A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük."

Anikó Vörös
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép Tel: Fax:

2 Mita A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságak evezzük. A mitavétel azt jeleti, hogy a statisztikai sokaságból számú egyedet véletleszerűe kiválasztuk. A mita vizsgálatáak eredméyéből következtetük a sokaságra. A mita azoos eloszlású, függetle valószíűségi változók sorozata.

3 Mita azoos eloszlás = reprezetatív, összetétel helyese képviselje a sokaságot, amelyből vették a mitaelemek egymástól függetle valószíűségi változók (függetle), A mita mérete: elegedőe agy ahhoz, hogy a mita alapjá levot következtetések haszálhatóak legyeek (később tárgyaljuk) mitajellemzők: átlag, tapasztalati szórás, tapasztalati eloszlás és sűrűségfüggvéy 3

4 Átlag darab ξ i mitaelem _ 1 ξ = i= 1 ξ i Az átlag a várható érték becslése. (lásd a várható érték defiíciójához fűzött godolatmeet) 4

5 5 Átlag Az átlag szórása: (az átlag is valószíűségi változó!) ) ( D ) ( D D i i i i 1 1 _ 1 1 ) ( σ ξ ξ ξ = = = = = ξ ξ σ σ = _!

6 Tapasztalati szórás(égyzet) darab ξ i mitaelem: s = 1 i= 1 ( ξ ξ ) i Lásd szóráségyzet defiícióját! Értéke midig 0. 6

7 Korrigált tapasztalati szórás(égyzet) s = 1 1 i= 1 ( ξ ξ ) i Kisebb mita esetébe σ jobb közelítése Tulajdoságaira visszatérük. 7

8 Becslés Az eloszlás egy paraméterét mitából kiszámítjuk : becslés Pl. átlag várható érték; tapasztalati szórás szórás. Tulajdoságai: o o o Torzítatla becslés Kozisztes becslés Efficies becslés 8

9 Torzítatla becslés Keresett paraméter: a Becsült érték: α Ha M ( α) = a akkor a becslés torzítatla. Az átlag a várható érték torzítatla becslése i i i= 1 i= 1 i= M( ξ ) = M( ξ ) = M( ξ ) = m = m 9

10 Torzítatla becslés A tapasztalati szóráségyzet em torzítatla becslés. M ( s ) σ A korrigált tapasztalati szóráségyzet torzítatla becslés M( s ) =σ 10

11 Kozisztes becslés Torzítatla becslési sorozat: α 1, α,..., α M( α i ) = a A becslés kozisztes, ha α1, α α,..., sztochasztikusa tart az a-hoz. 11

12 Efficies becslés EFFICIENCIA: az α 1 becslés hatásosabb (efficiesebb) mit az α becslés, ha D ( α1 ) D ( α ) 1

13 Tapasztalati eloszlásfüggvéy Az eloszlásfüggvéy defiíciója (múlt óra): F(x) = P( ξ< x) Hogya becsülhető (közelíthető) mitából? ξ 1, ξ, ξ, Redezett mita: ξ ξ,..., ξ elemű redezett mita * * * 1 13

14 Tapasztalati eloszlásfüggvéy P(ξ<x) közelítése a k/ relatív gyakoriság k az x-él kisebb mitaelemek száma ξ * i <x i=1,,...,k A tapasztalati (empirikus) eloszlásfüggvéy olya lépcsős függvéy, amely mide egyes mitaelem helyé 1/-et ugrik. (Ha több (j) mita elem egybeesik, akkor az ugrás j/ ) 14

15 Tapasztalati eloszlásfüggvéy ξ * 1 ξ * Lépcsősfüggvéy 15

16 Glivekó tétele Csak szavakba: A tapasztalati eloszlásfüggvéy és az eloszlásfüggvéy közötti legagyobb eltérés 1 valószíűséggel zérushoz tart (Nagy mitaszám eseté F (x) jó közelítése F(x)-ek (Statisztika alaptétele) 16

17 Tapasztalati sűrűségfüggvéy A sűrűségfüggvéy: 1 f ( x) = df dx f (x) a b x a b P(a ξ b) = f (x)dx b a 17

18 Tapasztalati sűrűségfüggvéy CÉL: olya grafiko, ahol a görbe alatti terület aráyos az itervallumba esés gyakoriságával. MÓDSZER: adott az ξ, ξ,..., ξ elemű mita 1 Kiválasztom a legkisebb és a legagyobb mitaelemet: ξ = mi( ξ, ξ,..., ξ ) és mi 1 ξ = max( ξ, ξ,..., ξ ) max 1 18

19 Tapasztalati sűrűségfüggvéy A ξ mi és ξ max tartomáyt részitervallumokra botom: x 0, x 1, x,.x J Meghatározom az egyes részitervallumokba esés gyakoriságát. A j-edikbe: ν j Kiszámolom a relatív gyakoriságokat: ν j 19

20 Tapasztalati sűrűségfüggvéy A j-edik itervallum hossza x j E fölé kell ν j területű téglalapot rajzoli. A magasság: f j ν j = x j 0

21 Tapasztalati sűrűségfüggvéy 1

22 Tapasztalati sűrűségfüggvéy Részitervallumok száma: J ha 100 J = 1+ log ha 100 Részitervallumok kiosztása: Mide részitervallumba ν j legye kb. álladó

23 Összefoglalás: Statisztikai mita Azoos eloszlású függetle elemek Mitajellemzők: átlag, az átlag szórása tapasztalati szórás, korrigált tapasztalati szórás Becslések: Átlag várható érték Szórás korrigált tapasztalati szórás 3 Becslés tulajdoságai torzítatla becslés kozisztes becslés efficies becslés

24 Összefoglalás: Tapasztalati eloszlásfüggvéy (Glivekó tétel) Lépcsősfüggvéy, imde mitaelemél ugrik 1/-et Tapasztalati sűrűségfüggvéy 4

Hasonló dokumentumok

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy