A statisztika részei. Példa:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A statisztika részei. Példa:"

Átírás

1 STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez, kiértékeléséhez Mekkora mitával dolgozzuk? Felfedeztük valamit, vagy csak a véletle eredméyezi azt, amit látuk? Meyire megbízható az eredméy? Az eredméyek közléséhez, szemléltetéséhez Mit tegyük a cikkbe? Az egész táblázatot, ábrákat, vagy csak éháy statisztikai mutatót?

2 A statisztika részei Leíró statisztika (descritive statistics): Mide egyedet megvizsgáluk, az egész sokaság adatait összegezzük, többé-kevésbé részletese A megfigyelt adatokat tömörítjük az összegzés sorá, ezzel iformációt vesztük. iduktív statisztika (statistical iferece): (idukció ~ általáosítás) Egy, a sokaságból választott mita alajá a megfigyelt adatokból következtetük az egész oulációra jellemző adatokra. Példa: mitabeli selejtaráy a sokaságba a selejt valószíűsége

3 Alafogalmak (statisztikai) ouláció ~ alasokaság (oulatio) A vizsgáladó egyedekek vagy objektumokak az a (teljes) köre, amelyre a vizsgálat iráyul, azaz amelyre következtetéseiket voatkoztati szereték mita (samle) A vizsgáladó egyedekek vagy objektumokak az a köre, amelyet téylegese megvizsgáluk, azaz amelyek adatai következtetéseik alaulak változó (variable) adat, jellemző, ismérv, tulajdoság, amelyet a mitabeli egyedeke megfigyelük, megmérük, feljegyzük (életkor, testtömeg, kaott kezelés tíusa, időtartama, stb.). A mitá megfigyelt adatokat az adatmátri tartalmazza; szokásos elredezésébe mide sor egy mitavételi egységek és mide oszlo egy változóak felel meg.

4 megfigyelési egység (observatioal vagy eerimetal uit) A ouláció, illetve a mita egy eleme, egy egyed vagy objektum, amelyek adatait feljegyezzük (lehet egy ember vagy állat, egy élőhely, egy vérmita, egyedek egy csoortja, l. egy család, stb.) mitavételi egység (samlig uit) Ugyaaz, mit a megfigyelési egység, ha gyakorisági adatokat számoluk. Egy egység az, amelybe számoljuk az egyedeket. Ebbe az esetbe a megszámolt egyedekek semmi közük a statisztikai oulációhoz! Megfigyelés 47.6 g 3 3 Változó testtömeg tojások száma tuliáok száma Megfigyelési egység egy bizoyos területről származó széki lile Mitavételi egység --- egy fészek az adott területről egy virágoskert az adott faluba Mita a területe befogott és megmért lilék a vizsgált fészkek a megvizsgált virágoskertek az adott faluba Statisztikai ouláció a területe fellelhető összes az összes fészek az adott az összes virágoskert az lile területe adott faluba

5 Megfigyelés Orchideák száma Tücskök száma a hálóba Méhek látogatási száma egy adott virágo Gázlómadarak száma a tegerarto Bogarak száma egy csadába Ektoaraziták száma Mitavételi egység Meghatározott terület (kvadrát) A végigsöört vegetáció térfogata Meghatározott időitervallum A artvoal adott hosszúságú darabja Adott méretű csada Egy gazdaállat

6 Mitavételezés A vizsgálatba a mita rerezetálja a oulációt. A mita rerezetatív, ha bármely tulajdoság előfordulási aráya megegyezik a mitába és a oulációba. A mita azoba gyakra torzított, amit számításba kell vei az eredméyek iterretálásáál.

7 Mitavételi módszerek: Egyszerű, véletle mitavétel (radom samlig): Az alasokaság mide egyede egyforma eséllyel kerül a mitába. A mita egyedeit egymástól függetleül választjuk, éldául véletleszám geerálással. Rétegezett mitavétel (stratified samlig): Az alasokaság valamilye külső szemot szerit diszjukt részekre botható. Egyes rétegekbe külö-külö véletle mitavétel. (A rétegek aráyosa szereeljeek a mitába?) Szabályos, szisztematikus mitavétel: Ha lehetetle a véletle mitavétel kivitelezése. Csak az első egyedet választjuk véletleszerűe, a többit a meghatározott mitavételi itervallumok kihagyásával (l. mide harmadik egyedet választjuk be). Ekkor a valószíűségszámítást em alkalmazhatjuk statisztikai következtetések levoására.

8 Nomiális (omial) Mérési skálák (measuremet scales) Csak kategóriák vaak, ics köztük redezés, matematikai műveletek em értelmezhetőek (hajszí, szemszí, ivar, faj) Ordiális (ordial) A kategóriák között va redezés, de matematikai műveletek em értelmezhetőek ( jó közees rossz, -5 skála az iskolai osztályozásba) Itervallum (iterval) A matematikai külöbségkézés már értelmes, az aráy em ( C vagy F) Aráy vagy abszolút (rate, absolute) Az aráykézés is értelmes, va abszolút 0, va fizikai jeletéstartalma aak, hogy egy meyiség többszöröse a másikak (testtömeg, K)

9 Koverzió itervallum vagy abszolút skáláról ordiálisra: Időkét az itervallum skálá mért adatok em alkalmasak bizoyos módszerekkel való feldolgozásra: koverzió. Pl. túl kevés adat, ismeretle eloszlás stb.. Csoortosítás Életkor helyett korcsoort, testtömeg helyett kicsi-közees-agy, stb. Ragsorolás Az adatokat sorba redezzük és ragszámot (rak) aduk ekik. Előfordulhatak azoos megfigyelések, ekkor azzal az átlagos ragszámmal (kacsolt ragszám (tied rak)) azoosítjuk, amelyet akkor kaáak, ha em leéek azoos megfigyelések. l. Hossz: rag

10 Adatok ábrázolása Gyakorisági táblázat (frequecy table): megfigyelt umerikus adatok táblázatos ábrázolása gyakorisági eloszlás (frequecy distributio), taasztalati eloszlás (emirical distributio) Osztályok, osztályitervallumok kialakítása: Diszkrét: ha ics túl sok érték, egy érték egy osztály, egyébkét mit a folytoos esetbe. Folytoos: 0-0 osztály, lehetőleg mide osztályba legalább 6 érték esse. Haszáljuk természetes osztályhatárokat! Koveció: osztályokba az alsó határ beletartozik, a felső em. Abszolút vagy relatív (százalékos), esetleg kumulált gyakoriságok meghatározása Osztály Össz. Gyakoriság Kumulált gyak Relatív gyakoriság Kumulált rel. gyak

11 A relatív gyakoriságok közelítik az eloszlás sűrűségfüggvéyét, a kumulált relatív gyakoriságok edig az eloszlásfüggvéyét.

12 Hisztogram (histogram) A hisztogram em más, mit a taasztalati sűrűségfüggvéy. Vízszites tegelyé: osztályitervallumok, fölötte olya téglalaok, melyek területe megegyezik a megfelelő relatív, vagy százalékos gyakorisággal, így a hisztogram teljes területe, vagy 00% lesz. Diszkrét változó eseté a változó értékei az itervallumok közeé helyezkedek el. A hisztogram ha a mita elemszámát öveljük közelíti a valószíűségi változó elméleti sűrűségfüggvéyét. Eek megfelelőe a kumulatív hisztogram em más, mit a taasztalati eloszlásfüggvéy

13 Haraggörbe alakú eloszlások Ayakocák szaoraságáak hisztogramja Teheek éves tejtermeléséek hisztogramja

14 Haraggörbe alakú eloszlások? Histogram Histogram Std. Dev.44 Mea 4.30 N Std. Dev 7.86 Mea N testtömeg (g) VESEZSIR Frequecy Frequecy 505 lile testtömege Őzek vese körüli zsír meyisége:

15 Közéértékek Adatok gyakorisági eloszlásáak grafikus ábrázolása helyett összesítő meyiségek, (ala)statisztikák (statistic). Átlag (average, mea) : Mita elemei:,...,,.... i i Az átlag az az érték, amely a "legközelebb" va a mita elemeihez. A mitabeli értékek és a mitaátlag közti eltérések összege midig 0: ( ) 0 i i i i i i i i

16 Gyakorisági táblázat eseté súlyozott átlag: N j f j j, N ahol f. ahol az osztályokat j -vel, az egyes osztályokba levő adatok számát f j -vel, és az osztályok számát N-el jelöljük. Vigyázat! Ha va egy 80 és egy 0 fős csoortuk, akkor ha megkérdezzük a TO-t, hogy meyi az átlagos csoortlétszám, vagy edig megkérdezzük a hallgatókat, hogy milye létszámú csoortba járak, és ezt átlagoljuk, az em ugyaaz. Nem jellemzi jól a mitát, ha az eloszlás em szimmetrikus, vagy kiugró értékek vaak! Példa. Egy éjszaka 7 csadába esett hagyák száma egy lombhullató erdőbe: 7 i i / 7 75/ j j

17 Mediá (media) Sorba redezzük az adatokat:..., med k+, ha k +, med k + k+, ha k. Nem érzékey az etrém értékekre. Ordiális adatok eseté is haszálható statisztika, hisze kiszámításához elegedő a megfigyelések sorredjéek ismerete (kivéve ha két közéső va). Módusz (mode) A leggyakrabba előforduló érték. Nomiális skálá mért adatokra csak ez a közéérték alkalmazható.

18 A közéértékek a hisztogramból is becsülhetők, bár a becslés agyo függ az osztályokba sorolástól: A módusz az az érték, amely fölött a legmagasabb téglala va. A mediától balra és jobbra a hisztogram területéek fele helyezkedik el. Az a ot az átlagérték, amelyél a hisztogram súlyotja va. Szimmetrikus és egy csúcsú hisztogram eseté a három közéérték egybeesik (a szimmetria tegelyre). Ferde eloszlás eseté az átlag midig az eloszlás "farka" (tail) felé csúszik el. Biológiai eloszlásokba szite midig jobbra (ozitíva) ferde az eloszlás, így az átlag agyobb mit a mediá és a módusz. Jobbra ferde Szimmetrikus Balra ferde eloszlás

19 Összehasolítás átlag leggyakoribb midig létezik mide adatot felhaszál etremális értékekre érzékey általáosa haszált mediá ritkább midig létezik etremális értékek eseté jól jöhet módusz még ritkább omiális skálára is jó

20 A szóródás mérőszámai A közéértékek em jellemzik elég jól az eloszlást. közéot közéot szórás szórás Kívácsiak vagyuk arra is, hogy az adatok hogya helyezkedek el az átlagérték körül. Terjedelem (rage) A mita legagyobb és legkisebb értéke közötti külöbség. R ma mi

21 Iterkvartilis terjedelem (iterquartile rage: IQR) A harmadik ( Q 3) és az első kvartilis ( Q ) külöbsége. (közéső 50% terjedelme): IQR Q 3 Q Kiugró értékek (outlier) A mita olya értékei, amelyek a többihez kéest túl kicsik, vagy túl agyok: i i < > Q Q 3. 5IQR +. 5IQR Grafikusa bolot-tal ábrázolhatók: terjedelem (egyees), mediá, alsó és felső kvartilis (doboz), kiugró értékek. Normális eloszlás eseté kiugró értékekek tekithetjük azokat, amelyek a szórás háromszorosáál jobba eltérek az átlagtól N testtömeg (g)

22 Taasztalati szórás és szóráségyzet vagy variacia (variace) A szórás a variacia égyzetgyöke (az alábbi s a szórás, égyzete s edig a variacia). s i ( ) i. (ez a szórás lug-i becslése!) A szórás azt mutatja meg, hogy az adataik átlagosa milye távol helyezkedek el a számtai közétől.

23 Gyakorlatba az ú. korrigált taasztalati szórást (Stadard Deviatio: SD) haszáljuk. i ( ) i s. A evezőbe - áll, ahol a mita elemszáma. - a szabadsági fok (degrees of freedom), ami a téyleges iformáció-tartalommal kacsolatos. A szabadsági fok értéke attól függ, hogy egy, az adathalmazból számított meyiséghez még háy értéket választhatuk meg szabado úgy, hogy a már becsült értékek em változak. Az átlag eseté a szabadsági fok. A szórás eseté egy becsült aramétert, az átlagot fel kell haszáluk. A szórásak ugyaaz a mértékegysége, mit az eredeti adataiké (ezért haszáljuk szívesebbe, mit a variaciát).

24 Gyakorisági táblázat eseté: s N j f j ( ) i, ahol N j f j. Eltérés égyzetösszeg: SS (sum of squares of deviatios). SS ( ) i i i i i i. Variációs koefficies (coefficiet of variatio) Külöböző átlagú miták szórásáak összehasolítása eseté. s CV % 00%

25 Stadard hiba (stadard error, SE) Teljes eve a mitaátlag stadard hibája, azaz szórása. SD( X ) SE( ), ahol a mitaelemszám. A mitaátlag véletletől függő meyiség. Ha rögzítjük a mitaelemszámot, és ugyaabból a oulációból többfélekée választuk ugyaolya elemszámú mitát, akkor természetese más mitaátlagot kauk. Az így kaott értékek szórása azoba kisebb, mit a ouláció szórása, hisze a mitába általába vaak az átlagostól kisebb és agyobb értékek is, és ezek a külöbségek az átlagszámításkor kioltják egymást. Más becslésekek is va SE-je, ez midig a szóba forgó becslés szórását jeleti!

26 Ha a mitából készített hisztogram elég jól közelíti a ormális görbét, akkor a ormális eloszlás táblázatából kiolvasható, hogy az ( s + s) az ( s + s) az ( 3s + 3s), itervallumba va adataik kb. 68%-a (kb /3-a),, itervallumba va kb. 95%-a,, itervallumba edig kb. 99.7%-a esik (majdem mid).

27 A biológiai változatosság (szórás). A mérési hiba: metodikai véletle hiba A szórás eredete:

28 Laultság és ferdeség Laultság vagy csúcsosság (Kurtosis) Az eloszlás laultságára, csúcsosságára voatkozó statisztika. Normális eloszlás eseté értéke 0, laosabb eloszlás eseté egatív, csúcsosabb eloszlás eseté ozitív. Ferdeség (skewess) Az eloszlás ferdeségére voatkozó statisztika. Szimmetrikus esetbe 0, egatív esetbe az eloszlás balra ferde, ozitív esetbe jobbra ferde. A laultság és a ferdeség stadard hibája a ormalitás illetve szimmetria tesztelésére szolgálhat. Ha a statisztikák értéke beleesik a ±SE itervallumba, akkor feltételezhetjük a ormalitást, illetve a szimmetriát.

29 Adatok traszformálása Sok statisztikai módszer feltételezi a ormalitást. Gyakorisági adatok eseté agyo gyakra ferde az eloszlás (biomiális, Poisso, egatív biomiális). Ha agyo ferde az eloszlás, az adatokat a araméteres módszerek alkalmazhatósága érdekébe lehet ormalizáli (ormálissá traszformáli). A araméteres statisztikai módszerek, amelyek két vagy több átlagot hasolítaak össze általába feltételezik, hogy a variacia a mitákba közel ugyaakkora. Poisso, biomiális és egatív biomiális eloszlás eseté a variacia függ az átlagértéktől.

30 A traszformációs techikák stabilizálják a variaciát, azaz megszütetik az átlagtól való függést. Traszformáció: f( ) i i a gyök- vagy a logaritmus- Például gyakorisági adatok eseté, ha traszformáció segít: s > 0, 3, K log 0 Nem tökéletese ormális az új eloszlás, de ormalizált, azaz a araméteres módszerek haszálhatóak. Ha vaak 0 értékek, akkor értelmezve log helyett log ( +) haszáladó, ugyais log 0 ics

31 A másik iráyú ferdeség eseté a hatváy- vagy eoeciális traszformáció segíthet: 0, 3, K 0 0 e A égyzetgyök traszformáció Poisso eloszlás vagy ha s eseté haszálatos. Az arcsi traszformáció Megfigyelt aráyok eseté haszálható. Az eloszlás midkét farka le va vágva, hisze mide érték 0 és közé esik. arcsi

32 Az adatok traszformálása segíthet, ha a vizsgáli kívát változó em ormális eloszlású, de a sikerre ics garacia, va olya eset is, amikor az eloszlást semmilye traszformáció sem kées ormálissá tei, mit éldául a következő ábrá: Traszformációra szükség lehet más miatt is, éldául ha az értékek szóródása az értékek agyságától függ (szóráskiegyelítés), vagy ha két változó között a kacsolat em lieáris (liearizálás). Figyelem! Előfordulhat, hogy az eredeti adatok biológiailag jól iterretálhatók, a traszformált adatokak viszot már em tuduk biológiai jeletést tulajdoítai. Ilyekor ikább e traszformáljuk.

33 Becslés (estimatio) A mita megfigyelései alajá a oulációba valamely ismeretle meyiség vagy hatás mérése

34 Potbecslés (oit estimate) A válasz egy szám. Mivel a mitából számítjuk, ez a szám a véletletől is függ (az ebből adódó bizoytalaság mértékét leggyakrabba a becslés stadard hibájával fejezzük ki) Példák: mita átlag o. átlag (E(X)) mita variacia (korrigálatla ill. korrigált)( s ) o. variacia (var(x)) mitabeli aráy (relatív gyakoriság) o. aráy (valószíűség) mita maimum o. maimum

35 A otbecslés torzítatlasága Általáosa: Egy α araméterre egy (,,..., ) a mita függvéye véletle változó. α becslést adhatuk, amely ˆ Vaak olya becslések, amelyek a taasztalatok alajá em haszálhatóak. Például tedeciózusa alábecsülek a következők: mita maimum o. maimum mita variacia (korrigálatla) o. variacia (var(x)) Defiíció: (,,..., ) α torzítatla becslése α -ak, ha ˆ ( α (, )) α ˆ. E,...,

36 Példa: A mitaátlag torzítatla becslése a ouláció átlagak: E ( ) E( X ), mert Defiíció: ˆ(,,..., ) E( ˆ α,,...,... E( X ) E( X ) E E( X ). α aszimtotikusa torzítatla becslése α -ak, ha -re ( )) α (miél agyobb a mita, aál kisebb a torzítás, sőt a mitaelemszám övelésével tetszőlegese kicsivé tehető). Általába, a statisztikába egy tulajdoságra akkor modjuk, hogy aszimtotikus, ha agyo agy ( ) miták eseté igaz. Defiíció: ˆ, (,..., ) ( ˆ α(,,..., ) α ε ) 0 α kozisztes becslése α -ak, ha bármely ε >0-ra P, ha. (azaz αˆ -ak α -tól való agy eltéréséek valószíűsége 0-hoz tart, ha.)

37 A oulációátlag becslése a mitaátlaggal A mitaátlagok em egyelők, és em is egyezek meg a ouláció átlaggal. Mekkora a mitaátlag szórása vagy hibája (stadard error: SE)? A mitaátlag is egy valószíűségi változó: X ~ N µ, σ SE a mitaátlag szórása, vagy stadard hibája. Ha ő akkor a stadard hiba csökke. Matematikailag bizoyítható (Cetrális határeloszlás tétel), hogy függetleül a mitaelemek eloszlásától, a mitaátlag eloszlása midig a ormális eloszláshoz tart, várható értéke a ouláció várható értékével egyezik meg. >30 eseté feltételezhetjük a mitaátlag ormalitását. σ 0 5 µσ µσ µ µ+σ µ+σ

38 Itervallumbecslés (iterval estimate) Kofidecia-itervallum (cofidece iterval) eseté a válasz egy értéktartomáy, amelybe az ismeretle meyiség 95% (esetleg 90% vagy 99%) valószíűséggel beleesik. A választott valószíűség a megbízhatósági szit (cofidece level). Általába szimmetrikus kofidecia-itervallumot keresük (de em midig). A kofidecia-itervallum kostrukciója agyo egyszerű azokba az esetekbe, amikor a szokásos otbecslés legalábbis közelítőleg ormális eloszlást követ (a, az, a, az ilyeek), mert ekkor a ormális eloszlásra érvéyes kélettel számolhatuk: 95%-os itervallum: a otbecslés ±.96 SE

39 Defiíció: Az eloszlás ismeretle a araméteréek becslésekor a szitű kofidecia (megbízhatósági) itervallum egy olya ( α, α ) itervallum, amely valószíűséggel tartalmazza a-t, azaz P ( α a< ). < α

40 Kofidecia-itervallum ormális eloszlású változó átlagára Tudjuk, hogy a mitaátlag eloszlása σ X ~ N µ,, tehát a mitaátlag σ σ valószíűséggel bee va a µ z, µ + z itervallumba. Ez azt jeleti, hogy a mitaátlag % valószíűséggel em esik távolabb a oulációátlagtól, mit z. Ha a ouláció-átlagot em ismerjük, de egy mitaátlagot ige, σ akkor ebből visszakövetkeztethetük a ouláció-átlagra, így kajuk a kofideciaitervallumot.

41 Ha em ismerjük a ouláció szórását, σ-t, akkor megbecsülhetjük azt is ugyaabból a mitából, mit az -t, de ekkor a ormális eloszlás kritikus értékei helyett a t- eloszláséit kell haszáluk, így a kofidecia-itervallum: A t-eloszlás szabadsági foka: -. s s t ; + t. >50 eseté a t-eloszlás és a ormális eloszlás már em tér el agyo, ezért közelítéskét a ormális eloszlás kritikus értékei is haszálhatók. Bár általába azt modjuk, hogy a oulációátlag 95% valószíűséggel bee va a kofidecia-itervallumba, a szóhaszálat helytele. A oulációátlag ugyais egy otosa adott, bár általuk em ismert szám. Ha a kofidecia-itervallumot meghatároztuk, az vagy tartalmazza ezt az értéket, vagy em, de az már em véletleszerű. A helyes szóhaszálat az lee, hogy az adott mitaelemszám mellett 95% valószíűséggel tuduk választai olya mitát, amelyből számított kofideciaitervallum téylegese tartalmazza a oulációátlagot.

42 Kofidecia-itervallum két ormális eloszlású változó átlaga közötti külöbségre (függetle mitáko) Ismert szórások eseté: + z σ σ ) (, + + z σ σ ) (, ahol és a mitaátlagok, σ és σ az ismert szórások, és a mitaelemszámok, z edig a ormális eloszlás megfelelő értéke.

43 Ismeretle szórások eseté: Ha va okuk feltételezi, hogy a szórások egyelők: ( ) ( ) ( ) s s t, ( ) ( ) ( ) s s t, ahol és a mitaátlagok, s és s a mitákból szokásos módo becsült szórások, és a mitaelemszámok, t edig az + szabadsági fokú t-eloszlás megfelelő értéke.

44 Ha a szórások egyelőségét máshoa em tudjuk, F-róbával szokás elleőrizi. Ha a szórások egyelősége em feltételezhető (em tudjuk előre, és az F-róba alajá is el kell veti), agy mitára (, 30) közelítő érvéyel az ismert szórások esetére megadott kélet is haszálható, egyszerűe a σ-k helyére a becsült szórásokat írva. Kis mitára a Welch-féle korrekció alkalmazható, amit most em ismertetük. A statisztikusok egy része úgy véli, hogy a fetiekek ics értelme. Általáos esetbe em feltételezhető a szórások egyezősége, az F-róba alkalmazásával edig felesleges bizoytalaság kerül a redszerbe, ezért midig úgy kell tekitei, hogy a szórások külöbözőek. A vita a mai aig ics eldötve, ezért ebbe az esetbe úgy kell számoli, ahogy az adott tudomáyterülete (adott folyóiratba) szokás.

45 Kofidecia-itervallum két ormális eloszlású változó átlaga közötti külöbségre (ugyaazo egyedeke) Ha midkét változót ugyaazoko az egyedeke mértük, akkor először mide egyedre kiszámítjuk a két mért érték külöbségét (d), majd ezekből a kofideciaitervallumot az alábbi módo: d t s d sd, d+ t, ahol d a külöbségek átlaga, s d a külöbségek becsült szórása, a mitaelemszám (úgy értve, hogy midkét mita elemű!), t edig az - szabadsági fokú t-eloszlás megfelelő értéke.

46 Megjegyzések Ugyaígy számolhatuk akkor is, ha a mérések em ugyaazoko az egyedeke törtétek, de a két mita elemei árosíthatók (l. ikerárok adatai). Nem szükséges az, hogy midkét változó ormális eloszlású legye, elegedő, ha a külöbségek ormális eloszlást követek. Nagy miták eseté ( 30) közelítőleg érvéyes akkor is, ha a külöbség em ormális eloszlású. Nagy miták eseté ( 50) a t-eloszlás kritikus értékei helyett itt is haszálhatjuk a ormális eloszlás kritikus értékeit.

47 Kofidecia itervallum oulációbeli aráyra (vagy eseméy valószíűségére) (biomiális eloszlás araméterére) Durva közelítés (a biomiálist ormálissal közelítve): ( ) ( ) + z z ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ahol $ - a mitából becsült érték Feltétel: 5 5 ˆ

48 Fiomabb közelítés: ( ) ( ) z z z z z z z z ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ Feltétel: 5 5 ˆ

49 Példa: Egy atigé 00 megvizsgált egyed közül 0 vérébe volt kimutatható. Adjuk 95%-os kofidecia-itervallumot az atigéel redelkezők oulációbeli aráyára! ˆ. / ˆ %. z z A feltétel feáll. Számoljuk a durva közelítéssel: ( ) ( ) ( ) ,.....,.... ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ + + z z

50 A szükséges mitaelemszám meghatározása oulációbeli aráy becsléséhez Számítsuk ki, mekkora mita szükséges ahhoz, hogy egy tulajdoság oulációbeli előfordulási aráyára adott 95%-os itervallum szélessége a 0%-ot e haladja meg (mit éldául 6% - 36%). Az hogy milye széles kofidecia-itervallummal lehetük elégedettek, az adott vizsgálat otossági követelméyei szabják meg. A kofidecia-itervallum szélességét több dolog befolyásolja. Aál keskeyebb lesz az itervallum, miél kisebb megbízhatósági szitet követelük meg (90% alá e mejük ) miél jobb, otosabb eljárást alkalmazuk a kofidecia-itervallum kostrukciójára, miél agyobb mitával dolgozuk, miél távolabb esik az aráy az 50%-tól (bármelyik iráyba)

51 A számítások követhetősége kedvéért most haszáljuk a kofidecia-itervallum kostrukciójára a legegyszerűbb eljárást. Ezzel a 95%-os itervallum: ˆ. 96 ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ), ˆ ahol ˆ a mitabeli aráyt, edig a mitaelemszámot jelöli. Az itervallum szélessége ie a gyök alatti kifejezés szorozva 3.9-vel. Azt szereték, hogy ez legfeljebb 0% legye, azaz ˆ ( ˆ ) A ˆ -t megsaccolva, majd az egyelőtleséget -re megoldva kajuk a mitaelemszámot. Például ha ˆ 0.3 körüli értékre számítuk, akkor 35 adódik. Midig legye szó akár átlagértékről, akár ouláció aráyól, vagy bármi másról ugyaígy, a szóba forgó kofidecia-itervallum számítási kéletéből kiidulva határozhatjuk meg a szükséges mitaelemszámot. Persze midig lesz olya araméter, amelyet ehhez meg kell saccoli, mert tőle is függ az itervallum szélessége.

52 A szükséges mitaelemszám meghatározása átlag becsléséhez A kofidecia-itervallum fél-hossza: h z σ Ebből kifejezve a szükséges elemszámot: z σ h Ha em ismerjük a ouláció szórását, akkor előzetes mitából becsüljük a szórást: t s h, a t szabadsági foka az előzetes mita elemszáma -. Ha a kaott mitaelemszám em agyobb, mit az előzetes, akkor a meglévő mita már elegedő a kívát otossághoz.

53 A Kofidecia-itervallum a oulációbeli variaciára, ill. szórásra χ ( ) s σ statisztika χ ezért létezik olya χ, χ, hogy Az egyelőtleséget átredezve: χ - χ - eloszlású, - szabadsági fokú valószíűségi változó, ( ) s P χ χ χ σ ( ) s ( ) s P σ χ χ -höz tartozó χ érték, (95% eseté a 0.05-höz tartozó kritikus érték) + -höz tartozó χ érték, (95% eseté a höz tartozó kritikus érték)

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

GAZDASÁGI STATISZTIKA

GAZDASÁGI STATISZTIKA GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK

Részletesebben

Általánosítás. Többdimenziós normális eloszlás. Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak

Általánosítás. Többdimenziós normális eloszlás. Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak Matematikai statisztika elıadás. éves elemzı szakosokak 0. elıadás Többdimeziós ormális eloszlás Kétdimeziós ormális eloszlás sőrőségfüggvéye ( ( x µ ) ρ ( y ν ) f x, y) ex + ( x µ )( y ν ) ) πσς ρ σ σς

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Statisztika I. 6. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 6. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 6. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE GYAKORISÁGI SOROK ELOSZLÁSA KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE szorosan kapcsolódik a szóródás elemzéshez, elméleti

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között. Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes

Részletesebben

Definíció. Definíció. 2. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása. 2-5. fejezet. A variabilitás mér számai 3.

Definíció. Definíció. 2. El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása. 2-5. fejezet. A variabilitás mér számai 3. . El adás (folytatása) Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása -1 Áttekintés - Gyakoriság eloszlások -3 Az adatok vizualizációja -4 A centrum mérıszámai -5 A szórás mérıszámai -6 A relatív elhelyezkedés

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

konfidencia-intervallum Logikai vektorok az R-ben 2012. március 14.

konfidencia-intervallum Logikai vektorok az R-ben 2012. március 14. Valószínűség, pontbecslés, konfidencia-intervallum Logikai vektorok az R-ben 2012. március 14. Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra

Részletesebben

Biostatisztika Bevezetés. Boda Krisztina előadása alapján ma Bari Ferenc SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

Biostatisztika Bevezetés. Boda Krisztina előadása alapján ma Bari Ferenc SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Biostatisztika Bevezetés Boda Krisztina előadása alapján ma Bari Ferenc SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Az orvosi, biológiai kutatások egyik jellemzője, hogy a vizsgálatok eredményeként

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia

MINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia MINİSÉGSZABÁLYOZÁS A GÉPIPARBAN Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia ISO 9000:2008 A STATISZTIKAI MÓDSZEREK HASZNÁLATÁRÓL A statisztikai módszerek

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

2013.03.11. Az SPC alapjai. Az SPC alapjai SPC 5. 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer. Dr. Illés Balázs

2013.03.11. Az SPC alapjai. Az SPC alapjai SPC 5. 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer. Dr. Illés Balázs SPC 5 5. Az SPC (Statistic Process Control) módszer Dr. Illés Balázs BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ELEKTRONIKAI TECHNOLÓGIA TANSZÉK Az SPC alapjai SPC (Statistical Process Controll) =

Részletesebben

11. Matematikai statisztika

11. Matematikai statisztika 11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 2.

Matematikai statisztikai elemzések 2. Matematikai statisztikai elemzések 2. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek. A szórás és szóródás Prof. Dr. Závoti, József Matematikai statisztikai elemzések 2.: Helyzetmutatók, átlagok, Prof. Dr. Závoti,

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Define Measure Analyze Improve Control. F(x), M(ξ),

Define Measure Analyze Improve Control. F(x), M(ξ), 5.5.5. Six Sigma Minőségmenedzsment Statisztikai folyamatszabályozási (SPC) rendszer Erdei János Egy fegyelmezett és erősen mennyiségi szemléletű folyamatfejlesztési megközelítés, amely a gyártási, szolgáltatási

Részletesebben

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I.

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Feldolgozás Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés Feladatok. Statisztika I. Statisztika I. 1. előadás: A statisztika alapfogalmai Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem A kurzusról A kurzus célja

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó. 2010. június

GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó. 2010. június GAZDASÁGSTATISZTIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-8/2/A/KMR-29-41pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén, az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében Lukovics Miklós (szerk.) 204: Taulmáyok Legyel Imre professzor 60. születésapja tiszteletére. SZTE Gazdaságtudomáyi Kar, Szeged, 5-24. o. Területi kocetráció és bolyogás Legyel Imre publikációs tevékeységébe

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb mérőszámai Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 8. A szórás és a szóródás egyéb Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 8. : A szórás és a szóródás egyéb Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások

Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Dr. Szőke Szilvia Dr. Balogh Péter: Nemparaméteres eljárások Bevezetés A magas mérési szintű változók adataiból számolhatunk átlagot, szórást. Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott paramétereknek

Részletesebben

Erdei János. Minőség- és megbízhatóság menedzsment. villamosmérnöki kar menedzsment mellékszakirány

Erdei János. Minőség- és megbízhatóság menedzsment. villamosmérnöki kar menedzsment mellékszakirány Budapesti Műszaki- és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Ipari Menedzsment és Vállalkozásgazdaságtan Tanszék Erdei János egyetemi adjunktus Minőség- és megbízhatóság menedzsment

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.9 Csapágyak üzem közbei vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 Gergely Mihály okl. gépészmérök, Acceleratio Bt. Budapest Tóbis Zsolt doktoradusz, Miskolci Egyetem Gépelemek

Részletesebben

Statisztika, próbák Mérési hiba

Statisztika, próbák Mérési hiba Statisztika, próbák Mérési hiba ÁTLAG SZÓRÁS KICSI, NAGY MIN, MAX LIN.ILL LOG.ILL MEREDEKSÉG METSZ T.PROBA TREND NÖV Statisztikai függvények Statisztikailag fontos értékek Számtani átlag: ŷ= i y i /n Medián:

Részletesebben

Véletlenszám-generátorok

Véletlenszám-generátorok Véletlenszám-generátorok 1. Lineáris kongruencia generátor megvalósítása: (a) Készítsen lineáris kongruencia generátort az paraméterekkel, rnd_lcg néven. (b) Nyomtasson ki 20 értéket. legyen. (a, c, m,

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN 7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIÁBAN A terészetes folyai, illetve tegeri utakat igéybe vevő, csak a kikötővel redelkező helyeket felkeresi tudó szállítási ód. A vízi áruszállítást elsősorba

Részletesebben

5. mérés Mérés és kiértékelés számítógéppel

5. mérés Mérés és kiértékelés számítógéppel Budaesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Géészmérnöki Kar Mechatronika, Otika és Géészeti Informatika Tanszék 5. mérés Mérés és kiértékelés számítógéel Segédlet a Méréstechnika (BMEGEMIAMG1) Mérés,

Részletesebben

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?

1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor FLYADÉKKRISTÁLY-TLVÍZIÓK Éber Nádor A 21. SZÁZAD KÉPRNYÔI MTA SZFKI, Budapest A szerezetü és tulajdoságai alapjá a folyadéo és a szilárd ayago özött sajátos átmeetet épezô folyadéristályo felfedezésü (1888)

Részletesebben

Bevezetés az ökonometriába

Bevezetés az ökonometriába Bevezetés az ökonometriába Többváltozós lineáris regresszió: modellszelekció Ferenci Tamás MSc 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Negyedik előadás, 2010. október

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz

Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz MATEMATIKA 6. Tanmenetjavaslat a 6. osztályos matematika kísérleti tankönyvhöz Témák 1. Játékos feladatok Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása JUMO Meß- ud Regelgeräte GmbH A-1232 Wie, Pfarrgasse 48 Magyarországi Kereskedelmi Képviselet Telefo: 00-43-1 / 61-061-0 H-1147 Budapest Öv u. 143. Fax: 00-43-1 / 61-061-59 Telefo/fax: 00-36-1 / 467-0835,

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

KÍSÉRLET A STATISZTIKA II. TANTÁRGY SZÁMÍTÓGÉPPEL TÁMOGATOTT TÖMEGOKTATÁSÁRA BALOGH IRÉN VITA LÁSZLÓ

KÍSÉRLET A STATISZTIKA II. TANTÁRGY SZÁMÍTÓGÉPPEL TÁMOGATOTT TÖMEGOKTATÁSÁRA BALOGH IRÉN VITA LÁSZLÓ KÍSÉRLET A STATISZTIKA II. TANTÁRGY SZÁMÍTÓGÉPPEL TÁMOGATOTT TÖMEGOKTATÁSÁRA A szerzők rövid cikkükben amellett érvelnek, hogy a bevezető jellegű statisztikai kurzusokban célszerűbb az Excelt használni,

Részletesebben

STATISZTIKA. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% hektolitertömege 80 kg. u = = = = Tesztelhetjük, hogy a valósz. konfidencia intervallum nagyságát t is.

STATISZTIKA. H 0 : Kefir zsírtartalma 3% hektolitertömege 80 kg. u = = = = Tesztelhetjük, hogy a valósz. konfidencia intervallum nagyságát t is. Egymiá u-róba STATISZTIKA 0. Előad adá Köéérék-öehaolíó eek Teelhejük, hogy a való íűégi váloók éréke megegyeik-e e egy kokré érékkel. Megválahajuk a kofidecia iervallum agyágá i. H 0 : µ µ 0 Feléel: el:

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

Az Európai Unió Tanácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. en)

Az Európai Unió Tanácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. en) Az Európai Uió Taácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. e) 7383/16 ADD 1 ENER 97 FEDŐLAP Küldi: az Európai Bizottság Az átvétel dátuma: 2016. március 22. Címzett: Biz. dok. sz.: Tárgy: a Taács Főtitkársága

Részletesebben

Tisztelt Olvasó! Minden Kedves oovasónknak Szeretetteljes Karácsonyi Ünnepeket és Boldog Új Esztendõt Kívánunk!

Tisztelt Olvasó! Minden Kedves oovasónknak Szeretetteljes Karácsonyi Ünnepeket és Boldog Új Esztendõt Kívánunk! Tisztelt Olvasó! Semmilye szél em jó aak, kiek ics célul kiszemelt kikötõje. Motaige Carpe diem! (Haszáld ki a jelet!...) Horatius Még el sem kezdõdött a XXI. század, s máris elsõ évéek végé, 2001 decemberébe

Részletesebben

Matematikai statisztikai elemzések 5.

Matematikai statisztikai elemzések 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematikai statisztikai elemzések. MSTE modul Kapcsolatvizsgálat: asszociáció vegyes kapcsolat korrelációszámítás. Varianciaanalízis

Részletesebben

Statisztikai szoftverek esszé

Statisztikai szoftverek esszé Statisztikai szoftverek esszé Dávid Nikolett Szeged 2011 1 1. Helyzetfelmérés Adott egy kölcsön.txt nevű adatfájl, amely információkkal rendelkezik az ügyfelek életkoráról, családi állapotáról, munkaviszonyáról,

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória

Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória Fazekas nyílt verseny matematikából 8. osztály, speciális kategória 2005. január 12. feladatok kidolgozására két óra áll rendelkezésre. Számológép nem használható. példák tetszőleges sorrendben megoldhatók.

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben