Feladatok megoldással

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Feladatok megoldással"

Átírás

1 Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A [ B) \ A \ B [ A \ B Kövtkzik még: A \ B B r (B r A). Mi lsz (A) ; ha (a) A fag ahol ; 6 A 6 ;; Mgoldás. (A [ B) \ A [ B \ A [ B (A [ B) \ A \ B [ (B \ A) (A [ B) \ (A [ B) [ (B \ A) B \ A A még m is félgy½ur½u, mrt ; A:: A f;; Ag gy½ur½u, mrt ; [ ; ; A A [ A ; [ A A A ; r A A r A ; r ; ; A A r ; A A d m algbra, mrt A, és A c A : A f;; A; A c ; g már algbra, és végs volta miatt -algbra, thát (A) A. (b) A fa j A végs halmazg ; ahol [; ]. Mgoldás. A gy½ur½u, mrt ha A; B [; ] végs halmazok, akkor A [ B is végs, A r B is végs (; A mrt végs, t.i. lm va), d m algbra, mrt m végs. -val b½ovítv, hogy algbrát kajuk, szükségs a végs halmazok komlmtrivl is b½ovíti, lgy zért A fa j A vagy A c végs halmazg A (komlmtr -lm½u), és A; B A sté (v. végs, c.v. komlmtr végs) A B A [ B v. v. v. v. c.v. c.v. c.v. v. c.v. c.v. c.v. c.v. A r B v. v. c.v. v.

2 thát A az A által grált algbra, d m -algbra, mrt l. fg ; ; ; A A ; d [ m végs, és komlmtr sm az. Lgy A fa j A vagy A c mgszámlálható halmazg : Hasolóa ll½orízht½o, hogy A zárt az [ és r m½uvltkr, thát algbra, és ha az A A ; ; ; sorozat mid tagja mgszámlálható, akkor [ A is az, ha va köztük, l. A amlyk komlmtr mgszámlálható, akkor [ A \ A szité mgszámlálható halmaz. Thát A -algbra, vagyis A (A).. Egy érm dobása, és gy kocka gurítása sté, amikor csak azt tudjuk mg gyli, hogy az utóbbi rdméy hatos vagy m hatos, adjuk mg a (az összs részhalmazok) szorzat halmaz-algbrát, és ll½orízzük, hogy félgy½ur½u, d m gy½ur½u! Mgoldás. ffj;{rasg ; f6; _g f;; ffjg ; f{rasg ; g f;; f6g ; f_g ; g f(fj; 6) ; (fj; _) ; ({ras; 6) ; ({ras; _)g H f; ; ; f6g ; f_g ; ffjg ; f{rasg ; ; ;; ffjg f6g f(fj; 6)g ; ffjg f_g f(fj; _)g ; ffjg f(fj; 6) ; (fj; _)g ; f{rasg f6g f({ras; 6)g ; f{rasg f_g f({ras; _)g ; f{rasg f({ras; 6) ; ({ras; _)g ; f6g f(fj; 6) ; ({ras; 6)g ; f_g f(fj; _) ; ({ras; _)g Ell½orízzük: f(fj; 6) ; (fj; _) ; ({ras; 6) ; ({ras; _)g g ; r ; H f(fj; 6)g r f(fj; _)g f(fj; 6)g H f(fj; 6) ; (fj; _) ; ({ras; 6) ; ({ras; _)g r f(fj; 6)g f(fj; 6) ; g [ f({ras; 6) ; ({ras; _)g d éldául f(fj; 6) ; g ; f({ras; 6) ; ({ras; _)g H ; \ ; H f(fj; 6)g \ f({ras; _)g ; H f(fj; 6) ; g [ f({ras; 6) ; ({ras; _)g f(fj; 6) ; ({ras; 6) ; ({ras; _)g H thát H m gy½ur½u, és algbra sm, bár H....

3 . Halmazfüggvéyk. Lgy F : R! R mooto m csökk½o, balról midütt folytoos függvéy. Igazoljuk, hogy a : f] ; c[j Rg! R (] ; c[) 7! F (c) halmazfüggvéy gyértlm½u gyértlm½u mghatároz gy -végs, folytoos és additív halmazfüggvéyt a (a) F f[a; b[j a b; b Rg félgy½ur½u; (b) I f[a; b[; [a; b]; ]a; b[; ]; ]a; b] j a b Rg félgy½ur½u; thát a B (F) (I) -algbrá is! Mgoldás. Jlölj a kitrjsztést is, és (a) lgy ([a; b[) (] ; b[) (] ; a[) [a; b[ F ami additív, mrt a b a b sté (csak így lht diszjukt úió gysítés is F-bli) és így [a ; b [ [a ; b [[[a ; b [ ([a ; b [) (] ; b [) (] ; a [) ( (] ; b [) (] ; a [)) + ( (] ; b [) (] ; a [)) ([a ; b [) + ([a ; b [) amib½ol az gyértlm½uség is kövtkzik. A folytoossághoz lgyk [a ; b [ [a ; b [ [ [a ; b [ [A; b[ ami csak úgy lht, ha a a a A és b b b R mooto sorozatok, mlyk határérték a lim a ; b lim a R!! ami csak úgy tljsülht, ha gy < sté a A, zért a A és lim ([a ; b [) lim ( (] ; b [) (] ; a [))!! lim F (b ) F (A) (] ; b[) (] ; A[) ([A; b[) :! (b) Az l½oz½ok miatt, a már F- értlmztt halmazfüggvéyt lég értlmzi az [a; a] fag lfajult itrvallumo: (fag) ([a; a]) F (a + ) ahol jlölj F (a + ) lim F (x) x!a+ az F "mgváltozását" (szakadását) az a otba, ami midíg mgadható, mrt a mootoitás miatt létzik a jobboldali határérték. Így értlmzhtjük az additívitás kövtlméyét mgtartva, ha a < b R: ([a; b]) F (b + ) F (a) F (a) (]a; b]) F (b + ) F (a + ) (]a; b[) F (b) F (a + )

4 amivl értlmztt a korlátos itrvallumok I halmazá, additív és folytoos. Az l½obbi yilvávaló kövtkzméy a kitrjsztés módjáak, a folytoossághoz lgyk az I ha ; b i I itrvallumok ha ; b i ha ; b i [ ha ; b i ha; bi ami csak úgy lht, ha a a a a és b b b R mooto sorozatok, mlyk határérték a lim a ; b lim a R!! Ekkor a kövtkz½o stk lhtségsk: ha; bi [a; b[ ha; bi [a; b] ami az l½oz½o st; akkor gy < küszöbidxt½ol a a és b b, zért lim (ha ; b i) ([a; b]) ;! ha; bi ]a; b] akkor a < a és gy < küszöbidxt½ol b b, zért lim (I ) F (b + ) lim A!! ahol Mivl a < a < a + A és F mooto, F (a ) ha a I F (a + ) ha a I : zért lim! (A ) F (a + ), thát F (a + ) F (a + ) F (a ) lim (I ) F (b + ) F (a + ) (]a; b]) ;! ha; bi ]a; b[ akkor a < a és b < b, zért ahol lim (I ) lim B lim A!!! B F (b ) ha b I F (b + ) ha b I : Már láttuk, hogy lim! (A ) F (a + ), továbbá b < b+b < b, és F balról folytoos mooto, b + b F (b ) F (b + ) F zért lim! (B ) F (b); thát lim (I ) F (b) F (a + ) (]a; b[) ;! Vgyük észr, hogy kaott kitrjsztés midkét stb -végs, ugyais R [ [ ; [ és a F [ f] ; c[j c Rg illtv I [ f] ; c[j c Rg félgy½ur½ukö is -additív és -végs lmi mérték.

