SOROK, FÜGGVÉNYSOROK SIMON ANDRÁS. m n=0 ca n = lim c m

Átírás

1 SOROK, FÜGGVÉNYSOROK SIMON ANDRÁS TARTALOMJEGYZÉK. Numrikus sorok.. limsup és limif 3.. Gyök- és háyadoskritérium 4.3. További kovrgciakritériumok 5.4. Példák 6.5. Zárójl, átrdzés 8. Függvéysorozatok, sorok 9.. Kritériumok gylts kovrgciára 3. Hatváysor 3 4. Fourir 7 5. Mgoldások. NUMERIKUS SOROK Sor: spciális sorozat (a részltösszgk sorozata)... Dfiíció. = a kovrgs, ha a részltösszgk s m = m = a sorozata az. Ilykor a sor összg = a = lim m s m. Vigyázat: a -l jlöljük a sort és a sorösszgt is... Állítás. liáris, azaz = a + b = = a + = b és = ca = c = a Biz. = a m + b = lim m = a m + b = lim m = a m + lim m = b = = a + = b és = ca m = lim m = ca = lim c m m = a m = c lim m = a = c = a vagyis azért liáris, mrt lim az. A dfiícióból látszik, hogy kovrgcia szmpotjából az lső éháy tag m számít (sorösszg szmpotjából prsz ig). Ezért az összs kovrgciakritériumba lég, hogy valamily idtől kzdv..3. Példák. () = ( ) divrgs, mrt s = vagy attól függő, hogy páros vagy páratla; thát lim s.

2 () Mértai sor: q k= qk = ( q + )/( q) (és prsz + ha q = ). Kövtkzésképp k= qk = { q ha q < divrgs ha q (3) = (+). Ez kovrgs, és a sorösszg, mrt (+) = + miatt s = ) k=( k k+ = ( ) + ( 3 ) ( + ) = Tétl (Cauchy). a kovrgs ( ɛ > )( N N)( m > > N) m k= a k < ɛ. Biz. Triviális a sorozatok kovrgciájára voatkozó Cauchy-ból: a kovrgs s kovrgs ( ɛ > )( N N)( m > > N) s m s < ɛ és s m s = m k=+ a k..5. Kövtkzméy. Ha a kovrgs, akkor a (= s s ). D a korátsm légségs fltétl a kovrgciájáak. Nmsokára láti fogjuk, hogy pl. m kovrgs..6. Állítás. Ha a, akkor a kovrgs s korlátos. Biz. a miatt s mooto ő, thát potosa akkor kovrgs, ha korlátos..7. Tétl (Kodzációs kritérium). Ha a, akkor = a kovrgs k= k a k kovrgs. Biz. Előző állítás miatt lég, hogy a részltszögk gyszrr korlátosak. Jlölj s ill. t a két sor. részltösszgét. ( ) Ida: a + a + a }{{ 3 } + a 4 + a 5 + a 6 + a }{{ 7 } + a +a +4a 4 + t korlátos, thát lég bláti, hogy s k+ t k. Idukció: k = : s = s = a = t. Thf. k és k -r igaz. s k+ = s k + (a k + a k a k + k ) s k + k a k t k + k a k = t k mrt a és id. flt. ( ) Ida: s 8 = a +a +a 3 + a }{{ 4 } +a 5 + a 6 + a 7 + a }{{ 8 } t 3 = a +a + a 4 + 4a 8 s korlátos, thát lég, hogy t k / s k. Idukció: k = : t / = a / a = s = s. Thf. k-ra igaz. t k+ / = t k / + / k+ a k+ s k + k a k+ s k+; az utolsó lépésb azt haszáltuk, hogy s k+ = s k + a k + + a k a k + k s k + k a k+..8. Kövtkzméy. = / ( harmoikus sor ) divrgs. Biz. /, thát az lőző tétl miatt potosa akkor divrgs, ha k= k / k = k= az.

3 Sőt:.9. Kövtkzméy. = / p kovrgs p >. Biz. Ha p, akkor trv. divrgs, mrt / p = p, z mg = (ha p = ), vagy (ha p < ), azaz smmikép sm. Thát ám. p >. D akkor p, thát / p, a tétl szrit thát kovrgs k= k / kp = k= ( p)k kovrgs p < (mért. sor) p <... Dfiíció. A a sor abszolút kovrgs, ha a kovrgs. Fltétls kovrgs, ha kovrgs, d m abszolút kovrgs... Állítás. Ha a abszolút kovrgs, akkor kovrgs. Biz. Cauchy: m k= a k háromszöggylőtlség m k= a k < ɛ... Tétl (Majorás/miorás kritérium). Ha a b (végülis) és b kov, akkor a abszolút kovrgs. Biz. Trv.: Cauchy vagy részltösszgk korlátossága... limsup és limif.3. Dfiíció. Az a valós sorozatra limsup a = ha a m korlátos flülről, és limsup a = sup E, ahol E = {lim a k : a k kovrgs részsorozata a -k} máskor. (Vagyis limsup a a sűrűsödési értékik suprmuma abba a kicsit kitrjszttt értlmb, hogy végtl, ha a végtl is sűrűsödési érték a -k.) Hasolóa: limif a = ha a m korlátos alulról, és limif a = if E máskor..4. Házi fladat. limif a = limsup a és limsup a = limif a.5. Állítás. limif a limsup a, és ha a kovrgs, akkor limif a = lim a = limsup a. Biz. Az lső állítás azért igaz, mrt if H sup H mid H halmazra, második mg mrt ha a kovrgs, akkor gytl sűrűsödési érték va..6. Állítás. limsup a < a potosa akkor, ha va olya q < a, amir valamily idtől kzdv a q. Biz. Ha a m korlátos flülről, akkor midkét oldal hamis. Ha korlátos flülről, akkor E = {lim a k : a k kovrgs részsorozata a -k}-vl: ( ) q = (a + limsup a ) < a jó lsz, mrt ha fölött végtl sok lm vola a -k, akkor (a flülről korlátosság miatt) az zk által alkotott részsorozatak Bolzao Wirstrass miatt vola kovrgs részsorozata, és aak határérték q > limsup a, ami lltmod aak, hogy limsup a = sup E. ( ) Mivl q fölött a -k csak végs sok tagja va, q-ál agyobb számhoz m tarthat a gytl részsorozata sm, azaz q flső korlátja E-k, és így limsup a q < a..7. Állítás. () Ha a < limsup a, akkor a < a végtl sok -r. () Ha a < limif a, akkor valamily idtől kzdv a a. 3

