Feladatok megoldással

Átírás

1 Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A [ B) \ A \ B [ A \ B Kövtkzik még: A \ B B r (B r A). Mi lsz (A) ; ha (a) A fag ahol ; 6 A 6 ;; Mgoldás. (A [ B) \ A [ B \ A [ B (A [ B) \ A \ B [ (B \ A) (A [ B) \ (A [ B) [ (B \ A) B \ A A még m is félgy½ur½u, mrt ; A:: A f;; Ag gy½ur½u, mrt ; [ ; ; A A [ A ; [ A A A ; r A A r A ; r ; ; A A r ; A A d m algbra, mrt A, és A c A : A f;; A; A c ; g már algbra, és végs volta miatt -algbra, thát (A) A. (b) A fa j A végs halmazg ; ahol [; ]. Mgoldás. A gy½ur½u, mrt ha A; B [; ] végs halmazok, akkor A [ B is végs, A r B is végs (; A mrt végs, t.i. lm va), d m algbra, mrt m végs. -val b½ovítv, hogy algbrát kajuk, szükségs a végs halmazok komlmtrivl is b½ovíti, lgy zért A fa j A vagy A c végs halmazg A (komlmtr -lm½u), és A; B A sté (v. végs, c.v. komlmtr végs) A B A [ B v. v. v. v. c.v. c.v. c.v. v. c.v. c.v. c.v. c.v. A r B v. v. c.v. v.

2 thát A az A által grált algbra, d m -algbra, mrt l. fg ; ; ; A A ; d [ m végs, és komlmtr sm az. Lgy A fa j A vagy A c mgszámlálható halmazg : Hasolóa ll½orízht½o, hogy A zárt az [ és r m½uvltkr, thát algbra, és ha az A A ; ; ; sorozat mid tagja mgszámlálható, akkor [ A is az, ha va köztük, l. A amlyk komlmtr mgszámlálható, akkor [ A \ A szité mgszámlálható halmaz. Thát A -algbra, vagyis A (A).. Egy érm dobása, és gy kocka gurítása sté, amikor csak azt tudjuk mg gyli, hogy az utóbbi rdméy hatos vagy m hatos, adjuk mg a (az összs részhalmazok) szorzat halmaz-algbrát, és ll½orízzük, hogy félgy½ur½u, d m gy½ur½u! Mgoldás. ffj;{rasg ; f6; _g f;; ffjg ; f{rasg ; g f;; f6g ; f_g ; g f(fj; 6) ; (fj; _) ; ({ras; 6) ; ({ras; _)g H f; ; ; f6g ; f_g ; ffjg ; f{rasg ; ; ;; ffjg f6g f(fj; 6)g ; ffjg f_g f(fj; _)g ; ffjg f(fj; 6) ; (fj; _)g ; f{rasg f6g f({ras; 6)g ; f{rasg f_g f({ras; _)g ; f{rasg f({ras; 6) ; ({ras; _)g ; f6g f(fj; 6) ; ({ras; 6)g ; f_g f(fj; _) ; ({ras; _)g Ell½orízzük: f(fj; 6) ; (fj; _) ; ({ras; 6) ; ({ras; _)g g ; r ; H f(fj; 6)g r f(fj; _)g f(fj; 6)g H f(fj; 6) ; (fj; _) ; ({ras; 6) ; ({ras; _)g r f(fj; 6)g f(fj; 6) ; g [ f({ras; 6) ; ({ras; _)g d éldául f(fj; 6) ; g ; f({ras; 6) ; ({ras; _)g H ; \ ; H f(fj; 6)g \ f({ras; _)g ; H f(fj; 6) ; g [ f({ras; 6) ; ({ras; _)g f(fj; 6) ; ({ras; 6) ; ({ras; _)g H thát H m gy½ur½u, és algbra sm, bár H....

3 . Halmazfüggvéyk. Lgy F : R! R mooto m csökk½o, balról midütt folytoos függvéy. Igazoljuk, hogy a : f] ; c[j Rg! R (] ; c[) 7! F (c) halmazfüggvéy gyértlm½u gyértlm½u mghatároz gy -végs, folytoos és additív halmazfüggvéyt a (a) F f[a; b[j a b; b Rg félgy½ur½u; (b) I f[a; b[; [a; b]; ]a; b[; ]; ]a; b] j a b Rg félgy½ur½u; thát a B (F) (I) -algbrá is! Mgoldás. Jlölj a kitrjsztést is, és (a) lgy ([a; b[) (] ; b[) (] ; a[) [a; b[ F ami additív, mrt a b a b sté (csak így lht diszjukt úió gysítés is F-bli) és így [a ; b [ [a ; b [[[a ; b [ ([a ; b [) (] ; b [) (] ; a [) ( (] ; b [) (] ; a [)) + ( (] ; b [) (] ; a [)) ([a ; b [) + ([a ; b [) amib½ol az gyértlm½uség is kövtkzik. A folytoossághoz lgyk [a ; b [ [a ; b [ [ [a ; b [ [A; b[ ami csak úgy lht, ha a a a A és b b b R mooto sorozatok, mlyk határérték a lim a ; b lim a R!! ami csak úgy tljsülht, ha gy < sté a A, zért a A és lim ([a ; b [) lim ( (] ; b [) (] ; a [))!! lim F (b ) F (A) (] ; b[) (] ; A[) ([A; b[) :! (b) Az l½oz½ok miatt, a már F- értlmztt halmazfüggvéyt lég értlmzi az [a; a] fag lfajult itrvallumo: (fag) ([a; a]) F (a + ) ahol jlölj F (a + ) lim F (x) x!a+ az F "mgváltozását" (szakadását) az a otba, ami midíg mgadható, mrt a mootoitás miatt létzik a jobboldali határérték. Így értlmzhtjük az additívitás kövtlméyét mgtartva, ha a < b R: ([a; b]) F (b + ) F (a) F (a) (]a; b]) F (b + ) F (a + ) (]a; b[) F (b) F (a + )

4 amivl értlmztt a korlátos itrvallumok I halmazá, additív és folytoos. Az l½obbi yilvávaló kövtkzméy a kitrjsztés módjáak, a folytoossághoz lgyk az I ha ; b i I itrvallumok ha ; b i ha ; b i [ ha ; b i ha; bi ami csak úgy lht, ha a a a a és b b b R mooto sorozatok, mlyk határérték a lim a ; b lim a R!! Ekkor a kövtkz½o stk lhtségsk: ha; bi [a; b[ ha; bi [a; b] ami az l½oz½o st; akkor gy < küszöbidxt½ol a a és b b, zért lim (ha ; b i) ([a; b]) ;! ha; bi ]a; b] akkor a < a és gy < küszöbidxt½ol b b, zért lim (I ) F (b + ) lim A!! ahol Mivl a < a < a + A és F mooto, F (a ) ha a I F (a + ) ha a I : zért lim! (A ) F (a + ), thát F (a + ) F (a + ) F (a ) lim (I ) F (b + ) F (a + ) (]a; b]) ;! ha; bi ]a; b[ akkor a < a és b < b, zért ahol lim (I ) lim B lim A!!! B F (b ) ha b I F (b + ) ha b I : Már láttuk, hogy lim! (A ) F (a + ), továbbá b < b+b < b, és F balról folytoos mooto, b + b F (b ) F (b + ) F zért lim! (B ) F (b); thát lim (I ) F (b) F (a + ) (]a; b[) ;! Vgyük észr, hogy kaott kitrjsztés midkét stb -végs, ugyais R [ [ ; [ és a F [ f] ; c[j c Rg illtv I [ f] ; c[j c Rg félgy½ur½ukö is -additív és -végs lmi mérték.

5 . Lgy [; ]; A fa j A vagy A c mgszámlálhatóg ; mily tulajdoságúak a kövtkz½o halmazfüggvéyk: (A) ha A végs + gyébkét (A) ha A mgszámlálható + gyébkét Mgoldás. A -algbra, ; mgatív és ha A; B A thát ; additív, d m -additív, mrt l. d A B i (A) + i (B) i (A [ B) v v + v v (fg) [ fg N 6 (N) + : azoba -additív, mrt ha A A A, és midgyik mgszámlálható, akkor [ A A is az, thát lim! (A ) lim! ([ A ) ; ha va köztük m mgszámlálható, akkor [ A A sm mgszámlálható, thát + lim! (A ) ([ A ) ; thát folytoos, vagyis -additív, d m -végs, mrt ha [; ] [ A tljsül a mgszámlálható A halmazokkal, akkor [; ] is mgszámlálható halmaz l, ami m igaz.. Lgy R + ; f(x) x x ; és lgy a i halmazfüggvéy olya, hogy ([; x[) H(x) Z x [x] i t dt + H(x) ([; x[) fi<xg x Z x t dt + H(x) x ; Vizsgáljuk mg kitrjsztésik tulajdoságát, adjuk mg loszlásfüggvéyikt! Mgoldás. Mivl G(x) Z x t dt x x