5 . Lgy [; ]; A fa j A vagy A c mgszámlálhatóg ; mily tulajdoságúak a kövtkz½o halmazfüggvéyk: (A) ha A végs + gyébkét (A) ha A mgszámlálható + gyébkét Mgoldás. A -algbra, ; mgatív és ha A; B A thát ; additív, d m -additív, mrt l. d A B i (A) + i (B) i (A [ B) v v + v v (fg) [ fg N 6 (N) + : azoba -additív, mrt ha A A A, és midgyik mgszámlálható, akkor [ A A is az, thát lim! (A ) lim! ([ A ) ; ha va köztük m mgszámlálható, akkor [ A A sm mgszámlálható, thát + lim! (A ) ([ A ) ; thát folytoos, vagyis -additív, d m -végs, mrt ha [; ] [ A tljsül a mgszámlálható A halmazokkal, akkor [; ] is mgszámlálható halmaz l, ami m igaz.. Lgy R + ; f(x) x x ; és lgy a i halmazfüggvéy olya, hogy ([; x[) H(x) Z x [x] i t dt + H(x) ([; x[) fi<xg x Z x t dt + H(x) x ; Vizsgáljuk mg kitrjsztésik tulajdoságát, adjuk mg loszlásfüggvéyikt! Mgoldás. Mivl G(x) Z x t dt x x

6 és H folytoos illtv balról folytoos mooto m-csökk½o függvéyk zért összgük is az, vagyis kitrjsztht½o a G + H lsozlásfüggvéyhz tartozó L-S mértékké. m végs, mrt ([; +[) lim (G(x) + H(x)) +; x!+ d -végs, mrt l. ([; + [) (+) + H( + ) + H() + + fi<+g fi<g i i + < fi<+g i és R + [ [; + [. m abszolút folytoos a L mértékr, mrt m (fg), d Mivl k N sté (fg) lim (G(x) + H(x)) (G() + H()) > : x!+ Q(x) H(x) k+ k+ k < x k + és Q(), Q gy balról folytoos, övkv½o függvéy, zért a G + Q által mghatározott L-S mérték. végs, mrt ([; +[) lim (G(x) + Q(x)) : x!+ m abszolút folytoos a L mértékr, mrt l. m (fg), d (fg) + >. Dobjuk gy érmét és válasszuk gy véltl számot a [; ] itrvallumba! (a) A kísérlt rdméy lgy a választott szám, ha az érm dobás rdméy fj, és ggyl több, ha írás. Vizsgáljuk a P (] ; x[) haak valószí½uség, hogy az rdméy kvsbb x-éli halmazfüggvéy által mghatározott mértékt! (b) Egy kockadobás rdméyét½ol függ½o, ha a dobás hatos a kísérlt rdméy lgy vagy az érm dobás fj ill. írás kimtlék mgfll½o mgfll½o. Ha dig a kocka dobás m 6-os, a kísérlt rdméy lgy a választott szám. Vizsgáljuk a P (] ; x[) haak valószí½uség, hogy az rdméy kvsbb x-éli halmazfüggvéy által mghatározott mértékt! Mgoldás. 6

7 (a) Adjuk mg az loszlásfüggvéyt, ami yilvá F (x) P (] ; x[) x R F (x) ha x és F (x) ha x > : Ha < x, az rdméy csak úgy lht x-él kvsbb, ha fjt dobtuk az érmévl, és x-él kisbb a választott szám, amik valóaszí½uség (a kísérltk függtlségét fltétlzv): F (x) x : Ha < x, az rdméy csak úgy lht x-él kvsbb, ha fjt dobuk vagy írástt dobtuk az érmévl, és a választott szám kisbb (x )-él, thát: Összfoglalva F (x) + (x ) x : < F (x) : ha x x ha < x ha x > y x thát F gy mooto m-csökk½o, midütt folytoos fügvéy, ami gy valószí½uségi mértékt határoz mg B-. Vgyük észr, hogy az így mghatározott valószí½uségi mérték az f(x) ha < x < gyébkét F (x) x 6 ; s½ur½uségfüggvéyl adott, ugyais F (x) Z x Z f(t) dt ) P (I) f(t)dt I I : I (b) Adjuk mg az loszlásfüggvéyt, ami yilvá F (x) P (] ; x[) x R F (x) ha x és F (x) ha x > : Ha < x, az rdméy csak úgy lht x-él kvsbb, ha 6-ost dobuk és fjt dobtuk az érmévl, vagy m hatost és a választott szám x-él kisbb, amik valóaszí½uség (a kísérltk függtlségét fltétlzv): F (x) x 6 x + : 7

8 Összfoglalva < F (x) : ha x x + ha < x 6 ha x > y x thát F gy mooto m-csökk½o, balról midütt folytoos fügvéy, ami gy valószí½uségi mértékt határoz mg B-. Vgyük észr, hogy az f(x) F (x) 6 ha < x < gyébkét drivált két ot kivétlévl létzik, és folytoos, d itgrálfüggvéy Z x < ha x f(t)dt : x ha < x 6 ha x > 6 m az F függvéy!. Válasszuk két véltl számot (gymástól függtlül) a [; ] itrvallumba, és vizsgáljuk a P (] ; x[] ; y[) <aak valószí½uség, hogy az ls½ok választott kisbb x-él, és miimumuk kisbb y-ál> halmazfüggvéy által mghatározott mértékt! Mgoldás. Adjuk mg az függvéyt, ami yilvá F (x; y) P (] ; x[] ; y[) x; y R F (x; y) ha x vagy ha y és F (x; y) ha x; y > : Ha < x és x y, akkor az ls½o kissb volta x-él maga utá voja, hogy a miimum kisbb lsz y-ál, zért F (x; y) x: Ha < y < x, akkor vagy az ls½o szám kisbb y-ál és akkor a második ttsz½olgs, vagy az ls½o y és x közé sik és a második kisbb y-ál, zért F (x; y) y + (x y)y y + xy y : Ha < y < x, akkor lgalább gyik szám kisbb y-ál, zért F (x; y) y + y y y y

9 Összfoglalva >< F (x; y) >: ha x vagy ha y x ha < x és x y y + xy y ha < y < x y y ha < y < x ha x; y >.. z.6... y x thhát F változóiba folytoos függvéy, [F ] I mgváltozása gy I R itrvallumo mgatív (mivl é aak valószí½uség, hogy az ls½o szám és a miimum mit számár I-b sik), vagyis loszlásfüggvéy, ami gy valószí½uségi mértékt határoz mg B -. Vgyük észr, hogy f(x; ha < y < x < F (x; y) gyébkét drivált éháy x-y síkbli félgys otjai kivétlévl létzik és folytoos, d itgrálfüggvéy m az F függvéy, mrt l. Z Z Z Z x f(t)dt dy dx 6 : 6. Krssük m mérht½o halmazt a számgys! Mgoldás. Lgy H [ ; ]; Q a racioális számok halmaza, és vzssük b H- az x y ha x y Q kvivalcia rlációt. Az gymással () kvivals számok halmazai a H halmaz gy artícióját adják, mlyk között vaak l. a kövtkz½o kvivalcia-osztályok: H \ Q; H \ Q+ ; H \ Q ; Válasszuk midgyikb½ol gy lmt (kiválasztási axióma!), zk halmaza lgy A. Ekkor A bármly két lmék külöbség irracioális, mivl külöböz½o kvivalcia osztályokból származak. Tgyük fl, hogy A mérht½o, és mérték. Lgy [ ; ] \ Q fr j ; ; g, és így az A A + r ; ; 9