4 Biz. () Ha a m korlátos flülről, akkor igaz a koklúzió. Ha korlátos flülről, és csak végs sok -r igaz, hogy a < a, azaz valamily idtől kzdv a a, akkor a -k ics a-ál agyobb számhoz tartó kovrgs részsorozata; d akkor a flső korlátja E = {lim a k : a k kovrgs részsorozata a -k}-k, és zért limsup a = sup E a. () A fltvésből kövtkzik, hogy a alulról korlátos. Ha m igaz, hogy a a valamily idtől kzdv, akkor a < a végtl sokszor; d akkor az alulról korlátosság miatt az ilyk közül kiválasztható gy kovrgs részsorozat, és k a határérték a, kövtkzésképp a limif a, lltmodva a fltvésk..8. Házi fladat. Ezk az állítások m fordíthatók mg. Vigyázat: limsup m csrélhtő fl a szorzással: ha a =,,,,... és b =,,,,..., akkor limsup a limsup b = = limsup a b. Akkor sm fltétlül, ha az gyik sorozat kovrgs: a = /, b =..9. Állítás. Ha lim a R +, akkor limsup a b = lim a limsup b... Gyök- és háyadoskritérium.. Tétl (Gyökkritérium). () Ha va olya q <, amir valamily idtől kzdv a q, azaz (ld..6) ha limsup a < (spciálisa: ha lim a < ), akkor a abszolút kov, () ha a végtl sok -r (spciálisa (ld..7()): ha limsup a > ), akkor a divrgs. Biz. (): q kovrgs és majorálja a -t. () A fltvés miatt a végtl sok -r; thát a. limsup a = -ből smmi m kövtkzik a kovrgciájára voatkozóa: / divrgs, / kovrgs, oha midkttőr igaz z a fltétl... Példa. kovrgs, mrt = <... Tétl (Háyadoskritérium). () Ha va olya q <, amir valamily idtől kzdv a + /a q, azaz (ld..6) ha limsup a + /a < (spciálisa: ha lim a + /a < ), akkor a abszolút kovrgs. () Ha a + /a valamily idtől kzdv (spciálisa (ld..7()): ha limif a + /a > ), akkor a divrgs. Egyébkét bármi lht. Itt m lég a divrgciához, mit a gyökkritériumba, hogy a + /a végtl sokszor, mrt lgy a ttszőlgs kovrgs sor, és duplázzuk mg : a + a + a + a +... Az így kapott sor kovrgs, oha a + /a = mid páratla -r. D mutatja zt az alábbi összfésülős példa is, ami kovrgs, oha a + /a > végtl sokszor. Biz. Kovrgcia: ha mid > N-r a + /a q <, akkor ( > N) a + q a, amiből (idukcióval) a N+k q k a N, azaz ( > N) a q N a N = a N q. D a N q kovrgs mértai sor, thát majorás-kritérium miatt a is kovrgs. q N q N Divrgcia: Ha a + /a, azaz a + a mid > N-r, akkor a N utá mooto ő, thát a m tarthat -hoz. 4

5 .3. Példa.! ()! kovrgs, mrt a + a a háyadoskritérium gyakra célravztő.) = (+)! (+)! ()!! = + (+)(+) <. (Faktoriálisál Háyadoskritériumál is: / és / -r lim a + /a =, oha az gyik divrgs, a másik kovrgs. És: ha a az /, /3 összfésülés, akkor a kovrgs (mrt külökülö az; d gyökkritériummal is kijö), d a háyadoskritérium m működik: limif a + /a = lim(/3) =, limsup a + /a = lim(3/) =, limif a = lim /3 = / 3, limsup a = lim / = /. Ez mutatja, hogy háyadoskritériumba divrgciához m lég, hogy limsup > (mrt most, mégis kovrgs). (Ez a példa gy kicsit részltsbb: a = 3 + ha ps ha ptla a + a = = 3 + = ( 3 ) ha ps = ( 3 ) + ha ptla Thát limsup a + a lim a + a = lim ( 3 ) = és limif a + a lim a + a + = lim( 3 )(+) =.).3. További kovrgciakritériumok.4. Tétl (Itgrálkritérium). Ha f [, ]-, akkor = f () kovrgs f kovrgs. Nm muszáj -ál kzdi. y y ábra. Itgrálkritérium Biz. Mid N-r : N = f () N f N = f () (zk a {,,..., N} flosztáshoz tartozó alsó és flső összgk). F() = f mooto ő, thát potosa akkor kovrgs, ha korlátos. 5

6 ( ) kovrgs (=s), akkor mid -r (N = ) f N f N = f () s. ( ) kovrgs (=s), akkor mid N-r N = f () N f s, azaz a részltösszgk korlátosak,.6 miatt thát a sor kovrgs (mrt mgatív tagú). Alkalmazás: / p kovrgs p >. { p+ / p = p = p+ = p ha p p l ha p = { / p lim k p = [ ] k p = p ( ) = p ha p > p ( ) = ha p < lim k l k l = ha p =.5. Tétl (Itlligs összhasolító kritérium). Ha a < b és lim a b >, akkor a és b gyszrr kovrgsk vagy divrgsk. Biz. Ha lim = L, akkor valamily N-től kzdv L/ a /b L, azaz b a /L és a Lb. Ebből már a majorás-kritérium miatt kövtkzik az állítás..6. Tétl (Libiz). Ha sg a = ( ), a, akkor a kovrgs. És a hiba kisbb, mit az lső lhagyott tag abszolútérték, azaz = a m = a a m+. Biz. Lgy b = a. Thát b, és az ké, hogy a b + b b 3 + = = ( ) b sor kovrgál. Lgy s az. részltösszg. s mrt s (+) = s b + + b + s (mrt b + + b + ). s alulról korlátos mrt s = b + (b b 3 ) +(b }{{} 4 b 5 ) b }{{} b. Thát s kovrgs, modjuk s. Nod s + = s b + s = s. Thát s és s + összfésülés is s. Hibabcslés: mivl s s és (ugyaígy) s + s, () s + s s mid -r, thát azt kll bláti, hogy s s b + és s s + b +. D az lsőt átrdzv azt kapjuk, hogy s + = s b + s, ami igaz () miatt, a másodikat átrdzv pdig azt, hogy s s + + b + = s +, ami szité. Alkalmazás: altráló harmoikus sor ( ( ) /) kovrgs..4. Példák () = + () + (3) 3 kovrgs kojugálással + = ( ++, thát kovrgs ) 3/ + a divrgs (4).5 majorással gusztustala ( (.5) majorálja) vagy gyökkritérium, kovrgs (5) ( + ) gyökkritérium a = ( + ) < <, thát kovrgs. (6) + a divrgs (7) - vagy k -s kritérium (zk midig ugyaakkor alkalmazhatók): k a l k = = kovrgs l k (k l) k 6

7 (8) si (+) majorálja abszolút kovrgs (9) ( cos π ) Ld. lábjgyzt : cos π = si π és si π π / Thát. () ily már volt ( (+ ) élkül)! gyökkritérium, kovrgs. () majorálható ( ) -l. mrt si π / = si π π π π. () yilvá olya lsz, mit (l ) k l, ami divrgs, mrt miorálható -l. Azaz: bikább, mit l k, mrt lim l k = L H lim k l k = L H = L H lim k! = (3) k -kritériummal: l > / miatt k = k k = 4k/ ( 4/5) k (l ) l (l k ) lk (k l) k l (k/) k/ (k/) k/ kovrgs mértai sor. (4) 4 zt még lht majoráli -l, d ha l akkor már m lht. (+3) (Modjuk akkor is lht -l.) Hlytt midkét stb. () (5) +3 uz a duma, csak + hlytt -al; d. (6) divrgs mrt +3 (7) 3 kovrgs mrt /3 (8) l(3+) divrgs, mrt l(3+) 3+ (v.ö. ()) és 3+ (9) gyökkritérium, vagy (+ ) (+ ) kovrgs mértai sor () divrgs, mrt +si () kovrgs, mrt + () arctg divrgs mrt mrt arctg π/ (3) arctg ugyazért (4) arctg divrgs mrt mrt: arctg arctg y ta mrt lim = lim y ta y = ycos y lim y si y =. Mllslg ugyaígy arcsi arcsi y si : lim = lim y si y =. (5) arctg kovrgs mrt (az lőző (lim arctg = ) miatt lim f () a arctg f () = ha lim a f () = ). (6) arctg divrgs mrt = (7) divrgs, mrt + (ami érdks, mrt már kovrgs ttsz. p > -ra). +p (8) l gyökkritérium kovrgs (9) l, divrgs k -s kritériummal: k = k l k k l divrgs. (3) l(!) divrgs mrt l(!) = l+l+ +l() l és l az lőző szrit divrgs. liarizáló képltkt tudi kll: si = cos és cos = +cos 7

8 (3)! háyadoskritérium: a + = + ( + )! a ( + ) +! = ( + ) = ( + ) < thát kovrgs. (3) ( + ) trv. divrgs mrt a. (33) si π kovrgs mrt (34) l ( si π = si π π π π) m majorálható -l, d l / l (mrt lim = / L H lim ) l, kövtkzésképp kovrgs. k -s haszálatához tudi ké, hogy mooto. 3/ (35) l miorálja, thát divrgs (36) cos divrgs mrt (37) si kovrgs mrt (38) cos kovrgs mrt (39) cos abszolút kovrgs mrt majorálja (4) l( ± ) divrgs mrt mrt lim l(+) = (4) l( ± ) kovrgs mrt ugyazért. (4) ( ) = l érték / potossággal: Libiz, thát kovrgs, és ( ) = N l N ; thát olya N ké, amir Thát l l N = ( ) l N l N, azaz l(n N ), azaz N N, azaz N 3. /-él potosabb közlítés..5. Zárójl, átrdzés Kovrgs sorozatot bzárójlzük kovrgs marad (részltösszgk sorozata az rdti sor részltösszgik részsorozata). Divrgs sorozatot bzárójlzük m biztos, hogy divrgs marad (azaz kovrgsből m hagyhatuk l zárójlkt): ( ) + ( ) + ( ) +... a gy átrdzés: a π, ahol π : N N bijkció..7. Tétl (Rima). Abszolút kovrgs sor átrdzés m változtat a kovrgciá és az összg. Fltétls kovrgs sort viszot bárhogy át lht rdzi (úgy, hogy akárkihz tartso, mg úgy is, hogy divrgs lgy)..8. Példa. Egy példa, ami mutatja, hogy az átrdzés mgváltoztathatja a sorösszgt: az altráló harmoikus sorról tudjuk, hogy kovrgs, lgy modjuk S az összg (majd láti fogjuk később, hogy S = l, d z most léygtl). thát a kttő összg S = S = S = miközb az utolsó sor az lső gy átrdzés. 8