6 és H folytoos illtv balról folytoos mooto m-csökk½o függvéyk zért összgük is az, vagyis kitrjsztht½o a G + H lsozlásfüggvéyhz tartozó L-S mértékké. m végs, mrt ([; +[) lim (G(x) + H(x)) +; x!+ d -végs, mrt l. ([; + [) (+) + H( + ) + H() + + fi<+g fi<g i i + < fi<+g i és R + [ [; + [. m abszolút folytoos a L mértékr, mrt m (fg), d Mivl k N sté (fg) lim (G(x) + H(x)) (G() + H()) > : x!+ Q(x) H(x) k+ k+ k < x k + és Q(), Q gy balról folytoos, övkv½o függvéy, zért a G + Q által mghatározott L-S mérték. végs, mrt ([; +[) lim (G(x) + Q(x)) : x!+ m abszolút folytoos a L mértékr, mrt l. m (fg), d (fg) + >. Dobjuk gy érmét és válasszuk gy véltl számot a [; ] itrvallumba! (a) A kísérlt rdméy lgy a választott szám, ha az érm dobás rdméy fj, és ggyl több, ha írás. Vizsgáljuk a P (] ; x[) haak valószí½uség, hogy az rdméy kvsbb x-éli halmazfüggvéy által mghatározott mértékt! (b) Egy kockadobás rdméyét½ol függ½o, ha a dobás hatos a kísérlt rdméy lgy vagy az érm dobás fj ill. írás kimtlék mgfll½o mgfll½o. Ha dig a kocka dobás m 6-os, a kísérlt rdméy lgy a választott szám. Vizsgáljuk a P (] ; x[) haak valószí½uség, hogy az rdméy kvsbb x-éli halmazfüggvéy által mghatározott mértékt! Mgoldás. 6

7 (a) Adjuk mg az loszlásfüggvéyt, ami yilvá F (x) P (] ; x[) x R F (x) ha x és F (x) ha x > : Ha < x, az rdméy csak úgy lht x-él kvsbb, ha fjt dobtuk az érmévl, és x-él kisbb a választott szám, amik valóaszí½uség (a kísérltk függtlségét fltétlzv): F (x) x : Ha < x, az rdméy csak úgy lht x-él kvsbb, ha fjt dobuk vagy írástt dobtuk az érmévl, és a választott szám kisbb (x )-él, thát: Összfoglalva F (x) + (x ) x : < F (x) : ha x x ha < x ha x > y x thát F gy mooto m-csökk½o, midütt folytoos fügvéy, ami gy valószí½uségi mértékt határoz mg B-. Vgyük észr, hogy az így mghatározott valószí½uségi mérték az f(x) ha < x < gyébkét F (x) x 6 ; s½ur½uségfüggvéyl adott, ugyais F (x) Z x Z f(t) dt ) P (I) f(t)dt I I : I (b) Adjuk mg az loszlásfüggvéyt, ami yilvá F (x) P (] ; x[) x R F (x) ha x és F (x) ha x > : Ha < x, az rdméy csak úgy lht x-él kvsbb, ha 6-ost dobuk és fjt dobtuk az érmévl, vagy m hatost és a választott szám x-él kisbb, amik valóaszí½uség (a kísérltk függtlségét fltétlzv): F (x) x 6 x + : 7

8 Összfoglalva < F (x) : ha x x + ha < x 6 ha x > y x thát F gy mooto m-csökk½o, balról midütt folytoos fügvéy, ami gy valószí½uségi mértékt határoz mg B-. Vgyük észr, hogy az f(x) F (x) 6 ha < x < gyébkét drivált két ot kivétlévl létzik, és folytoos, d itgrálfüggvéy Z x < ha x f(t)dt : x ha < x 6 ha x > 6 m az F függvéy!. Válasszuk két véltl számot (gymástól függtlül) a [; ] itrvallumba, és vizsgáljuk a P (] ; x[] ; y[) <aak valószí½uség, hogy az ls½ok választott kisbb x-él, és miimumuk kisbb y-ál> halmazfüggvéy által mghatározott mértékt! Mgoldás. Adjuk mg az függvéyt, ami yilvá F (x; y) P (] ; x[] ; y[) x; y R F (x; y) ha x vagy ha y és F (x; y) ha x; y > : Ha < x és x y, akkor az ls½o kissb volta x-él maga utá voja, hogy a miimum kisbb lsz y-ál, zért F (x; y) x: Ha < y < x, akkor vagy az ls½o szám kisbb y-ál és akkor a második ttsz½olgs, vagy az ls½o y és x közé sik és a második kisbb y-ál, zért F (x; y) y + (x y)y y + xy y : Ha < y < x, akkor lgalább gyik szám kisbb y-ál, zért F (x; y) y + y y y y

9 Összfoglalva >< F (x; y) >: ha x vagy ha y x ha < x és x y y + xy y ha < y < x y y ha < y < x ha x; y >.. z.6... y x thhát F változóiba folytoos függvéy, [F ] I mgváltozása gy I R itrvallumo mgatív (mivl é aak valószí½uség, hogy az ls½o szám és a miimum mit számár I-b sik), vagyis loszlásfüggvéy, ami gy valószí½uségi mértékt határoz mg B -. Vgyük észr, hogy f(x; ha < y < x < F (x; gyébkét drivált éháy x-y síkbli félgys otjai kivétlévl létzik és folytoos, d itgrálfüggvéy m az F függvéy, mrt l. Z Z Z Z x f(t)dt dy dx 6 : 6. Krssük m mérht½o halmazt a számgys! Mgoldás. Lgy H [ ; ]; Q a racioális számok halmaza, és vzssük b H- az x y ha x y Q kvivalcia rlációt. Az gymással () kvivals számok halmazai a H halmaz gy artícióját adják, mlyk között vaak l. a kövtkz½o kvivalcia-osztályok: H \ Q; H \ Q+ ; H \ Q ; Válasszuk midgyikb½ol gy lmt (kiválasztási axióma!), zk halmaza lgy A. Ekkor A bármly két lmék külöbség irracioális, mivl külöböz½o kvivalcia osztályokból származak. Tgyük fl, hogy A mérht½o, és mérték. Lgy [ ; ] \ Q fr j ; ; g, és így az A A + r ; ; 9

10 halmazok szité mérték½uk (a Lbsgu mérték "ltolás ivariás"!), valamit árokét közös ot élkülik. Mivl H [ A ; a közös mérték m lht, thát >. Másrészt [ A [ ; ] tljsül, thát a [ ; ] itrvallum mérték l, ami lltmodás, thát az A halmaz m lht Lbsgumérht½o, így Borl halmaz sm.. Mérht½o függvéyk, itgrál. Adjuk mg az A f -algbrát és a f mértékt, ha (a) f(x) (x ) x f; ; g A a "számláló" mérték; (b) f(x) [x] x [; [ A B [;[ m (c) f(x) x x [; [ A B [;] m Mgoldás. (a) Mivl im(f) f; g, és ff g fg ff g f; g ; A f f;; fg ; f; g ; f; ; gg ha B és B >< ha B és B f (B) ha B és B >: ha B és B B B Vgyük észr: f abszolút folytoos a trmészts számokat számláló mértékr, és d f ha k d (k) ha k (b) Mivl im(f) f; ; g, és ff g [; [ ff g [; [ ff g [; [; A f f;; [; [; [; [; [; [; [; [; [; [; [; [[[; [; [; [g ha B és B és B ha B és B és B ha B és B és B >< ha B és B és B f (B) B B ha B és B és B ha B és B és B ha B és B és B >: ha B és B és B Vgyük észr: f m abszolút folytoos az m Lbsgu mértékr, mrt l. m (fg) d f (fg) 6

11 (c) Mivl >< f ([a; b[) fa f < bg >: ; ha b vagy a [; b[ ha a b < [; [ ha a és b [ a; b[ ha < a b < [ a; [ ha < a < és b a b a kaott itrvallumok tartalmazzák [; [ összs balról zárt és jobbról yílt itrvallumát, zért A f B [;[ : f loszlásfüggvéy: < ha x F (x) m (f < x) x ha < x : ha < x Vgyük észr: f abszolút folytoos a Lbsgu mértékr, mrt F folytoos, és driváltja F (x) x ha < x < ha x < vagy < x szakaszokét (yílt itrvallumokét) folytoos, thát d f dm (x) x < x < :. Lgy f(x) ( ) számítsuk ki a számgys az f függvéy + ha x < + N gyébkét ; (a) (Rima-) imrorius itgrálját, (b) Lbsgu mérték szriti itgrálját, ha létzik! Mgoldás. f gra koja: y... x. (a) Mivl f(x) ha x <, F (b) Z b f(x)dx Z b f(x)dx ( ) k k k + ( ) k b + ha b < +

12 mlyk határérték, mivl ( ) k b +!, a + lim F (b) ( ) k b! k k Libitz tíusú végtl sor összg, ami létzik és végs érték ( l ), thát az imrorius itgrál érték: Z f(x)dx l : (b) Mivl f + (x) f (x) ha x < + f; ; ; g + gyébkét ha x < + f; ; ; g + gyébkét és f N (x) az gész számgys, ha N!, zért Z f + (x)dm lim N! + ha x < + f; ; ; ; Ng gyébkét Z ami gy divrgs sor, és hasolóa f N (x)dm lim N! Z N k f (x)dm +! k + k % f + (x) k + + d akkor az itgrál m létzik (még végtl értékkl sm). Vgyük észr, hogy a Lbsgu itgrál "m-végs" volta már abból is kövtkzik, hogy az Z jf(x)j dx k k + imrorius itgrál m végs.. Vizsgáljuk az (f ) függvéysorozat kovrgcia tulajdoságait, ha (a) [; ] A B m (a Lbsgu mérték), és f (x) ha x ha < x ; ; Mgoldás. (m.m) lim! f, d akkor (m.) lim! f is mivl végs, és zért () lim! f. L -b kf k Z dx!! thát m kovrgs a sorozat -dik hatváy szriti itgrál-közéb.

13 (b) [; +[ A B m (a Lbsgu mérték), és f (x) ha x + gyébkét ; ; Mgoldás. Egész - lim! f (és akkor m.m. is), valamit L -b is mivl kf k Z + dx!! d így () lim! f. Akovrgcia azoba m lht majdm gylts, mrt ha l S olya A A hogy (A) <, és A c - a kovrgcia gylts, akkor lég agy sté A c \ k [k; k + ] ;, d akkor A S k k [k; k + ] ami m lht, ugyais k > (A) k +. k (c) [; +] A B m (a Lbsgu mérték), ha l x l g k;l (x) k k l ; ; ; k k ; ; gyébkét és f g ; ; f g ; ; f g ; ; f g ; ; Mgoldás. (m ) lim! f mivl f g k;l sté kf k k! és igy () lim! f is. A függvéysorozat azoba gytl otba sm kovrgs, mrt mid x [; ] ot sté végtl sok olya k l ár va, amivl l x l, és zért a k k mgfll½o f függvéy ott értékt vsz fl, d ugyaz igaz olya árokra, amikor x [ l ; l ]; k k zért a mgfll½o f függvéy ott érték½u, thát az (f (x)) sorozat m lht kovrgs.. Lgy R + A B R + m f (x) x ha x ha < x ; ; Vizsgáljuk az (f ) Mgoldás. függvéysorozat kovrgcia tulajdoságait! (a) Potokéti határérték: ha x lim f (x)! ha < x ugyais > " > sté krssük -t, amivl < sté, ha < x jf (x) j x x < " " < x l( ") < l x > l x l( ") ;

14 ha x ha < x amib½ol jf () j < " ; ; jf (x) j < " ; ; l x l( ") : Thát f! f midütt (m.m. is!), ahol a határfüggvéy: ha x f(x) ha < x. A kovrgcia m gylts, mrt az küszöbidx függ az x R + ot választásától, d majdm gylts (m..) mrt ha > > ttsz½olgs, akkor a [; [ itrvallum kivétlévl, már gylts, ugyais < sté, ha x >, akkor tljsül: l l( ") l x l( ") l l( ") < ) jf (x) f)x)j < " (b) Mivl R jf (x)j dx +, m bszélhtük L -bli kovrgciáról! (c) A m.. kovrgciából kövtkzik a mértékb való kovrgcia, amit ll½orízzük: Ha " fjf fj > "g ; ha < " < thát vagyis (jf fj > ") fjf fj > "g ]; ( ") [ ha " ( ") ha < " < ( ")! lim (jf fj > ").!. Lgy [; ] A B [;] m, f (x) x x ; ; Vizsgáljuk az (f ) Mgoldás. függvéysorozat kovrgcia tulajdoságait! (a) Potokéti határérték: ha x lim f (x)! ha < x ugyais > " > sté krssük -t, amivl < sté, ha < x jf (x) j x x < " " < x l( ") < l x > l x l( ") ;

15 ha x amib½ol jf () j < " ; ; l x l( ") : Thát f! f midütt (m.m. is!), ahol a határfüggvéy: ha x f(x) ha < x. A kovrgcia m gylts, mrt az küszöbidx függ az x R + ot választásától, d majdm gylts (m..) mrt a mérték most végs, amit az l½oz½o fladathoz hasolóa ll½orízhtük is: Ha > > ttsz½olgs, akkor a [; [ itrvallum kivétlévl, már gylts, ugyais < sté, ha x >, akkor tljsül: l l( ") (b) Mivl Z Z l x l( ") l l( ") < ) jf (x) f)x)j < " jf (x)j dx jf(x)j dx Z Z x x + dx + + < +; dx vizsgálhatjuk az L -bli kovrgciát éldául sté. kf fk Z Z thát (m ) lim! f f. jf (x) f(x)j dx x x + dx " Z x + x ) dx + x x # + + +! (c) A m.. kovrgciából (d a égyztitgrálba való kovrgciából is) kövtkzik a mértékb való kovrgcia, amit ll½orízzük: Ha " fjf fj > "g ; ha < " < thát vagyis Vgyük észr: (f (jf fj > ") fjf fj > "g ]; ( ") [ ha " ( ") ha < " < ( ")! lim (jf fj > ").! f)! -mértékb is tljsül, mrt fjf fj > "g ; " fjf fj > "g ]; " [ < " <

16 továbbá K > sté thát vagyis a ((f f) ) kövtkzik L -b (f Z jf fj >K jf fj d lim su jf fj K! Zjf d fj >K függvéysorozat gyl½o mértékb itgrálható, amib½ol végsség miatt f)!, és így thát (m ) lim! f f. Z lim! jf fj d. Fltétls várható érték. Lgy a (; Y ) v.v.v. diszkrét loszlása: Y : : : : : : Adjuk mg az E(Y j ) fltétls várható értékt! Myi a maradék szóráségyzt? Mgoldás. Adjuk mg Y -ak -r voatkozó (P (Y y j x)) y fltétls loszlását Y : :+:+: : :+:+: : :+:+: : :+:+: : :+:+: : :+:+: amib½ol kajuk: : E(Y j x) + : + : : x : : : : + : + : : 9 x :7 :7 :7 A maradék szóráségyzthz számoljuk ki: E(Y ) : + : + : 6: E E (Y j ) : : + : 9 :7 : 9 amib½ol R E(Y ) E E (Y j ) 6: : 9 : Lgy a (; Y ) v.v.v. s½ur½uségfüggvéy: f(x; y) x y x ha < x < és < y <. Adjuk mg az E(Y j ) fltétls várható értékt, és a közlítés maradék szóráségyztét. Mgoldás. Adjuk mg s½ur½uségfüggvéyét f (x) Z x y x dy ha < x < () U(; )), 6

17 amivl a fltétls s½uségfüggvéy Thát vagyis f Y j (yjx) E(Y j x) f(x; y) f (x) x yx ha < x < és < y <. Z A maradék szóráségyzthz számoljuk ki : y x y x dy x + x ha < x < E(Y j ) +. amivl kajuk: E(Y ) E E (Y j ) Z Z Z R + l l y x y x dxdy + l l x dx + x l l 7: 6.. Tudjuk, hogy a fér ak magassága N (; ), a ½ok magassága dig N (7; ) loszlású véltl myiség. Ha gy 6 fér ból és ½ob½ol álló társaságból találomra választott szmély 7cm magas, myi aak valószí½uség, hogy ½ot, illtv fér t választottuk? Mgoldás. Jlölj a választott szmély magasságát, továbbá F N a választott szmély fér a válsztott szmély ½o akkor flthtjük és a magasság fltétls s½ur½uségfüggvéyi (x ) f F (x) x amivl P (F j 7) : 66 P (F ) :6 P (N) :, (x 7) f N (x) x x R, :6 x (7 ) :6 x (7 ) + : x (7 7) P (N j 7) : 66 : 9. Lgy az v.v. fltétls loszlása Y sté biomiális, azaz P ( k) k ( ) k k ; ; ; ; ; ; k és az Y v.v. Poisso loszlású, azaz P (Y )! ; ; ; 7

18 (a) Adjuk mg várható értékét, szórását! Mgoldás. Mivl E( j Y ), így E() E (E( j Y )) E(Y ) továbbá (flhaszálva: D () E( ) E ()! E( ) D () + E ()) E( j Y ) ( ) +, így E( ) E Y ( ) + Y ( ) + ( + ) zért D () ( ) + ( + ) (). (b) Adjuk mg loszlását! Mgoldás. (; Y ) gyütts loszlása P ( k; Y ) k ( k ) k! k ; ; ; ; ; ; amib½ol P ( k) k ()k ( k! k ( ) k k! ()k k! ) ()k k! k ; ; ; k [( ) ] k ( k)!. Válasszuk gy véltl számot a [; ] itrvallumba, majd gy újabbat a és a választott szám küzött! Adjuk mg z utóbbi választás rdméyék várható értékét és szórását, valamit loszlását! Mgoldás. Jlölj ; Y az ls½o illtv a második válsztás rdméyét, akkor gylts loszlású a [; ] itrvallumba, azaz s½ur½uségfüggvéy f (x) x és Y fltétls loszlása x sté gylts a [; x] itrvallumba, azaz f Y j (yjx) x y x < x : (a) Mivl E(Y j x) x < x E(Y ) E és E(Y j x) x + x x, így E(Y ) E +! 9 thát D (Y ) 9 7

19 (b) (; Y ) gyütts s½ur½uségfüggvéy thát Y s½ur½uségfüggvéy és loszlásfüggvéy < F Y (y) : f(x; x) f Y j (yjx) f (x) x y x < x f Y (y) Z y dx l y < y x R y l t dt [t l t t] ty t! ha y y y l y ha < y ha < y 6. Lgy az N v.v. diszkrét gomtriai loszlású, azaz P (N ) ( ) ; ; ahol < <, és az v.v. fltétls loszlásfüggvéy N sté < ha x F jn (xj) P ( < x j N ) x ha < x : ha < x : (a) Adjuk mg loszlását! (b) Adjuk mg a P (N j x) fltétls valószí½uségt! (c) x sté mlyik N sméy a lgvalószí½ubb? Mgoldás. (a) loszlásfüggvéy (a tljs valószí½uség tétl szrit) F (x) P ( < x) x ( ) x [x( )] s½ur½uségfüggvéy f (x) ( x( )) + x( ) ( x( )) x x( ) ( x( )) < x < < x < (b) A fltétls s½ur½uségfüggvéyk f (x) x < x <, így P (N j x) x ( ) (c) Mivl x ( ) ( x( )) < x < ; ; ( x( )) P (N + j x) P (N j x) ( + )x( ) x x ( x + x) x x x + x Thát P (N j x) övkv½o sorozat, ha x x lgagyobb tagja a sorozatak, 9 x+x és csökk½o ha x x x+x <, zért a

20 ha x x x+x gész, akkor x x x+x j x) érték; h ha x x m gész, akkor x+x érték; és + x x x+x + x+x x x x+x i + h x+x stém maximális P (N i stém maximális P (N j x) 7. Lgy ; függtl azoos biomiális loszlású v.v. aramétrkkl. Adjuk mg az E( + j ) fltétls várható értékt! Mgoldás. Mivl E( + j ) E( j ) + E( j ) lég mgadi a függvéyt, mrt H(y) E( j y) y ; ; ; ; E( j y) H( y) y ; ; ; ; : Adjuk mg és gyütts loszlását, flhaszálva P ( k) P ( k) k k ; ; : thát vagyis E( + j ) : P ( ) P ( ) 6 E( j ) >< E( + j y) >: ha y + ha y + ha y + ha y + ha y Vgyük észr: most E( + j ) E( + ), bár + és m függtlk, ugyais P ( + ) P ( ; ) 6 P ( ) P ( ; ) 6 P ( + ; ) Lgy N (; ) Y. Hasolítsuk össz az Y a + b liáris rgrssziós közlítést az Y E(Y j) közlítéssl! Mgoldás. Mivl cov(y; ) E( ) Z x dx a lgjobb liáris közlítés Y E(Y ) E( ), amik hibája R D (Y ). Mivl Y az függvéy, E(Y j), amivl a közlítés hibája R. Vgyük észr: Y és korrlálatlaok, d m függtlk (s½ot fukcioális kacsolat va köztük), ugyais függtlségük sté E(Y j) E(Y ) kll, hogy tljsüljö.

21 9. Egy taxi gékocsi gy forgalmas hly gyszrr,, vagy utast vsz fl rdr.7,.,. és. valószí½uséggl. Az utasokak átlagosa a fl fér, akikk a tstsúlya N (; ) loszlású, ami a ½ok sté N (6; ). (a) Myi az gyszrr szállított utasok összsúlyáak várható érték és szórása? (b) Amikor az utasok összsúlya kg; átlagosa háy utas va a gékocsiba? Mgoldás. Jlölj uatsok száma P ( ) :7 P ( ) : P ( ) P ( ) : és Y az utasok össztömg, amik fltétls sürüségfüggvéy ; ; ; sté rdr: f (x) : (x ) 6 + : (x 6) 6 f (x) : (x 6) + : (x ) + : (x ) f (x) : 9 (x ) 9 + :7 9 (x ) 9 + :7 9 (x ) 9 + : 9 (x ) 9 f (x) :6 6 (x ) 6 + : 6 (x ) 6 + :7 6 (x ) 6 + : 6 (x 6) 6 + :6 6 (x ) 6 Thát E(Y j ) : + : 6 7 E(Y j ) : 6 + : + : E(Y j ) : + :7 + :7 + : E(Y j ) :6 + : + :7 + : 6 + :66 : vagyis E(Y ) :7 7 + : + : + : : : Hasolóa E(Y j ) : (6 + ) + : (6 + 6 ) 6 E(Y j ) : ( + 6 ) + : ( + ) + : ( + ) 99 E(Y j ) : (9 + ) + :7 (9 + ) + :7 (9 + ) + : (9 + ) 9 E(Y j ) :6 (6 + ) + : (6 + ) + :7 (6 + ) + : (6 + 6 ) + :66 (6 + ) 667 thát E(Y ) :7 6 + : 99 + : 9 + : és így D(Y ) 9 : 7: Továbbá f () : 9 9 f () : 7 f () : 6 7 f () : P ( j Y ) :7: 9 9 :7: 9 9 +:: 7 +:: 6 7 +:: : 6 :: 7 P ( j Y ) :99 :7: 9 9 +:: 7 +:: 6 7 +:: P ( j Y ) :: 6 7 :7: 9 9 +:: 7 +:: 6 7 +:: : 9 :: P ( j Y ) : 9 :7: 9 9 +:: 7 +:: 6 7 +:: zért E( j Y ) : 6 + :99 + : 9 + : 9 :

22 . Vktor valószí½uségi változók. Lgyk ; Y Poisso loszlású v.v.-k illtv aramétrrl és Adjuk mg Z Y + Z + Y (a) Z (Z ; Z ) várható érték vktorát és kovariacia mátrixát! (b) a Z az + b rgrssziós közlítés gyütthatóit, a maradék szórást és korrlációs gyütthatót! (c) az E(Z j Z )fltétls várható értékt! Mgoldás. (a) Mivl Z Y E(Z) cov(z; Z) + ; és E Y cov Y ; Y + T 6 (b) a R b! 6 A r 6 6 (c) E(Z j Z ) E( Y + j + Y ) E(( + Y ) Y + j + Y ) + Y E(Y j + Y ) + Mivl + Y szité Poisso loszlású + aramétrrl, E(Y k j + Y ) és zért k k! k (m k)! (+)! (+) E(Y j + Y ) továbbá (lásd:. hét szorgalmi fladata) k + + k k k N + N E(Y j + Y ) ( + ) N thát E(Z j Z ) ( + ) + : Vgyük észr, hogy a lgjobb közlítés most a liáris rgrssziós függvéy!

23 . A ( ; ) v.v.v. kovariacia mátrixa és várható érték: 7 cov(; ) E() (a) Adjuk mg az ls½o (a agyobbik sajátértékhz tartozó) f½okomossl és f½ofaktorral való közlítést, és a közlítés hibáját, és a közlítés gysék gyltét! (b) Ha ( ; ) gy mg gylt érték (; ), adjuk mg a f½okomosk és f½ofaktorok mgfll½o értékit! (c) Lgyk Y + Y + ajuk mg az Y (Y ; Y ) v.v.v. kovariacia mátrixát és várható érték vktorát! Mgoldás. (a) cov(; ) sajátértéki és ormált sajátvktorai: v (b) thát + v 6 + és az ls½o f½okomos illtv f½ofaktor gysék gylt x + y + R mivl : 9 : 6 h h i i (c) cov(y; Y ) E(Y ) 7 + T Krssük a ( ; ) ; (; ) ; (; ) ; (; ) R otokhoz olya y ax + b gylt½u gyst, mllyl

24 (a) az SS Y P i d i égyztösszg miimális, ahol d i (y i ax i b) a otok y-tgly iráyú távolsága a krstt gyst½ol! (b) az SS P i d i égyztösszg miimális, ahol d i (x i y a i + b ) a otok x-tgly iráyú a távolsága a krstt gyst½ol! (c) az SS? P i d i égyztösszg miimális, ahol d i a otok mr½olgs távolsága a krstt gyst½ol! Mgoldás. Lgy az (; Y ) v.v.v. loszlása P ( x; Y y) (x; y) Z f( ; ) ; (; ) ; (; ) ; (; )g ; és így Y Y Y P 6 E cov Y ; Y : (a) Ekkor az Y a + b rgrssziós közlítés maradék szóráségyzt R (x;y)z (y ax b) SS Y ; thát krssük a rgrssziós fladat mgoldását! A krstt gys thát y x + SS Y R! (b) Az x-tgly iráyú ltérésk égyztösszg az a Y + b rgrssziós fladat mgoldása sté miimális. Thát x y vagy y x + SS (c) A krstt gys az ls½o f½okomos gys lsz. A kovariaca mátrix saját értéki és (m ormált) sajátvktorai: v v : Thát a krstt gys x + y vagy y x + SS? R

25 Abrázoljuk a otokat és a mgoldás-gyskt: y x 6. Többdimziós ormális loszlás. Lgy az (; Y ) v.v.v. s½ur½uségfüggvéy: f(x; y) c x x xy y + x + y (x; y) R. Adjuk mg c értékét, (; Y ) kovariacia mátrixát és várható érték vktorát, továbbá az E(Y j) fltétls várható értékt! Mgoldás. Mivl a ormális loszlás s½ur½uségfüggvéy az xosb gy kvadratikus formát tartalmaz, vizsgáljuk mg a ormális loszlás lht½oségét, amikor is a s½ur½uségfüggvéy az alábbi alakba írható: ( T ) f(x; y) r x x m x V m y m y m Thát a másodfokú tagokból kll hogy tljsüljö, amib½ol V x + xy + y x y V x y ) cov Y ; Y V ami valóba gy ozitív d it (szimmtrikus) mátrix. Az ls½ofokú tagokra tljsül zért az ( x y) m m T V x y m + m m + m (m + m ) x + (m + m ) y,

26 gylt mgoldásával kajuk: m ; m Y E. A (hiáyzó) kostas tag az xosb így T 9 és a s½ur½uségfüggvéy f (x; y) c x ( x y T x y ) x (9), thát tljsüli kll az c x (9) gyltk, ahol q q q x (9) Thát összfoglalva, Y 9, q q N r c c r amib½ol ;. 9. A s½ur½uségfüggvéy gra koja:.. z xy 6 Az E(Y j x) fltétls várható érték függvéy a liáris rgrssziós közlítés: a : b + : : R thát E(Y j) 6 : + : :

27 . Lgy ( ; ; ) ; A ; fltétls loszlását az z fltétl mlltt! Mgoldás. A fltétls loszlást gy olya, ormális loszlás s½ur½uségfüggvéy határozza mg, mlyk kovariacia mátrixa V R és várható érték (z) E z (z ) + z z + Vgyük észr: és között lltéts kacsolat (gatív korrláció) va, mivl r : < d az z fltétl mlltt (lgy z érték bármi!) már ozitív (V R -b½ol számolható!) korrláció va! q q > 7