10 halmazok szité mérték½uk (a Lbsgu mérték "ltolás ivariás"!), valamit árokét közös ot élkülik. Mivl H [ A ; a közös mérték m lht, thát >. Másrészt [ A [ ; ] tljsül, thát a [ ; ] itrvallum mérték l, ami lltmodás, thát az A halmaz m lht Lbsgumérht½o, így Borl halmaz sm.. Mérht½o függvéyk, itgrál. Adjuk mg az A f -algbrát és a f mértékt, ha (a) f(x) (x ) x f; ; g A a "számláló" mérték; (b) f(x) [x] x [; [ A B [;[ m (c) f(x) x x [; [ A B [;] m Mgoldás. (a) Mivl im(f) f; g, és ff g fg ff g f; g ; A f f;; fg ; f; g ; f; ; gg ha B és B >< ha B és B f (B) ha B és B >: ha B és B B B Vgyük észr: f abszolút folytoos a trmészts számokat számláló mértékr, és d f ha k d (k) ha k (b) Mivl im(f) f; ; g, és ff g [; [ ff g [; [ ff g [; [; A f f;; [; [; [; [; [; [; [; [; [; [; [; [[[; [; [; [g ha B és B és B ha B és B és B ha B és B és B >< ha B és B és B f (B) B B ha B és B és B ha B és B és B ha B és B és B >: ha B és B és B Vgyük észr: f m abszolút folytoos az m Lbsgu mértékr, mrt l. m (fg) d f (fg) 6

11 (c) Mivl >< f ([a; b[) fa f < bg >: ; ha b vagy a [; b[ ha a b < [; [ ha a és b [ a; b[ ha < a b < [ a; [ ha < a < és b a b a kaott itrvallumok tartalmazzák [; [ összs balról zárt és jobbról yílt itrvallumát, zért A f B [;[ : f loszlásfüggvéy: < ha x F (x) m (f < x) x ha < x : ha < x Vgyük észr: f abszolút folytoos a Lbsgu mértékr, mrt F folytoos, és driváltja F (x) x ha < x < ha x < vagy < x szakaszokét (yílt itrvallumokét) folytoos, thát d f dm (x) x < x < :. Lgy f(x) ( ) számítsuk ki a számgys az f függvéy + ha x < + N gyébkét ; (a) (Rima-) imrorius itgrálját, (b) Lbsgu mérték szriti itgrálját, ha létzik! Mgoldás. f gra koja: y... x. (a) Mivl f(x) ha x <, F (b) Z b f(x)dx Z b f(x)dx ( ) k k k + ( ) k b + ha b < +

12 mlyk határérték, mivl ( ) k b +!, a + lim F (b) ( ) k b! k k Libitz tíusú végtl sor összg, ami létzik és végs érték ( l ), thát az imrorius itgrál érték: Z f(x)dx l : (b) Mivl f + (x) f (x) ha x < + f; ; ; g + gyébkét ha x < + f; ; ; g + gyébkét és f N (x) az gész számgys, ha N!, zért Z f + (x)dm lim N! + ha x < + f; ; ; ; Ng gyébkét Z ami gy divrgs sor, és hasolóa f N (x)dm lim N! Z N k f (x)dm +! k + k % f + (x) k + + d akkor az itgrál m létzik (még végtl értékkl sm). Vgyük észr, hogy a Lbsgu itgrál "m-végs" volta már abból is kövtkzik, hogy az Z jf(x)j dx k k + imrorius itgrál m végs.. Vizsgáljuk az (f ) függvéysorozat kovrgcia tulajdoságait, ha (a) [; ] A B m (a Lbsgu mérték), és f (x) ha x ha < x ; ; Mgoldás. (m.m) lim! f, d akkor (m.) lim! f is mivl végs, és zért () lim! f. L -b kf k Z dx!! thát m kovrgs a sorozat -dik hatváy szriti itgrál-közéb.

13 (b) [; +[ A B m (a Lbsgu mérték), és f (x) ha x + gyébkét ; ; Mgoldás. Egész - lim! f (és akkor m.m. is), valamit L -b is mivl kf k Z + dx!! d így () lim! f. Akovrgcia azoba m lht majdm gylts, mrt ha l S olya A A hogy (A) <, és A c - a kovrgcia gylts, akkor lég agy sté A c \ k [k; k + ] ;, d akkor A S k k [k; k + ] ami m lht, ugyais k > (A) k +. k (c) [; +] A B m (a Lbsgu mérték), ha l x l g k;l (x) k k l ; ; ; k k ; ; gyébkét és f g ; ; f g ; ; f g ; ; f g ; ; Mgoldás. (m ) lim! f mivl f g k;l sté kf k k! és igy () lim! f is. A függvéysorozat azoba gytl otba sm kovrgs, mrt mid x [; ] ot sté végtl sok olya k l ár va, amivl l x l, és zért a k k mgfll½o f függvéy ott értékt vsz fl, d ugyaz igaz olya árokra, amikor x [ l ; l ]; k k zért a mgfll½o f függvéy ott érték½u, thát az (f (x)) sorozat m lht kovrgs.. Lgy R + A B R + m f (x) x ha x ha < x ; ; Vizsgáljuk az (f ) Mgoldás. függvéysorozat kovrgcia tulajdoságait! (a) Potokéti határérték: ha x lim f (x)! ha < x ugyais > " > sté krssük -t, amivl < sté, ha < x jf (x) j x x < " " < x l( ") < l x > l x l( ") ;

14 ha x ha < x amib½ol jf () j < " ; ; jf (x) j < " ; ; l x l( ") : Thát f! f midütt (m.m. is!), ahol a határfüggvéy: ha x f(x) ha < x. A kovrgcia m gylts, mrt az küszöbidx függ az x R + ot választásától, d majdm gylts (m..) mrt ha > > ttsz½olgs, akkor a [; [ itrvallum kivétlévl, már gylts, ugyais < sté, ha x >, akkor tljsül: l l( ") l x l( ") l l( ") < ) jf (x) f)x)j < " (b) Mivl R jf (x)j dx +, m bszélhtük L -bli kovrgciáról! (c) A m.. kovrgciából kövtkzik a mértékb való kovrgcia, amit ll½orízzük: Ha " fjf fj > "g ; ha < " < thát vagyis (jf fj > ") fjf fj > "g ]; ( ") [ ha " ( ") ha < " < ( ")! lim (jf fj > ").!. Lgy [; ] A B [;] m, f (x) x x ; ; Vizsgáljuk az (f ) Mgoldás. függvéysorozat kovrgcia tulajdoságait! (a) Potokéti határérték: ha x lim f (x)! ha < x ugyais > " > sté krssük -t, amivl < sté, ha < x jf (x) j x x < " " < x l( ") < l x > l x l( ") ;

15 ha x amib½ol jf () j < " ; ; l x l( ") : Thát f! f midütt (m.m. is!), ahol a határfüggvéy: ha x f(x) ha < x. A kovrgcia m gylts, mrt az küszöbidx függ az x R + ot választásától, d majdm gylts (m..) mrt a mérték most végs, amit az l½oz½o fladathoz hasolóa ll½orízhtük is: Ha > > ttsz½olgs, akkor a [; [ itrvallum kivétlévl, már gylts, ugyais < sté, ha x >, akkor tljsül: l l( ") (b) Mivl Z Z l x l( ") l l( ") < ) jf (x) f)x)j < " jf (x)j dx jf(x)j dx Z Z x x + dx + + < +; dx vizsgálhatjuk az L -bli kovrgciát éldául sté. kf fk Z Z thát (m ) lim! f f. jf (x) f(x)j dx x x + dx " Z x + x ) dx + x x # + + +! (c) A m.. kovrgciából (d a égyztitgrálba való kovrgciából is) kövtkzik a mértékb való kovrgcia, amit ll½orízzük: Ha " fjf fj > "g ; ha < " < thát vagyis Vgyük észr: (f (jf fj > ") fjf fj > "g ]; ( ") [ ha " ( ") ha < " < ( ")! lim (jf fj > ").! f)! -mértékb is tljsül, mrt fjf fj > "g ; " fjf fj > "g ]; " [ < " <