9 . FÜGGVÉNYSOROZATOK, SOROK.. Dfiíció (Potokéti kovrgcia). f f H R- ha H f () f (). = f = f H-, ha F k = k = f f H- (azaz ha ( H) = f () = f ()). Folytoos függvéyk lims m fltétlül folytoos (. ábra (a)): { ha [,) H = [,], f () = f () =. ha = Máshogy fogalmazva az a probléma, hogy a külöfél határértékképzésk m flcsrélhtők: lim lim f () = = lim (lim f )(). Más példa ugyarr (. ábra (b)): ha / H = R, f () = ha ( /,/) sg. ha / Zárt itrvallumo folytoos függvéyk lims m fltétlül korlátos (. ábra (c)): { { ha [,/] ha = H = [,], f () = f () = / ha (/,] / ha (,]. Példa arra, hogy f f, f itgrálható mid -r, d lim f f (. ábra (d)): ha [,/) H = [,], f () = ha [/,/). ha [/,] Ez jó mrt f = (/ )/ = =. 4 y 4 y y y 3 3. ábra. Kovrgs, d m gylts kovrgs függvéysorozatok.. Dfiíció. f gylts tart f -hz (f f ) H- ha ( ɛ > )( N N)( > N)( H) f () f () < ɛ. A = f függvéysor gylts kovrgs ha F k = k = f az (jl.: = f = f ). 9

10 A külöbség a potokéti kovrgciához képst az, hogy az utóbbiba ( ɛ > )( H)( N N)( > N) f () f () < ɛ-t kövtlük mg, azaz ott N függht -től, az gylts kovrgciáál m..3. Állítás. Ha f és f korlátosak a H halmazo, akkor f f H- f f, ahol ttszőlgs H- korlátos g függvéyr g = sup{ g() : H }. V.ö. potsorozatokak zzl a tulajdoságával: lim a = a lim d(a, a ) =. Biz. ( ) Mid ɛ > -ra va olya N, hogy mid > N-r és H-ra f () f () < ɛ/; d akkor mid > N-r f f = sup{ f () f () : H} < ɛ. ( ) Mid ɛ > -ra va olya N, hogy mid > N-r és H-ra f () f () sup{ f () f () : H} = f f < ɛ..4. Mgjgyzés. A H R halmazo korlátos függvéyk f g távolság, ahogya zt a fogalmat a többváltozós függvéyk ljé dfiiáltuk. Az lső két tulajdoság (két pot (vagyis most két függvéy!) távolsága potosa akkor, ha azoosak; és a távolság szimmtrikus) triviálisa igaz rá. D a háromszöggylőtlség is, mrt mid H-ra f () g() f () h() + h() g() f h + h g miatt f g = sup{ f () g() : H } f h + h g. y ɛ f lim f ɛ f 3. ábra. Egylts kovrgcia A fti példák gyik sm gylts kovrgs. Pl. az lső: ɛ = /4-hz ics jó N, mrt mid -r f (/ ) f (/ ) = f (/ ) = / > ɛ..5. Tétl (gylts kovrgcia & határérték). Ha f f H-, a torlódási potja H-ak, mid -r b = lim a f (), és L = lim b, akkor lim a f () = L. Vagyis lim ( lim f )() = lim lim f () a a ha a jobboldalo szrplő határértékk létzk és baloldalo a blső határérték gylts.

11 Valójába lég l flti, hogy a jobboldali blső lim létzik (és így az alábbi kövtkzméyb sm kll külö flti, hogy a kovrgs), mrt bből már kövtkzik a külső határérték létzés. Biz. Lgy ɛ > ; olya δ > kll, amir igaz, hogy ( Sδ(a)) f () L < ɛ. f f miatt va olya N, amir f f < ɛ 3 H- ha > N. L = lim b miatt va olya N, amir b L < ɛ 3, ha > N. Rögzítsük gy > ma(n, N )-t! lim a f () = b miatt va olya δ >, amir igaz, hogy ( Sδ(a)) f () b < ɛ 3. D akkor mid ily -r f () L = f () f () + f () b + b L f () f () + f () b + b L < 3 ɛ 3 = ɛ..6. Kövtkzméy. Ha = f = f H-, és a torlódási potja H-ak, akkor lim f () = a = (lim f ()) a ha a jobboldalo szrplő határértékk és összg létzk. Biz. Jlölj F = m f m. részltösszgét! Akkor a jobb oldal = (lim f m ()) = lim a m = (lim f ()) = lim (lim m a m a = f ()) = lim (lim F m()) m a (ahol a második gylőségb a függvéyhatárérték és a (végs) összg flcsrélhtőségét haszáltuk) és z F m f és a tétl miatt = lim a f ()..7. Tétl (gylts kovrgcia & folytoosság). Ha f f H- és mid -r f folytoos a H-ba, akkor f folytoos a-ba. Biz. Ha a izolált potja H-ak, akkor ics mit bizoyítai; külöb pdig f a-bli folytoossága miatt lim a f () = f (a) mid -r, és f f miatt lim f (a) = f (a). Thát létzik lim lim a f () = lim f (a) = f (a) és így.5 miatt lim a f () = f (a)..8. Kövtkzméy. Ha mid -r f folytoos a H-ba, = f = f, akkor f folytoos a-ba. Biz. A fltvés (és mrt folytoos függvéyk (végs) összg folytoos) miatt = f részltösszgi folytoosak a-ba, és mivl zk gylts tartaak f -hz, a tétl miatt f is az..9. Tétl (gylts kovrgcia & itgrálhatóság). Ha f R([a, b]), f f, akkor f R([a, b]) és b a f = lim b a f... Mgjgyzés. V.ö. a (c) példával, ahol a lim m is itgrálható, és a (d)-vl. Biz. (Csak azé, hogy ha f R([a, b]), akkor b a f = lim b a f.) Lgy ɛ >, N pdig olya, hogy f f < ɛ b a [a, b]- ha > N. Akkor b a f b a f = b a f f b a f f b ɛ a b a = ɛ... Kövtkzméy. Ha mid -r f R([a, b]), = f = f, akkor f R([a, b]) és b a f = = b a f.

12 Biz. A fltvés (és mrt R([a, b]) zárt összadásra) miatt = f részltösszgi itgrálhatók [a, b]-; és mivl a részltösszgi gylts tartaak f -hz, a tétl miatt f R([a, b]) és = b a f = lim m b m = a f b = lim m m a = f = b a f ahol a második gylőségb b a és (végs) összg flcsrélhtőségét haszáltuk, a harmadikba pdig a tétlt. Driválhatóság és gylts kovrgcia m ily szép: Példa arra, hogy f f, f driválható mid -r, d f f (shogy): f () = /si f (mrt r () = f () ld..5()-t alább) d f () = /cos = cos f (például mrt = -ba m). Példa olyara, hogy az gylts lim m is driválható: f = + (mrt, ismét.5()-t haszálva, r () = f () f () = + / = = / )... Tétl (gylts kovrgcia & driválhatóság). Ha mid -r f driválható (a, b)-, (a, b) f ( ) kovrgs és f g (a, b)-, akkor va olya f, hogy f f és f = g (a, b)-..3. Mgjgyzés. A (a, b) f ( ) kovrgs fltétl m hagyható l, pl. f. + + / f f f g = f.4. Kövtkzméy. Ha mid -r f driválható (a, b)-, (a, b) = f ( ) kovrgs és (a, b)- = f = g, akkor = f = f és f = g (a, b)-. Biz. A tétlt az F m = m = f és F m = m állítást. = f függvéysorozatokra alkalmazva kapjuk az.. Kritériumok gylts kovrgciára Végig: r () = f () f ()..5. Tétl. () Ha ( a )( H) r () a, akkor f f H-. () Ha H-bli sorozat, hogy r ( ), akkor f f H-. Biz. Az lső áll triviális az gylts kovrgcia dfiíciójából. A második is, mrt ha f f, akkor ( ɛ > ) N ( > N)( H) r () < ɛ, spciálisa r ( ) < ɛ, thát r ( ) (és így r ( )). (Avagy: r ( ) sup H f () f () = f f thát az utóbbi m tarthat -ba.) (Mgj.: ttől prsz f még lht kovrgs: a fti (b) példába lgy = /(); akkor r ( ) = f () f ( ) = / = /.).6. Házi fladat. A tétl () potjáak sgítségévl mutassuk mg, hogy a szakasz ljé, a potokéti kovrgcia dfiíciója utái égy függvéysorozat gyik sm gylts kovrgs..7. Példa. [,] mly részhalmazai (gylts) kovrgs f () =? { ha = f f = ha (,] A kovrgcia m lht gylts, mrt a határfüggvéy m folytoos. (, ]- már folytoos, d ott sm gylts a kovrgcia, mrt = (,], r ( ) = f ( ) =. D δ > -ra [δ,]- már gylts, mrt r () = δ.

13 .8. Tétl (Cauchy kritérium függvéysorozat gylts kovrgciájára). f f H- valamily f -r ( ɛ > )( N N)(, m > N)( H) f () f m () < ɛ. Azaz ( ɛ > )( N N)(, m > N) f f m < ɛ..9. Kövtkzméy (Wirstrass kritérium függvéysor gylts kovrgciájára). Ha ( H) f () a és a kovrgs, akkor f gylts kovrgs H-. Biz. Lgy F () = f k(). ɛ > -ra.4 miatt va olya N, hogy mid H-ra és > m > N-r F () F m () = m+ f k() m+ f k() m+ a k < ɛ, vagyis.8 szrit a részltösszgk sorozata gylts kovrgs... Példák (Wirstrass kritérium alkalmazására).. Hol (gylts) kovrgs 4 + 4? Wirstrass kritérium miatt midhol gylts kovrgs, mrt majorálja a kovrgs umrikus sor..! gylts kovrgs [ K, K]-:! K! és K! kovrgs (háyadoskritérium). Spcil kovrgs R-. D m gylts, mrt a f () =!, d m gylts, mrt = -r r ( ) = f ( ) =! függvéysorozat ugya. Márpdig.. Állítás. Ha f = f a H halmazo, akkor f H- (ahol a kostas függvéy). Biz. f + = F + F = F + f + f F F + f + f F.. 3. HATVÁNYSOR 3.. Dfiíció. c körüli hatváysor: a ( c) (d az gyszrűség kdvéért c = végig). 3.. Példák. () = mértai sor, thát tudjuk, hogy potosa akkor kovrgs, ha < (és azt is, hogy ilykor abszolút, és az összg /( )); hol gylts kovrgs? Ha δ <, akkor [ δ,δ]- gylts kovrgs a Wirstrass kritérium miatt ( δ és δ kov). D (,)- m gylts kovrgs: r () = /( ) k= k = /( ) ( + )/( ) = + /( ); thát = + -r r ( ) = ( )+. Az, hogy (,)- m gylts a kovrgcia, kijö.-ből is: f () = m tart gylts a kostas függvéyhz, mrt = -r f ( ) = ( ) (ld..5()!). () = / hol kov? Ha <, akkor ig, sőt, abszolút kovrgs mrt kovrgs és majorálja = / -t; ha >, akkor m, mrt /. Ha =, akkor divrgs (harmoikus sor), ha =, akkor kovrgs (altráló harmoikus sor). Thát a kovrgciaitrvallum [, ). (3) = / kovrgciaitrvalluma [,]; itt W-kritérium miatt gylts is kovrgs, mrt / / ; amúgy azért m kovrgs, mrt a ha a >. (4)! - kívül shol sm kovrgs (háyadoskritérium: a + a = (+)!+! = ( + ) ) Tétl. Lgy α = limsup a, R = /α (értlmszrű, ha α v. ). Ekkor a abszolút kovrgs ha < R, divrgs ha > R. (R a kovrgciasugár.) 3

14 A szélk bármi lht, a fti példák közül az lső három midhárom lhtőségt illusztrálja. Mllslg a tétlből látszik, hogy az lső három példába miért, a gydikb miért a kovrgciasugár. Biz. Ha < R, akkor limsup a = limsup a = {, ha R =, azaz ha limsup a = R < R R =, ha R < thát a gyökkritérium miatt a a umrikus sor abszolút kovrgs. És ugyaígy, ha > R, akkor limsup a >, thát divrgs Kövtkzméy. Ha a kovrgciasugara R, akkor mid δ > -ra a gylts kovrgs [ R + δ, R δ]-. Biz. a a (R δ) és a (R δ) kovrgs (mrt a kovrgciaitrvallum blsjéb abszolút a kovrgcia), thát a Wirstrass kritérium (.9) miatt kész Kövtkzméy. Hatváysor a kovrgciaitrvallum blsjéb lvő zárt itrvallumoko tagokét itgrálható Tétl. Ha = a kovrgciasugara R, f () = = a < R-r, akkor f driválható, és f () = = a ( R, R)-. Vagyis hatváysor a kovrgciaitrvalluma blsjéb tagokét driválható. Biz. Flthtjük, hogy R >, mrt R = -ra a tétl koklúziója ürs tljsül. Azt fogjuk bláti, hogy mid < q < R-r = a gylts kovrgs ( q, q)-..4 miatt bből, és abból, hogy = a kovrgál = -ra, kövtkzik, hogy f () = = a ( q, q)-, és, mivl z mid < q < R-r igaz, ( R, R)- is az, hisz mid ( R, R)-r va olya < q < R, hogy ( q, q). Lgy thát < q < R, és lgy r (q, R); mivl = a r kovrgs, lim a r =, thát valamily N idtől kzdv a r <, azaz a < r. D akkor mid ( q, q) és > N-r a < r q = q (q/r), és így, mivl = (q/r) a gyökkritérium miatt kovrgs umrikus sor, a Wirstrass kritériumból (.9) kövtkzik, hogy = a gylts kovrgs ( q, q) Kövtkzméy. A tétl fltétli mlltt f akárháyszor driválható és () f (k) () = =k ( ) ( k + )a k, spciálisa () f (k) () = k! a k Dfiíció (Taylor-sor). Az akárháyszor driválható f függvéy c körüli (formális) Taylorsora: f () (c) =! ( c), thát amit a fti kövtkzméy ad. (Ld. alább, hogy z miért formális!) f aalitikus c-b, ha f -t lőállítja a Taylor-sora c gy köryztéb Tétl (Taylor). Hatváysor határfüggvéyék Taylor-sora maga a hatváysor. Azaz hatváysor határfüggvéyék Taylor-sora a kovrgciaitrvallumba kovrgs és lőállítja a függvéyt. 4

15 A formális Taylor-sor lht, hogy csak -ba kovrgs, az is lht, hogy kovrgs d a f (pl.: f () = { / ha ha =, mrt f (k) () = mid k-ra (z m triviális!) ) és prsz az is lht, hogy kovrgs és = f. Példák utóbbira: = = /!, si = 3 /3!+ 5 /5! 7 /7!+ = = ( ) + /(+)!, cos = /!+ 4 /4! 6 /6!+ = = ( ) /(!). 3.3 sgítségévl héz kiszámoli a kovrgciasugarat (mrt kll hozzá, hogy lim! =, ami m triviális), d háyados-kritériummal köyű bláti, hogy midhol kovrgsk. Pl. : a + a = + (+)!! = +. Vagy si : a + a = +3 (+3)! (+)! = + (+)(+3). Amit még m tuduk, az az, hogy zk téylg lő is állítják- -t és társait. 3.. Tétl (Taylor formula Lagrag-fél maradéktaggal). Lgy f akárháyszor driválható ( R, R)-, N N, ( R, R). Akkor ξ [, ], hogy f () = N f (k) () k= k! k + f (N+) (ξ) (N+)! N+. (ξ -től és N-től is függ.) N = -ra z épp a Lagrag középérték tétl. 3.. Kövtkzméy. A tétl fltétli mlltt, ha I ( R, R) és K >, hogy ( I) f () () < K, akkor a Taylor-sora I- lőállítja f -t. Biz. Mid I-r f () N f (k) () k= k! k = f (N+) (ξ) (N+)! N+ K N+ (N+)! ha N. Pl. [ R, R]- p () () R. Vagy si () (). Ezért állítja lő a Taylor-sora -t és si -t. 3.. Példa. l(+ ) = +t gy kovrgs gomtriai sor összg: dt (z volt a logaritmus dfiíciója); t (,)-r az itgradus +t = ( t) = t + t t 3 ±... (bár, ahogy a szakasz ljé láttuk, (, )- m gylts). Thát z gy (, )- kovrgs hatváysor, kövtkzésképp (, ) zárt részitrvallumai, és így (, )-r [, ]- tagokét itgrálható. Vagyis l(+ ) = t+ t t 3 ±... dt = ±... = ( ) + + (,)-. A hatváysor kovrgciája gylts [, ]- (a Wirstrass-kritériumból z m jö ki, mrt ( ) + + -t m lht gy kovrgs umrikus sorral majoráli [,]-) mrt mid ily -r Libiz miatt a hiba kisbb, mit az lső lhagyott tag abszolútérték: r () ( ) Ebből.5() miatt kövtkzik az gylts kovrgcia. Ez utóbbi miatt, és mrt g() = ( ) + + és l( + ) mggyzk (,)-, + l = lim l( + ) = lim g() = lim ( ) +.6 = lim + ( ) + = ( ) + = ( ) = ( ) vagyis az altráló harmoikus sor összg l. Azt m thttük vola mg, hogy -t gyszrű bhlyttsítjük a ftib, mrt csak (,)- tudjuk, hogy a sor lőállítja l( + )-t Példa. arctg = kovrgs gomtriai sor összg: dt (z volt az arctg dfiíciója); t (,)-r az itgradus gy +t = +t ( t ) = t + t 4 t 6 ±... Thát z gy (,)- kovrgs hatváysor, kövtkzésképp (, ) zárt részitrvallumai, és így (, )-r 5

16 [, ]- tagokét itgrálható. Vagyis arctg = t + t 4 t 6 ±... dt = ±... = ( ) + + (,)-. Mit az lőző példába: a kovrgcia gylts [, ]- (z sm jö ki a Wirstrasskritériumból) mrt mid ily -r Libiz miatt a hiba kisbb, mit az lső lhagyott tag abszolútérték: r () ( ) Ebből.5() miatt kövtkzik az gylts kovrgcia. Az lőző példához hasolóa, mivl arctg = ( ) + + (,)-, -bli baloldali határértékük is mggyzik, és zért π = arctg = lim arctg = lim ( ) = + lim + ( ) + = ( ) +. És prsz itt sm thttük vola mg, hogy -t gyszrű bhlyttsítjük a ftib, mrt csak (, )- tudjuk, hogy a sor lőállítja arctg -t Mgjgyzés. f () = hatváysora ( ) prsz csak < -r kovrgs, hisz f -k szigularitása va -b. D g() = hatváysora ( + ( ) ) is, pdig aak ics szigularitása. Valójába dhogym: ±i-b, d z csak jövőr, kompl függvéytaba fog kidrüli Példák.. Lgy f () = =! ; f () () =? MO., mrt a sor midütt, így az origóba is az -t állítja lő, amik mid driváltja ömaga, thát f () () = =.. Lgy f () = =! ; f () () =? MO. Taylor sorából z a sor midütt az -t állítja lő, így midütt kovrgs hatváysor, thát határfüggvéyék, f () = -k Taylor sorába 5! = a = f () ()!, azaz f () () =! 5!. 3. Lgy f () = = ; f () () =? MO. A sor hatváysor, kovrgciaitrvallumáak blsj (limsup = lim( ) = miatt) a (, ) itrvallum. Ezért ott a sor saját f összgfüggvéyék körüli Taylor sora, azaz = a = f () ()!, kövtkzésképp f () () =!. 4. Lgy f () = ; f () () =? MO. Ld. a. példát! 5. Lgy f () = az origó kívül és f () =. Adja mg az f () értékét, ha létzik! MO. Taylor sora alapjá f () = =! = = (+)! = midütt kovrgs hatváysor határfüggvéy, így midütt akárháyszor driválható és Taylor sora az őt lőállító hatváysor. Kövtkzésképp f () = 6, amiből f () = Lgy mid valós -r F() = t dt. Számítsa ki az F( ), F() és F() értékkt század potossággal! 6

