Valószínűségszámítás. A standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye. További tulajdonságok. További tulajdonságok.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószínűségszámítás. A standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye. További tulajdonságok. További tulajdonságok."

Alfréd Vörös
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Karakriszikus függvéy Valószíűségszámíás. lőadás Kompl érékű valószíűségi válozók: Z=+iY, ahol és Y is valószíűségi válozók. Z):=)+iY). (valós) valószíűségi válozó karakriszikus függvéy: ():= i )=cos)+isi) Tulajdoságai: () RC függvéy, mly mid -r lézik. (0)= mid -r () (mr i ) i )= Ha és Y függlk, +Y ()= () Y (), mr i(+y) )= i iy )= i ) iy ) a függlség mia. További ulajdoságok Ha Y=a+b, akkor Y ()= ib (a) Bizoyíás: Y ()= i(a+b) )= ib ia )= ib (a). Kiszámíása az abszolú folyoos sr: i ( ) f ( ) d cos( ) f ( ) d i si( ) f ( ) Példa. Ha gyls loszlású a [-,] irvallumo, akkor ( ) i f ( ) d cos( ) si d si Álalába is: valós, ha loszlása szimmrikus a 0-ra. d ( ) A sadard ormális loszlás karakriszikus függvéy Áll.: a sadard ormális loszlás karakriszikus függvéy: Ehhz: lg sz a ()=- () diffrciálgylk. (Ez léygéb lég is: (log ()) =-, amiből log ()=- /+c, d log((0))=0 mia c=0.) ( ) cos( ) si( ) parciális igrálással. ( ) d; '( ) si( ) ' cos( ) d d ( ) További ulajdoságok A karakriszikus függvéy mghaározza az loszlás (azaz külöböző loszlásokhoz külöböző karakriszikus függvéy arozik). Taylor sorfjés: gyük fl, hogy ) végs valamily gész számra. Ekkor 0 mll i ( i) ( i) ( ) ) )... ) o( )!!! ahol o( ) jlés, hogy l oszva is 0-hoz ar, ha 0. Bizoyíás öl: a él flél sé () -szr gyls folyoosa driválhaó és ( l) i l ( ) ( i) f ( ) d További élk Azaz (k) (0)= i k k ) és így a szokásos Taylorsorfjésből adódik a él. Ha karakriszikus függvéy, akkor gyls folyoos. Folyoossági él. Lgy karakriszikus függvéyk gy sorozaa (jlölj Q a hozzá arozó loszlás). Ha pooké kovrgál gy -hz, mly a 0-ba folyoos, akkor is karakriszikus függvéy, és a hozzá arozó loszlás épp a loszlások Q gyg haárérék.

2 Crális haárloszlás él Lgyk,,,,... függl, azoos loszlású valószíűségi válozók. Tgyük fl, hogy =D () végs (m:= i )). Tkisük a sadardizál összgük:... m Z : Ekkor Z gygé kovrgál a sadard ormális loszláshoz, azaz... m P z ( z ) ahol a sadard ormális loszlás loszlásfüggvéy. Bizoyíás vázlaa Elgdő a Z karakriszikus függvéyér blái, hogy ()p{- /}. Ha () jlöli az -m karakriszikus függvéyé, akkor m karakriszikus függvéy (). Ebből ( ) ( ) A maradékagos Taylor formula mia m) ( ) i i! m)! o( ) o( ) ( ) ( Bizoyíás bfjzés ) o o() Mgjgyzés. A él ulajdoképp már mgfigylük a szimulációkál. A m azoos loszlású s Ekkor a agy számok örvéyéél már láo okok mia rősbb flélk kllk. A lggyszrűbb s: ha,,,,... függl, gyls korláos valószíűségi válozók (kkor i =D ( i ) végs, m i := i )), akkor a sadardizál összgük:... ( m... m ) Z :... Ha akkor Z gygé kovrgál a sadard ormális loszláshoz, azaz Z z (z) P ahol a sadard ormális loszlás loszlásfüggvéy. Álaláosíások Ha m korláosak a agok, ovábbi flélkr (pl. magasabb momumok lézés, hasoló agyságrdű összadadók) va szükség. Gyg, a Brsi élb láo összfüggőség sér is álaláosíhaó a él. Kovrgciasbsség Ha,,,,... függl, azoos loszlású valószíűségi válozók,.f.h. m=0, =, akkor... E sup P z ( z) c z (Brry-Essé él). Gyakorlaba agyo függ az loszlás alakjáól. Például az gyls loszlásra = lég jó közlíés ad, d az pociális loszlásál =50 szükségs. 3