16 továbbá K > sté thát vagyis a ((f f) ) kövtkzik L -b (f Z jf fj >K jf fj d lim su jf fj K! Zjf d fj >K függvéysorozat gyl½o mértékb itgrálható, amib½ol végsség miatt f)!, és így thát (m ) lim! f f. Z lim! jf fj d. Fltétls várható érték. Lgy a (; Y ) v.v.v. diszkrét loszlása: Y : : : : : : Adjuk mg az E(Y j ) fltétls várható értékt! Myi a maradék szóráségyzt? Mgoldás. Adjuk mg Y -ak -r voatkozó (P (Y y j x)) y fltétls loszlását Y : :+:+: : :+:+: : :+:+: : :+:+: : :+:+: : :+:+: amib½ol kajuk: : E(Y j x) + : + : : x : : : : + : + : : 9 x :7 :7 :7 A maradék szóráségyzthz számoljuk ki: E(Y ) : + : + : 6: E E (Y j ) : : + : 9 :7 : 9 amib½ol R E(Y ) E E (Y j ) 6: : 9 : Lgy a (; Y ) v.v.v. s½ur½uségfüggvéy: f(x; y) x y x ha < x < és < y <. Adjuk mg az E(Y j ) fltétls várható értékt, és a közlítés maradék szóráségyztét. Mgoldás. Adjuk mg s½ur½uségfüggvéyét f (x) Z x y x dy ha < x < () U(; )), 6

17 amivl a fltétls s½uségfüggvéy Thát vagyis f Y j (yjx) E(Y j x) f(x; y) f (x) x yx ha < x < és < y <. Z A maradék szóráségyzthz számoljuk ki : y x y x dy x + x ha < x < E(Y j ) +. amivl kajuk: E(Y ) E E (Y j ) Z Z Z R + l l y x y x dxdy + l l x dx + x l l 7: 6.. Tudjuk, hogy a fér ak magassága N (; ), a ½ok magassága dig N (7; ) loszlású véltl myiség. Ha gy 6 fér ból és ½ob½ol álló társaságból találomra választott szmély 7cm magas, myi aak valószí½uség, hogy ½ot, illtv fér t választottuk? Mgoldás. Jlölj a választott szmély magasságát, továbbá F N a választott szmély fér a válsztott szmély ½o akkor flthtjük és a magasság fltétls s½ur½uségfüggvéyi (x ) f F (x) x amivl P (F j 7) : 66 P (F ) :6 P (N) :, (x 7) f N (x) x x R, :6 x (7 ) :6 x (7 ) + : x (7 7) P (N j 7) : 66 : 9. Lgy az v.v. fltétls loszlása Y sté biomiális, azaz P ( k) k ( ) k k ; ; ; ; ; ; k és az Y v.v. Poisso loszlású, azaz P (Y )! ; ; ; 7

18 (a) Adjuk mg várható értékét, szórását! Mgoldás. Mivl E( j Y ), így E() E (E( j Y )) E(Y ) továbbá (flhaszálva: D () E( ) E ()! E( ) D () + E ()) E( j Y ) ( ) +, így E( ) E Y ( ) + Y ( ) + ( + ) zért D () ( ) + ( + ) (). (b) Adjuk mg loszlását! Mgoldás. (; Y ) gyütts loszlása P ( k; Y ) k ( k ) k! k ; ; ; ; ; ; amib½ol P ( k) k ()k ( k! k ( ) k k! ()k k! ) ()k k! k ; ; ; k [( ) ] k ( k)!. Válasszuk gy véltl számot a [; ] itrvallumba, majd gy újabbat a és a választott szám küzött! Adjuk mg z utóbbi választás rdméyék várható értékét és szórását, valamit loszlását! Mgoldás. Jlölj ; Y az ls½o illtv a második válsztás rdméyét, akkor gylts loszlású a [; ] itrvallumba, azaz s½ur½uségfüggvéy f (x) x és Y fltétls loszlása x sté gylts a [; x] itrvallumba, azaz f Y j (yjx) x y x < x : (a) Mivl E(Y j x) x < x E(Y ) E és E(Y j x) x + x x, így E(Y ) E +! 9 thát D (Y ) 9 7

19 (b) (; Y ) gyütts s½ur½uségfüggvéy thát Y s½ur½uségfüggvéy és loszlásfüggvéy < F Y (y) : f(x; x) f Y j (yjx) f (x) x y x < x f Y (y) Z y dx l y < y x R y l t dt [t l t t] ty t! ha y y y l y ha < y ha < y 6. Lgy az N v.v. diszkrét gomtriai loszlású, azaz P (N ) ( ) ; ; ahol < <, és az v.v. fltétls loszlásfüggvéy N sté < ha x F jn (xj) P ( < x j N ) x ha < x : ha < x : (a) Adjuk mg loszlását! (b) Adjuk mg a P (N j x) fltétls valószí½uségt! (c) x sté mlyik N sméy a lgvalószí½ubb? Mgoldás. (a) loszlásfüggvéy (a tljs valószí½uség tétl szrit) F (x) P ( < x) x ( ) x [x( )] s½ur½uségfüggvéy f (x) ( x( )) + x( ) ( x( )) x x( ) ( x( )) < x < < x < (b) A fltétls s½ur½uségfüggvéyk f (x) x < x <, így P (N j x) x ( ) (c) Mivl x ( ) ( x( )) < x < ; ; ( x( )) P (N + j x) P (N j x) ( + )x( ) x x ( x + x) x x x + x Thát P (N j x) övkv½o sorozat, ha x x lgagyobb tagja a sorozatak, 9 x+x és csökk½o ha x x x+x <, zért a

20 ha x x x+x gész, akkor x x x+x j x) érték; h ha x x m gész, akkor x+x érték; és + x x x+x + x+x x x x+x i + h x+x stém maximális P (N i stém maximális P (N j x) 7. Lgy ; függtl azoos biomiális loszlású v.v. aramétrkkl. Adjuk mg az E( + j ) fltétls várható értékt! Mgoldás. Mivl E( + j ) E( j ) + E( j ) lég mgadi a függvéyt, mrt H(y) E( j y) y ; ; ; ; E( j y) H( y) y ; ; ; ; : Adjuk mg és gyütts loszlását, flhaszálva P ( k) P ( k) k k ; ; : thát vagyis E( + j ) : P ( ) P ( ) 6 E( j ) >< E( + j y) >: ha y + ha y + ha y + ha y + ha y Vgyük észr: most E( + j ) E( + ), bár + és m függtlk, ugyais P ( + ) P ( ; ) 6 P ( ) P ( ; ) 6 P ( + ; ) Lgy N (; ) Y. Hasolítsuk össz az Y a + b liáris rgrssziós közlítést az Y E(Y j) közlítéssl! Mgoldás. Mivl cov(y; ) E( ) Z x dx a lgjobb liáris közlítés Y E(Y ) E( ), amik hibája R D (Y ). Mivl Y az függvéy, E(Y j), amivl a közlítés hibája R. Vgyük észr: Y és korrlálatlaok, d m függtlk (s½ot fukcioális kacsolat va köztük), ugyais függtlségük sté E(Y j) E(Y ) kll, hogy tljsüljö.

21 9. Egy taxi gékocsi gy forgalmas hly gyszrr,, vagy utast vsz fl rdr.7,.,. és. valószí½uséggl. Az utasokak átlagosa a fl fér, akikk a tstsúlya N (; ) loszlású, ami a ½ok sté N (6; ). (a) Myi az gyszrr szállított utasok összsúlyáak várható érték és szórása? (b) Amikor az utasok összsúlya kg; átlagosa háy utas va a gékocsiba? Mgoldás. Jlölj uatsok száma P ( ) :7 P ( ) : P ( ) P ( ) : és Y az utasok össztömg, amik fltétls sürüségfüggvéy ; ; ; sté rdr: f (x) : (x ) 6 + : (x 6) 6 f (x) : (x 6) + : (x ) + : (x ) f (x) : 9 (x ) 9 + :7 9 (x ) 9 + :7 9 (x ) 9 + : 9 (x ) 9 f (x) :6 6 (x ) 6 + : 6 (x ) 6 + :7 6 (x ) 6 + : 6 (x 6) 6 + :6 6 (x ) 6 Thát E(Y j ) : + : 6 7 E(Y j ) : 6 + : + : E(Y j ) : + :7 + :7 + : E(Y j ) :6 + : + :7 + : 6 + :66 : vagyis E(Y ) :7 7 + : + : + : : : Hasolóa E(Y j ) : (6 + ) + : (6 + 6 ) 6 E(Y j ) : ( + 6 ) + : ( + ) + : ( + ) 99 E(Y j ) : (9 + ) + :7 (9 + ) + :7 (9 + ) + : (9 + ) 9 E(Y j ) :6 (6 + ) + : (6 + ) + :7 (6 + ) + : (6 + 6 ) + :66 (6 + ) 667 thát E(Y ) :7 6 + : 99 + : 9 + : és így D(Y ) 9 : 7: Továbbá f () : 9 9 f () : 7 f () : 6 7 f () : P ( j Y ) :7: 9 9 :7: 9 9 +:: 7 +:: 6 7 +:: : 6 :: 7 P ( j Y ) :99 :7: 9 9 +:: 7 +:: 6 7 +:: P ( j Y ) :: 6 7 :7: 9 9 +:: 7 +:: 6 7 +:: : 9 :: P ( j Y ) : 9 :7: 9 9 +:: 7 +:: 6 7 +:: zért E( j Y ) : 6 + :99 + : 9 + : 9 :

22 . Vktor valószí½uségi változók. Lgyk ; Y Poisso loszlású v.v.-k illtv aramétrrl és Adjuk mg Z Y + Z + Y (a) Z (Z ; Z ) várható érték vktorát és kovariacia mátrixát! (b) a Z az + b rgrssziós közlítés gyütthatóit, a maradék szórást és korrlációs gyütthatót! (c) az E(Z j Z )fltétls várható értékt! Mgoldás. (a) Mivl Z Y E(Z) cov(z; Z) + ; és E Y cov Y ; Y + T 6 (b) a R b! 6 A r 6 6 (c) E(Z j Z ) E( Y + j + Y ) E(( + Y ) Y + j + Y ) + Y E(Y j + Y ) + Mivl + Y szité Poisso loszlású + aramétrrl, E(Y k j + Y ) és zért k k! k (m k)! (+)! (+) E(Y j + Y ) továbbá (lásd:. hét szorgalmi fladata) k + + k k k N + N E(Y j + Y ) ( + ) N thát E(Z j Z ) ( + ) + : Vgyük észr, hogy a lgjobb közlítés most a liáris rgrssziós függvéy!

23 . A ( ; ) v.v.v. kovariacia mátrixa és várható érték: 7 cov(; ) E() (a) Adjuk mg az ls½o (a agyobbik sajátértékhz tartozó) f½okomossl és f½ofaktorral való közlítést, és a közlítés hibáját, és a közlítés gysék gyltét! (b) Ha ( ; ) gy mg gylt érték (; ), adjuk mg a f½okomosk és f½ofaktorok mgfll½o értékit! (c) Lgyk Y + Y + ajuk mg az Y (Y ; Y ) v.v.v. kovariacia mátrixát és várható érték vktorát! Mgoldás. (a) cov(; ) sajátértéki és ormált sajátvktorai: v (b) thát + v 6 + és az ls½o f½okomos illtv f½ofaktor gysék gylt x + y + R mivl : 9 : 6 h h i i (c) cov(y; Y ) E(Y ) 7 + T Krssük a ( ; ) ; (; ) ; (; ) ; (; ) R otokhoz olya y ax + b gylt½u gyst, mllyl

24 (a) az SS Y P i d i égyztösszg miimális, ahol d i (y i ax i b) a otok y-tgly iráyú távolsága a krstt gyst½ol! (b) az SS P i d i égyztösszg miimális, ahol d i (x i y a i + b ) a otok x-tgly iráyú a távolsága a krstt gyst½ol! (c) az SS? P i d i égyztösszg miimális, ahol d i a otok mr½olgs távolsága a krstt gyst½ol! Mgoldás. Lgy az (; Y ) v.v.v. loszlása P ( x; Y y) (x; y) Z f( ; ) ; (; ) ; (; ) ; (; )g ; és így Y Y Y P 6 E cov Y ; Y : (a) Ekkor az Y a + b rgrssziós közlítés maradék szóráségyzt R (x;y)z (y ax b) SS Y ; thát krssük a rgrssziós fladat mgoldását! A krstt gys thát y x + SS Y R! (b) Az x-tgly iráyú ltérésk égyztösszg az a Y + b rgrssziós fladat mgoldása sté miimális. Thát x y vagy y x + SS (c) A krstt gys az ls½o f½okomos gys lsz. A kovariaca mátrix saját értéki és (m ormált) sajátvktorai: v v : Thát a krstt gys x + y vagy y x + SS? R

25 Abrázoljuk a otokat és a mgoldás-gyskt: y x 6. Többdimziós ormális loszlás. Lgy az (; Y ) v.v.v. s½ur½uségfüggvéy: f(x; y) c x x xy y + x + y (x; y) R. Adjuk mg c értékét, (; Y ) kovariacia mátrixát és várható érték vktorát, továbbá az E(Y j) fltétls várható értékt! Mgoldás. Mivl a ormális loszlás s½ur½uségfüggvéy az xosb gy kvadratikus formát tartalmaz, vizsgáljuk mg a ormális loszlás lht½oségét, amikor is a s½ur½uségfüggvéy az alábbi alakba írható: ( T ) f(x; y) r x x m x V m y m y m Thát a másodfokú tagokból kll hogy tljsüljö, amib½ol V x + xy + y x y V x y ) cov Y ; Y V ami valóba gy ozitív d it (szimmtrikus) mátrix. Az ls½ofokú tagokra tljsül zért az ( x y) m m T V x y m + m m + m (m + m ) x + (m + m ) y,

26 gylt mgoldásával kajuk: m ; m Y E. A (hiáyzó) kostas tag az xosb így T 9 és a s½ur½uségfüggvéy f (x; y) c x ( x y T x y ) x (9), thát tljsüli kll az c x (9) gyltk, ahol q q q x (9) Thát összfoglalva, Y 9, q q N r c c r amib½ol ;. 9. A s½ur½uségfüggvéy gra koja:.. z xy 6 Az E(Y j x) fltétls várható érték függvéy a liáris rgrssziós közlítés: a : b + : : R thát E(Y j) 6 : + : :

27 . Lgy ( ; ; ) ; A ; fltétls loszlását az z fltétl mlltt! Mgoldás. A fltétls loszlást gy olya, ormális loszlás s½ur½uségfüggvéy határozza mg, mlyk kovariacia mátrixa V R és várható érték (z) E z (z ) + z z + Vgyük észr: és között lltéts kacsolat (gatív korrláció) va, mivl r : < d az z fltétl mlltt (lgy z érték bármi!) már ozitív (V R -b½ol számolható!) korrláció va! q q > 7

KOD: B377137. 0, egyébként

KOD: B377137. 0, egyébként KOD: 777. Egy csomagológép kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mnnyiség normális loszlású valószínûségi változó kg várható értékkl és.8 kg szórással. A zacskó súlyra nézv lsõ osztályú,

Részletesebben

Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai

Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai Országos Szilárd Ló fizikavrsny fladatai I katgória döntő, 5 április 9 Paks A fladatok mgoldásáoz 8 prc áll rndlkzésr Mindn sgédszköz asználató Mindn fladatot külön lapra írjon, s mindn lapon lgyn rajta

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Erő- és munkagépek I.

Erő- és munkagépek I. Áramlás- és Hőtikai Gék Taszék r. zabó zilárd Erő- és mkagék I. Előadásvázlat iskol-egytmváros 005 r. zabó zilárd: Erő- és mkagék Készült r. Nyíri Adrás Erő- és mkagék I. és II. gytmi jgyzti (iskoli Egytmi

Részletesebben

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE. A mérés élja A mérés fladat égyzt krsztmtsztű satorába bépíttt, az áramlás ráyára mrőlgs szmmtratglyű, külöböző átmérőjű hgrkr ható ( x, y ) rő

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Mágneses anyagok elektronmikroszkópos vizsgálata

Mágneses anyagok elektronmikroszkópos vizsgálata Mágnss anyagok lktronmikroszkópos vizsgálata 1. Transzmissziós lktronmikroszkóp 1.1. A mágnss kontraszt rdt a TEM-bn Az lktronmikroszkópban 100-200 kv-os (stlg 1 MV-os) gyorsítófszültséggl gyorsított lktronok

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése A közpotos furérhámozás éháy alapösszfüggés 1. ábra: A hámozás jllmző myiségi Az 1. ábra forrása: Dr. Lugosi Armad ( szrk. ) : Faipari szrszámok és gépk kéziköyv Műszaki Köyvkiadó, Budapst, 1987, 57. oldal.

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Rockfall lejtésképző elemek

Rockfall lejtésképző elemek LAPOSTETŐ SZIGETELÉS LEZÁRVA: 00. MÁRCIUS. Rokll ljtésképző lmk Műszki tlp Vonlr-, lln- és pontrljtő lmk, ttikék A Rokwool Rokll rnszrévl iztosíthtó ttők tökélts vízlvztés Műgynt kötésű, tljs krtmtsztén

Részletesebben

QP és QX mélykútszivattyúk 4"

QP és QX mélykútszivattyúk 4 QP 4A-8 0,25 2,8 A - 20 681 mm 11,5 kg 1 1/4" QP 4A-12 0,37 3,3 A 1,6 A 20 761 mm 12,0 kg 1 1/4" QP 4A-18 0,55 4,4 A 1,7 A 25 896 mm 13,5 kg 1 1/4" QP 4A-25 0,75 5,8 A 2,5 A 35 1061 mm 15,4 kg 1 1/4" QX

Részletesebben

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn Modrn piaclmélt ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Sli Adrinn A tananyag a Gazdasági Vrsnyhiatal Vrsnykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítány támogatásáal készült az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Szerző: Böröcz Péter János H-9026, Egyetem tér 1. Győr, Magyarország

Szerző: Böröcz Péter János H-9026, Egyetem tér 1. Győr, Magyarország In: Kóczy L, éánczos L, Bakó A, Prznszki J, Szgdi Z, Várlaki P (szrk.) Játéklmélt alkalmazási lhtőségi a logisztikai rndszrkbn - az gy- és többutas szállítási csomagolási szközök közötti döntéslmélti probléma

Részletesebben

Operatív döntéstámogatás módszerei

Operatív döntéstámogatás módszerei ..4. MSKOLC YM azaságtuomáyi Kar Üzlti formációgazálkoási és Mószrtai tézt Számvitl tézti aszék Opratív ötéstámogatás mószri Dr. Musiszki Zoltá Opratív ötéstámogatás mószri Statisztikai, matmatikai mószrk

Részletesebben

Megoldások. 2001. augusztus 8.

Megoldások. 2001. augusztus 8. Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt

Részletesebben

Teherhordó üveg födémszerkezet: T gerenda ragasztott öv-gerinc kapcsolatának numerikus vizsgálata

Teherhordó üveg födémszerkezet: T gerenda ragasztott öv-gerinc kapcsolatának numerikus vizsgálata Tudományos Diákköri Konrncia Thrhordó üvg ödémszrkzt: T grnda ragasztott öv-grinc kapcsolatának numrikus vizsgálata Készíttt: Gál Tamás F17JCS építőmérnök hallgató Konzulns: Dr. Vigh László Grgly Egytmi

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 31. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 31. 15:00 ór M 2 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto

Részletesebben

DR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapest, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@erg.bme.hu Tel: 1/463 40 22 www.erg.bme.

DR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapest, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@erg.bme.hu Tel: 1/463 40 22 www.erg.bme. DR. JUHÁSZ MÁRTA BME Ergonómia és Pszichológia Tanszék 1111 Budapst, Egry J. u. 1. Email: juhaszm@rg.bm.hu Tl: 1/463 40 22 www.rg.bm.hu A KIVÁLASZTÁS ÉS A MUNKAKÖRI ALKALMASSÁG PSZICHOLÓGIÁJA II. Az lızı

Részletesebben

1. AZ MI FOGALMA. I. Bevezetés ELIZA. Első szakasz (60-as évek) Második szakasz (70-es évek) Harmadik szakasz (80-as évek)

1. AZ MI FOGALMA. I. Bevezetés ELIZA. Első szakasz (60-as évek) Második szakasz (70-es évek) Harmadik szakasz (80-as évek) 1. AZ MI FOGALMA I. Bvztés 1956 nyár. Darthmouth Collg-i konfrncia Kzdti cél: Az mbri gondolkodás számítógép sgítségévl történő rprodukálása. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 1 Grgorics Tibor

Részletesebben

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai Bojtár Imr Gáspár Zsolt A végslmmódszr matmatka alapja Elktronkusan ltölthtő lőadásvázlat építőmérnök hallgatók számára. http://www.pto.bm.hu/m/htdocs/oktatas/oktatas.php Kadó: BME Tartószrkztk Mchankája

Részletesebben

Információelmélet Szemináriumi gyakorlatok

Információelmélet Szemináriumi gyakorlatok Információelmélet Szemináriumi gyakorlatok. feladat. Adott az alábbi diszkrét valószínűségi változó: ( ) a b c d X = Számítsuk ki az entróiáját: H(X ) =?. feladat. Adott az alábbi diszkrét valószínűségi

Részletesebben

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI KÉZIKÖNYV Lap: 1/145 AZ INCZÉDY GYÖRGY KÖZÉPISKOLA, SZAKISKOLA ÉS KOLLÉGIUM MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI E AZ MSZ EN ISO 9001 SZABVÁNY ALAPJÁN, ILLETVE MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI PROGRAMJA A KÖZOK-TATÁSI TÖR- VÉNY (1993. ÉVI LXXIX.)

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás

Részletesebben

JT 379 www.whirlpool.com

JT 379 www.whirlpool.com JT 379.hirlpool.com A HÁLÓZATRA CSATLAKOZTATÁS ELŐTT ÜZEMBE HELYEZÉS ELLENŐRIZZE, HOGY A TÖRZSLAPON jlztt fszültség mggyzik- a lakás fszültségévl. NE TÁVOLÍTSA EL A MIKROLLÁM-BEVEZETÉST VÉDŐ LEMEZEKET,

Részletesebben

Villamos érintésvédelem

Villamos érintésvédelem Villamos érintésvédlm A villamos nrgia ipari mértű flhasználása a század ljén kzdtt gyr nagyobb mértékbn ltrjdni és zzl gyidőbn jlntkztk az áramütésből rdő balstk is. Ennk kövtkztébn nagyarányú kutatás

Részletesebben

33 522 04 0001 33 10 Villámvédelmi felülvizsgáló Villanyszerelő

33 522 04 0001 33 10 Villámvédelmi felülvizsgáló Villanyszerelő A 10/007 (II. 7.) SzMM rndlttl módosított 1/006 (II. 17.) OM rndlt Országos Képzési Jgyzékről és az Országos Képzési Jgyzékb történő flvétl és törlés ljárási rndjéről alapján. Szakképsítés, szakképsítés-lágazás,

Részletesebben

közepes (3) 65..72,5 pont jeles (5) 85 pont felett A szóbeli vizsgához legalább 50 pontot kell elérni az írásbeli részvizsgán. Dátum:..

közepes (3) 65..72,5 pont jeles (5) 85 pont felett A szóbeli vizsgához legalább 50 pontot kell elérni az írásbeli részvizsgán. Dátum:.. vasago krz rész a vizsgázó öli ki!................................................... Név (a szélyi igazolváya szrlő óo) Szélyazoosság llőrizv Kijl, hogy a flaaok golásai aga készí és azokhoz az gélyz

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2009. jnuár 29. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2009. jnuár 29. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Minn

Részletesebben

MUNKAANYAG, A KORMÁNY ÁLLÁSPONTJÁT NEM TÜKRÖZI

MUNKAANYAG, A KORMÁNY ÁLLÁSPONTJÁT NEM TÜKRÖZI Az önkormányzati és trültfjlsztési minisztr../2008. (..) ÖTM rndlt a katasztrófavédlmi szrvk és az önkormányzati tűzoltóság hivatásos szolgálati viszonyban álló tagjaival kapcsolatos munkáltatói jogkörök

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

2011. évi intézmény-felújítás,intézményi javaslatok

2011. évi intézmény-felújítás,intézményi javaslatok agasépítési csoport PRIORITÁSOK: BRH=biztonságos és rndlttésszrű használat, =állagmgóvás, = műszak iés funkcionális szükség, =gyéb 13 Holdfény Utcai Óvoda Kincskrső Tagóvodája Prioritás gjgyzés 13.1 Krt

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

A művészeti galéria probléma

A művészeti galéria probléma A műészti galéria probléma A műészti galéria probléma (art galry problm): A műészti galéria mgfigylés kamrákkal / őrökkl. Hálózattrzés Alapjai 2007 8: Műészti Galéria Probléma Őrzési / Mgilágítási problémák

Részletesebben

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2006. jnuár 28. ANYANYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2006. jnuár 28. 10:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgfllő iőosztásr és küllkr! Tolll olgozz!

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Vezetéki termikus védelmi funkció

Vezetéki termikus védelmi funkció Budaps, 011. április Bvzés A vzéki rmikus védlmi fukció alapvő a hárm miavélz fázisáram méri. Kiszámlja az ffkív érékk, és a hőmérsékl számíásá a fázisáramk ffkív érékér alapzza. A hőmérséklszámíás a rmikus

Részletesebben

A szeretet tanúi. 2013. március 31. 18. évfolyam, 1. szám. Az algy i egyházközség kiadványa KRISZTUS FELTÁMADT! ÚJ PÁPÁNK

A szeretet tanúi. 2013. március 31. 18. évfolyam, 1. szám. Az algy i egyházközség kiadványa KRISZTUS FELTÁMADT! ÚJ PÁPÁNK 2013. március 31. 18. évfolyam, 1. szám A szrtt tanúi Az algy i gyházközség kiadványa KRISZTUS FELTÁMADT! A Húsvét a Fltámadás - és nm a nyuszi - ünnp Ádám és Éva az s-b nnl vszíttt l az örök éltt. Az

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny 8. osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny 8. osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 8. osztály 2012. november 12. Feladatok: PÉCSI ISTVÁN, középiskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: LADÁNYI ANDREA, középiskolai tanár TÓTH JÁNOS, középiskolai

Részletesebben

VT 265 www.whirlpool.com

VT 265 www.whirlpool.com VT 265.hirlpool.com 1 BEÜZEMELÉS A HÁLÓZATRA CSATLAKOZTATÁS ELŐTT ELLENŐRIZZE, HOGY A TÖRZSLAPON jlztt fszültség mggyzik- a lakás fszültségévl. NE TÁVOLÍTSA EL A MIKROLLÁM-BEVEZETÉST VÉDŐ LE- MEZEKET,

Részletesebben

12. Laboratóriumi gyakorlat MÉRÉSEK FELDOLGOZÁSA

12. Laboratóriumi gyakorlat MÉRÉSEK FELDOLGOZÁSA . Laoratórum gakorlat MÉRÉSK FLDOLGOZÁSA. A gakorlat célja Lgks égztk LS) módszré alapuló polom-llsztés proléma mutatása és a módszr alkalmazása mérés rdmék fldolgozására, lltv érzéklő karaktrsztkák aaltkus

Részletesebben

Az Integrációs Pedagógiai Rendszer projektelemeinek beépülése

Az Integrációs Pedagógiai Rendszer projektelemeinek beépülése Az Intgrációs Pdagógiai Rndszr projtlmin bépülés a Fsttics Kristóf Általános Művlődési Központ Póaszpti 1-8. évfolyamos és a Paodi 1-4. évfolyamos Általános Isola tagintézményin otató-nvlő munájába 2011/2012.

Részletesebben

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

ANYANYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2006. fruár 2. ANYANYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2006. fruár 2. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto mg. Ügylj mgfllő iőosztásr és küllkr! Tolll olgozz! A

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki . hét. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A (b) A \ B \ A \ B = A \ B \. Fejezzük ki (a) A \ B -t a n és [ m½uveletével! A \ B (b) A [ B -t a \ m½uveletével és az A; B halmazra vonatkozó

Részletesebben

1. FELADATLAP TUDNIVALÓ

1. FELADATLAP TUDNIVALÓ 0851 modul: GEOMETRII ISMÉTLÉS z alakzatokról tanultak ismétlés 135 TUDNIVLÓ Egy alakzatot akkor nvzünk tnglysn szimmtrikusnak, ha létzik lgalá gy olyan gyns, amlyr az alakzatot tnglysn tükrözv önmagát

Részletesebben

A~ oldatok összetétele

A~ oldatok összetétele A ldtk összetétele Az ldtk összetételét (töméységét) többféleképpe fejezhetjük k ) Tömegrzázlék (jej tömeg (,) Azt fejez k, hgy 1 g ldtb háy gldtt )'g v PL: 2 g Cl + g víz 1 g ldt, z ldt 1 gjáb 2 g ldtt

Részletesebben

VÁLASZLAP ..BF.. KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012. Kezdő feladat: KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012.

VÁLASZLAP ..BF.. KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012. Kezdő feladat: KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012. ..BF.. 1. AZ CP OJ VZ 2. DT ID WR ZX 3. AT ER NX RD 4. KF NF TF XJ 5. CV HF LD TL 6. MB SZ XD ZF 7. GB JH NL SB 8. FJ OD OP XP 9. FP PB RP WL 10. IP MH TX WX 11. BX JZ QL YB 12. HX KL MZ ST 13. FV JT VN

Részletesebben

A betonok összetételének tervezése

A betonok összetételének tervezése A betonok összetételének tervezése A beton összetételének tervezése: (1m 3 ) A megoldásakor figyelembe kell venni: - az előírt betonszilárdságot - megfelelő tartósságot (környezeti hatások) - az adalékanyag

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két nagy prímszámot: p1, p2 RS z algoritmus. Véltlnszrűn választunk két "nagy" prímszámot: p, p, p p. m= pp, φ ( m) = ( p -)( p -)., < φ( m), ( φ( m ),) = - 3. d = ( mod φ( m) ) 4. k p s = ( m,), = ( d, p, p ) k. Kódolás: y = x (

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Általános iskola Matematika Évfolyam: 1 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Halmazok összehasonlítása

Részletesebben

Kisbodaki Harangláb Kisbodak Község Önkormányzatának lapja 2012. február hó V. évfolyam 1. szám

Kisbodaki Harangláb Kisbodak Község Önkormányzatának lapja 2012. február hó V. évfolyam 1. szám Kibodaki Haangláb Kibodak Közég Önkományzatának lapja 2012. fbuá hó V. évfolyam 1. zám hatályát vzttt a kataztófák llni védkzé iányítááól, zvztéől é a vzély anyagokkal kapcolato úlyo baltk llni védkzéől

Részletesebben

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343 Házi ladatok mgoldása 0. nov.. HF. Elmzz az ( ) = üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, zérushly, y-tnglymtszt, monotonitás, lokális

Részletesebben

Írásbeli szorzás kétjegyû szorzóval

Írásbeli szorzás kétjegyû szorzóval Írásli szorzás kétjgyû szorzóvl Kiolgozott mintpél Egy krtész 36 plántát ültttt gy sor. Hány plántát ül - t ttt 24 sor? Atok: sor 36 plánt 24 sor x Trv: x = 24 36 vgy x = 36 24 Bslés: x 20 40 = 800 Számolás:

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem

Széchenyi István Egyetem polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

- 1 - A következ kben szeretnénk Önöknek a LEGO tanítási kultúráját bemutatni.

- 1 - A következ kben szeretnénk Önöknek a LEGO tanítási kultúráját bemutatni. Játékok a tanításhoz? - 1 - Tanító játékok? A Lgo kockák gészn biztosan fontos szívügyi gy gész sor gyrk és szül gnráció éltébn. Mi köz van a Lgo kockáknak a tanuláshoz? Vagy lht gyáltalán tanítani /órákat

Részletesebben

Kazincbarcikai ÁPRILIS 6-ÁN PARLAMENTI VÁLASZTÁS HUSZONEGY EGYÉNI JELÖLT INDUL A VÁLASZTÓ- KERÜLETBEN 2014. MÁRCIUS 28.

Kazincbarcikai ÁPRILIS 6-ÁN PARLAMENTI VÁLASZTÁS HUSZONEGY EGYÉNI JELÖLT INDUL A VÁLASZTÓ- KERÜLETBEN 2014. MÁRCIUS 28. Kazincbarcikai 2014. MÁRCIUS 28. Facbook: Barcika Art Kft www.barcikaart.hu/kommunikacio/ ÁPRILIS 6-ÁN PARLAMENTI VÁLASZTÁS HUSZONEGY EGYÉNI JELÖLT INDUL A VÁLASZTÓ- KERÜLETBEN Választás 2014 Fotó: Barcika

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Vas Gabriella 204. február A feladatgy jtemény a TÁMOP-4.2.4.A/2-/-202-000 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

segítségével! Hány madárfajt találtál meg? Gratulálunk!

segítségével! Hány madárfajt találtál meg? Gratulálunk! Odú llnőrzés CSORMÍVES Ha mgfogadtad a téli számban javasolt odúkihlyzést, vagy már volt odú kihlyzv a krtbn, márciustól már érdms figylgtnd trmésztsn csak gy kissé távolabbról hogy van- a környékén mozgolódás,

Részletesebben

Villamosságtan példatár 1.4 verzió A példatár hibáit a. email címeken szíveskedjen mindenki jelenteni!

Villamosságtan példatár 1.4 verzió A példatár hibáit a. email címeken szíveskedjen mindenki jelenteni! Vszrémi Egym Auomaizálás anszék Villamosságan éldaár. vrzió A éldaár hibái a nova@axl.hu ohrola@vn.hu mail címkn szívskdn mindnki lnni! Villanyan éldaár Bvzés: A Villamosságan éldaár a Vszrémi Egymn okao

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

ISO 9000 és ISO 20000, minőségmenedzsment és információtechnológiai szolgáltatások menedzsmentje egy szervezeten belül

ISO 9000 és ISO 20000, minőségmenedzsment és információtechnológiai szolgáltatások menedzsmentje egy szervezeten belül ISO 9000 és ISO 20000, minőségmndzsmnt és információtchnológiai szolgáltatások mndzsmntj gy szrvztn blül dr. Vondrviszt Lajos, Vondrviszt.Lajos@nhh.hu Nmzti Hírközlési Hatóság Előzményk A kormányzati intézményk

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

GÁZELLÁTÓ SZERELVÉNYEK ÉS RENDSZEREK. Spectrolab plus. Spectrolab Plus Laboratóriumi gázelvételi szerelvények

GÁZELLÁTÓ SZERELVÉNYEK ÉS RENDSZEREK. Spectrolab plus. Spectrolab Plus Laboratóriumi gázelvételi szerelvények Spectrolab plus Spectrolab Plus Laboratóriumi gázelvételi szerelvények Spectrolab plus - Áttekintés Alapegység GG típus 5. oldal Alapegység beépített elzáró szeleppel, nyomásszabályozóval és nyomásmérôvel;

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Tartályfedél rögzítő csavarok. HENNLICH Industrietechnik. Lapos körmös kivitel Íves körmös kivitel Tartozékok

Tartályfedél rögzítő csavarok. HENNLICH Industrietechnik. Lapos körmös kivitel Íves körmös kivitel Tartozékok HENNLICH Inustritnik ás s l!...t n á s H-6000 Kskmét-Kflv, Hliport-Rptér.Tl.: +36 76 509 655. Fx: +36 76 470 308. rmturtnik@nnli.u. www.nnli.u Trtályfél rögzítő svrok Lpos körmös kivitl Ívs körmös kivitl

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék Széchnyi István Egytm Alkalmazott Mchanika Tanszék Végslm analízis Elmélti kérdésk gytmi mstrképzésbn (MSc) résztvv járm mérnöki, mchatronikai mérnök és logisztikai mérnök szakos hallgatók számára 0. októbr

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Aktív lengéscsillapítás. Másodfokú lengrendszer tesztelése.

Aktív lengéscsillapítás. Másodfokú lengrendszer tesztelése. Aktív lgécillapítá. Máodfokú lgrdzr tztlé.. A gyakorlat célja Jármvk aktív lgé cillapítááak modllzé máodfokú lgrdzrkét. Szoftvrfjlzté a rdzr való idj tztléér, a tztrdméyk kiértéklé.. Elmélti bvzt. A máodfokú

Részletesebben

Helyszükséglet összehasonlítás

Helyszükséglet összehasonlítás Hlyszükséglt összhsonlítás Hgyományos riálvntilátor A VAR rnszr összhsonlítás Hlios RADAX VAR Systm A VAR rnszr z lsony nyomás növkésű xiálvntilátorok és riál vntilátorok közötti szükségltkt légíti ki.

Részletesebben

108. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2009. jú li us 30., csütörtök TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 1125 Ft. Oldal

108. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2009. jú li us 30., csütörtök TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 1125 Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapst, 2009. jú l us 30., csütörtök 108. szám Ára: 1125 Ft TARTALOMJEGYZÉK 158/2009. (VII. 30.) Korm. rn d lt A mzõgazdaság trmékk és az éllmszrk, valamnt a szszs

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben