 N RELATÍV SZÓRÁS: relatív eltérések négyzetes átlaga V σ 1 = = X N X i 2 X X 2 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 58

59 PÉLDA (folyt.) ÁTLAG X = 22.4 SZÓRÓDÁS TERJEDELME: legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége R = = 30 ÁTLAGOS ELTÉRÉS: számtani átlagtól való eltérések átlaga δ = 5.26 SZÓRÁS: számtani átlagtól való eltérések négyzetes átlaga σ = 6.67 ÁTLAGOS KÜLÖNBSÉG: ismérvértékek páronkénti eltéréseinek átlaga G = 7.26 RELATÍV SZÓRÁS: relatív eltérések négyzetes átlaga V = 6.67 / 22.4 = GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 59

60 A SZÓRÁS TULAJDONSÁGAI Kiszámítás súlyozással: σ = ( ) f X X i i f i 2 ( ) = g X X i i 2 Az ismérvértékekhez ugyanazt a számot hozzáadva a szórás értéke változatlan: σ σ X+ A = X Az ismérvértékeket egy közös számmal szorozva a szórás a szám abszolút értékével szorzódik: σ = Bσ A szórás kiszámítható a négyzetes és a számtani átlagból: σ = BX X X 2 q X 2 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 60

61 EGYMÓDUSZÚ ELOSZLÁSOK ASZIMMETRIÁJA Szimmetrikus eloszlás: Mo = Me = X Bal oldali aszimmetria: Mo < Me < X Jobb oldali aszimmetria: X < Me < Mo Módusz: a csúcsnál Medián: görbe alatti területet felezi Számtani átlag: nagyon kicsi vagy nagyon nagy értékek elhúzzák a mediántól GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 61

62 PÉLDA (folyt.) ,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 egymóduszú eloszlás módusz: medián: számtani átlag: az eloszlás bal oldali aszimmetriát mutat GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 62

63 AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI - I. PEARSON-FÉLE MUTATÓSZÁM (A): A X = Mo σ Csak egymóduszú eloszlás esetén használható. bal oldali aszimmetria: A > 0 szimmetria: A = 0. jobb oldali aszimmetria: A < 0 erős aszimmetria: A > 1 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 63

64 AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI - II. F MUTATÓSZÁM (F): F = 0 < p < 1/2, leggyakrabban p = 1/4 ( Q1 p Me) ( Me Qp) ( Q1 p Me) + ( Me Qp) Egymóduszú és többmóduszú eloszlás esetén is használható. F 1 egymóduszú eloszlás esetén: bal oldali aszimmetria: F > 0 szimmetria: F = 0. jobb oldali aszimmetria: F < 0 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 64

65 PEARSON-FÉLE MUTATÓSZÁM PÉLDA (folyt.) A = A > 0 bal oldali aszimmetria 0 < A <1 az aszimmetria gyenge = F MUTATÓSZÁM a kvartiliseket használjuk F = ( ) ( ) ( ) + ( ) = F > 0 bal oldali aszimmetria F kicsi az aszimmetria gyenge GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 65

66 KONCENTRÁCIÓ MÉRÉS A KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE a sokaság értékösszegének összpontosulása kis számú egységre relatív gyakoriság (g i ) és relatív értékösszeg (Z i ) összehasonlítása LORENZ-GÖRBE KONCENTRÁCIÓS TERÜLET kumulatív relatív gyakoriságok függvényében a kumulatív értékösszegek a Lorenz-görbe és a 45 fokos egyenes által bezárt terület KONCENTRÁCIÓS EGYÜTTHATÓ koncentrációs terület aránya a téglalapban; képlettel: K = G / 2X GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 66

67 PÉLDA (folyt.) Osztály KONCENTRÁCIÓS EGYÜTTHATÓ Kumulált rel. gyak. % 100 g i Kum. rel. értékösszeg %, 100 Z i K = = kicsi a koncentráció az értéksor nem koncentrálódik kiemelt osztályokra GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 67

68 STATISZTIKAI SOROK IDŐSORELEMZÉS IDŐSORELEMZÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMMAL IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 68

69 IDŐSORELEMZÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMMAL Y 1, Y 2,...Y n állapot- vagy tartamidősor BÁZISVISZONYSZÁMOK (b t ) b t = Y t / Y b, t = 1,2,...n a viszonyítás alapja egy rögzített bázisidőszak adata LÁNCVISZONYSZÁMOK (l t ) l t = Y t / Y t-1, t = 1,2,...n a viszonyítás alapja az előző időpont vagy időszak adata ÖSSZEFÜGGÉS A BÁZIS- ÉS LÁNCVISZONYSZÁMOK KÖZÖTT l t = b t / b t-1, t = 1,2,...n b t = l 2 l 3... l k, k = 2,3,...n BÁZISVISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA ÚJ BÁZISIDŐRE ÁTTÉRÉSKOR ' " b = Y / Y b = Y / Y t t b' " t b = b ' t t t b" ' / bb" GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 69

70 PÉLDA ÉV ÉRTÉK BÁZISVSZ. LÁNCVSZ. 1980=100% évi bázisviszonyszám: 274.9/145.3 = bázis- és láncviszonyszámok összefüggése: = GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 70

71 IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL - I. Y 1, Y 2,...Y n állapot- vagy tartamidősor TARTAMIDŐSOR ELEMZÉSE SZÁMTANI ÁTLAGGAL Y = Y1 + Y Y n n ÁLLAPOTIDŐSOR ELEMZÉSE KRONOLÓGIKUS ÁTLAGGAL Y k 1 Y1 + Y2 Y2 + Y3 Yn 1 + Y = n Y1 Yn = + Y2 + Y Yn 1 + n n = GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 71

72 PÉLDA HÓNAP FORGALOM HÓVÉGI ÉRTÉK Június 18.8 Július Augusztus Szeptember Október November December HAVI ÁTLAGOS FORGALOM A MÁSODIK FÉLÉVBEN Y = = GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 72

73 PÉLDA (folyt.) HÓNAP FORGALOM HÓVÉGI ÉRTÉK Június 18.8 Július Augusztus Szeptember Október November December ÁTLAGOS HÓVÉGI ÉRTÉK A MÁSODIK FÉLÉVBEN Y k = = GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 73

74 IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL - II. FEJLŐDÉS ÁTLAGOS MÉRTÉKE d = Y Y + Y Y Yn Yn Yn Y = n 1 n akkor használható, ha a változás mértéke keveset ingadozik (az idősor nagyjából számtani sorozat) FEJLŐDÉS ÁTLAGOS ÜTEME l = n 1l l... l = n 1b = 2 3 n n n 1 Y Y n 1 akkor használható, ha a változás üteme keveset ingadozik (az idősor nagyjából mértani sorozat) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 74

75 PÉLDA ÉV ADAT FEJLŐDÉS ÁTLAGOS MÉRTÉKE d = = FEJLŐDÉS ÁTLAGOS ÜTEME l = = GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 75

76 STATISZTIKAI TÁBLÁK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE EGYSZERŰ TÁBLÁK ELEMZÉSE CSOPORTOSÍTÓ TÁBLÁK ELEMZÉSE KOMBINÁCIÓS TÁBLÁK ELEMZÉSE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 76

77 STATISZTIKAI TÁBLÁK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE STATISZTIKAI TÁBLA FOGALMA ÉS FELÉPÍTÉSE STATISZTIKAI TÁBLÁK TÍPUSAI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 77

78 STATISZTIKAI TÁBLÁK FOGALMA ÉS FELÉPÍTÉSE STATISZTIKAI TÁBLA statisztikai sorok rendszere rovatokból álló táblázatban elhelyezve FEJROVATOK oszlopok megnevezései OLDALROVATOK sorok megnevezései ÖSSZESEN ROVATOK DIMENZIÓSZÁM sorösszegek, oszlopösszegek, táblázat teljes összege a tábla egy-egy adata hány statisztikai sorhoz tartozik ( lá i i á ) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 78

79 STATISZTIKAI TÁBLÁK TÍPUSAI EGYSZERŰ TÁBLA leíró és/vagy (térbeli, időbeli) összehasonlító statisztikai sorokat tartalmaz, csoportosítás nélkül CSOPORTOSÍTÓ TÁBLA az egyik ismérv szerint csoportosítás összesen rovattal, a másik szerint leírás vagy összehasonlítás KOMBINÁCIÓS TÁBLA mindegyik f 1 Y 1 + f 2 Y 2 ismérv f k szerint Y k csoportosítás 2 összesen 2 2 rovatokkal és a táblának = g is 1 Y van 1 + főösszege g 2 Y g k Y k N GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 79

80 STATISZTIKAI TÁBLÁK EGYSZERŰ TÁBLÁK ELEMZÉSE EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE VISZONYSZÁMMAL IDŐSOROS EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 80

81 EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE VISZONYSZÁMMAL SŰRŰSÉGMUTATÓ ELLÁTOTTSÁGI MUTATÓ ARÁNYSZÁM ÁTLAGJELLEGŰ MUTATÓ NYERS INTENZ. VISZONYSZÁM TISZTÍTOTT INT. VISZONYSZÁM sokaság létszáma egységnyi területen sokaság létszáma adott számú lakosra népességstatisztikai arány sokaság egységére jutó erőforrás viszonyítandó adat / teljes viszonyítási alap viszonyítandó adat / hozzá kapcsolódó viszonyítási alap pl. népsűrűség pl. orvosok 1000 lakosra pl. születési arány pl. GDP / fő pl. születésszám / teljes népesség pl. születésszám / szülőképes nők GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 81

82 IDŐSOROS EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE 1. idő 2. idő... m. idő 1. adat 2. adat... n. adat MENNYISÉGI JELLEMZÉS: közös bázisra vonatkozó bázisviszonyszámokkal SZEMLÉLTETÉS: közös koordinátarendszerben felrajzolt vonaldiagramokkal idő 2. idő 3. idő 4. idő 5. idő 6. idő GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 82

83 STATISZTIKAI TÁBLÁK CSOPORTOSÍTÓ TÁBLÁK ELEMZÉSE RÉSZ- ÉS ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK SZERKEZET ÉS IDŐBELI VÁLTOZÁS VIZSGÁLATA GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 83

84 RÉSZ- ÉS ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ISMÉRVÉRTÉKEK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK M RÉSZSOKASÁGRA A i, B i, V i = A i / B i, i = 1, 2,...M ÖSSZETETT VISZONYSZÁM: teljes sokaságra vonatkozik Aj V B = ÖSSZETETT VISZONYSZÁM SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁJA BV j j V B = ÖSSZETETT VISZONYSZÁM HARMONIKUS ÁTLAG FORMÁJA Aj V = Aj V j j j GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 84

85 PÉLDA ALAPADATOK CSOPORT A ADAT B ADAT I II III ÖSSZESEN MEGOSZLÁSI ÉS INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK CSOPORT (A j / ΣA j ) 100 (B j / ΣB j ) 100 (A j / B j ) 100 I II III ÖSSZESEN GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 85

86 PÉLDA (folyt.) ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA KÖZVETLENÜL V = = ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA SZÁMTANI ÁTLAG FORMA B ADATTAL SÚLYOZVA V = = ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA SZÁMTANI ÁTLAG FORMA B ADAT MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁMAIVAL SÚLYOZVA V = = 260 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 86

87 PÉLDA (folyt.) ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA HARMONIKUS ÁTLAG FORMA A ADATTAL SÚLYOZVA V = = 260 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA HARMONIKUS ÁTLAG FORMA A ADAT MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁMAIVAL SÚLYOZVA V = = 260 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 87

88 SZERKEZET ÉS IDŐBELI VÁLTOZÁS VIZSGÁLATA A i, i = 1, 2,...M részsokaságok adatai a tárgyidőszakban B i, i = 1, 2,...M részsokaságok adatai a bázisidőszakban V i = A i / B i, i = 1, 2,...M részsokaságok dinamikus viszonyszámai V = A B j j az összetett dinamikus viszonyszám Ha V i < V, akkor A B i i Aj < B, rendezve i AA j j < B i B j vagyis a részsokaság dinamikus viszonyszáma akkor és csak akkor kisebb a teljes sokaság dinamikus viszonyszámánál, ha csökken a részsokaság aránya a teljes sokaságon belül. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 88

89 PÉLDA ALAPADATOK, MEGOSZLÁSI ÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMOK CSOPORT 0. ÉV A0 100 A 1. ÉV A A A A0 I II III ÖSSZESEN SZERKEZETI VÁLTOZÁS az összetett dinamikus viszonyszámhoz képest: az I. és II. csoport dinamikus viszonyszáma nagyobb a III. csoporté kisebb ezzel együtt az I. és II. részviszonyszám nő, a III. csökken GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 89

90 STATISZTIKAI TÁBLÁK KOMBINÁCIÓS TÁBLÁK ELEMZÉSE ISMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK TÍPUSAI KOMBINÁCIÓS (KONTINGENCIA) TÁBLA AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE VEGYES KAPCSOLAT ELEMZÉSE ÁTLAGOKKAL AZ ELTÉRÉS FELBONTÁSA A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA VEGYES KAPCSOLAT SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE KORRELÁCIÓS TÁBLA ELEMZÉSE A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 90

91 ISMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK TÍPUSAI FÜGGETLENSÉG FÜGGVÉNYSZERŰ KAPCSOLAT SZTOCHASZTIKUS KAPCSOLAT ASSZOCIÁCIÓS KAPCSOLAT VEGYES KAPCSOLAT KORRELÁCIÓS KAPCSOLAT az egyik ismérv értéke semmilyen információt nem hordoz a másikéról az egyik ismérv értéke egyértelműen meghatározza a másikét az egyik ismérv értékéből a másik ismérv értékeinek csak az eloszlása adódik az egyik ismérv névleges, a másik névleges vagy sorrendi az egyik ismérv névleges vagy sorrendi, a másik mennyiségi Mmindkét ismérv mennyiségi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 91

92 KOMBINÁCIÓS (KONTINGENCIA) TÁBLA A. ismérv 1. A. ismérv A. ismérv t. ÖSSZESEN B. ismérv 1. f 11 f f 1M f 1 B. ismérv 2. f 21 f f 2M f B. ismérv s. f s1 f s2... f st f s ÖSSZESEN f 1 f 2... f t f JELÖLÉSEK f ij, i = 1, 2,... n; j = 1, 2,...m : együttes gyakoriságok f i, i = 1, 2,...n : peremgyakoriságok (sorösszegek) f j, j = 1, 2,...m : peremgyakoriságok (oszlopösszegek) f i f j f = N : a táblázat teljes összege (a sokaság létszáma) * f ij = f i f j N FÜGGETLENSÉG FELTÉTELE f ij = f ij * GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 92

93 GYAKORISÁGOK PÉLDA CSOPORT D 1 D 2 D 3 D 4 ÖSSZESEN E E E ÖSSZESEN RELATÍV GYAKORISÁGOK (%) CSOPORT D 1 D 2 D 3 D 4 ÖSSZESEN E E E ÖSSZESEN FÜGGETLENSÉG nem teljesül: GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 93

94 AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - I. YULE-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ mindkét ismérv alternatív Y = f f f f f f + f f TULAJDONSÁGOK 1 Y 1 függetlenség esetén Y = 0 (fordítva nem igaz!) függvényszerű kapcsolat esetén Y = 1 (fordítva nem igaz!) sztochasztikus kapcsolat esetén 0 < Y < 1 Y > 0 ha f 11 f 22 > f 21 f 21 vagyis az azonos indexek jobban vonzzák egymást GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 94

95 PÉLDA GYAKORISÁGOK CSOPORT D 1 D 2 ÖSSZESEN E E ÖSSZESEN YULE-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ Y = = laza kapcsolat az ismérvek között; az egyenlő indexek kissé vonzzák egymást GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 95

96 AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - II. KHI-NÉGYZET χ 2 = s t i= 1 j= 1 ( f f ) ij ij f ij 2 TULAJDONSÁGOK 2 0 χ N min s 1, t 1 ( ) χ 2 = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független χ 2 = N (s 1) akkor és csak akkor, ha a két ismérv függvénykapcsolatban áll, ekkor s = t GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 96

97 PÉLDA GYAKORISÁGOK (f ij ) CSOPORT D 1 D 2 D 3 D 4 ÖSSZESEN E E E ÖSSZESEN FÜGGETLENSÉG FELTÉTELEZÉSÉVEL KAPOTT GYAKORISÁGOK (f ij * ) CSOPORT D 1 D 2 D 3 D 4 ÖSSZESEN E E E ÖSSZESEN GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 97

98 PÉLDA (folyt.) KHI-NÉGYZET χ 2 = s t i= 1 j= 1 ( f f ) ij ij f ij 2 = ELEMZÉS s =3, t = 4 χ ( 1,4 1) = 593 ( 3 1) max = 593 min3 = χ 2 értéke gyenge függőségre utal GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 98

99 AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - III. CSUPROV-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ T = N χ 2 ( s 1)( t 1) TULAJDONSÁGOK 0 T s 1 min, t t 1 s 1 T = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független T = 1 akkor és csak akkor, ha s = t és a két ismérv között függvénykapcsolat áll fenn GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 99

100 PÉLDA (folyt.) CSUPROV-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ T = N χ 2 = ( s 1)( t 1) 593 ( 3 1)( 4 1) = ELEMZÉS 2 T max = 4 = a Csuprov-együttható gyenge sztochasztikus kapcsolatot mutat GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 100

101 AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - IV. CRAMER-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ Khi-négyzetből: Csuprov-együtthatóból: C = χ 2 N min s 1, t 1 C T = T ( ) max TULAJDONSÁGOK 0 C 1 ha s = t, akkor C = T C = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független C = 1 akkor és csak akkor, ha a két ismérv között függvénykapcsolat áll fenn GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 101

102 PÉLDA (folyt.) CRAMER-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ C = χ 2 N min s 1 t 1 = (, ) 593 min( 3 1, 4 1) = ELEMZÉS C max = 1 a Cramer-együttható gyenge sztochasztikus kapcsolatot mutat GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 102

103 VEGYES KAPCSOLAT ELEMZÉSE ÁTLAGOKKAL VEGYES KAPCSOLAT olyan sztochasztikus kapcsolat, ahol a független változó (az ok) minőségi vagy területi ismérv, a függő változó (az okozat) mennyiségi ismérv RÉSZÁTLAG: X j : a j. minőségi ismérvértékhez tartozó átlag FŐÁTLAG: X : a teljes sokaságra vonatkozó átlag X j = N j i=1 N X j ij = S N j j X = M N j j= 1 i= 1 N X ij = M j= 1 N N j X j = M j= 1 N S j Ha az ismérvek függetlenek, a részátlag megegyezik a főátlaggal (fordítva nem igaz), illetve f ij /N j rögzített i mellett független j-től. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 103

104 AZ ELTÉRÉS FELBONTÁSA TELJES ELTÉRÉS d = X X i = 1,2,...N j, j = 1,2,...M ij ij BELSŐ ELTÉRÉS Bij = Xij X j i = 1,2,...N j, j = 1,2,...M KÜLSŐ ELTÉRÉS K = X X j = 1,2,...M j j ÖSSZEFÜGGÉS AZ ELTÉRÉSEK KÖZÖTT d ij = B ij + K j ÉRTELMEZÉS az ismérvértékeknek a teljes sokaság átlagától való eltérése két részből áll: B ij a minőségi ismérv alapján képzett osztályon belüli eltérés K j az osztályátlag eltérése a teljes sokaság átlagától, ennek oka a csoportosító minőségi ismérv hatása a vizsgált mennyiségi ismérvre GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 104

105 PÉLDA EREDETI ADATOK, RÉSZÁTLAGOK, FŐÁTLAG CSOPORT N j X j X j I II III IV ÖSSZESEN ELEMZÉS a részátlagok egymástól és a főátlagtól is erősen eltérnek tehát a két ismérv között sztochasztikus kapcsolat áll fenn GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 105

106 A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - I. TELJES SZÓRÁS σ= M j= 1 N j i= 1 ( ) X X N ij 2 RÉSZSOKASÁGON BELÜLI SZÓRÁS N j ( X X ) ij j i= 1 σ j = N j 2 j = 1,2,...M BELSŐ SZÓRÁS M N j ( X X ) ij j j= 1 i= 1 σ B = N 2 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 106

107 KÜLSŐ SZÓRÁS A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - II. j j j = 1 σ K = ( ) M N X X N 2 ÖSSZEFÜGGÉS σ 2 = σ B 2 + σ K 2 ÉRTELMEZÉS az ismérvértékeknek a teljes sokaságon vett szórásnégyzete két részből áll: σ B 2 a minőségi ismérv alapján képzett osztályon belüli szórásnégyzet σ K 2 az osztályátlag szórásnégyzete a teljes sokaság átlaga körül, ennek eredete a csoportosító minőségi ismérv hatása a vizsgált mennyiségi ismérvre GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 107

108 A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - III. Ha X 1 = X 2 =... = X M, vagyis σ 2 k = 0, σ 2 2 =σ B : még ebből sem következik az ismérvek függetlensége. Ha X ij = X, i = 1, 2,... N j, j = 1, 2,...M, vagyis σ 2 B = 0, σ 2 =σ 2 K : j függvénykapcsolat áll fenn az ismérvek között, független változó a minőségi ismérv, vagyis a minőségi ismérv egyértelműen meghatározza a mennyiségit; ennek az állításnak a megfordítása is igaz. Ha 0 < σ K 2 < σ 2 : sztochasztikus kapcsolat van a két változó között GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 108

109 PÉLDA (folyt.) EREDETI ADATOK, RÉSZÁTLAGOK, FŐÁTLAG, ELTÉRÉS-NÉGYZETEK, CSOPORTONKÉNTI SZÓRÁSOK, TELJES SZÓRÁS CSOPORT N j X j X j ( Xij X j ) I II III IV ÖSSZESEN X N j i= 1 2 σ j Nσ 2 σ B GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 109

110 A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA PÉLDA (folyt.) σ B = = = (.. ) (.. ) (.. ) (.. ) σ K = = = σ 2 = = tehát sztochasztikus kapcsolat van a változók között GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 110

111 VEGYES KAPCSOLAT SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE SZÓRÁSNÉGYZET-HÁNYADOS 2 2 σ K σ H = = 1 2 σ σ TULAJDONSÁGOK 2 0 H 1 H 2 = 0 akkor és csak akkor, ha σ 2 K = 0: nincs kapcsolat az ismérvek között H 2 = 1: függvényszerû kapcsolat van az ismérvek között 0 < H 2 < 1: sztochasztikus kapcsolat van az ismérvek között SZÓRÁSHÁNYADOS H = σ K σ Ez a kapcsolat szorosságának mérőszáma. 2 B 2 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 111

112 SZÓRÁSNÉGYZET-HÁNYADOS PÉLDA (folyt.) H = = = a csoportosító ismérv 55.2 százalékban magyarázza meg a másik ismérv értékeinek szóródását a fennmaradó 44.8 százalék egyéb (véletlen) tényezőknek tulajdonítható SZÓRÁSHÁNYADOS H = = a szóráshányados viszonylag közel van 1-hez, ami eléggé szoros kapcsolatot jelez a két ismérv értékei között GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 112

113 KORRELÁCIÓS TÁBLA ELEMZÉSE KORRELÁCIÓS TÁBLA két mennyiségi ismérv szerinti kombinatív osztályozás TAPASZTALATI REGRESSZIÓFÜGGVÉNY X ismérv i oszlopához Y ismérv Y i részátlagát rendeljük KÜLÖNBSÉG AZ ELMÉLETI REGRESSZIÓFÜGGVÉNYTŐL a tapasztalati regressziófüggvény nem képletszerűen adott, és csak hozzávetőlegesen közelíti az elméletit ÁBRÁZOLÁS egyedi adatok pontdiagramon, tapasztalati regresszió vonaldiagramon POZITÍV KORRELÁCIÓ X ismérv nagyobb értékéhez Y ismérv nagyobb értéke tartozik GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 113

114 A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - I. SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA X ismérv szerinti csoportosítás alapján Y ismérv szerinti szórás σ( Y) = σb( Y) + σ K( Y) DETERMINÁCIÓS HÁNYADOS 2 H YX ( ) = σ 2 KY 2 ( ) σ ( Y ) azt írja le, hogy az Y ismérv szórásnégyzetének mekkora hányadát magyarázza meg az X ismérv; megegyezik a vegyes kapcsolatot jellemző szórásnégyzet-hányadossal GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 114

115 A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - II. KORRELÁCIÓS HÁNYADOS 2 σ KY ( ) 2 H H ( ) = = YX 2 ( YX ) σ ( Y ) ez a kapcsolat szorosságának mérőszáma; megegyezik a vegyes kapcsolatot jellemző szóráshányadossal TULAJDONSÁGOK 0 H (Y X) 1 H (Y X) = H (X Y) ha legalább egyikük 1: függvényszerű kapcsolat van X és Y ismérvek között H (Y X) = H (X Y) ha legalább egyikük 0: ez következik X és Y függetlenségéből, de fordítva nem igaz 0 < H (Y X) < 1 sztochasztikus kapcsolat van a két ismérv között GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 115

116 PÉLDA GYAKORISÁGOK ÉS CSOPORTÁTLAGOK ISMÉRV ÉRTÉKEK D E ÖSSZESEN CSOPORT ÁTLAG ÖSSZESEN GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 116

117 PÉLDA (folyt.) TAPASZTALATI REGRESSZIÓFÜGGVÉNY ISMÉRV ÉRTÉKEK CSOPORT ÁTLAG ELEMZÉS főátlag: Y = 394. külső szőrásnégyzet: 2 σ KY ( ) = teljes szórásnégyzet: 2 σ ( Y ) = determináciős hányados: H ( YX ) = / = X ismérv kb. 42 százalékot magyaráz meg Y ismérv szóródásából; a fennmaradó 58 százalék egyéb véletlen hatásoknak tulajdonítható GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 117

118 ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉRTÉK-, ÁR- ÉS VOLUMENINDEXEK GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 118

119 ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK INDEXÉNEK FELBONTÁSA GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 119

120 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA - I. TELJES SOKASÁG CSOPORTOSÍTÁSA heterogén sokaságot homogén részsokaságokra kell bontani 1, 2,...M indexű részsokaságok ALAPADATOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA két mennyiségi ismérv (A és B) két különböző (0 és 1 indexű) terület vagy időszak ismérvértékek: A 10, A 20,... A M0 illetve A 11, A 21,... A M1 B 10, B 20,... B M0 illetve B 11, B 21,... B M1 RÉSZVISZONYSZÁM, V i homogén részsokaságra számított viszonyszám V j0 = A j0 / B j0, V j1 = A j1 / B j1, j = 1, 2,...M GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 120

121 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 121 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA - II. ÖSSZETETT VISZONYSZÁM, V teljes sokaságra számított viszonyszám, súlyozott átlagként is megadható = = = = = = M j j M j j j M j j M j j B V B B A V = = = = = = M j j M j j j M j j M j j B V B B A V ÖSSZETETT VISZONYSZÁM FÜGGÉSE az összetett viszonyszám függ a részviszonyszámoktól és a sokaság összetételétől STANDARDIZÁLÁS az összetétel és a részviszonyszámok hatásának szétválasztása; térbeli adatoknál különbségfelbontás, időbeli adatoknál hányadosfelbontás

122 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA RÉSZHATÁS-KÜLÖNBSÉG K = M j= 1 ( ) B V V j0 j1 j0 M B i0 i= 1 i= 1 M B j0 = M j= 1 B ÖSSZETÉTELHATÁS-KÜLÖNBSÉG M M Bj1Vj1 Bj0Vj1 j= 1 j= 1 M B j1 K = = M M = M j 1 Bi1 Bi0 Bi1 i= 1 i0 ( Vj1 Vj0 ) M B i= 1 i= 1 i= 1 FELBONTÁS V1 V0 = K + K vagyis az összetett viszonyszám-különbséget felbontottuk a csoportok változásainak és a csoportmegoszlás változásának összegére. j0 B i0 V j1 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 122

123 PÉLDA ALAPADATOK ÉS INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK CSOPORT A 0 B 0 A 1 B 1 I II III IV V ÖSSZESEN CSOPORT V 0 V 1 V 1 V 0 I II III IV V ÖSSZESEN GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 123

124 PÉLDA (folyt.) RÉSZHATÁSKÜLÖNBSÉG standard súly: B 1 K = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 058. ÖSSZETÉTELHATÁS-KÜLÖNBSÉG standard súly: V 0 K = = 18. ÖSSZETETT VISZONYSZÁM KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA K = V1 V0 = K + K = = 12. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 124

125 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 125 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK INDEXÉNEK FELBONTÁSA RÉSZHATÁS-INDEX ( ) ( ) [ ] = = = = = = M j j j j M j j M j j j M j j j j j V V A A V B V V V B I ÖSSZETÉTELHATÁS-INDEX j M j M j M i i j j M i i j M j j M j j j M j j M j j j V B B V B B B V B B V B I = = = = = = = = = = FELBONTÁS: V V I I 1 0 / = vagyis az összetett viszonyszám-indexet felbontottuk acsoportok változásainak és a csoportmegoszlás változásának szorzatára