3 Crális haárloszlás-él: függl, azoos, gyls loszlások sadardizál összg (=5,00,400,600) Eloszlás illszkdésék vizsgálaa: Q-Q plo I és a kövkző oldalako az ado számú véll számo gráluk, sadardizáluk az összgük, és z szor mgismélük mid sb. Ezk uá az vizsgáluk, hogy a kapo 0000 véll szám myir va közl a sadard ormális loszláshoz mgfigylésk száma: mgfigylésk száma: mgfigylésk száma: mgfigylésk száma: A mgfigyl és az illsz loszlás kédimziós ábrázolása. Eloszlásfüggvéy q-kvailis: az az érék, amlyél q valószíűséggl kapuk kisbb: G - (q) Spc.: q=/: mdiá G k ( ), k : k,,..., Q-Q plo, ormális loszlású miára Eloszlás illszkdésék vizsgálaa: P-P plo Crális haárloszlás-él: függl, azoos, gyls loszlások sadardizál összg (=5,0,80,00) Probabiliy Plo A mgfigyl és az illsz loszlás kédimziós ábrázolása k ( ), G( k ) : k,,..., Empirical Már 5 mgfigylésr sm rossz az illszkdés = = = = Modl Crális haárloszlás-él: függl, azoos, pociális loszlások sadardizál összg (=5,0,80,00) Crális haárloszlás-él: függl, azoos, Paro (k=3) loszlások sadardizál összg (=80,80,0000) I agyo lassú a kovrgcia = 5 = = 80 = = = =

4 Crális haárloszlás-él: függl, azoos, Paro (k=) loszlások sadardizál összg (=80,80,0000,00000) Sabilis loszlások I ics kovrgcia = = 80 A ormális loszlás kiü szrp azo alapul, hogy ljsí az ú. sabiliás: ha,y függl, F loszlásfüggvéyűk, akkor szőlgs a,b sé mgadhaók számok, hogy a+by loszlásfüggvéy F(z+). (Azaz a+by ugyaabba az loszláscsaládba arozik, mi az összadadók.) Bláhaó, hogy függl, azoos loszlású válozók összgék ormálás uái haárloszlása csak sabilis lh. Ugyaakkor mid ily sabilis loszlás lő is áll haárloszláské. A crális haárloszlás él kövkzméy, hogy ics más végs szórású sabilis loszlás. Ugyaakkor m végs szórású va: pl. a Cauchy loszlás, mlyk sűrűségfüggvéy f()=/(+ ) = 0000 = +05 Véll szám grálás LCG: (0 < m, 0 <a< m, 0 <c< m, 0 < 0 < m) Jól bvál paramérválaszások:. Borlad C/C ++ m= 3, a=66455, c= Dlphi, Pascal m= 3, a= , c= Véll szám grálás ivrz módszrrl Tél: Lgy val. vál., F loszlásfüggvéyl, amly szigorúa mooo övkdő és folyoos. Ekkor i. F() gyls loszlású [0,] ii. Ha U ~ U(0,) akkor F - (U) loszlásfüggvéy F. Pl.: Ha ~ p(λ) F()=-p(- λ) F - ()= -l(-)/ λ -l(-u)/ λ ~ p(λ) Kirjszés: álaláosío ivrz: F - ()= if{ F()=y} Epociális (λ=5) Numa módszr Lgy f() szőlgs sűrűségfüggvéy,g() pdig olya sűrűségfüggvéy, amlyr f() < Mg(), valamly M> sé és g()-ből köy uduk miá vi (ipikus példa az gyls loszlás). Algorimus:. Vgyük miá: u=>u(0,) -ből, =>g() - ből. Ha u<f()/mg(), akkor - lfogadjuk 3. Külöb luasíjuk, és -b lépük. 4

5 Normális loszlású véll szám Bo-Müllr módszr Lgy U,V függl, E[0;] loszlású. Ekkor lu si( V), lu cos( V) ké függl sadard ormális loszlású válozó lsz. Véll bolyogás S = a bolyogás végző részcsk hlyz lépés uá. A lépésk gymásól függlk. p valószíűséggl i -p valószíűséggl Tipikusa p=/ (szimmrikus bolyogás) Példa: i az i-dik érmdobásál a yrméyük ( F-o yrük, ha fj, F-o vszük, ha írás), S pdig az összyrméyük jáék uá. Álaláosabb : Markov lácok Lgy =(,,..., ): ΩI diszkré valószíűségi vkorválozó. Eddig a függl s vizsgáluk. Mos lkiük ől. Q (k):=p {ω: (ω)= k} az loszlása I d lmi.rális, d a függlségél gygébb flél krsük. Tgyük fl, hogy P( m = k m ) valószíűségk mgadásához lgdő az m- érék ismri. Azaz P( m = k m i = k i mid i m--r)= P( m = k m m- = k m- ) (Markov ulajdoság). Azaz a Markov lác kövkző érékék loszlásá mghaározza a lác jllgi állapoa. 5

Hasonló dokumentumok

A nagy számok törvényének néhány alkalmazása. Valószínűségszámítás. Példák. Konvolúció. Normális eloszlások konvolúciója

A nagy számok törvényének néhány alkalmazása. Valószínűségszámítás. Példák. Konvolúció. Normális eloszlások konvolúciója A agy sámo örvéyé éháy alalmaása Valósíűségsámíás. lőadás 5..5. Y Kovolúció Függl valósíűségi váloó össgé loslása Képl a absolú olyoos sr: ( ( u ( u du Y Y Bioyíásho a ljs valósíűség él mgllőj (a lőő épl