17 MO. körüli Taylor-sora alapjá = = ( )! midütt kovrgs hatváysor, thát tagokét itgrálható. Így F() = = ( t )! dt = = ( )! t dt = = ( ) +!( + ) Kövtkzésképp F() = = ( ) (+)!, ami Libiz típusú, így a hiba m agyobb, mit az lső lhagyott tag abszolút érték: r (+)! ( + )! 4 F() = Nyilvá F() = és, mivl páros, F( ) = F() körüli Taylor-sora. MO. f () =, f () = 4 3 6, f () =, f () () =, f () () =, f (3) () = 4, f (3) () =, f (4) () = 4, kövtkzésképp f () = f () ()! ( ) = ( )+( ) 3 +( ) FOURIER 4.. Állítás. () p priódusú függvéyt midgy mlyik p hosszúságú itrvallumo itgráljuk. () Ha f páratla, akkor a a f () d =. (3) si = (4) si mcos d = Biz.. Hlyttsítéss itgrál: b a f () d = u (b) u (a) f (u(t))u (t) dt = b+p a+p f (t p) dt = b+p a+p f (t) dt, ahol u(t) = t p. Kövtkzésképp b+p f = a b b f + a+p a f + b+p a+p f = b a f + a+p a f + b a f = a+p a f.. a a f () d = u (a) u ( a) f (u(t))u (t) dt = a a f ( t) dt = a a f (t) dt = a a f (t) dt, ahol u(t) = t. 3. si = π π si = az lőző kttő miatt, mrt si páratla, és mivl π/ szrit, zért π szrit is priodikus. 4. Mit az lőző. 4.. Állítás. Lgy, m N. Akkor () { π ha > cos = π ha = () ha m π cos mcos d = π ha = m > π ha = m = (3) { π ha m vagy m = = si msi d = π ha = m > Biz.. cos = = π és cos = [ si 7 ] π = = ha >.

18 , 3. Ha m = =, akkor midkét állítás triviális. Thát a továbbiakba flthtjük, hogy m +. Tudjuk: A kttőt összadva kapjuk, hogy ( ) cosαcosβ = kivova mg azt, hogy ( ) siαsiβ = ( ) miatt cos(α + β) = cosαcosβ siαsiβ cos(α β) = cosαcosβ + siαsiβ [ cos(α + β) + cos(α β) ] [ cos(α β) cos(α + β) ] cos mcos d = cos(m + ) + cos(m ) d () = cos(m ) d { () = ha m = π ha = m >, és ( )-ból ugyaígy kijö a Tétl. Ha f () = = (a cos +b si ) gylts, akkor a = π f ()cos d = π π f () d, a = π f ()cos d ha >, és b = π f ()si d. Biz. = -ra: > -ra: f () d = m= (a m f ()cos d = m= (a m b -k hasolóa. cos m d + b m si m d) = 4.(),4.(3) = a cos mcos d + b m si mcos d) 4.(),4.(4) = a Ha l a félpriódus, akkor a fti képltkb π l, π l. Pl. a = l És a sorflírásba is: f () = (a cos π l + b si π l ) Dfiíció. f (formális) Fourir-sora (a cos + b si ), ahol a = a = π f ()cos d ha >, és b = π f ()si d. 8 cos d 4.() = a π cos d 4.() = a π l f ()cos π l d. π f () d,

19 4.5. Mgjgyzés. Páros, π szrit priodikus függvéy Fourir-sora tiszta cosiuszos (b = ), páratlaé mg tiszta siuszos (a = ). Ez 4.(),()-ből kövtkzik, mrt mrt f ()si páratla ha f páros, és mrt f ()cos páratla ha f páratla. π f ()si d = f ()si d = π π f ()cos d = f ()cos d = π 4.6. Dfiíció. Az f valós függvéy szakaszokét folytoos az [a, b] itrvallumo, ha [a, b]- k csak végs sok potjába szakad, d mid szakadása lsőfajú (azaz a szakadási hlyk is vaak féloldali határértéki). f szakaszokét folytoosa driválható [a, b]-, ha f és f is szakaszokét folytoos [a, b] Tétl. Ha az f priodikus korlátos függvéy szakaszokét folytoosa driválható, akkor a Fourir-sora midütt kovrgál; a folytoossági hlyk f ()-hz, a szakadási hlyk pdig a féloldali limsk számtai közpéhz: (f ( ) + f ( + ))-hoz Példák.. f () = ( π,π]-, f ( + kπ) = f (), k Z. a =, mrt páratla a függvéy (lég, hogy ( π,π)- az, mrt az gyütthatókat ott számoljuk). b = π π π }{{} si }{{ } u v = ( cos π + π π π azaz F() = ( )+ si.. f () = (,π]-, f ( + kπ) = f (), k Z. a = π ) cos π }{{} = (πcos π ( π)cos( π)) = π cos π = ( )+ = π 3 3 π = 4 3 π a = π }{{} u cos }{{ } v = π π si }{{} π 9 }{{} u si }{{ } v = π ( cos ) π π cos = 4 } {{ }

20 b = π Azaz: }{{} u si }{{ } v = π π cos }{{} π = 4π + π 4π }{{} u cos }{{ } v cos 4π = + π ( si π }{{} ) cos = 4π }{{} F() = 4π 3 + ( 4 cos 4π si ) Ebből kiszámolható : U.i. gyrészt F() = 4 3 π + 4. Másrészt = szakadási hly f -k: lim + f =, lim f = (π) = 4π. Tudjuk, hogy ilykor F() zk számtai közp, π. Thát π = F() = 4 3 π + 4, amiből = 4 (π 4 3 π ) = 6 π. 5. MEGOLDÁSOK.4 Ha a m korlátos alulról, akkor midkét oldal =. Máskülöb a korlátos flülről, kövtkzésképp limsup a = sup{lim a k : a k kovrgs részsorozata a -k} = sup{ lim a k : a k kovrgs részsorozata a -k} = if{lim a k : a k kovrgs részsorozata a -k} = limif a A második állítás kövtkzik az lsőből: limif a = limsup a = limsup a..8 Midkttőt mutatja a =, a = + /..6 Például az /, /, /, / sorozatok mutatják.